高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入A章末测试 新人教A版选修1-21
2018年高中数学人教A版选修1-2第3章数系的扩充与复数的引入3.2.1习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1(6-2i) -(3i+ 1)等于()A.3 -3iB.5-5iC.7+ iD.5 +5i解析 (6- 2i) -(3i+ 1) =(6-1)+ (- 2-3)i= 5-5i,故选 B .答案 B2如图 ,在复平面内 , 复数 z1,z2对应的向量分别是则A .2 B.3C.解析z1=- 2-i,z2= i,z1+z2=- 2.故选A.答案 A3 若z1=2+ i,z2=3+a i( a∈R ),且z1+z2所对应的点在实轴上,则 a 的值为 ()A.3B.2C.1D.-1解析z1+z2=2+ i+3+ai= (2+ 3)+ (1+a )i = 5+(1+a )i .∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a= 0.∴a=- 1.答案 D4已知 z1 =3-4i,z2=- 5+ 2i,z1 ,z2对应的点分别为P1,P2,则对应的复数为A.- 8+6iB.8-6iC.8+6iD.-2- 2i解析由复数减法的几何意义 ,知对应的复数为z1-z2= (3- 4i) -( -5+ 2i)= (3+5)+ (-4-2)i= 8- 6i,故选B .1答案 B5 若P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2 ,z3,且 |z-z1|=|z-z 2|=|z-z 3|,则点 P 为△ABC 的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析由|z-z0|的几何意义可知,动点 P 到三角形三顶点的距离相等,故 P 为△ABC 的外心 .答案 B6如图 ,在平行四边形 OABC 中 ,各顶点对应的复数分别为 z O=0,z A=2∈R ,则a-b的值为.解析由复数加法的几何意义,知∴- 2a+ 3i--根据复数相等的充要条件,得解得答案 -47 已知z1=m2- 3m+m2i,z2= 4+ (5m+6)i( m∈R ),若z1-z2= 0,则m=.解析∵z2-3m+m2i) -[4 + (5m+6)i] = (m2-3m-4)+ (m2-5m-6)i= 0,1-z2= (m答案 -18 已知z是复数,|z|= 3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析设 z=a+b i( a,b∈R),则a+b i+ 3i =a+ (b+ 3)i 是纯虚数 ,∴a= 0,b+ 3≠0.又|z|= 3,∴ b=3,∴z=3i .答案 3i9 若|z-1|= 1,试说明复数z 对应点的轨迹 .分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|= 1 表示复数z对应的点到点 (1,0)的距离为1,故复数 z对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心 ,以 1 为半径的圆 .10 已知复平面内的点A,B 对应的复数分别是z1=sin 2θ+ i, z2=- cos2θ+ icos 2θ,其中θ∈ (0,π),设对应的复数是2(1)求复数 z;(2)若复数 z 对应的点P 在直线 y上求的值解 (1)∵点 A,B 对应的复数分别是z1= sin2θ+ i,z2=- cos2θ+icos 2θ,∴点 A,B 的坐标分别是A(sin2θ,1),B(- cos2θ,cos 2θ),2θ)-(sin2θ,1)= (- cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).对应的复数 z=- 1+ (-2sin2θ)i .(2)由 (1) 知点 P 的坐标是 (-1,-2sin2θ),代入 y得 -2sin2θ=即sin2θθ=又θ∈ (0,π),∴sin θ或能力提升1 若|z-1|=|z+ 1|,则复数z对应的点在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限解析∵ |z-1|=|z+ 1|,∴点 Z 到 (1,0)和 (-1,0)的距离相等 ,∴点 Z 在以 (1,0)和 (- 1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上 .答案 B2 已知z=cos为虚数单位则平面内到点的距离等于的点的轨迹是A.以点 (0,0) 为圆心 ,1 为半径的圆B.以点 C 为圆心 ,1 为半径的圆C.满足方程 x2+y 2= 1 的曲线D.满足 (x-1)2+ (y-2)2的曲线解析∵ |z|∴平面内到点C(1,2)的距离等于 |z|的点的轨迹方程为(x-1)2+ (y-2)2= 1,表示以点C为圆心,1为半径的圆.答案 B★ 3 若复数z=x+y i( x,y∈ R )满足条件|z-4i|=|z+ 2|,则2x+ 4y的最小值为()A.2B.4C.解析由 |z-4i |=|z+ 2|,得 |x+ (y-4)i|=|x+ 2+y i|,∴x2+ (y-4)2= (x+ 2)2+y2,即x+ 2y= 3,∴2x+ 4y=2x+ 22y≥当且仅当 x= 2y时,2x+ 4y取得最小值答案 C4 设实数x,y,θ满足以下关系:x+y i= (3+5cosθ)+ (-4+ 5sinθ)i,则x2+y2的最大值是.3人教 A 版 2018-2019学年高中数学修1-2解析∵ x+y i= (3+5cos θ)+ (-4+ 5sin θ)i,∴x2+y2= (3+ 5cosθ)2+ (-4+5sinθ)2= 50+ 30cos θ-40sin θ= 50+ 50cos(θ+ φ),其中 sin φ∴( x2+y2)max= 50+ 50=100.答案 1005若 n 个复数 a1 ,a2,⋯,a n,存在 n 个不全零的数 k1,k2,⋯ ,k n, 使得 k1 a1+k 2 a2 + ⋯+k n a n=0 成立 ,称 a1,a2,⋯,a n性相关.依此定,能使a1=1,a2= 1-i,a3=2+ 2i三个复数性相关的数k1,k2,k3的依次可取. (写出一数即可 ,不必考所有情况 )解析本主要考新信息背景下的复数的加法运算和两个复数相等的条件的用,在新定下,k1a1 +k 2a2+k 3a3= 0,即k1+k 2 (1-i) +k 3(2+ 2i)= 0,即 (k1+k 2+ 2k3)+ (-k2 +2k3)i = 0,故 -k2 +2k3= 0,k2 =2k3.又部之和k1+k2+2k3= 0,∴k1=-k 2 -2k3=- 4k3,∴k1 =- 4k3,k2= 2k3 ,令 k3取任意一个非零就可以得到一.答案 -4,2,1(答案不唯一 )6 已知|z|=2, |z+3-4i|的最大是 .解析由 |z|= 2 知复数 z 的点在 x2+y2=4上,心O(0,0),半径r= 2.而|z+ 3-4i |=|z- (-3+ 4i)|表示复数 z 的点与 M(-3,4)之的距离 ,由于 |OM|= 5,所以 |z+ 3-4i|的最大 |OM|+r= 5+2=7.答案 77 已知复数z1=1-2i和z2= 4+ 3i分复平面内的A,B 两点 .求:(1)A,B 两点的距离 ;(2)段 AB 的垂直平分方程的复数形式,并化数表示的一般形式 .解(1)因|z2 -z1|=| (4+3i) - (1-2i)|=| 3+5i|所以 A,B 两点的距离(2)段 AB 的垂直平分上任一点Z 到 A,B 两点的距离相等 ,点 Z 的复数z,由复数模的几何意,知 |z-(1-2i)|=|z- (4+ 3i) |.z=x+y i( x,y∈R ),代入上式 ,得|(x-1)+(y+ 2)i|=| (x-4)+( y-3)i|,即( x-1)2+(y+ 2)2=( x-4)2+( y-3)2.整理上式可得段 AB 的垂直平分的方程3x+ 5y-10=0.所以段 AB 的垂直平分方程的复数形式|z-(1- 2i)|=|z- (4+3i)|,数表示的一般形式 3x+ 5y-10= 0.★8 在△ABC中,角A,B,C所的的度分a,b,c, 复数 z=cos A+ isin A,且足 |z+1|= 1.(1)求复数 z;-(2)求的4人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题分析第 (1)问 ,把复数 z+1 的模转化为它对应的复数的模, 从而求出角A,进而求出复数z; 第(2) 问,利用正弦定理把边转化为角 ,再进行三角恒等变换即可求解.解(1)∵ z=cos A+ isin A,∴z+1=1+ cos A+ isin A.∴|z+ 1|∵|z+ 1|= 1,∴2+ 2cos A= 1.∴c os A=∵角 A 是△ABC 的一个内角 ,∴ A= 120 .∴s in A∴复数 z=(2)由正弦定理 ,得 a= 2R·sin A,b= 2R·sin B,c=2R·sin C(其中 R 为△ABC 外接圆的半径),∴原式-∵B= 180 -A-C= 60-C,∴原式---即-的值为 2.5。
(完整版)3数系的扩充与复数的引入章末过关检测卷及答案
