统计学复习纲要(首经贸)分解

统计学复习纲要——2012~2013第一学期

基本概念

第一章：导论

1.统计学的研究对象：数据

2．统计研究过程：收集、整理、分析、解释数据

3.统计学的研究方法：统计描述、统计推断

4.总体、样本与个体

5.总体参数、统计量

6．数据：对现象某个变量测量的结果，一般表现为数据集

（1）按计量尺度分：定类（列名）、定序（顺序）、定距（无绝对零点，0仅为一普通数据）、定比尺度（有绝对零点，0代表没有），通常将定类数据与定序数据合称定性数据或品质数据、属性数据，将定距数据与定比数据合称为数值型数据。

适用功能：

定类数据：频数、众数、异众比率

顺序数据：除以上功能外，中位数、分位数

数值数据：功能最全，除上述各项以外，能计算各种统计量、进

行各种参数估计、假设检验等

（2）按收集方法分：观察数据和实验数据

（3）按描述对象与时间关系分：截面数据、时间序列数据和面板数据

第二章：数据的收集

1．数据的间接来源——二手资料

2．数据的直接来源——原始数据

调查数据：普查、统计报表制度、抽样调查：概率抽样非概率抽样概率抽样：随机原则、入样概率可求、存在理论上的抽样分布，可

以推断。最大优点是可以计算和控制推断误差。并计算必要

样本单位数目。

简单随机抽样：最基本的抽样方式、等概率、适用于总体单

位比较少的情况。

分层抽样：先分组，再从每一组中随机抽样。

整群抽样：先分组，再抽组，抽中的组全面登记。

系统抽样：先排序，再按一定的距离抽样。 多阶段抽样：是多种抽样方式的组合。

非概率抽样：非随机原则确定调查单位，没有理论上的抽样分布，不能进行推断。方便抽样、自愿样本、滚雪球抽样、配额抽样、判别抽样（重点调查、典型抽样）

3．数据的误差

抽样误差、非抽样误差

抽样误差：抽样标准误差（

n

）、抽样边际误差。

非抽样误差：抽样框误差、回答误差、无回答误差、调查员误差、

测量误差

第三章：数据的图表展示

分类数据：频数、比例、百分比、比率；条形图、饼图。 顺序数据：累积频数、累积频率；环形图。 数值型数据：分组；直方图、折线图

分组：单变量分组、组距式分组（等距、异距） 上限、下限、组中值、开口组、闭口组 分组原则：不重不漏。

上组限不包括在组内

开口组的组中值：用相邻组的组距作为该组的假定组距，进而确定组中值。

组中值代表本组的一般水平，假定条件：本组数据分布均匀。

未分组数据：茎叶图、箱线图 时间序列数据：线图（趋势图） 多变量数据：雷达图

第四章：数据的统计量描述 1.集中趋势和离散程度

集中趋势说明数据集中的位置，也称为位置统计量，是数据的重心，代表数据的一般水平。一般用算术平均数（均值）表示。

离散程度是指数据间的分散程度，也称为位置统计量，说明数据间的距离，一般用方差或标准差表示。

离散程度越大，说明数据越分散，平均数的代表程度就越低，数据的稳定性就越差，或者说数据的波动性越强。反之亦然。

2.权数：也称权重，可以是绝对数（如人数、单位数等），可以是相对数（比重、频率）。本质上是概率，是各组权数占总权数的比重。说明各组变量值对总平均数的影响大小。在各组变量值不变时，权数绝对数成比例变化，即各组权数的比例不变，平均数就不会变化。

