高中数学必修四人教版第二章：平面向量4ppt课件

人教B版高中数学必修4必修四第二章第三节平面向量的数量积

《向量数量积的物理背景与定义》教学设计

一、教学目标

1.知识与技能目标

（1）通过物理中“功”的具体实例，了解平面向量数量积的物理背景；

（2）理解向量数量积的定义及其物理意义；

（3）掌握向量数量积的性质

2.过程与方法目标

（1）经历从物理背景抽象概括出定义的过程，培养学生归纳概括的能力；

（2）通过不同的探究方式，体会由特殊到一般、分类讨论及数形结合的思想方法。

3.情感态度与价值观目标

（1）通过师生互动、生生互动的教学活动过程，培养学生的钻研精神和合作交流的学习度。

（2）通过学生上台讲解，激发学生学习的积极性，形成学生的体验性认识。

二、教学重点、难点

【重点】数量积的定义及性质；

【难点】数量积的定义及性质的理解和应用.

三、教学过程

环节1：创设情境、导入新课

问题1：请同学们回顾一下，我们学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？（学生口答）【设计意图】

让学生复习回顾已经学过的向量运算，为平面向量数量积的学习奠定基础。

问题2：一个物体在力F的作用下发生了位移S，那么力对物体所做的功为多少？（教师引导，学生口答，分析背景）

学生根据所学物理知识容易得到：，教师明确指出物理中的矢量就是数学中的向量，物理中的标量就是数学中的数量。进一步分析功的计算公式特点，引出两个概念：“两个向量的夹角”和“正射影的数量”.

【设计意图】

从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，展示数量积的物理背景，激发学生的学习热情，引导学生感知数学问题，便于学生接受和理解。

问题3：从求功的运算中，我们可以抽象出什么样的数学运算？（将功的运算推广到任意两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念）。

问题：从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？

学生讨论：如果把力F和位移s抽象地看成两个“向量”，把力F与位移s的夹角抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量ba,得到一个数量（即cosba）的运算，这里是向量ba,的夹角。（类比思想，本节课学习目标的过程与方法之一）

高中数学第二章平面向量新人教A版必修4

平面向量

一、选择题

1．下列命题中正确的是 ( )

( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同

( B) 若 a， b 是两个单位向量，则 a＝ b

( C) 若向量 a 和 b 共线，则向量 a， b 的方向相同

( D) 零向量的长度为 0，方向是任意的

2．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )

( A )

( C)

AB DC

AB AD BD

( B )

( D )

AD AB AC

AD CB 0

3．在四边形 ABCD 中， CB AB BA ( )

(A) DB (B) CA

(C) CD (D) DC

4．已知 a， b 为非零向量，且｜ a＋ b｜＝ | a| ＋ | b| ，则一定有 ( )

( A ) a＝ b ( B ) a∥b，且 a，b 方向相同

( C) a＝－ b ( D ) a∥b，且 a，b 方向相反

5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD

(3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是 ( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题

6．对于下列命题

①相反向量就是方向相反的向量 ②不相等的向量一定不平行 ③相等的向量一定共线

④共线的单位向量一定相等 ⑤共线的两个向量一定在同一条直线上

其中真命题的序号为 ______．

7．若某人从 A 点出发向东走 3 km 至点 B，从点 B 向北走 3 3 km 至点 C，则点 C 相对于

用心爱心专心

点 A 的位置向量为 ______．

高中数学必修4平面向量复习4平面向量的数量积

5．4 平面向量的数量积

要点透视：

1．两个向量的夹角：两个非零向量a和b ，作 OA=a，OB=b，则∠AOB=θ

(0°≤θ≤180°)，叫做两向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是90°，则说a与b垂直，记作a⊥b

2．两向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则把数量|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a|·|b|·cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0.

向量的数量积满足下列运算律：

（1）a·b＝b·a；

（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

3．向量数量积的坐标运算：记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．

4定理：两个向量a，b垂直的充要条件是a·b=0.

活题精析：

例1．(2001年上海卷)若非零向量以，满足|+|=|－|，则与所成角的大小是 .

要点精析：由作向量和与差的平行四边形法则可知：|+|，|－|正好是以，为邻边的平行四边形的两对角线的长度，∵ |+|=|－|．∴ 平行四边形是矩形，∴ 与所成角是90°．

思维延伸：作平面向量的某些题目时，应注意与平面几何知识相结合．本例还可采用两边平方，得·=0.

例2．( 2003年天津卷)设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线．

（1）(a·b)c－(c·a)b=0；（2）|a|－|b|<|a－b|；（3）(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；（4）(3a＋2b)· (3a－2b)=9|a|2－4|b}2．其中是真命题的有（）

高中数学平面向量知识及注意事项

一、向量基础知识

1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ(μa)=(λμ) a；(2)第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa；

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

2、向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a （交换律）；注:cbacba)()(

(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）；(3)（a＋b）·c= a ·c +b·c.

