高一上学期期末考试数学试卷
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高一上学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1. 设集合1,2,3,4,5,1,2,3,2,5UAB，则UACB （ ）
A.2 B. 2,3 C.3 D.1,3
2．函数1()21fxxx的定义域为（ ）
A．[2,) B. 2,11, C.R D. ,2
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．2xyxy与 B．2lglg2xyxy与
C．xyxy与33 D．1112xxyxy与
4．已知点(,3)Px是角终边上一点，且4cos5，则x的值为（ ）
A．5 B．5 C．4 D．4
5．已知8.028.01.1,8.0log,7.0cba，则cba,,的大小关系是（ ）
A．cba B．cab C．acb D．acb
6．设函数y＝x3与21()2xy的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
7．已知3tan，则22cos9cossin4sin2的值为（ ）
.A301 .B31 .C1021 .D3
8．若两个非零向量ba,满足ababa2，则向量ba与ba的夹角是（ ）
.A6 .B3 .C32 .D65
9．已知函数)(xfy是)1,1(上的偶函数，且在区间)0,1(是单调递增的，CBA,,是锐角ABC的三个
内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）
.A)(cos)(sinAfAf .B)(cos)(sinBfAf
.C)(sin)(cosBfCf .D)(cos)(sinBfCf
2
10．已知函数()[],fxxxxR，其中[]x表示不超过x的最大整数，如322，5[3]3,22，
则()fx的值域是（ ）
A．（0，1） B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
11. 函数22xyx的图像大致是 （ ）
A B C D
12.定义在R上的函数)(xf满足;2)(,13,62xxfxxfxf时当当
)2012()3()2()1(,)(31ffffxxfx则时，
（ ）
A.335 B.338 C.1678 D.2012
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13．已知tan2，则cos2 ．
14.已知函数3,1(),,1xxfxxx，若()2fx，则x
15．把函数y＝3sin2x的图象向左平移6个单位得到图像的函数解析是 ．
16.有下列五个命题：
① 函数3)(1xaxf(0,1)aa的图像一定过定点(1,4)P；
② 函数(1)fx的定义域是(1,3)，则函数()fx的定义域为(2,4)；
③ 已知)(xf=538xaxbx,且(2)8f，则(2)8f；
④ 函数212log(23)yxx的单调递增区间为(1,).
其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）
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三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知集合A=71xx，210,BxxCxxa，全集UR.
(1)求BA；BACU)(.
(2)如果AC，求a的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知CBA,,的坐标分别为)0,3(A，)3,0(B，)sin,(cosC，)23,2(
（1）若|,|||BCAC求角的值；（2）若tan12sinsin2,12求BCAC的值.
19.（本小题满分12分）
已知二次函数2()163fxxxq：
(1) 若函数的最小值是-60，求实数q的值；
(2) 若函数在区间1,1上存在零点，求实数q的取值范围.
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20.（本小题满分13分）
辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单
位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下:
上市时间x天 4 10 36
市场价y元
90 51 90
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市
时间x的变化关系并说明理由:①yaxb；②2yaxbxc；③logbyax．
(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
21.(本小题满分13分)
已知：)sin,cos2(xxa，)cos2,cos3(xxb，设函数)(3)(Rxbaxf
求：（1）)(xf的最小正周期；
（2）)(xf的单调递增区间；
（3）若6)122()62(ff，且),2(，求的值.
22.（本小题满分14）
设函数2221()loglog1log.1xfxxpxx
（1）求函数的定义域；
（2）当3p时，问fx是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理
由.
河南省信阳市2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3]D.[)3,+∞2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A .第一象限角B.第二象限角C .第三象限角D.第四象限角3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,14.函数()e ex xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C.D.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b>> B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.2C.2D.227.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年B.2023年C.2026年D.2025年8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A .[0,)+∞ B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()e xf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()ff x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.16.已知()1e xf x x=-的零点为0x ，若000e ln 2xx x m +>，则整数m 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.已知幂函数()()26mf x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.22.已知定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3] D.[)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的定义域化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】由29x ≤，得33x -≤≤，则[3,3]A =-，函数2log y x =有意义，得0x >，则(0,)B =+∞，所以(0,3]A B = .故选：C2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得sin 0,cos 0αα<>，再求出角α所在象限.【详解】由sin tan 0αα>，cos tan 0αα<，得2sin 0cos αα>，sin 0α<，因此sin 0,cos 0αα<>，所以角α是第四象限角.故选：D3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解.【详解】函数()()1lg11210,2lg222lg20f f =+-=-=+-=.又()f x 为单调增函数，所以()f x 有唯一零点，且在区间()1,2内.故选：C.4.函数()e e x xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.【详解】由于()e e x x x f x -=+，x R ∈，()()e ex xxf x f x ---==-+，故()f x 为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B 和C ；又因为11(1)1e e f -=<+，故排除D 项，故选：A.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b >>B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数0.3x y =的单调性，可以判断,b c 的大小；根据作商法可得1>ab,可得答案.【详解】0.3x y = 是减函数，0.30.40.30.3∴>，即0b c >>，而0.30.30.44(()10.33a b ==>，即a b >，a b c ∴>>，故选：B6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.【详解】因为0,0x y <<，所以242221x y x y +=+≥==，当且仅当222x y =，即21x y ==-时，等号成立，故选：A ．7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年 B.2023年 C.2026年 D.2025年【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数模型列不等式求解．【详解】依题意，第n ()N n *∈时投入资金为()12019%n⨯+亿元，设2020年后第n ()Nn *∈年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，则()12019%200n⨯+>,得51.093n>，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg310.30100.47715.9973lg1.09lg1.090.037n ----->==≈，所以6n ≥，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C ．8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A.[0,)+∞B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞【答案】B 【解析】【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.【详解】不等式1212122211)())02]()2[(2]([g x x g x g x g x x x x x x ++-->-⇔>--，令22222()()2)2(22)log (2log log xxxxf xg x a x a -=⋅++=+=+，则1212()()0f x f x x x ->-，依题意，1212,(1,2),x x x x ∀∈<，1212()()0f x f x x x ->-，因此函数22()(22)log x x f x a =⋅+在(1,2)上单调递增，令222x x u a =⋅+，而2log y u =在(0,)+∞上单调递增，则函数222x x u a =⋅+在(1,2)上单调递增，且恒有2220x x a ⋅+>令2(2,4)x t =∈，显然函数2x t =在(2,4)上单调递增，因此2v at t =+在(2,4)上单调递增，且(2,4)t ∀∈，20at t +>，当0a >时，2v at t =+在(2,4)上单调递增，当0a =时，v t =在(2,4)上单调递增，且20at t +>恒成立，因此0a ≥；当a<0时，由2v at t =+在(2,4)上单调递增，得142a -≥，解得108a -≤<，由(2,4)t ∀∈，20at t +>，得420a +≥，解得12a ≥-，因此108a -≤<，所以实数a 的取值范围是1[,)8-+∞.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()exf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B ：令10x -=，由此确定出所过定点坐标；C ：通过修改量词否定结论可得结果；D ：根据0x >与3x >的互相推出情况进行判断.【详解】对于A ：设()exf x -=-上任意一点()00,P x y ，其关于原点的对称点为(),Q x y ，所以00x x y y=-⎧⎨=-⎩，所以()e x y ---=-，所以e x y =，即Q 为e x y =图象上任意一点，故A 正确；对于B ：令10x -=，所以1x =，此时()011f a ==，所以()f x 过定点()1,1，故B 错误；对于C ：修改量词否定结论可得2:0,10p x x x ⌝∀>-+≥，故C 正确；对于D ：0x >不能推出3x >，但3x >一定能推出0x >，所以0x >是3x >的必要不充分条件，故D 错误；故选：AC .10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=【答案】ABC 【解析】【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.【详解】对于A ，sin(2024π)sin()sin ααα-=-=-，A 正确；对于B ，tan(2025π)tan(π)tan ααα-=+=，B 正确；对于C ，11πππsin()sin[6π()]sin()cos 222αααα+=--=--=-，C 正确；对于D ，7πππcos()cos[4π()]cos()sin 222αααα-=-+=+=-，D 错误.故选：ABC11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-【答案】ABC 【解析】【分析】把选项中的a 值分别代入函数()f x ，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A ，若1a =-，131,0(),0x x f x x x --+≤⎧=⎨>⎩，()f x 在(0,)+∞上单调递减，故A 正确；对于B ，若0a =，21,0,()1,0,x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，当0x ≤时，()21f x x =-+，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=，则()f x 有最小值1,故B 正确；对于C ，若12a =，1231,0,2(),0,x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩，当0x ≤时，3()12=-+f x x ，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=；当0x >时，12()f x x =，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，()(0)0f x f >=，则()f x 的值域为(0,)+∞，故C 正确；对于D ，若3a =，31,0,(),0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩当0(1,)x ∈+∞时，()3001=>f x x ；当()020,1-∈x 时，()()()300220,1-=-∈f x x ；当(]002,-∈-∞x 时，()(]003,21-=-∞∈-f x x ，即当(]02,0x ∞-∈-时，()(]012,-∈-∞f x ，所以不存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-，故D 错误.