2021年高考数学三模试卷(理科)
2021年高考数学三模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一上·天水期中) 设全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁UB=（）
A . {x|0≤x＜1}
B . {x|0＜x≤1}
C . {x|x＜0}
D . {|x＞1}
2. （2分）已知集合，则集合A的元素个数为（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 无数个
3. （2分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）
A . -4
B . -3
C . -2
D . -1
4. （2分）(2017·三明模拟) 已知命题p1：若sinx≠0，则sinx+ ≥2恒成立；p2：x+y=0的充要条件是 =﹣1，则下列命题为真命题的是（）
A . p1∧p2
B . p1∨p2
C . p1∧（￢p2）
D . （￢p1）∨p2
5. （2分）(2019·鞍山模拟) 某班男生与女生各一组进行古诗词默写比赛，两组每个同学得分的茎叶图如图所示，男生组和女生组得分的平均数分别为，标准差分别为、，则（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）设tan（α+β）= ，tan（β﹣）=﹣，则tan（α+ ）的值是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2017·沈阳模拟) 数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，，则S2017=（）
A . 22018﹣1
B . 22018+1
C . 22017﹣1
D . 22017+1
8. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示．若输入m=98，n=63，则输出的m=（）
A . 7
B . 28
C . 17
D . 35
9. （2分） (2016高一下·西安期中) 给出下面的三个命题：①函数的最小正周期是；
②函数在区间上单调递增；③ 是函数的图象的一条对称轴．其中正确的命题个数（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
10. （2分） (2017高二下·南昌期末) 某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）
A . 3
B . 6
C . 9
D . 18
11. （2分）如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）设f（x）是定义在R上的奇函数，在（﹣∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）
A . {x|﹣2＜x＜0或x＞2}
B . {x|x＜﹣2或0＜x＜2}
C . {x|x＜﹣2或x＞2}
D . {x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高二下·潍坊期末) 已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x﹣2），当x∈（0，1）时，f （x）=3x ，则f（）=________．
14. （1分）(2018·天津) 在的展开式中，的系数为________
15. （1分）(2018·茂名模拟) 若实数满足约束条件则的所有取值的集合是________．
16. （1分） (2018高二下·溧水期末) 已知数列是递增的等比数列且，设是
数列的前项和，数列前项和为，若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是________．
三、解答题 (共7题；共65分)
17. （10分） (2016高三上·嘉兴期末) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2= ab．
（1）求cos 的值；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．
18. （10分）(2017·重庆模拟) 如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求证：AC⊥FB
（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．
19. （10分）(2012·全国卷理) 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）
求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（2）
ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．
20. （10分） (2019高二上·长治月考) 已知点的坐标为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线与点的轨迹交于两点，求的面积的最大值．
21. （15分） (2016高二下·泗水期中) 已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（1）当a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求实数a的取值范围．
22. （5分） (2017高二下·洛阳期末) 在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3．（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线C1与曲线C2相交于A，B两点，点M（1，0），求||MA|﹣|MB||．
23. （5分）(2017·鄂尔多斯模拟) 已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤ ；
（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、
19-2、20-1、20-2、
21-1、21-2、
21-3、
22-1、23-1、。
新疆2021版高考数学三诊试卷(理科)C卷
新疆2021版高考数学三诊试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·全国Ⅰ卷文) 已知集合U= ，A= ，B= 则 =（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二上·长春期末) 如果复数（，为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为（）A . 1B . -1C . 3D . -33. （2分）如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于D方格的数字的概率为（）A BC DA .B .C .D .4. （2分）(2018·许昌模拟) 已知等比数列{ }中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为（）A . 2B . 2C .D .5. （2分）已知i是虚数单位，则=（）A . 1-2iB . 2-iC . 2+iD . 1+2i6. （2分） (2016高二上·惠城期中) 如图是计算1+ + +…+ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A . i＞10B . i＜10C . i＞20D . i＜207. （2分）如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A . 3B . 6C . 12D . 248. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二下·瑞安期末) 若函数＝sinxcosx,x∈R,则函数的最小值为（）A .B .C .D . -110. （2分） (2015高二上·柳州期末) 如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， |F1F2|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 311. （2分）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A . 27πB . 9πC . 3πD . π12. （2分） (2016高二下·抚州期中) 函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A . 极大值5，极小值﹣27B . 极大值5，极小值﹣11C . 极大值5，无极小值D . 极小值﹣27，无极大值二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为________．14. （1分）(2019高一上·永春月考) 若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数b的取值范围是________．15. （1分） (2015高二下·椒江期中) 若（n∈N*）的二项展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为________．16. （1分） (2019高二下·海安月考) 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，，，若存在常数对任意正整数都有，则 ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高一下·汕头期末) 在凸四边形中，．（1）若，，，求的大小．（2）若，且，求四边形的面积．18. （10分） (2018高三上·大连期末) 甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.(注：方差，其中为的平均数）19. （10分）(2016·连江模拟) 如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2的菱形，AC⊥CB，BC=1．（1）证明：AC1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．20. （10分） (2020高二上·天河期末) 在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为 .（1）求的方程；（2）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足，若平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过点？并说明理由.21. （10分） (2019高一上·南昌月考) 已知函数的最小值为，，（1）求的表达式；（2）若，求a及此时的最大值.22. （10分） (2016高三上·清城期中) 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ= （p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．23. （10分） (2020高三上·潮州期末) 设函数（1）证明：；（2）若，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2021年北京市海淀区高考数学三模试卷【含答案】
2021年北京市海淀区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{6}B．{1，6}C．{2，3}D．{1，4，5，6}【分析】由并集运算求得A∪B，再由补集运算得答案．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}，又U＝{1，2，3，4，5，6}，∴∁U（A∪B）＝{6}．故选：A．【点评】本题考查并集、补集及其运算，是基础题．2．（4分）若z为纯虚数，且满足（z+m）i＝2﹣i（m∈R），则m＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出m的值．【解答】解：∵（z+m）i＝2﹣i（m∈R），∴z＝﹣m＝﹣1﹣m﹣2i，∵z为纯虚数，∴﹣1﹣m＝0⇒m＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）若b＜a＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＜a2C．|a|＞|b|D．【分析】可举例，令b＝﹣2、a＝﹣1，可判断ABC；利用基本不等式可判断D．【解答】解：根据题意可令b＝﹣2、a＝﹣1，则＜，ab＞a2，|a|＜|b|，∴ABC错；∵b＜a＜0，∴，＞0且，∴+＞2＝2，∴D对．故选：D．【点评】本题考查不等式基本性质，考查数学运算能力及推理能力．4．（4分）若函数f（x）＝lg（x+a）的图象经过抛物线y2＝8x的焦点，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】求得抛物线的焦点坐标，代入函数f（x）＝lg（x+a）即可．【解答】解：抛物线的焦点为（2，0），则f（2）＝lg（2+a）＝0，解得a＝﹣1故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．5．（4分）已知双曲线的焦距为10，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】由已知求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：由题意，2c＝10，得c＝5，又由双曲线方程可得a＝4，则b＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，是基础题．6．（4分）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质和判定定理进行判断或举反例说明．【解答】解：不妨设α∩β＝l，对于A，若m⊂α且m∥l，则m∥β，故A错误；对于B，若m，n与l相交且不垂直，交点分别为M，N，显然m与n不一定垂直，故B错误；对于C，若m⊥β，则m⊂α或m∥α，又m⊄α，故m∥α，故C正确；对于D，由面面垂直的性质可知当n⊂β时才有n⊥α，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．7．（4分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，点P在直线y＝x+3上，线段AB为圆C的直径，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】将转化为，再由圆心到直线的距离求解．【解答】解：∵线段AB为圆C的直径，∴C为AB的中点，则＝，从而||＝，||的最小值为圆心C到直线y＝x+3的距离，等于．∴的最小值为2×．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查平面向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若∀n∈N*，S n≤S7，则数列{a n}的通项公式可能是（）A．a n＝3n﹣15B．a n＝17﹣3n C．a n＝n﹣7D．a n＝15﹣2n【分析】由题意得,然后结合选项即可判断．【解答】解：因为∀n∈N*，S n≤S7，所以,A:a n＝3n﹣15,a8＞0不符合题意；B：a n＝17﹣3n,a7＜0不符合题意；C:a n＝n﹣7,a8＞0不符合题意；D:a n＝15﹣2n,a8＜0,a7＞0符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．