3.加权算术平均数：影响因素有各组变量值和权数

4.几何平均数及适用条件：连续变化，平均比率

5.众数与中位数：

众数：所有类型数据、不受极端值的影响，可能存在，也可能不存在，

也可能有多个。适用于偏态分布数据

中位数：顺序数据和数值型数据，不受极端值的影响，偏态数据 6.数据分布与集中趋势：

对称：x M M e ==0 左偏：x M M e >>0 右偏：x M M e <<0

7．离散程度

异众比率、分位差、极差（全距）、平均差、标准差、离散系数

8.标准差与方差：以有量纲的具体量说明数据离散程度，适用于平均水平相等的同类数据间的离散程度比较。

9.离散系数：标准差系数，以无量纲的系数形式说明数据的离散程度，适用于平均数不等或性质不同的数据间的离散程度比较。

10.极差：最易受到极端值的影响，说明数据变化的最大可能范围 11.四分位差：说明中位数的代表性 第五、六、七章：抽样推断

1.总体分布、样本分布、抽样分布 总体分布：总体中各个数据的分布 样本分布：样本中各个数据的分布 抽样分布：样本统计量的概率分布

总体的分布通过直方图观察，但一般不可能得到所有的数据，也就不能直接观察到总体分布。只要知道总体的分布类型和反映总体分布特征的参数就能够满足需要。

样本分布也称为经验分布，样本来源于总体，会包含总体的信息和特征，特别当样本容量较大时，样本的分布会很接近总体分布，但样本是随机抽取的，一般与总体分布有一定差异。

抽样分布是说明样本分布特征的统计量的分布，对它的理解是建立在反复

抽样的基础上，样本是随机抽取的，不同的样本会有不同的统计量值，一个总体可以有很多个不同的样本，这样一个统计量就会有很多不同的取值，这些不同值的分布就是抽样分布。由于在实践中对于同一总体我们不会反复抽取很多样本，因此，抽样分布一般不能直接观察到，仅是一种理论分布。

抽样分布揭示了样本统计量与总体参数的内在联系，为统计推断提供了理论基础。

2.总体单位与抽样单位、样本容量与样本可能数目

3.统计量、总体参数及统计量的标准化

统计量是样本数据的函数，在实际抽样之前，由于是样本随机的，统计量也是随机的，但在抽取样本之后，样本已经确定，统计量也就是确定的，不包含任何未知变量。

总体参数是说明统计总体的数据特征值，一般是确定但未知的，是待估计的。

统计量的标准化是统计推断的必要过程，是将具体的统计量转化为已知分布的统计量，转化以后就可以确定一定区间的概率。

4.统计误差、抽样误差、抽样标准误差与抽样边际误差

统计误差是统计调查得到的值与客观实际值之间的差异。包括抽样误差和非抽样误差。

非抽样误差又称工作误差或调查误差，是指调查登记过程中由于登记、过录、计算等原因引起的误差。在全面调查和非全面调查中都有可能存在。

抽样误差也称为随机误差，是指在坚持了随机抽样的情况下，由于样本的随机性造成样本统计量与总体参数的差异。

样本是随机的，样本的统计量也是随机的，而总体参数是唯一的，因而抽样误差也是随机的。

在总体参数未知的情况下，一个具体样本的统计量与总体参数的实际抽样误差是不能直接观察到的，但在平均意义上，抽样误差是能够计算求得并可以控制的。

抽样误差一般用抽样标准误差来表示。抽样标准误差是样本统计量的标准差，在抽样方法（重复或不重复）、抽样方式（抽样组织形式）和样本容量一定的条件下，对一个总体来讲，抽样标准误差是一定的，不是随机变量。在现实生活中，一般仅取一个样本，不可能将所有可能样本都抽到，因此抽样标准误差仅是一种理论上的误差，不可能直接观察到。影响因素有总体数据离散程度、样本容量大小、抽样组织形式、抽样方法。

抽样边际误差是抽样推断中所允许的误差，又称抽样极限误差，是指在一次抽样估计中，配合一定置信水平所确定的误差范围，一般由调查需求者——客户提出，即是人为规定的。最初规定时表现为有量纲的绝对数，在统计推断中一般

