2014年陕西高考数学试题(理)
2014年陕西高考数学试题（理）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合2{|0},{|1,}MxxNxxxR，则MN（ ）
.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D
2.函数()cos(2)6fxx的最小正周期是（ ）
.2A
.B
.2C .4D
3.定积分10(2)xxedx的值为（ ）
.2Ae .1Be .Ce .1De
4.根据右边框图，对大于2的整数N，得出数列的通项公式是（ ）
.2nAan .2(1)nBan
.2nnCa 1.2nnDa
5.已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
32.3A .4B .2C 4
.3D
6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
（ ）
1.5A 2.5B 3.5C 4
.5D
7.下列函数中，满足“fxyfxfy”的单调递增函数是（ ） （A）
1
2
fxx
（B）3fxx （C）12xfx （D）3xfx
8.原命题为“若12,zz互为共轭复数，则12zz”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，
正确的是（ ）
（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假
9.设样本数据1210,,,xxx的均值和方差分别为1和4，若iiyxa（a为非零常数， 1,2,,10i），
则12,10,yyy的均值和方差分别为（ ）
（A）1+,4a （B）1,4aa （C）1,4 （D）1,4+a
10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹
为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）
（A）3131255yxx （B）3241255yxx
（C）33125yxx （D）3311255yxx
第二部分（共100分）
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11.已知,lg,24axa则x=________.
12.若圆C的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线xy对称，则圆C的标准方程为_______.
13. 设20，向量1coscos2sin，，，ba，若ba//，则tan_______.
14. 观察分析下表中的数据：
多面体 面数（F） 顶点数（V) 棱数（E)
三棱锥
5 6 9
五棱锥
6 6 10
立方体
6 8 12
猜想一般凸多面体中，EVF，，所满足的等式是_________.
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
.A
(不等式选做题)设,,,abmnR，且225,5abmanb，则22mn的最小值为
.B（几何证明选做题）如图，ABC中，6BC，以BC
为直径的半圆分别交,ABAC于点,EF，若
2ACAE,则EF
.C
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6到直线sin()16的距离是
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. （本小题满分12分）
ABC的内角CBA，，所对的边分别为cba，，.
（I）若cba，，成等差数列，证明：CACAsin2sinsin；
（II）若cba，，成等比数列，求Bcos的最小值.
17. （本小题满分12分）
四面体ABCD及其三视图如图所示，过被AB的中点E作平行于AD，BC的平面分
别交四面体的棱CADCBD，，于点HGF，，.
（I）证明：四边形EFGH是矩形；
（II）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.
18.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(CBA，点),(yxP在ABC三边围成的
区域（含边界）上
（1）若0PCPBPA，求OP；
（2）设),(RnmACnABmOP，用yx,表示nm，并求nm的最大值.
19.（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上
的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元
的概率.
20.（本小题满分13分）
如图，曲线C由上半椭圆22122:1(0,0)yxCabyab和部分抛物线22:1(0)Cyxy连接
而成，12,CC的公共点为,AB，其中1C的离心率为32.
（1）求,ab的值；
（2）过点B的直线l与12,CC分别交于,PQ（均异于点,AB），若APAQ，求直线l的方程.
21.（本小题满分14分）
设函数()ln(1),()'(),0fxxgxxfxx，其中'()fx是()fx的导函数.
（1）11()(),()(()),nngxgxgxggxnN，求()ngx的表达式；
（2）若()()fxagx恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设nN，比较(1)(2)()gggn与()nfn的大小，并加以证明.
2014年全国高考陕西省数学文试卷及答案精校版
2014年陕西高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π3.已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A .5B .3C .3D4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=输出a 1,a 2,...,a N结束是否i >Ni =i +1S =a iS =1，i =1输入N开始a i =2*S5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7.下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()f x =x 1/2 （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲 路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为________. 12.已知42a=，lg x a =，则x =________. 13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.14. 已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的 表达式为________.15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最小值为______.B .（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF=_______.C .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距 离是_______. 三、解答题.16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值. 17.（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱 CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.２２１俯视图左视图 主视图ABCDEFGH18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈. （1）若23m n ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额（元） 01000200030004000车辆数（辆） 500130100150120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 20.（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.（1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.xyF 2F 1DCBA O21.（本小题满分13分） 设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.参考答案1.D2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.A9.D 10.A 11.1x =- 12.10 13.12 14.12014x x+ 15.5 3 1 16. （1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）由题设有b 2=ac ，c=2a ，∴b=2a ，由余弦定理得2222222423cos 244a cb ac a B ac a +-+-=== 17. （1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）因为BC ∥平面EFGH ，平面EFGH平面BDC FG =，平面EFGH平面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形又因为AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥ADEF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形18. （1）因为23m n ==，(1,2)AB =，(2,1)AC = 22(2,2)33OP ∴=+=（1，2）（2，1）22||=22OP ∴+=22（2）=(2,2)OP m n m n m n =+++（1，2）（2，1）即22x m ny m n =+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.xyＣＢＡ12345–1–2–3–4–5123–1–2–3O19. （1）设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得： 150()0.151000P A ==，120()0.121000P B ==， 由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：()()0.150.120.27P A P B +=+=（2）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000⨯100=，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.212024⨯=辆 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100= 由频率估计概率得()0.24P C =20. （1）由题意可得312222b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩— 解得2,3,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y += （2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=∴圆心到直线l 的距离为2||5m d =由1d <，即2||15m <，可得5||2m <22242||21215455m CD d m ∴=-=-=-设1122(,),(,)A x y B x y联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得2230x mx m -+-=由求根公式可得：12x x m +=，2123x x m =-2222115||1()4(3)422AB m m m ⎡⎤⎡⎤∴=+---=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦||53||4AB CD = 224154m m-∴=-解方程得33m =±，且满足5||2m < ∴直线l 的方程为1323y x =-+或1323y x =-- 21.（1）由题设，当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+= ∴()f x 的极小值为2(2)函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=--> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+> 设31()(0)3x x x x ϕ=-+≥ 2()1(1)(1)x x x x ϕ'∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，此时()x ϕ在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在(1,)+∞上单调递减；所以1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()x ϕ的最大值点，∴()x ϕ的最大值为12(1)133ϕ=-+=又(0)0ϕ=，结合y=()x ϕ的图像（如图），可知① 当23m >时，函数()g x 无零点； ②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立 14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立）， m ∴的取值范围是1[,)4+∞。
2014年陕西高考文科数学试题及答案(Word版)
