2017年上海市数学竞赛
2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc
2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。
2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。
3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则21xx yy w w c-=_________。
解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。
所以1221=4xx yy w w f c-。
4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。
这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。
2017年数学竞赛初中初赛答案
伊
1 006 1 007
伊…伊
2 004 2 005
伊
2 005 2 006
……………………………… 2 分
= 2 伊（1 + 2 + 3 + … + 2 005 + 2 006）
4分
= 2 006 伊 2 007
5分
= 4 026 042.
6分
14.（员）设爸爸追上乐乐用了 x 分钟援由题意列方程，得
5分
所以甲说的“801 班得第四”是对的；则丙说“803 班得第三”的对的；乙说“802 班得冠军”是对的.所以 804 班
是亚军.
9分
四、一鼓作气（本大题共 2 道小题，17 题 12 分，18 题 12 分，总计 24 分）
17. 当 a > 1 时，a >
1 a
；
1分
当 a = 1 时，a =
1 a
；当 a = 0 时，1a
不存在，没法比较；当 0 < a
< 1 或 a < -1 时，a <
1 a
.
12 分
18.（1）设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 y m3.
1分
嗓 由题意，得
12 12
000 000
+ +
20x 15x
= 16 伊 20y， =（16 + 4）伊 15y.
9分
所以 a + b + c + d = 45，俞
11 分
将俞代入虞，愚，舆，余得
a = 3，b = 9，c = 12，d = 21，
13 分
所以 d - a = 21 - 3 = 18.
2017年第十五届”走美杯“小数数学竞赛上海赛区初赛试卷(五年级)后附答案解析
2017年第十五届“走美杯”小数数学竞赛上海赛区初赛试卷（五年级）一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）1．（8分）1+3+5+7+…+97+99﹣10﹣12﹣14…﹣96﹣98= ．2．（8分）数学测试满分100分，第二个小组的平均分为86分，明明考了98分，若明明加入第二小组，第二小组平均分将变为88分，第二小组原有人．3．（8分）有一种六位数，从左向右第三位数字开始，每一个数字都是它前面两个数字的和，这样的六位数共有个．4．（8分）24点游戏，用适当的运算符号（包括括号）把3，3，8，8这四个数组成一个算式，使结果等于24．．5．（8分）m，n，p是三个不同的正整数，它们除以13的余数分别是3，6，11那么（m+n﹣p）（2m﹣n+p）除以13的余数是．二、解答题（共5小题，满分50分）6．（10分）给定四个正整数9、9、9、17，把他们写在正方形的四个角上，在正方形外面画一个外接正方形，并且连续操作下去，层层嵌套（如图），把这个正方形的角上相邻的两个数相减（以大减小），得到的四个差数分别写在这两个数之间的外接正方形的角上，经过若干次操作，得到的正方形的四个角上的数字之和最小，这个最小值为．7．（10分）从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中选出6个不同的数，分别写在一个正方体的6个面上，使任意相邻的面上所写的两个数的差不小于2，这6个数之和最小为．8．（10分）若干个棱长为1的正方体木块组成一个立体图形，从正面看如图1，从侧面看如图2，这组木块最少有个，最多有个．9．（10分）一堆桃子堆在树下，总数为奇数，估计不少于360个，也不会超过400个，一群猴子排队等候猴王分桃，分桃的规则是，若桃子有偶数个，分桃的猴子可以分走一半；若桃子有奇数个，猴王就从树上摘一个桃子放入桃堆，分桃的猴子也分走一半，当剩下1个桃子时就停止分桃，第9个猴子分桃后只剩下了一个桃子，在分桃的过程中，猴王一共摘了7个桃子，这堆桃子原有个．10．（10分）长方形内有2017个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2021个点，任意3个点都不在同一条直线上，以这2021个点中的某三点为顶点，可作出个互不重叠的三角形．三、解答题（共5小题，满分60分）11．（12分）一个长方形，长、宽、高均为整数厘米（长＞宽＞高），已知宽为8厘米，且长方体的三个相邻面的面积值恰好成等差数列，这个长方体的表面积最小为平方厘米．12．（12分）甲、乙、丙、丁四人进行围棋比赛，任意两人都赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负者不得分，比赛结束，甲得2分，乙和丙都得4分，丁得分．13．（12分）每个小正方体的质量为100克，由125个小正方体组成大正方体，从这个大正方体中抽出一组小正方体，抽的方法是：从一个面到其对面所涉及到的小正方体都要抽掉，如图中涂色部分就是抽出后的情形，抽出这些小正方体后的几何体的质量是克．14．（12分）现有1×1×2的积木（A）、1×1×3的积木（B）、1×2×2的积木（C）（如图），分别有6块、11块、10块，从这些积木中选出若干个，拼成3×3×3的实心正方体，至多可以拼出个3×3×3的实心正方体，写出这几个正方体的拼法分别所用的A、B、C的个数（如1A+7B+1C）：15．（12分）0、1、2、3、4、5、6、7这八个数字可以组成两个四位数M和N，如果M+N的和是一个末三位数字相同、千位数字为0的五位数，这个五位数是，M×N的积的不同取值共有种．2017年第十五届”走美杯“小数数学竞赛上海赛区初赛试卷（五年级）参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）1．（8分）1+3+5+7+…+97+99﹣10﹣12﹣14…﹣96﹣98= 70 ．【分析】在算式中，这些数具有一定的特点：相加的数是1﹣﹣99之间的所有奇数，相减的数是10﹣﹣98之间的所有偶数．