9．（4分）“0＜m≤1”是函数f（x）＝满足：对任意的x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据分段函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵当0＜m≤1时，g（x）＝﹣1在（1，+∞）上递减，h（x）＝﹣x+1在（﹣∞，1]递减，且g（1）≤h（1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上递减，∴任意x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）”∴充分性成立；若m＜0，g（x）在（1，+∞）上递增，h（x）在（﹣∞，1]上递减，g（x）＜0，h（x）≥0，∴任意x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）”，必要性不成立，∴0＜m≤1”是函数f（x）＝满足：对任意的x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及分段函数的性质是解决本题的关键．10．（4分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中所有正确结论的编号为（）A．①③B．②③C．②④D．①④【分析】根据题意，依次分析4个结论是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个结论：对于①，因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sin x﹣sin（πx）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，①正确．对于②，假设存在周期T，则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sin x+sinπx，sin（x+T）﹣sin x＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]，所以sin•cos＝﹣sin•cos①，存在x0∈R，使得cos＝0，而cos≠0，将x0∈R，﹣sin•cos＝0，由于cos≠0，故﹣sin＝0，所以sin＝0，sin＝0，＝kπ，＝mπ，k，m∈Z，所以kπ＝m，矛盾，所以函数f（x）＝sin x+sin（πx），没有周期，②错误．对于③，f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程2sin cos＝0，x＝或x＝x∈（0，π）x＝，，，所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确．对于④，f（x）＝sin x+sin（πx），若sin x＝1，则x＝2kπ+，k∈Z，若sin（πx）＝1，则x＝2k+，k∈Z，x＝2kπ+，k∈Z和x＝2k+，k∈Z两者不会同时成立，即y＝sin x和y＝sin（πx）不可能同时成立，故f（x）的最大值不是2，④错误；则四个命题中正确的为①③；故选：A．【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及命题真假的判断，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共30分。
2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)
2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)2021年普通高等学校招生全国统一考试全国三卷理科数学（word版附答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1，2?，则A1．已知集合A??x|x?1≥0?，B??0，A．?0?B．?1?B?2? C．?1，1，2? D．?0，2．?1?i??2?i?? A．?3?iB．?3?iC．3?i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是14．若sin??，则cos2??3A．5 B．7 9 C．?7 9 D．?8 92??5．?x2??的展开式中x4的系数为x??A．10 B．20 C．402 D．806．直线x?y?2?0分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆?x?2??y2?2上，则△ABP面积的取值范围是6? A．?2，8? B．?4，?C．??2，32??D．??22，32?7．函数y??x4?x2?2的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P?X?4??P?X?6?，则p? A．0.7C．0.4D．0.3a2?b2?c29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若△ABC的面积为，则C?4ππππA． B． C． D．2346C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积10．设A，B，为93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为 A．123B．183C．243D．543x2y2b?0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F211．设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a?0，ab作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1?6OP，则C的离心率为 A．5B．2C．3D．212．设a?log0.20.3，b?log20.3，则A．a?b?ab?0B．ab?a?b?0C．a?b?0?ab D．ab?0?a?b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=?1,2?，b=?2,?2?，c=?1,λ?．若c∥?2a+b?，则??________．1?处的切线的斜率为?2，则a?________． 14．曲线y??ax?1?ex在点?0，π??π?的零点个数为________． 15．函数f?x??cos?3x??在?0，6??1?和抛物线C：y2?4x，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两16．已知点M??1，点．若∠AMB?90?，则k?________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）a5?4a3．等比数列?an?中，a1?1，（1）求?an?的通项公式；（2）记Sn为?an?的前项和．若Sm?63，求m． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：第一种生产方式第二种生产方式超过m 不超过m （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?，P?K2≥k? 0.050 0.010 19．（12分）3.841 0.001 6.635 10.828 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）x2y2已知斜率为的直线与椭圆C：??1交于A，B两点，线段AB的中点为43M?1，m??m?0?．1（1）证明：k??；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）已知函数f?x???2?x?ax2?ln?1?x??2x．（1）若a?0，证明：当?1?x?0时，f?x??0；当x?0时，f?x??0；（2）若x?0是f?x?的极大值点，求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）?x?cos?，⊙O的参数方程为?在平面直角坐标系xOy中，（为参数），过点0，?2y?sin????且倾斜角为?的直线与⊙O交于A，B两点．（1）求?的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．选修4―5：不等式选讲]（10分）设函数f?x??2x?1?x?1．（1）画出y?f?x?的图像；???，f?x?≤ax?b，求a?b的最小值．（2）当x∈?0，参考答案：1 C2 D3 A4 B5 C6 A7 D8 B9 C 10 B 11 C 12 B感谢您的阅读，祝您生活愉快。
黑龙江省2021版高考数学三模试卷(理科)(I)卷
黑龙江省2021版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设集合，，若,则a的值是（）A . －1B . 0C . 1D . 1或－12. （2分）(2017·临川模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足i•z=（1﹣2i）2 ，则|z|的值为（）A . 2B . 3C .D . 53. （2分）某班学生父母年龄的茎叶图如图，左边是父亲年龄，右边是母亲年龄，则该班同学父亲的平均年龄比母亲的平均年龄大（）A . 2.7岁B . 3.1岁C . 3.2岁D . 4岁4. （2分） (2016高二上·成都期中) 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A . （￢p）∨qB . p∧qC . （￢p）∧（￢q）D . （￢p）∨（￢q）5. （2分）设且满足，则的最小值等于（）．A . 2B . 3C . 9D . 116. （2分）某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A .B .C .D .7. （2分）(2019·郑州模拟) 已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数的一个单调递减区间为A .B .C .D .8. （2分） 25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（）A . 60种B . 100种C . 300种D . 600种9. （2分） (2016高一下·赣州期中) 在△ABC中，B=30°，AB=2 ，AC=2，那么△ABC的面积是（）A . 2B .C . 2 或4D . 或210. （2分）若关于x的不等式x3﹣3x+3+a≤0恒成立，其中﹣2≤x≤3，则实数a的最大值为（）A . 1B . ﹣1C . ﹣5D . ﹣21二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2015高三上·苏州期末) 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为________12. （1分） (2016高二上·右玉期中) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC= ，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线BF与平面BB1C1C所成的角为________13. （1分） (2016高一上·浦东期中) 若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2017高二上·绍兴期末) 设F1 ， F2分别为椭圆 +y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5 ；则点A的坐标是________．15. （1分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣4）]=________三、解答题 (共6题；共55分)16. （5分） (2017高三下·岳阳开学考) 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）= sin •cos +cos2 ，求f（B）的取值范围．17. （15分）(2013·四川理) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；（2）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i （i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610 (21001027376697)乙的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大；（3）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．18. （5分）(2017·昆明模拟) 如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=PC=1，，E为线段PD上一点，且PE=2ED．（Ⅰ）若F为PE的中点，证明：BF∥平面ACE；（Ⅱ）求点P到平面ACE的距离．19. （10分）(2020·盐城模拟) 若有穷数列共有项，且，，当时恒成立.设 .（1）求，；（2）求 .20. （10分）(2016·湖南模拟) 已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．21. （10分）(2019·山西模拟) 已知正项等比数列的前项和为，且， . （1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)第三次高考模拟训练试题及答案解析一