2014年陕西高考文科数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =I （ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D【答案】 D 【解析】D N M N M 选，).1,0[∩∴),11-(),∞,0[==+=Θ2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ωΘ3.已知复数 Z = 2 - 1，则Z .z 的值为（ ） A.5 B.5 C.3 D.3 【答案】 A 【解析】A z z i z i z 选.514,2∴,-2=+=+==Θ4.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====Θ5.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）A.4πB.8πC.2πD.π 【答案】 C 【解析】C r S r 选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2ππ*22112==6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 【答案】 B 【解析】B p 选种，的顶点共是中心到种，距离小于边长只能共有中取.52104441025==∴7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 B 【解析】B y f x f y x f B D y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 A 【解析】Aa a a a a a n n n n n n 选个命题全真真原命题为真，逆命题为为递减数列，，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.4}{2.11∴∴⇔<⇔<+++Θ9.某公司10位员工的月工资（单位:元）为x 1，x 2，''',x 10 ，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A ）x ，s 2+1002 （B ）x +100, s 2+1002 （C ） x ,s 2 （D ）x +100, s 2【答案】 D 【解析】D 选不变均值也加此数，方差也样本数据加同一个数，.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）x x x y --=232121 （B ）x x x y 3212123-+= （C ）x x y -=341 （D ）x x x y 2214123-+=【答案】 A【解析】Ab ax x x x f x x x y f f 选经计算得出也可设符合经检验只有，且），三次函数过点.))(2-()(.-21-21.3)2(1-)0(,02(),0,0(23+===′=′二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为___________. 【答案】 -1x = 【解析】.-1x (1,0),∴,42==准线方程焦点x y Θ12.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，Θ13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==，若0=⋅b a ，则=θtan ______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 20,θcos -θ2sin ∴0).θcos -,1(),θcos ,θ2(sin 22====•==解得即，b a b a Θ14.已知f （x ）=x x+1，x ≥0, f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +, 则f 2014(x)的表达式为__________. 【答案】 x x20141+【解析】.20141)(,31211,21)(,2111,1)(∴)),(()(,,1)()(,20143211xxxfxxxxxxxfxxxxxxxfxffxfxxxfxfnn+=+=+++=+=+++==+==+经观察规律，可得ΛΛΘ15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A(不等式选做题)设,,,a b m n R∈，且225,5a b ma nb+=+=，则22m n+的最小值为.B（几何证明选做题）如图，ABC∆中，6BC=，以BC为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F，若2AC AE=,则EF=.C（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5osθ5θsin5,osθ5,θsin5∴,52222222222的最小值为所以，，则设nmnmnmnmcnmnbmacbaba++=++=++=+=+===+ΘB.3,2,6∴Δ=∴===ΔEFAEACBCCBEFACAEACBAEF，且相似与ΘC1|1323-3|23-1,3(∴,2-3121osθρ-23θsinρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=dyxxyc的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点Θ16. （本小题满分12分）ABC∆的内角CBA，，所对的边分别为cba，，.（I）若cba，，成等差数列，证明：()CACA+=+sin2sinsin；（II）若cba，，成等比数列，求Bcos的最小值.【答案】（1）省略（2）43【解析】（1）C)sin(A 2sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+=ΘΘ即成等差，c b a（2）.43cosB 434a 2a -4a a 2ac b -a cosB a 2b .∴2ac b ∴,,2222222222==+=+====所以，，，且成等比，c a c c b a Θ17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱 CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,.（1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.【答案】 （1） 32（2） 省略【解析】 （1）32ABCD 32122213131BCD -A .BCD -A AD ∴BCD ⊥AD DC,⊥BD Δ,ΔΔBCD -A 的体积为所以，四面体的体积所以，三棱锥的高为三棱锥面且为等腰由题知，=••••=•=AD S V RT BCD BCD（2）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====ΘΘ18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈uu u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【答案】 （1） 22 （2）m-n=y-x, 1【解析】 （1）22|OP |22|OP |∴(2,2),OP ∴(2,2))3,3(32)]1,2()2,1[(32)AC AB (32AC AB OP ∴32),,(),2,3(),3,2(),11(22==+====+=+=+===所以，，y x n m n m y x P C B A Θ（2） 1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=Θ19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（I ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（II ）在样本车辆中，车主是新司机的占10％，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20％，估计在已投保车辆中，新司机赔获金额为4000元的概率。
2014年全国高考理科数学试题选编12.概率与统计试题解析
2014年全国高考理科数学试题选编十二.概率与统计试题一.选择题和填空题1.（全国课标Ⅰ.5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )．A．18 B ．38 C．58 D ．782.(课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )．A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.453.（陕西.9)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数， i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )．A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a4.(x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.55.0- 0.5 0.2- 0.3- 得到的回归方程为y bx a =+，则( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜05.(湖南2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )． A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 36.(浙江9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )． A ．p 1＞p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) B ．p 1＜p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) C ．p 1＞p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) D ．p 1＜p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) 7.广东.理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( )．图1图2A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10 8.(江西6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )．表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 9.(山东7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )． A ．6 B ．8 C ．12 D ．1810(重庆3)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )． A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+11.(天津.9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 12.(浙江12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__________. 13.(广东11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为__． 14.(江西12)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率 是__________．15.(辽宁14)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线 y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．二.解答题1.(课标全国Ⅰ.18满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4. 2. (课标全国Ⅱ.19满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121niii ni i t t y y b t t ==(-)(-)=(-)∑∑，a y bt =-.3. (大纲全国20满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．4. (陕西19满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率．5. 16．(北京16满分13分)李明在10场篮球比赛中：赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX与x的大小．(只需写出结论)6. (天津16满分13分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．7. (安徽17满分12分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．8. (福建18满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．9. (湖北.20满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？10. (湖南17满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．11. (广东17满分13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．12. (江西21满分14分)随机将1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，C表示C的对立事件，判断P(C)和()P C的大小关系，并说明理由．13. (辽宁18满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．14. (山东18满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．15.(四川17满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．16. (重庆18满分13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)十二.概率与统计试题解析一.选择题和填空题1.全国课标Ⅰ.5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )．A ．18B ．38C ．58D ．78解析：(方法一)由题意知基本事件总数 为24＝16，对4名同学平均分组共有2422C 3A =(种)，对4名同学按1,3分组共有14C 种， 所以周六、周日都有同学参加共有2122423A C A 14⨯+=(种)．由古典概型得所求概率为147168=. (方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动，此时只有一种情况；同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况，所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16－2＝14(种)．故所求概率为147168=.故选D.2.(课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )．A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，所求事件的概率为0.6(|)0.80.75P AB P B A P A ()===()，故选A.3.（陕西.9)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数， i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )．A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a解析：123101010+=1+1010x a x a x a x ax a y x a a +++++++++===. 101010+=1+10a x ax ax a a ++++==s 2＝221210[(1)][(1)][(1)]x a a x a a x a a +-+++-++++-+ 210(1)][(1)]a a x a a +-++++-+＝222121011110x x x (-)+(-)++(-)＝4.4.(得到的回归方程为y bx a =+，则( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0解析：由样本数据可知y 值总体上是随x 值的增大而减少的．故b ＜0，又回归直线过第一象限，故纵截距a ＞0.故选B.5.(湖南2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )． A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3解析：由随机抽样的要求，知p 1＝p 2＝p 3，故选D.6.(浙江9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )． A ．p 1＞p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) B ．p 1＜p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) C ．p 1＞p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) D ．p 1＜p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) 解析：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++，2223323()(1)m m mn n np m n m n -++-=++-， 2212233252()3()(1)6m n m m mn n n mn n p p m n m n m n m n m+-++-+(-=-=+++-(+)(221223325102()3()(1)61m nm m mn n n mn n n p p m n m n m n m n m n +-++-+(-)-=-=>+++-(+)(+-). 故p 1＞p 2. ξ1的可能取值为1,2， 111C (1)C n m n nP m n ξ+==+=； 111C (2)C mm n m P m nξ+==+=. 故12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++. ξ2的可能取值为1,2,3.222C (1)()C ()(1)n m n n n P m n m n ξ+-==++-=1， 1122C C 2()C ()(1)m nm n mn P m n m n ξ+==++-=2， 222C (1)()C ()(1)m m n m m P m n m n ξ+-==++-=3，故2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++- 2(1)23()(1)()(1)mn m m m n m n m n m n -+⨯+⨯++-++-＝(1)43(1)()(1)n n mn m m m n m n -++-++-.于是E (ξ1)－E (ξ2) ＝214311m n n n mn m m m n m n m n +(-)++(-)-+(+)(+-)＝21[1431]1m n m n n n mn m m m n m n (+)(+-)-(-)++(-)(+)(+-)＝(3)1m m n m n m n -+-(+)(+-).又∵m ≥3，n ≥3，∴E (ξ1)－E (ξ2)＜0， 即E (ξ1)＜E (ξ2)． 综上，应选A.7.广东.理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )．图1图2A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10解析：由题图1知该地区中小学生的总人数为2 000＋4 500＋3 500＝10 000，因此样本容量为10 000×2%＝200.又高中生人数为2 000，所以应抽取的高中生人数为2 000×2%＝40.由题图2知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.故选A.8.(江西6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )．表 1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量解析：根据22n ad bc a b c d a c b d χ(-)=(+)(+)(+)(+)，代入题中数据计算得D 选项χ2最大．故选D. 9.(山东7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )．A ．6B ．8C ．12D ．18 解析：设样本容量为n ，由题意，得(0.24＋0.16)×1×n ＝20，解得n ＝50. 所以第三组频数为0.36×1×50＝18. 因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12. 10(重庆3)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )． A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+ 解析：由变量x 与y 正相关，可知x 的系数为正，排除C ，D.而所有的回归直线必经过点(,)x y ，由此排除B ，故选A.11.(天津.9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 解析：依题意知，应从一年级本科生中抽取430060()4556⨯=+++名．12.(浙江12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__________. 解析：设ξ＝1时的概率为p ， 则()110121155E p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+--= ⎪⎝⎭， 解得35p =. 故()()2221312(01)(11)215555D ξ=⨯+-⨯+-⨯=－.13.(广东11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为__． 解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有710C种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有3363C C ⋅种不同的取法，故所求概率3363710C C 201C 1206P ⋅===.14.(江西12)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率 是__________．解析：本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为1337410C C 1C 2=.15.(辽宁14)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线 y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．解析：由题意可知空白区域的面积为()122311124d 33x x x x--⎡⎤--==⎣⎦⎰. 又正方形的面积为4， ∴阴影部分的面积为48433-=， ∴所求概率为82343=二.解答题1.(课标全国Ⅰ.18满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)； ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4. 分析：(1)利用x ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求x ， 利用()()()22221122n n s x xp x xp x xp =-+-++-，求s 2.(2)①由(1)可知μ，σ2，则N (μ，σ2)可知． 将P (187.8＜Z ＜212.2)进行转化，利用3σ原 则求解．②由①可知一件产品的质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的概率为p ，则100件产品中 质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数X 服从二项分布B (100，p )， 则由E (X )＝100p 可求E (X )．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均 数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08 ＋230×0.02＝200， s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09 ＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02 ＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而 P (187.8＜Z ＜212.2)＝P (200－12.2＜Z ＜200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题 意知X ～B (100,0.682 6)，所以E (X ) ＝100×0.682 6＝68.26.2. (课标全国Ⅱ.19满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121niii ni i t t y y b t t ==(-)(-)=(-)∑∑，a y bt =-.分析：在第(1)问中，通过所给数据求出变量的平均数，然后求出公式中的有关数据，从而求出b 与a ，最后求出回归直线方程；在第(2)问中，根据(1)中所求方程中的b 分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，将2015年的年份代号代入回归方程可预测2015年的收入情况．解：(1)由所给数据计算得17t =(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， 17y =(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，721()i i t t =-∑＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，71()iii t t y y =-(-)∑＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，71721140.528iii i i t t y y b t t ==(-)(-)===(-)∑∑， a y bt =-＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，0.50b =>＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．3. (大纲全国20满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．分析：(1)设出事件的字母表示，用所设字母表示所求事件，利用事件的相互独立性求出所求问题的概率．(2)明确随机变量的取值：X ＝0,1,2,3,4.把随机变量转化为相应的事件，利用事件的相互独立性求出每个随机变量取相应值的概率，较复杂的概率可用分布列的性质去求．利用数学期望公式求得X 的数学期望．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． (1)122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅. P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，()22C 0.5ii P A ⨯＝，i ＝0,1,2，所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ ＝()()122()P A B C P A B P A B C ⋅⋅⋅⋅⋅++ ＝()()()()()()()122()P A P B P C P A P B P A P B P C ++ ＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为0(0)()P X P B A C ==⋅⋅＝0()()()P B P A P C＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，001(1)()P X P B A C B A C B A C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ＝001()()()()()()()()()P B P A P C P B P A P C P B P A P C ++＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25， P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38，数学期望EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1) ＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06 ＝2.4. (陕西19满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率． 分析：在(1)问中，结合问题，先设出基本事件，可知有四种可能，利用所给数据，结合独立事件的概率计算公式，可分别计算出结果，进而列出分布列．对于第(2)问，利用(1)问的结果，可求得每季利润不少于2 000元的概率，则3季利润至少有2季不少于2 000元可分为两类，一是3季利润均不少于2 000元，二是3季中有2季利润不少于2 000元，分别利用独立重复试验的概率计算公式计算出概率，相加便可得出结论． 