2020年浙江宁波中考数学试卷(解析版)
2020年浙江宁波中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.的相反数为（ ）．A. B. C. D.2.下列计算正确的是（ ）．A. B. C. D.3.年宁波舟山港货物吞吐量为吨，比上年增长，连续年蝉联世界首位．数用科学记数法表示为（ ）．A. B. C. D.4.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）．主视方向A. B.C. D.5.一个不透明的袋子里装有个红球和个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）．A.B.C.D.6.二次根式中字母的取值范围是（ ）．A.B.C.D.7.如图，在中， ，为中线，延长至点，使，连结，为 中点，连结 ．若，，则 的长为（ ）．A.B.C.D.8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ）．A.B.C.D.9.如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（ ）．A.B.C.D.当（为实数）时，10.和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内，若求五边形的周长，则只需知道（ ）．A.的周长B.的周长C.四边形的周长D.四边形的周长二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.实数的立方根是 ．12.分解因式： ．13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示：甲乙丙明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 ．14.如图，折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，图中的长为 （结果保留）．15.如图，的半径，是上的动点（不与点重合），过点作的切线，，连结，．当是直角三角形时，其斜边长为 ．16.如图，经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点（点在第一象限），点，，在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为 ，的值为 ．三、解答题（本大题共8小题，共80分）（1）（2）17.解答下列各题：计算：．解不等式：．18.（1）（2）图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：图图使得个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．使得个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形）（1）（2）19.图是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图是其示意图，经测量，钢条，．地面图图求车位锁的底盒长．若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：，，）20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点．点的坐标是．（1）（2）求，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围．平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．（1）（2）（3）（4）21.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分分，得分均为不小于的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格，合格，良好，优秀，制作了如下统计图（部分信息未给出）．频数人成绩分所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图优秀基本合格合格良好所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图由图中给出的信息解答下列问题：求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．这次测试成绩的中位数是什么等第？如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？（1）22.，两地相距千米．早上货车甲从地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系．地收到消息后立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往地．两辆货车离开的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（千米）甲乙（小时）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式．各.自.出.发.地.（2）因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间最多晚个小时，问货车乙返回地的速度至少为每小时多少千米？图（1）图（2）图（3）23.解答下列各题．【基础巩固】如图，在中，为上一点，．求证：．【尝试应用】如图，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点，．若，，求的长．【拓展提高】如图，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，，求菱形的边长．（1）24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．【答案】解析:的相反数是：．故选．解析:（2）12（3）图如图，四边形内接于⊙，，四边形的外角平分线交⊙于点，连结并延长交的延长线于点．求证：是中的遥望角．图如图，在的条件下，连结，，若是⊙的直径．图求的度数．若，，求的面积．D 1.C 2.B 3.用科学记数法表示为：．故选．解析:由题意可知：主视图是：．故选．解析:从装有个红球和个黄球的不透明的袋子中摸出一个球共有种等可能的结果，其中是红球的结果有种，所以摸出一个球是红球的概率．解析:由题意可知：，则．故选．解析:∵且为中点，∴，∴，在中，，∵为斜边中线，∴，∴．故选．B 4.D 5.C 6.B 7.解析:设木条长尺，绳子长尺，则由题意得：，即，故选：．解析:∵，和都是等边三角形，又∵和是两个全等的三角形，∴和的三条边相等，即，，且，∴，，∴，∴在和中，，∴≌，∴，而五边形的周长是：，其中，，，∴，又∵，∴，A 8.D 9.A 10.∴知道的周长即可，，故选．解析:根据立方根的定义，求数的立方根，也就是求一个数，使得，则就是的一个立方根．∵，∴的立方根是．解析:原式．解析:∵甲组、乙组的平均数比丙组大，而甲组的方差比乙组的小，∴甲组的产量比较稳定，∴选出产量既高又稳定的枇杷树进行种植，应选的品种是甲．故答案为：甲．解析:长．解析:连接如图（），五边形11.12.甲13.14.或15.∵是的切线，∴且．又∵，∴在中，，在中，．如图连接，图（），∵为直角三角形，∴．∵切于点，∴．∵即，在中，，故其斜边长为或，故答案为：或．解析:∵经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，∴，两点关于原点中心对称， ; 16.∴，连结，设与轴交于点，∴，∵五边形的面积为，四边形的面积为，∴．∵由反比例函数图象几何意义可知，，，∴，∴．连结，，，过作轴于，连结，，∵轴，∴，∵，∴，∴．∵轴，轴，∴，∴，∵，五边形四边形四边形（1）（2）（1）（2）（1）∴，∴，∴，∴．解析:原式．去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边同除以，得．解析:如图所示即为所求：画出下列其中一种即可．解析:过点作于点，（1）．（2）．17.（1）画图见解析．（2）画图见解析．18.（1）．（2）不能进入该车位．19.（2）（1）（2）∵，∴，在中，，，∴，∴．在中，（），∵，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．解析:把代入，得，解得，∴，∵为顶点，∴的坐标为，当时，，解得，，∵，∴，观察图象，得当时，得取值范围是．当时，，∴，∵，（1）；；．（2）．20.（1）（2）（3）（4）（1）∴点移到时，抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，∴平移后得函数表达式为：．解析:由题意可知这次测试的人数有：（人），其中合格的人数为：（人），补全频数直方图如下：频数人成绩分所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为：．这次测试成绩按从小到大的顺序排列，中位数在分分之间，∴这次测试成绩的中位数的等第是良好．由题意得：（人）．故答案为：．解析:设函数表达式为，（1）人，画图见解析．（2）．（3）良好．（4）人．21.（1）．（2）至少为千米小时．22.（2）把，代入，得，解得．∴关于的函数表达式为．由两货车离各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系图可知：时，甲货车离地千米处发生故障，此时乙货车开始从地出发，甲、乙两货车相距千米．时，乙货车距离出发地地千米，∴乙货车的速度为千米小时．又小时，则乙货车出发小时后与甲货车相遇，即，所以货车乙在时从地出发，时与甲货车相遇，故，故货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式为．货车甲的速度为千米小时，∴货车甲正常到达地的时间为小时．因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间最多晚个小时，即小时，小时，∴乙货车与甲货车相遇后，到返回地最多只有小时时间．乙货车装物资用时小时，乙货车返回地时行驶时间为小时，千米小时，∴货车乙返回时的速度大于等于千米小时，故货车乙返回地的速度至少为千米小时．（1）证明见解析．（2）．（3）．23.（1）（2）（3）解析:如图，∵，，∴，∴，∴．∵四边形是平行四边形，∴，，又∵，∴，又∵，∴，∴．∴，∴．如图，分别延长，相交于点．∵四边形是菱形，∴，，（1）（2）∵，∴四边形为平行四边形，∴，，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵．∴，∴．解析:∵平分，平分，∴．如图，延长到点，∵四边形内接于⊙，∴，又∵，∴，（1）．（2）证明见解析．12（3）．．24.12（3）∵平分，∴，∵，∴，∴是的平分线，∵，∴，∵，，∴，∴，∴是的外角平分线，∴是中的遥望角．如图，连结，∵是中的遥望角，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴≌，∴，∴，∵是⊙的直径，∴，∴，∴．如图，过点作于点，过点作于点，∵是⊙的直径，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵在中，，在中，，∴，在中，，∴设 ， ，则有，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．。
2020年浙江省宁波市中考数学试卷(有答案)
2020年浙江省宁波市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. −3的相反数是( )A. −3B. −13 C. 13D. 32. 下列计算正确的是( )A. a 3⋅a 2=a 6B. (a 3)2=a 5C. a 6÷a 3=a 3D. a 2+a 3=a 53. 2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为( )A. 1.12×108B. 1.12×109C. 1.12×109D. 0.112×10104. 如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是( )A.B.C.D.5. 一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 236. 在二次根式√x −2中，字母x 的取值范围是( )A. x >2B. x <2C. x ≥2D. x ≤2 7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE =BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF.若AC =8，BC =6，则BF 的长为( ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 48. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为( )A. {y =x +4.50.5y =x −1B. {y =x +4.5y =2x −1C. {y =x −4.50.5y =x +1D. {y =x −4.5y =2x −19. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c(a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x =−1.则下列选项中正确的是( )A. abc <0B. 4ac −b 2>0C. c −a >0D. 当x =−n 2−2(n 为实数)时，y ≥c10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道()A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.实数8的立方根是______．12.分解因式：2a2−18=______．13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x−(22甲乙丙x−454542S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是______．14.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB⏜的长为______cm(结果保留π)．15.如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为______．(a>0)16.如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax的图象交于A，D两点(点A在第一象限)，点B，C，(b<0)的图象上，AB//y轴，E在反比例函数y=bxAE//CD//x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a−b的值为______，b的值为a______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示．(通话等其他时间忽略不计)(1)求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．(2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）18.(1)计算：(a+1)2+a(2−a)．(2)解不等式：3x−5<2(2+3x)．19.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)20.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50cm，∠ABC=47°．(1)求车位锁的底盒长BC．(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？