故选：ABC12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()f f x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶性定义可判断AB ；根据复合函数单调性可判断CD.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()()ff x f f x -=，()()()()()()fg x f g x f g x -=-=，所以()()f f x 和()()f g x 均为偶函数，A 正确，B 错误；又因为()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，()g x 在R 上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在[)0,∞+上()()g g x 单调递增，()()g f x 单调递减，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．【答案】4π43+【解析】【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为,,l r S ，由题意411π2322S lr l ===⨯⨯，解得4π3l =，所以扇形的周长为442π22π433C l r =+=+⨯=+.故答案为：4π43+.14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.【答案】1a ≤【解析】【分析】函数|1|()2x f x -=是由指数2x y =变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得|1|()2x f x -=的单调性，从而解出答案.【详解】因为1112,1()21,12x x x x f x x ---⎧>⎪==⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得()f x 在()1,+∞单调递增，在(],1-∞单调递减.因为函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减所以1a ≤.故答案为：1a ≤.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质可知，(3)(3)f f -=【详解】因为()y f x =是偶函数，所以()()23(3)39333f a a f -=--=-==，解得2a =.故答案为：216.已知()1e x f x x=-的零点为0x ，若000e ln 2x x x m +>，则整数m 的最大值是______.【答案】0【解析】【分析】根据题意分析()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，得到()02000000011e ln x x x x x x x x +=+⋅-=-，通过判断()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的范围即可得到答案.【详解】函数()1e x f x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞U ，当0x <时，()0f x >恒成立，不存在零点；当0x >时，()f x单调递增，且1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f =->，所以()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，即001e x x =，两边同时取对数，即00ln x x =-，即00ln x x =-，所以()020********e ln xx x x x x x x +=+⋅-=-，所以200112m x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，记()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，显然，()h x 单调递减，所以()()112h h x h ⎛⎫<<⎪⎝⎭，所以()708h x <<，所以整数m 的最大值是0.故答案为：0【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断()1e xf x x =-的零点0x 的范围，并通过001e x x =和00ln x x =-代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）17（2）2【解析】【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.（2）运用诱导公式直接化简求值即可.【小问1详解】原式5lg lg 42239lg102212172=+++++=+++=；【小问2详解】原式ππ3113sincos tan πtan π2634224⎛⎫=++-=+-= ⎪⎝⎭.18.已知幂函数()()26m f x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．【答案】（1）()12f x x=（2）{|24}a a <≤【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；（2）利用()f x 的单调性与定义域即可得解.【小问1详解】因为()()26m f x m m x =-是幂函数，所以261m m -=，解得12m =或13m =-，又()f x 在()0,∞+上是增函数，故0m >，12m ∴=，则()12f x x =.【小问2详解】由（1）知()12f x x =在()0,∞+上是增函数，又()()822f a f a -<+，()12f x x =的定义域为[)0,∞+，82282020a a a a -<+⎧⎪∴-≥⎨⎪+≥⎩，解得24a <≤，a ∴的取值范围是{|24}a a <≤．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）换元令2log x t =，结合二次函数的性质求值域；（2）换元令2log x t =，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，根据存在性问题分析求解.【小问1详解】因为()()()2222log log log 2log 142==--x x f x x x ，由对数函数单调性可知，当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈，令2log x t =，[]1,3t ∈，即可得()()()22132=--=-+g t t t t t ，[]1,3t ∈，可知()232g t t t =-+的开口向上，对称轴为32t =，由二次函数性质可知当32t =时，()min 14=-g t ，当3t =时，()max 2=g t ，所以可得当[]2,8x ∈时，函数()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当[]4,16x ∈时，可得[]2log 2,4x ∈，令2log x t =，[]2,4t ∈，可得()()22132--=-+≥t t t t mt ，即232t t mt -+≥在[]2,4t ∈上有解，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，因为函数()23=+-h t t t 在[]2,4t ∈上单调递增，当4t =时，()max 32=h t 所以m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.【答案】（1）1a =（22（31【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得a .（2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案.（3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案.【小问1详解】sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根，所以sin cos sin cos a aθθθθ+=⎧⎨=⎩，()2440,0a a a a a ∆=-=-≥≤或4a ≥，由sin cos a θθ+=两边平方得212sin cos 12a a θθ+=+=，2210a a --=，解得a =（舍）或1a =所以1a =【小问2详解】3333cos sin sin cos 22θθθθππ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22sin cos sin sin cos cos θθθθθθ=+-+()(112a a =-=-⨯=.【小问3详解】()11tan tan tan tan θθθθπ--=--22sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθ+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭11a =-=-=.22.已知定义域为R 的函数()122x xb f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）2a =，1b =（2）4(,)3-∞【解析】【分析】（1）根据题意可得()00f =，()()11f f -=-求解即可；（2）由函数单调性可得()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，再将问题转化为2(3)(1)320x x k -+->对任意1x ≥恒成立，再设3x t =，根据二次不等式恒成立问题列式即可.【小问1详解】()f x 在R 上为奇函数，故()00f =，即102b a -=+，解得1b =，故()1122x x f x a+-=+.又()()11f f -=-，∴1112214a a--=-++；解得2a =.故2a =，1b =.【小问2详解】112(21)211()222(21)221x x x x x f x +--++===-++++；x 增大时，21x +增大，121x +减小，()f x 减小；()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减；()f x 为奇函数，∴由(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>得，(3)(932)x x x f k f ⋅>--；又()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；3932x x x k ∴⋅<--，该不等式对于任意1x ≥恒成立；2(3)(1)320x x k ∴-+->对任意1x ≥恒成立；设3x t =，则2(1)20t k t -+->对于任意3t ≥恒成立；设2()(1)2g t t k t =-+-，△2(1)80k =++>；k ∴应满足：132(3)430k g k +⎧<⎪⎨⎪=->⎩；解得43k <；k ∴的取值范围为4(,3-∞．。
江西省萍乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A 1, a2 2a 1, a 4 ，若 4 A，则 a 的值可能为（ ）
A． 1，3
B． 1
D．若某个 xi 为样本甲的平均数，则 yi 是样本乙的平均数
12．已知函数 f x a 3x 3 x2 2bx ，若函数 y f x 与函数 y f f x 的零点相
同，则 a 2b 的取值可能是（ ）
A．2
B． 2
C．0
D．4
三、填空题 13．某班拟从 2 名男学生和 1 名女学生中随机选派 2 名学生去参加一项活动，则恰有一 名女学生和一名男学生去参加活动的概率是． 14．在一次篮球比赛中，某球队共进行了 9 场比赛，得分分别 26，37，23，45，32， 36，40，42，51，则这组数据的 60%分位数为．
10．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f 1 x 0 ，且在区间 ,1 上单调递
减，则下列说法正确的是（ ）
A． f 1 1
B． f x 图象的对称中心为 1,0
C． f x 在区间 1, 上单调递减
D．满足 xf x 0 的 x 的取值范围是
,12,
试卷第 2 页，共 5 页
汗液和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用．净化过程中，每过
滤一次可减少水中杂质 10%，要使水中杂质减少到原来的 1%以下，至少需要过滤的次
数为（参考数据： lg 3 0.477 ）（ ）
A．42 次
B．43 次
C．44 次
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
A．{x∣0 x 1} C．{x∣1 x 5}
B．{x∣1 x 0} D．{x∣0 x 4}
2．已知函数 f x 2x 3x 7 ，则该函数零点所在区间为（ ）
A． 0,1
B． 1, 2
C． 2, 3
3．函数 f x x sin x 的图象大致为（ ）
cos x 2
D．3, 4
4
10．已知 f x, g x 是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f x g x ex,e 2.71828 ，
试卷第 2 页，共 5 页
下列选项正确的是（ ）
A． g x 的最小值为 1
B． f 2x 2 f x g x
C． g x]2 f x]2 1
D． xR ，恒有 f 2x 1 f ax2 2x 的充分不必要条件为 a 4
(1)求函数 f x 在 R 上的解析式；
(2)若对任意的 x 1, ，都有不等式 f x2 m f 2x2 mx 1 0 恒成立，求实数 m
的取值范围. 20．近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交 通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体 验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间 间隔 t （单位：分钟）满足 3 t 18,t N* ，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发 车时间间隔 t 相关，当10 t 18时地铁可达到满载状态，载客量为 1250 人，当 3 t 10
(1)求 f x 的解析式及对称中心；