解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”， B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”， 由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝()()P A P B ＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝()()()+()P A P B P A P B＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以(2)设i 元” (i ＝1,2,3)，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知， P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为123123123()+()+()P C C C P C C C P C C C＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少 于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 5. 16．(北京16满分13分)李明在10场篮球比赛中：赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)分析：(1)先根据统计表格求出投篮命中率，确定投篮命中率超过0.6的场数，然后除以总场数10即可得所求；(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率，然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件，即可利用相互独立事件同时成立的概率求解；(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX 与x 的大小关系． 解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C A B A B=，A ，B 独立．根据投篮统计数据，()35P A ＝，()25P B ＝.()332213()+()555525P C P AB P AB =⨯+⨯=＝. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. (3)EX x ＝.6. (天津16满分13分)某大学志愿者协会有6名男 同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 分析：(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解．(2)根据随机变量x 的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列，再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望． 解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ， 则()12033737310C C C C 49C 60P A ⋅+⋅==. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.346310C C ()C k kP X k -⋅==(k ＝0,1,2,3)．11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.7. (安徽17满分12分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． 分析：(1)先把甲在4局以内赢得比赛的情况进行列举，再用独立事件和互斥事件概率公式求概率．(2)先写出X 的所有取值，再分析相应X 的值下对应比赛结果的情况，求出相应的概率，列出分布列，运用公式求均值．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得 比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示 “第k 局乙获胜”，则()23k P A =，()13k P B =， k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)·P (B 2)P (A 3)P (A 4) ＝22221221256()()()33333381+⨯+⨯⨯=. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3) ＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故52108224234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 8. (福建18满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场。
数学_2014年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2014年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|2x >1}，B ={x|x 2+3x −4<0}，则A ∩B 等于（ ） A (0, 1) B (1, +∞) C (−4, 1) D (−∞, −4)2. 已知i 为虚数单位，复数z =2i(2−i)的实部为a ，虚部为b ，则log a b 等于（ ） A 0 B 1 C 2 D 33. a →、b →是两个非零向量，a →⋅b →>0是a →与b →的夹角<a →，b →>为锐角的（ ）条件 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 23B 13C 2D 15. 设n =∫4π20sinxdx ，则(1x−x)n 展开式的常数项为（ ）A 12B 6C 4D l6. 已知一只蚂蚁在圆：x 2+y 2=1的内部任意随机爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁爬行在区域|x|+|y|≤1内的概率是（ ） A 2πB π2C 4πD π47. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=2+f(12)log 2x ，则f(−2)=( ) A 1 B 3 C −1 D −38.定义一种运算符号“⊗”，两个实数a ，b 的“a ⊗b”运算原理如图所示，若输入a =2cos11π3，b =2tan9π4，则输出P =( )A 4B 2C 0D −29. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼−15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A 12种 B 18种 C 24种 D 48种10. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x ∈R 都有f′(x)>f(x)成立，则（ ） A 3f(ln2)>2f(ln3) B 3f(ln2)＝2f(ln3) C 3f(ln2)<2f(ln3) D 3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x)={2x x≤0log2xx>0，且函数g(x)=f(x)+x−a只有一个零点，则实数a的取值范围是________．12. 观察下列等式：12 1=1，12+221+2=53，12+22+321+2+3=73，12+22+32+421+2+3+4=93，…，则第n个等式为________．13. 如图为函数f(x)=tan(π4x−π2)的部分图象，点A为函数f(x)在y轴右侧的第一个零点，点B在函数f(x)图象上，它的纵坐标为1，直线AB的倾斜角等于________．14. 一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的4√10，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r最大取________时，才能使玻璃球触及杯底．（考生注意：请在15-17题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选讲选做题15. 已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为________．几何证明选讲选做题16. 如图，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC 的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则ED＝________．坐标系与参数方程选做题17. 在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线θ=π6(θ∈R)的距离是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．18. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=√32accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且π4≤A≤π3，求边c的取值范围．19. 在等差数列{a n}中，公差d≠0，a1=1且a1，a2，a5成等比数列．在数列{b n}中，b1= 3，b n+1=2b n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n⋅(b n−1)}的前n项和为T n．20. 如图，梯形ABCD中，AB // CD，∠B=∠C=90∘，AB=2BC=2CD=2．E为AB中点．现将该梯形沿DE析叠．使四边形BCDE所在的平面与平面ADE垂直．(1)求多面体ABCDE的体积；(2)求证：BD⊥平面ACE；(3)求平面BAC与平面EAC夹角的大小．21. 在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，中，F1，F2分别为左右焦点A1，A2，B1，B2分别为四个顶点，已知菱形A1B1A2B2和菱形B1F1B2F2的面个积分别为4√3和2√3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右顶点A2作两条互相垂直的直线分别和椭圆交于另一点P，Q，试判断直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．22. 在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中，A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，且ξ+η=3．（1）求A队得分为1分的概率；（2）求ξ的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．23. 已知函数f(x)=lnx−mx+m，m∈R．（1）已知函数f(x)在点（l, f(1)）处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）在（1）的结论下，对于任意的0<a<b，证明：f(b)−f(a)b−a <1a−1．2014年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. C3. B4. A5. B6. A7. D8. A9. C10. C11. (1, +∞)12. 12+22+32+42+⋯+n21+2+3+4+⋯+n =2n+1313. 45∘14. 115. 216. 417. 118. 解：由已知及三角形面积公式得S=12acsinB=√32accosB，化简得sinB=√3cosB，即tanB=√3，又0<B<π，∴ B=π3．（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC= 2sinA，又∵ A+B=2π3，∴ sin(2π3−A)=2sinA，化简可得tanA=√33，而0<A<2π3，∴ A=π6，C=π2．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB=a2+4a2−2a2=3a2，∴ b=√3a，∴ a:b:c=1:√3：2，知A=π6，C=π2．（2）由正弦定理得asinA =bsinB=csinC，即c=asinCsinA =2sinCsinA，由C=2π3−A，得c=2sin(2π3−A)sinA=2×(√32cosA+12sinA)sinA=√3cosA+sinAsinA=√3tanA+1又由π4≤A≤π3，知1≤tanA≤√3，故c∈[2, √3+1]．19. 解：（1）依题意得{a1=1a22=a1a5，即(1+d)2=1⋅(1+4d)，解得d=2，或d=0，不合要求，舍去．∴ a n=1+2(n−1)=2n−1．在数列{b n}中，由b n+1=2b n−1，得b n+1−1=2(b n−1)，即数列{b n−1}是首项为b1−1=2，公比为2的等比数列．得b n−1=2⋅2n−1=2n．即b n=2n+1．…（2）由（1）得a n⋅(b n−1)=(2n−1)⋅2n，∴ T n=1⋅2+3⋅22+5⋅23+...+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n，2T n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+...+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1，相减得−T n=2+2(22+23+...+2n−1+2n)−(2n−1)⋅2n+1=−2+2(2+22+23+...+2n−1+2n)−(2n−1)⋅2n+1=−2+2⋅2(1−2n)1−2−(2n−1)⋅2n+1=−2+2n+2−4−(2n−1)⋅2n+1，整理得T n=6+(2n−3)⋅2n+1．…20. (1)解：∵ 四边形BCDE所在的平面与平面ADE垂直，∴ AE⊥平面BCDE，∴ V A−BCDE=13S BCDE⋅AE=13×1×1=13．(2)证明：∵ 平面BCDE⊥平面ADE，AE⊥BE，∴ AE⊥平面BCDE，而BD⊂平面BCDE，∴ BD⊥AE，又BD⊥CE，AE∩CE=E，∴ BD⊥平面ACE．(3)解：设BD∩CE=O，过点O作OF⊥AC于F，连结BF，∵ BD⊥平面ACE，∴ BD⊥AC，∴ AC ⊥平面BOF ，∴ AC ⊥BF ，∴ ∠OFB 是二面角B −AC −E 的平面角， 在Rt △OFB 中，OB =√22，BF =√2√3， ∴ sin∠OFB =OB BF=√32， ∴ ∠OFB =60∘，∴ 平面BAC 与平面EAC 夹角的大小为60∘．