(参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+4x−3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0)．(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围．(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．22.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分x均为不小于60的整数)，并将测试成绩分为四个等第：基本合格(60≤x<70)，合格(70≤x<80)，良好(80≤x<90)，优秀(90≤x≤100)，制作了如图统计图(部分信息未给出)．由图中给出的信息解答下列问题：(1)求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．(3)这次测试成绩的中位数是什么等第？(4)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？23.【基础巩固】(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证：AC2=AD⋅AB．【尝试应用】(2)如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的长．【拓展提高】(3)如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=2EF，∠BAD，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长．∠EDF=1224.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A=α，请用含α的代数式表示∠E．(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD⏜=BD⏜，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．(3)如图3，在(2)的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：−3的相反数是3．故选：D．根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、a3⋅a2=a5，故此选项错误；B、(a3)2=a6，故此选项错误；C、a6÷a3=a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】B【解析】解：1120000000=1.12×109，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．根据主视图的意义和画法可以得出答案．考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．5.【答案】D【解析】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=44+2=23．故选：D．根据概率公式计算．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．6.【答案】C【解析】解：由题意得，x−2≥0，解得x≥2．故选：C．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7.【答案】B【解析】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10． 又∵CD 为中线， ∴CD =12AB =5．∵F 为DE 中点，BE =BC 即点B 是EC 的中点， ∴BF 是△CDE 的中位线，则BF =12CD =2.5．故选：B ．利用勾股定理求得AB =10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度；结合题意知线段BF 是△CDE 的中位线，则BF =12CD ．本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD 的长度和线段BF 是△CDE 的中位线． 8.【答案】A【解析】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： {y =x +4.50.5y =x −1． 故选：A ．直接利用“绳长=木条+4.5；12绳子=木条−1”分别得出等式求出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 9.【答案】D【解析】解：由图象开口向上，可知a >0， 与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c >0，又对称轴方程为x =−1，所以−b 2a <0，所以b >0，∴abc >0，故A 错误∵；∴一次函数y =ax 2+bx +c(a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴b 2−4ac >0，∴4ac −b 2<0，故B 错误； ∵−b2a =−1，∴b =2a ，∵当x =−1时，y =a −b +c <0， ∴a −2a +c <0，∴c −a <0，故C 错误； 当x =−n 2−2(n 为实数)时，y =ax 2+bx +c =a(−n 2−2)+b(−n 2−2)=an 2(n 2+2)+c ，∵a >0，n 2≥0，n 2+2>0，∴y =an 2(n 2+2)+c ≥c ，故D 正确， 故选：D ．由图象开口向上，可知a >0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c >0，根据对称轴方程得到b >0，于是得到abc >0，故A 错误；根据一次函数y =ax 2+bx +c(a >0)的图象与x轴的交点，得到b2−4ac>0，求得4ac−b2<0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=−1时，y=a−b+c<0，于是得到c−a<0，故C错误；当x=−n2−2(n为实数)时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a(−n2−2)+b(−n2−2)=an2(n2+2)+c，于是得到y=an2(n2+2)+c≥c，故D正确．本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=∠A=60°，∴∠GHC+∠HGC=120°，∴∠AHF=∠HGC，∴△AFH≌△CHG(AAS)，∴AF=CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE=FH，∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，=AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．证明△AFH≌△CHG(AAS)，得出AF=CH.由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF 的周长=AB+BC，则可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：实数8的立方根是：3=2．√8故答案为：2．根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．12.【答案】2(a+3)(a−3)【解析】解：2a2−18=2(a2−9)=2(a+3)(a−3)．故答案为：2(a+3)(a−3)．首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．13.【答案】甲【解析】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．14.【答案】18π【解析】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，=18π(cm)，∴AB⏜的长=120⋅π×27180故答案为：18π．根据弧长公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．15.【答案】2√2或2√3【解析】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∵BC=OA，∴OB=BC=2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC=90°，连接OB，∴OC=√2OB=2√2，∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3；②当∠OAC=90°时，点A与B重合，∴OC=2√2，综上所述，其斜边长为2√2或2√3，故答案为：2√2或2√3．当∠AOC=90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC=90°，根据勾股定理得到AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3；当∠OAC=90°时，点A与B重合，求得OC=2√2．本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16.【答案】24 −13【解析】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A ，D 关于原点对称，∴A ，D 的纵坐标的绝对值相等，∵AE//CD ，∴E ，C 的纵坐标的绝对值相等，∵E ，C 在反比例函数y =b x 的图象上，∴E ，C 关于原点对称，∴E ，O ，C 共线，∵OE =OC ，OA =OD ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴S △ADE =S △ADC =S 五边形ABCDE −S 四边形ABCD =56−32=24，∴S △AOE =S △DEO =12，∴12a −12b =12， ∴a −b =24，∵S △AOC =S △AOB =12，∴BC//AD ，∴BC AD =TB TA ，∵S △ACB =32−24=8，∴S △ADC ：S △ABC =24：8=1：3，∴BC ：AD =1：3，∴TB ：TA =1：3，设BT =a ，则AT =3a ，AK =TK =1.5k ，BK =0.5k ， ∴AK ：BK =3：1，∴S △AOKS △BKP=12a −12b =13， ∴a b =−13．故答案为24，−13．如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K.求出证明四边形ACDE 是平行四边形，推出S △ADE =S △ADC =S 五边形ABCDE −S 四边形ABCD =56−32=24，推出S △AOE =S △DEO =12，可得12a −12b =12，推出a −b =24.再证明BC//AD ，证明AD =3BC ，推出AT =3BT ，再证明AK =3BK 即可解决问题．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：(1)设函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，把(1.6,0)，(2.6,80)代入y =kx +b ，得{0=1.6k +b 80=2.6k +b， 解得：{k =80b =−128， ∴y 关于x 的函数表达式为y =80x −128(1.6≤x ≤3.1)；(2)当y =200−80=120时，120=80x −128，解得x =3.1，货车甲正常到达B地的时间为200÷50=4(小时)，18÷60=0.3(小时)，4+1=5(小时)，5−3.1−0.3=1.6(小时)，设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．【解析】(1)由待定系数法可求出函数解析式；(2)根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．18.【答案】解：(1)(a+1)2+a(2−a)=a2+2a+1+2a−a2=4a+1；(2)3x−5<2(2+3x)3x−5<4+6x，移项得：3x−6x<4+5，合并同类项，系数化1得：x>−3．【解析】(1)直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；(2)直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．此题主要考查了一元一次不等式的解法以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．19.【答案】解：(1)轴对称图形如图1所示．(2)中心对称图形如图2所示．【解析】(1)根据轴对称图形的定义画出图形即可(答案不唯一)．(2)根据中心对称图形的定义画出图形即可(答案不唯一)．本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∴BH=HC，在Rt△ABH中，∠B=47°，AB=50，∴BH=ABcosB=50cos47°≈50×0.68=34，∴BC=2BH=68cm．(2)在Rt△ABH中，∴AH=ABsinB=50sin47°≈50×0.73=36.5，∴36.5>30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．【解析】(1)过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．(2)根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．21.【答案】解：(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x−3，得0=a+4−3，解得a=−1，∴y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，∴A(2,1)，∵对称轴x=1，B，C关于x=2对称，∴C(3,0)，∴当y>0时，1<x<3．(2)∵D(0,−3)，∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y=−(x−4)2+5．【解析】(1)利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．(2)由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)30÷15%=200(人)，200−30−80−40=50(人)，直方图如图所示：=144°．(2)“良好”所对应的扇形圆心角的度数=360°×80200(3)这次测试成绩的中位数是良好．=300(人)，(4)1500×40200答：估计该校获得优秀的学生有300人．【解析】(1)根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题．(2)根据圆心角=360°×百分比计算即可．(3)根据中位数的定义判断即可．(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可．本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC =ACAB，∴AC2=AD⋅AB．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BFBC =BEBF，∴BF2=BE⋅BC，∴BC=BF2BE =423=163，∴AD=163．(3)如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB//DC，∠BAC=12∠BAD，∵AC//EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，∵∠EDF=12∠BAD，∴∠EDF=∠BAC，∴∠EDF=∠G，又∵∠DEF=∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFDE，∴DE2=EF⋅EG，又∵EG=AC=2EF，∴DE2=2EF2，∴DE=√2EF，又∵DGDF =DEEF，∴DG=√2DF=5√2，∴DC=DG−CG=5√2−2．