统计量表汇总

名称

符号 公式 意义 应用 其他 众值 Mode M 0

中位值Median M d

均值Mean

x

离异比率V ariation 质异指数（Index of qualifative variation) n

f n v mo )

(-=

检验非众数的比例

F 检验 F )]1/([)/(--=k n Ess k Rss F

检验用X 表示Y 的准确性：解释误差/未解释误差 多元回归中B 是否为0 F 越大越显著 sigF 检验 sigF

检验F 的显著水平α

α越小越显著 置信度 置信度=1-α

T 检验

t

)

1()

2(t 2

Rss

n Rss

--=

与F 检验类似，t 专用二分变量

多元回归中b j 是否为0 T 越小越显著 SigT 检验 sigT

检验T 的显著水平α α越小越显著 相关系数 r

∑

∑∑-?---=

2

2

)

()()

)((r Y Y X X Y Y X X

两个变量之间的相关程度 越接近1±越显著

容限度tolerance tolerance

Tolerance=1-2i R

X i 作为自变量对其他自变量回归时所得到的余差比例，代表X i 与其他变量信息的重复性。 Tolerance 越大，X i 与其他变量的信息重复性越小，X i 越独立，对Y 的边际解释越大。>0.1 VIF VIF=1/tolerance VIF 越小对Y 的解释力越大，<10 四分位差（interquartile range ）

Q Q=Q 3-Q 1

标准差（standard deviation ）

S ∑∑∑

-=

-=2

2

2

)(1/)(x x x n n

n x S

表示总样本对平均量的平均的偏离量。

S 越小样本越集中

标准误

n /

S

方差（variance ） S 2

S 2越小样本越集中 正态分布（normal distribution ）

]2)

([exp s

21)(2

2

s x x x f --?=

π

X 以均值x 为中心，在左右

两边以S 为单位分布

标准值（standard score ）

Z s x x z )(-=

表示X 偏离x 的距离，以S 为单位

标准正态分布（standard normal distribution ）

)2/exp(21)(x x f -=

π

标准正态分布中，S=1，x =0.

尤拉Q 系数（Y ule's Q ） Q )/()(bc ad bc ad Q +-=

计算二分变量间的关系 定类—定类（李书70） 越大表示关系越强 消减误差比例测量法（propertionate reduction in error ） PRE PRE=1-E 2/E 1

表明用E 2来表示E 1所能消减的百分误差

李书78

PRE 越大，表明用E 2表

达E 1的可靠性越高。

λ系数

λ

)

(2)

(m

m

y y x x y

x

M M n M M +-+-+

=

∑∑λ

表明用x 来表示y 所能消减掉的误差比例

李书81定类—定类或定类—定序 λ越大表示x 的说明程度越高。

y λ系数 y λ

y

y

y

M

n M

m

--=

∑y λ

表明用x 来表示y 所能消减掉的误差比例。其中x 为自变量，y 为依变量

李书81定类—定类或定类—定序 同上 Tau-Y 相关系数 Tau-y

1

2

1y tau E E E -=

-

表明两个定序/定类变量之间的相关关系 李书84 定类—定类或定类—定序 越大相关性越高，关系越密切 Gamma 系数 G

d

d N N N N G +-=

s s

表示两个定序变量之间的相关关系

李书86 定序——定序 越接近正负1，相关程度越大 dy 系数 dy

Ty

Nd Ns Nd Ns ++-=

dy

表示两个定序变量之间的相关关系

李书88 定序——定序 越接近正负1，相关程度越大 皮尔逊积矩相关系数 r

∑∑∑----=

2

2)

()())((r y y x x y y x x

表示两个定距变量之间的相关关系

李书105 定距——定距

越大相关性越强 相关比率

Eta 2

2

η

∑

∑

∑----=

2

2

2

2

)y )()y y y y y E i

（（

表示定类变量与定序/定类变量直接的关系 定类——定序

定类——定类

卡方检验

2

χ

∑

-=

e f 2

2

）

（e χ

表示定类变量与定序/定类变量直接的关系 李书183 定类——定类 定类——定序 卡方越大表明相互关系越强 确定系数

R 2

∑

∑

--=

2

22

)y )y y y R （（

代表回归方程中变量对y 的解释能力

确定系数应尽量接近1

多元相关系数 R

2

R R =

表明y 与所有x 之间的多元线性相关程度

R 应尽量接近1

偏确定系数

2

1·

2y R

2

y?