将其标准化，以抽样标准误差作为其计量单位，即以抽样极限误差对抽样平均误差的倍数来表示。

抽样边际误差与抽样标准误差不存在确定的大小关系。抽样标准误差是客观的，抽样边际误差是人为规定的，可以比抽样标准误差大，也可以比抽样标准误差小。

抽样极限误差不是最大可能误差，最大可能误差是指所有可能样本的统计量与总体参数的离差中的最大值。

5.正态分布、标准正态分布、t分布

6.无偏性、有效性与一致性

7.点估计：直接以样本统计量的值作为参数的估计值，不能说明估计的误差和可靠概率。

8. 区间估计：以一个区间的形式说明总体参数可能的范围。可以给出估计结果的误差大小和可靠概率。

9. 置信区间与置信水平、估计精确性与可靠性

置信区间是由样本统计量与抽样边际误差确定的一个随机区间，它的区间宽度是由抽样边际误差确定的，具体位置是由样本统计量决定。区间的宽度表明估计误差的大小，说明估计的精确性。

置信水平是一个概率值，是所有可能的随机置信区间中覆盖总体参数真值的比例。说明估计结果的可靠性。一般来讲置信水平是由统计需求者对统计工作提出的要求。

在其他条件如抽样方法、方式、样本容量等不变时，置信区间与置信水平是一对矛盾，即要提高精确性（缩小置信区间），就得降低可靠性（置信水平降低），若要提高可靠性（加大置信水平），就得容忍较大的误差。

要想同时提高精确性和可靠性，就得增加样本容量，或改进抽样方式、方法。

10.最小样本容量的确定

影响最小样本容量的因素有总体数据的差异程度（总体方差）、置信水平、边际误差以及抽样方式和方法。

总体差异程度越大、所要求的置信水平越高、边际误差越小，所需的样本容量就越多。

11．假设检验的基本思想

通过样本统计量与假设的总体参数比较来判断假设是否正确。两者一般不一致，产生差异的原因有：1.条件差异；2.随机差异。不同的差异原因产生的差异程度不同，一般情况下，随机差异经常存在，但差异程度不大，如果差异程度较大，说明除随机差异外还有其他条件差异。

假设检验的原理是小概率事件在一次试验中不应该发生，或者说发生的

概率很小。在正常条件下，样本统计量与总体参数之间的差异比较小，即该差异较小的概率较大，而该差异较大的概率很小，也就是说在一次试验中，样本统计量与总体参数的差异如果较大，则说明产生差异的原因不只是随机因素，应该还有其他原因。

12.假设检验依据的是小概率原理：反证法

若我们的假设是正确的，出现象样本这样的情况的概率是很小的，而这么小概率的事件在一次抽样或实验中是不应该出现的，而现实却出现了，说明我们的前提假设很可能是不成立的。

13.小概率标准即显著性水平在抽样前依需要确定；

多小的概率为小，即小概率“小”的程度由我们事先规定，当样本这种情况出现的概率小于我们想象的概率时就拒绝原假设。即α

p时，就可以拒绝

<

原假设。

14.假设检验的结果的正确表述。

假设检验的结果只能是拒绝或不拒绝原假设,而不能证明原假设成立；

大概率事件不能证明原假设成立，因为出现这种情况的总体不是唯一的，但出现小概率事件在很大程度上说明原假设不成立。不能否定原假设时，只是目前的证据不足以否定原假设，但不能说原假设就是对的。