21.解：（1）依题意知：{12⋅2a ⋅2b =4√312⋅2c ⋅2b =2√3a 2=b 2+c 2，解得{a 2=4b 2=3， 即椭圆C 的标准方程x 24+y 23=1．…（2）由题意知，直线A 2P 与直线A 2Q 的斜率均存在且不为0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 设直线A 2P 的方程为：y =k(x −2)，直线A 2Q 的方程为：y =−1k (x −2)y =k(x −2)，代入椭圆方程，消去y 整理可得：(4k 2+3)x 2−16k 2x +4(4k 2−3)=0，容易知△>0恒成立， 由韦达定理得：x 1⋅2=4(4k 2−3)4k 2+3，所以x 1=2(4k 2−3)4k 2+3，代人y =k(x −2)，可得：y 1=−12k4k 2+3，所以P(2(4k 2−3)4k 2+3, −12k4k 2+3)，同理可得：Q(2(4−3k 2)3k 2+4, 12k3k 2+4)， 当PQ ⊥x 轴时，2(4k 2−3)4k 2+3=2(4−3k 2)3k 2+4，解得k 2=1，此时直线PQ 方程为x =27，知直线PQ 过点(27, 0)；当直线PQ 与x 轴斜交时，直线PQ 的方程为：y −12k 3k 2+4=−7k 4(k 2−1)(x −2(4−3k 2)3k 2+4)，化简可得：y =−7k4(k 2−1)(x −27)，知直线PQ 过定点(27, 0)． 综上知，直线PQ 恒过定点(27, 0)．… 22. 解：（1）设A 队得分为的事件为A 0，∴ P(A 0)=23×35×47+13×25×47+13×35×37=41105．（2）ξ的可能取值为3，2，1，0；P(ξ=3)=P(A 0)=23×25×37=12105，P(ξ=2)=2 3×25×47+13×25×37+23×35×37=40105P(ξ=1)=23×35×47+13×25×47+13×35×37=41105，P(ξ=0)=13×35×47=12105，∴ ξ的分布列为：于是Eξ=0×12105+1×41105+2×40105+3×12105=157105，∵ ξ+η=3，∴ Eη=−Eξ+3=158105．由于Eη>Eξ，故B队比A队实力较强．23. （1）解：由f(x)=lnx−mx+m，得f′(x)=1x−m(x>0)．∵ f(x)在点（l, f(1)）处与x轴相切，∴ f′(1)=1−m=0，即m=1；（2）解：∵ f′(x)=1x−m(x>0)．当m≤0时，f′(x)=1x−m>0，知函数f(x)在(0, +∞)递增；当m>0时，f′(x)=−m(x−1 m )x ，由f′(x)>0，得x∈(0,1m)，由f′(x)>0，得x∈(1m，+∞)．即函数f(x)在(0,1m )上递增，在(1m，+∞)上递减；（3）证明：由（1）知m=1，得f(x)=lnx−x+1，对于任意的0<a<b，f(b)−f(a)b−a <1a−1可化为(lnb−b)−(lna−a)b−a <1a−1，其中0<a<b，⇔ln b ab a −1<1，其中0<a<b，⇔lntt−1<1，t>1⇔lnt−t+1<0，t>1，即f(t)<0，t>1．由（2）知，函数f(x)在(1, +∞)递减，且f(1)=0，于是上式成立．故对于任意的0<a<b，f(b)−f(a)b−a <1a−1成立．。
2014陕西高考数学及答案
2014年陕西高考文科数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则（）2.函数的最小正周期是（）3.已知复数 Z = 2 - 1，则Z .的值为（）A.5B.C.3D.4.根据右边框图，对大于2的整数，得出数列的通项公式是（）5.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（）A.4B.8C.2D.6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）7.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）8.（A ）（B ）（C ）（D ）8.原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）（A）真，假，真（B）假，假，真（C）真，真，假（D）假，假，假9.某公司10位员工的月工资（单位:元）为x1，x2，''',x10 ，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（）（A ），s2+1002 （B ）+100, s2+1002 （C）,s2 （D ）+100, s210.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线y2=4x的准线方程为___________.12.已知则=________.13. 设，向量，若，则_______.14.已知f（x）=，x≥0, f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n N+, 则f2014(x)的表达式为__________.15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(不等式选做题)设，且，则的最小值为（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是16. （本小题满分12分）的内角所对的边分别为.（I ）若成等差数列，证明：；（II ）若成等比数列，求的最小值.17.（本小题满分12分）四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.18.（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上（1）若，求；（2）设，用表示，并求的最大值.19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：20.（本小题满分13分）已知椭圆点，离心率为，左右焦点分别为F1（—c,0）.（I）求椭圆的方程;（II ）若直线：y=与椭圆交与以F1F2为直径的圆交与C,D 两点，且满足求直线的方程。
2014年全国高考陕西省数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年陕西高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π3.已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A B .3C D 4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=输出a 1,a 2,...,a N结束是否i >Ni =i +1S =a iS =1，i =1输入N开始a i =2*S5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7.下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()f x =x 1/2 （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲 路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为________. 12.已知42a=，lg x a =，则x =________. 13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅，则=θt a n ______.14. 已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的 表达式为________.15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最 小值为______.B .（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF=_______.C .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______. 三、解答题.16. （本小题满分12分）A B C ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值. 17.（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱 CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.２２１俯视图左视图 主视图ABCDEFGH18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈. （1）若23m n==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 20.（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程.x21.（本小题满分13分） 设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.参考答案1.D2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.A9.D 10.A11.1x =- 13.12 14.12014x x+ 16. （1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）由题设有b 2=ac ，c=2a ，∴，由余弦定理得2222222423cos 244a cb ac a B ac a +-+-=== 17. （1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）因为BC ∥平面EFGH ，平面EFGH平面BDC FG =，平面EFGH平面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形又因为AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥ADEF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形18. （1）因为23m n==，(1,2)AB =，(2,1)AC = 22(2,2)33OP ∴=+=（1，2）（2，1）2||=2OP ∴=（2）=(2,2)OP m n m n m n =+++（1，2）（2，1）即22x m ny m n =+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.x19. （1）设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得： 150()0.151000P A ==，120()0.121000P B ==， 由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：()()0.150.120.27P A P B +=+=（2）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000⨯100=，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.212024⨯=辆 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100= 由频率估计概率得()0.24P C =20. （1）由题意可得12222b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩—解得2,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y += （2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=∴圆心到直线l的距离为d =由1d <1<，可得||2m <||CD ∴===设1122(,),(,)A x y B x y联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得2230x mx m -+-=由求根公式可得：12x x m +=，2123x x m =-||AB ∴==||||4AB CD =1=解方程得3m =±，且满足||2m <∴直线l 的方程为123y x =-+或123y x =--21.（1）由题设，当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+= ∴()f x 的极小值为2(2)函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=--> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+> 设31()(0)3x x x x ϕ=-+≥ 2()1(1)(1)x x x x ϕ'∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，此时()x ϕ在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在(1,)+∞上单调递减；所以1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()x ϕ的最大值点，∴()x ϕ的最大值为12(1)133ϕ=-+=又(0)0ϕ=，结合y=()x ϕ的图像（如图），可知① 当23m >时，函数()g x 无零点； ②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立 14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立）， m ∴的取值范围是1[,)4+∞。
2014年陕西省西安市中学高考数学七模试卷(理科)