在1﹣﹣99之间只有1﹣﹣9这一数段中只有1、3、5、7、9这些奇数，而没有2、4、6、8这些偶数．其余的10﹣﹣19、20﹣﹣29、30﹣﹣39一直到90﹣﹣99这9个数段中都是所有的奇数和偶数．我们还知道相邻的2个自然数之间相差着1．所有把10﹣﹣99之间这些没间断的奇数和偶数运用加法的交换律进行计算，把相邻的2个自然数组成一组．这样每个数段的10个数就组成5组，共5×9=45组．1、3、5、7、9单独组成一个特别的组，再进行计算．【解答】1+3+5+7+…+97+99﹣10﹣12﹣14…﹣96﹣98=1+3+5+7+9+11﹣10+13﹣12+…+99﹣98=（1+3+5+7+9）+（11﹣10）+（13﹣12）+…+（99﹣98）=（1+9）+（3+7）+5+1×（5×9）=10+10+5+45=25+45=70【点评】解题的关键是看出这些数的特点，发现其中的规律．特别是怎样分数段，每个数段中有几个组合，它们的差都是1．2．（8分）数学测试满分100分，第二个小组的平均分为86分，明明考了98分，若明明加入第二小组，第二小组平均分将变为88分，第二小组原有 5 人．【分析】首先求出明明的数学测试成绩和第二个小组后来的平均分的差是多少；然后用它除以第二小组后来的平均分比原来的平均分多的分数，求出第二小组原有多少人即可．【解答】解：（98﹣88）÷（88﹣86）=10÷2=5（人）答：第二小组原有5人．故答案为：5．【点评】此题主要考查了平均数问题，考查了分析推理能力的应用，要熟练掌握，解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数．3．（8分）有一种六位数，从左向右第三位数字开始，每一个数字都是它前面两个数字的和，这样的六位数共有 4 个．【分析】可以从首位为1开始算起，1+0=1，故有101123，1+1=2，故有112358，2+0=2，故有202246，3+0=3，故有303369，一共有4个．【解答】解：根据分析，从首位为1开始算起，1+0=1，故有101123；1+1=2，故有112358；2+0=2，故有202246；3+0=3，故有303369，这样的六位数分别是：101123、112358、202246、303369，故答案是：4．【点评】本题考查了数字问题，突破点是：从首位1开始算起，利用数字和求得六位数的个数．4．（8分）24点游戏，用适当的运算符号（包括括号）把3，3，8，8这四个数组成一个算式，使结果等于24．8÷（3﹣8÷3）．【分析】首先分析数字题中的有2个搭档，同时组合过程中不容易找到，那么可以分析除法中的特殊情况．【解答】解：依题意可知；8÷（3﹣8÷3）=8÷（3﹣）=8÷=24满足条件．故答案为：8÷（3﹣8÷3）【点评】本题考查对填符号组算式的理解和运用，关键是找到特殊的除法计算．问题解决．5．（8分）m，n，p是三个不同的正整数，它们除以13的余数分别是3，6，11那么（m+n﹣p）（2m﹣n+p）除以13的余数是 4 ．【分析】根据“具有同一模的两个同余式，两边分别相加减，仍得同一模的另一同余式”；以及“具有同一模的两个同余式，两边分别相乘，仍得同一模的另一同余式”解答即可．【解答】解：（m+n﹣p）（2m﹣n+p）=（3+6﹣11）×（2×3﹣6+11）=﹣22﹣22（mod ）=﹣2×13+4（mod13）=4（mod13）所以，（m+n﹣p）（2m﹣n+p）除以13的余数是4．故答案为：4．【点评】本题考查了孙子定理，关键是明确孙子定理的两个性质定理．二、解答题（共5小题，满分50分）6．（10分）给定四个正整数9、9、9、17，把他们写在正方形的四个角上，在正方形外面画一个外接正方形，并且连续操作下去，层层嵌套（如图），把这个正方形的角上相邻的两个数相减（以大减小），得到的四个差数分别写在这两个数之间的外接正方形的角上，经过若干次操作，得到的正方形的四个角上的数字之和最小，这个最小值为0 ．【分析】按照题目所要求的规则依次写出后一层正方形的四个顶点的数字就可以得出结果【解答】解：把四个数字按照顺时针的顺序依次写成（9，9，9，17），外层正方形顶点上的数字依次为：⇒（0，0，8，8）⇒（0，8，0，8），如下图：…再往后推算得到：⇒（8，8，8，8）⇒（0，0，0，0）．此时四个数的和最小，为0，故本题答案为：0．【点评】理解清楚题目的处理规则，依据规则进行运算，就不难得出结果．7．（10分）从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中选出6个不同的数，分别写在一个正方体的6个面上，使任意相邻的面上所写的两个数的差不小于2，这6个数之和最小为27 ．【分析】根据题目要求的数字和最小，首先应考虑1和2为对面，然后考虑它们相邻面的第二组对面的数字情况，进而推断第三组对面．【解答】解：要使六个数之和最小，应有1、2，且1、2不能相邻，只能对面，此时2的四个相邻面中的数不能有3，最小为4、5、6、7；若4、5对面，另两个面中不能出现6，最小为7、8，故满足条件的6个数之和最小为（1+2）+（4+5）+（7+8）=27（括号内的两数对面）．故答案为：27．【点评】本题的突破口在于步步推进，首先从最小的数对开始，一步步推出三组对面数字．8．（10分）若干个棱长为1的正方体木块组成一个立体图形，从正面看如图1，从侧面看如图2，这组木块最少有8 个，最多有26 个．【分析】从正面看和从侧面（左侧）看都有4列，可以在4×4的方格中进行摆放，分别看最多和最少可摆放多少方块【解答】解：在如下图所示的4×4方格中，进行摆放方块，来使这堆方块从正面、侧面看起来的画面满足要求，摆放方块最少的情况如下图：最少共需要：3+1+2+2=8块，摆放方块最多的情况如下图：最多需要：26块．故答案为：8；26．【点评】本题需要一定的空间想象能力，要求对摆放的方块的正面和侧面视图进行分析．9．（10分）一堆桃子堆在树下，总数为奇数，估计不少于360个，也不会超过400个，一群猴子排队等候猴王分桃，分桃的规则是，若桃子有偶数个，分桃的猴子可以分走一半；若桃子有奇数个，猴王就从树上摘一个桃子放入桃堆，分桃的猴子也分走一半，当剩下1个桃子时就停止分桃，第9个猴子分桃后只剩下了一个桃子，在分桃的过程中，猴王一共摘了7个桃子，这堆桃子原有 385 个．【分析】首先分析题意，本题可用二进制的方法来解决．若有16个桃子化成二进制的数字是（10000）2，是一个五位数的二进制数字，每次均分，数位减少一个，均分4次以后余数是1个桃子，且不需要从树上摘．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：本题可用二进制的方法来解决．