数学建模——原子弹爆炸的能量估计
原子弹 - 爆炸原理
原子弹- 爆炸原理原子弹爆炸铀-235、钚-239这类重原子核在中子轰击下通常会分裂成两个中等质量数的核(称裂变碎器)，并放出2-3个中子和200兆电子伏能量(相当于3.2×1011焦耳)。
放出的中子，有的损耗在非裂变的核反应中或漏失到裂变系统之外，有的则继续引起重核裂变。
如果每一个核裂变后能引起下一代核裂变的中子数平均多于1个，裂变系统就会形成自持的链式裂变反应，中子总数将时间按指数规律增长。
例如，当引起下一代裂变的中子数其均为2个时，则在不到1微秒之内，就可以使1千克铀或钚内的2.5×１024个原子核发生裂变，并释放出约2万吨梯恩梯当量的核能。
裂变材料的装量必须大于一定的量，称为临界质量，才能使链式裂变反应自持进行下去。
原子弹中要放置相当份量的裂变材料，但不使用时，它们必须处于次临界状态。
使用时，要使处于次临界状态的裂变装料瞬间达到超临界状态，并适时提供若干中子触发链式裂变反应。
超临界状态可以通过两种方法来达到：一种是“轮法”，又称压拢型，另一种是“内爆法”，又称压紧型。
原子弹- 爆炸过程原子弹中的引爆控制系统在预定时间或条件下发出引爆指令，使炸药起爆，炸药的爆轰产物推动并压缩反射层和核装料，使之达到超临界状态，核点火部件适时提供若干“点火”中子，使核装料内发生链式裂变反应，并猛烈释放能量。
随着能量的积累，温度和压力迅速升高，核装料不断膨胀，密度不断下降，最终又成为次临界状态，链式反应趋于熄灭。
从炸药起爆到核点火前是爆轰、压缩阶段，通常要几十微秒时间；从核点火到链式裂变反应熄灭是裂变放能阶段，只需要十分之几微秒。
原子弹在如此短暂的时间里放出几百至几万吨梯恩梯当量的能量，使整个弹体和周围介质都变成高温高压等离子气团，中心温度可达107开［尔文］，压力达1015帕［斯卡］。
原子弹爆炸产生的高温高压以及各种核反应产生的中子、r射线和裂变碎器，最终形成冲击波、光辐射、早期核辐射、放射性沾染和电磁脉冲等杀伤破坏因素。
爆炸计算
液化气体与高温饱和水爆破事故后果模拟分析液化气体和高温饱和水一般在容器内以气液两态存在，当容器破裂发生爆炸时，除了气体的急剧膨胀做功外，还有过热液体激烈的蒸发过程。
在大多数情况下，这类容器内的饱和液体占有容器介质重量的绝大部分，它的爆破能量比饱和气体大得多，一般计算时不考虑气体膨胀做的功。
过热状态下液体其伤亡半径、财产损失半径计算如下：1、盛装过热液体容器爆破事故计算模型 1.1爆破能量的计算（1）过热状态下液体在容器破裂时释放出的爆破能量m T S S i i E b l ])()[(2121---= （1-1）式中：l E ——过热状态下液体的爆破能量，KJ1i ——爆破前液化气体的焓，KJ/Kg 2i ——在大气压力下饱和液体的焓，KJ/Kg1S ——爆破前饱和液体的熵，KJ/（Kg ·K ） 2S ——在大气压力下饱和液体的熵，KJ/（Kg ·K ）m ——饱和液体的质量，Kg T b ——介质在大气压力下的沸点，K（2）饱和水容器爆破能量V C E w w =式中：w E ——饱和水容器的爆破能量，KJV ——容器内饱和水所占容积，m 3wC ——饱和水爆破能量系数，KJ/m 3饱和水的爆破能量系数由压力决定，下表列出了常用压力下饱和水容器的爆破能量系数。