15.统计假设检验的结果不是绝对正确。

统计结果不能教条地理解，不是以绝对的把握否定什么或肯定什么，只是在概率的意义上成立。依据样本的信息对关于总体的假设作出判断，无论是拒绝还是不拒绝，都有可能犯错。

16．原假设与备择假设

原假设的建立

（1）将能够带来严重后果的错误置于原假设位置

（2）谨慎性原则：不能轻易地认为总体发生变化，坚持不变的原则

（3）希望原则：将希望获得强有力支持的命题放在备择假设位置

（4）根据对总体的了解情况确定

另外注意：

●等号总在原假设上；

●两类错误地位不对等，也就是原假设和备择假设地位不等。

假设检验是在原假设成立的前提下定义“小概率”的，不能够轻易否定

原假设，拒绝原假设的可能性不大，除非有强有力的证据，也就是说原

假设和备择假设被拒绝的可能性不等。

原假设与备择假设：原假设与备择假设是互斥的，但表现形式不一定是对

立的。

17.两类错误——弃真与取伪

假设检验的结果可能是错误的，有可能犯两类错误弃真和取伪

弃真：原假设为真而被拒绝，也称为第一类错误。犯这种错误的概率一般用α表示。α事先确定。

取伪：原假设为假而我们没有拒绝，也称为第二类错误。犯这种错误的概率一般用β表示，只有在知道总体真实分布时才能求得β的值，但在假设检验中不知道总体的真实分布，所以在显著性检验无法求得β的具体值。

α与β是一对矛盾，我们要减小犯第一类错误的概率α，就得容忍较大的犯第二类错误的概率β，在其他条件不变时，无法同时减小α与β。要同时减小α与β，就得增加样本容量n或改变抽样方式、方法。

18.双侧检验与单侧检验

当我们只关心差异大小，而不关心差异的方向时，应进行双侧检验；当我们只关心某一方向的差异大小时，应进行单侧检验。

19.检验统计量

总体均值检验：

Z

总体服从正态分布，总体方差已知或大样本时检验

t

总体服从正态分布，总体方差未知，小样本时检验

Z

总体比例检验：大样本时检验

20．P值

是一个概率值，是指当原假设为真是得到样本观察结果或比样本更极端结果的概率。也称为观察到的显著性水平。

第八章方差分析

分析对象：定性变量对定量变量影响分析，是通过比较均值是否相等来判断的。

基本原理：将数据间的差异分为随机误差和系统误差。

基本步骤：计算均值→计算离差平方和→计算均方→构造F统计量→检验种类：单因素、双因素（无交互作用、有交互作用）

第九章：相关与回归

1.函数关系与相关关系

2.相关系数：密切程度和方向

3.相关系数的检验：样本相关系数是依据样本计算的，样本是随机的，样本相关系数也是随机的，样本数据是相关的，并不能说明总体数据间也是相关的，需统计检验。所用统计量为t 统计量

4.相关分析与回归分析

◆ 相关分析中不区分自变量、因变量，两变量地位平等，回归分析中要区

分自变量与因变量。

◆ 相关分析中两变量都为随机变量，回归分析中，因变量是随机变量，自

变量一般是非随机变量。

◆ 相关分析的目的是分析两个变量相关的程度，回归分析要得到自变量对

因变量的影响方式，并用数学方程式表达出来，可以进行预测和控制。 5.高斯假定

关于回归模型误差项的假定：

数学期望为0 方差相等 正态分布 独立

6.最小平方法

依∑-2)?(y

y 最小的原理拟合回归方程的方法。估计值i y ?实际上是当自变量i x x =时，对应因变量y 所有可能取值的平均值，既)()(x f y E =，最小二乘具有如下特征：

最小∑∑-=-2

)?(0)?(y

y y

y

7.回归系数

说明自变量每变动一个单位，因变量平均变动的程度。一元线性回归中回归系数的正负号与相关系数一致。 8.回归变差与剩余变差 9.估计标准误差 10.判定系数

第十章：时间数列

1.时间数列

平稳序列、非平稳序列 时间序列模型：

四种因素（趋势、季节、周期、随机）相互独立时用加法模型，存在相互影响时用乘法模型。

2.环比增长速度与定基增长速度 3．年度化增长率 4．年度化增长率 5.移动平均：

关键是合理确定移动步长k ，k 越大，对序列数据变化反映越迟缓，对随机变动因素剔除得越多，修匀作用越强；k 越小对序列数据变化反映越快，对随机变动剔除得越少，修匀作用越小。

