安徽省六校教育研究会2021届高三下学期2月第二次联考数学文科试题
安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试（文）
注意事项： 2021.2.22
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集为实数集R,集合P={x|2,x ∈R},集合Q={1,2,3,4},则
图中阴影部分表示的集合为
A.{4}
B.{3,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
2.已知平面α,直线a,b,l ,且a ⊂α,b ⊂α,则“l ⊥a 且l ⊥b”是“l ⊥α”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.2≈1.41421,如果对应关系f 将n 2的小数点后第n 位上的数字，则f (2)+f (4)=
A. 5
B.6
C.3
D.2
4.关于复数Z,下列叙述正确的有（ ）个
①若Z i =1,则Z= -i ； ②任何两个复数都不能比较大小； ③实数没有共轭复数； ④复数3-2i 的实部是3,虚部是2.
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2x-y=0上，则3sin(
)cos()2sin()sin()2
πθπθπθπθ++-=---
A.-2
B.2
C.0
D. 23
6.M(a,b)为圆x 2+y 2=r 2 (r>0)内异于圆心的一点，则直线ax+by=r 2与该圆的位置关系
A.相切
B.相交
C.相离
D.相切或相交
7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2、n=3,依次输入的a 为1,2,3,4、则输出的s=
A.11
B.16
C.26
D.30
8.现有一台不等臂的天平，它有左右两个托盘，若同一个物体放在左右托盘各测一次所得的质量分别是a 、b(单位：g),则下列关于物体的真实质量m 表述正确的是 A.m<ab B.m> 2a b + C.m<2
a b + ab
9.在发生某公共卫生事件期间、有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续14天，每天新增疑似病例不超过6人”．根据过去14天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A.甲地：总体均值为1,中位数为1
B.乙地：总体均值为1,总体标准差大于0
C.丙地：中位数为1,众数为2
D.丁地：总体均值为2,总体方差为1
10. △ABC 的内角A.B.C 的对边分别为a.b.c,已知cos 2A-2cosA+32
=0且满足 (b-c),则
ΔABC 的形状是（
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是以C 为几角的等腰直角三角形，且AC=CC 1=1,在面对角线BC 1上存在一点P 使P 到B 1和P 到A 的距离之和最小，则这个最小值是
A.2 C. D. 12.设F 为双曲线C: 22
22x y a b
-＝1(a>0.b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以O 为圆心OF 为半径的阅与双曲线C 交于P.Q 两点（P 、Q 均在x 轴的上方）．若｜PQ|=|OF|,则C 的离心率为
A. B. C.2 D. 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知平面向量a ,b 满足a ·(a +b )=3,且|a |=2，|b |=1,则向量a 与b 的夹角
为 .
14.某学校志愿者协会周末组织活动，需要从甲乙两小组各安排一名志愿者去春风养老院，若甲乙两小组各有6名志愿者且都是3名男生3名女生，则派去服务的两名志愿者都是女生的概率是 .
15.设F 为抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点，直线y-x+1=0与抛物线C 有公共点M,且MF 与抛物线C 的对称轴垂直，则p= .
16.关于函数cos(2)3()2x f x π+=的性质，下列表述正确的是
① 是周期函数，且最小正周期是π；
② 是轴对称图形，且对称轴是直线x=
,26k k Z ππ-∈； ③定义域是R,值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
④是中心对称图形，且对称中心是,1212k k Z ππ⎛⎫+∈
⎪⎝
⎭; ⑤单调道减区问是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.
三、解答题：（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：（共60分）
17.(12分）
某村海拔1500米，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村．该省政府办公厅组建了精准扶贫组进行定点帮扶，扶贫组在实地调研和充分听取群众意见后，立足当地独特优势，大力发展高山蔬菜和生态黑猪，有效带动了全村父老乡亲脱贫奔小康。
村民甲在企业帮扶下签订合同，代养生态黑猪，2016年至2020年养殖黑猪的年收入y(单
年份2016 2017 2018 2019 2020
年份代号x 1 2 3 4 5
年收入y 5.6 6.5 7.4 8.2 9.1
（I)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程：
（II)利用（I)中的回归方程，预测2021年该村民养殖黑猪的年收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
18.(12分）
已知各项均为正数的等差数列{a n}满足a1a5=33, a22=25.
（I)求数列{a n}的通项公式：
（II)设b n=4n-2+3a n,若a n∈N,求{b n}的前n项和T n.
19.(12分）
如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,BC⊥AC
（I)求证：平面PBC⊥平面PAC;
（II)若PA=2,AC=BC=1,Q为PC的中点，求点C到
平面AQB的距离。
20.(12分）
设椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左焦点为F,离心率为
2
2
，过点F且与x轴垂直的直线
被椭圆截得的线段长为2.
（I)求椭圆C的标准方程：
（II)假设椭圆C的上顶点是P,斜率为k的直线l与椭圆交于不同于点P的A、B两点，直
线AP的斜率是k1,直线BP的斜率是k2,若k1k2＝3
2
,证明直线l过定点。
21.(12分）
已知函数f(x)=e x-ln(x+a)-a.
（I)当a=1时，求曲线f(x)在点（1, f(1))处的切线方程; （II)若f(x)≥0,求a的取值范围。
（二）选考题：（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑。
多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，那么按所做第一题计分）
22.[选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1:x+y=1与曲线C 2: 22cos 2sin x t y t =+⎧⎨=⎩
(t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
（I)写出曲线C 1,C 2的极坐标方程；
（II)在极坐标系中，已知l : θ=α(ρ>0)与C 1,C 2的公共点分别为A,B,α∈(0，2π). 当||
||OB OA ＝4时，求α的值．
22.[选修4-5:不等式选讲］（10分）
已知f (x)=|ax+1|+|x-1|
（I)当a=2时，求不等式f (x)<2的解集：
（I1)若x ∈(1,2)时不等式f (x)<x 成立，求a 的取值范围。
安徽省六校教育研究会2021届高三2月22日第二次联考理科数学试题(含答案)
所以 AB1 面 A1EC
又 M 是 AD 的中点，易得 AM B1C1, AM // B1C1, 所以 MC1AB1 为平行四边形,
所以 MC1 // AB1 得 MC1 面 A1EC 所以 MC1 A1C
……………………5 分
方法 2：:由图知 CA1 CD DA AA1 AB AD AA1
由
x0 2
y02
5 得 Q 点轨迹方程为 5 16
x2
5y2
1 ，且焦点恰为
F1, F2 ，
故 QF1 QF2 2
4 5
8 5,
当切线 PA, PB 的斜率有一个不存在时，易得 QF1 QF2
8 5
综上得 QF1 QF2
8
.