(2)先将 f x 的图象横坐标缩短为原来的 1 倍，再向右平移 π 个单位后得到 g x 的图
2
12
象，求函数
y
g
四川省南充市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学(含答案)
南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A .1x ∀>，210x ax ++≤ B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤ D.1x ∀≤，210x ax ++>3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,45.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.36.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c<< B.b c a << C.c a b<< D.b a c<<7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.108.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭______.15.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2xn f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.21.已知()22xxf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350xxf f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22xg x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅【答案】A 【解析】【分析】应用集合的交补运算求集合.【详解】由题设{|2U A x x =≤ð或6}x ≥，故(){|02}U A B x x ⋂=<≤ð.故选：A2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A.1x ∀>，210x ax ++≤B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤D.1x ∀≤，210x ax ++>【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题知：原命题的否定为1x ∀>，210x ax ++>.故选：B3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】定义判断函数的奇偶性并结合π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，应用排除法即可得答案.【详解】由()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-==且定义域为R ，即函数为偶函数，排除A 、C ；由πππsin 0444f ⎛⎫=⋅>⎪⎝⎭，排除B.故选：D4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】C 【解析】【分析】根据解析式判断单调性，结合零点存在定理确定区间.【详解】由解析式知()2log 4f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，又()130f =-<，()210f =-<，()23log 310f =->，所以零点所在的一个区间为()2,3.故选：C5.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B6.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及中间量0和2即可求解.【详解】因为333log 2log 8a ==，函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，所以330log 8log 92<<=，即02a <<.又因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 5log 42>=，即2b >.又因为3πcos 042c ==-<，所以c a b <<.故选：C.7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.10【答案】A 【解析】【分析】构造(x)(x)4g f =+并判断其奇偶性，利用奇偶性求()2f -即可.【详解】令33()()4ln3xg x f x ax b x+=+=+-，且定义域为()3,3-，3333()ln ln ()33x xg x ax b ax b g x x x-+-=-+=--=-+-，即()g x 为奇函数，所以()()()()80g x g x f x f x -+=-++=，即()(2)28(2)14f f f -+=-⇒-=-.故选：A8.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h【答案】D 【解析】【分析】由题设有103000e1000t-≥，利用指数函数单调性及指对数关系求解，即可得答案.【详解】由题意()103000e 1000t c t -=≥，则1ln 10ln 310.99103t t -≥⇒≤≈小时.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质判断A 、C 、D ；特殊值0c =判断B.【详解】由0a b >>，则22a ab b >>，110b a >>，故11a b b a+>+，A 、C 对，D 错；当0c =时22ac bc =，故B 错.故选：AC10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.【答案】BCD 【解析】【分析】由0x <对应函数符号即可判断A ；应用基本不等式及其“1”的代换、一元二次不等式解法判断B 、C 、D ，注意取最值条件.【详解】A ：当0x <时，210x y x+=<，若存在最小值，不可能为2，错；B ：由10x ->，411151y x x =-++≥=-，当且仅当3x =时取等号，所以41y x x =+-的最小值为5，对；C ：由题设12112212(2)((5)(53333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当1x y ==时取等号，所以2x y +的最小值为3，对；D ：22222()()3()4x y x y xy x y xy x y +=+-=++-+≥，可得2()4x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，则22x y -≤+≤，故x y +的取值范围为[]22-,，对.故选：BCD11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴【答案】CD 【解析】【分析】由题设()()f x f x -=-且()(4)f x f x =-+、()f x 在[]2,0-上递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性.【详解】由()()0()()f x f x f x f x +-=⇒-=-，函数为奇函数，A 错；由()()40()(4)(8)f x f x f x f x f x ++=⇒=-+=+，函数的周期为8，B 错；对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-⋅-<⎣⎦，所以()f x 在[]2,0-上递减，结合奇函数知：函数在[0,2]上递减，即函数[2,2]-上函数递减，由上可知()()(4)f x f x f x =--=-+，即()(4)f x f x -=+，故()f x 关于2x =对称，所以()f x 在[]26,上单调递增，且直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴，C 、D 对.故选：CD12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7【答案】ABD 【解析】【分析】根据解析式画出函数大致图象，数形结合可得02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，结合对数函数、正弦型函数性质可得121=x x 、3420x x +=，综合运用基本不等式、区间单调性判断各项正误.【详解】由函数解析式可得函数大致图象如下，由上图，要使方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，3421020x x +=⨯=，由2122|log ||log |x x =，则212221212log log log ()01x x x x x x -=⇒=⇒=，A 、B 对；所以1234111202022x x x x x x +++=++≥+，又1114x <<，即等号取不到，所以()1234(22,)x x x x ∞+++∈+，C 错；由图知：()f x 在区间(1,14)、(4,7)上单调性相同，且1311,474x x <<<<，所以13,x x 随m 变化同增减，故31x x 取值范围为()1,7，D 对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据解析式得到图象并确定02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<为关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的解析式，从内到外运算求解即可．【详解】由题意，()20241log 10f ==，则()()1f f =0(0)31f ==．故答案为：1．14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】3【解析】【分析】由平方关系及角所在象限得cos 3α=-，应用诱导公式即可求函数值.【详解】由1sin 3α=-，α为第三象限角，则cos 3α=-，33πsin cos 2αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：315.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,2,12⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭【解析】【分析】利用函数1y x -=的单调性，分三类讨论即可求解.【详解】考虑函数1y x -=.因为函数1y x -=的单调递减区间为()0,∞+和(),0∞-.所以不等式()()11121a a ---<+等价于10210121a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪->+⎩或者10210a a -<⎧⎨+>⎩或者10210121a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解得：2a <-或112a -<<.所以实数a 的取值范围为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭.故答案为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2x n f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.【答案】2±【解析】【分析】由题设定义有()11[()]22f x f x -+=-+，进而得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，求参数值，即可得答案.【详解】由题意()12y f x =+为奇函数，所以()11[()]22f x f x -+=-+，则112222x x n n m m -=+++--，所以202(2221)(12)(2)122(12)(2)10x x x x x x x x x n n n m m m m m m m ⋅+⋅+++=⋅+++⋅++++⇒=⋅，所以22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，故2012101m n m m mn n +==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩或11m n =⎧⎨=-⎩，所以2m n -=±.故答案为：2±【点睛】关键点点睛：根据定义得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立为关键.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}45A B x x ⋃=-≤≤（2）[]2,3【解析】【分析】（1）先将集合A 化简，利用并集运算得解；（2）根据题意可得AB ，列式运算可求解.【小问1详解】由y =+，所以2050x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得25x ≤≤，{}25A x x ∴=-≤≤，当1m =时，{}43B x x =-≤≤，{}45A B x x ∴⋃=-≤≤.【小问2详解】由题x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，即A B ，则25521521m m m m -≥-⎧⎪≤+⎨⎪-≤+⎩（等号不同时取），解得23m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,3.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.【答案】（1）3；（2）75.【解析】【分析】（1）应用指对数运算性质及指对数关系化简求值；（2）由题设tan 2α=，再应用“1”的代换及齐次运算求值即可.【详解】（1）原式232lg 5lg 222log 3log 2523=+++-⨯=-=；（2）由()tan πtan 2αα+==，22222222222sin sin cos cos 2tan tan 1222172sin sin cos cos sin cos tan 1215ααααααααααααα-⋅+-+⨯-+-⋅+====+++.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.【答案】19.π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈20.最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2-，相应的0x =.【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求解函数的周期；利用整体代入法和正弦函数的性质即可求出函数的单调增区间.（2）利用整体代入法和正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：函数()f x 的周期为2ππ2T ==.