3、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ11e+λ22e．不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

4、投影：向量b在向量a方向上的投影为|b|cosθ。

5、a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cosθ．

6、a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

7、平面向量的坐标运算：

(1)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.

(2)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.

(3)设A11(,)xy，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxxyy.

(4)设a=(,),xyR，则a=(,)xy.

(5)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a·b=1212xxyy.

8、两向量的夹角公式：121222221122cosxxyyxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy).

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标巧用定比分点公式解题素材北师大版必修4课件

1 c+c2-abac-c2-abNPMbxaBXA巧用定比分点公式解题

定比分点公式是平面解析几何中的重要公式，在解析几何中应用非常广泛。在平面直角坐标系中分点的坐标是以二维变量),(yx形式出现的，在数轴上定比及定比分点公式显得更简洁和新颖，分点的坐标是以一维变量x的形式出现。所以在高中数学的其他章节内容中，若能灵活运用定比及定比分点公式求解，能拓展学生的解题思路，开拓视野，培养学生创造性思维。

例1、设1,0,1ccbacbcax且，求证：bax,

证明：如右图在数轴上取点A，B；坐标分别为ba,

点X分有向线段AB所成的定比

c，即XBAX，由定比分点公式得cbcabax11

00即c 所以点X为线段AB的外分点，即bax,

例2、已知,1||,1||ba

求证：11abba

证明：设1,1,1abba分别对应数轴上的三点,,,21PPP且P是有向线段21PP的分点，则由,1||,1||ba知P分有向线段21PP的定比0)1)(1()1)(1(11)1(1babaabbaabba，因此P是有向线段21PP的内分点，从而111abba，即以上结论成立。

例3、已知,02acba且求证：abccaabcc22

分析：该题与例2证明方法相同，如右图P分有向线段MN所成的定比)(2)()()()()(222222bacacaabccaabccaabcaabccabcca>0

所以P是有向线段MN的内分点，即结论成立。

评注：以上三题都是巧妙地构造数轴上的定比分点，运用定比的概念及定比分点公式进行运算，利用定比值的符号以及内分点，外分点的概念巧妙地证明了以上不等式。

2 m2-2P2PP1例4、已知,,Nba试判断2距ab与baba2哪个更近？并说明理由。

高中数学人教B版必修四讲义：第二章 2.1 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含答案

高中数学必修四

向量的线性运算

2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算

预习课本P90～93，思考并完成以下问题

(1)平行向量基本定理是怎样表述的？

(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？

(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？

[新知初探]

1．平行向量基本定理

(1)平行向量基本定理

如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.

(2)单位向量．

给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a|a|.

[点睛] 对定理两个方面的说明高中数学必修四

(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.

(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．

2．轴上向量的坐标及其运算

(1)轴上向量的坐标

名称定义

轴规定了方向和长度单位的直线叫做轴

轴的

基向量取单位向量，且其方向与轴同方向，则该单位向量为轴的基向量

a在轴l

上的坐标如果a＝xe, 则x叫做向量a在轴l上的坐标

(2)轴上向量的坐标运算

法则(或公式) 文字语言符号语言

轴上两个向量相等的法则轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等设a＝x1e，b＝x2e，

则a＝b⇔x1＝x2

轴上求两个向量的和的法则轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和设a＝x1e，b＝x2e，

则a＋b＝(x1＋x2)e

轴上向量的坐标公式轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 AB＝x2－x1

|AB|＝|x2－x1|

[点睛] AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

学必求其心得，业必贵于专精

1 2.7 向量应用举例

典题精讲

例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.

答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：

|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。

证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，

∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1

∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，

｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。

∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.

又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，

∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,

即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.

证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.

设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），

∴AC=AB＋AD 学必求其心得，业必贵于专精

2

图2—7-2

=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），

BD=AD—AB

=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。

∴|AC｜2=（c+a）2+b2，

|BD｜2=（a-c）2+b2.

∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。

又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,

∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,

即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道：

1。向量法解决几何问题的步骤:

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;

②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；

高中数学步步高必修4资料第二章 2.4.1 (二)

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)

学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.

知识点一平面向量数量积的运算律

思考1 类比实数的运算律，平面向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：

运算律实数乘法向量数量积判断正误

交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确

结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) 错误

分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确

消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0) ⇒a＝c 错误

思考2 平面向量数量积的运算律有哪些？

交换律 a·b＝b·a

数乘的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)

分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c

知识点二平面向量数量积的运算性质

下面是从多项式乘法中的一些乘法公式类比出的相应平面向量数量积的运算性质.

多项式乘法

向量数量积

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2

(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2

(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2

(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a

类型一向量数量积的运算律例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.

答案 ④

解析因为两个非零向量a ，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；

当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；

向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；

人教A版高中数学必修四第二章 §2.4平面向量的数量积教材课时同步培优练习

一、本节主要知识点回顾

1、两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180

2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.

探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.

（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|

 ab = bc 但a  c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

3、“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0C 时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.