5
......................................12 分
若
安徽省六校教育研究会 2021 届高三联考数学（理）参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B A C D A D C B B C D B
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 9
14.9
15. y 2 3 x
3
三、解答题 （总分 70 分）
安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试（理）
注七事项：
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【高三】安徽省六校教育研究会2021届高三2月联考试题(数学 文)
【高三】安徽省六校教育研究会2021届高三2月联考试题（数学文）【高三】安徽省六校教育研究会2021届高三2月联考试题（数学文）试卷描述：第ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若（是虚数单位，是实数），则的值是（）（a）（b）（c）（d）2．满足，且恒成立，则的最大值为（）（a）（b）（c）（d）3．执行如图所示的程序框图输出框图（）（a）（b）（c）（d）．的函数不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（）（a）（b）（c）（d）．的图象是（）6.等差数列前和为，则的值是()(a)130(b)65(c)70(d)757.已知直线与圆交于两点，则与向量(为坐标原点)共线的一个向量为（）（a）（b）（c）（d）．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）（a)（b）（c）（d）9．若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为（）（a）（b）2（c）（d）810．设是双曲线的两个焦点,是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为（a）（b）（c）（d）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知函数的值域为集合，函数的值域为集合，任意，则的概率是_______．设满足约束条件，，且,则的最小值为点是线段的等分点，则等于．14．抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的体积是．15．设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使（为常数）成立。
则称函数在上的“均值”为。
已知四个函数：①；②；③；④上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为１的函数是．（填入函数的序号）16．（本小题满分12分）已知函数,的最大值为2．求函数在上的；外接圆半径，，角所对的边分别是求．17.（本小题满分1分）两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．随机：777．599．568．58．5由于表格被污看不清，统计员只记得两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．与的值；（ⅱ）若从被检测的5件种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．18.（本小题满分1分）各项均为正数的数列前和为满足恰好是等比数列ⅰ）求数列的通项公式的前项和为,若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．19．（本小题满分1分）中,底面,,,．（ⅰ)求证:平面平面；（ⅱ）若,求四棱锥的体积．20．（本小题满分1分）中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.(ⅰ)求椭圆的方程;(ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.21．（本小题满分13分）已知为函数图象上一点，o为坐标原点，记直线的斜率．(ⅰ)若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；(ⅱ)设，若对任意恒有，求实数的取值范围．每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的安徽省六校教育研究会2021届高中三年级2月联考试题（数学文）。
安徽省六校教育研究会2021届高三下学期2月第二次联考理科数学试题(解析版)
安徽省六校教育研究会2021届高三联考数学能力测试（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集为实数集R ，集合{}12,|P x x x R =≤+∈，集合{}1,2,3,4Q =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}4B. {}3,4C. {}2,3,4D. {}1,2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示集合Q 中不满足集合P 的元素，由此可得选项．【详解】图中的阴影部分表示集合Q 中不满足集合P 的元素，所以阴影部分所表示的集合为{}3,4， 故选：B ．2. 已知复数z 与2(2)8z i +-均是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A. 2- B. 2C. 2i -D. 2i -【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方运算以及复数的概念即可求解. 【详解】设z bi =（b ∈R ，且0b ≠）， 则()()()()2222828448z i bi i bb i +-=+-=-+-；若()228z i +-是纯虚数，则240,480,b b ⎧-=⎨-≠⎩，解得2b =-.故选：A3. 已知实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的最小值是 （ ）A. 2B. 1C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【详解】实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，可行域如图所示，由22222((0)(0))z x y x y =+=-+-结合图象，z 可看作原点到直线220x y +-=的距离d 的平方， 根据点到直线的距离可得22521d ==+ 故22245z x y d =+==【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化与化归思想的应用，考查基本运算求解能力．4. 不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】原方程可化为20202(1)1x y +-=，所以2||1,(1)1,x y ≤-≤即11,02x y -≤≤≤≤，(),x y Z ∈再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对(,)x y ， 因为202022,(,)x y y x y Z +=∈ 所以20202(1)1x y +-=当20201x >或2(1)1y ->时，等号是不能成立的，所以2||1,(1)1,x y ≤-≤即11,02x y -≤≤≤≤，(),x y Z ∈ （1）当1x =-时，2(1)0y -=即1y = （2）当0x =时，2(1)1y -=即0y =或2y = （3）当1x =时，2(1)0y -=即1y =综上所述，共有四组解()()()()1,1,0,0,0,2,1,1-- 故选：D5. 已知向量()1,3b =，向量a 在b 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥，则实数λ的值为（ ） A.13B. 13-C.23D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =6=-，()4x λ=-，整体代换即可得解. 【详解】设(),a x y =，a 在b 方向上的投影为6-，∴36a b x b⋅+==-即12x +=-.又 ()a b b λ+⊥，∴()0a b b λ+⋅=即130x y λ+++=，∴()4x λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.6. 直线:230l x y ++=倾斜角为α，则2sin 2cos αα+的值为（ ） A.45B. 45-C.35D.35【答案】D 【解析】【分析】求出tan α的值，可得出22222sin cos cos sin 2cos sin cos ααααααα++=+，在所求分式的分子和分母同时除以2cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】由已知可得tan 2α，所以，()2222222212sin cos cos 2tan 13sin 2cos co 2si s tan 1n 15ααααααααα⨯-++++====-+++. 故选：D.7. 已知点()02,M y 为抛物线()22,0y px p =>上一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若87MF MO =．则p 的值为（ ）A. 1或54B.52或3 C. 3或54D. 1或52【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再根据平面直角坐标系上任意两点的距离公式表示出MO ，即可得到方程，解得即可；【详解】解：因为点()02,M y 为抛物线()22,0y px p =>上一点，F 为抛物线的焦点，所以22pMF =+，MO ==又87MF MO =，所以822p ⎛⎫+ =⎪⎝⎭，即()()244491p p +=+解得3p =或54p = 故选：C8. 函数3()sin f x x x x =++，则1a >-是(1)(2)0f a f a ++>的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】对函数()3sin f x x x x =++进行求导，可得出函数的单调性，再得出函数的奇偶性，利用充分必要条件的定义判断可得选项．【详解】由题意可得：2()cos 3+1>0f x x x '=+恒成立， 所以函数()3sin f x x x x =++在R 上递增，又()()()()33()sin sin ()f x x x x x x x f x -=-+-+-=-++=-，所以函数()f x 是奇函数，当()()120f a f a ++>，即()()()122f a f a f a -+>=-， 所以12a a +>-，解得13a >-， 当1a >-时，则13a >-，显然不成立； 反之，当13a >-，则1a >-，成立， 所以1a >-是()()120f a f a ++>的必要不充分条件 故选：B ．9. 