若有16个桃子化成二进制的数字是（10000）2，是一个五位数的二进制数字，每次均分，数位减少一个，均分4次以后余数是1个桃子，且不需要从树上摘．（（10000）2，（1000）2，（100）2，（10）2，12）看13个桃子13=（1101）2．则在第一次和第二次分桃时从树上各摘一个桃子，即（1101）2+（11）2=（10000）2．看本题中设原来有N 个桃子，则（100000000）2＜N ＜（1000000000）2N 为奇数化为二进制数字后应为9位数，且末尾数字是1，首位数字是1，即是十进制中的256，分桃过程中又摘了7个桃子，第一次必摘，即末尾必加1，中间的7位数有6需要加1，即6个0．只有1个1．因为360＜N＜400，所以N=256+1+128=385．故答案为：385．【点评】本题考查对二进制的理解和运用，关键问题是找到二进制的数字的表示方法，问题解决．10．（10分）长方形内有2017个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2021个点，任意3个点都不在同一条直线上，以这2021个点中的某三点为顶点，可作出4036 个互不重叠的三角形．【分析】这个题如果直接考虑这2021个点的话，会无从下手，可以先只考虑长方形的四个点，可以组成2个三角形，再向长方形内部一个一个的添加点．【解答】解：如图，长方形ABCD的四个顶点，连接BD，可以组成两个三角形：△ABD和△BCD，然后向长方形内部添加点E，连接周围顶点后，现在△BCD被分成3个三角形，相当于多出2个三角形，以此类推，…每添加一个点，三角形数量增加2，共添加2017个点，则三角形的数量为：2+2017×2=4036，故本题答案为：4036．【点评】本题重点在于找到逐一向长方形内部添加点这一思路，化繁为简，找到规律．三、解答题（共5小题，满分60分）11．（12分）一个长方形，长、宽、高均为整数厘米（长＞宽＞高），已知宽为8厘米，且长方体的三个相邻面的面积值恰好成等差数列，这个长方体的表面积最小为432 平方厘米．【分析】根据题意可设长方形的长、宽、高分别为a、b、c（a＞b＞c），根据题意可列出a、b、c之间的等量关系，由于均为整数，可将等式凑成乘积的形式结合分解质因数进行求解．【解答】解：设长方形的长、宽、高分别为a、b、c（a＞b＞c），则长方形的三个相邻面的面积由大到小的顺序为ab、ac、bc，则根据题意可得2ac=ab+bc，其中b=8，则ac=4a+4c，凑成乘积的形式可得（a﹣4）×（c﹣4）=16=16×1=8×2，则a﹣4=16或8，c﹣4=1或2，可得a=20，b=8，c=5或a=12，b=8，c=6．则长方体的表面积=2×（ab+ac+bc）=2×（160+100+40）=600平方厘米或2×（96+72+48）=432平方厘米，因此这个长方体的表面积最小为432平方厘米．故答案为：432．【点评】本题的关键在于能想到画成乘积的形式用分解质因数进行求解，稍有难度．12．（12分）甲、乙、丙、丁四人进行围棋比赛，任意两人都赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负者不得分，比赛结束，甲得2分，乙和丙都得4分，丁得6分或5 分．【分析】每人恰好都比赛三场，甲得2分，一定是平2场负1场，乙丙都得4分，一定是胜1场平1场负1场，依此推断，丁有两种情形，再分类计算求得丁的得分．【解答】解：根据分析，每人恰好都比赛三场，甲得2分，一定是平2场负1场，乙丙都得4分，一定是胜1场平1场负1场，依此推断，丁有两种情形，如下图（箭头指向负者，线段表示平局）；故丁的得分为6分或5分．（图示只为情形之一）故答案是：6分或5分．【点评】本题考查了逻辑推理，突破点是：根据已知，逻辑推理，分析得出丁的得分．13．（12分）每个小正方体的质量为100克，由125个小正方体组成大正方体，从这个大正方体中抽出一组小正方体，抽的方法是：从一个面到其对面所涉及到的小正方体都要抽掉，如图中涂色部分就是抽出后的情形，抽出这些小正方体后的几何体的质量是8000 克．【分析】可以先算出抽出的小正方体的个数，共抽出了3×5+4×5+5×5﹣（2+4）﹣（3×3）=45个小正方体，余下的几何体含有的小正方体个数为：125﹣45=80个，不难求得余下的几何体的质量．【解答】解：根据分析，算出抽出的小正方体的个数，因为抽小正方体的时候上下表面和左右表面以及前后表面共同的小正方体个数有：4+5+6=15个，故共抽出了：3×5+4×5+5×5﹣（4+5+6）=45个小正方体，余下的几何体含有的小正方体个数为：125﹣45=80个，质量为：80×100=8000g，故答案是：8000．【点评】本题考查剪切和拼接，突破点是：先算抽出的小正方体的个数，再求余下的几何体含有的小正方体的个数．14．（12分）现有1×1×2的积木（A）、1×1×3的积木（B）、1×2×2的积木（C）（如图），分别有6块、11块、10块，从这些积木中选出若干个，拼成3×3×3的实心正方体，至多可以拼出 3 个3×3×3的实心正方体，写出这几个正方体的拼法分别所用的A、B、C的个数（如1A+7B+1C）：2A+1B+5C、1A+3B+4C、1A+7B+1C或4A+1B+4C、1A+3B+4C、1A+7B+1C【分析】首先计算出1×1×2的积木（A）、1×1×3的积木（B）、1×2×2的积木（C）能提供的总块数为85，3×3×3的实心正方体需要的积木块数为27，85÷27=3…4，因此首先可以判断至多能拼出3个3×3×3的实心正方体，然后根据奇偶性判断A、B、C各自所用的块数，据此解答．【解答】解：6块、11块、10块A、B、C积木总共能提供的块数是2×6+3×11+4×10=85，一个3×3×3的实心正方体需要的块数为27，因此最多拼成3个，且剩下块数为85﹣27×3=4，可以为2个A积木或1个C积木．27=2A+3B+4C，考虑27为奇数，因此B必须为奇数，因此B只能为1，3，5，7，B的总块数为11，因此3个实心正方体所用B的数目可以为1，5，5或1，3，7．①所用B的数目可以为1，5，5：拼法1：1B拼法2：4A+5B+1C拼法3：2A+5B+2C则拼法1中已经没有积木A可用，不符合题意；①所用B的数目可以为1，3，7：拼法1：2A+1B+5C（或4A+1B+4C）拼法2：1A+3B+4C拼法3：1A+7B+1C两种方法均符合题意．因此这几个正方形的拼法可以是 2A+1B+5C、1A+3B+4C、1A+7B+1C或4A+1B+4C、1A+3B+4C、1A+7B+1C．故答案为：3；2A+1B+5C、1A+3B+4C、1A+7B+1C或4A+1B+4C、1A+3B+4C、1A+7B+1C．【点评】本题考查拼接方法，需要掌握这种题的答题技巧，难度较大．15．