常用压力下饱和水容器的爆破能量系数 表1-11.2将爆破能量换算成TNT 当量q爆破能量换算成TNT 当量q 。
因为1KgTNT 爆炸所放出的爆破能量为4320~4836KJ/Kg ，一般取平均爆破能量为4500KJ/Kg ，故其关系为：4500lTNT l E q E q ==（1-2） 1.3爆炸的模拟比实验数据表明，不同数量的炸药发生爆炸时，如果距离爆炸中心的距离R 之比与炸药量q 三次方根之比相等，则所产生的冲击波超压相同，用公式表示如下：α==310)(q qR R 则0p p ∆=∆ （1-3）式中 R ——目标与爆炸中心的距离 R 0——目标与基准爆炸中心的距离 q 0——基准爆炸能量，TNT 当量q ——爆炸时产生冲击波所消耗的能量，TNT 当量，kg p ∆——目标处的超压，MPa0p ∆——基准目标处的超压，MPaα——炸药爆炸试验的模拟比根据式（1-3）拨破能量与1000KgTNT 爆炸的模拟比为：31313101.0)1000()(q q q q ===α （1-4）1.4 1000KgTNT 爆炸时死伤半径、财产损失半径的计算超压准则认为，只要冲击波超压达到一定值便会对目标造成一定的破坏或损伤。
tnt的爆炸威力有多大
TNT的爆炸威力有多大呢？
TNT的爆炸威力非常大。
一公斤TNT爆炸可产生420万焦耳的能量，按照1焦耳=0.102公斤·米计算，一公斤TNT放出的能量可以把一个一公斤的物体移动420公里，或者一个100公斤的物体移动4.2公里。
这当然是理想状态下，也就是所有的能量都转化为了动能。
实际中，一个76毫米高爆炮弹的装药大约是一公斤，可以把一个二楼的小房子化为碎瓦砾一个手榴弹的装药是50克左右，在10米范围内没有生存，一公斤就是相当于20个手榴弹同时爆炸。
专家表示，国外有人做过试验，将1吨的TNT放置于黄土地面能炸37立方米的坑，另外一个手榴弹的装药是50克左右，在10米范围内没有生存，一公斤就是相当于200个手榴弹同时爆炸。
核弹与质能方程
核弹与质能方程核武器一直以来都是人类社会中备受争议和关注的话题。
核弹作为核武器中威力最大的一种，其研制和使用都引起了广泛的讨论和担忧。
而质能方程E=mc^2则是著名的相对论质能关系方程，揭示了质量与能量之间的等价关系，也为核弹的威力提供了理论支持。
核弹是一种利用核裂变或核聚变释放巨大能量的武器，其威力常常被描述为“毁灭性”的。
核弹的爆炸释放的能量来自于核反应过程中质量的转化为能量。
这种质量与能量之间的转化关系正是由著名的质能方程E=mc^2所描述的。
在这个方程中，E代表能量，m代表物体的质量，c代表光速。
这个方程的提出，不仅在理论物理学上有着重要的意义，同时也为核弹的设计和威力评估提供了理论依据。
核弹的爆炸威力是巨大的，当核弹引爆时，核裂变或核聚变反应迅速释放出大量的能量，产生强大的冲击波和辐射。
这种威力远远超出了常规武器，可以在瞬间摧毁整个城市，造成数以百万计的人员伤亡。
这种巨大的破坏力引发了人们对核武器的恐惧和反思，也促使了国际社会对核裁军和防扩散的呼吁。
质能方程E=mc^2的提出，揭示了质量与能量之间的等价关系，改变了人们对物质和能量的认识。
这个简洁而深刻的方程，揭示了宇宙中普遍存在的能量转化规律，为人类探索宇宙和利用能源提供了理论基础。
然而，正是这个方程揭示的能量巨大的潜力，也被应用于核武器的设计和制造，成为了人类历史上最可怕的杀伤工具之一。