【解析】(1)证明△ADC∽△ACB，得出ADAC =ACAB，则可得出结论；(2)证明△BFE∽△BCF，得出比例线段BFBC =BEBF，则BF2=BE⋅BC，求出BC，则可求出AD．(3)分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段EDEG =EFDE，则DE=√2EF，可求出DG，则答案可求出．此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．24.【答案】解：(1)∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E=∠ECD−∠EBD=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A=12α，(2)如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC=180°，又∵∠FDE+∠FDC=180°，∴∠FDE=∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠FDE，∵∠ADF=∠ABF，∴∠ABF=∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD⏜=BD⏜，∴∠ACD=∠BFD，∵∠BFD+∠BCD=180°，∠DCT+∠BCD=180°，∴∠DCT=∠BFD，∴∠ACD=∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．(3)①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC=2∠BEC，∵∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=2∠BEC，∵∠BFC=∠BEC+∠FCE，∴∠BEC=∠FCE，∵∠FCE=∠FAD，∴∠BEC=∠FAD，又∵∠FDE=∠FDA，FD=FD，∴△FDE≌△FDA(AAS)，∴DE=DA，∴∠AED=∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠AED+∠DAE=90°，∴∠AED=∠DAE=45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠FAC=∠EBC=12∵∠AED=45°，∴∠AED=∠FAC，∵∠FED=∠FAD，∴∠AED−∠FED=∠FAC−∠FAD，∴∠AEG=∠CAD，∵∠EGA=∠ADC=90°，∴△EGA∽△ADC，∴AEAC =AGCD，∵在Rt△ABG中，AG=√22AB=4√2，在Rt△ADE中，AE=√2AD，∴ADAC =45，在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，∴设AD=4x，AC=5x，则有(4x)2+52=(5x)2，∴x=53，∴ED=AD=203，∴CE=CD+DE=353，∵∠BEC=∠FCE，∴FC=FE，∵FM⊥CE，∴EM=12CE=356，∴DM=DE−EM=56，∵∠FDM=45°，∴FM=DM=56，∴S△DEF=12DE⋅FM=259．【解析】(1)由角平分线的定义可得出结论；(2)由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=90°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；(3)①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA(AAS)，由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出AEAC=AG CD ，求出ADAC=45，设AD=4x，AC=5x，则有(4x)2+52=(5x)2，解得x=53，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
2020年浙江省宁波市中考数学试卷 (word档含答案解析)
2020年浙江省宁波市中考数学试题一、选择题1.﹣3的相反数为（）A. ﹣3B. ﹣13C.13D. 32.下列计算正确的是（）A. a3•a2＝a6B. （a3）2＝a5C. a6÷a3＝a3D. a2+a3＝a53.2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A. 1.12×108B. 1.12×109C. 1.12×1010D.0.112×10104.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A. B.C. D.5.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A. 14B.13C. 12D.236.x的取值范围是（）A. x＞2B. x≠2C. x≥2D. x≤27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A. 2B. 2.5C. 3D. 48.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A.4.50.51y xy x=+⎧⎨=-⎩B.4.521y xy x=+⎧⎨=-⎩C.4.50.51y xy x=-⎧⎨=+⎩D.4.521y xy x=-⎧⎨=-⎩9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A. abc＜0B. 4ac﹣b2＞0C. c﹣a＞0D. 当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长二、填空题（每小题5分，共30分）11.实数8的立方根是_____．12.分解因式：2a2﹣18=________﹣13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是__．14.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为__cm（结果保留π）．15.如图，﹣O的半径OA＝2，B是﹣O上的动点（不与点A重合），过点B作﹣O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为__．16.如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为__，ba的值为__．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17.（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．18.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB ＝AC ＝50cm ，﹣ABC ＝47°． （1）求车位锁的底盒长BC ．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm ，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+4x ﹣3图象顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是（1，0）．（1）求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当y ＞0时x 的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D 恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．21.某学校开展了防疫知识宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x 均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x ＜70），合格（70≤x ＜80），良好（80≤x ＜90），优秀（90≤x ≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．的由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？22.A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？23.【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在﹣ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF ＝12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 边长．24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ．（2）如图2，四边形ABCD 内接于﹣O ，AD ＝BD ，四边形ABCD 的外角平分线DF 交﹣O于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E ．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是﹣O 的直径． ﹣求∠AED 度数；﹣若AB ＝8，CD ＝5，求△DEF 的面积．的2020年浙江省宁波市中考数学试题一、选择题1.﹣3的相反数为（）A. ﹣3B. ﹣13C.13D. 3【答案】D【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【详解】解：﹣3的相反数是3．故选：D．【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．2.下列计算正确的是（）A. a3•a2＝a6B. （a3）2＝a5C. a6÷a3＝a3D. a2+a3＝a5【答案】C【解析】分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可得．【【详解】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项错误；C、a6÷a3＝a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则．3.2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A. 1.12×108B. 1.12×109C. 1.12×1010D.0.112×1010【答案】B【解析】【分析】科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】1120000000＝1.12×109，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案．【详解】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．5.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A. 14B.13C.12D.23【答案】D【解析】【分析】的利用红球的个数除以球的总个数解答即可．【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝42 423=+．故选：D．【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键．6.x的取值范围是（）A. x＞2B. x≠2C. x≥2D. x≤2【答案】C【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【详解】由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A. 2B. 2.5C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12 CD．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10．又∵CD为中线，∴CD＝12AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝12CD＝2.5．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A.4.50.51y xy x=+⎧⎨=-⎩B.4.521y xy x=+⎧⎨=-⎩C4.50.51y xy x=-⎧⎨=+⎩D.4.521y xy x=-⎧⎨=-⎩【答案】A【解析】【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：12绳子=木条-1，据此列出方程组即可．【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：4.5 0.51 y xy x=+⎧⎨=-⎩，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．.9.如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）A. abc ＜0B. 4ac ﹣b 2＞0C. c ﹣a ＞0D. 当x ＝﹣n 2﹣2（n 为实数）时，y ≥c 【答案】D【解析】【分析】 由图象开口向上，可知a ＞0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0，根据对称轴方程得到b ＞0，于是得到abc ＞0，故A 错误；根据一次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的交点，得到b 2-4ac ＞0，求得4ac -b 2＜0，故B 错误；根据对称轴方程得到b=2a ，当x=-1时，y=a -b+c ＜0，于是得到c -a ＜0，故C 错误；当x=-n 2-2（n 为实数）时，代入解析式得到y=ax 2+bx+c=a （-n 2-2）+b （-n 2-2）=an 2（n 2+2）+c ，于是得到y=an 2（n 2+2）+c ≥c ，故D 正确．【详解】解：由图象开口向上，可知a ＞0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0，又对称轴方程为x ＝﹣1，所以﹣2b a ＜0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误；∴一次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故B 错误； ∵﹣2b a＝﹣1， ∴b ＝2a ，∵当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b+c ＜0，∴a ﹣2a+c ＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长【答案】A【解析】【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF ＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）11.实数8的立方根是_____．【答案】2．【解析】【分析】根据立方根的定义解答.，﹣8的立方根是2．故答案为2．【详解】﹣328【点睛】本题考查立方根的定义，熟记定义是解题的关键.．12.