数学·选修1－2(人教A版)章末过关检测卷(三)第三章数系的扩充与复数的引入(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i为虚数单位，复数z1＝a－3i，z2＝2＋b i，a其中a，b∈R，若z1＝z2，则ab＝()A．－1 B．5 C．－6 D．6答案：C2．复数z1＝－3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B3．i为虚数单位，则i＋1i等于()A．0 B．2i C．1＋i D．－1＋i答案：A4．对于复数z＝a＋b i有()A．|z2|>|z|2B．|z2|＝|z|2C．|z2|<|z|2D．|z2|＝z2答案：B5.1－3i (3＋i )2＝( ) A.14＋34i B ．－14－34i C.12＋32i D ．－12－32i 答案：B6．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把z 化成标准的a ＋b i(a ，b ∈R)形式，然后由共轭复数定义得出z －＝－1－i.解析：由z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，及共轭复数定义得z －＝－1－i.答案：A7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，选A. 答案：A8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝2，c ＝－1C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－2，c ＝3解析：根据实系数方程的根的特点知1－2i 也是该方程的另一个根，所以1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，即b ＝－2，(1－2i)(1＋2i)＝3＝c ，故选D.答案：D9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i解析：因为z (2－i)＝11＋7i ，所以z ＝11＋7i2－i ，分子分母同时乘以2＋i ，得z ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝22＋11i ＋14i ＋7i 24－i2＝22－7＋25i 4－i2＝22－7＋25i 4＋1＝15＋25i 5＝3＋5i.答案：A10．复数方程|||z ＋i|－|z －i|＝2对应的复平面内的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支C ．直线D ．两条射线(包括端点)答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)11．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为______．解析：(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，实部为－20.答案：－2012．若复数z 满足z ＝i(2－z )，则z ＝______.解析：由z ＝i(2－z )，得(1＋i)z ＝2i ，即z ＝2i1＋i＝2i (1－i )2＝1＋i.答案：1＋i13．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量O A →和O B →，其中O 为坐标原点，则|A B →|＝________.解析：AB→＝OB →－OA →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB→|＝2 2. 答案：2214．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋a i(a ，b ∈R)，若|z 1|＜|z 2|，则b 的取值范围是______．解析：由题知a 2＋b 2<(－1)2＋a 2，∴b 2<1，∴－1<b <1. 答案：(－1,1)三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(12分)计算：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ；(2)(－1＋3i )3(1＋i )6－(2＋i )24－3i .解析：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ＝2i ＋2－25＋15i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45i －4i ＝1－i. (2)(－1＋3i )3(1＋i )6－(2＋i )24－3i ＝(－1＋3i )3(2i )3－3＋4i 4－3i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3(－i)3－(4－3i )i4－3i ＝－i －i ＝－2i.16．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时，(1)z ∈R ？(2)z 是纯虚数？(3)z 是零？解析：(1)当a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1或a ＝6时，z ∈R.(2)当⎩⎨⎧ a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，即a ＝－2时，z 是纯虚数．(3)当⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1时，z 是零17.(14分)设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)求ω2－4ω的取值范围．解析：(1)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，ω＝z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2＝a ＋aa 2＋b2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，由－1＜ω＜2，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋aa 2＋b2＜2，b －b a 2＋b2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－12＜a ＜1，a 2＋b 2＝1.∴|z |是1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)由(1)知ω＝2a ，ω2－4ω＝4a 2－8a ＝4(a －1)2－4，∴－4＜ω2－4ω＜5.18．(14分)方程x 2＋5x ＋m ＝0有两虚根z 1，z 2，且|z 1－z 2|＝3，求实数m 的值．解析：由方程有虚根，得Δ＝25－4m ＜0⇒m ＞254.由韦达定理，得z 1＋z 2＝－5，z 1·z 2＝m ，|z 1－z 2|2＝|(z 1－z 2)2|＝|(z 1＋z 2)2－4z 1z 2|＝|25－4m |＝9.∴m ＝4(舍去)，m ＝172.19.(14分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： ①|z －3|＝|z －3i|；②z －1＋5z －1是实数．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)， 由|z －3|＝|z －3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .①由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5(x －1)＋y i ∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.②联立①和②，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.20．(14分)已知：复数z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i 和z ＝x ＋y i ，若z ＝z 1i －z 2，其中m ，n ，x ，y 都是实数．(1)若复数z 1所对应点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，求复数z 所对应点P (x ，y )的轨迹C 方程；(2)过原点的直线与轨迹C 有两个不同的交点，求直线的斜率k 的取值范围．解析：(1)z ＝z 1i －z 2＝(m －n i)i －(2－2i)＝(n －2)＋(2＋m )i ＝x ＋y i ，复数相等，得⎩⎨⎧x ＝n －2，y ＝2＋m⇒⎩⎨⎧n ＝x ＋2，m ＝y －2.∵点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，∴n ＝12(m ＋3)2＋1⇒x ＋2＝12(y －2＋3)2＋1⇒x ＝12(y ＋1)2－1.(2)设过原点的直线的方程是y ＝kx ，代入曲线C 的方程，得ky 2＋(2k －2)y －k ＝0，Δ＝(2k －2)2＋4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫k －122＋2＞0恒成立，∴k ∈R.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入A章末测试 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