最新东北三省四市教研联合体高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i3．已知函数f（x）=，则f（a）的值不可能为（）A．2016 B．0 C．﹣2 D．4．设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5 B．7 C．8 D．155．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；（2）若n⊥α，m⊥β，且n⊥m，则α⊥β；（3）若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；（4）若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．46．在边长为2的等边三角形△ABC中，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．C．D．47．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．458．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=﹣3与抛物线交于点M，|MF|=5，则抛物线的标准方程是（）A．y2=2x B．y2=18xC．y2=x D．y2=2x或y2=18x9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取一点M，则满足∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形12．已知函数f（x）=|ln|x﹣1||+x2与g（x）=2x有n个交点，它们的横坐标之和为（）A．0 B．2 C．4 D．8二.填空题13．设a为非零常数，已知（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x2项的系数是______．14．在椭圆=1上有两个动点M，N，K（3，0）为定点，•=0，则•最小值为______．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，侧视图是直角三角形，且三棱锥的外接球表面积为8π，则三棱锥的高为______．16．已知数列{2n•a n}的前n项和为，若存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m的取值范围是______．三.解答题17．函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．18．如表为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩（单位：分）甲102 126 131 118 127乙96 117 120 119 135（1）试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定？（不用计算，给出结论即可）（2）若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进行分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平面PBC所成角的余弦值为？20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试比较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n ∈Z，n≥2）的大小．选做题[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD为⊙O的切线，过A作CD的垂线，垂足为D，交⊙O于F．（1）求证：AC为∠DAB的角平分线；（2）过C作AB的垂线，垂足为M，若⊙O的直径为8，且OM：MB=3：1，求DF•AD的值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点，且|AM|、|MN|、|AN|成等比数列．（1）求抛物线C的方程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的面积的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log2（2a+2b）﹣m≥．参考答案与试题解析一、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】子集与真子集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A∪B={1，2，3}，由此能求出集合A∪B的真子集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A∪B={1，2，3}，∴集合A∪B的真子集个数为23﹣1=7．故选：A．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：依题z2=﹣2+i，从而，于是=﹣3﹣4i，故选：C．3．已知函数f（x）=，则f（a）的值不可能为（）A．2016 B．0 C．﹣2 D．【考点】函数的值．【分析】由分段函数分类讨论以确定函数的值域，从而确定答案．【解答】解：①当x＞0时，f（x）=x（x+4）＞0，②当x≤0时，f（x）=x（x﹣4）≥0，故f（x）≥0，故f（a）的值不可能为﹣2，故选C．4．设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5 B．7 C．8 D．15【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．【解答】解：S3==，a3==，∴=7．故选：B．5．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；（2）若n⊥α，m⊥β，且n⊥m，则α⊥β；（3）若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；（4）若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面位置关系的性质和判定定理进行分析或举出反例，属于中档题．【解答】解：对于（1），设α∩β=l，则当m∥l，m⊂β时，结论不成立，故（1）错误．对于（2），设m，n的方向向量分别是，则分别为平面β，α的法向量，∵m⊥n，∴的夹角为90°，∴平面α与β所成二面角为直角，即α⊥β．故（2）正确．对于（3），∵α⊥β，m⊥β，∴m∥α，或m⊂α．又m⊄α，∴m∥α．故（3）正确．对于（4），假设α，β不平行，则α，β相交，设交线为l，∵m⊂α，m∥β，α∩β=l，∴m∥l，同理：n∥l，∴m∥n，与m，n是异面直线矛盾．∴假设错误，即α∥β．故（4）正确．故选：C．6．在边长为2的等边三角形△ABC中，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．C．D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，再计算•．【解答】解：∵=3，∴==，∴==+，∴则•=（+）=+=+=．故选：A．7．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=﹣3与抛物线交于点M，|MF|=5，则抛物线的标准方程是（）A．y2=2x B．y2=18xC．y2=x D．y2=2x或y2=18x【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得|MF|=5=x M+，解得x M=5﹣＞0，把M代入抛物线方程解出即可得出．【解答】解：由题意可得|MF|=5=x M+，解得x M=5﹣＞0，∴M代入抛物线方程可得：（﹣3）2=2p，化为：p2﹣10p+9=0，解得p=1或9．∴抛物线的标准方程是y2=2x或y2=18x．故选：D．9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取一点M，则满足∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意通过圆和三角形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，∴B1C1=2，∴四边形ABC1D1为正方形，其面积为2×2=4，以AB为底边，向正方形外作顶角为90°的等腰三角形，以等腰三角形的顶点O为圆心，OA 为半径作圆，根据圆周角相关定理，弧AB所对的圆周角为135°．即当M取圆O与ABC1D1的公共部分（弓形），∠AMB必大于135°其中AB=2，OA=，S阴影=π（）2﹣××=﹣1，故所求的概率为=，故选：B．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由∠BAD+∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到剩下的两角相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在三角形ABD和三角形ADC中，分别根据正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等角对等边可得AD=BD=CD，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC为直角三角形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，又D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，又D为BC中点，∴BD=CD，∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，∴2α=2β或2α+2β=180°，∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD或AD⊥CD，∴∠BAC=90°或AB=AC，∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．故选D12．已知函数f（x）=|ln|x﹣1||+x2与g（x）=2x有n个交点，它们的横坐标之和为（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】函数的图象．【分析】令f（x）=g（x）得出|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函数图象，根据函数图象的对称性得出零点的和．【解答】解：令f（x）=g（x），即|ln|x﹣1||+x2=2x，∴|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，分别作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函数图象，如图所示：显然函数图象有4个交点，设横坐标依次为x1，x2，x3，x4，∵y=|ln|x﹣1||的图象关于直线x=1对称，y=﹣x2+2x的图象关于直线x=1对称，∴x1+x4=2，x2+x3=2，∴x1+x2+x3+x4=4．故选C．二.填空题13．设a为非零常数，已知（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x2项的系数是﹣72 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】在已知二项式中取x=1，结合展开式中各项系数和为3求得a值，然后求出（1﹣2x）4的展开式中含x项与含x3的项，与（x+）中对应的项作积得答案．【解答】解：∵（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，∴（1+2）（1﹣a）4=3，解得a=2（a≠0）．∴（x+）（1﹣ax）4 =（x+）（1﹣2x）4，（1﹣2x）4的展开式中所含x项为，含x3的项为．∴（x+）（1﹣2x）4的展开式中x2项的系数是1×（﹣8）+2×（﹣32）=﹣72．故答案为：﹣72．14．在椭圆=1上有两个动点M，N，K（3，0）为定点，•=0，则•最小值为9 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】M在椭圆=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），可得•=•=﹣=（6cosα﹣3）2+（3sinα）2=9（cosα﹣2）2，利用三角函数的单调性值域与二次函数的单调性即可得出．【解答】解：M在椭圆=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则•=•=﹣==（6cosα﹣3）2+（3sinα）2=36cos2α﹣36cosα+9+27sin2α=9cos2α﹣36cosα+36=9（cosα﹣2）2，令cosα=t∈[﹣1，1]，则f（t）=9（t﹣2）2﹣9∈[9，18]．∴当cosα=1，sinα=0时，即取M（6，0），•最小值为0．故答案为：9．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，侧视图是直角三角形，且三棱锥的外接球表面积为8π，则三棱锥的高为 2 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】确定三视图直观图的现状，求出底面外接圆的半径，三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的高．【解答】解：由三视图可知该几何体是底面是边长为的等边三角形，有一侧棱垂直于底面，底面外接圆的半径为1，∵三棱锥的外接球表面积为8π，∴三棱锥的外接球的半径为设三棱锥的高为h，则∴h=2．故答案为：2．16．已知数列{2n•a n}的前n项和为，若存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m的取值范围是．【考点】数列的求和．【分析】由+…+2n a n=，利用递推关系可得：n≥2时，；n=1时，a1=﹣1．通过作差可得数列的单调性．【解答】解：∵+…+2n a n=，∴n≥2时，+…+2n﹣1a n﹣1=，可得：2n a n=﹣=n﹣2，∴，n=1时，a1=﹣1．∴a n=．∵n=1时，a1=﹣1，a2=0．n≥2时，a n+1﹣a n=﹣=，∴n=2时，a2＜a3；n=3时，a3=a4；n≥4时，a n+1＜a n，因此：a1＜a2＜a3=a4＞a5＞…，∴当n=3或4时，a n取得最大值，a3=a4=．∵存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m．故答案为：．三.解答题17．函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．（2）由条件利用正弦函数的最值以及周期性，求得|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）由题意A=1，将点（0，）代入解得，，再根据，结合0＜ϖ＜4，所以ϖ=2，．将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数的图象．（2）函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1=2sin（2x+），故函数的周期T=π．对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），故|x1﹣x2|的最小值为．18．如表为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩（单位：分）甲102 126 131 118 127乙96 117 120 119 135（1）试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定？（不用计算，给出结论即可）（2）若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进行分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩统计表得甲同学的数学考试成绩更稳定．（II）X的取值为0.1.2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（I）由甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩统计表得到甲的成绩较集中，∴甲同学的数学考试成绩更稳定．…（II）X的取值为0.1.2，…，，，…X的分布列如下：X 0 1 2P…∴EX=++=．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平面PBC所成角的余弦值为？【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由CD⊥AD，CD⊥PA得出CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面ABCD；（2）取AD的中点O，BC中点E，连接PO，OE．设OP=h，AB=1，以O为原点建立空间坐标系求出和平面PBC的法向量，令|cos＜，＞|=解出h，即可得出λ=的值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又CD⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）取AD的中点O，BC中点E，连接PO，OE．则OE⊥AD．∵PA=AD，∴PO⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD∴PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，以OA，DE，OP为坐标轴，建立空间直角坐标系如图所示：设PO=h，AB=1．