2014年陕西省西安市中学高考数学七模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知复数，是z的共轭复数，则的模等于（）A.4B.2C.1D.【答案】C【解析】解：复数==-i，则=i，则的模等于1，故选C．利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得z，即得，根据复数的模的定义求得的模．本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．2.设集合A=﹛（x，y）|x+y=1﹜，B=﹛（x，y）|x-y=3﹜，则满足M⊆A∩B的集合M 的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：∵A=﹛（x，y）|x+y=1﹜，B=﹛（x，y）|x-y=3﹜，∴A∩B={（x，y）|}={（2，-1）}．则满足M⊆A∩B的集合M是∅和{（2，-1）}，共2个．故选：C．联立方程组化简集合A∩B，得到A∩B={（2，-1）}，由子集的概念求得集合M的个数．本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了子集的概念，是基础题．3.设函数f（x）=3sin（2x+）+1，将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，使得到的图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=3sin（2x+）+1的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后函数图象对称的解析式为f（x）=3sin（2x+-2φ）+1若平移后得到的图象关于y轴对称，则x=0时，函数取最值则-2φ=+kπ，k∈Z则φ=--kπ，φ＞0，k∈Z，当k=-1时，φ的最小值为．故选：B．由已知中函数f（x）=3sin（2x+）+1的图象向右平移φ（φ＞0）个单位得到的图象关于y轴对称，可得当x=0时，函数f（x）=3sin（2x+-2φ）+1取最值，求出φ的表达式后，结合φ＞0，可得满足条件的φ的最小值．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的对称性，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．4.已知等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，若b n=a2n，则数列{b n}的前5项和等于（）A.30B.45C.90D.186【答案】C【解析】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得；∴a n=3n，∴b n=a2n=6n，且b1=6，公差为6，∴S5=5×6+=90．故选C．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得a n，进而得到b n，然后利用前n项和公式求解即可．本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．由此所得回归方程为y=7.5x+a，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）A.95.25万元 B.96.5万元 C.97万元 D.97.25万元【答案】A【解析】解：由题意，=（9.5+9.3+9.1+8.9+9.7）=9.3，=（92+89+89+87+93）=90，将（9.3，90）代入y=7.5x+a，可得a=20.25，∴x=10时，y=75+20.25=95.25．故选：A．首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出所获利润．本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，是一个综合题目．6.已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（1，），B（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤≤1，0≤≤1，则Z=的最大值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】解：，，，，，，，则：，，所以，，；则：=2（x+）+2y，则，，所以，即：，故答案为：4．先求出所用到的向量的坐标，根据条件得出动点P的坐标即x，y所满足的不等式，对所求的值进行变形，使式子中出现所求出的不等式的形式，然后进行不等式的运算即可．所要掌握的一点就是，将所求式子中的x，y的形式，变形到条件中x，y所具有的形式．7.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为四面体∴R=故选C．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|-|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|-|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．挖掘题设条件，合理运用双曲线的性质能够准确求解．9.偶函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1），且x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，3]上解的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：设，方程的根的个数，即为函数，的图象交点的个数∵f（1-x）=f（x+1）∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）又∵f（x）是偶函数∴f（-x）=f（x）∴f（x）=f（x+2）∴原函数的周期T=2又∵x∈[0，1]时，f（x）=-x+1由以上条件，可画出，的图象：又因为当x=时，y1＞y2，当x=1时y1＜y2∴在，内有一个交点∴结合图象可知，在[0，3]上，共有4个交点∴在[0，3]上，原方程有4个根故选D首先有已知条件推导函数f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解本题考察函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想．属较难题10.若偶函数f（x）在区间[-1，0]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A.f（cosα）＞f（cosβ）B.f（sinα）＞f（cosβ）C.f（sinα）＞f（sinβ）D.f（cosα）＞f（sinβ）【答案】B【解析】解：∵偶函数f（x）在区间[-1，0]上是减函数，∴f（x）在区间[0，1]上为增函数．又由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，α＞-β，1＞sinα＞cosβ＞0．∴f（sinα）＞f（cosβ）．故选B利用偶函数的对称性可得函数在[0，1]单调递增，由α、β为锐角三角形的内角可得，α+β＞⇒α＞-β，β＞-α，1＞sinα＞cosβ＞0，结合函数的单调性可得结果本题主要考查了偶函数的性质：在对称区间上的单调性相反，（类似的性质奇函数在对称区间上的单调性相同）；由锐角三角形的条件找到α+β＞的条件，进一步转化为α＞-β，是解决本题的关键．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)11.x（x-）7展开式中x4的系数为84，则正实数a的值为______ ．【答案】2【解析】解：（x-）7展开式的通项公式为T r+1=•（-a）r•x7-2r，令7-2r=3，求得r=2，可得x（x-）7展开式中x4的系数为•a2=84，∴正实数a=2，故答案为：2．在（x-）7展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x（x-）7展开式中x4的系数为•a2=84，从而求得正实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12.如图所示的流程图中，循环体执行的次数是______ ．【答案】49【解析】解：第一次：由I←2，S←0，得S←0+2，I←2+2；第二次：由I←4，S←2，得S←2+4，I←4+2；…第48次：由I←2+2…+2（有48个2），S←…，得S←…，I←2+2+…+2（有49个2）；第49次：由I←2+2…+2（有49个2），S←…，得S←…，I←2+2+…+2（有50个2），此时I=100≥100，应跳出循环程序，故循环体执行的次数是49．故答案是49．第一次执行循环I变为4，第二次执行循环I变为4，每执行一次I加2，故当循环执行第49次时I变为100，当I≥100时，即停止循环，算出答案即可．掌握循环结构的工作原理是解决问题的关键．13.一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是______ ．【答案】40【解析】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2-n-56=0，∴n=-7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．14.如图所示，过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+（y-1）2=1交于A，B，C，D四点，则•= ______ ．【答案】-1【解析】解：抛物线y=x2的焦点为：（0，1），准线方程是：y=-1，圆x2+（y-1）2=1的圆心是：（0，1），半径：1，所以圆心在焦点上，所以：=|AF|-|BF|=y A，=|DF|-|CF|=y D所以则：当直线l垂直于y轴时，y A=y D=1，所以；当直线l不垂直y轴时，设直线l的斜率为k，且k≠0，则直线方程为y=kx+1，所以x=，带入抛物线方程并整理得：y2-（2+4k2）y+1=0；由根与系数的关系得：y1•y2=1，所以，故答案为：-1．通过求抛物线焦点坐标和圆心坐标，会发现圆心在焦点上，所以由图可得：，根据抛物线的定义，A点到F的距离，等于它到准线的距离，所以|AF|=y A+1，所以就得到；同样的办法去表示，会得出，所以，所以到这你会想到根与系数的关系，设直线l的斜率为k，求出方程为y=kx+1，在这需要解x带人抛物线方程，这时你会发现需要讨论k=0和k≠0，到这下边的就比较简单了．本题比较巧的地方是，同样|CF|，知道这点，这道题基本就可求解出来了．15.已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线的距离的最小值是______ ．【答案】【解析】解：曲线ρ=2sinθ化为普通方程x2+y2=2y，直线化为普通方程为圆的圆心为（0，1），半径R为1，圆心到直线的距离所以圆上点到直线距离的最小值为极坐标系下的问题，我们都将其转化为直角坐标系下来加以解决，利用点到直线的距离公式求解即可．本题主要考查了圆上点到某条直线的距离的最大值、最小值为圆心到直线的距离加半径、减半径，属于基础题．16.不等式|x+log2x|＜x+|log2x|的解集是______ ．【答案】（0，1）【解析】解：由题意可得，x＞0．若0＜x＜1，则log2x＜0，∴不等式|x+log2x|＜x+|log2x|恒成立．若x≥1，则log2x≥0，∴x+log2x＞0．由不等式|x+log2x|＜x+|log2x|，可得x+log2x＜x+log2x，显然不等式不成立，故不等式无解．综上可得，不等式的解集为（0，1），故答案为：（0，1）．由题意可得，x＞0．分当0＜x＜1、当x≥1两种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．17.（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AB和AC分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO与圆O交于D点，则△ABD的面积是______ ．【答案】【解析】解：∵AB是圆O的切线，∴OB⊥AB．作BE⊥AD，垂足为E．又OC═OB=3，AB=4，∴AO==5．∴BE==．∴△ABD的面积S===．故答案为．利用圆的切线的性质及三角形的面积即可得出．熟练掌握圆的切线的性质及三角形的面积是解题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)18.在数列{a n}中，a n≠0，，并且对任意n∈N*，n≥2都有a n•a n-1=a n-1-a n成立，令．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【答案】解：（1）当n=1时，b1==3，当n≥2时，b n-b n-1=-==1，∴数列{b n}是首项为3，公差为1的等差数列，∴数列{b n}的通项公式为b n=n+2．（2）∵===（-），∴T n=+++…++=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]=[-（+）]=[-]【解析】（1）当n=1时，先求出b1=3，当n≥2时，求得b n+1与b n的关系即可知道b n为等差数列，然后便可求出数列{b n}的通项公式；（2）根据（1）中求得的b n的通项公式先求出数列{}的表达式，然后利用裂项求和法求出T n的表达式，本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合，以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题．19.如图，已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，-2）．（1）求函数f（x）的解析式及x0的值；（2）在△ABC中，角A，B，C成等差数列，求f（x）在[B，x0）上的值域．【答案】解（1）∵由图知，A=2，=2π，即T==4π，∴ω=．（2分）∴f（x）=2sin（x+φ），由图象经过点（0，1）得f（0）=2sinφ=1，又|φ|＜，∴φ=．∴f（x）=2sin（x+），----（4分）∴x0+=2kπ+（k∈Z），即x0=4kπ+（k∈Z），根据图象可得x0是最小的正数，则x0=----（6分）（2）在△ABC中，∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，即3B=A+B+C=π，∴B=---（8分）由（1）知，x0=，∴[B，x0）=[，），∵f（x）=2sin（x+），∴当≤x＜时，≤x+＜，∴≤sin（x+）＜1，≤2sin（x+）＜2即f（x）∈[，2）．----（12分）【解析】（1）由图知，A=2，=2π，易求ω=；由图象经过点（0，1），|φ|＜，可求得φ=，于是可得函数f（x）的解析式；依题意，x0+=2kπ+（k∈Z），利用x0是最小的正数，即可求得其值；（2）△ABC中，角A，B，C成等差数列，易知B=，从而有≤x＜，≤x+＜，≤sin（x+）＜1，f（x）在[，）上的值域可求．本题考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查正弦函数的单调性与值域，考查识图、运算及求解能力，属于中档题．20.甲、乙两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时甲赢得乙一张卡片，否则乙赢得甲一张卡片．规定掷硬币的次数达6次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设X表示游戏终止时掷硬币的次数．（1）求第三次掷硬币后甲恰有4张卡片的概率；（2）求X的分布列和数学期望EX．【答案】解：（1）记“第三次掷硬币后甲恰有4张卡片”为事件A，则P（A）==（2）X的所有可能取值为：3，5，6，P（X=3）=2•=，P（X=5）=2••=，P（X=6）=X分布列为：EX=3×+5×+6×=．