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，将数列{}n a 依原顺序按照第n 组有2n 项的要求分组，则2021在第几组（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】【分析】依题意根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，再根据等比数列的前n 项和公式求出前m组内的项数和，即可判断2021在第几组；【详解】解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，11a =；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时21n a n =-也成立，故21n a n =-，令212021n -=解得1011n =，故2021为数列{}n a 的第1011项，依题意将数列{}n a 依原顺序按照第n 组有2n 项的要求分组，则前m 组一共有()1212122222212m m m +-+++==--个数，当8m =时，即前8组有922510-=个数； 当9m =时，即前9组有10221022-=个数； 故第1011项第9组；故选：B10. 已知三棱锥A BCD -满足：AB AC AD ==，BCD △是边长为2的等边三角形．三棱锥A BCD -的外接球的球心O 满足：0OB OC OD ++=，则该三棱谁的体积为（ ） A.16B.13C.23D. 1【答案】C 【解析】【分析】分析出三棱锥A BCD -为正三棱锥，由0OB OC OD ++=可知O 为正BCD △的中心，由球心的定义得出OA OB OC OD ===，利用正弦定理求出BCD △的外接圆半径，即为OB ，可得出OA ，再利用锥体的体积公式可求得该三棱锥的体积.【详解】已知三棱锥A BCD -满足：AB AC AD ==，BCD △是边长为2的等边三角形， 所以，三棱锥A BCD-正三棱锥，由于正三棱锥A BCD -的外接球的球心O 满足：0OB OC OD ++=，则O 为正BCD△的重心，即O 为正BCD △中心，所以，AO ⊥平面BCD ，由正弦定理可得22sin3OB π==，OA OB ∴==，212sin 23BCDS π=⨯⨯=△， 因此，112333A BCD BCD V S OA -=⋅==△. 故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 11. 圆O 半径为1，,PA PB 为圆O 的两条切线，A ，B 为切点，设APO α∠=，则2tan 2PABS α最小值为（ ）A. 4-B. 3-+C. 4-+D. 3-+【答案】D 【解析】【分析】利用三角形的面积公式将2tan 2PABS α表示为关于α的函数关系式，然后换元，利用基本不等式可求得最小值.【详解】因为,PA PB 为圆O 的两条切线，所以OA PA ⊥，OB PB ⊥， 所以tan OA PA α=，所以1tan PA α=，(0,)2πα∈， 211sin 2sin 222PAB S PA PB PA αα=⋅⋅=△2sin 22tan αα=， 所以2tan 2PAB S α2sin 2tan tan 2ααα=⋅2cos 2tan αα=2222cos 1sin cos ααα-=222cos (2cos 1)1cos ααα-=- 设21cos x α-=，因为(0,)2πα∈，所以cos (0,1)α∈，则01x <<，所以222cos (2cos 1)1cos ααα--[](1)2(1)1x x x ---=2231x x x-+=123x x =+-33≥=，当且仅当x =所以2tan 2PABSα的最小值为3.故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且首项10a >，给出下列命题：1p ：若3412a aa e a e =，则()3)(110a q --≤；2p ：若3412a a e a e a =++，则22,00,33q ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则下列说法正确的是（ ）A. 1p 为真命题，2p 为假命题B. 1p ，2p 都为真命题C. 1p 为假命题，2p 为真命题D. 1p ，2p 都为假命题【答案】A 【解析】【分析】根据等式3412a a a ea e =用q 表示出3a ，代入()3(11)a q --中，构造关于q 的函数，利用导数判断不等式()3)(110a q --≤是否成立，进而判断出命题1p 的真假；通过举反例判断命题2p 的真假．【详解】1p ：若3412a aa e a e =，则()3)(110a q --≤，由3412a a a e a e =得44333(1)210a a a a q a a e q e e a e--====>， 3(1)ln a q q -=，3ln 1qa q =-， ()()()3ln 1111ln 11q a q q q q q ⎛⎫--=--=-+ ⎪-⎝⎭，令()ln 1f q q q =-+，则11()1q f q q q-'=-=， 01q <<时，()0f q '>，()f q 递增，1q >时，()0f q '<，()f q 递减，∴()(1)0f q f ≤=，1q =时取等号．∴()3)(110a q --≤，命题1p 为真．2p ：若3412a a e a e a =++，设110a =，12q =-，则25a =-，352a =，454a =-，125a a +=，但3455245a a e e e e -+=+>，即3412a a e a e a =++不成立，2p 是假命题． 故选：A ．【点睛】关键点睛：在判断命题1p 时，解题关键是利用取对数把3a 用q 表示，从而把3(1)(1)a q --化为一元函数，利用函数的知识确定结论．而命题2p 中是加法运算，对等比数列来讲无法计算，举反例判断（题中结论只有q ，因此数列的首项可取任意值）．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13. 从编号为1、2、3、、88的88个网站中采用系统抽样抽取容量为8的样本，若所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站最小编号为________． 【答案】9 【解析】【分析】求出分段间隔，分析出编号为53的网站位于第5组，进而可列等式求出样本中网站最小编号. 【详解】分段间隔为88118=，第5组样本的编号为45、46、47、、55，由于455355<<，所以，编号为53的网站位于第5组， 设样本中网站最小编号为m ，则11453m +⨯=，解得9m =. 故答案为：9.14.若3nx ⎛+ ⎝的展开式常数项为84，则n =________．【答案】9 【解析】【分析】求出二项展开式的通项，令x 的指数为零，可得出方程组，进而可解得n 的值.【详解】3nx ⎛ ⎝的展开式通项为()3933221kn k n k k k k n n T C x x C x---+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 由题意可得849302k n C n k n N *⎧=⎪⎪-=⎨⎪∈⎪⎩，解得9n =.故答案为：9.15. 双曲线221mx ny -=左右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线渐近线上一点，若以12F F 为直径的圆经过P 点，且3APB π∠=．则该双曲线的渐近线方程为________．【答案】y x =± 【解析】【分析】由题意设双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，设P 在第一象限，由以12F F 为直径的圆经过P 点，得(,)P a b ，从而得PB AB ⊥，这样结合3APB π∠=可得ba，得渐近线方程． 【详解】设双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，12(,0),(,0)F c F c -，不妨设P 在第一象限，以12F F 为直径的圆经过P 点，则1212F O c F P ==，设(,)(0,0)P x y x y >>， 由22222b y x a x yc a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)P a b ，所以PB AB ⊥，而3APB π∠=，则23a b =，所以233b a =，渐近线方程为233y x =±． 故答案为：233y x =±． 【点睛】结论点睛：本题考查求双曲线的渐近线方程，对双曲线22221(0)x y a b a b-=>>，P 是渐近线上一点且在第一象限，若OP c =，则有P 点坐标为(,)a b ．16. A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________． 【答案】527【解析】【分析】根据A 的票数为3,2分类讨论，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出． 【详解】若仅A 一人是最高得票者，则A 的票数为3,2． 若A 的票数为3，则1111133327P =⨯⨯=； 若A 的票数为2，则BCD 三人中有两人投给A ，剩下的一人与A不能投同一个人，213111242333327P C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； 所以仅A 一人是最高得票者的概率为12145272727P P P =+=+=． 故答案为：527． 【点睛】本题解题关键是根据A 的得票数进行分类讨论，当A 的票数为3时，容易求出1127P =，当A 的票数为2时，要考虑如何体现A 的票数最高，分析出四人投票情况，是解题的难点，不妨先考虑BC 投给A ，则D 投给B （C ），A 就投给C 或D （B 或D ），即可容易解出．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 在ABC 中，D 是BC 的中点，2,4,AB AC AD ===（1）求ABC 的面积；（2）若E 为BC 上一点，且AB AC AE AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，求λ的值．【答案】（1）（2）43λ=． 【解析】【分析】（1）由中线及向量运算得1()2AD AB AC =+，平方后求得 4⋅=-AB AC ，由向量的数量积可得BAC ∠，从而可得三角形面积；（2）由AB AC AE AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭得 AE 是BAC ∠的平分线，利用三角形的面积求得中线AE 长，再由向量的运算求得AB AC ABAC+的模，从而可得λ．【详解】解．（1）由1()2AD AB AC =+可得： 22221111()4424AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+，22111324424AB AC =⨯+⋅+⨯， 4⋅=-AB AC ，1cos 2||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==-⋅所以1sin1202120,ABCB AB A AC C S=⋅=︒︒∠=（2）因为AB AC AE AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，所以 AE 是BAC ∠的平分线，||AB c AB =，AC b AC =，1b c ==，则 222()2121b c b c b b c c +=+=+⋅+=+=， 由ABC ABE ACE S S S =+△△△可得 1112sin sin sin 232323AB AE AC AE AB AC πππ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ 从而43AE =，由||||AB AC AE AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以 43λ=．