则A（，0，0），P（0，0，h），B（，1，0），C（﹣，1，0）．∴=（，0，﹣h），=（﹣1，0，0），=（﹣，﹣1，h）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则．∴，令z=1得=（0，h，1）．∴cos＜＞==．∵直线PA与平面PBC所成角的余弦值为，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．∴=，解得，∴PA==，∴λ==．20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用代入法求点D的轨迹E的方程；（2）设直线MN的方程为x=ty+2a联立得y2﹣4aty﹣8a2=0，利用韦达定理，证明＜0，即可得出结论．【解答】解：（1））设D（x，y），P（m，n）…所以…又（m+2a）2+n2=4a2…所以所求方程为x2+y2=a2…（2）轨迹E与x轴正半轴的交点F（a，0）…抛物线C的方程为y2=4ax…设，，设直线MN的方程为x=ty+2a联立得y2﹣4aty﹣8a2=0，则…所以…所以坐标原点在以MN为直径的圆内…21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试比较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n∈Z，n≥2）的大小．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），求出a的值即可；（2）求出g（x）的表达式，根据放缩法比较大小即可．【解答】解：（1）…由题意因为f'（0）=1﹣a=0…（所以a=1…（2）．…先证当x＞1时，lnx＜x﹣1令h（x）=lnx﹣x+1．…所以h（x）在（1，+∞）上单调递减所以h（x）＜h（1）=0所以当x＞1时．…∴=…选做题[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD为⊙O的切线，过A作CD的垂线，垂足为D，交⊙O于F．（1）求证：AC为∠DAB的角平分线；（2）过C作AB的垂线，垂足为M，若⊙O的直径为8，且OM：MB=3：1，求DF•AD的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）连接OC，运用圆的切线的性质和两直线平行的判定和性质，由内角平分线的定义，即可得证；（2）由AC⊥BC，CM为斜边AB上的高，运用直角三角形的射影定理，结合圆的切割线定理，即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：连接OC，CD为⊙O的切线，可得OC⊥CD，又AD⊥CD，可得OC∥AD，所以∠CAD=∠ACO，又OC=OA，所以∠CAO=∠ACO，所以∠CAO=∠CAD所以AC为∠DAB的角平分线．（2）由题意⊙O的直径为8，OM：MB=3：1，可得OM=3，MB=1，由AC⊥BC，CM为斜边AB上的高，可得CM2=AM•MB=7，又AC=AC，∠CAO=∠CAD，所以Rt△ACB≌Rt△ACD，所以CD=CM，又CD2=DF•DA，而CD2=7．所以DF•DA=7．[选修4-4坐标系与参数方程]23．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点，且|AM|、|MN|、|AN|成等比数列．（1）求抛物线C的方程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）直线MN的参数方程是（t为参数），代入抛物线方程求抛物线C的方程，利用参数的几何意义，结合|AM|、|MN|、|AN|成等比数列，建立方程求出p，即可求抛物线C的方程；（2）利用抛物线的极坐标方程，确定S，即可求△OEF的面积的最小值．【解答】解：（1）直线MN的参数方程是（t为参数）…代入抛物线方程得所以|AM|•|AN|=32+8p……解得p=1所以抛物线方程为y2=2x…（2）抛物线的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，…设，……所以…当时，即所求面积取得最小值4…[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log2（2a+2b）﹣m≥．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式，结合f（x）的最小值为1．求实数m的值；（2）利用基本不等式，即可证明结论．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|+|x+m|≥|2﹣m|，当且仅当（x+2）（x﹣m）≤0时取等号…所以|2﹣m|=1，…因为m＜2，所以解得m=1…证明：（2）∵2a＞0，2b＞0，∴2a+2b≥，∴log2（2a+2b）﹣m≥log2（）﹣1=．…2016年9月28日。
2021-2022年高考数学三模试卷(理科)
xx.5一．填空题（本大题共有14题，每小题4分，满分56分）将结果填写在题目的横线上．1．设集合，，则___________． 2．已知向量，，且，则_________． 3．函数的定义域是______________．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是 _________________．５．在等差数列中，若公差，且，，成等比数列，则公比________． ６．若关于的方程有且仅有一个实数根，则实数________．8．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 4cos )(ππx x x f 的图像上相邻两个对称中心的距离是___________． 9．在极坐标系中，将圆（）的圆心绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的极坐标方程 为___________________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的，第10题则输出的结果为．11．已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．12．某班从名班干部（其中男生人，女生人）中选人参加学校学生会的干部竞选．设所选人中女生人数为，则随机变量的方差___________．13．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则________________．14．已知集合是满足下列两个条件的函数的全体：①在定义域上是单调函数；②在的定义域内存在闭区间，使在上的值域为．若函数，，则实数的取值范围是________________．二．选择题（本大题共有4题，每小题5分，满分20分）请将正确选项的字母填写在题后括号内．15．若函数的定义域是，则“”是“为奇函数”的…………（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件16．抛物线的焦点坐标是…………………………………………………………（）A． B． C． D．17．已知是△内的一点，且，，若△，△和△的面积分别为，，，则的最小值是…………………（）A ．B ．C ．D ．18．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=4,24140,|log |)(4x x x x x f ，若、、的值互不相等，且，则的取值范围是……………………………………………（ ）A ．B ．C ．D ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．设复数，，其中为虚数单位，，且． （1）求的值；（2）设，求121)(-++++=n t t t t f （）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分在三棱锥中，面，，，，、分别是和的中点． （1）求三棱锥的体积；（2）求二面角的大小（用反三角函数值表示）．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分EDCABF火山喷发后，会在喷发区及周边地区地面上堆积起大量火山灰．在一次火山喷发停止后对地面火山灰的堆积量进行测量，设定距离喷口中心内的圆形区域为第区，距离喷口中心至的圆环形区域为第区，距离喷口中心至的圆环形区域为第区，…，距离喷口中心至的圆环形区域为第区…．测得第区火山灰堆积重量平均为，第区火山灰每平方米的平均重量比第区减少，第区比第区又减少，…，依此类推（题中,表示长度单位米，表示重量单位千克）．（1）若第区平均每平方米火山灰的堆积重量为（），写出的表达式；（2）第几区内的火山灰的总重量最大？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分如图，已知椭圆的左右焦点分别为、，椭圆的下顶点为，点是椭圆上任意一（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）当圆的面积为时，求所在直线的方程；（3）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切．请写出你的探究过程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3小题满分7分已知，且，且，函数．（1）如果实数、满足，，试判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）设，，判断函数在上的单调性并加以证明；（3）若，，且，问函数的图像是不是轴对称图形？如果是，求出函数图像的对称轴；如果不是，请说明理由．嘉定区xx高三年级第三次质量调研数学试卷（理科）参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有14题，每小题4分，满分56分）1．；2．；3．；4．；５．；６．；７．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．．二．选择题（本大题共有4题，每小题5分，满分20分） 15．B ； 16．C ； 17．B ； 18．D ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）因为，所以，，即，……（2分） 所以，……（3分） 由得，所以或，即或．……（5分）（2）①当时，，ii i i i t f n n--=++++=111)(2，……（8分）（）时，；时，；当，时，；当时，．……（9分）（此处分类讨论不做扣1分） ②当时，，2)1(1)1(1111)(1nn t f --=-++-+-=- ，……（12分）当为奇数时，；当为偶数时，．（此处分类讨论不做不扣分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分解：（1）以为原点，以、、所在直线 分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．EDCA BF则，，，……（2分） ，因为平面，所以平面的 一个法向量为，……（3分） ，即三棱锥的高为，……（4分）因为点是的中点，所以△△，……（5分） 所以三棱锥的体积△．……（7分）（2），，设平面一个法向量为，则，，从而，，即，……（9分） 取，则，．……（10分）设二面角的大小为，由图形可知是锐角， 所以．……（11分）因此，二面角的大小为．……（12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）由题意，组成以为首项，以为公比的等比数列，……（4分）所以．……（6分） （2）设第区的面积为，则)12(2500})]1(50[)50{(22-⋅=--⋅=n n n b n ππ，……（8分）则第区内火山灰的总重量为1)98.0()12(25001000-⋅-⋅=⋅n n n n b a π，……（10分） 设，若最大，则有，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅+≥⋅-⋅-≥⋅----nn n n n n n n )98.0()12()98.0()12()98.0()32()98.0()12(121，解得，即，……（13分）所以．即第区内的火山灰总重量最大．……（14分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的端轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或， …………（2分） 圆的方程为或． ……（4分） 解法二：设，因为圆过原点，所以，所以，所以，，点 ………（1分）于是点的坐标为或， …………（2分） 圆的方程为或． ……（4分） （少一个解扣1分）（2）设圆的半径为，由题意，，，所以 …（5分） 设，则． ………………………………………（6分）联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1221)1(21212121y x y x ，解得（舍去）， ……………………（7分）所以点或． ………………………（8分） 所以或， …………………………（9分） 所以直线的方程为或 ………………（10分） 注：直线方程也可写成其他形式，如：与等． 少一个解，得4分．（3）以原点为圆心，为半径的定圆始终与圆相内切．定圆的方程为． ……………………………………（12分） 探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为， 因为r PF PF PF MO -=-=-==2||212|)|22(21||21||121，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切． ……………………………（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3小题满分7分解：（1）由已知，，于是，则，……（1分）若是偶函数，则，即，所以对任意实数恒成立，所以．……（3分）若是奇函数，则，即)(x x x x a k a a k a --⋅+-=⋅+，所以对任意实数恒成立，所以．……（5分）综上，当时，是偶函数；当时，奇函数，当，既不是奇函数也不是偶函数．………………（6分）（2）因为，，所以函数是增函数，减函数，由知，或是增函数，所以函数在于是增函数．……（8分）证明如下：设、且，则1122)()(12x x x x b k a b k a x f x f ⋅--⋅+=-)()(1212x x x x b b k a a -+-=因为，，，，所以，，所以，所以函数在 是增函数．…………（11分）（3），若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，则函数是偶函数，即对任意实数，，……（14分）)()(2222x m x m x m x m k k +-+---⋅+=⋅+，化简得0)22)(22(=⋅----m m x x k ，……（16分）因为上式对任意成立，所以，．……（17分）所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．……（18分）35160 8958 襘20956 51DC 凜24082 5E12 帒 40518 9E46 鹆32927 809F 肟&u30526 773E 眾23997 5DBD 嶽40349 9D9D 鶝39902 9BDE 鯞35884 8C2C 谬{。
2020-2021学年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析