令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解得：π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】令π23t x =-，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最大值，最大值为1；当233x -=-ππ，即0x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最小值，最小值为.故()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2，相应的0x =.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.【答案】（1）1,2m n ==-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由不等式解集可得1,2-是20x mx n -+=的两个根，利用根与系数关系求参数值；（2）由题意有()(1)0x m x -->，讨论1m <、1m =、1m >求不等式解集.【小问1详解】由题设20x mx n -+≤的解集为[]1,2-，即1,2-是20x mx n -+=的两个根，所以121,122m n =-+==-⨯=-.【小问2详解】由题意()21(1)()(1)0f x x m x m x m x m x -+-=-++=-->，当1m <时，解得x m <或1x >，故解集为(,)(1,)m -∞+∞ ；当1m =时，解得1x ≠，故解集为{|1}x x ∈≠R ；当1m >时，解得1x <或x >m ，故解集为(,1)(,)-∞+∞ m ；21.已知()22x xf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】21.1a =22.单调递增，答案见解析23.(,∞-【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出a 的值；（2）先判断单调性，再根据函数单调性的定义判断即可；（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为3t m m<+，利用基本不等式求出最值即可．【小问1详解】()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，对任意x ∈R ，即()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-，即()()1220x x a --+=，对任意x ∈R 恒成立，10a ∴-=，即1a =.【小问2详解】()f x 为R 上的增函数，证明如下：任取1x ，2R x ∈，且12x x <，()()()1122122222x x x x f x f x ---=---()121212222222x x x x x x -=-+⋅()1212122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭，12x x < ，1212122,1022x x x x ∴<+>⋅，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 为R 上的增函数.【小问3详解】不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在R 上恒成立，()()()929235x x x f f f t ∴--+=->⋅-，又()f x 为R 上的增函数，9235x x t ∴->⋅-在R 上恒成立，即()23330x x t -⨯+>，令3x m =，0m >，上式等价于230m tm -+>对0m >恒成立，即3t m m <+，令()3g m m m =+，只需()min t g m <即可，又()3g m m m =+≥()min g m ∴=，t ∴<.所以实数t的取值范围为(,∞-.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22x g x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）25n ³【解析】【分析】（1）根据已知条件求出()[]()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =换元后()F x 变为2223y t mt m =--+，利用二次函数的性质确定最小值；（2）求出()2log 12222x h x x +=-=-，进而确定()()()22h g x g x =-，令()g x a =换元后有()()y h g x =化为22y a =-，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+，问题转化为()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，通过限制二次函数根所在区间得出不等式，求解不等式即可解出实数n 的取值范围.【小问1详解】()()()()2123F x f x mf x m ⎡⎤=--+∈⎣⎦R ，所以()()()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =，因为[]2,4x ∈，则[]1,2t ∈，所以()F x 变为2223y t mt m =--+，函数的对称轴为t m =，当1m £时，函数在[]1,2上单调递增，1t =时，函数有最小值44m -；当12m <<时，函数在[]1,m 上单调递增减，函数在(],2m 上单调递增，t m =时，函数有最小值223m m --+；当2m ≥时，函数在[]1,2上单调递减，2t =时，函数有最小值67m -+.【小问2详解】()()()h x g f x =即()()2log 122220x h x x x +=-=->，所以()22y g x =-，令()g x a =，所以()()y h g x =化为：()220y a a =->，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+；令22243a a na n -=-+，整理有：()242320a n a n -+++=；因为()22xa g x ==-，作出简图如下注意到0a >，可得：当02a <<时，22x a =-有两个根；当2a ≥时，22x a =-有一个根；因为()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦的图象有3个不同的交点，所以()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，则有：()x ϕ为关于a 的二次函数，图象开口向上，对称轴为21a n =+，根据题意有：()()0020ϕϕ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即320520n n +>⎧⎨-+<⎩解得25n >，或()()00200212n ϕϕ⎧>⎪=⎨⎪<+<⎩，即3205201122n n n ⎧⎪+>⎪-+=⎨⎪⎪-<<⎩解得25n =综上所述：25n ³.【点睛】方法点睛：①换元法的应用，注意取值范围；②数形结合的应用.。
高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为
C. 的值域为
D. 图象的一条对称轴方程为
12.定义：实数 满足 则称 比 远离 .已知函数 的定义域为 任取 等于 和 中远离0的那个值则（）
高一数学试卷
试卷120分钟满分：150分
一选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中周期为 的是（）
A. B.
C. D.
2.函数 的单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
3.函数 的部分图象如图所示则 可能是（）
A B.
C. D.
4.已知角 的终边在射线 上则 的值为（）
17.已知复数 .
（1）若 是实数求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限且 求实数 的取值范围.
18 已知 .
（1）若 三点共线求 满足的等量关系；
（2）在（1）条件下求 的最小值.
19.问题：在 中内角A 所对的边分别为a .
（1）求A；
（2）若 的面积为 ________求 .
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个补充在上面的横线上并完成解答.
20.某网红景区拟开辟一个平面示意图如图 五边形 观光步行道 为景点电瓶车专用道 .
（1）求 的长；
（2）请设计一个方案使得折线步行道 最长（即 最大）.
21.如图所示在 中 与 相交于点 . 的延长线与边 交于点 .
（1）试用 表示 ；
（2）设 求 的值.
22.已知 的内角 所对的边分别为 向量 .
广东省汕头市潮阳区2024_2025学年高一数学上学期期末考试试题
广东省汕头市潮阳区2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题本试题满分150分，考试时间为120分钟。
留意事项：1.答题前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的，答案无效。
3.非选择题必需用黑色字迹的签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上，请留意每题答题空间，预先合理支配；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准运用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5,6},则A ∩B 等于 ( ) A.{1,2,3,4,5,6} B.{3,4} C. {3} D.{4}2.7sin 6π= ( )B. C. 12D. 12- 3.函数()()ln 15x f x =-的定义域是 ( ) A. (),0-∞ B. ()0,1 C. (),1-∞ D. ()0,+∞4.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-，，，，2)1(log 22)(231x x x e x f x 则f (f (2))的值为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 35.已知f (x )，g (x )均为[－1，3]上连绵不断的曲线，依据下表能推断方程f (x )＝g (x ) 有实数解的区间是 ( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)6. 1.1log 0.9a =, 1.31.1b =, sin1c =, 则a 、b 、c 的大小关系为 ( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ． a c b <<7.关于π()3cos(2),R 6f x x x =-∈，下列叙述正确的是 ( ) A.若12()()3==f x f x ，则12-x x 是2π的整数倍；B.函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称； C.函数()f x 的图象关于直线π6x =对称 ；D.函数()f x 在区间π(0,)4上为增函数。
自贡市中职校2023-2024学年度高一上末考试数学试卷 (含答案)
中职高一数学上期末试卷 第1页 共9页自贡市中等职业学校2023-2024学年高一年级上学期期末考试数 学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.2.第I 卷共1个大题，15个小题.每个小题4分，共60分.一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4,5B =，则AB =（ ）A. φB. {}3C. {}1,2D. {}1,2,3,4,5 2.函数()f x =）A. {}|2x R x ∈≠B. {}|<2x R x ∈C. {}|2x R x ∈≥D. {}|>2x R x ∈3. 已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如图的曲线ABC ，其中(1, 3)(2, 1)(3, 2)A B C ，，，则()()2f g 的值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0中职高一数学上期末试卷 第2页 共9页4. 若>a b ,下列说法正确的是（ ）A. 1>2a b +-B. >ac bcC. 22>ac bcD. 2>2b a 5. (1)(2)0x x -+≤的解集为（ ）A. {}|12x x -≤≤B. {}|21x x -≤≤C. {}|21x x x ≤-≥或D. {}|12x x x ≤-≥或 6. 函数1()f x x=的单调递减区间是（ ） A . (, 0)(0, +)-∞∞和 B . (, 0)(0, +)-∞∞C . (, 0)-∞D . (0, +)∞7. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(1)3f =，则(1)f -=（ ） A. 1- B. 3- C. 3 D. 1 8. 下列所给图象是函数图象的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 9. “>0x ”是“>1x ”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 下列不等式中，解集为{}11x x -<<的是（ ）A. 210x -≤B. 10x -≤C.()()1011x x ≤+-D. 101x x -≤+中职高一数学上期末试卷 第3页 共9页11. 已知函数1()(>1)x f x a a -=,则该函数图象必经过定点（ ） A. (0, 1) B. (0, 2) C. (1, 2) D. (1, 1)12. 若函数2()21f x x mx =+-在区间(3, )-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 3m ≥ B. 3m ≤ C. 3m ≥- D. 3m ≤-13. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则随机调查的100位学生阅读过《西游记》的学生人数为（ ）A. 50B. 60C. 70D. 8014. 已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，且()10f -=，若对于任意两个实数x 1，()20,x ∈+∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则不等式()0xf x >的解集是（ ）A. ()(),10,1-∞-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-+∞ D. ()()1,00,1-15. 计算0122222()x x N ++++∈,令0122222x S =++++Ⅰ，将Ⅰ两边同时乘以2：123122222x S +=+++Ⅰ，用Ⅰ−Ⅰ得到：2S S -=1231(2222)x ++++_012(2222)x ++++，得到121x S +=-；观察该式子的特点，每一项都是前一项的2倍（除第一项外）；运算思路是将代数式每一项乘2后再与原式相减，数学上把这种运算的方法叫做“错位相减”，那么当 0121013333S =++++时候，则1S 的值为（ ）A. 1131- B. 1031- C. 11312- D. 10312-中职高一数学上期末试卷 第4页 共9页第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 非选择题必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.答在试题卷上无效.2. 本部分共2个大题，12个小题.共90分.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 不等式2<1x -的解集为 .（注意：用区间表示）17. 分段函数()22, 11, 2<1x x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪+-≤⎩，则分段函数的定义域为________． 18. 若()12f x x =-，则(2)f -= .19. 2023年第31届世界大学生运动会（成都大运会）是中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，也是中国西部第一次举办的世界性综合运动会，有关吉祥物“蓉宝”的纪念徽章、盲盒等商品成为抢手货，市场供不应求。