分解因式：2a2﹣18=________﹣【答案】2﹣a+3﹣﹣a﹣3﹣【解析】【分析】先提取公因式2﹣再对余下的多项式利用平方差公式继续分解﹣【详解】2a2﹣18﹣2﹣a2﹣9﹣﹣2﹣a+3﹣﹣a﹣3﹣﹣故答案为2﹣a+3﹣﹣a﹣3﹣﹣【点睛】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解﹣一个多项式有公因式首先提取公因式﹣然后再用其他方法进行因式分解﹣同时因式分解要彻底﹣直到不能分解为止﹣13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是__．【答案】甲【解析】【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．14.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为__cm（结果保留π）．【答案】18π【解析】【分析】根据弧长公式即可得到结论．【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴AB的长＝12027180π⋅⨯＝18π（cm），故答案为：18π．【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．15.如图，﹣O的半径OA＝2，B是﹣O上的动点（不与点A重合），过点B作﹣O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为__．【答案】【解析】【分析】先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得△OBC是等腰直角三角形，当AOC＝90°，连接OB，根据勾股定理可得斜边AC的长，当OAC＝90°，A与B重合，不符合题意．【详解】解：连接OB，∵BC是﹣O的切线，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，当∠AOC＝90°，△OAC是直角三角形时，∴OC OB＝，∴AC当OAC＝90°，A与B重合，不符合题意，故排除此种情况；∴其斜边长为故答案为：【点睛】本题考查切斜的性质、等腰直角三角形的判定及其性质、勾股定理，解题的关键是综合运用所学的知识求出OC．16.如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为__，ba的值为__．【答案】(1). 24(2). ﹣1 3【解析】【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE=S△ADC=S五边形ABCDE-S四边形ABCD=56-32=24，推出S△AOE=S△DEO=12，可得12a-12b=12，推出a-b=24．再证明BC∥AD，证明AD=3BC，推出AT=3BT，再证明AK=3BK即可解决问题．【详解】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y＝bx的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴12a﹣12b＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴BC AD ＝TB TA， ∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝1：3，∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝a ，则AT ＝3a ，AK ＝TK ＝1.5k ，BK ＝0.5k ，∴AK ：BK ＝3：1， ∴AOK BKO S S ＝1212a b -＝13， ∴a b ＝﹣13． 故答案为24，﹣13． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17.（1）计算：（a+1）2+a （2﹣a ）． （2）解不等式：3x ﹣5＜2（2+3x ）．【答案】（1）4a+1；（2）x ＞﹣3【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式计算前一项，再计算单项式乘以多项式，最后相加减即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．【详解】解：（1）()()212a a a ++-＝2221+2a a a a ++-＝41a +；（2）3x ﹣5＜2（2+3x ）去括号得：3x ﹣5＜4+6x ，移项得：3x ﹣6x ＜4+5，合并同类项：﹣3x＜9，系数化1得：x＞﹣3．【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和解一元一次不等式的步骤．18.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）．（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．【点睛】本题考查利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，﹣ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）【答案】（1）68cm；（2）当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．【详解】解：（1）过点A作AH﹣BC于点H，﹣AB＝AC，﹣BH＝HC，在Rt﹣ABH中，﹣B＝47°，AB＝50，﹣BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，﹣BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt﹣ABH中，﹣AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，﹣36.5＞30，﹣当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5【解析】【分析】（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为当y＞0时x的取值范围；（2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3；（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键．21.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？【答案】（1）见解析；（2）144°；（3）这次测试成绩的中位数的等第是良好；（4）估计该校获得优秀的学生有300人【解析】【分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题；（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可；（3）根据中位数的定义判断即可；（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），直方图如图所示：；（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×80200＝144°；（3）这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80分-90分之间，∴这次测试成绩的中位数的等第是良好；（4）1500×40200＝300（人），答：估计该校获得优秀的学生有300人．【点睛】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时【解析】【分析】（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v 千米/小时，最后列出不等式并求解即可．【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得0 1.680 2.6k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：80128 kb=⎧⎨=-⎩，∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h）∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），当y＝200﹣80＝120 时，120＝80x﹣128，解得x＝3.1，5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握待定系数法，并求出函数解析式，根据题意正确列出一元一次不等式．23.【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在﹣ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF ＝12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．【答案】（1）见解析；（2）AD ＝163；（3）﹣2 【解析】【分析】 （1）根据题意证明△ADC ∽△ACB ，即可得到结论；（2）根据现有条件推出△BFE ∽△BCF ，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；（3）如图，分别延长EF ，DC 相交于点G ，先证明四边形AEGC 为平行四边形，再证△EDF ∽△EGD ，可得ED EF EG DE，根据EG ＝AC ＝2EF ，可得DE EF ，再根据DG DEDF EF=，可推出DG，即可求出答案．【详解】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD AC AC AB=，∴AC2＝AD•AB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF BE BC BF=，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝2BFBE＝243=163，∴AD＝163；（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝12∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝12∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴ED EF EG DE=，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE EF，又∵DG DE DF EF=，∴DG，∴DC＝DG﹣CG＝﹣2．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键．24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于﹣O，AD＝BD，四边形ABCD的外角平分线DF交﹣O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是﹣O的直径．﹣求∠AED的度数；﹣若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．。
2020年浙江宁波中考数学试题及答案
2020年浙江宁波中考数学试题及答案一、选择题1.﹣3的相反数为（）A. ﹣3B. ﹣13C.13D. 32.下列计算正确的是（）A. a3•a2＝a6B. （a3）2＝a5C. a6÷a3＝a3D. a2+a3＝a53.2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A. 1.12×108B. 1.12×109C. 1.12×1010D. 0.112×10104.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A. B.C. D.5.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A. 14B.13C.12D.236.x的取值范围是（）A. x＞2B. x≠2C. x≥2D. x≤27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE 中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A. 2B. 2.5C. 3D. 48.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A.4.50.51y xy x=+⎧⎨=-⎩B.4.521y xy x=+⎧⎨=-⎩C.4.50.51y xy x=-⎧⎨=+⎩D.4.521y xy x=-⎧⎨=-⎩9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A. abc＜0B. 4ac﹣b2＞0C. c﹣a＞0D. 当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长二、填空题（每小题5分，共30分）11.实数8的立方根是_____．12.分解因式：2a 2﹣18=________﹣13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x （单位：千克）及方差S 2（单位：千克2）如表所示：明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是__．14.如图，折扇的骨柄长为27cm ，折扇张开的角度为120°，图中AB 的长为__cm （结果保留π）．15.如图，﹣O 的半径OA ＝2，B 是﹣O 上的动点（不与点A 重合），过点B 作﹣O 的切线BC ，BC ＝OA ，连结OC ，AC ．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为__． 16.如图，经过原点O 的直线与反比例函数y ＝a x （a ＞0）的图象交于A ，D 两点（点A 在第一象限），点B ，C ，E 在反比例函数y ＝b x （b ＜0）的图象上，AB ∥y 轴，AE ∥CD ∥x 轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为__，b a 的值为__． 三、解答题（本大题有8小题，共80分）17.（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．18.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，﹣ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．21.某学校开展了防疫知识宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x 均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x ＜70），合格（70≤x ＜80），良好（80≤x ＜90），优秀（90≤x ≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 22.A ，B 两地相距200千米．早上8：00货车甲从A 地出发将一批物资运往B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B 地联系．B 地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地．两辆货车离开各自出发地的路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B 地的速度至少为每小时多少千米？ 23.【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ．的【尝试应用】（2）如图2，在﹣ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF ＝12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 边长．