（12分）0、1、2、3、4、5、6、7这八个数字可以组成两个四位数M和N，如果M+N的和是一个末三位数字相同、千位数字为0的五位数，这个五位数是10333或10666 ，M×N的积的不同取值共有64 种．【分析】按题意，这8个数字的和为28，组成的两个四位数相加和为五位数，相加时至少进位一次，所以这个五位数的数字之和只能是19或10或1，显然五位数10000不合题意，数字和为10时，这个五位数为10333或10666，进一步根据数字的组合情况可求得M、N取值的不同情形，进而求解．【解答】解：根据分析，这8个数字的和为28，组成的两个四位数相加和为五位数，相加时至少进位一次，所以这个五位数的数字之和只能是19或10或1，显然五位数10000不合题意．当数字和为10时，这个五位数为10333，两个四位数相加时若个位和为13，则十位数字和为2，只能选2和0，则数字和为3无法选数字，故不符合要求，同理十位和为13也不符合要求，因此只能个位和为3，十位和为3，百位和为13，千位和为9，对应的数字M和N分别有2×2×2×2×=32种情况，M ×N的积有32÷2=16种不同情形；当数字和为19时，这个五位数为10666，此时两个四位数相加时个、十、百位的和都只能是6（0+6，1+5，2+4），千位数相加和为10（3+7），共有6×4×2=48种不同情形，所以M×N的积共有16+48=64种．故答案是：10333或10666，64．【点评】本题考查了数字问题，突破点是：数字进位和数字之和的性质，可以推测出五位数及不同的取值．。
2017-2018年“海都杯”数学竞赛五年级决赛试卷及解答
第3届“海都杯”数学竞赛五年级决赛试卷1、早晨4:20的时候，钟面上长针与短针所夹的锐角的角度是（）度。
2、已知2※3=2+3+4，5※2=5+6，2※5=2+3+4+5+6，则5※5=（）。
3、一个正方形的边长增加5厘米，它的面积就会增加225平方厘米，原来的正方形的面积是（）平方厘米。
4、一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等。
若此正三角形的面积为4，则这个正六边形的面积为（）。
5、某超市为庆祝元旦，准备将毛巾类商品做促销：儿童毛巾5元3条，大人毛巾4元1条。
明明的妈妈花了39元购买了15条毛巾。
那么他购买了（）条儿童毛巾和（）条大人毛巾。
6、有三个质数的和是50，则这三个质数的积最大是（）。
7、在一个纸盒中装有红色、绿色及黄色的弹珠。
已知盒子里的弹珠除了38颗之外都是红色的弹珠，除了33颗之外都是绿色的弹珠，除了35颗之外都是黄色的弹珠。
那么盒子中总共装有（）颗弹珠。
8、有A、B、C、D四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以数出6条线段。
已知这6条线段的长度分别是12、18、30、32、44、62（单位：厘米），那么线段BC的长度是（）厘米。
9、如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是20厘米和12厘米，则三角形AEG的面积为（）平方厘米。
10、通信班举行10分钟汉字输入大赛，全班平均成绩为每分钟120字，男生平均成绩比全班平均成绩少18字，女生平均成绩比男生平均成绩多27字，则这个班女生的人数是男生的（）倍。
11、一个整数，如果它的各位上的数字之和再加上它的各位数字之积，恰好等于这个数，我们就称这个数为“海都数”，例如39=3+9+3×9就是一个“海都数”。
两位数中这样的“海都数”一共有（）个。
12、依次写下整数1，2，3，4，…，998，999，则得到的整数123456789101112…998999，这个整数左起第2018位上的数字是（）。
13、在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从正面看如下（图1），从右面看如下（图2），要摆出这样的图形至少需要（）块正方体木块。
2017年上海市高三数学竞赛真题(打印版)
2017年上海市高三数学竞赛（2017.03.26）一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ .2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ，n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ .3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ .4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4张，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ .5、设1211=)(2＋＋＋x x x f ，则)°89(tan )°2(tan )°1(tan f f f ＋＋＋ = __________ .6、设集合A = {a 1，a 2，a 3}是集合{1，2，……，16}的子集， 满足a 1＋7 ≤ a 2＋4 ≤ a 3，则这样的子集A 共有__________个。
7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3)，B (2，3)，及圆C ：215=)1()(222a y a x ＋＋＋－，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，则实数a 的取值范围是__________ .8、一串“＋”、“－”号排成一行，从左向右看，就会产生“变号”。
例如，＋＋－＋－－＋，其中有4次“变号”，若有10个“＋”号与6个“－”号 排成一行，产生7次“变号”，则这种排列共有__________种。
二、解答题：（本大题满分60分，每题15分）9、已知数列{}n a 的各项均为正实数，a 1 = 1，而且对于一切正实数n ，均有 )(2=211+n n n a a a a a ＋＋＋ .（1）证明：数列{}n a 的每一项都是完全平方数；（2）证明：9 | a 100 .10、给定正实数a ，若复数tia z ＋1=（这里i 是虚数单位，t 是实参数）满足 | z －i | 的最大值是2，求a 的值。
第三届全国大学生数学竞赛上海赛区获奖名单（非数学类）