【解析】（1）根据独立重复试验的概率公式求第三次掷硬币后甲恰有4张卡片的概率；（2）确定X的所有可能取值为：5，7，9．根据独立重复试验的概率公式得到变量对应的概率，做出X的数学期望．本题考查离散型随机变量的期望，考查独立重复试验的概率公式，考查利用概率知识解决实际问题的能力，这种题目是近几年高考题目中经常出现的题型．21.已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）证明：BN⊥平面C1NB1；（Ⅱ）求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值；【答案】（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．--------------（2分）则B（0，0，0），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）．∴，，，，，，，，，．------------（4分）∴NB⊥NB1，BN⊥B1C1．又NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1NB1．-------------------（6分）（Ⅱ）解：∵BN⊥平面C1NB1，∴是平面C1B1N的一个法向量，，，------------（8分）设，，为平面NCB1的一个法向量，则，∴所以可取，，．------------（10分）则cos＜，＞==∴所求二面角C-NB1-C1的余弦值为．------------（12分）【解析】（Ⅰ）根据题意，可得BA，BC，BB1两两垂直，以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点、向量，利用数量积证明NB⊥NB1，BN⊥B1C1，即可证明BN⊥平面C1NB1．（Ⅱ）是平面C1B1N的一个法向量，，，求出平面NCB1的一个法向量，，，利用向量的数量积，可求二面角C-NB1-C1的余弦值．本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是构建空间直角坐标系，确定平面的法向量．22.设x，y∈R，，分别为直角坐标系中与x轴、y轴正半轴同方向的单位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设抛物线y=-+3的顶点为P，焦点为F．直线l过点P与曲线C交于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得以AB为直径的圆过点F，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由？【答案】解：（1）∵向量=x+（y+2），=x+（y-2），||+||=8，则+=8，由两点间的距离公式得：即动点M（x，y）到两定点（0，-2）和（0，2）的距离之和为定值8，∵8＞4，∴点M（x，y）的轨迹方程为以两定点（0，-2）和（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，∴点M（x，y）的轨迹C的方程为．（2）因抛物线方程为：x2=-12（y-3），故P（0，3），F（0，0）．当直线l⊥x轴时，不合题意．当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=kx+3，由，得（4+3k2）x2+18kx-21=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），且△＞0恒成立，，，又∵FA⊥FB，∴x1x2+y1y2=0，∴k2=，解得k=，故所求的直线方程为：y=．【解析】（1）由已知得+=8，从而动点的轨迹方程为以两定点（0，-2）和（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，由此能求出点M（x，y）的轨迹C的方程．（2）因抛物线方程为：x2=-12（y-3），故P（0，3），F（0，0）．设直线l方程为：y=kx+3，由，得（4+3k2）x2+18kx-21=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出直线方程．本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆定义和性质的灵活运用．23.已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx．（1）求函数G（x）=f（x）-g（x）的极值．（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），求实数m的取值范围，并证明F（x2）＞-．【答案】解：（1）G（x）f（x）-g（x）=x2-x-lnx（x＞0）．G′（x）=2x-1-=，令G′（x）＞0，解得x＞1，此时函数G（x）单调递增；令G′（x）＜0，解得0＜x ＜1，此时函数G（x）单调递减．又G′（1）=0，∴x=1是函数G（x）的极小值点，且G（1）=0．（2）令h（x）=f（x）-ag（x），则h（1）=0．∴h（x）≥0即h（x）≥h（1）恒成立的必要条件是h′（1）=0，又′，由h′（1）=2-1-a=0，解得：a=1．当a=1时，h′（x）=，知h（x）min=h（1）=0，故h（x）≥0（x＞0），即f（x）≥ag（x）恒成立．（3）由F（x）=f（x）+mg（x）=x2-x+mlnx，得F′（x）=（x＞0）．F（x）有两个极值点x1、x2等价于方程2x2-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根，即：＞＞＞，解得＜＜．由F′（x2）=0，得，其中＜＜＜＜．∴F（x2）=．设φ（x）=x2-x+（x-2x2）lnx（＜＜）．φ′（x）=（1-4x）lnx＞0，∴φ（x）＞φ=-，即＞．【解析】（1）G（x）f（x）-g（x）=x2-x-lnx（x＞0）．利用导数的属于法则可得G′（x）=2x-1-=，研究函数的单调性即可得出极值；（2）令h（x）=f（x）-ag（x），则h（1）=0．h（x）≥0即h（x）≥h（1）恒成立的必要条件是h′（1）=0，利用导数研究其单调性极值即可．（3）F（x）有两个极值点x1、x2等价于方程2x2-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根，即：＞＞＞，即可解得m的取值范围．由F′（x2）=0，得，其中＜＜＜＜．可得F（x2）=．设φ（x）=x2-x+（x-2x2）lnx（＜＜）．利用导数求其最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、一元二次方程的根与系数的关系、对数函数的性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
数学高考真题-2014陕西卷文科
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数 学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2＜1，x ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．[0，1]B ．(0，1)C ．(0，1]D ．[0，1)2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 3．已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( )A ．5 B. 5 C ．3 D. 34．根据图中所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －15．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.457．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 8．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假9．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 210．如图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋12x 2－2x 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）11．抛物线y 2＝4x 的准线方程为________．12.已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．13．设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝______.14．已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．15．(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．B.(几何证明选做题)如图所示，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρ sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）16． (本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．17．(本小题满分12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．18．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．19．(本小题满分12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元)0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．20．(本小题满分13分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围．。
2014年陕西省咸阳市高考临考模拟数学理科试卷
2014年陕西省咸阳市高考临考模拟数学理科试卷第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若函数2()f x x =的定义域{0,1,2}M =，则该函数值域M 的真子集个数为 （ ）A ．8B ．7C ．6 D. 42．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3B ．34C ．32D ．123．已知向量(1,2),(4,)x y =-=a b ，则“⊥a b ”是“1,0x y ==”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4．复数321i z i=+（其中i 为虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．在复平面内复数z 的共轭复数z 对应的点在第三象限C ．复数z 的模1z =D ．若复数1z z m =+是实数，则m i =5．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<．则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( ) A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 6．在学校管乐队中5个儿童每人有他们自己的喇叭，他们中恰好有3人拿错喇叭回家而另外2人拿对的种数是（ ）A. 5B. 10C. 20D. 307．二项展开式32n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数的绝对值之和为729，则2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二次项的系数是（ ）A ． 60-B ． 60C ．30-D ． 308． 已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 79．已知区域M 内的点()P ,x y 满足：001,x y p ì＃ïïíï＃ïî区域N 内的点()P ,x y 满足：00sin ,x y x p ì＃ïïíï＃ïî则向区域M 内投点，落在区域N 内的概率是（ ）A.2p B. 4π C. 22π- D.24π-10．定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个实数()2121,x x x x ≠，均有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()x f 在定义域D 上满足利普希茨条件. 若函数()()1≥=x x x f 满足利普希茨条件，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．双曲线2214x y m+=的右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则实数m =______.12．有一块直角三角形的土地，现在这块土地上划出一块矩形地基建造游泳池（如图中阴影所示），请问：这块地基能达到的最大面积是_______.13．给出下列命题：①命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的非命题是“对任意x ∈R ，都有x 2＋x＋1＞0”；②独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟有关”，这就是“有吸烟习惯的人，必定会患慢性气管炎”；③某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人，现教育局欲用分层抽样的方法，抽取26名学生进行问卷调查，则高三学生被抽到的概率最小．其中错误的命题序号是________(将所有错误命题的序号都填上)． 14．观察下列等式：3111=； 3312312+=+； 3331236123++=++；33331234101234+++=+++；…，则第n 个等式为 ．15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A. (不等式选做题) 已知正实数y x ,满足22143x y +=，则y x +的最大值为 .B ．（几何证明选做题）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上 的射影为D ．2=AD ，52=AC ，则圆O 内接正方形的面积为 ．C. (坐标系与参数方程选做题) 已知极坐标系的极点和直角坐标系的原点重合，极轴和x 的正半对称轴重合，两坐标系的单位长度一致。