24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ．（2）如图2，四边形ABCD 内接于﹣O ，AD ＝BD ，四边形ABCD 的外角平分线DF 交﹣O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E ．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是﹣O 的直径．﹣求∠AED 度数；﹣若AB ＝8，CD ＝5，求△DEF 的面积．的参考答案1-10 DCBBD CBADA11. 212. 2（a+3）（a ﹣3）13. 甲14. 18π17.（1）4a+1；（2）x ＞﹣3解：（1）()()212a a a ++-＝2221+2a a a a ++-＝41a +；（2）3x ﹣5＜2（2+3x ） 去括号得：3x ﹣5＜4+6x ， 移项得：3x ﹣6x ＜4+5，合并同类项：﹣3x ＜9， 系数化1得：x ＞﹣3．18.（1）见解析；（2）见解析 解：（1）轴对称图形如图1所示． （2）中心对称图形如图2所示．19.（1）68cm ；（2）当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位 解：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB＝AC，∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，∴BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．20.（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3；（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．21.（1）见解析；（2）144°；（3）这次测试成绩的中位数的等第是良好；（4）估计该校获得优秀的学生有300人解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），直方图如图所示：；80（3）这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80分-90分之间，∴这次测试成绩的中位数的等第是良好；答：估计该校获得优秀的学生有300人．22.（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得0 1.680 2.6k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：80128 kb=⎧⎨=-⎩，∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h）∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），当y＝200﹣80＝120 时，120＝80x﹣128，解得x＝3.1，5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AC2＝AD•AB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF2＝BE•BC，（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∴∠EDF＝∠BAC，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE ＝90°，∴∠AED ＝∠DAE ＝45°，②如图3，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠FAC ，∵∠FED ＝∠FAD ，∴∠AED ﹣∠FED ＝∠FAC ﹣∠FAD ，∴∠AEG ＝∠CAD ，∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，45ADAC ， 在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∵∠FDM＝45°，。
2020年宁波中考数学卷答案解析版
答案解析部分一、<b >选择题（每小题4分，共48分）</b>1、【答案】A【考点】无理数【解析】【解答】解：无理数就是无限不循环小数。
无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环；由无理数的定义即可得出答案为A.【分析】根据无理数的定义即可得出答案.2、【答案】C【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和去括号法则【解析】【解答】解：A.a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；B.原式=4a2.故错误；C.原式=a2+3=a5.故正确；D.原式=a6.故错误；故选C。
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，将每个数分别乘方；以及合并同类项法则即可判断正确答案。
3、【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：45万吨=4.5×105吨.故答案为B.【分析】科学计数法的定义：将一个数字表示成a×10n的形式;其中1≤|a|<10,n为整数.由此可得出正确答案. 4、【答案】D【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：依题可得：x-3≥0.∴x≥3.故选D.【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0即可得出答案.5、【答案】D【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：俯视图是指从上往下看所得到的平面图形.由此可得出正确答案.故答案为D.【分析】由俯视图的定义即可选出正确答案.6、【答案】C【考点】概率公式【解析】【解答】解：∵从装有5个红球、2个白球、3个黄球的袋中任意摸出1个球有10种等可能结果，其中摸出的球是黄球的结果有3种，∴从袋中任意摸出1个球是黄球的概率为：.故答案为C.【分析】依题可得共有10种等可能结果，其中摸出的球是黄球的结果有3中，利用概率公式即可得出答案. 7、【答案】D【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵m∥n.∴∠2=∠1+∠ABC.又∵∠1=20°，∠ABC=30°∴∠2=50°.故答案为D.【分析】根据平行线的性质即可得出内错角相等，由题目条件即可得出答案.8、【答案】C【考点】中位数、众数【解析】【解答】解：依题可得：x=7.将这组数据从小到大排列为：2，3，5，7，7.∴中位数为5.故答案为C.【分析】由众数定义求出x值，再根据中位数定义求出中位数.9、【答案】B【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，正方形的判定，切线的性质，弧长的计算【解析】【解答】解：∵O为BC中点.BC=2.∴OA=OB=OC=.又∵AC、AB是⊙O的切线，∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB,∵∠A＝90°.∴四边形ODAE为正方形.∴∠DOE=90°.∴（2r）2+（2r）2=.∴r=1.∴弧DE===.故答案为B.【分析】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE 为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度.10、【答案】A【考点】坐标确定位置，二次函数的性质【解析】【解答】解：∵y=x2-2x+m2+2.∴y=（x-1）2+m2+1.∴顶点坐标（1，m2+1）.∴顶点坐标在第一象限.故答案为A.【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.11、【答案】C【考点】勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如下图）.∵四边形ABCD是边长为6的正方形，BE=4.∴AE=DF=2,CF=BE=4.∴△DGF∽△BGE∴==.∴GF=2,EF=4.又∵M、N、K、H、都是中点，∴MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2,∴MK=OH=1.KH=MO=3∴NO=2.在Rt△MON中，∴MN= == .故答案为C.【分析】取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如上图）；由正方形ABCD是边长和BE 的长可以得出AE=DF=2,CF=BE=4；再由题得到△DGF∽△BGE，利用相似三角形的性质可以求出.GF=2,EF=4；再根据三角形中位线可以得出MO=3，NO=2；利用勾股定理即可得出答案.12、【答案】A【考点】图形的剪拼【解析】【解答]解：依题可得：至少要知道三个小矩形的周长，就可以知道大矩形的长和宽，从而求出大矩形的面积.故答案为A.【分析】由题意就可以知道n=3.二、<b >填空题（每小题4分，共24分）</b>13、【答案】-2【考点】立方根【解析】【解答】解：∵（-2）3=-8.∴−8 的立方根是-2.故答案为-2.【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可.14、【答案】x=1【考点】解分式方程【解析】【解答】解：去分母得：2（2x+1）=3（3-x）.去括号得：4x+2=9-3x.移项得：4x+3x=9-2.合并同类项得：7x=7.系数化为1得：x=1.经检验x=1是分式方程的解.故答案为：x=1.【分析】将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解。
2020年浙江省宁波市中考数学试卷解析版
2020年浙江省宁波市中考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.-3的相反数是（）A. -3B. -C.D. 32.下列计算正确的是（）A. a3•a2=a6B. （a3）2=a5C. a6÷a3=a3D. a2+a3=a53.2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A. 1.12×108B. 1.12×109C. 1.12×109D. 0.112×10104.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A. B.C. D.5.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A. B. C. D.6.在二次根式中，字母x的取值范围是（）A. x＞2B. x＜2C. x≥2D. x≤27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC=8，BC=6，则BF的长为（）A. 2B. 2.5C. 3D. 48.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A. B. C. D.9.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1．则下列选项中正确的是（）A. abc＜0B. 4ac-b2＞0C. c-a＞0D. 当x=-n2-2（n为实数）时，y≥c10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.实数8的立方根是______．12.分解因式：2a2-18=______．13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是______．14.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为______cm（结果保留π）．15.如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为______．16.如图，经过原点O的直线与反比例函数y=（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x 轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a-b的值为______，的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）18.（1）计算：（a+1）2+a（2-a）．（2）解不等式：3x-5＜2（2+3x）．19.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）20.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50cm，∠ABC=47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．22.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？23.【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B．求证：AC2=AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A．若BF=4，BE=3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF，∠EDF=∠BAD，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长．24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A=α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，=，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：-3的相反数是3．故选：D．根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、（a3）2=a6，故此选项错误；C、a6÷a3=a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】B【解析】解：1120000000=1.12×109，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．根据主视图的意义和画法可以得出答案．考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．5.【答案】D【解析】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率==．故选：D．根据概率公式计算．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．6.【答案】C【解析】解：由题意得，x-2≥0，解得x≥2．故选：C．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7.【答案】B【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10．又∵CD为中线，∴CD=AB=5．∵F为DE中点，BE=BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF=CD=2.5．故选：B．利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD．本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．8.【答案】A【解析】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．