2023-2024学年山东省临沂高一上学期期末数学质量测试题(含答案)
2023-2024学年山东省临沂高一上册期末数学质量测试题一、单选题1．已知1sin3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tanα的值为（）A．4BC．-D．【正确答案】A根据同角三角函数的基本关系求出cosα，tanα；【详解】解：因为1sin3α=，22sin cos1αα+=，所以cos3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos3α=-，所以1sin3tancos43ααα==-故选：A2．已知命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为（）A．0x∀>，2log2x x≤B．00x∃>，002log2x x≤C．00x∃>，002log2x x<D．00x∃≤，002log2x x≤【正确答案】B根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为“00x∃>，002log2x x≤”，故选：B．3．已知函数()xf x a=（0a>且1a≠）在(0,2)内的值域是2(1,)a，则函数()y f x=的函数大致是（）A ．B．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知21a>，所以1a>，所以()f x是指数型的增函数.故选B.指数函数的图象与性质.4．若正实数a ，b ，c 满足1b a c c c <<<，则a ，b 的大小关系为（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1b a <<D ．1a b<<【正确答案】A【分析】根据已知可得01c <<，根据指数函数的单调性，即可得出答案.【详解】因为c 是正实数，且1c <，所以01c <<，则函数x y c =单调递减.由1b a c c c <<<，可得10b a c c c c <<<，所以01a b <<<．故选：A.5．若0a >且1a ≠，函数()(),140.52,1x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)【正确答案】D【分析】由已知可得函数()f x 在R 上单调递增，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ ，∴对任意的实数12x x ≠都有1212()[()()]0x x f x f x -->成立，可知函数()f x 在R 上单调递增，1140.50(40.5)12a a a a >⎧⎪∴->⎨⎪≥-⨯+⎩，解得[4,8)a ∈，故选：D.6．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,4【正确答案】C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤，解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+，由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]1,4.故选：C.本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.7．已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且当π3x =时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[,0]a 上单调递减，则a 的最小值是（）A ．π6-B ．5π6-C ．2π3-D ．π3-【正确答案】A【分析】根据最小正周期求出2ω=，根据当π3x =时，函数取最小值，求出π3ϕ=，从而π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[,0]x a ∈得到22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由单调性列出不等式，求出06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】因为0ω>，所以2π2π2πT ω===，故13πcos(2)ϕ⨯+=-，所以2ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z k k ϕ=+∈23，因为π||2ϕ<，所以只有当0k =时，π3ϕ=满足要求，故π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[,0]x a ∈，所以22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故π2,33π0a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，解得：06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故a 的最小值为π6-.故选：A8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“21p -”（p 是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21p -”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，则下列各数中与NM最接近的数为（）（参考数据：lg 20.3010≈）A ．18010B ．17710C ．14110D ．14610【正确答案】B【分析】根据题意，得到6076075901717212==2212N M -≈-，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】由第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，，可得6076075901717212=212N M -≈-，令5902k =，两边同时取对数，则590lg 2lg k =，可得lg 590lg 2k =，又lg 20.3010≈，所以lg 5900.3010177.59k ≈⨯=，17710k ≈与NM最接近的数为17710.故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若,a b 为正实数，a b ¹，则3223+a b a b b a +>B ．若,,a b m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若,a b R ∈，则“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin x x +的最小值是【正确答案】AC利用作差法可考查选项A 是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B 是否正确；利用不等式的性质可考查选项C 是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D 是否正确.【详解】对于A ，若a ，b 为正实数，a b ¹，()()()233220a b a b ab a b a b +-+=-+>，3322a b a b ab ∴+>+，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a b <，()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++，则a m ab m b+>+，故B 错误；对于C ，若11a b <，则110b aa b ab--=<，不能推出0a b >>，而当0a b >>时，有0>0b a ab -<，，所以0b aab -<成立，即11a b<，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，2sin sin x x +≥=，当且仅当()sin 0,1x =时取等号，故D 不正确.故选：AC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．已知关于x 的方程23xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】CD【分析】化简方程得23x m =±，利用指数函数的值域，列式求解得出答案.【详解】23xm -= ，23x m ∴-=±，23x m -= 有两个不等实根，即23x m =±有两个不等实根，则3030m m +>⎧⎨->⎩，解得3m >，显然选项A ，B 不满足，选项C ，D 满足.故选：CD.11．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--，则下列说法正确的是（)A ．ππsin cos 66f f⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭B ．(sin1)(cos1)f f <C ．2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(cos 2)(sin 2)f f >【正确答案】BD【分析】根据函数的周期性可得()f x 在[]1,1-上的解析式以及函数在[0,1]上的单调性.比较自变量的大小，即可根据单调性判断A 、B 项；又易知()f x 在[1,1]-上为偶函数，则根据()()f x f x =，可将[1,0]-上的自变量转化为[0,1]上，进而根据单调性，即可判断C 、D 项.【详解】当[1,1]x ∈-时，则[45]3,x +∈，于是()(2)(4)2||f x f x f x x =+=+=-，当01x ≤≤时，()2f x x =-，所以函数()f x 在[0,1]上单调递减；当10x -≤<时，()2f x x =+，所以函数()f x 在[1,0]-上是增函数.()f x 的定义域[1,1]-关于原点对称，且此时()()22-=--=-=f x x x f x则()f x 在[1,1]-上为偶函数.对于A 项，因为ππ0sincos 166<<<，所以ππsin cos 66f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 项，因为0cos1sin11<<<，所以(cos1)(sin1)f f >，故B 正确；对于C项，因为2π12π0cossin 1323<==<，所以2π2πcossin 33f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，所以2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为ππ0|cos 2|cos sin |sin 2|144<<=<<，所以(|cos2|)(|sin 2|)f f >，所以(cos 2)(sin 2)f f >，故D 正确．故选：BD.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中错误的是（）A ．当121122x x -<<<时，恒有()()12f x f x >B ．若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D ．若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，则34a =-【正确答案】ACD【分析】根据奇函数的定义确定()f x 在(1,0)-上单调性与性质，然后由函数值大小可判断A ，由函数解析式分段求函数值的范围后可判断B ，由直线y kx =与函数()f x 的图象交点个数判断C ，求出3()4f x =的根是17,26，然后确定a 值使()f x a =根的和为53-即可判断D ．【详解】选项A ，()f x 是奇函数，10x -≤<时，22()()[()()1]1f x f x x x x x =--=----+=---213()24x =-+-，在1(,0)2-上递减，且()0f x <，()f x 是奇函数，则(0)0f =，01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，在1(0,)2上递减，但()0f x >，因此()f x 在11(,)22-上不是增函数，A 错；选项B ，当01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，13()24f =，因此12m ≥，当1m >时，1()21f x x =-是减函数，由13214x =-得76x =，因此76m ≤，综上有1726m ≤≤，B 正确；选项C ，易知0x =是()F x 的一个零点，由于(1)1f =，y kx =过点(1,1)时，1k =，此时由21y xy x x =⎧⎨=-+⎩得21x x x -+=，2(1)0x -=，121x x ==，即直线y x =与21y x x =-+在点(1,1)处相切，因此1k >时，直线y kx =与21(01)y x x x =-+<<的图象只有一交点，在01k <<时，直线y kx =与1(1)21y x x =>-只有一个交点，从而0k >时，直线y kx =与()F x 的图象有三个交点，而0x >时，()0f x >，因此0k ≤，直线y kx =与()F x 的图象无交点，所以直线y kx =与()F x 的图象不可能是5个交点，即函数()()F x f x kx =-不可能有5个不相等的零点，C 错；选项D ，由上讨论知3()4f x =的解为12x =和76x =，因此若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，由()f x 是奇函数知若34a =-，则()f x a =的解是12x =-和76x =-，符合题意，但513(537213f ==⨯-（由此讨论知3()7f x =只有一解），即53()37f -=-，即37a =-时，关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和也为0，D 错．故选：ACD ．方法点睛：解决分段函数的零点与交点问题，把零点问题转化为直线与函数图象交点问题进行处理，从而利用函数的性质确定出函数解析式，作出函数图象，观察出结论并找到解题思路．三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知函数()()22,1log 1,1x ax f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的值为_________．