第三届全国大学生数学竞赛上海赛区获奖名单（非数学类）第三届全国大学生数学竞赛上海赛区获奖名单(非数学类)编号姓名性别学校名称所学专业奖项1 张广伟男上海大学自强学院一等奖2 龚旭男同济大学工程力学类一等奖3 周瑜男上海交通大学海洋工程一等奖4 李天男同济大学电气信息类一等奖5 李彦男上海财经大学 10金融实验班一等奖6 汪飞男复旦大学微电子学一等奖7 郜煜男华东理工大学化学工程与工艺（材料方向）一等奖8 郁茹剑男上海理工大学光信息科学与技术一等奖9 乐利吉男华东理工大学化工一等奖10 闵炜程男复旦大学经济学（数理经济方向）一等奖11 王典红男华东理工大学化学工程与工艺一等奖12 杨诚男同济大学给水排水工程一等奖13 傅建龙男上海财经大学 09保险一等奖14 卢杰男东华大学金融一等奖15 刘宝男华东理工大学化学工程与工艺一等奖16 刘玉根男华东理工大学商学院一等奖17 张轩男华东师范大学微电子一等奖18 祝卫亮男同济大学土木工程一等奖19 袁嘉坤男复旦大学金融学一等奖20 严晓芳女上海财经大学注册会计一等奖21 张元男同济大学交通运输类一等奖22 明梁女华东理工大学化工一等奖23 李勤超男上海电力学院电气工程及其自动化一等奖24 欧阳针男上海理工大学智能科学与技术一等奖25 周子尉男上海理工大学电气工程及其自动化一等奖26 商鼎会女同济大学地球信息科学与技术一等奖27 肖纬男同济大学土木工程一等奖28 王忠岳男东华大学电气信息类一等奖29 孙璞玉男上海电力学院电气工程及其自动化一等奖30 朱伟男东华大学机械工程及自动化一等奖31 陈孝东男上海大学自强学院一等奖32 严佳佳男华东理工大学安全二等奖33 郭安男东华大学电气信息二等奖34 常子烨女华东理工大学生工二等奖35 韩文炳男华东理工大学信工二等奖36 尹笑谈男上海财经大学 10金融实验班二等奖37 汪韧男上海电力学院电气工程及其自动化二等奖38 李爽女同济大学经济学类二等奖39 聂勇男复旦大学电子信息科学与技术二等奖40 蔡洋奔男华东理工大学材料化学（材料制备）二等奖41 罗健瑞男华东师范大学微电子二等奖42 刘孟雷女上海财经大学 09金融实验班二等奖43 董成男上海电力学院电气工程及其自动化二等奖44 吴靖楠男上海海事大学机械电子工程（中荷）二等奖45 曹雨奇男同济大学土木工程二等奖46 刘静洲女东华大学自动化二等奖47 白伟志男东华大学机械工程及自动化二等奖48 王恩男复旦大学高分子材料与工程二等奖49 陈承镇男华东理工大学化工二等奖50 陈泠珅男华东理工大学应用物理二等奖51 余刘柱男华东理工大学材料化学二等奖52 季语男上海财经大学银行与国际金融二等奖53 章晓珏女上海财经大学 09金融实验班二等奖54 邝斌男上海大学通信工程二等奖55 石贤伦男上海电力学院电气工程及其自动化二等奖56 梁一丁男同济大学机械电子工程二等奖57 郑凌瀚男同济大学交通运输类二等奖58 杨鸟男第二军医大学药学二等奖59 唐驹男东华大学光电子技术科学二等奖60 李立人男复旦大学理论与应用力学二等奖61 李姝醒女复旦大学经济学（数理经济方向）二等奖62 潘望白男复旦大学理论与应用力学二等奖63 袁一凌男复旦大学电子信息科学与技术二等奖64 乔崇智男华东理工大学化工二等奖65 赵文焕女华东理工大学化工二等奖66 雷祥男华东师范大学微电子二等奖67 简葳玙男华东理工大学自动化二等奖68 李玮哲男华东理工大学资环二等奖69 仰敏女上海理工大学光电信息工程二等奖70 徐清原女上海师范大学统计学二等奖71 陈思佳女同济大学交通运输类二等奖72 胡凤鸣男同济大学测绘类二等奖73 彭定邦男同济大学电气信息类二等奖74 吴玉林男同济大学工程管理二等奖75 李宇男东华大学应用物理二等奖76 周竞男东华大学软件工程二等奖77 何志帆男复旦大学物理学二等奖78 林紫女复旦大学经济学（数理经济方向）二等奖79 钱成男复旦大学理论与应用力学二等奖80 曹伟男华东理工大学自动化二等奖81 鲁彦飞男华东理工大学工材二等奖82 施登科男华东理工大学测仪二等奖83 乔汀男上海财经大学 09信管二等奖84 陈剑峰男上海海事大学电器工程及其自动化二等奖85 傅宇诚男复旦大学理论与应用力学三等奖86 吴若凡男复旦大学统计学三等奖87 任帅女华东理工大学食质三等奖88 汪丰男上海财经大学财务管理三等奖89 何金强男上海大学物理系三等奖90 胡竹斌男华东理工大学信息显示与光电技术三等奖91 王阳男华东理工大学化学三等奖92 张博男华东理工大学过程三等奖93 王旭伟男上海工程技术大学轨道交通三等奖94 徐俭男上海海事大学机械三等奖95 蔡乐男华东理工大学计算机科学与技术三等奖96 樊鹏辉男上海财经大学统计学三等奖97 刘建宇男上海财经大学统计学三等奖98 周航男上海财经大学 08国金2班三等奖99 刘强男上海海事大学交通工程三等奖 100 范华林男同济大学材料类三等奖 101 张晨男同济大学车辆工程(汽车) 三等奖 102 孙长周男华东理工大学材控三等奖 103 白经天男上海财经大学 10金融实验班三等奖 104 杨旻曦男上海大学物理系三等奖 105 廖鑫成男上海电机学院电气工程及自动化三等奖 106 卢潭城男上海理工大学通信工程三等奖 107 方高明男同济大学车辆工程(汽车) 三等奖108 胡军华男同济大学数理强化班(创新实验区) 三等奖 109 龙建华男复旦大学材料化学三等奖 110 陆梦科男华东理工大学化工三等奖 111 任翔男华东理工大学自动化三等奖 112 柏进男上海财经大学财务管理三等奖 113 赵伟博男上海财经大学投资学三等奖 114 杨云女上海理工大学热能与动力工程三等奖 115 向导男同济大学车辆工程(轨道交通) 三等奖 116 秦家骏男第二军医大学临床医学五年制三等奖 117 郭和泽男东华大学高分子材料三等奖 118 吕海春男东华大学机械工程及自动化三等奖 119 程紫云男上海工程技术大学汽车工程三等奖 120 游坤男上海应用技术学院机械设计制造及其自动化三等奖121 陈苏迪男复旦大学物理学三等奖 122 刘晶男华东理工大学生工三等奖 123 李泽竑女上海财经大学 10保险三等奖 124 申翔男上海财经大学投资学三等奖 125 谢林男上海工程技术大学轨道交通三等奖 126 张许干男上海工程技术大学汽车工程三等奖 127 黄威男上海理工大学能源与动力工程三等奖 128 罗旭男上海师范大学电气工程与自动化三等奖 129 曹艳君女复旦大学理论与应用力学三等奖 130 张安琪女复旦大学材料化学三等奖 131 张成龙男华东理工大学材料物理三等奖 132 郑婷婷女华东理工大学热能与动力工程三等奖 133 朱世杰男华东理工大学自动化三等奖 134 王刚男上海理工大学网络工程三等奖 135 李海滨男同济大学材料类三等奖 136 李健男同济大学交通运输类三等奖 137 叶远洋男华东理工大学自动化三等奖 138 方琛琳女华东政法大学金融学三等奖 139 顾春波男上海财经大学数量经济三等奖 140 王晗晟男上海财经大学统计学三等奖 141 祖亚光男上海财经大学美国会计三等奖 142 朱荣荣女同济大学交通运输类三等奖 143 朱威男同济大学电气信息类三等奖 144 季志成男复旦大学统计学三等奖 145 李嘉林男华东理工大学工材（化学工程与工艺）三等奖 146 孙泽文男华东理工大学自动化三等奖 147 王曼女华东理工大学材料三等奖 148 郑哲男华东理工大学商学院三等奖 149 孙世超男上海财经大学数量经济三等奖 150 吴洋女上海工程技术大学材料工程三等奖 151 王南飞男上海理工大学热能与动力工程三等奖152 焦宏伟男上海第二工业大学自动化三等奖 153 费凡男上海杉达学院信息管理与信息系统三等奖 154 葛铭光男上海海洋大学工业工程三等奖。