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1-2（基础过关卷)（时间：90分钟满分:100分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)1．已知a,b∈R，则a＝b是（a－b）＋(a＋b)i为纯虚数的( ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．i是虚数单位,错误!＝（）A．14－错误!i B．错误!＋错误!iC．12＋错误!i D．错误!－错误!i4．复数z＝错误!的模为（)A．错误! B．错误! C．错误! D．25．两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2,b2∈R且z1≠0，z2≠0)，对应向量错误!与错误!在同一条直线上的充要条件是( )A．错误!·错误!＝－1 B．a1b1＋b2a2＝0C．a1a2＝错误! D．a1b2＝a2b16．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（x－1）i－y＝2＋i，则（1＋i)x－y的值是（) A．－4 B．4 C．－1 D．17．若z＝cos θ＋isin θ，则使z2＝－1的θ值可能是（）A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!8．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)为实数的概率为( ）A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!9．已知f(n)＝i n－i－n(i2＝－1，n∈N＊），集合{f（n)｜n∈N＊｝的元素个数是( )A．2 B．3 C．4 D．无数个10．如果复数z满足|z＋i|＋｜z－i|＝2，那么｜z＋i＋1｜的最小值是（）A．1 B．错误! C．2 D．错误!二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知a，b∈R,且a－1＋2a i＝4＋b i，则b＝________.12．设复数z满足i(z＋1）＝－3＋2i（i为虚数单位),则z的实部是________．13．若复数z＝（m－1)＋（m＋2）i对应的点在直线y＝2x上,则实数m的值是__________．14．设复数z在对应法则f的作用下和复数w＝错误!·i对应，即f：z→w＝错误!·i，则当w＝－1＋2i时，复数z＝__________.15．若P，A，B，C四点分别对应复数z，z1，z2，z3，且｜z－z1|＝|z－z2|＝｜z－z3|，则点P为△ABC的________心．三、解答题(本大题共4小题，共25分）16．（6分）已知复数z1＝2－3i,z2＝错误!。
第3章 数系的扩充与复数的引入单元测试(A卷基础篇)(人教A版)(解析word版)
数系的扩充与复数的引入单元测试(A卷基础篇）（人教A版）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2019•西湖区校级模拟）复数i﹣3的虚部是（）A．3 B．﹣3 C．1 D．i【解析】解：复数i﹣3的虚部是1．故选：C．【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．2．（2019春•泉州期末）若z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解析】解：∵z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数，∴，解得m＝2，故选：D．【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3．（2019秋•金凤区校级月考）设复数z＝﹣1+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】解：∵z＝﹣1+2i，∴，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（2019春•临夏市校级月考）已知复数z＝a+（2﹣b）i的实部和虚部分别是2和3，则a，b的值是（）A．2，5 B．1，3 C．2，﹣1 D．2，1【解析】解：∵复数z＝a+（2﹣b）i的实部和虚部分别是2和3，∴，解得a＝2，b＝﹣1．∴a，b的值是2，﹣1．故选：C．【点睛】本题考查实数值的求法，复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2019秋•中山区校级期中）复数（2i﹣1）•i的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解析】解：∵（2i﹣1）•i＝2i2﹣i＝﹣2﹣i，∴复数（2i﹣1）•i的共轭复数是﹣2+i．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．（2019•玉山县校级模拟）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（）A．a＜6 B．C．D．a＞6【解析】解：在复平面内对应的点位于第二象限，∴，解得a．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7．（2019秋•浙江期中）复数z＝（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2 B．1 C．D．【解析】解：∵z＝（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i﹣i2＝3+i，∴|z|．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．8．（2020•天河区一模）若复数为纯虚数，则|3﹣ai|＝（）A．B．13 C．10 D．【解析】解：由．因为复数为纯虚数，所以，解得a＝2．所以|3﹣ai|＝|3﹣2i|．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．9．（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知复数z满足z＝1+i（其中i为虚数单位），则（）A．B．C．D．【解析】解：∵z＝1+i，∴，故选：A．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．10．（2019•安徽模拟）已知i是虚数单位，是z的共轭复数，若复数，则（）A．0 B．1 C．D．2【解析】解：复数i2019＝i2016•i3＝﹣i，所以1＝i﹣1＝﹣1+i，所以．故选：C．【点睛】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题．二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（2019秋•句容市校级月考）i是虚数单位，复数3﹣2i．【解析】解：．故答案为：3﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．12．（2019春•宜宾期末）复数的共轭复数是．【解析】解：因为复数，它的共轭复数为：．故答案为：．【点睛】他考查复数的基本概念的应用，复数的化简，考查计算能力．13．（2019秋•莲都区校级月考）若z（3+4i）＝5（i为虚数单位）则|z|＝1，z的实部为．【解析】解：由z（3+4i）＝5，得z，∴|z|．z的实部为．故答案为：1；．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．14．（2019春•扬州期末）设a∈R，若复数（2﹣i）（a+2i）在复平面内对应的点位于直线y＝﹣x上，则a＝﹣6．【解析】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）＝（2a+2）+（4﹣a）i在复平面内对应的点位于直线y＝﹣x上，∴4﹣a＝﹣（2a+2），解得：a＝﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．三．解答题（共3小题，每小题10分，共30分）15．（2019春•哈尔滨期中）实数m取怎样的值时，复数z＝m2﹣m﹣6+（m2﹣2m﹣15）i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【解析】解：（1）根据题意，z＝m2﹣m﹣6+（m2﹣2m﹣15）i是实数，则m2﹣2m﹣15＝0，解可得m＝5或﹣3；（2）若z＝m2﹣m﹣6+（m2﹣2m﹣15）i是虚数，则m2﹣2m﹣15≠0，解可得m≠5且m≠﹣3；（3）若z＝m2﹣m﹣6+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，则，解可得m＝3或﹣2．【点睛】本题考查复数的分类以及定义，关键是掌握复数的定义，属于基础题．16．（2019春•嘉兴期中）已知复数，其中i为虚数单位，a∈R．（Ⅰ）若z∈R，求实数a的值；（Ⅱ）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．【解析】解：（Ⅰ），若z∈R，则，∴．（Ⅱ）若z在复平面内对应的点位于第一象限，则对应点的坐标为（，），则且，解得，即a的取值范围为．【点睛】本题主要考查复数的计算以及复数几何意义的应用，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．17．（2019春•闵行区校级期中）已知复数z＝（i）2是一元二次方程mx2+nx+1＝0（m，n∈R）的一个根．（1）求m和n的值；（2）若z1＝（a﹣2i）z，a∈R，z1为纯虚数，求|a+2i|的值．【解析】解：（1）∵z＝（i）2是一元二次方程mx2+nx+1＝0的一个根，∴是一元二次方程mx2+nx+1＝0的另一个根，∴，则m＝1．，得n＝1；（2）z1＝（a﹣2i）z＝（a﹣2i）（）＝（）+（1）i是纯虚数，则，即a．∴|a+2i|＝||．【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与模的求法，是基础题.。