四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x03．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．489．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为42×=6．故选：C．2．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是：“∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0”，故选：D．3．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=0.6﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．9．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1﹣x，x∈（3m，3m+1]，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，因为当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，所以f（）=3﹣，则f（x）=…=3m f（）=3m+1﹣x，且y=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）：因为函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x﹣1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，，所以k的范围是[，3），故选：D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO==．故答案为：．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．【解答】解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|===，即为10=16﹣，解得n=12．故答案为：12．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，可得：a+b=1．（a＞﹣1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，∴+b﹣1=0，化为：a+b=1（a＞﹣1，b＞0）．∴+=（a+1+b）=≥=，当且仅当a=2﹣3，b=4﹣2时取等号．故答案为：．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，①当x=时，f（）==﹣2，=2，故f（x）＞不成立，故①不正确；=时，f（）=＜0，tan=1，故存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立，故②正②当x确；③则函数f（x）=与y轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y′=，设切点为（x0，lnx0），∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x0=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得：=，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴，∵G，H分别为AC，BC的中点．，∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，∵AB⊄平面GHF，HF⊂平面GHF，∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，又AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABED，∴平面ABED∥平面GHF．解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，又FC⊥底面ABC，∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z），，=（﹣，），由，取x=2，得=（2，2），cos＜＞===，由图形得二面角A﹣DE﹣F的平面角是钝角，∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为﹣．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，∴P（A）=，解得n=2，∴m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，∴P（B）=1﹣=．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过3S n+a n﹣3=0与3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0作差，进而可知数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3S n+a n﹣3=0计算可知b n=﹣n﹣1，裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n+a n﹣3=0，∴当n=1时，3S1+a1﹣3=0，即a1=，又∵当n≥2时，3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0，∴3a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1，∴数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式a n=•=3•；（2）由（1）可知，1﹣S n+1=a n+1=，∴b n==﹣n﹣1，∵==﹣，∴T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣，由T n≥可知，﹣≥，化简得：≤，解得：n≥2016，故满足条件的n的最小值为2016．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x﹣2）2+y2，化简得y2=4x，∴动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x．（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ=．所以，直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，记k2+=t∵k2+≥2，∴t≥2，∴|PQ|2=4[（t+）2﹣]，∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；（2）根据已知条件将其转化成，+x1＞+x2，且x1＞x2，构造辅助函数F（x）=﹣（m﹣1）x﹣1，求导，分离变量求得m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=e x（x2+ax﹣2a﹣3），a∈R．∴g′（x）=e x[x2+（a+2）x﹣a﹣3]，=a（x﹣1）（x+a+3），当a=﹣4时，g′（x）=a（x﹣1）2≥0，∴g（x）在R上单调递减，当a＞﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜﹣a﹣3或x＞1，∴g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得﹣a﹣3＜x＜1，∴g（x）在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞﹣a﹣3，∴g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得1＜x＜﹣a﹣3，∴g（x）在（1，﹣a﹣3）上单调递减，综上所述：当a=﹣4时，g（x）在R上单调递减；当a＞﹣4时，g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减．（2）h（x）=f（x）﹣mx2﹣x=e x﹣mx2﹣x，，∴x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1），∴﹣＞x2﹣x1，不等式﹣＞x2﹣x1，等价于+x1＞+x2，且x1＞x2，记F（x）==﹣（m﹣1）x﹣1，∴F（x）在[，2]上单调递增，F′（x）=﹣（m﹣1）≥0在x∈[，2]上恒成立，m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，记P（x）=+1，∴P′（x）=＞0，∴P（x）在[，2]上单调递增，P（x）min=P（）=1﹣2．∴实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣2]．。
河北省2021年高考数学三模试卷(理科)C卷
河北省2021年高考数学三模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={y|y=}，B={y|y=（）x ， x＞1}，则A∩B=（）A . （0，）B . （,1）C . （0，1）D . ∅2. （2分）复数等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=（2x+1）er+1+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）≤0．则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·福建模拟) 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·山东模拟) 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为16，20，则输出的a=（）A . 0B . 2C . 4D . 146. （2分） (2017高二上·哈尔滨月考) 若双曲线－＝1（）的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）如果一个几何体的三视图是如图所示（单位：cm）则此几何体的表面积是（）A .B . 22cm2C .D .8. （2分） (2019高三上·浙江月考) 如图，对应此函数图象的函数可能是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·吉林模拟) 已知f（x）= sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+ ）+g（）=（）A . 4B . 3C . 2D .10. （2分）已知（1﹣2x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10 ，则a1+2a2+3a3+…+10a10=（）A . ﹣20B . ﹣15C . 15D . 2011. （2分）(2020·丽江模拟) 已知函数，则函数的大致图象是（）A .B .C .D .12. （2分）有下列说法：①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确的说法的序号有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2017·南京模拟) 在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD的面积为________．14. （1分） (2016高一下·安徽期末) 已知数列{an}满足a1=2，an+1an=an﹣1，则a2016值为________．15. （1分） (2019高三上·西安月考) 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点，若 ,则直线的斜率为________．16. （1分） (2019高二上·金华月考) 已知矩形，，，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是________．三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2017高一下·怀仁期末) 已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）令，求数列的前项和．18. （10分） (2020高二下·化州月考) 自2017年2月底,90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章,某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的100名学生作为调查对象,对是否准备参加2017年的自主招生考试进行了问卷调查,其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表:准备参加不准备参加待定男生30615女生15925（1）在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取20人进行座谈交流,则在“准备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人?（2）在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取6人,从这6人中任意抽取2人,求至少有一名女生的概率.19. （5分）斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长为a，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB1A1垂直于底面．（Ⅰ）判断B1C与AC1是否垂直，并证明你的结论；（Ⅱ）求三棱柱的全面积．20. （10分）(2017·包头模拟) 已知F1、F2分别是椭圆C： +y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，• =﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．21. （10分） (2021高三上·烟台期中) 某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。
2020-2021学年天津市高考数学三模试卷(理科)及答案解析
