高中数学-基本初等函数
函数的基本及性质
教学过程：
【基础知识回顾】
（一）指数与指数幕的运算 1 .根式的概念
n
一般地，如果X
a
，那么X 叫做
a
的n 次方根，其中n >i ，且n § N *.当
n
是奇数时，正数的n 次
方根是一个正数，负数的
n
次方根是一个负数?此时，
a
的
n
次方根用符号 茨 表示.式子乌a 叫做根式，
这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方数.
由此可得：负数没有偶次方根； o 的任何次方根都是 o ，记作'
0 0
2 ?分数指数幕
正数的分数指数幕的意义
规定：0的正分数指数幕等于 0 , 0的负分数指数幕没有意义
m
a n 1
n
a m (a 0, m, n N , n 1)
m
a n
1
1
*
m
n m (a 0
, " N ,n 1)
a n
7
3 ?无理指数幕
a （a 0,是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质同样
适用于无理数指数幕.
4.有理指数幕的运算性质
(1 ) r
r
a .a r s
a
(a 0,r,s Q). (2) (a r )s rs
a (a 0,r,s Q). (3) (ab)r
r s
a a
(a 0,b 0,r
指出：一般地，无理数指数幕
定义域.对数的性质 值域1 )对数基本特点:
单调性
(数)y=o g e a 的图象
B.与y=e x 的图象关于坐标原点对称
lOg a (MN) lOg a M log a N
(三) 对数的概念及运算性质
M
1 .对数的概念^a M 砸玄“
m
m
o
般地
M
如果na
X
og N M
(a 0,a 1)，那么数
x
叫做以
a
为底N 的对数，记作：x log a N
两个重要对数： (二)指数函数的概念 ①常用对数：以屮为底的对数a ?讣； 一般地，函数y a (a 0,且a
I 丿叫做指数函数，其中
②自然对数：以无理数 注意： 指数函数的定
义是一个形式定义, e
2.71828为底的对数的对数 要引导学生辨析； x 是自变量，函数的定义域为 R .
ln N
2 .对数式与指数式的互化 指数函数的图象和性质 log a N a x N 幂底数 指数
(0,1)
y=1
a
—底数，N —真数，log a
N —对数式
a N log a N x
(1) 负数和零没有对数;
(2)
过定点
的对数是零：
log a 1
(3) 底数的对数是 1:
log a a
练习:
(4)
对数恒等式: 如果a =
e
0：a 勺图象关于o yMW 称有
D.与y=e g x 的图象关于坐标原点对称
（3 ）对数换底公式:
（四）对数函数的概念及性质
1 ?定义：函数 y log a x （a 0 ,且a 1）叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是（ 0, + ^）.
x
注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别?如：
y 2log 2x , y log 5 都
5
不是对数函数，而只能称其为对数型函数.
0对数函数对底数的限制：
（a 0
，且
a 1）
.
1 - ■' ■ ■ 的上值依次为（）.
lOg a N
log m N
log
m
a
(a 0 , a 1, m 0 , m 1,N
0)
(4 )两个常用的推论： ① log a b log b a 1
log a m b n
— log a b
②
m
log a b log b C log c a 1
(a, b 0且均不为1)
练习：1 ?如图，曲线是对数函数' L 2
的图象，已知
，则相应于曲线
2、对数函数的图象和性质
如果<0，则幕函数的图像过点（1 , 1 ）,并在（0 , + %）为减函数。
（五）幕函数
3^5 26 <5 2^6 =
1、幕函数的定义：一般地，我们把形如A X的函数称为幕函数，其中x是自变量，a是常数
所有幕函数在2（0，+ 都有定义，并且函数都通过点（1，1 ）
4、已知函果f（x）（=，则幂函数的图像过点（0则o f-，并在％!=+亠）为增函数。
3、
2
已知X
1,x 0, y 0 log a(1 X)
且
m，^a1 n,则log y a
等于（
c
、
4、如果方程
ig2x (Ig5 lg 7)lg lg5glg7
的两根是，则
g
的值是（
Ig5gg7
B
、
Ig35
35D、35
5、已知
log
7
[lOg
3（
log
2X）]
，那么
1
2 x
等于
_1_
2 .3
_1_
2.2
_1_
3、
3