2017年第十五届”走美杯“小数数学竞赛上海赛区初赛试卷(四年级)后附答案解析
2017年第十五届“走美杯”小数数学竞赛上海赛区初赛试卷（四年级）一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）1．（8分）24点游戏，用适当的运算符号（包括括号）把3，3，9，9这四个数组成一个算式，是结果等于24．．2．（8分）每个月的周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日都有4天或5天，某月，周三比其他日期恰好都多一天，这个月28日是星期．3．（8分）图中共有个长方形．4．（8分）一堆棋子有黑、白两色，黑棋子的个数是白棋子的2倍，现在从这堆棋子中每次取出黑子5个、白子3个，若干次后，白子恰好取完，而黑子还有11个，白棋子原有个．5．（8分）2017除以9余1，2017年的每一天都可以用一个八位数表示，比如2017年1月3日可以表示为20170108，这个数除以9余1，2017年全年365天都用八位数表示，其中能被9整除的八位数共有个．二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）6．（10分）两个长方形如图摆放，M为AD的中点，三角形ACM是等腰直角三角形，阴影部分的面积是35，长方形AEFC的面积为．7．（10分）A、B两个纸片都被分成了4个区域，用黄、蓝、红三种颜色分别给它们涂色，要求相邻的区域涂色不能相同，A，B两个纸片中的涂法较多，有种不同的涂法．8．（10分）甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲比乙多行了3千米，已知甲骑车从A到B需2小时，乙骑车从B到A需3小时，A，B两地相距千米．9．（10分）将2013拆成3个互不相同的整数，使这三个数的和为2013，且其中任意两个数的和除以3都余1，这三个数中，最大的数最小是．10．（10分）有一种五位数，从左向右第三位数字开始，每一个数字都是它前面两个数字的和，这样的五位数共有个．二、填空题11．（12分）圆上的50个点A1，A2，A3，…，A50将该圆分为50段等弧，以这50个点中的某些点为顶点，一共可以得到个不同的正多边形．12．（12分）将260个桃子分装到若干个相同的筐中，每个筐中最少放10个，最多放25个，放完后，每个框中的桃子数都不相同，有种放法，可能有个筐．13．（12分）一个宝库有16个藏宝室，成4×4状排列，但只有一个进口和一个出口，分别开在如图所示的藏宝室，每个藏宝室至多只能进去一次，相邻的两个藏宝室之间都有门想通，每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中，大盗买通守护，夜间进入宝库，他能带走的宝物价值最多是．14．（12分）现有1×1×2的积木（A）、1×1×3的积木（B）、1×2×2的积木（C）（如图），分别有6块、11块、10块，从这些积木中选出若干个，拼成3×3×3的实心正方体，至多可以拼出个3×3×3的实心正方体，写出这几个正方体的拼法分别所用的A、B、C的个数（如1A+7B+1C）：15．（12分）请在下面的每个箭头里填上适当的数字（图中已经填出两个数字），使得每个数字都表示该箭头所指方向的箭头里含有不同数字的个数，其中双向箭头表示箭头所指的两个的箭头里不同数字的个数，图中第三行从左到右所填数字组成的四位数是．2017年第十五届”走美杯“小数数学竞赛上海赛区初赛试卷（四年级）参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）1．（8分）24点游戏，用适当的运算符号（包括括号）把3，3，9，9这四个数组成一个算式，是结果等于24．3×9﹣9÷3=24 ．【分析】结合4个数字和24之间的关系进行试运算，可以联想24相关的加减乘除运算，据此解答．【解答】解：3+3+9+9=24，3×9﹣9÷3=24．故答案为：3+3+9+9=24，3×9﹣9÷3=24等．【点评】本题考查24点游戏，重点在于有一定的联想能力，可以想到4个数字和24之间的关系，属于简单题．2．（8分）每个月的周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日都有4天或5天，某月，周三比其他日期恰好都多一天，这个月28日是星期二．【分析】首先分析这个月一个有多少天，周三比其他都多一天说明这个月是4个星期多一天共29天，继续分析即可求解．【解答】解：依题意可知：周三比其他都多一天说明这个月是4个星期多一天共29天，最后一天是星期三，那么28日就是星期二．故答案为：二【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到这个月的天数，问题解决．3．（8分）图中共有7 个长方形．【分析】此题采用分类的方法解答．（1）由1个图形构成的有4个；（2）由2个图形构成的有1个；（3）由3个图形构成的有1个；（4）由4个图形构成的有1个；【解答】解：（1）由1个图形构成的有4个；（2）由2个图形构成的有1个；（3）由3个图形构成的有1个；（4）由4个图形构成的有1个；答：图中共有 7个长方形．故答案为：7．【点评】本题考查了对平面图形的认识，在数长方形的个数时，要有规律地进行分类．4．（8分）一堆棋子有黑、白两色，黑棋子的个数是白棋子的2倍，现在从这堆棋子中每次取出黑子5个、白子3个，若干次后，白子恰好取完，而黑子还有11个，白棋子原有33 个．【分析】根据题意，若每次取白子3个，黑子6个，白子取完时，黑子也恰好取完，但每次取5个黑子，最后剩下11个黑子，说明取了11次，所以白子原有3×11=33（个）【解答】解：根据分析，若每次取白子3个，黑子6个，白子取完时，黑子也恰好取完，但每次取5个黑子，最后剩下11个黑子，说明取了11次，所以白子原有3×11=33（个）故答案是：33个．方法二：设白棋子原有x个，取了n次，可列方程：解得：故答案是：33个．【点评】本题考查了等量关系与方程，突破点是：根据题意逻辑推理，可以分析出白子的数量．