人教A版选修一数学人教A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入单元
数学人教A 选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知i 是虚数单位，则3i 1i+-＝( )． A ．1－2i B ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i2．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )．A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－13．设复数22i (1i)z +=+，则复数z 的虚部是( )． A ．12B ．－1C ．－iD ．1 4．已知复数z 满足2i z -＝1＋2i ，则z ＝( )． A ．4＋3i B ．4－3iC ．－iD ．i5．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)i(i 是虚数单位)为“等部复数”，则实数a 的值是( )．A ．1B ．0C ．－1D ．26．已知复数z ＝(a －2i)(1＋i)(a ∈R )在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是点M 在第四象限的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应的向量的模为3，则y x的最大值为( )． A ．32 B ．33C ．12D ．3 8．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足1z ·z 2是实数，则z 2等于( )．A ．11i 2-B ．11i 2+ C ．1i 2＋ D ．1i 2－ 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－1－2i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________．10．已知1i m +＝1－n i(m ，n ∈R )，则m ＋n i ＝__________．。
高中数学人教A版选修1-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入
第三章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．全集I ＝{复数}，集合M ＝{有理数}，N ＝{虚数}，则(∁I M )∩(∁I N )＝( D ) A ．{复数} B ．{实数} C ．{有理数}D ．{无理数}[解析] ∁I M ＝{无理数、虚数}，∁I N ＝{实数}，∴(∁I M )∩(∁I N )＝{无理数}． 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B ．23C ．－23D ．2[解析] 由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.3．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2i B ．2＋i C ．－5＋5iD ．5＋5i [解析] 复数2i －5的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴其实部为－2，故选A ． 4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( D ) A ．0或－1 B ．0 C ．1D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．5．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( A ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．6．复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( D ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0， 故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝ 14 ，y ＝__1__.[解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3xy ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是 2＋3，0.618，i 2 . [解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 三、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析] 按复数a ＋b i(a 、b ∈R )是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0① 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义②解①得a ＝－1且a ＝6， 解②得a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0③ 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义④解③得a ≠－1且a ≠6， 解④得a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．B 级 素养提升一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( C ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i[解析] (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ， 所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.2．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( B ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4. 3．若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( D ) A ．a i>b i B ．a ＋i>b ＋i C ．a i 2>b i 2D ．b i 2>a i 2[解析] ∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D ． 4．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( C ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2－a 2＝4a ，解得a ＝－4.二、填空题5．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于__－3__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.6．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝__－1__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.三、解答题7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值. [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．C 级 能力提高1．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为__2__.[解析] (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以ab ＝2.2．设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解． (1)若z 是虚数，则其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1>05－m >05－m ≠1，解得1<m <5，且m ≠4.(2)若z 是纯虚数，则其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝15－m >05－m ≠1，解得m ＝2.第三章 3.1 3.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限． 