【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，考查向量三角形面积公式．解题关键有两个一是利用向量的平方求出数量积AB AC ⋅，从而可得夹角，二是利用向量的加法法则得 AE 是BAC ∠的平分线． 18. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=．1AA ⊥平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：11C M AC ⊥； （2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且312CE =-． 【解析】【分析】（1）取BC 中点Q ，连接AQ 、1A C 、AC ，以点A 为坐标原点，以AQ 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，计算出110C M AC ⋅=，进而可证得11C M AC ⊥； （2）设点E 的坐标为()3,,0λ，其中11λ-≤≤，利用空间向量法可得出关于实数λ的方程，由题意得出点E 在线段QC 上，可求得λ的值，进而可求得CE ，即可得出结论. 【详解】（1）取BC 中点Q ，连接AQ 、1A C 、AC ， 因为四边形ABCD 为菱形，则AB BC =，60ABC ∠=，ABC ∴为等边三角形，Q 为BC 的中点，则AQ BC ⊥，//AD BC ，AQ AD ∴⊥，由于1AA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，以AQ 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图.则()0,0,0A 、()10,0,1A 、()10,1,1D、)3,0,0Q 、)3,1,0C、131,,122C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、()0,1,0M ，131 ,,122C M⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，()13,1,1AC=-，()211311022C M AC∴⋅=-++-=，11C M A C∴⊥；（2）假设点E存在，设点E的坐标为)3,,0λ，其中11λ-≤≤，()3,,0AEλ=，()10,1,1AD=，设平面1AD E的法向量为(),,n x y z=，则1n AEn AD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30x yy zλ+=+=⎪⎩，取3y=xλ=，3z=(,3,3nλ=-，平面1ADD的一个法向量为()1,0,0m=，所以，21cos,3+6m nm nm nλλ⋅<>===⋅，解得3λ=±，又由于二面角1E AD D--为锐角，由图可知，点E在线段QC上，所以32λ=，即312CE=-．因此，棱BC上存在一点E，使得二面角1E AD D--的余弦值为13，此时312CE=-.【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．19. 红铃虫是棉花主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y /个711212466115325xyz()()1niii x x zz =--∑()21nii x x =-∑27.429 81.286 3.612 40.182 147.714表中ln i z y =，7117i i z z ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与dxy ce =（其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为()01p p <<.（ⅰ）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率0p .（ⅱ）当()f p 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差. 附：对于一组数据()()()112277,,,,,,x z x z x z ⋅⋅⋅，其回归直线z a bx =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑，a z bx =-.【答案】（1）dxy ce =更适宜；0.272 3.849x y e -=；（2）（i ）()max 216625f p =，此时相应的概率为035p =；（ii ）()3E X =，()65D X =. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到dx y ce =更适宜作为平均产卵数，利用回归方程的定义，直接求解即可；（2）（ⅰ）由()()23351f p C p p =-，得()()()325135f p C p p p '=--，利用导数性质求解即可；（ⅱ）利用期望和方差的公式进行求解即可【详解】（1）根据散点图可以判断dx y ce =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x的回归方程类型.对dx y ce =两边取自然对数得ln ln y c dx =+，令ln z y =，ln a c =，b d =，得z a bx =+.因为()()()7172140.1820.2720147.714iii ii x x zz b x x ==--==≈-∑∑，所以 3.6120.27227.429 3.849a z bx =-=-⨯≈-， 所以z 关于x 的线性回归方程为0.27234ˆ.89zx =-，所以y 关于x 的回归方程为0.272 3.849ˆx y e -=.（2）（ⅰ）由()()23351f p C p p =-，得()()()325135f p C p p p '=--，因为01p <<，令()0f p '>得350p ->，解得305p <<；令()0f p '<得350p -<，解得315p <<， 所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f p 有唯一极大值35f ⎛⎫⎪⎝⎭，也为最大值. 所以当35p =时，()max 216625f p =，此时响应的概率035p =. （ⅱ）由（ⅰ）知，当()f p 取最大值时，35p =，所以35,5x b ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()3535E X =⨯=，()3265555D X =⨯⨯=. 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用回归方程，期望和方差的公式，结合导数性质进行求解即可20. 已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点． （ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率； （ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）12-；（ii ）证明见解析． 【解析】【分析】（1）由两个弦长结合222a b c =+列方程组解得,,a b c ，得椭圆方程；（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=，切线方程与椭圆方程联立，消元后由0∆=得121k k =-，从而得PB 斜率；（ii ）当切线,PA PB 的斜率都存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，求得切线方程为1,1,24i i x xy y i +==，利用切线都过P 得直线AB 方程为0014x xy y +=，由垂直得直线PQ 方程，从而可得Q 点坐标，再利用P 在圆上，可得Q 点轨迹方程为2255116x y +=，判断其为椭圆，焦点也是12,F F ，得定值．当切线,PA PB 的斜率有一个不存在时，求出Q 点坐标后Q 点也在上述椭圆上，从而证得结论． 【详解】解：（1）由题意得：22222252221a b c c b a⎧=+⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩2,1,3a b c ===得椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=由()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩化简得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--= 由0∆=得()22200004210x kx y k y -++-=设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k则()2200122200111445y y k k x y --===---- 又直线PA 的斜率为2，则直线PB 的斜率为12-（ii ）当切线,PA PB 的斜率都存在时，设()()1122,,,A x y B x y ， 切线,PA PB 方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=并由（ⅰ）得()2224210,1,2ii i i i x kx y k y i -++-==（*）又A ，B 点在椭圆上，得221,1,24i i x y i +==代入（*）得222i i i x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即,1,24i ii x k i y =-= 切线,PA PB 的方程为1,1,24i i x xy y i +== 又过P 点，则01,1,24i i x x y y i +== 所以直线AB 方程0014x xy y +=， 由PQ AB ⊥得直线PQ 方程为()00004y y y x x x -=- 联立直线AB 方程为0014x x y y +=，解得()200022004134165Q x y x x x y +==+，()20002200131165Q y y y y x y +==+由22005x y +=得Q 点轨迹方程为2255116x y +=，且焦点恰为12,F F ， 故122QF QF +==， 当切线,PA PB 的斜率有一个不存在时，如PB 斜率不存在，则(2,0)B ，(2,1)P ，(0,1)A ，直线AB 方程为112y x =-+，PQ 方程为12(2)y x -=-，可解得81(,)55Q ，Q 点也在椭圆2255116x y +=上，若(2,0)B -，同理可得． 