5．（8分）2017除以9余1，2017年的每一天都可以用一个八位数表示，比如2017年1月3日可以表示为20170108，这个数除以9余1，2017年全年365天都用八位数表示，其中能被9整除的八位数共有59 个．【分析】按题意，根据被9整除的特征，可知数字之和能被9整除，而2017年的年份2017的数字之和为10，被9除余1，八位数能被9整除，则只要满足月份日期的四位数除以9余8即可．【解答】解：根据分析，根据被9整除的特征，可知数字之和能被9整除，而2017年的年份2017的数字之和为10，被9除余1，八位数能被9整除，则只要满足月份日期的四位数除以9余8即可．满足这个条件的四位数有：0107、0116、0125、0206、0215、0224、0306、0314、0523、0404、0413、0422、0503、0512、0521、0530、0602、0611、0620、0629、0701、0710、0719、0728、0809、0827、0908、0917、0926、1007、1016、1025、1106、1115、1124、1205、1214、1223；综上，满足条件的八位数个数有：59个．故答案是：59．【点评】本题考查数的整除特征，突破点是：根据数的整除特征，求得能被9整除的八位数的个数．二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）6．（10分）两个长方形如图摆放，M为AD的中点，三角形ACM是等腰直角三角形，阴影部分的面积是35，长方形AEFC的面积为42 ．【分析】可以将阴影部分分割成5个与△ACM一样的等腰直角三角形，然后算得每个小等腰直角三角形的面积，再求长方形的面积．【解答】解：根据分析，将阴影部分分割成5个与△ACM一样的等腰直角三角形，如图所示：长方形AEFG的面积为：35÷5×6=42．故答案是：42．【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：将阴影部分分割成6个与△ACM 一样的等腰直角三角形，不难求得长方形AEFG的面积．7．（10分）A、B两个纸片都被分成了4个区域，用黄、蓝、红三种颜色分别给它们涂色，要求相邻的区域涂色不能相同，A，B两个纸片中 B 的涂法较多，有12 种不同的涂法．【分析】A的涂色区域只能是最上方区域和左下方区域图同色，其排列数为；图B的涂色区域中涂同色的区域有2类，一是最上方区域和左下方区域；二是最上方区域和右下角区域，涂色种类数为+．【解答】解：图A的涂色方法有=3×2×1=6（种）图B的涂色方法有+=6+6=12（种）故：B的涂法多，有12种不同涂法．【点评】此题的解题关键是能否想到合并能涂同色的区域，而且要把这种情况找全．8．（10分）甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲比乙多行了3千米，已知甲骑车从A到B需2小时，乙骑车从B到A需3小时，A，B两地相距15ɛ千米．【分析】根据甲乙行相同的路程，所需时间之比为2：3，就是告诉：甲乙2人是速度之比为3：2（时间之比与速度之比互为倒数）．甲乙2人是速度之比为3：2，也就是说在相同时间里，甲乙2人走的总路程中甲占3份，乙为2份，总路程是5份．即：在相同的时间里（他们相遇时），甲走了全程的3/5，乙走了全程的2/5．甲比乙多走了全程的1/5，就是那3千米．这样就可求出全程的长了．【解答】解：甲乙的时间比2：3，所以时间之比3：23÷（3/5﹣2/5 ）=15（千米）答：A，B两地相距15千米．【点评】本题有点绕，必须弄懂时间比与速度比的关系．才能明白在相同的时间里（他们相遇时），甲走了全程的3/5，乙走了全程的2/5．甲比乙多走了全程的1/5，就是那3千米．9．（10分）将2013拆成3个互不相同的整数，使这三个数的和为2013，且其中任意两个数的和除以3都余1，这三个数中，最大的数最小是674 ．【分析】根据题目条件“任意两个数的和除以3都余1”可知，三个数除以3的余数均为2，若要求最大的数最小，则三个数的差最小，结合题目情况可得答案．【解答】解：根据题目条件可知，三个数除以3的余数均为2，若要求最大的数最小，则三个数的差最小，2013÷3=671，即若三个数相等，则分别是671，671，671，而671÷3=223…2，即第二个数已经满足条件，因此只需将第一个数减去一个最小的整数给第三个数，从而使第一个数和第三个数除以3的余数均为2即可．易知需要减去的最小整数为3，因此这三个数分别为668，671，674，所以这三个数中，最大的数最小是674．故答案为：674．【点评】本题首先要理解最大的数最小时所对应的情况，然后在三数相等的情况稍作变化即可．10．（10分）有一种五位数，从左向右第三位数字开始，每一个数字都是它前面两个数字的和，这样的五位数共有8 个．【分析】按题意，可以利用每一个数字都是它前面两个数字的和，把这几个五位数分别列举出来，一共有8个．【解答】解：根据分析，从首位1开始算起，由1+0=1，故有10112；由1+1=2，有11235；由1+2=3，故有12358；由2+0=2，故有20224；由2+1=3，故有21347；由3+0=3，故有30336；由3+1=4，故有31459；由4+0=4，故有40448．综上，这样的五位数有：10112、11235、12358、20224、21347、30336、31459、40448共8个．故答案是：8．【点评】本题考查了数字问题，突破点是：列举符合题意的数，不难求得五位数的个数．填空题11．（12分）圆上的50个点A1，A2，A3，…，A50将该圆分为50段等弧，以这50个点中的某些点为顶点，一共可以得到18 个不同的正多边形．【分析】由于题目要求是正多边形，因此正多边形的边数必须是50的约数，根据50的约数情况进行分情况加和即可．【解答】解：50=2×5×5，因此大于3的50的约数有5、10、25、50．当多边形为五边形时，可以得到50÷5=10个；当多边形为正十边形时，可以得到50÷10=5个；当多边形为正二十五边形时，可以得到50÷25=2个；当多边形为正五十边形时，可以得到50÷50=1个．共10+5+2+1=18个．故答案为：18．【点评】本题的突破口在于能想到正多边形的边数必须为50的约数，难度中等．12．（12分）将260个桃子分装到若干个相同的筐中，每个筐中最少放10个，最多放25个，放完后，每个框中的桃子数都不相同，有 1 种放法，可能有15 个筐．【分析】首先可根据10﹣25的数据个数（16）按最小公差1计算最小的桃子个数，看是否在给定的桃子数量范围内，若不符合要求，则可减少筐的数量进一步讨论，据此解答．