天津市高考数学三模试卷（理科）一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．12．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．24．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x ﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x8的系数是______（用数字作答）．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为______cm3．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是______．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为______．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为______．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为______．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵=i，∴1+z=i﹣zi，则（1+i）z=﹣1+i，∴，∴|z|=1．故选：D．2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】设z=，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，），此时z=×1+=2，故选：C3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，利用对数的运算法即可得解．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得S=0，n=3执行循环体，M=，S=log2=2﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log2+log2=log25﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5，M=，S=log2+log2+log2=log26﹣log23，…不满足条件S∈Q，执行循环体，n=11，M=，S=log212﹣log23=log24=2，满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为2．故选：D．4．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】运用圆的切线的性质和切割线定理，求得BD=2，再由勾股定理，求得AB，AC的值，再由切割线定理，可得CB2=CE•CA，即可得到所求值．【解答】解：由AB⊥BC，可得DB为切线，由切割线定理可得，BD2=DF•DA，由AF=3，FD=1，可得BD2=1×（1+3）=4，解得BD=2，在直角三角形ABD中，AB===2，在直角三角形ABC中，AC===2，由BC为切线，可得CB2=CE•CA，即有16=（2﹣AE）•2，解得AE=．故选：B．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（2，0），所以双曲线中，c=2，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以=2c，c2=a2+b2=4，解得a=2+，双曲线的离心率e==1+．故选：B．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】函数的值．【分析】可得f（m）=2m+2﹣m=3，2m＞2，从而化简比较大小．【解答】解：∵f（m）=2m+2﹣m=3，m＞0，∴2m=3﹣2﹣m＞2，∴b=2f（m）=2×3=6，a=f（2m）=22m+2﹣2m=（2m+2﹣m）2﹣2=7，c=f（m+2）=2m+2+2﹣m﹣2=4•2m+2﹣m＞8，∴b＜a＜c；故选D．8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x ﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）【考点】分段函数的应用；函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=f（x﹣1）的图象，可得y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，求出函数图象交点为4个时的临界值，可得答案．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴函数y=f（x﹣1）的图象如下图所示：y=k（x﹣2）+表示过（2，）点斜率为k的直线，由图可得：y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，当k=时，直线y=k（x﹣2）+过原点，此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；当k=6﹣时，直线y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象抛物线部分相切，此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；故当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，k∈（，6﹣），故选：C．二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x8的系数是（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为6+cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r=．利用球的体积计算公式与三棱柱的体积计算公式．【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r==1．∴该几何体的体积=13+=+6．故答案为：6+．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即可化为直角坐标方程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|﹣r，|CA|+r]．【解答】解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．可得圆心C（0，1），半径r=1．则|CA|=．则|PA|的取值范围是．故答案为：．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为．【考点】几何概型．【分析】欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴在边长为1的正方形OABC内取一点M，点M恰好落在阴影内部的概率为．故答案为：．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为．【考点】余弦定理．【分析】在△ABD中使用正弦定理求出∠ADB，得出∠ABD，从而得出∠ABC，∠ACB，再在△ABC 中使用正弦定理计算BC．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理得，即，解得sin∠ADB=．∴∠ADB=45°，∴∠ABD=15°，∠ABC=30°．∴∠C=30°，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=．故答案为：．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，求出•关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（2，2），B（2，0），M（2﹣2λ，0），N（0，2﹣）．∴=（﹣2λ，﹣2），=（﹣2，）．∴•=4λ﹣=4λ+1+﹣5﹣5=﹣1．当且仅当4λ+1=即λ=时取等号．故答案为：﹣1．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f（x），由此得到最值与周期．（2）由f（x）解析式得到单调增减区间，由此得到在[，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，=cosxsinx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣，=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期为T=π，f（x）的最大值为1﹣．（2）由（1）可知，f（x）在[﹣，]上的单调递增，在[，]上的单调递减，而[，]⊆[﹣，]，[，]⊆[，]．∴函数f（x）在[，]上的单调递增，在[，]上的单调递减．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，由事件A与事件B为对立事件，能求出该顾客获奖概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，∵事件A与事件B为对立事件，∴该顾客获奖概率为P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）3=．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，P（X=﹣10）=（）3=，P（X=10）==，P（X=20）=，P（X=30）=（）3=，∴X的分布列为：X ﹣10 10 20 30P∴E（X）=+10×++30×=﹣．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面PAC．（Ⅱ）求出平面PAC的一个法向量，设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|，由此能求出AD与平面PAC所成角的正切值．（Ⅲ）设存在点E，且，求出平面ADE的一个法向量和平面PDE的法向量，由此能求出存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．【解答】证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（，，0），P（0，0，2），=（，，0），=（0，0，2），设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），则，则，取y=﹣1，得=（），∵=（，﹣，0）=，∴∥，∴BC⊥平面PAC．解：（Ⅱ）∵D为PB的中点，D（0，1，1），∴=（0，1，1），∵平面PAC的一个法向量为=（），设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴cosθ==，tanθ==，∴AD与平面PAC所成角的正切值为．（Ⅲ）设存在点E，且，则，∴E（），D（0，2λ，2﹣2λ），λ∈（0，1），∴=（），=（，0），设平面ADE的一个法向量为=（a，b，c），则，取y=1，得=（），设平面PDE的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=，得=（），∵二面角A﹣DE﹣P为直二面角，∴==0，解得，∴存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意M（），从而得a=，由此能求出椭圆的离心率．（Ⅱ）由a=b，得直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由此能求出椭圆E的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为，∴M（），整理，得a=，∴c==2b，∴椭圆的离心率e===．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=b，则直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由线段NS的中点T的坐标为（，），∵点T在直线AB上，且k NS•k AB=﹣1，∴，解得，∴a=3，∴椭圆E的方程为=1．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，由b3=6+b2．可得b3﹣b2=6．由数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，n≥2时，利用递推关系可得：a n=，可得a3==8．利用等比数列的通项公式可得a n．进而得到b n．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，利用等比数列的前n项和公式及其}的前n项和为S n．“裂项求和”方法可得数列{cn（ii）n≤4时，c n＞0．当n≥5时，c n=＜0，即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵b3=6+b2．∴b3﹣b2=6．∵数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，∴n≥2时，a1a2…a n﹣1=，可得：a n=，∴a3===8．又a1=2，∴8=2q2，解得q=2（﹣2舍去）．∴a n=2×2n﹣1=2n．∴（）=21+2+…+n=，∴b n=n（n+1）．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣=﹣．（ii）c1=0，c2=，c3=，c4=﹣=．当n≥5时，c n=．由﹣=＜0，∴c n＜0．若S k≥S n恒成立，∴k=4．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）e x，y′=（x+1）（x+2）e x，令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴函数y=f（x）•g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，而x=﹣2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，因为﹣（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以﹣（e x+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，因为e x﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．。
2021年河南省开封市高考数学三模试卷(理科)(附答案详解)