故选：A．直接利用“绳长=木条+4.5；绳子=木条-1”分别得出等式求出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．9.【答案】D【解析】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x=-1，所以-＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误∵；∴一次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，故B错误；∵-=-1，∴b=2a，∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴a-2a+c＜0，∴c-a＜0，故C错误；当x=-n2-2（n为实数）时，y=ax2+bx+c=a（-n2-2）+b（-n2-2）=an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y=an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C错误；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）+b（-n2-2）=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故D正确．本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=∠A=60°，∴∠GHC+∠HGC=120°，∴∠AHF=∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF=CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE=FH，∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，=（BD+DF+AF）+（CE+BE），=AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF=CH．由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF 的周长=AB+BC，则可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：实数8的立方根是：=2．故答案为：2．根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．12.【答案】2（a+3）（a-3）【解析】解：2a2-18=2（a2-9）=2（a+3）（a-3）．故答案为：2（a+3）（a-3）．首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．13.【答案】甲【解析】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．14.【答案】18π【解析】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长==18π（cm），故答案为：18π．根据弧长公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．15.【答案】2或2【解析】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∵BC=OA，∴OB=BC=2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC=90°，连接OB，∴OC=OB=2，∴AC===2；②当∠OAC=90°时，点A与B重合，∴OC=2，综上所述，其斜边长为2或2，故答案为：2或2．当∠AOC=90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC=90°，根据勾股定理得到AC===2；当∠OAC=90°时，点A与B重合，求得OC=2．本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16.【答案】24 -【解析】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y=的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE=OC，OA=OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE=S△ADC=S五边形ABCDE-S四边形ABCD=56-32=24，∴S△AOE=S△DEO=12，∴a-b=12，∴a-b=24，∵S△AOC=S△AOB=12，∴BC∥AD，∴=，∵S△ACB=32-24=8，∴S△ADC：S△ABC=24：8=1：3，∴BC：AD=1：3，∴TB：TA=1：3，设BT=a，则AT=3a，AK=TK=1.5k，BK=0.5k，∴AK：BK=3：1，∴==，∴=-．故答案为24，-．如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE=S△ADC=S五边形ABCDE-S四边形ABCD=56-32=24，推出S△AOE=S△DEO=12，可得a-b=12，推出a-b=24．再证明BC∥AD，证明AD=3BC，推出AT=3BT，再证明AK=3BK即可解决问题．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：（1）设函数表达式为y=kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y=kx+b，得，解得：，∴y关于x的函数表达式为y=80x-128（1.6≤x≤3.1）；（2）当y=200-80=120时，120=80x-128，解得x=3.1，货车甲正常到达B地的时间为200÷50=4（小时），18÷60=0.3（小时），4+1=5（小时），5-3.1-0.3=1.6（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．【解析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；（2）根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）（a+1）2+a（2-a）=a2+2a+1+2a-a2=4a+1；（2）3x-5＜2（2+3x）3x-5＜4+6x，移项得：3x-6x＜4+5，合并同类项，系数化1得：x＞-3．【解析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；（2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．此题主要考查了一元一次不等式的解法以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．19.【答案】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．【解析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∴BH=HC，在Rt△ABH中，∠B=47°，AB=50，∴BH=AB cosB=50cos47°≈50×0.68=34，∴BC=2BH=68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH=AB sinB=50sin47°≈50×0.73=36.5，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．【解析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．21.【答案】解：（1）把B（1，0）代入y=ax2+4x-3，得0=a+4-3，解得a=-1，∴y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴x=1，B，C关于x=2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，-3），∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y=-（x-4）2+5．【解析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．（2）由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：（1）30÷15%=200（人），200-30-80-40=50（人），直方图如图所示：（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数=360°×=144°．（3）这次测试成绩的中位数是良好．（4）1500×=300（人），答：估计该校获得优秀的学生有300人．【解析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题．（2）根据圆心角=360°×百分比计算即可．（3）根据中位数的定义判断即可．（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE•BC，∴BC==，∴AD=．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC=∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，∵∠EDF=∠BAD，∴∠EDF=∠BAC，∴∠EDF=∠G，又∵∠DEF=∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2=EF•EG，又∵EG=AC=2EF，∴DE2=2EF2，∴DE=EF，又∵，∴DG=，∴DC=DG-CG=5-2．【解析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DE=EF，可求出DG，则答案可求出．此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．24.【答案】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E=∠ECD-∠EBD=（∠ACD-∠ABC）=α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC=180°，又∵∠FDE+∠FDC=180°，∴∠FDE=∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠FDE，∵∠ADF=∠ABF，∴∠ABF=∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵=，∴∠ACD=∠BFD，∵∠BFD+∠BCD=180°，∠DCT+∠BCD=180°，∴∠DCT=∠BFD，∴∠ACD=∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC=2∠BEC，∵∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=2∠BEC，∵∠BFC=∠BEC+∠FCE，∴∠BEC=∠FCE，∵∠FCE=∠FAD，∴∠BEC=∠FAD，又∵∠FDE=∠FDA，FD=FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE=DA，∴∠AED=∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠AED+∠DAE=90°，∴∠AED=∠DAE=45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC=∠EBC=∠ABC=45°，∵∠AED=45°，∴∠AED=∠FAC，∵∠FED=∠FAD，∴∠AED-∠FED=∠FAC-∠FAD，∴∠AEG=∠CAD，∵∠EGA=∠ADC=90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AG=，在Rt△ADE中，AE=AD，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，∴设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，∴x=，∴ED=AD=，∴CE=CD+DE=，∵∠BEC=∠FCE，∴FC=FE，∵FM⊥CE，∴EM=CE=，∴DM=DE-EM=，∵∠FDM=45°，∴FM=DM=，∴S△DEF=DE•FM=．【解析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=90°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
2020年浙江省宁波市中考数学试卷(含解析)印刷版
2020年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）﹣3的相反数为（）A．﹣3B．﹣C．D．32．（4分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a53．（4分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×109D．0.112×10104．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．5．（4分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．6．（4分）二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2B．x≠2C．x≥2D．x≤27．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F 为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．48．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10．（4分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）实数8的立方根是．12．（5分）分解因式：2a2﹣18＝．13．（5分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．（5分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为cm（结果保留π）．15．（5分）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．16．（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为，的值为．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？22．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．2020年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）﹣3的相反数为（）A．﹣3B．﹣C．D．3【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a5【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项错误；C、a6÷a3＝a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．3．（4分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×109D．