2017届湖南省“五市十校”高三12月联合检测理科数学试卷及答案

湖南省“五市十校”2017届高三第一次联合检测 数学（理）试题 时量 120分钟 满分 150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知命题2:,210pxRx，则（ ） A．200:,210pxRx B． C．200:,210pxRx D． 2．函数()2xfxex的零点所在的区间是（ ）

A．1(0,)2 B．1(,1)2 C．(1,2) D．(2,3) 3．由曲线1xy，直线yx，3y所围成的平面图形的面积为（ ）

A．329 B．2ln3 C．4ln3 D．4ln3

4．已知的三个内角所对边长分别为，向量， ，若∥，则（ ） A． B． C． D．

5．若()sinfxaxb（,ab为常数）的最大值是5，最小值是1，则ba的值为（ ） A．23 B．23或23 C．32 D．32 6．等比数列na各项为正，354,,aaa成等差数列，nS为na的前n项和，则63SS（ ） A．87 B．45 C．89 D．2

7．在中，分别是角所对边的边长，若， 则的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．2

8．已知函数()fx满足1()2()fxfx，当[1,3]x时，()lnfxx，若在区间1[,3]3内，函数()()gxfxax与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（ ）

A．1(0,)e B．1(0,)2e C．ln31[,)3e D．ln31[,)32e

32cba2:,210pxRx2:,210pxRx236ABCcba,,CBA,,0sincos2sincosBBAA

ABC△CBA,,cba,,),(bacam

),(cabnm

nC 二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分） 9．如果1sin()2A，那么3cos()2A的值是_________．

10．若不等式1|||2|1xax对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是__________． 11．曲线2(1)1()e(0)e2xffxfxx在点(1,(1))f处的切线方程为________． 12．如图，在ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点． F为边AB上

的点，且3ABAF，若ADxAFyAE，,xyR，则xy的值为 ． 13．下列命题：

①函数π=sin-2yx在0π，上是减函数；

②点(1,1),(2,7)AB在直线03yx两侧； ③数列na为递减的等差数列，051aa，设数列na的前n项和为nS，则当4n 时，n

S

取得最大值；

④定义运算11ab 212212=-aababb ， 则函数2+3()=xxfxx 113x的图象在点31,1处的切线方程是.0536yx其中正确命题的序号是_______________（把所有正确命题的序号都写上）． 14．点(,)Mxy是不等式组0333xyxy表示的平面区域内的一动点，使2zyx的值取得最小的点为00(,)Axy，则OMOA（O为坐标原点）的取值范围是____________． 15．已知两个正数,ab，可按规则cabab扩充为一个新数c，在,,abc三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若0pq，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnqp（,mn为正整数），则mn的

值为 ．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知函数12sin3cos2)(2xxxf．

（I）求函数()fx的单调增区间； （II）将函数()fx的图象向右平移（02）个单位，再将图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数()gx的图象．若直线43x是函数()gx的图象的对称轴，求的值．

17．（本小题满分12分） 已知,,ABC是直线l上的不同三点，O是l外一点，向量,,OAOBOC满足23(1)2OAxOB (ln)xyOC，记()yfx．

（I）求函数()yfx的解析式； （II）求函数()yfx的单调区间．

18．（本小题满分12分） 已知向量(sin,1)mx，1(3cos,)2nx，函数2()2fxmmn．

（I）求()fx的最大值，并求取最大值时x的取值集合； （II）已知,,abc分别为ABC内角,,ABC的对边，且,,abc成等比数列，角B为锐角，且()1fB，求11tantanAC的值．

19．（本小题满分13分） 学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A，B两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A是本校的传统套餐，B是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A套餐的学生，下星期

一会有15的学生改选B套餐；而选B套餐的学生，下周星期一会有r（405r）的学生改选A套

餐，用na，nb分别表示在第n个星期选A套餐的人数和选B套餐的人数． （I）用1na表示na； （II）若310r，且选A套餐的学生人数保持不变，求1a； （III）根据调查，存在一个常数k，使得数列}nak为等比数列，且[250,300]k，求r的取值范围．

20．（本小题满分13分） 已知数列{}na的前n项和为nS，通项为na，且满足11nnSqaq（q是常数且0,1qq）．

（I）求数列{}na的通项公式； （II） 当41q时，试证明31nS； （III）设函数()logqfxx ，12()()()nnbfafafa，是否存在正整数m，使

113niimb对nN都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分） 设函数()(,)bfxaxabRx，若()fx在点(1,(1))f处的切线斜率为1． （Ⅰ）用a表示b； （Ⅱ）设()ln()gxxfx，若()1gx对定义域内的x恒成立， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）对任意的[0,)2，证明：(1sin)(1sin)gg． 2017年下期五市十校高三联考试卷 一、选择题： AADB BCBC 二、填空题

9、12 10、13a 11、12yex 12、25 13、②④ 14、0,6 15、21 三、解答题 16．解：（I）cos21()23sin213sin2cos22xfxxxx 1分

312(sin2cos2)2sin(2)226xxx 2分 令222262kxk，kZ， 3分 得36kxk，kZ 4分 所以函数()fx在每一个[,]()36kkkZ区间是增函数． 5分 （II）将函数()2sin(2)6fxx的图象向右平移个单位，得到函数1()2sin[2()]6fxx 2sin(22)6x的图象． 6分

将函数1()fx图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数1()2sin(2)26gxx的图象． 8分

因为直线43x是函数()gx的图象的对称轴， 所以142sin(2)2236，得52,62kkZ 10分 得,26kkZ， 11分 取0k，得6． 12分 17．解：（I）∵23(1)(ln)2OAxOBxyOC ，且,,ABC是直线l上的不同三点， ∴23(1)(ln)12xxy， ∴23ln2yxx； 6分 （II）∵23()ln2fxxx，∴2131()3xfxxxx， ∵23()ln2fxxx的定义域为(0,)，而231()xfxx在(0,)上恒正， ∴()yfx在(0,)上为增函数， 即()yfx的单调增区间为(0,)． 12分

18．解：（I）= =﹣2

== =． 故f（x）max=1，此时，得． 所以取得最大值的x的集合为{x|}． 6分 （II）由f（B）=， 又∵0＜B＜，∴． ∴，∴． 由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC． ∴=

=． 12分

19．解：（I）由已知得111145500nnnnnaarbab，所以114(500)5nnnaara， 得14()5005nnarar． 4分 （II） 310r，  1111502nnnaaa

 11300naa． 8分

（III） {}nak是等比数列，

 14()()5nnakrak，得141()()55nnarark，

 1()5005rkr，得250051rkr， 11分

 [250,300]k，250025030051r

，