2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( C )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i. 3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵1>0,2－sin θ>0， ∴复数对应的点在第一象限．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( D ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数 [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( A ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2 [解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A ． 6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( B ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2 α＝2＋2cos α＝4cos 2 α2＝2|cos α2|.∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2|cos α2|＝－2cos α2，故选B ．二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z ＝1＋2i ，则|z |[解析] |z |＝12＋22＝ 5.8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是__(1,2)__.[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2. 三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32，即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( A ) A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2.2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( C ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数[解析] ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴D 不正确，∴C 正确．3．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( D ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．3[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限．二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是__5__.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i. 由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5. 6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为 12 .[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.7．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝__12__.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题8．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)． 消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．C 级 能力提高1．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ [解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆． 解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．2．已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i ，证明对一切实数m ，该复数z 所对应的点不可能位于第四象限.[解析] 设z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点Z (m 2＋m －6，m 2＋m －2)位于第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－3，－2<m <1.显然此不等式组无解，因此对一切实数m ， 该复数所对应的点不可能位于第四象限．第三章 3.2 3.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C ) A ．2＋i B ．4＋3i C ．2＋3iD ．3＋2i[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i －1＋i ＝2＋3i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( B ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ， 所以z 的虚部是4.3．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i [解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.4．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( C ) A ．18＋10i B ．18－10i C ．－10＋18iD ．10－18i[解析] ∵z ＝11－20i ， ∴1－2i －z ＝1－2i －11＋20i ＝－10＋18i.5．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( D ) A ．10 B ．5 5 C ． 2D ．5 2 [解析] ∵z 1－z 2＝5＋5i ， ∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( D ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．二、填空题7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝__－1__.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 8．在复平面内，O 是原点，OA →、OC →、AB →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么BC →对应的复数为__4－4i__.[解析] B C →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题9．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD →，DB →对应的复数，先求出向量P A →、PB →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即DB →对应的复数是5.B 级 素养提升一、选择题1．复数(3m ＋m i)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是( A ) A ．m <23B ．m <1C ．23<m <1D ．m >1[解析] (3m ＋m i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2<0m －1<0，∴m <23.2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( A )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4[解析] 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( D )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i[解析] 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →， 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →对应的复数为4－2i. 故选D ．4．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( C ) A ．115B ．3iC ．115＋3iD ．