中考数学专题复习 第二讲 函数应用

中考数学专题复习第二讲函数应用 【专题分析】 函数的应用是中考每年必考题型,成为卷中的亮点题目,形式设置简洁流畅,背景鲜活,体现初高中数学知识的衔接.尤其对函数的实际应用题,应注意第一步由实际问题抽象出数学问题;第二步解决数学问题,从而使实际问题得到解决.其间应注意对转化、数形结合、方程、待定系数法等思想方法的灵活运用 函数的实际应用题是近年中考的热点试题,这类题来源于生活和生产实践,贴近生活,具有较强的操作性和实践性,所以参考条件多,思维有一定的深度,解答方法灵活多样,解决问题时要慎于思考.题型主要包括:根据实际意义建模;利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等. 中考试卷往往以实际生活为背景命制题目,体现数学与生活的联系.把数学问题转化在生活背景中是近年来经常出现的命题方式,无不体现数学在实际生活中的应用. 纯函数型情境应用题:解决这类问题的关键是针对背景材料,设定合适的未知数,找出相等关系,建立方程(组)、不等式、函数型模型来解决. 几何背景下的函数情境应用题:解决这类问题的关键是在理解题意的基础上,对问题进行恰当的抽象与概括,建立恰当的几何模型,从而确定某种几何关系,利用相关几何知识来解决.几何求值问题,当未知量不能直接求出时,一般需设出未知数,继而建立方程(组),用解方程(组)的方法去求结果,这是解题中常见的具有导向作用的一种思想. 【知识归纳】 对于几何图形与函数图象结合的综合题型,解题的关键是利用几何图形的有关性质确定点的坐标,联想到点的坐标和线段长之间的转化关系,一般作垂直于坐标轴的线段,构建直角三角形,利用勾股定理、相似、三角函数等相关知识求出点的坐标,利用待定系数法求出函数解析式,结合图象也可进一步解决几何图形的其他问题. 【题型解析】 题型1:一次函数与反比例函数的综合应用 例题:（重庆B）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=，点B的坐标为（4，n） （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△BCH的面积．

【分析】（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC的长，再利用勾股定理得出AH的长，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B点坐标，即可得出一次函数解析式； （2）利用B点坐标的纵坐标再利用HC的长即可得出△BCH的面积． 【解答】解：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=4，cos∠ACH=， ∴==， 解得：HC=4， ∵点O是线段CH的中点， ∴HO=CO=2， ∴AH==8， ∴A（﹣2，8）， ∴反比例函数解析式为：y=﹣， ∴B（4，﹣4）， ∴设一次函数解析式为：y=kx+b， 则， 解得：， ∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4； （2）由（1）得：△BCH的面积为：×4×4=8． 方法指导：此题主要考查了反比例函数与一次函数解析式求法以及三角形面积求法，正确得出A点坐标是解题关键． 题型2:二次函数图象的实际应用(抛物线型) (湖北襄阳)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）． （1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式； （2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？ （3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值； （3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解： （1）在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4， ∴C（0，4）， ∵四边形OABC为矩形，且A（10，0）， ∴B（10，4），

把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4； （2）由题意可设P（t，4），则E（t，﹣ t2+t+4）， ∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t， ∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD， ∴△PBE∽△OCD， ∴=，即BP•OD=CO•PE， ∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去）， ∴当t=3时，∠PBE=∠OCD； （3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN， ∴∠CQO+∠AQB=90°， ∵∠CQO+∠OCQ=90°， ∴∠OCQ=∠AQB， ∴Rt△COQ∽Rt△QAB， ∴=，即OQ•AQ=CO•AB， 设OQ=m，则AQ=10﹣m， ∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8， ①当m=2时，CQ==2，BQ==4， ∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==， ∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=（10﹣t）， ∴t=（10﹣t），解得t=， ②当m=8时，同理可求得t=， ∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或． 题型3:二次函数的实际应用 例题：（贵州安顺）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

【考点】：二次函数综合题． 【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标； （3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标． 【解答】解： （1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B（3，0），C（0，3）， 把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1）， 设M（2，t），且C（0，3）， ∴MC==，MP=|t+1|，PC==2， ∵△CPM为等腰三角形， ∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， ①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）； ②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）； ③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； 综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； （3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3）， ∵0＜x＜3， ∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x， ∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+， ∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，）， 即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大． 题型4: 二次函数背景下的简单的几何动点问题 例题：（山东烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标． 【解答】解： （1）∵矩形OBDC的边CD=1，