2

y 2

y?21·2y R 1R )

1ESS()

1RSS(-)2,1RSS(R

--=

=

R

表示x 2对y 的边际影响

偏相关系数

c ab ·

r

22

ab ·11r r r bc

ac

bc ac c

ab r

r

r ---=

在控制c x 的条件下，a x 与b x 的相关程度

协方差 COV(X ，Y)=E[(X-E(X))(Y -E(Y))] 考察自变量是否相互独立 协方差越大，越不独立

反印象相关矩阵

矩阵中的值是负的偏相关系数，如果值比较大，则不适合做因子分析。

Bartlett 球体分析 分析是否做因子分析，应该有检验值P<0.0001

KMO 测量

分析是否是合作因子分析，KMO 越接近于1越好，0.5以上可以接受。

方差分析

分析两组或两组以上的数据之间的相似程度。两组数据（x,y ）将生成三个平均数：第一组数据平均a ；第二组数据平

均b ；总数据平均c 。因此得到三组离差：总离差])()(x [S 22i 1c y c i -+-∑=，组内离差2

22)()x (S b y a i i -∑+-∑=，

以及组间离差213S S S -=

虚拟变量

当一个变量X ，共有N （比如是5）个值，例如，民族为汉、蒙、回、满、藏时，不能够将之变成定序变量，而且在统计中出现的非整数无法解释（如，3.5究竟表示五个变量之间怎样的比例，就完全无法解释了）。因此必须将有五个

值的一个变量变成五个不同的变量，分别为汉族=0/1，蒙古族=0/1，回族=0/1，满族=0/1，藏族=0/1，虽然变量的数目变多了，但是关系变清晰了。但五个虚拟变量其实没有必要，因为不存在五个变量，即X 1——X 5都为0的情况。所以删去其中任何一个变量，只留下N-1个变量，当四个变量都为0时，第五个必为1。 ***虚拟变量必为0/1变量！

抽样分布 标准误n /x σσ=

二项分布

标准误()n 1x ππσ-=

Standard normal distribution

Z=x 对应的值表示当Z=x 时对应的的0—x 之间的总面积的大小S, 2

.50α=-S

基本公式：

（1） 222)()()]([x E x E x E x E x D -=-=）（

旧闻梳理：

1，泊松分布：{}!

k k e

X P k λ

λ-=

=， k 为正整数；

标准正态分布概率：2

2

121)(x

e

x f -=

π

正态分布概率为：2

2

2)(21)(s

x e s

x f μπ--

=

，

正态分布的可加性：),(~);,(~),,(~2

22

1212

222

11σσμμσμσμ+±±N Y X N Y N X

e ：

?

=λ

λ

e k !

k

n

n e

n

-=-

)1λ（（∞→n )

泊松公式： 当n 很大，p 很小时，有np k e

p p C k k

n k

k

=≈

-?--λλλ

其中,!

)

1(n

Gamma 函数： ?∞

--=Γ0

1

dt e t

t

ββ）（

Gamma 分布： 当f(y)的概率密度满足如下公式时，即为Gamma 分布： ,)

()

()(1

x

e

x x f αβαβαβα--Γ=

=Γ），（ ∞≤≤x 0 ，其中有?∞

--=

Γ0

1

dt

e t

t

ββ）（

Gamma 分布依据k 值的不同，曲线如右。

2，卡方分布： 对于独立的标准正态分布函数X ，函数Z=?

=k

k dk X Z 0

2

满足2χ分布，且

2

i 2X ∑=χ，

其中X~N(0,1)

卡方分布的密度函数为)2,2

()(n

y f Γ=。卡方分布的数学期望与方差为：

n )1(]0)([)]()([)()(2

22=∑=+∑=+∑=∑=i i i i X D X E X D X E E

χ

2)2(]13[)]()([)()(2

2422=∑=-∑=-∑=∑=i i X E X E X D D i χ，其中，有 ????==-==

=

=

?∑=-

-

k

k

x

x

i i

x f x x f x dx

e

x

x

dx e

x

dx x f x

x f x x E 0

2

03

2

13

2

14

4

44

3

()(3)]([2121)()()(2

2

多次分部积分法）

π

π

当n 足够大时，有2

2

)12(2

1)(-+

≈

n z n αα

χ

卡方分布的可加性，)(~)()(2122212n n n n ++χχχ

3，t 检验需要考虑自由度df ，而Z 检验不需要，因为z 检验时的标准误中的σ是总体参数，与sample 大小n 无关。而 T 检验中的s 是样本参数，与sample 大小有关。 4，X 的n 次方期望 就是密度函数乘x^n 积分！！！因为x 的分布不随其n 次方改变，因而密度函数不变，只是x 增大而已。 5，t 分布的方差为v/(v-2),v 为自由度（通常v=n-1),其期望为0，具体证明：