115＋23i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3. ∴z ＝115＋3i ，故选C ．二、填空题5．(2016·济南高二检测)设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝__4__.[解析] x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝(x 2＋y 5)＋(x 2＋2y5)i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__－1＋10i__. [解析] ∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝52－y ＝－6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 7．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝__3__.[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x 、y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.C 级 能力提高1．(2016·青岛高二检测)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.2．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝0. ∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.∴sin B ＝7210.∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.第三章 3.2 3.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·重庆八中高二检测)复数z 满足z i －1＝i 则z 的共轭复数为( A ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋iD ．－1－i[解析] z ＝1＋i i ＝i (1＋i )i 2＝i －1－1＝1－i.2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2＝( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [解析] (1＋i 1－i )2＝2i－2i＝－1.3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i 为虚数单位．若复数－3i(a ＋i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则a ＝( A )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[解析] －3i(a ＋i)＝－3a i ＋3， ∴－3a ＝3，∴a ＝－1.4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 [解析] ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ， ∴a ＝4，选D ．5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) [解析] ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. 故选B ．6．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( B ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1，即z ＝3±i. 二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__. [解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2 ＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1＋1＋1＋4i －4 ＝－1＋4i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝__2＋i__. [解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，∴z ＝2＋i.三、解答题 9．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)；(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ).[解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.B 级 素养提升一、选择题1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( C )A ．0B ．1C ． 2D ．2[解析] ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ，∴z ＋1＝1－i 1＋i ＋1＝21＋i ＝1－i ，∴|z ＋1|＝ 2.2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 [解析] 由x i ＋y i 2＝3＋4i ，知x ＝4，y ＝－3，则x ＋y i 的模为x 2＋y 2＝5. 3．若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 的值是( B )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2[解析] (m 2＋i)(1＋m i)＝m 2＋i ＋m 3i ＋m i 2＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i. ∵(m 2＋1)(1＋m i)为实数， ∴m 3＋1＝0， ∴m ＝－1.故选B ．4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( C ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 二、填空题5．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z [解析] 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1故|z |＝a 2＋b 2＝ 5.方法二：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 6．(2015·重庆理)设复数a ＋b i(a 、b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__3__. [解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3. (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.7．(2017·浙江，12)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.[解析] (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 三、解答题 8.m1＋i＝1－n i ，(m 、n ∈R ，i 是虚数单位)，求m 、n 的值. [解析] ∵m1＋i ＝1－n i ，∴m (1－i )2＝1－n i ， ∴m －m i ＝2－2n i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2－m ＝－2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1. C 级 能力提高1．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ 1－32i .[解析] ∵z 0＝3＋2i ， ∴z ·z 0＝3z ＋2i z ＝3z ＋z 0， ∴2i·z ＝z 0.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴2i(a ＋b i)＝3＋2i ，即－2b ＋2a i ＝3＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝3，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32，∴z ＝1－32i.2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . [解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.。
近年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元测试(一)新人教A版选修1-2(最新整理)
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根据复数相等的充要条件，得错误!