2021年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·河南省开封市·模拟题)已知集合A={x||x−12|<12}，B={x|0<x<a}，若A⊆B，则实数a的范围是()A. (0,1)B. (0,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)2.(2021·河南省开封市·模拟题)设复数z满足|z|=|z−i|=1，且z的实部大于虚部，则z=()A. √32−12i B. √32+12i C. 12−√32i D. 12+√32i3.(2021·河南省开封市·模拟题)“方程x2m−1−y2m+2=1表示双曲线”的一个必要不充分条件为()A. m∈(−∞,−1)∪(1,+∞)B. m∈(−∞,−2)∪(1,+∞)C. m∈(−∞,−2)D. m∈(1,+∞)4.(2021·甘肃省武威市·模拟题)2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是()A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理化学、历史D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5.(2021·江西省九江市·模拟题)已知sin2αsinα=√22，则cos2α=()A. −78B. −34C. 34D. 06.(2021·河南省开封市·模拟题)(a−x)(1+x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a=()7. (2021·河南省开封市·模拟题)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)e |x|(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωϕ=( )A. 12B. 1C. 2D. 2π8. (2021·河南省开封市·模拟题)某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论： ①体积可能是56； ②体积可能是23；③AB 和CD 在直观图中所对应的棱所成的角为π3； ④在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对． 其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④9. (2021·河南省开封市·模拟题)若2a =5b =z c ，且1a +1b =1c ，则z 的值可能为( )A. √7B. √10C. 7D. 1010. (2021·河南省开封市·模拟题)如图，A ，B ，C 是半径为1的圆周上的点，且∠BAC =π3，AB +AC =√6，则图中阴影区域的面积为( )A. π3 B. π6C. π3+√34 π√311. (2021·河南省开封市·模拟题)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动(不重复)，且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为( )A. 126B. 360C. 600D. 63012. (2021·河南省开封市·模拟题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0).若椭圆C 上存在一点P ，使得sin∠PF 2F1sin∠PF 1F 2=ca ，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A. (0,√22)B. (0,√2−1)C. (√2−1,1)D. (√22,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·河南省开封市·模拟题)已知{a n }为等差数列，且3a 5=2a 7，则a 1= ______ ． 14. (2021·河南省开封市·模拟题)已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，若|b ⃗ |=1，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______ ．15. (2021·河南省开封市·模拟题)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x 2+1x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线y =x 的距离的最小值是______ ．16. (2021·河南省开封市·模拟题)农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”.如图，是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为______ ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·河南省开封市·模拟题)已知数列{a n }满足a 1=−2，a n+1=2a n +4．(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式并加以证明； (3)求数列{|a n |}的前n 项和S n ．18. (2021·河南省开封市·模拟题)如图，在四棱锥P −ABCD中，AB//CD ，且∠BAP =∠CDP =90°． (1)证明：AD ⊥CD ；(2)已知CD =PD =4，AB =AD =3，∠ADP =90°.在棱AB 上是否存在一点E ，使得平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为√33？若存在，求出AEEB 的值，若不存在，请说明理由．19. (2021·河南省开封市·模拟题)人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0−25dB(分贝)，并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀.某班50名同学都参加了听力测试，将所得测试值制成如图频率分布直方图：(1)现从测试值在区间(0,10]内的同学中任意抽取4人，其中听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；(2)现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4.测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a 1，a 2，a 3，a 4(其中a 1，a 2，a 3，a 4为1，2，3，4的一个排列).记Y =|1−a 1|+|2−a 2|+|3−a 3|+|4−a 4|，可用Y 描述被测试者的听力偏离程度，求Y ≤2的概率．20. (2021·河南省开封市·模拟题)已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2)． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB|=15，线段AB 的中点M 在直线x =1上． (ⅰ)求直线l 的方程；(ⅰ)证明：|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，并求该数列的公差．21. (2021·河南省开封市·模拟题)已知函数f(x)=lnxmx 2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m =2，对于任意x 1>x 2>0，证明：(x 12⋅f(x 1)−x 22⋅f(x 2))⋅(x 12+x 22)>22. (2021·河南省开封市·模拟题)已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(0,2)，若直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求|PA|+|PB|的取值范围．23. (2021·河南省开封市·模拟题)已知函数f(x)=|x −12|，g(x)=|x −1|．(1)求函数y =f(x)+g(x)的最小值；(2)已知θ∈[0,2π)，求关于θ的不等式f(sinθ)+g(cosθ)>52的解集．答案和解析1.【答案】D【知识点】集合的基本关系【解析】解：因为集合A={x||x−12|<12}={x|0<x<1}，又B={x|0<x<a}，当A⊆B，则有a≥1．故选：D．先利用含有绝对值的不等式的解法求出集合A，然后由子集的定义求解即可．本题考查了集合子集的理解和应用，涉及了含有绝对值的不等式的解法，属于基础题．2.【答案】B【知识点】复数的模【解析】解：设z=a+bi，(a,b∈R)，∵复数z满足|z|=|z−i|=1，∴√x2+y2=1，√x2+(y−1)2=1，即x2+y2=1，x2+y2−2y=0，解得y=12，x=±√32，∵z的实部大于虚部，∴x=√32，∴z=√32+12i，故选：B．设z=a+bi，(a,b∈R)，由复数z满足|z|=|z−i|=1，利用模的计算公式可得关于x，y的方程组，进而得出结论．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断、双曲线的性质及几何意义【解析】解：方程x2m−1−y2m+2=1为双曲线时，(m+2)(m−1)>0∴m∈(−∞,−2)∪(1,+∞)，“方程x2m−1−y2m+2=1表示双曲线”的一个必要不充分条件为m∈(−∞,−1)∪(1,+∞)．故选：A．利用双曲线的定义求出m的范围，再根据子集的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件的判断，考查了双曲线的定义，属于基础题．4.【答案】C【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】【分析】本题考查对图表数据的分析，进行判断，属于基础题．根据图表进行选项判断，可知C错误．【解答】解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物(物理)，C选项错，故选：C．5.【答案】B【知识点】二倍角公式及其应用【解析】【分析】由已知结合二倍角正弦公式进行化简可求cosα，然后结合二倍角余弦公式即可求解．本题主要考查了二倍角正弦及余弦公式，属于基础题．【解答】解：因为sin2αsinα=√22=2sinαcosαsinα，所以cosα=√24，则cos2α=2cos2α−1=2×18−1=−34．故选：B．6.【答案】B【解析】解：∵(a−x)(1+x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，设f(x)=(a−x)(x+1)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6+a6x7，令x=1，则f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(a+1)(1−1)5=64(a−1)，①令x=−1，则f(−1)=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7=(a−1)(−1−1)5=0；②①−②得，2(a1+a3+a5+a7)=64(a−1)，∴a1+a3+a5+a7=32(a−1)=64，解得a=3，故选：B．设出解析式，给展开式中的x分别赋值1，−1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．本题考查了二项式展开式的系数问题，可设出解析式，用赋值法代入特殊值，相加或相减即可，属于中档题．7.【答案】C【知识点】函数图象的作法、函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：由f(0)=0得：4cosφ=0，又0<φ<π，∴φ=π2，由图象可知，y=4cos(ωx+π2)的周期为2，∴T=2πω=2，∴ω=π，∴ωϕ=ππ2=2，故选：C．由f(0)=0，0<φ<π，可求得φ=π2，由图象可知，y=4cos(ωx+π2)的周期为2，可求得ω，从而可得答案．本题考查由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式，考查识图与运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由三视图可画出直观图如下图：如图1，V=13−13×12×1×1×1=56，故①正确；如图2，V=13−2×13×12×1×1×1=23，故②正确；如上图，AB和CD在直观图中所对应的棱分别为EF和FG，由△EFG为正三角形，可知AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为π3，故③正确；如上图，平面ABCD//平面B1C1D1，面ADD1//面BCC1B1，面ABB1//面DCC1D1，面AB1D1//面BC1D，故④正确，故选：D．根据三视图画出直观图后即可对四个选项逐一进行判断．本题考查了空间位置关系及其判断、简易逻辑的判定方法，考查了了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设2a=5b=z c=k，则a=log2k，b=log5k，c=log z k，∴1a +1b=1log2k+1log5k=log k2+log k5=log k(2×5)=log k10=1c=log k z，∴z=10，故选：D．设2a=5b=z c=k，转化为对数式即可解决此题．本题考查对数式与指数式互化、导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．10.【答案】A【知识点】弧长公式与扇形面积公式【解析】解：取圆心为O，连结OA，OB，OC，BC，因为∠BAC=π3，所以∠BOC=2π3，则∠OBC=∠OCB=π6，所以BC=2BOcosπ6=√3，在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cosπ3=(AC+AB)2−3AC⋅AB，因为AB+AC=√6，所以3=(√6)2−3AC⋅AB，解得AC⋅AB=1，所以S△ABC=12⋅AC⋅AB⋅sinπ3=√34，S△OBC=12⋅OB⋅OC⋅sin2π3=√34，扇形OBC的面积为S=12⋅2π3×12=π3，所以图中阴影区域的面积为S△ABC+S扇形OBC −S△OBC=√34+π3−√34=π3．故选：A．取圆心为O，连结OA，OB，OC，BC，在△ABC中，由余弦定理求出AC⋅AB，然后求出△ABC，△OBC以及扇形OBC的面积，即可得到答案．本题考查了扇形面积公式的运用，余弦定理的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．11.【答案】D【知识点】排列、组合的综合应用【解析】解：第一类，上下午共安排4个活动(上午2个，下午2个)分配给甲，乙，故有A62A42=360种，第二类，上下午共安排3个活动，(上午2个下午1个，或上午1个下午2个)分配给甲，乙，故有A62A41A21=240第三类，上下午共安排2个活动，(上午1个，下午1个)分配给甲，乙，故有A62=30种，根据分类计数原理，共有360+240+30=630种．故选：D．由题意，根据场次需要分三类，第一类，上下午共安排4个活动，第二类，上下午共安排3个活动，第三类，上下午共安排2个活动，根据分类计数原理可得．本题考查分类和分步计数原理，关键是分类，类中有步，属于中档题．12.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：在△PF1F2中，由正弦定理知sin∠PF2F1sin∠PF1F2=|PF1||PF2|，∵sin∠PF2F1 sin∠PF1F2=ca，∴|PF1||PF2|=ca=e，即|PF1|=e|PF2|，①又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a，②联立①②得|PF2|=2ae+1∈(a−c,a+c)，即a−c<2ae+1<a+c，同除以a得，1−e<2e+1<1+e，得√2−1<e<1．∴椭圆C的离心率的取值范围为(√2−1,1)．故选：C．在△PF1F2中，利用正弦定理、椭圆的定义及已知条件可得|PF2|=2ae+1，再由|PF2|∈(a−c,a+c)，即可求解椭圆的离心率的取值范围．本题考查椭圆的离心率的取值范围，考查正弦定理、椭圆的定义的应用，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】0【知识点】等差数列的通项公式【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a5=2a7，得2a5+a5=2(a5+2d)，则a5=4d；又a5=a1+4d，所以a1=0．故答案为：0．令{a n}是以d为公差的等差数列，又3a5=2a7，可得2a5+a5=2(a5+2d)，那么a5= 4d；又根据a5=a1+4d即可确定a1的值．本题主要考查等差数列的通项，考查运算求解能力，属于简单题．14.【答案】1【知识点】向量的数量积【解析】解：∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ −|b⃗ |2=0，∵|b⃗ |=1，∴a⃗⋅b⃗ =1，∴a⃗在b⃗ 方向上的投影为：|a⃗|cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=11=1，故答案为：1．利用向量垂直与数量积的关系，可推得a⃗⋅b⃗ =1，再结合向量的投影公式，即可求解．本题考查了向量垂直与数量积的关系、以及向量之间的投影问题，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．15.【答案】√22【知识点】导数的几何意义、点到直线的距离公式【解析】解：原问题可转化为曲线在点P处与直线y=x平行的切线，与直线y=x之间的距离，因为y=x2+1x ，所以y′=2x−1x2，因为在点P的切线与直线y=x平行，所以y′=2x−1x2=1(x>0)，所以x=1，将其代入曲线方程，得y=1+1=2，即点P的坐标为(1,2)，所以点P到直线y=x的距离的最小值是d=√2=√22．