综上得12QF QF +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系及定值问题．解题方法是求出动点Q 的轨迹方程，确定其轨迹是椭圆且焦点与已知椭圆焦点相同，从而证得结论．关键是直线与椭圆相切的切线方程：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上点00(,)P x y ，过P 点的椭圆的切线方程是00221xx yy a b+=．（可用点斜式设切线方程，由直线与椭圆相切，求出斜率，代入化简即得）． 21. 已知函数()21,xx mx f x m R e++=∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1,0m ∈-，证明：对任意的[]()1212,1,1,45x x m f x x ∈-+<． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【分析】（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． （2）将不等式进行转化，构造函数g （x ）=-14x+54，则不等式转化为最值问题进行求解即可． 【详解】解：（1）()()()()2/1121xxx x m x m x m fx e e ⎡⎤----+-+-⎣⎦==-①当1＞1-m ，即m ＞0时，（-∞，1-m ）和（1，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减；（1-m ，1）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调增②当1=1-m ，即m =0时，（-∞，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减③当1＜1-m ，即m ＜0时，（-∞，1）和（1-m ，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减；（1，1-m ）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调增（2）对任意的x 1，x 2∈[1，1-m ]，4f （x 1）+x 2＜5可转化为()121544f x x ＜-+， 设g （x ）=-14x +54，则问题等价于x 1，x 2∈[1，1-m ]，f （x ）max ＜g （x ）min 由（1）知，当m ∈（-1，0）时，f （x ）在[1，1-m ]上单调递增，()12()1max mmf x f m e --=-=， g （x ）在[1，1-m ]上单调递减，()1()114min g x g m m =-=+， 即证12114mm m e ＜--+，化简得4（2-m ）＜e 1-m [5-（1-m ）] 令1-m =t ，t ∈（1，2）设h （t ）=e t （5-t ）-4（t +1），t ∈（1，2），h ′（t ）=e t （4-t ）-4＞2e t -4＞0，故h （t ）在（1，2）上单调递增．∴h （t ）＞h （1）=4e -8＞0，即4（2-m ）＜e 1-m [5-（1-m ）] 故12114m m m e ＜--+，得证． 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，结合函数单调性和导数之间关系进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值．【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα= 【解析】【分析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=．【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23. 已知()11f x ax x =++-（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集：（2）若()1,2x ∈时不等式()f x x <成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）10a -≤<. 【解析】【分析】（1）首先利用零点分段去绝对值，解不等式；（2）根据函数的定义域，不等式等价于11ax +<，解不等式，参变分离后求a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()211f x x x =++-即()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩ 1232x x ⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩，解得：2132x -<≤-，或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+<⎩ ，解得：102x -<<， 或132x x ≥⎧⎨<⎩ ，解得：∅ 故不等式()2f x <的解集为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）当()1,2x ∈时f x x <（）成立等价于当()1,2x ∈时11ax +<成立． 则111ax -<+<，即20ax -<<，得20a x-<<，当()1,2x ∈时恒成立，解得10a -≤<. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据()1,2x ∈，先去绝对值，再参变分离后得20a x -<<，当()1,2x ∈时恒成立，转化为最值问题.。
2021年高三下学期第二次联考数学(文)试题 含答案
1 1 正(主)视侧(左)视2021年高三下学期第二次联考数学（文）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集,集合，集合，则 （ ）A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位，则的共轭复数是A. B. C. D.3.已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则=（ ）A.27B.3C.-1或3D.1或274.已知平面向量,,,则的值为( )A. B. C.2 D.15.已知的取值如下表:若y 与x 线性相关，且，则=（ ）x0 1 3 4 y 2.2 3.3 4.8 5.7A.2.2B.2.6C.2.8D.3.06.已知命题使；命题，下列是真命题的是 ( )A. B.C. D.7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( )A. xxB. 2C. D.8.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个 四棱锥的体积为（ ）A 1B 2C 3D 49.已知函数的最小正周期为, 若将其图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称,则函数的图像( )A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称10.已知变量满足以下条件,,若的最大值为3,则实数的值为( )A.2或5B.-4或2C.2D.511.定义在R 上的函数24)(,42)1(,2)()()(+>+=>'+xe xf e ef x f x f x f 则不等式满足 (其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D.12．已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C 上恰好有6个不B 同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ． B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.点，则的概率___________． 14.设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前项和 .15.在半径为的球面上有三点，如果，，则球心到平面的距离为___________．16.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程 的不同实根个数为三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
安徽省六校教育研究会2021届高三下学期2月第二次联考文科综合试题及答案
43.(10 分)优势：纬度较高，初雪早、终雪迟、雪质优，积雪厚度大；（2 分） 位于山麓，有适宜滑雪地形坡度；（2 分） 资源丰富，旅游项目பைடு நூலகம்样；（2 分） 意义：丰富旅游资源类型，拓展旅游市场（2 分）；传承地方文化，凸显特色。（2 分）
44.(10 分)原因：过度的渔业活动，鱼虾等食物减少；长江航运业的迅速发展，干扰了其独 特的捕食和生活活动；大型水利工程建设以及长江水环境污染破坏了江豚赖以生存的水域环 境。（答 3 点得 6 分） 优势：长江故道保存了长江相似的生态环境（相似水质和水生生物条件），满足了长江江豚 的需要（2 分)；长江故道离现长江较近，迁地保护较为方便（2 分）。
联考政治答案
12、 答案：C 解析：受自然灾害影响，大葱种植面积普遍减少，说明供给减少，而临近春 节，大葱需求量增加，故 C 选项正确。 13、答案：C 解析：以土地投资入股，增加了农民的财产性收入，①正确；实施教育扶贫 能提高劳动者技能，劳动者能凭借技术要素获得收入，②错误；扶贫贴息贷款属于积极的货 币政策，不是财政政策，③错误；打通扶贫产品供应链能解决农产品销售困难，增加销售收 入实现脱贫，④正确。 14、 答案：A 解析：双循环发展思路是基于我国经济发展实际提出来的，是我国为增强竞 争力的战略抉择，①正确；双循环的目的是为了实现总供给和总需求的基本平衡，保持经济 平稳运行，②正确；内循环有利于提高经济发展的内生动力，③不选；双循环发展思路有利 于充分利用国内国际两个市场、两种资源，④不选。 15、答案：B 解析：完善社会保障体系应公平对待每个公民并确保其享受相应的社会保障权 益，①不选；完善社会保障体系应该发挥财政的作用，国家要依法建立起由政府和社会承担 主要责任的社会保障网，②③入选；社会保障是通过再分配方式进行的调节的，④不选。 16、答案：D 解析：城市基层组织机构是居委会，①错误；社区自治的基础是居民自己选 举当家人，②错误；③④正确。 17、答案：C 解析：宗教信仰自由不是公民的政治权力，坚持民族区域自治制度是我国的 民族政策，①和②表述错误；新疆的发展得益于国家实行了正确的区域发展战略和新疆人民 的努力奋斗，故③和④正确。 18、答案：D 解析：主权国家对外活动的出发点是维护本国的国家利益，②错误；③主导 作用说法错误，故选①④，D 正确。 19、 答案：B 解析：“我最大的愿望，是能为祖国多作一点贡献。”说明我们应当坚定崇高 的理想信念，勇于担当时代责任，树立正确的价值观念，①和③符合题意。材料没有体现科 学至上的理念和创造精神，故②和④不符合题意。故正确答案为 B。 20、 答案：C 解析：200 多项关键技术突破，1.5 万余秒关键技术试验，2 万多次地面试 验……终于迎来长征五号的“重生”，这表明事物发展的方向是前进的、上升的，量变积累 到一定程度必然引起质变，②和③符合题意。①立足关键部分说法错误，应当是立足整体， 重视关键部分的作用；④说法正确，但属于认识论范畴，不选。故正确答案是 C。 21、答案：C 解析：恩格斯的这段话是说实践是检验认识真理性的唯一标准，人们在实践 的过程中可以把指导自己实践的认识和实践所产生的结果加以对照，从而检验认识是否正确 地反映了客观事物。故正确答案选 C。ABD 说法正确，但不符合题意。 22、答案：C 解析：“安而不忘危，存而不忘亡，治而不忘乱。”体现了矛盾双方相互贯通， 在一定条件下相互转化。①天下之势不盛则衰，天下之治不进则退。符合题意，入选。②万 物并育而不相害，道并行而不相悖。体现了矛盾着的事物相互依赖，共处于一个统一体中。 不符合题意。③日出江花红胜火，春来江水绿如蓝，反映了矛盾的特殊性，不选。④“纵有 良法美意，非其人而行之，反成弊政。”符合题意，入选。 23、答案：B 解析：过去的不能挽回弥补，未来的还能赶得上。应该放下过去的包袱，站 在今天的起点上，奋力前行，①和③符合题意；②说法正确但不合题意；辩证否定是事物自 身的否定，而不是外力的否定，④说法错误，不选。