0.112×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：1120000000＝1.12×109，故选：B．4．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案．【解答】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．5．（4分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式计算．【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．故选：D．6．（4分）二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2B．x≠2C．x≥2D．x≤2【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F 为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．故选：A．9．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b ＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误∵；∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．10．（4分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）实数8的立方根是2．【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．【解答】解：实数8的立方根是：＝2．故答案为：2．12．（5分）分解因式：2a2﹣18＝2（a+3）（a﹣3）．【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3）．故答案为：2（a+3）（a﹣3）．13．（5分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．14．（5分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为18πcm（结果保留π）．【分析】根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长＝＝18π（cm），故答案为：18π．15．（5分）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为2．【分析】当∠AOC＝90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝＝2．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，∴OC＝OB＝2，∴AC＝＝＝2；②当△OAC是直角三角形时，①∠OAC＝90°，此时，点A，B重合（不合题意舍去），故答案为：2．16．（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为24，的值为﹣．【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE ＝S△DEO＝12，可得a﹣b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y＝的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴a﹣b＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴＝，∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，∴BC：AD＝1：3，∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，∴AK：BK＝3：1，∴＝＝，∴＝﹣．故答案为24，﹣．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；（2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．【解答】解：（1）（a+1）2+a（2﹣a）＝a2+2a+1+2a﹣a2＝4a+1；（2）3x﹣5＜2（2+3x）3x﹣5＜4+6x，移项得：3x﹣6x＜4+5，合并同类项，系数化1得：x＞﹣3．18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，∴BH＝AB cos B＝50cos47°≈50×0.68＝34，∴BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．（2）由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．【解答】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴x＝1，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？【分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题．（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．（3）根据中位数的定义判断即可．（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），直方图如图所示：（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°．（3）这次测试成绩的中位数是良好．（4）1500×＝300（人），答：估计该校获得优秀的学生有300人．22．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；（2）根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）当y＝200﹣80＝120时，120＝80x﹣128，解得x＝3.1，货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE•BC，求出BC，则可求出AD．（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DE＝EF，可求出DG，则答案可求出．【解答】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠F AD，证明△FDE ≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x＝，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠F AC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠F AC，∵∠FED＝∠F AD，∴∠AED﹣∠FED＝∠F AC﹣∠F AD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE•FM＝．。
2020年宁波中考数学卷答案解析版
2020年宁波中考数学卷答案解析版答案解析部分一、选择题（每小题4分，共48分）1、【答案】A【考点】无理数【解析】【解答】解：无理数就是无限不循环小数。
无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环；由无理数的定义即可得出答案为A.【分析】根据无理数的定义即可得出答案.2、【答案】C【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和去括号法则【解析】【解答】解：A.a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；B.原式=4a2.故错误；C.原式=a2+3=a5.故正确；D.原式=a6.故错误；故选C。
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，将每个数分别乘方；以及合并同类项法则即可判断正确答案。
3、【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：45万吨=4.5×105吨.故答案为B.【分析】科学计数法的定义：将一个数字表示成a×10n的形式;其中1≤|a|<10,n为整数.由此可得出正确答案. 4、【答案】D 【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：依题可得：x-3≥0.∴x≥3.故选D.【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0即可得出答案.5、【答案】D【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：俯视图是指从上往下看所得到的平面图形.由此可得出正确答案.故答案为D.【分析】由俯视图的定义即可选出正确答案.6、【答案】C【考点】概率公式【解析】【解答】解：∵从装有5个红球、2个白球、3个黄球的袋中任意摸出1个球有10种等可能结果，其中摸出的球是黄球的结果有3种，∴从袋中任意摸出1个球是黄球的概率为：.故答案为C.【分析】依题可得共有10种等可能结果，其中摸出的球是黄球的结果有3中，利用概率公式即可得出答案. 7、【答案】D 【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵m∥n.∴∠2=∠1+∠ABC.又∵∠1=20°，∠ABC=30°∴∠2=50°.故答案为D.【分析】根据平行线的性质即可得出内错角相等，由题目条件即可得出答案.8、【答案】C【考点】中位数、众数【解析】【解答】解：依题可得：x=7.将这组数据从小到大排列为：2，3，5，7，7.∴中位数为5.故答案为C.【分析】由众数定义求出x值，再根据中位数定义求出中位数.9、【答案】B【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，正方形的判定，切线的性质，弧长的计算【解析】【解答】解：∵O为BC中点.BC=2.∴OA=OB=OC=.又∵AC、AB是⊙O的切线，∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB,∵∠A＝90°.∴四边形ODAE为正方形.∴∠DOE=90°.∴（2r）2+（2r）2=.∴r=1.∴弧DE===.故答案为B.【分析】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE 为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度.10、【答案】A【考点】坐标确定位置，二次函数的性质【解析】【解答】解：∵y=x2-2x+m2+2.∴y=（x-1）2+m2+1.∴顶点坐标（1，m2+1）.∴顶点坐标在第一象限.故答案为A.【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.11、【答案】C【考点】勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如下图）.∵四边形ABCD是边长为6的正方形，BE=4.。
2020年浙江省宁波市中考数学试题及参考答案(word解析版)
宁波市2020年初中学业水平考试数学试题（满分为150分，考试时间为120分钟）试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．﹣3的相反数为（）A．﹣3 B．﹣C．D．32．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a53．2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×109D．0.112×10104．如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．5．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．6．二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．48．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长试题卷Ⅱ二、填空题（每小题5分，共30分）11．实数8的立方根是．12．分解因式：2a2﹣18＝．13．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙45 45 42S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为cm（结果保留π）．15．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B 作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．16．如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为，的值为．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（本题8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．18．（本题8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）19．（本题8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）20．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．21．（本题10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？22．（本题10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？23．（本题12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．24．（本题14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．答案与解析试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．﹣3的相反数为（）A．﹣3 B．﹣C．D．3【知识考点】相反数．【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．【解题过程】解：﹣3的相反数是3．故选：D．【总结归纳】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【解题过程】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项错误；C、a6÷a3＝a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×109D．0.112×1010【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解题过程】解：1120000000＝1.12×109，故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案．【解题过程】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．【总结归纳】考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．5．