故答案为：√22．原问题可转化为曲线在点P处与直线y=x平行的切线，与直线y=x之间的距离，再结合导数的运算法则求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式，得解．本题考查利用导数研究函数的切线方程问题，点到直线的距离，熟练掌握导数的运算法则和点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】9√228√6 27π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为3，如图，在棱长为3的正四面体S−ABC中，取BC的中点D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则AD=SD=3√32,OD=13AD=√32,SO=√SD2−OD2=√6，∴该六面体的体积为V=2V S−ABC=2×13×12×3×3√32×√6=9√22，当该六面体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，∵SO×OD=SD×OE，∴OE=SO×ODSD =√6×√323√32=√63，∴该球体积的最大值为V=4π3×(√63)3=8√627π．故答案为：9√22；8√627π．画出几何体的图形，取BC中点D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，然后求解六面体的体积，当该六面体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为O，且该球与SD相切，求出球的半径即可求得此时的体积．本题考查六面体体积以及球的体积计算，解题关键是求出正四面体的高SO以及利用截面将空间问题平面化，从而找到并求出半径OE，考查空间想象能力及运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由已知，易得a2=0，a3=4，a4=12．(2)猜想a n=2n−4．因为a n+1=2a n+4，所以a n+1+4=2(a n+4)，a n+1+4a n+4=2，则{a n+4}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以a n+4=2n，所以=a n=2n−4．(3)当n=1时，a1=−2<0，S1=|a1|=2；当n ≥2时，a n ≥0，所以S n =−a 1+a 2+⋯+a n =2+(22−4)+⋯+(2n −4)=2+22+⋯+2n −4(n −1)=2(1−2n )1−2−4(n −1)=2n+1−4n +2，又n =1时满足上式．所以，当n ∈N ∗时，S n =2n+1−4n +2．【知识点】数列求和方法【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的各项； (2)利用猜想和关系式的变换求出数列的通项公式； (3)利用分类讨论法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，分类讨论法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：因为∠BAP =∠CDP =90°，所以AB ⊥AP ，CD ⊥PD ，又AB//CD ，故CD ⊥AP ， 又因为AP ∩PD =P ，AP ，PD ⊂平面PAD ， 所CD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥AD ；(2)解：假设在棱AB 上存在一点E ，使得平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为√33，由已知∠ADP =90°，结合(1)可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ， 令AE =a ，则A(3,0，0)，C(0,4，0)，P(0,0，4)，E(3,a ，0)， 所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−4)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,a,4)， 则平面PAD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面PCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{4y −4z =03x +ay −4z =0， 令z =1，所以n⃗ =(4−a 3,1,1)，故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√2+(4−a 3)2=√33，解得a =1(舍去a =7)，则AE =1，所以AE EB =12．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面PAD ，由线面垂直的性质定理即可证明；(2)假设在棱AB 上存在一点E ，使得平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为√33，建立合适的空间直角坐标系，设AE =a ，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCE 的法向量，由向量的夹角公式列出关于a 的方程，求解即可得到答案．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)听力等级为(0,5]的有0.016×5×50=4人，听力等级为(5,10]的有0.024×5×50=6人， 则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以P(X =0)=C 64C 104=15210=114， P(X =1)=C 41C 63C 104=80210=821， P(X =2)=C 42C 62C 104=90210=37， P(X =3)=C 43C 61C 104=24210=435，P(X =4)=C 44C 104=1210，所以X 的分布列为：则X 的数学期望为E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=1.6； (2)序号a 1，a 2，a 3，a 4的排列总数为A 44=24种， 当Y =0时，a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，当Y =|1−a 1|+|2−a 2|+|3−a 3|+|4−a 4|=2时，a 1，a 2，a 3，a 4的取值为a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=3或a 1=1，a 2=3，a 3=2，a 4=4或a 1=2，a 2=1，a 3=3，a 4=4，所以Y ≤2时，序号a 1，a 2，a 3，a 4对应的情况为4种， 所以P(Y ≤2)=424=16．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列【解析】(1)先求出听力等级为(0,5]，(5,10]的人数，求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可； (2)利用随机变量的定义以及古典概型的概率公式求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，古典概型概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题可知，F(p2,0)，设点P(x 0,y 0)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2)，即(x 0−p2,y 0)=(0,−2)， 所以x 0=p2，y 0=−2，故P(p 2,−2)， 将点P 代入y 2=2px ，得4=p 2， 又因为p >0，所以p =2， 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ；(2)(i)解：若直线l 斜率不存在，则直线l ：x =1，此时|AB|=4≠√15， 故直线l 斜率存在，设直线l ：y =kx +m ，联立方程组{y =kx +m y 2=4x ，消去y 得，k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0，满足△=(2km −4)2−4k 2m 2=16(1−km)>0，即km <1， 设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=4−2km k 2，x 1x 2=m 2k 2，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 24√1−km k 2=√15①，又因为线段AB 的中点M 在直线x =1上， 所以x 1+x 2=4−2km k 2=2②，由①式与②式联立可得k =±2， 当k =2时，m =−1，满足km <1； 当k =−2时，m =1，满足km <1，所以直线l 的方程为y =2x −1或y =−2x +1；(ii)证明：由(i)可知，直线l 与抛物线C 联立方程，消去y 可得4x 2−8x +1=0， 所以x 1+x 2=2，x 1x 2=14，故|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 1+x 2+2=4，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 则|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，又因为公差d 满足2d =|FB⃗⃗⃗⃗⃗ |−|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−x 1， 因为|x 2−x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3， 所以2d =±√3，故数列的公差d =±√32．【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】(1)设点P 的坐标，利用向量FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求出点P 代入抛物线方程，即可求出p 的值，从而得到抛物线的方程；(2)(i)判断直线l 斜率存在，设直线l 的方程，与抛物线联立方程组，通过△>0，求出km <1，利用弦长公式结合韦达定理，利用线段AB 的中点M 在直线x =1上，求解即可得到答案；(ii)利用(i)中的结果，x 1+x 2=2，x 1x 2=14，得到|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，分析求解即可得到答案．本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=lnx mx 2的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−2lnx mx 3，当m >0时，f′(x)>0⇒0<x <√e ，此时f(x)在(0,√e)上单调递增， f′(x)<0⇒x >√e ，此时f(x)在(√e,+∞)上单调递减，当m <0时，f′(x)>0⇒x >√e ，此时f(x)在(√e,+∞)上单调递增， f′(x)<0⇒0<x <√e ，此时f(x)在(0,√e)上单调递减；综上可知：当m >0时，f(x)的增区间是(0,√e)，减区间是(√e,+∞)； 当m <0时，f(x)的增区间是(√e,+∞)，减区间是(0,√e)．(2)证明：由m =2，f(x)=lnx 2x 2，(x 12⋅f(x 1)−x 22⋅f(x 2))⋅(x 12+x 22)=12(lnx 1−lnx 2)⋅(x 12+x 22)，由于x 1>x 2>0，所以x 1x 2−x 22>0.设t =x1x 2>1，故：(x 12⋅f(x 1)−x 22⋅f(x 2))⋅(x 12+x 22)>x 1x 2−x 22⇔lnx 1−lnx 2>2(x 1x 2−x 22)x 12+x 22⇔ln x 1x 2>2(x 1x 2−1)1+(x 1x 2)2⇔lnt >2(t−1)1+t 2(t >1)⇔lnt −2(t−1)1+t 2>0(t >1)，令φ(t)=lnt −2(t−1)1+t 2，则φ′(t)=(t 2−1)(t 2+2t−1)t(t 2+1)2，由于t >1，故φ′(t)=(t 2−1)(t 2+2t−1)t(t 2+1)2>0，则φ(t)=lnt −2(t−1)1+t 2在(1,+∞)上单调递增，故φ(t)>φ(1)=0，即：所证不等式(x 12⋅f(x 1)−x 22⋅f(x 2))⋅(x 12+x 22)>x 1x 2−x 22成立．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性 【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)设t =x1x 2>1，问题转化为lnt −2(t−1)1+t 2>0(t >1)，令φ(t)=lnt −2(t−1)1+t 2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明以及转化思想，是难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ，整理得ρ2+2ρ2sin 2θ=3，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，整理得x 2+3y 2=3，化简得曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1．(2)联立直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程得：(tcosα)2+3(2+tsinα)2=3， 化简得(1+2sin 2α)t 2+12tsinα+9=0， 则t 1+t 2=−12sinα1+2sin 2α，t 1t 2=91+2sin 2α>0，且△=144sin 2α−36(1+2sin 2α)>0，2sin 2α−1>0， 则有|sinα|∈(√22,1],则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=12|sinα|1+2sin 2α，令m =|sinα|∈(√22,1]，有|PA|+|PB|=121m+2m ∈[4,3√2),所以|PA|+|PB|的取值范围为[4,3√2)．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由已知可得y =f(x)+g(x)=|x −12|+|x −1|≥|(x −12)−(x −1)|=12， 当且仅当(x −12)−(x −1)≤0即12≤x ≤1时等号成立， 所以函数y =f(x)+g(x)的最小值为12．(2)由已知|sinθ−12|+|cosθ−1|>52，原不等式可化为|sinθ−12|−cosθ>32， ①当sinθ≥12时，θ∈[π6,5π6]，原不等式化为sinθ−cosθ>2，此时无解，②当sinθ<12时，θ∈[0,π6)∪(5π6,2π)，原不等式化为sinθ+cosθ<−1，即sin(θ+π4)<−√22，所以5π4<θ+π4<7π4，π<θ<3π2，综上所述，不等式的解集为(π,3π2).【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式 【解析】(1)利用绝对值不等式的性质即可求解．(2)利用正弦，余弦函数的图象与性质，去掉绝对值转化为解三角不等式即可． 本题考查含有绝对值的函数，着重考查了绝对值的含义、解法和最值问题，属于中档题．。