2019 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元测试（一）新人教 A 版选修 1-2
从而（1＋m）（3－m）＝2，即 m2－2m－1＝0，
21．（12 分）设 z＝log2(1＋m）＋ilog错误!(3－m）(m∈R）． （1）若 z 在复平面内对应的点在第三象限,求 m 的取值范围； （2)若 z 在复平面内对应的点在直线 x－y－1＝0 上，求 m 的值．
20．（12 分）设 z∈C，求适合 z2＝错误!的复数 z．
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2019 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元测试（一）新人教 A 版选修 1-2
【解析】设复数 z a bia,b R ，
或 k＝2 2．
则
a
a2
b2
3
，∴
a
7 6
，∴z＝错误!－4i．
b 4
b 4
15．【答案】－2
【解析】 (1 2i)(a i) a 2 (1 2a)i 是纯虚数，∴ a 2 0 ,即 a 2 ．
16．【答案】四
【解析】∵ a 、b∈R 且 a ＋错误!＝错误!,即 a1 i b1 2i 3 i ，
∴z＝0 或 z＝1 或 z＝－错误!±错误!i．
21．【答案】（1){x|－1〈m〈0｝；（2）m＝1±错误!．
【解析】(1）由已知，得
log2
log
1 2
1 m 0,① 3 m 0,②
解①得－1<m<0． 解②得 m<2．
故不等式组的解集为｛x|－1〈m<0}，
2018年高中数学人教A版选修1-2第3章数系的扩充与复数的引入检测习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-2 习题第三章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知a,b∈ R ,则“a=b”是“(a-b)+ (a+b )i为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (a-b)+ (a+b )i 为纯虚数的充要条件是实数a,b 满足-即a=b ,且 a≠-b,也就是 a=b ≠0.故选B.答案 B2.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A. AB. BC.CD.D解析设 z=a+b i( a,b∈R),则其共轭复数为所以表示 z与的两点关于 x 轴对称 .故选 B .答案 B3.设i是虚数单位,若复数a∈ R)是纯虚数,则a的值为()-A. -3B. -1C.1D.3解析由已知 ,得 a-复数 a为纯虚数 ,∴a- 3=0,即 a= 3.--答案 D4.设z=1+ i(i是虚数单位),则等于A. -1-iB. -1+iC.1 -iD.1+ i解析∵z=1+ i,= (1-i)+ (1+ 2i-1)= 1+ i,故选 D.答案 D5.设a,b为实数,若复数则1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2 A. aC.a解析由可得1+ 2i = (a-b )+ (a+b )i .-解得故 A .由两复数相等可以得到答案 A6. i是虚数位,复数i3A. -iB.iC.-1D.1解析原式 =- i-答案 D7.已知复数z=( a2-a-2)+ (|a-1|- 1)i(a∈ R )不是虚数,有()A. a≠0B. a≠2C.a≠0,且 a≠2D.a≠-1解析若 z 虚数 ,- -解得 a=- 1.--而已知 z 不是虚数 ,所以 a≠-1.故 D.答案 D8.已知i虚数位,a数,复数z= (1-2i)( a+ i)在复平面内的点M ,“a是点在第四象限的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 z=(1- 2i)(a+ i)=a+ 2+ (1-2a)i, 所以复数z 在复平面内的点M 的坐 (a+ 2,1-2a),所以点 M 在第四象限的充要条件是a+ 2> 0,且 1-2a< 0,解得 a故 C.答案 C9.投两枚骰子,得到其向上的点数分m 和 n,复数 (m+n i)( n-mi) 数的概率 ()A2222,所以 m=n ,可以取解析因 (m+n i)( n-mi)= 2mn+(n -m )i 数 ,所以 n =m .因骰子的点数正数1,2,⋯ ,6,共 6 种可能 .所以所求概率故 C.2答案 C10.复数z= (x-2)+y i(x,y∈ R)在复平面内对应向量的模为2,则|z+ 2|的最大值为 ()A.2B.4C.6D.8解析因为 |z|= 2,所以-即(x-2)2+y 2= 4,故点 (x,y)在以 (2,0) 为圆心 ,2 为半径的圆上,而|z+2|=|x+y i|它表示点 (x,y)与原点的距离,结合图形 (图略 )易知 |z+ 2| 的最大值为4,故选 B.答案 B二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.i是虚数单位,计算-的结果为解析---- - ---答案 -i12.设复数z满足i(z+ 1)=- 3+ 2i(i为虚数单位 ),则 z的实部是.---故 z的实部为 1.解析∵i( z+1)=- 3+2i,∴ z+1-答案 113.设复数z在对应法则f的作用下和复数w ·i对应 ,即f:z→w·i,则当 w=- 1+ 2i 时 ,复数z=.解析∵f:z→ w·i,且 w=- 1+ 2i,·i=- 1+2i, 则答案 2-i14.在复平面内,若z=m2(1+ i) -m(4+ i) -6i所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围是.解析∵z=m 2-4m+ (m2-m- 6)i 所对应的点在第二象限,-解得 3<m< 4.- -答案 (3,4)2有实数根 ,则纯虚数 m=.15.若关于x的方程x + (2-i) x+(2m-4)i = 0解析设 m=b i( b∈R ,且 b≠0),方程的实根为x0,则有从而有于是解得-于是 m= 4i.-答案 4i三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)32求实数取什么值时复数是16.(8分)已知复数z=(2+ i) m-(1) 零 ;(2) 虚数 ;(3) 纯虚数 ;(4) 复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数.分析先将复数z化简整理为a+b i( a,b∈R) 的代数形式 ,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.解因为 m∈R ,所以复数222z=(2+ i) m -3m(1+ i)- 2(1-i)= (2m -3m-2)+ (m -3m+2)i .--即 m= 2时 ,z 为零 .(1)当-(2)当 m2-3m+2≠0,即 m≠2,且 m≠1 时,z 为虚数 .--即 m=时 ,z 为纯虚数 .(3)当-(4)当 2m2-3m-2=- (m2-3m+2),即 m= 0 或 m=2 时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数 .17.(8分)设复数z的共轭复数为已知(1)求复数 z及(2) 求满足 |z1-1|=|z| 的复数 z1对应的点的轨迹方程.解 (1--故z=2+ i.(2)设 z1=x+y i(x,y∈R ),则 |(x-1)+y i|故(x-1)2+y2=5.即复数 z1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y 2= 5.18.(9分)已知z=1+ i,a,b为实数.(1)若ω=z 2+求(2)若-求的值解(1)∵ ω=z 2+∴|ω|--(2)由条件-得即∴ (a+b )+ ( a+ 2)i=1+i,4解得19.(10分)已知复数z满足|z|的虚部为所对应的点在第一象限(1)求 z;(2)22在复平面上对应的点分别为A,B,C,求 cos∠ ABC.若 z,z,z-z解(1)设 z=x+y i( x,y∈R ).∵ |z|①又z2= (x+y i) 2=x 2-y2+ 2xyi,∴ 2xy= 2,∴ xy= 1.②-由①② 可解得或-∴z=1+i 或 z=- 1- i.又x>0,y> 0,∴ z=1+ i.222(2)z = (1+ i) = 2i, z-z = 1+ i-2i=1-i .∴ A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∴ cos∠ ABC20.(10分)已知复数z1= cosα+ isinα,z2= cosβ-isinβ,且z1求复数分析解答本题的关键是利用复数相等的充要条件先将复数问题实数化,再结合三角函数的知识求解.解由 z1得 cos α+ isin α-∴ cos α+ isin α+cos β+ isin β即 (cos α+ cos β)+ i(sin α+ sin β)5∴ cos2α+ sin2α--整理,得cosβ= 1β,①将①代入 sin 2β+ cos2β= 1,可解得 sin β= 0 或 sin β当sin β= 0 时 ,cos β= 1,cos α=当 sin β时,cosβ=α= 1,sinα= 0.∴ z1=或 z12= 1,z =6。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A版选修1211