卡方分布的方差 很好计算 因为自由度为N 的卡方分布其实是系数为N/2,1/2的Gamma 分布 而Gamma 函数的性质让我们很容易计算出X 的任何阶期望 具体方法是:

X 的n 次方期望 就是密度函数乘x^n 积分 这时你把x^n 放进密度函数你的积分函数里面就得到x 的N/2-1+n 次方也就是说系数从N/2变成了N/2+n 同样你把分式下面的Gamma 函数和1/2^(N/2)提到积分外部 然后添加需要的系数(使得该式变为系数为N/2+n 和1/2的Gamma 分布 对1积分为一)然后除以你添加的系数 最后积分外部的所有系数就是你的x^n 的期望了. 设X 服从N(0,1)Z 服从自由度为N 的卡方分布 X 和Z 独立 那么D(T)=E(T^2)-E(T)^2 其中E(T)=E(X/sqrt(Z/N))=E(X)*E(1/sqrt(Z/N))=0

所以D(T)=E(T^2)=E(X^2/(Z/N))=E(X^2)*E(N/Z)=N*E(X^2)*E(1/Z)

其中E(X^2)=1 E(1/Z)=1/(N-2) (通过密度函数计算 同第一题 卡方分布的1/2次方期望可以很容易求出) 所以D(T)=N/(N-2)

6,t 分布的概率密度函数为：

[]2

/)1(2

1)2/(2/)1()(+-???

?

??+Γ+Γ=n n t n n n t h π, t 函数不是正态分布，但当n 趋近于无穷大时，可有：2

/2

21)(lim t n e

t h -∞

→=

π

，即接近于标准正态分布。

T 分布的表达式为：n

Y X /t =

，其中X~N(0,1),Y~)(2n χ

7，F 分布的概率函数为：2

/)(212112/(2

/21212111)]

/(1)[2/()2/()

](2/)[()(n n n n n x n n n x

n n n n x +-+ΓΓ++Γ=

）ψ

F 的定义函数为2

1//n V n U F =

，其中U 与V 分别为卡方分布，即为)(~12n U χ，(~22n V χ，即F 分布可以用来描述两个2χ分布的比。

有：当F~F(21,n n )，必有1/F~F （12,n n )。),(21n n F α表示，在n 确定的情况下，F 点右方曲线所封闭的面积为1-α。因此，F 函数有两个自由度21n n 和， 8，Z 、T 、2

χ、F 、的一些定理。

（1），正态总体为N （2

,σμ），样本为X ，X 为样本均值，有X ~N （n /,2

σμ），则有以下定理：

定理A ：

)1(~)1(2

2

2

--n S

n χσ

，且X 与S 相互独立。（证明需用到矩阵，见《概率论与数理统计》P146）

定理B ：)1(~/

--n t n

S X μ。（证明见《概率论与数理统计》P143）

(2），

),(~211i σμN X ，),(~2

22i σμN Y 相互独立，其均值分别为X 与Y ，方差为S 1与S 2，则有：

)1,1(~//212

2

2122

2

1--n n F S S σσ，且当1σ=2σ=σ时，有

)2(~11212

121-++

---n n t n n S Y X w ）（）（μμ。其中，有2)1()1(2

12

222112

-+-+-=n n S n S n S w 证明，由N 函数与2χ函数的可加性可知，有： ),

(~)(22

1

2

21n n N Y X σ

σ

μμ+

--，因而有U=）（）

（）（1,0~1

12

121N n n Y X +

---σμμ。 有V=

2

2

2

22

2

1

1)1()1(σ

σ

S n S n -+

-~)2(~212-+n n χ。

则有

)