安徽六校教育研究会2021高三数学理下2月第二次联考
安徽省六校教育研究会2021届高三联考数学能力测试（理）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为实数集R,集合P={x|x2∈R},集合Q={1,2,3,4},则图中阴影部分表示的集合为A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.已知复数z与（z+2)2-8i均是纯虚数，则z的虚部为（）A.-2B.2C.-2iD.-2i3.实数x,y满足不等式组240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,则x2+y2的最小值为（）A.25B.1C.45D.24.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图。
请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x2020+y2=2y,(x ∈Z,y∈Z)则该方程的整数解有（）组。
A.1B.2C.3D.45.已知向量b=(1,3).向量a在向量b方向上的投影为－6,若（λa+b)⊥b,则实数入的值为（）A.13B. -13C.23D.36.直线1:2x+y+3=0倾斜角为α,则sin2α+c os2α的值为（）A.45B. -45C.35D.-357.已知点M(2,y0)为抛物线y2=2px,(p>0)上－点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若8|MF|=7|MO|..则p的值为（）A.1或54B.52或3 C.3或54D.1或528.函数f(x)=sinx+x3+x,则a>-1是f(a+1)+f(2a)>0的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,将数列{a n}依原顺序按照第n组有2”项的要求分组，则2021在第几组A.8B.9C.10D.1110.已知三棱锥A-BCD满足：AB=AC=AD,ΔBCD是边长为2的等边三角形。
2020-2021学年安徽省六校教育研究会高三(下)学期第二次联考数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年安徽省六校教育研究会高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（共12小题）.1．设全集为实数集R，集合P＝{x|x≤1+，x∈R}，集合Q＝{1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4} 2．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z的虚部为（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i3．实数x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值为（）A．B．1C．D．24．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x2020+y2＝2y，（x∈Z，y∈Z），则该方程的整数解有（）组．A．1B．2C．3D．45．已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．36．直线1：2x+y+3＝0倾斜角为α，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知点M（2，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若8|MF|＝7|MO|．则p的值为（）A．1或B．或3C．3或D．1或8．函数f（x）＝sin x+x3+x，则a＞﹣1是f（a+1）+f（2a）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，将数列{a n}依原顺序按照第n组有2n项的要求分组，则2021在第几组（）A．8B．9C．10D．1110．已知三棱锥A﹣BCD满足：AB＝AC＝AD，△BCD是边长为2的等边三角形．其外接球的球心O满足：++＝，则该三棱谁的体积为（）A．B．C．D．111．圆O半径为1，PA，PB为圆O的两条切线，A，B为切点，设∠APO＝α，则最小值为（）A．﹣4+B．﹣3+C．﹣4+2D．﹣3+212．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且首项a1＞0，给出下列命题：p1：若，则（a3﹣1）（q﹣1）≤0；p2：若a1+a2＝，则．则下列说法正确的是（）A．p1为真命题，p2为假命题B．p1，p2都为真命题C．p1为假命题，p2为真命题D．p1，p2都为假命题二、填空题（共4小题）.13．从编号为1，2，…，88的88个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为8的样本，所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站的最小编号为．14．若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n＝．15．双曲线mx2﹣ny2＝1左右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，P为双曲线渐近线上一点，若以F1F2为直径的圆经过P点，且∠APB＝．则该双曲线的渐近线方程为．16．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为．三、解答题：共70分．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
2021届安徽省六校教育研究会高三下学期2月第二次联考数学(文)试卷参考答案
分
(Ⅱ)因为 an N ，所以 an 2n 1.
因为 bn 4n2 3an ，所以 bn 4n2 3(2n 1) ，……………………………………………7 分
所以 Tn 41 3 3 40 3 5 41 3 7 4n2 3(2n 1)
(41 40 41 4n2 ) 3(3 5 7 2n 1)
k2
2m2 2 1 2k 2
(km
k
)
4km 1 2k 2
m2
2m 1
2m2 2
1 2k 2
k 2 (2m2 2) 4km(km k) (1 2k 2 )(m2 2m 1) 2m2 2
m2 2m 1 3 2m2 2 2
解得 m 1 （舍去），或者，m 2
所以直线方程为 y kx 2 过定点 (0,2)
5 9 2 44
5
2AQ BQ
2 5 3 5
22
sin AQB
25 5
……………………………………………8
分
VC ABQ VQ ABC
1 3
S
ABQ
1 3
S
ABC
1 1 5 3 2 5 d 1 1 111
32 2 2 5
32
d
2 3
……………………………………………12 分
第2页共6页
∴ BC 平面 PAC ,又∵ BC 平面 PBC ,
∴平面 PBC 平面 PAC .
……………………………………………5 分
(Ⅱ)解:∵ PA 2, AC BC 1.Q是中点
∴ AQ 5 , BQ 3 , AB 2 ,假设点 C 到平面 AQB 的距离是 d
2
2
cos AQB AQ2 BQ2 AB2
安徽省六校教育研究会2021-2022学年高三下学期2月第二次联考文科数学试题及参考答案
f(x)=
x 1 3x
，数列{an}中，a1=
1 2
，点
P(an,an+1)在
f(x)图象上
1 （1)证明：数列 是等差数列；
an （2)若 anbn=2n，求数列｛bn}的前 n 项和 Sn.
18.(本小题 12 分）某疫苗进行安全性临床试验。该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫 苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb)的含量（以下简称为“M 含量”）不超过 1%,则为 阴性，认为受试者没有出现高铁血红蛋白血症（简称血症）；若 M 含量超过 1%,则为阳性， 认为受试者出现血症。若一批受试者的 M 含量平均数不超过 0.65%,出现血症的被测试者 的比例不超过 5%,同时满足这两个条件则认为该疫苗在 M 含量指标上是“安全的”；否则为 “不安全”现有男、女志愿者各 400 名接受了该疫苗注射。经数据整理，制得频率分布直方 图如右图。（注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表。）
A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤0} 2x
2.设复数 z 在复平面内对应的点为（2,-1),则 1 i 的模为（）
A.3 B.1 C. 10 D.4
3.下列结论中正确的命题是（ ） A.命题“ x∈R,sinx≤1”的否定是“ x∈R,sinx>1”；
A.em>mm>me B.me>em>mm C.me>mm>em
D.em>me>mm
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知曲线 f(x)=alnx+x2 在 x=1 处的切线方程为 x+y+b=0,则 a+b=
安徽省宣城市2021届高三下学期第二次调研文科数学答案