先求()03f =，再代入求()3f ，求实数a 的值.【详解】()00223f =+=，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，即22a =，又0a >，且1a ≠，所以a =15．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【正确答案】3【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出a 和m 的值，最后根据()g x 的单调性检验即可得到.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =是正实数集上的增函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有(4)log 42a f ==，解得2a =，所以21log 12m ==-，此时()g x =[)0,∞+上是增函数，符合题意，因此()213a m -=--=；当01a <<时，函数()log a f x x =是正实数集上的减函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有11log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a =44m ==-，此时()g x =-在[)0,∞+上是减函数，不符合题意.综上所述，2a =，1m =-，3a m -=.故3.16．若函数()()()sin cos 0f x x x ϕϕ<π=++<的最大值为2，则常数ϕ的值为_______．【正确答案】2π根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=.故答案为.2π四、解答题17．在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<(1)若2a =，求()()U UC A C B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1{}1|x x x ≤-≥或(2)(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A ；（2）对集合B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选①：222213{|1}{|0}{|0}{|13}1111x x x x A x x x x x x x x x --+-=<=-<=<=-<<++++，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选②：{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选③：()(){}233{|log }031011x x A x y x x x x x x ⎧⎫--====-+=⎨⎬++⎩⎭{|13}x x -<<，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.（2）由（1）知{|13}A x x =-<<，()22{|0}{|()10}B x x x a a x x a x a ⎡⎤=++-<=++-<⎣⎦，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，（i ）若(1)a a -<--，即12a >，此时{|(1)}B x a x a =-<<--，所以1,3(1)aa -≥-⎧⎨≤--⎩等号不同时取得，解得4a ≥.故4a ≥.（ii ）若(1)a a -=--，则B =∅，不合题意舍去；（iii ）若(1)a a ->--，即12a <，此时{|(1)}B x a x a =--<<-，1(1),3a a -≥--⎧⎨≤-⎩等号不同时取得，解得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.18．（1）已知sin 2cos 0αα-=，求22sin cos sin 3sin cos 2cos αααααα--的值；（2）已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，求()()()2sin 3tan 34cos παπααπ----的值.【正确答案】（1）12-；（2）73.【分析】（1）先求出tan 2α=，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出4sin 5α=-，3cos 5α=，得到4tan 3α=-，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【详解】（1）由sin 2cos 0αα-=知tan 2α=∴原式=2tan 21tan 3tan 24622ααα==-----（2） 4sin()5απ+=∴4sin 05α=-<又sin cos 0αα<∴cos 0α>∴3cos 5α==∴4tan 3α=-原式=()()2sin 3tan 4cos απαπα---=2sin 3tan 4cos ααα+-=44237533345⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯19．已知函数()323log 1x f x x -=-．(1)求函数()f x 的解析式及定义域；(2)求函数()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【正确答案】(1)()()12031xf x x =-≠-，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U (2)()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.（2）结合3x 的取值范围来求得()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【详解】（1）对于3log x ，需0x >；对231x x --，需1x ≠；则()()3log ,00,x ∈-∞⋃+∞，令3log t x =，则0t ≠，3t x =，()()231123312313131tt t t t f t ⋅--⋅-===----，所以()()12031x f x x =-≠-，即()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U .（2）当0x <时，11031,1310,1,13131x xxx <<-<-<<-->--，12331x ->-.当02x <<时，1111139,0318,,318318x xx x <<<-<>-<---，1115223188x-<-=-.所以()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域为()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.20．已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【正确答案】（1）最小正周期为π，单调减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）max ()f x =，此时8x π=，min ()1f x =-，此时2x π=.【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；（2）先求出24x π-的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.【详解】解：（1）()f x 的最小正周期22||2T πππω===.令2224k x k ππππ≤-≤+，解得588k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，此时时，()f x 单调递减，()f x ∴的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则32,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故cos 2,142x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()24f x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，max ()f x ∴=cos 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即204x π-=，即8x π=；min ()1f x =-，此时cos 242x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3244x ππ-=，即2x π=.方法点睛：解决三角函数()cos y A x ωϕ=+的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.21．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度(y 单位：毫克/立方米)随着时间(x 单位：小时)变化的关系如下：当04x 时，1618y x =--；当410x <时，15.2y x =-若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒(14)a a 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【正确答案】(1)8(2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为()644,048202,410x f x x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，由()4f x ≥求解；（2）得到从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，64448x-≥-，解得0x ≥，此时04x ≤≤，当410x <≤时，2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤，综上08x ≤≤，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，其浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1616101441414a ax a x a x x=-+-=-+----，因为[][]144,8,1,4x a -∈∈，所以161444414a x a a a x -+--≥--=---，当且仅当161414ax x-=-，即14x =-时，等号成立；所以其最小值为4a --，由44a -≥，解得244a -≤，所以a 的最小值为24 1.6-≈.22．我们知道，指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）与对数函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）互为反函数.已知函数()2xf x =，其反函数为()g x .(1)求函数()()()223F x g x tg x =-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈的最小值；(2)对于函数()x ϕ，若定义域内存在实数0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则称()x ϕ为“L 函数”.已知函数()()()223,1,3,1f x mf x x h x x ⎧⎡⎤--≥-⎪⎣⎦=⎨-<-⎪⎩为其定义域上的“L 函数”，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,∞-+【分析】（1）利用换元法令2log ,[1,3]p x p =∈，可得所求为关于p 的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在[1,1]-、(,1)-∞-和(1,)+∞上存在实数0x ，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.【详解】（1）由题意得2()log g x x=所以()()()()222223log 2log 3F x g x tg x xt x =-+=-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈，令2log ,[1,3]p x p =∈，设2()23,[1,3]M p p tp p =-+∈则()M p 为开口向上，对称轴为p t =的抛物线，当1t ≤时，()M p 在[1,3]上为单调递增函数，所以()M p 的最小值为(1)42M t =-；当13t <<时，()M p 在(1,)t 上单调递减，在(,3)t 上单调递增，所以()M p 的最小值为2()3M t t =-；当3t ≥时，()M p 在[1,3]上为单调递减函数，所以()M p 的最小值为(3)126M t =-；综上，当1t ≤时，()F x 的最小值为42t -，当13t <<时，()F x 的最小值为23t -，当3t ≥时，()F x 的最小值为126t-（2）①设在[1,1]-上存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则0000114234230x x x x m m +--+-⋅-+-⋅-=，令0022x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号，又0[1,1]x ∈-，所以115222t -≤+=，即52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以00001124234232260x x x x m m t mt +--+-⋅-+-⋅-=---=，所以28471,2220t t m t t -⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦所以71,20m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦②设在(,1)-∞-存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则00134230x x m --+-+-⋅-=，即001232x x m --=-⋅有解，因为1232x x y --=-⋅在(,1)-∞-上单调递减，所以12m >-，同理当在(1,)+∞存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-时，解得12m >-，所以实数m 的取值范围[)1,∞-+解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题。
精品解析：山东省潍坊市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题(解析版)