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．【知识考点】概率公式．【思路分析】根据概率公式计算．【解题过程】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．故选：D．【总结归纳】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．6．二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤2【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解题过程】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．【总结归纳】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F 为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【知识考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理．【思路分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解题过程】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．【总结归纳】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【知识考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【思路分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．【解题过程】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【知识考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【解题过程】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误∵；∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．【总结归纳】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【知识考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【思路分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．【解题过程】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．试题卷Ⅱ二、填空题（每小题5分，共30分）11．实数8的立方根是．【知识考点】立方根．【思路分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．【解题过程】解：实数8的立方根是：＝2．故答案为：2．【总结归纳】此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．12．分解因式：2a2﹣18＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解题过程】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3）．故答案为：2（a+3）（a﹣3）．【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．13．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙45 45 42S2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．【知识考点】算术平均数；方差．【思路分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．【解题过程】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．【总结归纳】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．14．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为cm（结果保留π）．【知识考点】弧长的计算．【思路分析】根据弧长公式即可得到结论．【解题过程】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长＝＝18π（cm），故答案为：18π．【总结归纳】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．15．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC ＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．【知识考点】勾股定理；切线的性质．【思路分析】当∠AOC＝90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝＝2．【解题过程】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，∴OC＝OB＝2，∴AC＝＝＝2；②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝∠OAC＝90°，∵BC＝OA＝OB，∴△OBC是等腰直角三角形，∴，故答案为：2或2．【总结归纳】本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16．如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为，的值为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得a﹣b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x 轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y＝的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴a﹣b＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴＝，∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，∴BC：AD＝1：3，∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，∴AK：BK＝3：1，∴＝＝3，∴＝﹣3．故答案为24，﹣3．【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（本题8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．【知识考点】单项式乘多项式；完全平方公式；解一元一次不等式．【思路分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；（2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．【解题过程】解：（1）（a+1）2+a（2﹣a）＝a2+2a+1+2a﹣a2＝4a+1；（2）3x﹣5＜2（2+3x）3x﹣5＜4+6x，移项得：3x﹣6x＜4+5，合并同类项，系数化1得：x＞﹣3．【总结归纳】此题主要考查了一元一次不等式的解法以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（本题8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【知识考点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案．【思路分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．【解题过程】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．【总结归纳】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（本题8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）【知识考点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用．【思路分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．【解题过程】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，∴BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．【总结归纳】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．20．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【知识考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【思路分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．（2）由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．【解题过程】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴x＝1，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．【总结归纳】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（本题10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．【思路分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题．（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．（3）根据中位数的定义判断即可．（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解题过程】解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），直方图如图所示：（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°．（3）这次测试成绩的中位数是良好．（4）1500×＝300（人），答：估计该校获得优秀的学生有300人．【总结归纳】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（本题10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【知识考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；（2）根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．【解题过程】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）当y＝200﹣80＝120时，120＝80x﹣128，解得x＝3.1，由图可甲的速度为＝50（千米/小时），货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．【总结归纳】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．23．（本题12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE•BC，求出BC，则可求出AD．（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DE＝EF，可求出DG，则答案可求出．【解题过程】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．【总结归纳】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．24．（本题14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC ＝90°，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x＝，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．。
2020年浙江省宁波市中考数学试卷(含详细解析)
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
22．A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
A．2B．2.5C．3D．4
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A． B．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
21．某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
19．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．
2020宁波中考数学试卷解析
1、若一个矩形的长是宽的1.5倍，且其面积为27，则矩形的周长为？A、18B、24C、30（答案）D、36解析：设矩形的宽为x，则长为1.5x，由面积公式得1.5x×x=27，解得x=3（负值舍去），所以长为4.5，周长为2(长+宽)=2(4.5+3)=30。
2、若一个等差数列的首项为a1，公差为d，且a3=10，a5=14，则a7的值为？A、16B、18（答案）C、20D、22解析：由等差数列的性质得，a3=a1+2d=10，a5=a1+4d=14，两式相减得2d=4，解得d=2，代入a3=a1+2d=10得a1=6，所以a7=a1+6d=6+6×2=18。
3、若一个三角形的两边长分别为5和8，且第三边长为奇数，则第三边的最大可能长度为？A、9B、11（答案）C、13D、15解析：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以5+8>第三边>8-5，即13>第三边>3，且第三边为奇数，所以第三边的最大可能长度为11。
4、若一个圆的半径为r，且其内接正六边形的面积为24√3，则圆的面积为？A、12πB、24πC、36π（答案）D、48π解析：圆内接正六边形可以划分为6个等边三角形，每个三角形的面积为(√3/4)r²，所以6个三角形的面积为6×(√3/4)r²=24√3，解得r=2√3，所以圆的面积为πr²=36π。
5、若一个等比数列的前n项和为Sn，且S4=15，S8=255，则S12的值为？A、4095（答案）B、4096C、4097D、4098解析：等比数列的前n项和Sn，S4，S8-S4，S12-S8也构成等比数列，即15，240，S12-255成等比数列，所以240+(S12-255)=240×16，解得S12=4095。
6、若一个正方体的表面积为96，则它的体积为？A、8C、32D、64（答案）解析：正方体的表面积为6a²=96，解得a=4（负值舍去），所以正方体的体积为a³=4³=64。