2/(21-+n n V U

~t(n 1+n 2-2)。即为)2(~11212

121-++

---n n t n n S Y X w ）

（）（μμ

9，样本均值的方差=总体方差/n 的证明（即标准误的证明）

标准误（standard error)=n

x D x nD n

x D n

n x D x D )())((1)(1)(

)(2

2

=

=

∑=

∑=。

因此有n

σσ=p

10，对比分布中效应量ES 的证明：ES 表示表示σ

μμ）

（）（21---Y X ，是实验组值与对照组值的差，比上对照组的标准差。表示的是实验组与对照组之

间，不受样本大小影响的标准间距，（或者说是实验组与对照组之间的总体标准间距）。ES 没有具体的统计意义，也不实际存在，其值为n

Z d

?=。因为

ES 本身不受样本大小的影响，因而可以自由在不同大小的样本中进行变换，是一个总体恒量。

此时的对照组总体的标准差满足Z 分布的可加性，有)),((~222121σσμμ+--Y X ，选取样本之后的样本总量（DF ）为221-+n n ，其标准误为

2

)1()1(2

212

2

2211212

2

21-+-+-=

-++=

n n S n S n n n S w σσ，这里用到了样本标准误1

-=

n S σ，之所以是n-1而不是n ，是因为为保证样本均值为μ，已经去掉了一个

自由度。

因而有：ES=σμμ）（）（21---Y X =w S Y X ）（）（21μμ---=2

1

2

12111*

1

1n n n n S Y X w +

+

---）

（）（μμ=

2

121n n n n t +

11，

证明秩和检验的均值和方差：

秩和检验中在数一组有n 1个，二组有n 2个，则有这些数的分布为1至（n 1+n 2）。

现在检验数组I 的秩和的均值和方差，得到，其秩的和分布于}2

)]1([,2)1({1

1121211n n n n n n n n +-++++，且 是一个等差数列，等差为1（即自然数列）。则有其均值为：

2

)

1(2/]2

)]1([2

)1([

)(2111

112121

11++=

+-++++

+=n n n n n n n n n n n n E

其方差为

=

++-=-=2

2112

112

2

11]2

)

1([

)()()()(n n n n E n E n E n D

{6

2

)]1([)12)]1([)(

12

)]1([2([1

112121

112121

11212n n n n n n n n n n n n n n n n n n +-+++*

++-+++++-+++*

-]6

2

)1()12)1()(

12

)1(2([

1

11

11

1n n n n n n +*

++++*

}/(121+n n )-2

211]2

)

1([

++n n n =

12

)

1(2121++n n n n

12，Dependent sample t test 方法(关联样本t 检验）：

A ，将相互对应的个体一一对应，求出其差值为D （difference scores ）；

B ，求出D 的平均值M D ，其理论值为?。

C ，求出

D 的方差为S D 2

，其标准误为p

n D MD S S =

D ，构建t 函数，t 值为：MD

D

S M

?

-=

t ，其自由度为1n df p -=

13，构建Wilcoxon T m 检验的方法

A ，将相互对应的个体一一对应，求出差值D ，并根据D 的绝对值|D|开始排行，由1开始，直到最大；其中为0者全部去掉，不参与排序。由此得到的即为Rank 值，Rank 的最大值为n p ；

B ，根据D 的正、负将Rank 分为R+与R —，任何一组都可以用作计算。

C ，任何一组中，有其均值为4

)

1n (n m

+=

p p T μ，其标准差为24

)1)(12m

p

p p T n n n ++=

（σ，

D ，构建Tm 检验的z 函数，得到m

m

m z T

T T σμ-=。

14，两样本对比方差的方法

A ，对两样本分别求方差，为21S 与2

2S ，两样本大小分别为n 1与n 2； B ，求F 值为：2

22

1S S F =,自由度为（n 1，n 2）；

C ，求对应自由度与α的F 值，如果所求F 在其右方，为拒绝域，左方为接受域。

与其他分部不同，F 分部的中心值是1，即两个方差相同。F 值越大越右偏，一般只计算F 大于1的状态。

15，多样本的方差对比与ANOV A

一、多样本的方差对比。

)

/()1/(,x j x j x j x x x k x i j x N i 贩穔,,a j k j i j 贩 ,,2

k 12

j 2

j k 1

j

1

2ij 2

2

ij

1

j ji k

1K N SSW K SSB MSW

MSB F SSB SSW SSB SSW SST SSB SSW N SST N x c b X X X X X N K C B A --=

=

+=-=

-=-==∑=∑

∑

∑∑有

念因而没有分别，因此

组间与组内就是一个概体，则

各个样本来自同一个总

表示组间的差异。如果表示组内的差异，则有）

（）（方差三：组间方差

）

（）（方差二：组内方差）（）（方差一：总体方差

个个体。

个组，，共有，总平均数为每组的平均数为，形成三个方差：

，此时对这些样本而言个个体，组数为

，每组个个体为因此我们可以定义每一。；且每个方差的个体数为：。

最大为为每组个体数。

为组数，，组成总样本多个样本

接下来可以用F 分布的方法来测量F 值，确定是否可以接受MSB=MSW ，从而是否能接受各样本方差一致。

二、多样本中任何两个样本均值的对比——protected t test 。

Protected t test 只有在H0被推翻在之后才能使用，目的是找出导致H0失败的那个异己项。为验证任何两个样本之间的均值是否一致，将构造t 函数。此时： 2