高一数学（答案在最后）本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.13lg10027-=（）A.1 B.0C.1- D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用对数和指数的运算性质计算可得所求代数式的值.【详解】()112333lg10027lg103231-=-=-=-.故选：C.2.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A.ln y x = B.1y x=C.2y x = D.e 1x y =-【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、二次函数、反比例函数的性质判定即可．【详解】因为底数e 1>，所以ln y x =，e 1x y =-都是单调递增函数，不合题意；当,()0x ∈+∞时，2y x =单调递增，不合题意；1y x=反比例函数，且10>，所以当,()0x ∈+∞时单调递减，故选：B ．3.设m ∈R ，命题“存在0m ≥，使210mx mx --=有实根”的否定是（）A.任意0m ≥，使210mx mx --=无实根B.任意0m <，使210mx mx --=有实根C.存在0m ≥，使210mx mx --=无实根D.存在0m <，使210mx mx --=有实根【答案】A 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.【详解】由题意知命题“存在0m ≥，使210mx mx --=有实根”为存在量词命题，其否定为：任意0m ≥，使210mx mx --=无实根，故选：A4.已知 1.013152,log 4,4a b c ===，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】分别将,,a b c 与1,2比较大小即可得解.【详解】因为 1.011222a =>=，3331log 3log 4log 92b =<=<=，144c =<=，所以c b a <<.故选：D5.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）A.710B.310C.25D.15【答案】B 【解析】【分析】设乙在5次综合测评中的成绩中被污损数字为x ，由题意求得甲乙两人的平均值或平均值表达式，列不等式求出x 的范围，确定被污损数字，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】设乙在5次综合测评中的成绩中被污损数字为x ，则{0123456789}x ,,,,,,,,,∈，依题意得甲的平均值为1(88+89+90+91+92)905=，甲的平均值为11(8384879099)(443)55x x +++++=+，由题意可得1(443)905x +≥，解得7x ≥，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩时被污损的数字可能为7、8、9，故甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为310，故选：B6.已知关于x 的不等式211x a x -≤--的解集是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则实数a 的值为（）A.1-B.1C.43D.2【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解集可得答案.【详解】由211x a x -≤--得13301+⎛⎫- ⎪⎝⎭≤-a x x ，因为不等式211x a x -≤--的解集是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以1233+=a ，解得1a =.故选：B .7.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现偶数点”，B =“第二枚出现奇数点”，则下列说法正确的是（）A.A 与B 互斥B.A 与B 互为对立C.A 与B 相等D.A 与B 相互独立【答案】D 【解析】【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.【详解】事件A 与B 能同时发生，如第一枚的点数2，第二枚的点数为1，故事件A 与B 既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A ，B 错误；()361662P A ⨯==⨯，()361662P B ⨯==⨯，()331664P AB ⨯==⨯，()()111224P A P B ⋅=⨯=，因为()()()P A P B P AB ⋅=，所以A 与B 独立，故选项D 正确；事件A 与B 不相等，故选项C 错误.故选：D.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意的12,(,0]x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则不等式(1)()0x f x ->的解集为（）A.(0,1)B.()1,∞+ C.,1(),)1(-∞-⋃+∞ D.(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析出()f x 的单调性，且得到0x >时，()0f x >，0x <时，()0f x <的结论，然后分类讨论解不等式即可.【详解】对于任意的12,(,0]x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 在],(0x ∈-∞严格增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上严格增，且(0)0f =，所以0x >时，()0f x >，0x <时，()0f x <，10(1)()0()0x x f x f x ->⎧->⇔⎨>⎩或10()0x f x -<⎧⎨<⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或1x x <⎧⎨<⎩，所以(,0)(1,)x ∈-∞+∞ ，故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a b c >>，则（）A.0ac <B.ab bc> C.ac bc< D.11a c>【答案】ACD 【解析】【分析】由题意判断出0,0a c ><，继而结合不等式的性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】由实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a b c >>，得0,0a c ><，b 的正负无法确定；故0ac <，A 正确；由于0,0a c ><，则a c >，但b 的正负不确定，故不能确定ab bc >，B 错误；由于a b c >>，0c <，故ac bc <，C 正确；由于0,0a c ><，故110a c>>，D 正确，故选：ACD10.已知函数()f x 的定义域为R ，值域为[2,3]-，则下列函数的值域也为[2,3]-的是（）A.(1)y f x =+B.()1y f x =+ C.()y f x =- D.()y f x =-【答案】AC 【解析】【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.【详解】对于A ，(1)y f x =+的图象可看作由()f x 的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确；对于B ，由()[]2,3y f x =∈-可得()[]11,4y f x =+∈-，即()1y f x =+的值域为[]1,4-，错误；对于C ，函数()y f x =-与函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故函数()y f x =-的值域与函数()y f x =的值域相同，为[2,3]-，正确；对于D ，由()[]2,3y f x =∈-可得[]()3,2y f x =-∈-，即()y f x =-的值域为[]3,2-，错误.故选：AC11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（）A.众数为1且中位数为4B.平均数为3且极差小于或等于2C.且平均数为2 D.平均数为2且中位数为3【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，举出反例可得A 错误，由平均数、极差的性质分析B ，由标准差、平均数的公式分析C ，由中位数、平均数的定义分析D ，综合可得答案．【详解】根据题意，设7天数据中，最小值为a ,最大值为b ,依次分析选项：对于A ，数据1、1、1、4、5、6、7，满足众数为1且中位数为4，但不满足“每天新增疑似病例不超过5人”，不符合题意；对于B ，若数据的平均数为3，其数据的最小值3a ≤，又由极差小于或等于2，故数据中的最大值5b ≤，符合题意；对于C，则其方差为2，假设6b ≥，则方差的最小值为()26216277-=>矛盾，故必有5b ≤，符合题意；对于D ，假设设6b ≥，由于其中位数为3，则平均数的最小值为()1150003336277++++++=>，与平均数为2矛盾，故必有5b ≤，符合题意．故选：BCD ．12.已知函数2(2)124,1,()log (1),1,x x f x x x +⎧≤-⎪=⎨+>-⎪⎩若函数()y f x m =-有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A.14m <≤ B.3151162x -≤<-C.函数(1)f x +的增区间为[2,1]--D.2212log m x x ++的最小值为8+【答案】ABD 【解析】【分析】做出()f x 的图像可直接判断AC ；对于B 只需计算()12log 1y x =+与1,4y y ==的交点即可；对于D ，把所求的式子消元变成1x 的函数，再经过适当的变形运用基本不等式即可.【详解】如图所示：对于A ：方程()f x m =有三个解⇔()y f x =与y m =有3个交点，从图中可以看出A 正确；对于B ：令()12log 14x +=得1516x =-，即B 点的坐标为15,416⎛⎫- ⎪⎝⎭，令()12log 11x +=得12x =-，即C 点的坐标为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，由图可知3x 的范围应该介于B ，C 之间，可以取B 点，不能取C 点，所以3151162x -≤<-，故B 正确；对于C ：()f x 的增区间为[]2,1--，所以()1f x +的增区间为[]3,2--，故C 错误；对于D ：12,x x 关于2x =-对称，所以124x x +=-，()()22122244x x m ++==令()2244x +=得3x =-或=1x -，由图可知[)13,2x ∈--()()()()22122222121112411log 4log22842x m x x x x x x +++=+--+=++++()()212112288842x x +++≥=++等号当()()212112242x x +=+时即1x =[)23,22--∈--时成立，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数方程思想，数形结合思想以及函数的最值的求法，有两个关键：1：做出()f x 的图像，对于ABC 选项并不难判断；2：对于D 选项，可以理解为是个多元函数问题，遇到多元函数问题，最常见的办法是通过消元把多元函数问题转化成一元函数问题求解，另外运用基本不等式的时候注意判断是否满足一正二定三相等的条件，尤其要判断是否能够取等号.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据18，27，30，33，34，40，42的75%分位数为__________．【答案】40【解析】【分析】按照百分位数计算公式，即可求解.【详解】这一组数据共7个数据，775% 5.25⨯=，所以第75%分位数为第6个数据，是40.故答案为：4014.已知定义在R 上的函数()f x 满足以下两个条件：①对任意12,x x 恒有()()()1212f x x f x f x +=；②()f x 在R 上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数()f x =________．（答案不唯一）【答案】12x⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数满足的条件，结合指数函数的性质，即可写出一个满足题中条件的函数.【详解】根据题意知函数()f x 满足以下两个条件：①对任意12,x x 恒有()()()1212f x x f x f x +=；②()f x 在R 上单调递减，则1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且()1212111222x x x x+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即满足()()()1212f x x f x f x +=，故1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭符合题意，故答案为：12x⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）15.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立.在某局打成10:10后，甲先发球，则甲以13:11获胜的概率为______.【答案】16【解析】【分析】先根据甲以13:11获胜时，前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜，再利用独立事件概率公式和互斥事件概率公式即可求解.【详解】由题意可得，甲、乙的比分为10:10后，甲、乙又进行了4场比赛，每场比赛结果相互独立，前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜.则甲以13:11赢得比赛的概率为212111211323232326⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.故答案为：1616.已知实数a ，b 满足212e 2,ln 02ea ba b +=+=，则a b +=______.【答案】2【解析】【分析】原等式可分别变形为1e ln e 22a a +=，+ln22b b =，可构造函数()1ln 2f x x x =+，结合函数单调性可得e 2a b =，结合已知条件即可得解.【详解】由22ln0ebb +=得，2ln 2ln e 0b b -+=，即+ln22b b =，由1e 22a a +=得，1e ln e 22a a+=，令()1ln 2f x x x =+，则()f x 在定义域内单调递增，有()2ln 22f b b b =+=，()1e e ln e 22a a af =+=，故e 2a b =，即1e 2a b =，所以1e 22aa b a +=+=.故答案为：2.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}(2)(8)0,3A x x x B x x =+-≤=<.（1）求A B ⋂；（2）若集合{}64C x m x m =-<<，且“x C ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}23A B x x ⋂=-≤<（2）(2,4)【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求解A ，解绝对值不等式求解B ，进而根据交集的运算求解；（2）根据已知可推得A 是C 的真子集，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案.