有简单移动平均和加权移动平均。 6．指数平滑

是一种特殊的加权平均法，是以上期的实际值与预测值作为本期预测值的一种方法，本质上是历史各期的加权平均，并且从近期到远期各数据的权数以指数速度下降。

以第一期的实际值作为第一期的预测值

关键是确定合理的平滑系数α，时间数列随机波动较大时，选择较大的

α，否则选择较小的α。

7.季节比率

季节比率说明现象发展季节波动程度的相对数，大于1，说明为旺季，小于1为淡季，如果季节比率均接近1，说明没有季节波动。

以季度数据计算的季节指数之和应为4，以月份数据计算的季节指数之和应为12。各季节指数的平均数应为1或100%。

8.趋势模型及适用条件

逐期增长量（一次差）大致相等：直线方程

逐期增长量的逐期增长量（二次差）大致相等：二次曲线 环比发展速度或环比增长速度大致相等：指数曲线

第十一章 主成分、因子分析

作用：降维，压缩数据

基本原理：方差最大、相互独立

基本概念：主成分、特征值、方差贡献率、因子载荷、变量共同度

基本公式

1.加权算术平均数 ∑∑====

n i i

n

i i

i

f

f x

x 1

1

2.算术平均数的数学性质：

∑==-n

i i

x x

10)( 或

0)

(1

=-∑=n

i i i

f x x

=-∑=2

1

)(x x

n

i i

最小 或=-∑=n

i i i f x x 1

2)(最小

3.简单几何平均数:

n

i

n n x

x x x G ∏== 21

4.加权几何平均数:

∑=∑=

==∏n

i i

i n

i i

n

f f i

f f n

f f x

x x x G 1

1

2

121

5.标准差

总体：n

x x

n

i i

∑=-=

1

2

)

(σ 或∑∑==-=

n

i i

n

i i

i f

f x x

1

1

2)(σ

样本：1

)

(--=

∑n x x S 或∑∑--=

1

)(2

f f x x S

5.比率p

比率的均值p

比率的方差)(p p -1，取值范围在0~0.25之间 比率的标准差pq ，取值范围在0~0.5之间 6.离散系数：%100?=

x

V σ

σ

7.抽样标准误差，即抽样统计量的标准差，一般表示为 7.1重复抽样

定义式：M x x i 2

)(-∑

计算式：

n

p p n

X

)

1(-或

σ 7.2不重复抽样 计算式：

n

N n n

N n

N n σ

σσ≈

-

≈

--?)1(1

2

2 8抽样分布—样本平均数x 的分布

n

X

x E x x σμσ=

==)(

在总体服从正态分布、总体方差2σ已知时，不管大样本还是小样本，样本平均数总是服从正态分布。既有：

),

(~N

N x σ

μ

)1,0(~/N n

x σμ

-

在总体服从正态分布、总体方差2σ未知时，要用样本方差2s 替代，则有

)(~/1--n t n

s x μ，

即标准化后的统计量不再服从正态分布，而服从自由度为（n-1）的t 分布。

但是大样本(30≥n )时，t 分布接近标准正态分布，也可以按标准正态分布分析。

若是小样本)(30

)1,0(~/N n

x σμ

- 或

),(~/10N n

s x μ-

9.抽样分布——样本比率p 的分布

P X p E P ==)(

n

P P n

P

p p )

(-=

=

=1σμσ 因比率本身为二项分布，当是大样本时，近似服从正态分布，标准化后有：

),(~)

(101N n

P P P p --

大样本标准：5)1(,5≥-≥p n np 10．抽样分布——样本方差2s 的分布

2)1(2

2

~)1(--n s n χσ

11.区间估计

11.1总体平均数μ或X 的区间估计

抽样边际误差：n

Z x σ

?

=?