安徽省宣城市2021届高三下学期第二次调研文科数学试题参考答案1．C 【思路点拨】通过解不等式分别计算出集合A 和集合B ，然后运用交集运算出结果.【解析】根据题意可得{}{}2|60|23A x x x x x =--<=-<<，由()2log 12x -≤可得014x <-<， 即15x << 则{}|15B x x =<<故{}()131,3A B x x ⋂=<<=， 故选：C2．C 【思路点拨】直接由复数的乘法运算后令其实部为0即可得解. 【解析】2(4)(1)444(4)ai i ai i ai a a i ++=+++=-++，4040a a -=⎧∴⎨+≠⎩， 则4a =． 故选：C ．3．B 【思路点拨】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【解析】因为50110155a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，105551b =>=，1155log 5log 10c =<=，所以c a b <<， 故选：B.4．D 【思路点拨】先判断函数的奇偶性得函数是奇函数，故排除AB ，再根据特征点代入判断即可．【解析】函数cos y x x =是奇函数，排除选项B ，A ，cos 02y x x x k ππ==⇒=+或0,x k =∈Z ，当62x ππ=<时，0y =>，对应点在第一象限，排除C ，故选：D ．5．C 【解析】设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由2317a a a =得2111(2)(6)a d a a d +=+12a d ⇒=故311111222a a d a q a a a +====，选C. 6．D 【思路点拨】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解.【解析】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．7．C 【解析】||2a =，(4)a a b ⊥+，2(4)4440a a b a a b a b ∴⋅+=+⋅=+⋅= 1a b ∴⋅=-且||1b =1cos ,2||||a b a b a b ⋅∴<>==-，且,[0,]a b π∈2,3a b π∴=． 故选：C ．8．D 【思路点拨】这是一个几何概型，设AB =2R ，则2AC R ，利用圆和三角形的面积公式，分别求得卡通的面积和阴影部分的面积，代入公式求解.【解析】设AB =2R ，则AC =，根据题意，卡通的面积为()2221111221222S R R R R πππ⎫=+⨯⨯+⨯⨯⨯=+⎪⎪⎝⎭，阴影部分的面积为：2222111221222S R R R R ππ⎫⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯⨯=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以该点取自阴影部分的概率为()22111R p R ππ==++， 故选：D9．B 【思路点拨】根据诱导公式可推导得到()2f x f x π⎛⎫-≠⎪⎝⎭，()()0f x f x π-+≠，知AC 错误；利用二倍角公式化简得到()22sin sin 1f x x x =-++，根据复合函数单调性的判断方法可知B 正确；由二次函数型的函数最值的求解方法可求得()max 98f x =，知D 错误.【解析】对于A ，()()cos 2sin cos 2cos 22f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4x π∴=不是()f x 的对称轴，A 错误；对于B ，()22sin sin 1f x x x =-++，当,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1sin ,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令sin x μ=，则其在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又221y μμ=-++在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，由复合函数单调性知：()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，B 正确； 对于C ，()()()()cos 22sin cos2sin f x f x x x x x πππ-+=-+-++2cos 2x =+2sin x 0≠，,02π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭不是()f x 的对称中心，C 错误； 对于D ，()22sin sin 1f x x x =-++，[]sin 1,1x ∈-，∴当1sin 4x =时，()max 1191848f x =-++=，D 错误. 故选：B.【名师指导】结论点睛：关于函数对称性结论如下： （1）若()()f x a f b x +=-，则()f x 关于直线2a bx +=成轴对称； （2）若()()f x a f b x c ++-=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称.10．B 【思路点拨】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M 的坐标，即可得N 点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D 的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD 的长度. 【解析】根据题意，作图如下：由题可知，点()1,0F ，故直线FM 的方程为)31y x =-， 联立抛物线方程24y x = 可得231030x x -+=，解得13x =或3x = 因为点M 在第一象限，故可得(3M .又因为准线方程为1x =-，故可得(23N -. 则直线FN 的方程为)31y x =--， 令0x =，解得3y =(3D . 故9323MD =+=故选：B.【名师指导】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.11．D 【思路点拨】可知异面直线PC 与AD 所成角即为PCB ∠，可以求出3PH =，进而求出'PO ，根据外接球性质建立勾股定理可求出球半径，即可得解. 【解析】根据题意，该几何体如图所示：取BC 得中点H ，底面ABCD 的中心O '， 异面直线PC 与AD 所成角的正切值为2， 即直线PC 与BC 所成角的正切值为2， 所以tan 2PCH ∠=，即2PHHC=， 因为1HC BH ==，所以2PH =，在PO H '△中，利用勾股定理得2223PO PH O H ''=-= 解得3PO 'O '为底面的中心，所以2O B '= 设外接球的半径为R ， 则2222(3)R R =+，解得53R =所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积253254363S ππ⨯=⋅⋅=球． 故选：D ．12．A 【思路点拨】由条件可得2()3612f x x ax '=-+，则所以23643120a ∆=-⨯⨯>，即2a >，12122,4x x a x x +=⋅=，故()()12f x f x +34242a a =-++，设()3g 4242a a a =-++，求出()g a 的单调性，得出其范围，得到答案.【解析】函数32()3121(0)f x x ax x a =-++>，22()36123(24)f x x ax x ax '=-+=-+，由函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，()0f x '∴=有两个不等实数根，24160a ∴∆=->，0a >，解得2a >．且122x x a +=，124x x =．()2222121212248x x x x x x a ∴+=+-=-则323212111222()()31213121f x f x x ax x x ax x +=-+++-++ ()()22221211221212()312()2x x x x x x a x x x x =+-+-++++222(484)3(48)242a a a a a =----++ 34242a a =-++，令3()4242g a a a =-++，(2,)a ∈+∞．2()12240g a a '∴=-+<，()g a ∴在(2,)a ∈+∞上单调递减． ()(2)48242218g a g ∴<=-⨯+⨯+=．12()()f x f x ∴+的取值范围是(),18-∞．故选：A ．【名师指导】关键点睛：本题考查函数的极值相关问题，解答本题的关键是由条件得出12122,4x x a x x +=⋅=，将条件代入得到()()12f x f x +34242a a =-++，属于中档题.13．“0x ∀>，220210x x +-≤”【思路点拨】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得解.【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，命题“00x ∃>，20020210x x +->”的否定是“0x ∀>，220210x x +-≤”．14．21nn +【思路点拨】由11a =，11n n a a n +-=+，利用叠加法，求得1(1)2n a n n =+，求得11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，结合裂项法求和，即可求解. 【解析】由11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a n +-=+， 可得1213211()()()123(1)2n n n a a a a a a a a n n n -=+-+-++-=++++=+， 则12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 15．2ln 24-【思路点拨】由2ln y a x =-求导2y x'=-，求得曲线2ln y a x =-在点()1,a 处的切线方程，然后设该切线与e x y =-相切于点()00,e x x -，利用导数的几何意义求解．【解析】对2ln y a x =-求导，得2y x'=-， ∴12x y='=-∣， 则曲线2ln y a x =-在点(1,)a 处的切线方程为2(1)y a x -=--，即22y x a =-++． 设22y x a =-++与x y e =-相切于点()00,x x e -，对x y e =-求导，得x y e '=-，由02x e -=-，得0ln 2x =，即切点为(ln 2,2)-．又切点在切线22y x a =-++上，∴2ln 222a -++=-，即2ln 24a =-．【名师指导】关键点点睛：本题考查导数几何意义的应用，解答此类问题的关键是求出切点坐标．若切点已知，则直接求导即可得切线的斜率，若切点未知，在解题时首先要设出切点，然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程，求出切点坐标后可得切线方程．16．34【思路点拨】由题意，直线OP 、OQ 均不与坐标轴重合，联立直线OQ 与双曲线方程，可得Q 点坐标；联立直线OP 与椭圆方程，可得P 点坐标，进而可计算出2211||||OP OQ +的值．【解析】由题意，直线OP 、OQ 均不与坐标轴重合， 双曲线2C的渐近线方程为y =，设直线OQ的方程为(||y kx k =<，由90POQ ∠=︒， 可得直线OP 的方程为1=-y x k， 联立22124x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， 得222224242Q Q x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， ()2222241||2Q Q k OQ x y k+∴=+=-，联立22114y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 得22222441441P P k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2222244||41PPk OP x y k +∴=+=+， ()()()()2222222231112413|||0|4414141k k k OP Q k k k +-+∴+=+==+++ 17．