面对核弹的威胁，国际社会一直在努力推动核裁军和防扩散工作。
尽管核武器在冷战时期曾经成为国家间竞争和威慑的工具，但在当今世界，核武器已经成为了人类共同的威胁。
各国应该共同努力，通过国际合作和谈判，促进全面禁止核武器的目标，维护世界和平与安全。
总的来说，核弹与质能方程之间存在着密切的联系，质能方程揭示了核武器威力的理论基础，也提醒人们核武器的可怕威胁。
面对核武器的挑战，人类应该保持警惕，坚定不移地推动核裁军和防扩散工作，共同维护世界的和平与稳定。
只有在共同努力下，才能避免核武器带来的毁灭性后果，让人类走向一个更加美好的未来。
原子弹的计算公式要很久吗
原子弹的计算公式要很久吗 原子弹，作为一种极为破坏性的武器，其威力和爆炸效果一直以来都备受关注。在研究原子弹的过程中，科学家们需要使用一系列的计算公式来确定原子弹的威力、爆炸范围等参数。那么，原子弹的计算公式到底要花费多长时间呢？本文将对此问题进行探讨。
首先，我们需要了解原子弹的计算公式是如何确定的。原子弹的威力主要由其核裂变反应引起的能量释放决定。核裂变反应的能量释放可以通过爆炸当量来表示，而爆炸当量可以通过原子弹的核裂变能量和效率来计算得出。此外，原子弹的爆炸范围、辐射范围等参数也需要通过一系列的计算公式来确定。这些计算公式涉及到核物理、热力学、流体动力学等多个领域的知识，因此其确定并不是一件简单的事情。
在确定原子弹的计算公式时，科学家们需要进行大量的实验和观测工作。他们需要通过实验来确定原子弹的核裂变能量、效率等参数，以及爆炸后的能量释放情况。这些实验往往需要花费大量的时间和资源，因为原子弹的核裂变反应是一种极为复杂的过程，需要精密的仪器和设备来进行观测和测量。此外，科学家们还需要通过模拟和计算来验证实验结果，以确定计算公式的准确性和可靠性。这些工作都需要花费大量的时间和精力。
一旦确定了原子弹的计算公式，科学家们就需要进行大量的数据处理和分析工作。原子弹的计算公式涉及到大量的参数和变量，需要进行复杂的数学运算和模拟计算。这些计算工作往往需要借助于计算机和超级计算机来完成，因为原子弹的计算涉及到大量的数据和复杂的运算，需要强大的计算能力来支持。因此，确定原子弹的计算公式并进行计算工作是一项极为耗时和耗力的工作。
总的来说，确定原子弹的计算公式并进行计算工作是一项极为复杂和耗时的工作。科学家们需要进行大量的实验和观测工作来确定计算公式的参数和变量，然后进行大量的数据处理和分析工作来进行计算。这些工作需要花费大量的时间和资源，因此确定原子弹的计算公式并进行计算工作并不是一件简单的事情。然而，正是这些耗费时间和精力的工作，才使得我们能够更加深入地了解原子弹的威力和爆炸效果，为人类的和平利益服务。
第二章 数学建模
§2.1 量纲分析方法
量纲分析(Dimensional Analysis)是 20 世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法， 它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。本节在一个 例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的 Buckingham Pi 定理。最后利用量纲分析的方法来分 析原子弹爆炸的能量估计问题。
[v] LT 1 , [ f ] MLT 2 .