置信下限x x ?-=1θ? 置信上限x

x ?+=2θ? 11.2总体比率π的区间估计

抽样边际误差：n

P P Z p )

1(-?

=? 置信下限p p ?-=1θ? 置信上限p p ?+=2?θ 11.3总体方差2σ的置信区间

2)

1(,2/12

2

2

)

1(,2/2

)1()1(----≤

≤-n n s n s n ααχσχ

12.假设检验

12.1 总体平均数μ或X 的检验

总体为正态分布，总体方差已知时，用正态分布即Z 统计量检验； 总体为正态分布，总体方差未知，且为小样本时，用t 分布检验； 总体分布未知，大样本时，用正态分布即Z 统计量检验。 检验统计量为Z 或t Z 统计量：n

x Z /0

σμ-=

或 n

s x Z /0μ-=

t 统计量：n

s x t /0μ-=

检验临界值：

双侧检验时的临界值2/αZ 或)1(,2/-n t α

单侧检验时的临界值αZ 、α-1Z 或)1(,-n t α、)1(,1--n t α 判断标准：

双侧检验2/αZ Z ≤时不拒绝0H ；2/αZ Z >时拒绝0H

或 )1(,2/-≤n t t α时不拒绝0H ；)1(,2/->n t t α时拒绝0H 单侧检验——左侧：

αZ Z >时不拒绝0H ；αZ Z <时拒绝0H

或)1(,-->n t t α时不拒绝0H ； )1(,--≤n t t α时拒绝0H 单侧检验——右侧：

α-<1Z Z 时不拒绝0H ；α-≥1Z Z 时拒绝0H 或 )1(,-

220

2

)1(χσ=-s n

2

)1(,2/22)1(,2/1---≤≤n n ααχχχ时，不拒绝0H 2)1(,2/12--≤n αχχ或2)1(,2/2-≥n αχχ时，拒绝0H

单侧检验：

22

2

)1(χσ=-s n

左侧检验：2)1(,12-->n αχχ时，不拒绝0H ，2)1(,12--≤n αχχ时拒绝0H

右侧检验：2)1(,2-

)1(,2-≥n αχχ时拒绝0H

13.相关系数

总体相关系数ρ的定义式为：

y

x Y X Cov σσρ)

,(=

样本相关系数r 的定义式为：

y

x xy

r σσσ2=

计算式为：2

2

)

()())((y y x x y y x x r -∑?-∑--∑=

2

2

2

2

)

()(y y n x x n y

x xy n ∑-∑?∑-∑∑∑-∑=

14.回归系数

2

2

2)(?i i i i it i x x n y x y x n ∑-∑∑∑-∑=β x y 11??ββ-=

15.估计标准误y s 2

2

)?(2

2---=

--=∑∑∑∑n xy b y a y

n y

y

S i i

y

16.判定系数2r

∑∑∑∑∑--+=

--==

2

2

2

2

22

)?()?(y

n y

y n xy b y a y

y y y

R 总变差

回归变差

或直接用样本相关系数r 的平方计算

y S 和2R 都是说明回归方程拟合效果的统计量，y S y S 越大，说明回归误差越大、回归效果越差，y S 越小，说明回归误差越小、回归效果越好，但因y S 为一用标准差形式计算的绝对误差，大小程度没有一定标准，不好对某一回归方程作出评价结论，一般不用。

而2R 是相对数，越接近1，说明回归效果越好，越接近0，说明回归效果越差。

注意：简单相关系数r 与判定系数2R 的关系，简单相关系数是针对两个

变量而言的，说明两个变量的相关程度，而判定系数是针对回归方程整体

而言的，不一定是两个变量。但在一元线性回归分析中，两者的结果是一致的。

17．一元线性趋势方程（趋势直线） 适用条件：一次差大致相等

bt a y

+=? ∑∑∑∑∑--=

-=2

2)(t t n y t ty n b t b y a