【思路点拨】（1）本题首先可根据二倍角公式得出cos 2cos()C A B =+，然后再根据二倍角公式得出22cos cos 10C C +-=，通过计算得出cos 1C =-或1cos 2C =，最后根据(0,)C π∈即可得出结果；（2）本题首先可根据2222cos c a b ab C =+-求出6ab =，然后根据解三角形面积公式即可得出结果.【解析】（1）因为A B C π++=，22sin cos 212A BC ++=， 所以2cos212sincos()cos 2A BC A B C +=-=+=-， 则22cos cos 10C C +-=，解得cos 1C =-或1cos 2C =，因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）因为3C π=，所以2222cos c a b ab C =+-，即222a b ab =+-，22()3a b ab =+-，2263ab =-，解得6ab =，则11sin 622ABCSab C ==⨯=. 【名师指导】关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查余弦定理解三角形以及三角形面积公式，考查计算能力，是中档题. 18．【思路点拨】（1）分别求得年龄在各段上的频率，根据年龄在[20,25)之间的人数，求得n 的值，分别求得a b c d ,,,的值，即可求解.（2）由（1）得到年龄在[30,35)的频率为0.25，求得年龄在区间[30,35)的矩形的高，即可求解；（3）分别求得年龄在区间[20,25)和[25,30)的“参保者”人数，结合组合数的计算公式以及古典摡型的概率计算公式，即可求解.【解析】（1）由频率分布直方图可知，年龄在[20,25)，[25,30)，[35,40)，[40,45)，[45,50]的频率分别为：0.0250.1⨯=，004502..⨯=，004502..⨯=，0.0350.15⨯=，0.0250.1⨯= 所以年龄在[30,35)的频率为1(0.10.20.20.150.1)0.25-++++=，又因为年龄在[20,25)之间的人数为2，则有20.1n=，所以20n =， 故0.2204a =⨯=，0.25205b =⨯=，0.2204c =⨯=， 0.15203d =⨯=，0.1202e =⨯=，所以10a c e ++=；（2）由（1）可知，年龄在[30,35)的频率为0.25， 所以年龄在区间[30,35)的矩形的高为0.250.055=.（3）年龄在区间[20,25)的“参保者”有2人，年龄在区间[25,30)的“参保者”有4人， 所以从年龄在区间[20,30)的“参保者”中随机抽取2人的抽法有2615C =种，这2人均来自区间[25,30)的抽法有246C =种， 所以所求概率为62155=． 19．【思路点拨】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，由中位线定理可得1//OE BD ，再根据线面平行的判定定理即可证得1//BD 平面ACE ；（2）由11//O A AC 可知点1O 到平面ACE 的距离为点1A 到平面ACE 的距离，再根据等积法，由111113O ACE A ACE C A AE A AE V V V S CD ---∆===⋅即可求出三棱锥1O ACE -的体积． 【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则OB OD =， 又E 是1DD 的中点，1//OE BD ∴，而OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，1//BD ∴平面ACE ．（2）解：连接11O A ，1A E ，11//O A AC ，∴点1O 到平面ACE 的距离为点1A 到平面ACE 的距离．111113O ACEA ACE C A AE A AE V V V S CD ---∆∴===⋅3111326a a a a =⋅⋅⋅⋅=．20．【思路点拨】（1）由椭圆C 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的短轴为直径的圆与直线20x y +=相切，列出方程组，求得,,a b c 的值，即可求解； （2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立方程组，结合根与系数的关系，结合向量的数量积的运算求得()()222002241212xx k x EA EB k-++-⋅==+，进而得到054x =，确定定点5,04E ⎛⎫⎪⎝⎭，②当直线的斜率不存在时，验证成立，即可得到结论. 【解析】（1）由题意，椭圆C 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的短轴为直径的圆与直线20x y +=相切，可得2220022b c b a b c =⎧⎪+-⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1,1a b c ==，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立方程组2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222)202142(-=+-+x k x k k ，由2880k ∆=+>，且22412A B k x x k +=+，222212A B k x x k -=+，假设x 轴上存在定点00(,)E x ，使得EA EB ⋅为定值，则20000()()()A B A B A B A B A B EA EB x x x x y y x x x x x x y y ⋅=--+=-+++，2200()(1)(1)A B A B A B x x x x x x k x x =-+++-- 222200(1)()()A B A B k x x x k x x x k =+-++++()()222002241212x x k x k-++-=+要使得EA EB ⋅为定值，则EA EB ⋅的值与k 无关，所以220002412(2)x x x -==-，解得054x =， 此时207216EA EB x ⋅=-=-为定值，定点5,04E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，②当直线的斜率不存在时，A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，5,04E ⎛⎫⎪⎝⎭，则14EA ⎛=- ⎝⎭，1,4EB ⎛=- ⎝⎭，可得11716216EA EB ⋅=-=-， 综上所述，在x 轴上存在定点5,04E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得EA EB ⋅为定值716-．【名师指导】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.21．【思路点拨】（1）求函数导数，讨论导数的正负即可得单调区间； （2）求函数导数讨论得函数单调性，即可得极大值，进而得()10g x g m ⎛∴=≥- ⎝⎭极大值且323-<-<，从而得解. 【解析】（1）2()3f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极值，当0a >时，2()30f x x a '=-=，解得：x =，x ，()f x '，()f x 的变化如下：()5f x f ∴==⎝⎭极小值，即37533a ⎛-⋅+= ⎝⎭，解得：3a =；()f x ∴的递减区间是,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭，递减区间是⎛ ⎝⎭； （2）由（1）知3a =，故3()(3)7g x x m x =+-+，2()3(3)g x x m '=+-， 当30m -≥时，()0g x '≥恒成立，()g x ∴在R 上递增，无极值，当30m -<时，()0g x '=，解得：x =，x ，()g x '，()g x 的变化如下：()103g x g m ⎛∴=-≥- ⎝⎭极大值， 即3(3)71033m m ⎛⎛-+--+≥- ⎝⎭⎝⎭，解得：154m ≤-， 又32-<-<， 解得：243m -<<，15244m ∴-<≤-， 即实数m 的取值范围是15244mm ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭∣． 22．【思路点拨】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果即可； （2）利用三角形的面积公式的应用和割补法的应用即可求出答案． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．曲线l 的直角坐标方程为40x y +-=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，整理得sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （2）射线(0),(0)36ππθρθρ=>=>和曲线C 分别交于,A B 两点，所以2cos13A πρ==，2cos6B πρ==与直线l 分别交于,D C 两点，所以4sincos66C ρππ==+4sincos33D ρππ==+所以11sin 264AOBSπ=⨯=，1sin 8(226CODSπ==， 设四边形ABCD 的面积为S ，则8(216COD AOBS SS=-== 【名师指导】解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．23．【思路点拨】（1）依题意得()f x 取得最大值为3，原不等式等价于max ()3|1|f x t t =≥-+，讨论t 即可求解范围；（2）根据（1）可得,,a b c 均为正实数，且满足2a b c ++=，由()2223a b c ++≥2222222(2)4a b c ab bc ac a b +++++=++=，即可证明．【解析】（1）3,2()1221,123,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩，∴当2x ≥时，()f x 取得最大值为3，关于x 的不等式|1||2||1|x x t t +--≥-+有解等价于max ()3|1|f x t t =≥-+， 当1t ≥时，上述不等式转化为31t t ≥-+，解得12t ≤≤， 当1t <时，上述不等式转化为31t t ≥-++，解得1t <， 综上所述t 的取值范围为2t ≤， 故实数t 的取值范围(,2]-∞；证明：（2）根据（1）可得,,a b c 均为正实数，且满足2a b c ++=，()()()()2222222222223a b c a b c a b b c a c ++=++++++++≥2222222(2)4a b c ab bc ac a b +++++=++=，当且仅当23a b c ===时，取等号， 所以22243a b c ++≥． 【名师指导】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。