对于无量纲量 ，我们记[ ]=1(因为可视为[ ]= L M T )。
0 0 0
在国际单位制中，有 7 个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它 们的量纲分别为 L、M、T、I、 、J、和 N；称为基本量纲。任一个物理量 q 的量纲都可以表 成基本量纲的幂次之积，
与(2.4)式等价， F 表示一个未定的函数关系。 评注 从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要 面对一个实际问题，将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式
的、有用的结果，但是也有较大的局限性。在应用和评价这个方法时，以下几点值得注意： 1．正确确定各物理量
F () 0 中，对所得结果的合理性是至关重要的。各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法
T
一个基本解 y (0, 6 / 5, 2 / 5, 3 / 5,1) 。根据量纲分析的 Pi 定理，由这 2 个基本解可以得到 2
T
个无量纲量
1 rt 2 / 5 E 1/ 5 1/ 5 r (
2 t 6 / 5 E 2 / 5 3/ 5 P (
且存在某个函数 F 使得
2.1.1 量纲齐次原则与 Pi 定理
爆炸评价模型及伤害半径计算讲解--实用.doc
爆炸评价模型及伤害半径计算1、蒸气云爆炸（ VCE ）模型分析计算（1）蒸气云爆炸（ VCE ）模型当爆炸性气体储存在贮槽内，一旦泄漏，遇到延迟点火则可能发生蒸气云爆炸，如果遇不到火源，则将扩散并消失掉。
用TNT当量法来预测其爆炸严重度。
其原理是这样的：假定一定百分比的蒸气云参与了爆炸，对形成冲击波有实际贡献，并以 TNT当量来表示蒸气云爆炸的威力。
其公式如下：βAW f Q fW TNT =QTNT式中 W TNT——蒸气云的 TNT当量， kg；β——地面爆炸系数，取β =1.8 ；A——蒸气云的 TNT当量系数，取值范围为 0.02%～14.9%；W f——蒸气云中燃料的总质量：kg；Q f ——燃料的燃烧热，kJ/kg ；Q TNT——TNT的爆热，QTNT=4120～4690kJ/kg。
（2）水煤气储罐蒸气云爆炸（ VCE）分析计算由于合成氨生产装置使用的原料水煤气为一氧化碳与氢气混合物，具有低闪点、低沸点、爆炸极限较宽、点火能量低等特点，一旦泄漏，极具蒸气云爆炸概率。
若水煤气储罐因泄漏遇明火发生蒸气云爆炸（VCE），设其贮量为 70%时，则为2.81 吨，则其 TNT当量计算为：取地面爆炸系数：β=1.8 ；蒸气云爆炸 TNT当量系数， A=4%；蒸气云爆炸燃烧时燃烧掉的总质量，Wf=2.81×1000=2810（kg）；水煤气的爆热，以 CO30%、H2 43%计（氢为 1427700kJ/kg, 一氧化碳为 10193kJ/kg ）：取 Q f =616970kJ/kg ；TNT的爆热，取 Q TNT=4500kJ/kg 。
将以上数据代入公式，得1.8×0.04×2810×616970W TNT = =27739(kg)45000.37死亡半径 R1=13.6(W TNT/1000)0.37=13.6 ×27.74=13.6 ×3.42=46.5(m) 重伤半径 R2，由下列方程式求解：△P2=0.137Z -3+0.119 Z 2-2 -1-0.019 2 +0.269 Z 2Z2=R2 /(E/P0)1/3△P2=△P S/P 0式中：△ P S——引起人员重伤冲击波峰值，取44000Pa；P0——环境压力（101300Pa）；E——爆炸总能量（ J），E=W TNT×Q TNT。
核弹爆炸范围计算公式
核弹爆炸范围计算公式
核弹爆炸范围是根据弹头当量和爆炸形式来计算的。
当量是指用原子
弹爆炸可以达到的相同的破坏能力的化学炸弹的质量，一般以千克米为单位。
爆炸形式是指爆炸飞行物体的形状，一般有连续性爆炸、发射型爆炸
和聚爆等形式。
计算公式为：爆炸范围=1.5×(当量)^0.33×(爆炸形式系数)。
当量系数一般可以设定为1~100000之间的数，以千克米为单位。
爆
炸形式的系数视爆炸形式的不同而不同，一般可以设定为1~4之间的数，
具体值可参考常规爆炸形式系数表。
据此，可以根据弹头当量和爆炸形式计算出特定核弹爆炸范围。
例如，若弹头当量为10000千克米，而爆炸形式为发射型爆炸，则爆炸范围为
1.5×10000^0.33×2=1388
2.3千米。
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原子弹爆炸的能量估计与量纲分析
一、 问题提出
1945年7月16日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了“三位一