【小问1详解】由题意得，{}{}(2)(8)028A x x x x x =+-≤=-≤≤，{}{}333B x x x x =<=-<<,所以{}23A B x x ⋂=-≤<.【小问2详解】因为“x C ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以集合A 是集合C 的真子集，所以6248m m -<-⎧⎨>⎩，解得24m <<，所以实数m 的取值范围是(2,4).18.已知函数2()x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在函数()log a g x x =的图象上．（1）求函数()g x 的解析式；（2）若存在互不相等的实数m ，n 使|()||()|g m g n =，求mn 的值．【答案】（1）2()log g x x =（2）1mn =【解析】【分析】（1）函数()f x 的图象恒过定点(2,1)A ，代入()g x 可得答案；（2）由()()=g m g n 得22log log m n =或22log log m n =-，根据对数的运算性质可得答案．【小问1详解】令20x -=得2x =，所以函数()f x 的图象恒过定点(2,1)A ，所以(2)log 21a g ==，解得2a =，所以2()log g x x =；【小问2详解】由()()=g m g n ，得22log log m n =，所以22log log m n =或22log log m n =-，当22log log m n =时，由2log y x =单调性知，m n =，不符合题意；当22log log m n =-时，222log log log 0m n mn +==，所以1mn =．19.甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为12，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是14.（1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率.【答案】（1）23,34（2）3536【解析】【分析】（1）记事件A ：甲机床加工的零件是一等品，事件B ：乙机床加工的零件是一等品，且A 与B 相互独立，根据11(),()24P AB P AB ==，结合独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式列方程组求解即可；（2）记事件C ：从甲加工的零件中取两个都不是一等品，事件D ：抽取的三个零件至少有一个一等品，根据独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可.【小问1详解】记事件A ：甲机床加工的零件是一等品，事件B ：乙机床加工的零件是一等品，且A 与B 相互独立，由题意得，11(),()24P AB P AB ==，所以()()()()()()()()12114P AB P A P B P AB P A P B P A P B ⎧==⎪⎪⎨⎪⎡⎤==-=⎣⎦⎪⎩，解得23(),()34P A P B ==.【小问2详解】记事件C ：从甲加工的零件中取两个都不是一等品，事件D ：抽取的三个零件至少有一个一等品，则111()()()339P C P A P A ==⨯=，所以1135()1(1()(19436P D P CB P C P B =-=-=-⨯=.20.已知函数2()1(0)f x ax x a =+-≠.（1）解关于x 的不等式()1f x >-；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(,)m n .（i ）求11m n+的值；（ii ）求4m n +的最小值.【答案】（1）当0a >时，不等式的解集为1,(0,)a ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭；当a<0时，不等式的解集为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）（i ）1；（ii ）9【解析】【分析】（1）根据0a >和a<0分类讨论解不等式即可.（2）（i ）由题意m ，n 分别是方程210ax x +-=的两根，利用韦达定理即可得解；（ii ）结合（i ）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【小问1详解】不等式()1f x >-，整理得(1)0x ax +>，当0a >时，原不等式可化为10x x a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，此时不等式的解为1x a <-或0x >；当a<0时，原不等式可化为10x x a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，此时不等式的解为10x a<<-；综上，当0a >时，不等式的解集为1,(0,)a ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭；当a<0时，不等式的解集为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭.【小问2详解】（i ）若()0f x >的解集为(,)m n ，则m ，n 分别是方程210ax x +-=的两根，且a<0，由韦达定理可知11m n a m n a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，所以111m n m n mn ++==.（ii ）由（i ）知，0,0m n >>，所以1144(4)559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n=，即3,32m n ==时等号成立，所以4m n +的最小值为9.21.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70,90)内取2件，乙型芯片指标在[50,70]内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在[50,60)和[70,80)内各1件的概率；（3）根据检测结果确定该指标的一个临界值c ，且[50,60]c ∈，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A 型手机、B 型手机各1万部，有以下两种方案可供选择：方案一：将甲型芯片应用于A 型手机，其中该指标小于等于临界值c 的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片会导致每部手机损失300元；方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，【答案】（1）47（2）15（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；（2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解；（3）根据频率分布直方图，计算损失费用与c 的关系式，即可比较后，判断选择的方案.【小问1详解】由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为：()250.002350.026450.032550.030650.0101047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.【小问2详解】根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在[70,80)和[80,90)的各1件，分别记为A 和B ，来自乙型芯片指标在[50,60)和[60,70]分别为3件和1件，分别记为123,,C C C 和D ，从中任取两件，样本空间可记为()()()()(){123Ω,,,,,,,,,,A B A C A C A C A D =()()()()()()()()()()123121312323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}B C B C B C B D C C C C C D C C C D C D 共包含15个样本点，记事件E ：指标在[50,60)和[70,80)各1件，则()()(){}123,,,,,E A C A C A C =共包含3个样本点，所以31()155P E ==．【小问3详解】设将甲、乙两种型号芯片应用于A 型、B 型手机时，该科技公司损失为y （万元），700[0.002100.005(50)]300[0.01100.03(60)]y c c =⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯-409 5.5,[50,60]c c =-∈，所以当5056c ≤<时，101y >；当56c =时，101y =；当5660c <≤时，101y <，综上，当临界值[50,56)c ∈时，选择方案二；当临界值56c =时，选择方案一和方案二均可；当临界值(56,60]c ∈时，选择方案一．22.已知函数()22,0,2,0x x mx x a a x f x a a x -⎧+-≥=⎨--+<⎩（0a >且1a ≠）为奇函数，且()|()|g x f x =．（1）求实数m 的值；（2）若对于函数(),[,]y m x x p q =∈，用()010,1,2,,,i n x i n p x x x q ==<<<= 将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，若存在常数0M >，使得和式()()11ni i i m x m x M -=-≤∑对任意的划分恒成立，则称函数()m x 为[,]p q 上的有界变差函数．判断函数()g x 是否为log 2,log 4a a ⎡⎤-⎣⎦上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2m =-（2）()y g x =是log 2,log 4a a ⎡-⎤⎣⎦上的有界变差函数，当01a <<时，M 的最小值为4716；当1a >时，M 的最小值为22．【解析】【分析】（1）根据奇函数定义运算求解；（2）先证明()y g x =为偶函数，分01a <<和1a >两种情况讨论，根据有界变差函数的定义，结合绝对值不等式性质运算求解.【小问1详解】因为()y f x =为奇函数，所以当0x <时，()2()()22x x mx x f x f x a a a a ---=--=-+-=--+，化简得2mx x a a -=，所以2m =-，代回检验符合题意．【小问2详解】()y g x =是log 2,log 4a a ⎡⎤-⎣⎦上的有界变差函数．证明如下：因为()|()||()||()|()-=-=-==g x f x f x f x g x ，x ∈R ，所以()y g x =为偶函数，（i ）当01a <<时，当0x <时，2211()22x x x x f x a a a a --⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，所以()(0)0f x f >=，即()()g x f x =在[]log 2,0a 上单调递减，又()y g x =为偶函数，所以()y g x =在[]0,log 4a -上单调递增．对区间[]log 2,log 4a a -任意划分01log 2log 4a n a x x x =<<<=-L ，若存在k ，满足0k x =，则()()()()()()()()1101110n i i k n n i g x g x g x g x g x g g x g x -+-=-=-++-+-∑ ()()()()()()()()0111100k k n n g x g x g x g g x g g x g x -+-=-++-+-++- ()()()()()05173720log 2log 42041616n a a g x g x g g g =+-=+--⨯=+=故若存在常数M ，使得()()11n i i i g x g x M -=-≤∑，则4716M ≥，否则必定存在k ，使得10k k x x +<<，下证当4716M =时，此时()()11n i i i g x g x M -=-≤∑也恒成立，证明：()()()()()()()()110111n i i k k n n i g x g x g x g x g x g x g x g x -+-=-=-++-+-∑()()()()()()()()101100k k n n g x g x g x g g g x g x g x +-=-++-+-+- ()()()()()()()()101100k k n n g x g x g g x g x g g x g x +-≤-++-+-+- ，()()()()()()()()011100k k n n g x g x g x g g x g g x g x +-=-++-+-++- ()()()()()05173720log 2log 42041616n a a g x g x g g g =+-=+--⨯=+=，综上，当01a <<，M 的最小值为4716．（ii ）当1a >时，当0x >时，2()2x x f x a a =+-单调递增，所以()(0)0f x f >=，即()()g x f x =在[]0,log 4a 上单调递增，又()y g x =为偶函数，所以()y g x =在[]log 2,0a -上单调递减，对区间[]log 2,log 4a a -任意划分01log 2log 4a n a x x x -=<<<=L ，若存在k ，满足0k x =，则()()()()()()()()1101110n i i k n n i g x g x g x g x g x g g x g x -+-=-=-++-+-∑ ()()()()()()()()0111100k k n n g x g x g x g g x g g x g x -+-=-++-+-++- ()()()()()020log 2log 42041822n a a g x g x g g g =+-=-+--⨯=+=，故若存在常数M ，使得()()11ni i i g x g x M -=-≤∑，则22M ≥，否则必定存在k ，使得10k k x x +<<，下证当22M =时，此时()()11ni i i g x g x M -=-≤∑也恒成立，证明：()()()()()()()()110111n i i k k n n i g x g x g x g x g x g x g x g x -+-=-=-++-+-∑ ()()()()()()()()101100k k n n g x g x g x g g g x g x g x +-=-++-+-+- ()()()()()()()()101100k k n n g x g x g g x g x g g x g x +-≤-++-+-+- ，()()()()()()()()011100k k n n g x g x g x g g x g g x g x +-=-++-+-++- ()()()()()020log 2log 42041822n a a g x g x g g g =+-=-+-⨯=+=，综上，当1a >，M 的最小值为22．综上所述，当01a <<时，M 的最小值为4716；当1a >时，M 的最小值为22．【点睛】思路点睛：本题第二问属于函数新定义问题，首先证明()y g x =为偶函数，分01a <<和1a >两种情况讨论，根据单调性将区间log 2,log 4a a ⎡⎤-⎣⎦划分，根据有界变差函数的定义，结合绝对值不等式性质运算证明.。