2014年陕西卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学本试卷共23题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则M N ⋂=（ ） A ．[0,1]B ．[0,1）C ．(0,1 ]D ．(0,1)2．函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π3．已知复数2z i =−，则z z ⋅的值为（ ）A ．5B C ．3D4．根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）A ．12n n a +=B ．()21n a n =−C ．2nn a =D ．12n n a −=5．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．457．下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8．原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A ．真，真，真 B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假9．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A ．x ，22s 100+ B ．100x +，22s 100+ C ．x ，2s D ．100x +，2s10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．321122y x x x =−− B ．3211322y x x x =+− C ．314y x x =−D ．3211242y x x x =+−第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．抛物线24y x =的准线方程为_____． 12．已知42a =，lg x a =，则x =__________． 13．设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ−==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.14．已知，若，则的表达式为________.15．设，且，则的最小值为______..B 16．如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =17．在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=−πθρ的距离是_______. 三、解答题18． ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值.19．四面体及其三视图如图所示，平行于棱的平面分别交四面体的棱于点.（1）求四面体的体积；（2）证明：四边形是矩形.20．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.（1）若23m n ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n −，并求m n −的最大值.(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为1(,0)F c −，2(,0)F c .（1）求椭圆的方程； （2）若直线l ：12y x m =−+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足4AB CD =，求直线l 的方程.23．设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =−零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a−>><−恒成立，求m 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学(参考答案)1．B【解析】试题分析：由{|0,}[0,)M x x x R =≥∈=+∞，，所以[0,1)M N ⋂=，故选B. 2．B【解析】试题分析：由周期公式2T w π=，又2w =，所以函数()cos(2)6f x x π=−的周期22T ππ==，故选B. 3．A【解析】试题分析：由2z i =−得2z i =+，所以(2)(2)5z z i i ⋅=−⋅+=，故选A. 4．C【解析】试题分析：当1,1S i ==时，11212a =⨯=；当12,2S i ==时，122222a =⨯=；当22,3S i ==时，233222a =⨯=；⋅⋅⋅由此得出数列的通项公式为2n n a =，故选C.5．C【详解】试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为1r =的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为22ππ=r ，宽为1，所以所得几何体的侧面积为212ππ⨯=.故选C. 6．B【解析】试题分析：如图，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有2510C =条线段，O 点与A ，B ，C ，D 四点中任意1点的连线段都小于该正方形边长，共有144C =，所以这2个点的距离小于该正方形边长的概率42P ==，故选B. ．【解析】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3x f x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.8．A【解析】试题分析：由12n n n a a a ++<{}1n n n a a a +⇒<⇒为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{}n a 为递减数列，则12nn n a a a ++<，n N +∈；若{}n a 为递减数列，则1n n a a +<，即12n n n a a a ++<，所以逆命题为真；否命题：若12nn n a a a ++≥，n N +∈，则{}n a 不为递减数列；由{}112n n n n n n a a a a a a +++≥⇒≤+⇒不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题.故选A. 9．D【解析】试题分析：均值为;方差为,故选D.10．A【详解】由题目图象可知：该三次函数过原点， 故可设该三次函数为32()y f x ax bx cx ==++， 则2()32y f x ax bx c ''==++， 由题得：(0)1f '=−，(2)0f =，(2)3f '=即1{84201243c a b c a b c =−++=++=，解得121{21a b c ==−=−， 所以321122y x x x =−−，故选A. 11．1x =−【详解】由抛物线方程可知，抛物线24y x =的准线方程为：1x =−．故答案为：1x =−． 12【解析】试题分析：由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得x =. 13．12【解析】试题分析：因为0a b ⋅=，所以2sin 21cos 0θθ⨯−=，即2sin 2cos θθ=，所以22sin cos cos θθθ=； 因为20πθ<<，所以cos 0θ≠，故2sin cos θθ=，所以sin 1tan cos 2θθθ==，故答案为12. 14．12014xx+【解析】试题分析：111()1111x x f x x x x+−===−+++，0x ≥，11x ∴+≥，111x ∴≤+，1101x ∴−≥+，即()0f x ≥，当且仅当0x =时取等号，当0x =时，(0)0n f =；当0x >时()0f x >，1()(())n n f x f f x +=1()()1()n n n f x f x f x +∴=+，11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++∴==+，即1111()()n n f x f x +−=，∴数列1()n f x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+−⨯=+−⨯=+ ()(0)1n x f x x nx ∴=>+，当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n x f x x nx ∴=≥+，2014()12014xf x x∴=+15【解析】试题分析：由柯西不等式得：22222()()()a b m n ma nb ++≥+，所以2225()5m n +≥，得225m n +≥≥16．3【解析】试题分析：由四边形BCFE 为圆内接四边形AEF C ⇒∠=∠，AFE B ∠=∠AEFACB ⇒∆∆⇒12AE EF AC BC ==，又因为6BC =，所以3EF =，故答案为3 17．1【解析】试题分析：直线sin()16πρθ−=化为直角坐标方程为11022y x −−=，点(2,)6π的直角坐标为，点到直线11022y x −−=的距离1|110|1d ⨯−===，故答案为1.18．（1）证明见解析；（2）34. 【解析】试题解析：（1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=−+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）c b a ，，成等比数列22b ac ∴=由余弦定理得22222221cos 2222a cb ac ac a c B ac ac ac +−+−+===−2c a =22243cos 44a a B a +∴== 3cos 4B ∴=19．（1）23；（2）证明见解析.【解析】试题解析：（1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD === 由题设，BC ∥面EFGH ,面EFGH ⋂面BDC FG =,面EFGH ⋂面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ，FG ∴∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，EF ∴∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形 , 又,,BD AD AD DC BD DC D ⊥⊥⋂= ∴AD ⊥平面BDC AD BC ∴⊥ BC ∥FG ,EF ∥AD , EF FG ∴⊥ ∴四边形EFGH 是矩形20．（1）（2）m n y x −=−，1. 【解析】试题解析：解：(Ⅰ)2,3m n == ()()1,2,2,1,AB AC ==()()()221,22,12,233OP mAB nAC ∴=+=+=22OP ∴==(Ⅱ)()()()1,22,12,2OP mAB nAC m n m n m n ∴=+=+=++22x m ny m n =+⎧∴⎨=+⎩两式相减，得m n y x −=−令t y x =−，由图知，当直线y x t =+过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m n −的最大值为1.21．（1）0.27； （2）0.24 【解析】 试题解析：（1）设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：150()0.151000P A ==，120()0.121000P B ==， 由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：()()0.150.120.27P A P B +=+=设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000⨯100=，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.212024⨯= 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100= 由频率估计概率得()0.24P C =22．（1）22143x y +=（2）123y x =−+或123y x =−−.【解析】试题解析：（1）由题意可得,解得2,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y +=,由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=∴圆心到直线l 的距离为d =,由1d <1<，可得m <CD ∴===,设1122(,),(,)A x y B x y联立,整理得2230x mx m −+−=,可得：12x x m +=，2123x x m =−AB ∴==4AB CD =1=,解方程得3m =±，且满足2m <∴直线l 的方程为123y x =−+或123y x =−−23．（1）2；（2）当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞. 【解析】试题解析：（1）由题设，当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x ef x x x x−∴=−='∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e f e e e=+=∴()f x 的极小值为2（2）函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=−=−−> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =−+> 设31()(0)3x x x x ϕ=−+≥ 2()1(1)(1)x x x x ϕ∴=−+=−−+'当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，此时()ϕx 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()ϕx 在(1,)+∞上单调递减；所以1x =是()ϕx 的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()ϕx 的最大值点，∴()ϕx 的最大值为12(1)133ϕ=−+=又(0)0ϕ=，结合y=()ϕx 的图像（如图），可知①当23m >时，函数()g x 无零点；②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点.（3）对任意()()0,1f b f a b a b a −>><−恒成立，等价于()()f b b f a a −<−恒成立设()()ln (0)mh x f x x x x x x=−=+−>， ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x∴=−−≤'在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥−+=−−+>恒成立14m ∴≥（对14m =，x =0h '（）仅在12x =时成立），m ∴的取值范围是1[,)4+∞。