体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。这一事件令全球震惊。由此开始了一个新
的时代。
当时，有关原子弹的所有资料都是保密的，一般人无法知道。两年后，美国
政府首次公布了这次爆炸的录像带，但是仍未公布任何数据。
英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型
对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次爆炸所释
放的实际能量为21千吨。
Taylor建立数学模型的数据来源如下：
表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)
现在我们要在Taylor所使用的数据的基础上，运用量纲分析法建立计算原
子弹爆炸能量的数学模型。
二、 模型假设
1. 原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸的核反应过程。
2. 原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的形式表现出来。不考虑其它（如
辐射）的影响。
3. 只考虑冲击波的动力学特征。
4. 冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表征。
三、 符号说明
符号 说明
t 时间（s）
r 半径（m）
E 能量（J）
空气密度（kg/m3）
P 大气压强（Pa）
四、 问题分析
首先，我们从题目叙述中可以得知，因为缺乏详实的的数据资料，我们不能
从从爆炸录像中去推断原子弹爆炸的全过程，从而用能量转化等规律去分析爆炸
产生的能量较困难。
其次，爆炸产生的能量主要是以冲击波和辐射的方式向外扩散，这在录像当
中是看不到的。一般地，爆炸产生的冲击播以爆炸点为中心呈球面向四周传播。
爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波就会传的越远。而冲击波又可以通过爆
炸形成的“蘑菇云”表现出来。
据此我们我们可以推断出：爆炸形成的“蘑菇云”的半径与时间有关，与能
量有关，还与“蘑菇云”周围的空气密度有关，与大气压强有关。从而可以通过
量纲分析法确定这些量之间的函数关系。
五、 模型建立与求解
1) 模型建立
根据上文得出结论，使用量纲分析法来尝试建立数学模型。根据Pi定理，
设爆炸中，冲击波的半径r、时间t、能量E、空气密度
、大气压强P满足的一般
函数形式为：
（1）
由于爆炸是在瞬时间完成的，不考虑爆炸过程所需时间。故只考虑能量释放
后的冲击波传播的物理过程。所以这是一个动力学问题，取3个基本量纲：长度
L，质量M和时间T，则（1）中各个物理量的量纲分别是：
[r] = L, [t] = T, [E] = L2MT-2, [] = L-3M, [P] = L-1MT-2
(,,,,)0frtEP
由此得到量纲矩阵为：
因为Rank（A）= 3齐次方程Ay = 0有m - r = 5 – 3 = 2 个基本解，即
方程组有无穷多个解。
设其中的两个基本解为：
根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个基本解可以得到2个无量
纲量
（2）
（3）
且存在某个函数F使得
（4）
与（1）等价。取（4）的特殊形式2()1，由（2）、（3）可得
（5）
（6）
于是
35102310011101202A
(1,2/5,1/5,1/5,0)Ty
(0,6/5,2/5,3/5,1)Ty
2/51/51/51/512()rtErtE
65
6/52/53/51/5223()tPtEPE
12
F(,)=0
65
1/51/5
223
()()tPrtEE＝
265
1/51/5
23
()()tEtPrE＝
2) 数值求解
现在问题简化为根据函数式（6）以及得到的数据来求出爆炸能量E的大
小。
当中E的数量级远远大于t,P的数量级，所以可以认为20，
建议
(0)1
故可以得到更简单的函数式：
E
，均为常数，1/5()E作为brat＝的系数a
两边取对数得; 11loglogratbb＝log
求解过程：
使用MATLAB对数据进行函数拟合：
65
1/5
2
23
()tPE
2
1/51/52/5
()()tEErrt＝＝
求出b=0.3883与量纲分析结果b=2/5一致
同时可以求出1ablog=6.942
所以598.136a1/5()E
可取1.25 kg/m3 即可推出：
5
Ea
=9.57e+13
1千吨TNT的盒子能量=4.184x1012焦耳
可得原子弹的爆炸能量是22.8727
与实际结果21千吨基本一致