对数与对数函数专题

对数与对数函数

基础梳理

1．对数的概念

(1)对数的定义

如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为a(a＞0且a≠1)log a N

常用对数底数为10lg N

自然对数底数为e ln_N

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

①a log a N＝N；②log a a N＝N(a＞0且a≠1)．

(2)对数的重要公式

①换底公式：log b N＝log a N

log a b(a，b均大于零且不等于1)；

②log a b＝

1

log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.

(3)对数的运算法则

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么

①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a M

N＝log a M－log a N；

③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log am M n＝n

m log a M.

3．对数函数的图象与性质

a＞10＜a＜1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R 过点(1,0)

当x ＞1时，y ＞0当0＜

x ＜1，y ＜0 当x ＞1时，y ＜0当0＜x

＜1时，y ＞0 是(0，＋∞)上的增函数

是(0，＋∞)上的减函数

4.反函数

指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 一种思想

对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范

解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点

画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.

四种方法

对数值的大小比较方法

(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．

考向一 对数式的化简与求值

【例1】►求值：(1)log 89

log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；

(3)12lg 3249－4

3lg 8＋lg 245.

【训练1】 (1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1

b 的值． (2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x 的值．

考向二 对数值的大小比较

【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－

0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．a ＜b ＜c

【训练2】 (2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－1

2，则( )． A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a

考向三 对数函数性质的应用

【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围． 【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x －1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；

(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，2上的值域．

【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎨⎧

21－

x

，x ≤1，

1－log 2

x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x

的取值范围是________． 课堂检测

1．2 log 510＋log 50.25＝( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

2．已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c

D ．c ＜a ＜b

3．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

4．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )． A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡

⎦⎥⎤－1，43 C.⎣⎢⎡

⎭

⎪⎫0，32 D ．[1,2)

5．若log a 2

3>1，则a 的取值范围是________．

课时作业(十二)

一、选择题

1．(2011年济南市4月高三模拟)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )

2．(2012年河北正定中学高三第2次月考)已知0

A ．m

B ．m

C ．r

D ．n

A ．(5

2，＋∞)

B ．(3，＋∞)

C ．(－∞，5

2

)

D ．(－∞，2)

4．(2011年辽宁高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

21－

x ， x ≤1，1－2log 2

x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范

围是( )