10

)(t 21M M S M M ---=

，且有)1n 1(

2

1

21n MSW S M M +

=

-

三、关联抽样的ANOV A

与余差之间的比例。

离散中，块造成的离散表示的其实是，在组内，因此其实，为关联抽样的

）

（）（度，其自由度为

的是没有解释的离散程

不能覆盖的部分，表示

与为余差项，是块间差别。其自由度为

也没有组间差别，只有

个样本中没有组内差别

，即这一

组中对应个体的平均数

个个体，每个个体都是

，共其实只构建了一个样本。为组数。

，。其自由度为

计算出的是组间的离散

因此中组内没有任何离散，

的样本

都是其平均数，即这样本中的个体一摸一样，

个全新的样本，每个样

构建了。，为所有个体总量

。其自由度为

。表示所有离散的总和

成以下方差：其他离散和的总和。构

为

于其他任何离散和，且

，表示总体离散和，大

总有一个，即方差之间的离散和

会出现正负中和的现象

平方和因此不

越大。而且因为方差是

程度，方差越大差异性

示数据之间离散的差异在方差分析时，方差表”个块“群相关联的个体构成一还分成了“块”，每一独立抽样中分成了组，在关联抽样中，不仅像F SSW SSE SSBl MSE MSBl F ANOVA SSBl SSB SSBl SSB SST SSE i Bl SSBl N k

Bl

SSBl SSB SSB N N N SST SST i =+=-?---=-=--=

--=

-=

∑

∑∑∑

.

/1k 1n 1

1k i x k 1k k x x n SSB x x block 2

1

2

2

k 1

2j j 2

j 1

i 1

2ji

四、多样本方差对比中的Kruskal-Wallis H 检验:非参数分析 for independent samples

Kruskal-Wallis H 检验是秩和检验的升级。秩和检验只用来检验均值而此时可以用来检验方差。首先按照秩和检验的方法将数据排序，得到

本身。

大概率值为是一个卡方分布，其最为组数。为组间方差。则有

，得到：

。每一组的秩和为，且有总个体数诶，每组个体数为最大为，组数为df ),1(~)

1(124

)

1(T N j n n k j j 2

1

2

j j H k k N N SSB H N N n T SSB k j

j

-+=

+-

=

=*∑

χ

由得到的H 值进行对比，若在2

αχ点右侧即为拒绝，表明方差不统一，总体间有差异。

五、多样本方差对比中的Friedman F r 检验：非参数分析 for dependent samples

)

1(~1(124

1)((j ANOVA Dependet test F riedman 2

r 1

2

j r -+=

+-

=∑

k k k SSB

F k k bl bl

T SSB T F k j

χ）

）

有为每一个样本的秩和。

，得到对每一列进行秩和运算个秩。

都必有行秩运算，因而每一行

对每一块的个体单独进

对应的纵列。块为对应的横行，组为个体依然分为组与块，如下：

条件没有达到时。方法

样本的方差分析，但适用于

Friedman Fr 非参数检验的目的在于对每一块，即每一个可比较的实验组单独列秩，从而保证检验的合理性。

16， 二因素实验的方差分析

二因素实验中的方差分析应对每一个因素而存在。二因素中，一个因素由行表示，一个由列表示，因而产生五个方差或离散分布：总方差SST,行方差SSR ，列方差SSC ，以及行列方差SSRC 和组内方差SSSW 。其中组内方差又是胞内方差，因为n 个行与k 个列共同产生了n*k 个细胞。（参见dataP431）

有：()

()为每一列的平均值

为每一行的平均值，

为每一列的个体数为每一行的个体数，其中由度。总自由度为

以上分母均为相应的自

；

为所有细胞内方差之和

C R C R C

C

R

R

N M M n n N C R SSRC MSRC RC N SSW MSW C SSC MSC R SSR MSR SSW

SSC SSR SST SSCR cell SS SSW

x M n SSC x M n SSR x

N SST ji

.

1)1)(1/()/(1/1/ ),()

()

(x

2

2

1

2

2

---=-=-=-=---==-=-=-=∑∑∑∑

二因素方差之中的t 检验与之前相同，不同的是n

22

1MSW S M M =-，n 为每一个细胞内的个体数。

17，回归分析中的t 检验，有相关方差,其中，且有

标准误

，则可构建t 函数为：m ?/S t β=，以确定β是否为0.

18，回归中的correlation 分析，有

，即为皮尔逊集聚；

其显著性由t 检验可测，有：

，其中

在进行非参数分析时，用到斯皮尔曼rs 分析，分别对Y 与X 定秩，求RY -RX 的差为D ，得到：，