【解答】解：10+11+12+13+14+15+…+23+24+25=280＞260，则不可能有16个筐，若为14个筐，则桃子最多可能有12+13+14+15+…+23+24+25=259，则不可能有14个筐，因此只能有15个筐，由于280﹣260=20，因此没有筐里放20个．故答案为：1；15．【点评】本题的突破口在于能根据最少个数和最大个数推断出筐的数量，难度中等．13．（12分）一个宝库有16个藏宝室，成4×4状排列，但只有一个进口和一个出口，分别开在如图所示的藏宝室，每个藏宝室至多只能进去一次，相邻的两个藏宝室之间都有门想通，每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中，大盗买通守护，夜间进入宝库，他能带走的宝物价值最多是133 ．【分析】本题首先能想到根据染色问题进行分析，可将房间黑白相间染色，根据进口和出口所染颜色相同可知大盗应该经过了奇数个房间，因此最多经过15个房间，且有一个白格无法走到，据此解答．【解答】解：借助染色解题，给3×3的方格黑白相同染色（如图），进口为黑格，若全部走完16个方格，出口应为白格，而图中出口为黑格，故至少有一个白格不能走到，标数最小的白为2，因此首先考虑2进行试走，发现若不走2，则无法到达12，因此舍去，接下来考虑3，进行试走，可行的路线为1﹣7﹣5﹣6﹣15﹣10﹣13﹣9﹣16﹣2﹣12﹣11﹣14﹣8﹣4．因此大盗最多能带走的宝物价值1+7+5+6+15+10+13+9+16+2+12+11+14+8+4=133故答案为：133．【点评】本题的突破口是能想到用染色方法确认大盗最多经过的房间数，确认后最小标数并不一定能走通，因此需要试走通过才可．14．（12分）现有1×1×2的积木（A）、1×1×3的积木（B）、1×2×2的积木（C）（如图），分别有6块、11块、10块，从这些积木中选出若干个，拼成3×3×3的实心正方体，至多可以拼出 3 个3×3×3的实心正方体，写出这几个正方体的拼法分别所用的A、B、C的个数（如1A+7B+1C）：2A+1B+5C、1A+3B+4C、1A+7B+1C或4A+1B+4C、1A+3B+4C、1A+7B+1C【分析】首先计算出1×1×2的积木（A）、1×1×3的积木（B）、1×2×2的积木（C）能提供的总块数为85，3×3×3的实心正方体需要的积木块数为27，85÷27=3…4，因此首先可以判断至多能拼出3个3×3×3的实心正方体，然后根据奇偶性判断A、B、C各自所用的块数，据此解答．【解答】解：6块、11块、10块A、B、C积木总共能提供的块数是2×6+3×11+4×10=85，一个3×3×3的实心正方体需要的块数为27，因此最多拼成3个，且剩下块数为85﹣27×3=4，可以为2个A积木或1个C积木．27=2A+3B+4C，考虑27为奇数，因此B必须为奇数，因此B只能为1，3，5，7，B的总块数为11，因此3个实心正方体所用B的数目可以为1，5，5或1，3，7．①所用B的数目可以为1，5，5：拼法1：1B拼法2：4A+5B+1C拼法3：2A+5B+2C则拼法1中已经没有积木A可用，不符合题意；①所用B的数目可以为1，3，7：拼法1：2A+1B+5C（或4A+1B+4C）拼法2：1A+3B+4C拼法3：1A+7B+1C两种方法均符合题意．因此这几个正方形的拼法可以是 2A+1B+5C、1A+3B+4C、1A+7B+1C或4A+1B+4C、1A+3B+4C、1A+7B+1C．故答案为：3；2A+1B+5C、1A+3B+4C、1A+7B+1C或4A+1B+4C、1A+3B+4C、1A+7B+1C．【点评】本题考查拼接方法，需要掌握这种题的答题技巧，难度较大．15．（12分）请在下面的每个箭头里填上适当的数字（图中已经填出两个数字），使得每个数字都表示该箭头所指方向的箭头里含有不同数字的个数，其中双向箭头表示箭头所指的两个的箭头里不同数字的个数，图中第三行从左到右所填数字组成的四位数是1212 ．【分析】首先可以推断有已知数据所在行或列，然后根据已推断数据进一步推断未知数据．【解答】解：首先判断第一列，i箭头向下，向下只有一个数据，因此i填1，第一列第四行是3，则上面三个是不同数据，e是双向箭头，且上下共有3个数据，因此e填3，则a填2；然后判断第四行，n箭头向右，向右只有一个数据，则n填1，m填2；接着看第四列，h箭头向下，向下只有两个数据，l向上，向上只有两个数据，因此l为1或2，h填2，接着看第二行，f箭头向右，向右有两个数据，则f为1或2，g箭头向左，有两个数据，且不同，则g填2，则f填1，接着看第三列，k箭头向上，则k 为1或2，则c只能填2，k填1，接着看第一行，b只能为1或2，若b为1，则d为2，p为1，j为1，从而m 为1，而上面已推出m为2，矛盾，则b只能为2，则d为1，p为2，j为2，综上可得，第三行从左到右所填数字组成的四位数是1212．故答案为：1212．【点评】本题考查数据的推理，该题突破口在于已知数据和快速找出易推断数据．。
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。
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2017年上海市数学竞赛
2017年上海市数学竞赛是一场备受瞩目的盛事。
在这场竞赛中，来自全市各个学校的优秀学生们齐聚一堂，以展示自己的数学才华和智慧。
本次竞赛共分为初中组和高中组两个组别，每个组别又分为单人赛和团体赛两个部分。
初中组的竞赛题目涉及到了初中数学的各个领域，包括代数、几何、数论等。
其中，代数部分的题目难度适中，涉及到了一些基础的代数知识，如方程、不等式、函数等。
几何部分的题目则更加注重学生的几何想象能力和推理能力，例如求多边形面积、圆锥体积等。
数论部分的题目则考察了学生的数学思维能力和逻辑推理能力，需要学生深入理解数学定理和方法，才能正确解题。
高中组的竞赛题目难度更高，覆盖了高中数学的各个领域，包括微积分、数理方程、概率统计等。
微积分部分的题目考察了学生的微积分概念和计算能力，需要学生熟练掌握微积分的基础知识和方法。
数理方程部分的题目则需要学生具备较高的代数知识和解题能力，例如求解三角函数方程、方程组等。
概率统计部分的题目则需要学生掌握概率统计的基本概念和方法，并能够灵活运用到实际问题中。
除了单人赛外，团体赛也是本次竞赛的一大亮点。
团体赛不仅考察了学生的数学能力，更注重学生的协作和沟通能力。
在团队合作中，学生们需要相互协作，共同思考解题方法，发挥每个人的优势，最
终完成团队的目标。
总的来说，2017年上海市数学竞赛是一场难度适中、涵盖面广的数学竞赛。
通过参与这场竞赛，学生们不仅能够提高自己的数学水平，更能够锻炼自己的思维能力和团队精神。
希望未来的数学竞赛能够更加精彩，给学生们带来更多的挑战和乐趣。