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修121104[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或17．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ＝________． 解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：k π－π4(k ∈Z )8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π3，5π3解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________． 解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：113．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， 即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)， 于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-2习题：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 含解析
03第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课时过关·能力提升基础巩固1有下列四个命题:①方程2x-5=0在自然数集N中无解;②方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;③x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;④x4=1在R中有两解,在复数集C中也有两解.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4∉N,故①正确;方程的解为x=52∈Q,x2=-5∈Z⊆Q,故②正确;②方程的解为x1=12③由i2=-1,知x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解,故③正确;④x4=1在复数集C中的解的个数为4,故④不正确.i,8+5i,(1−√3)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为()2在2+√7,27A.0B.1C.2D.3i为纯虚数,8+5i为虚数,(1−√3)i为纯虚数,0.618为实数,所以纯虚数只有2 2+√7为实数,27个.3若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A .12B.2C.0D.1,{x +y =0,x -1=0,解得{x =1,y =-1,则x+y=0. 故2x+y =20=1.4若z=(m 2-1)+(m-1)i(m ∈R )是纯虚数,则有( )A .m=±1B .m=-1C .m=1D .m ≠1z 是纯虚数,∴{m 2-1=0,m -1≠0,解得{m =±1,m ≠1.∴m=-1.故选B .5已知(3x+y )+(2x-y )i =(7x-5y )+3i,其中x ,y ∈R ,则x= ,y= .x ,y ∈R ,∴根据两个复数相等的充要条件,可得{3x +y =7x -5y ,2x -y =3,解得{x =94,y =32.6若4-3a-a 2i =a 2+4a i,则实数a= .,得{4-3a =a 2,-a 2=4a ,解得a=-4.47设z=(m 2-5m-6)+(m 2-2m-3)i(m ∈R ),当m= 时,z 为实数;当m= 时,z 为纯虚数.z 为实数时,由m 2-2m-3=0,得m=3或m=-1.当z 为纯虚数时,由{m 2-5m -6=0,m 2-2m -3≠0,得m=6.或-1 68已知x 2-y 2+2xy i =2i,则有序实数对(x ,y )= .,得{x 2-y 2=0,xy =1,解得{x=1,y =1或{x =-1,y =-1. 或(-1,-1)9若不等式m 2-(m 2-3m )i <(m 2-4m+3)i +10成立,求实数m 的值.,故它们都是实数,由此可列出关于m 的式子,求出m 的值.,得{m 2-3m =0,m 2-4m +3=0,m 2<10,即{m =0或m =3,m =3或m =1,|m |<√10.故m=3,即实数m 的值为3.10是否存在实数m 使复数z=(m 2-m-6)+(m 2+2m -15m 2-4)i 为纯虚数?若存在,求出m 的值;否则,请说明理由.m 使复数z 为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.m 使z 为纯虚数,则{m 2-m -6=0,m 2+2m -15m 2-4≠0.①② 由①,得m=-2或m=3.当m=-2时,②式左端无意义;当m=3时,②式不成立.故不存在实数m 使z 为纯虚数.能力提升1设C ={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C ,则下列结论正确的是( )A .A ∪B=CB .∁U A=BC .A ∩(∁U B )=⌀D .B ∪(∁U B )=C D 正确. 2若复数z 1=sin 2θ+icos θ,z 2=cos θ+√3isin m ,m 1=m 2,则m 等于( )A .k π(k ∈Z )B .2k π+π3(m ∈Z )C .2k π±π3(m ∈Z )D .2k π+π6(m ∈Z ) ,可知{sin2θ=cosθ,cosθ=√3sinθ,∴cos θ=√3,sin m =1.∴m =π+2m π,m ∈Z ,故选D .3若复数z =(sinθ-35)+(cosθ-45)i(m ∈R )是纯虚数,则ta n (θ-π4)的值为( ) A .-7 B .−17C.7D.−7或−17z 是纯虚数,所以满足实部为零,且虚部不为零,即{sinθ=35,cosθ≠45.因为sin θ=35,且cos θ≠45, 所以cos θ=−45,所以tan θ=−34,所以ta n (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-34-11-34=−7.4已知复数z=(a 2-1)+(a-2)i(a ∈R ),则“a=1”是“z 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a=1,则z=-i 为纯虚数;若z 为纯虚数,则a=±1.所以“a=1”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件.5设复数z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(3-m )(m ∈R ),若z 是纯虚数,则m= .z 为纯虚数,∴{log 2(m 2-3m -3)=0,log 2(3-m )≠0,3-m >0.∴{m =4或m =-1,m <3,且m ≠2.∴m =−1.16已知复数z 1=m+(4+m )i(m ∈R ),z 2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R ),若z 1=z 2,则λ的取值范围是 .z 1=z 2,∴{m =2cosθ,4+m =λ+3cosθ.∴m =4−cos θ. 又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5].7已知实数a ,x ,y 满足a 2+2a+2xy+(a+x-y )i =0,则点(x ,y )的轨迹方程是 .,{a 2+2a +2xy =0,a +x -y =0,消去a ,得x 2+y 2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.x-1)2+(y+1)2=2★8定义运算|a b c d |=mm −mm ,如果(m +m )+(m +3)i =|3x +2y i -y 1|,求实数m ,m 的值.|a b c d |=mm −mm ,得|3x +2y i -y 1|=3m +2m +m i,故有(x+y )+(x+3)i =3x+2y+y i . 因为x ,y 为实数,所以有{x +y =3x +2y ,x +3=y ,得{x =-1,y =2.★9已知关于x ,y 的方程组{(2x -1)+i =y -(3-y )i ,①(2x +ay )-(4x -y +b )i =9-8i ②有实数解,求实数a ,b 的值..①,得{2x -1=y ,1=-(3-y ),解得{x =52,y =4.代入②,得(5+4a )-(10-4+b )i =9-8i,则{5+4a =9,6+b =8.故{a =1,b =2.。
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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入A 章末测试 新人教A 版选修1-2(基础过关卷)(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件2．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．i 是虚数单位，i 3＋3i＝( )A ．14－312iB ．14＋312iC ．12＋36iD ．12－36i 4．复数z ＝1i －1的模为( )A ．12B ．22C ． 2D ．2 5．两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R 且z 1≠0，z 2≠0)，对应向量OZ 1→与OZ 2→在同一条直线上的充要条件是( )A ．b 1a 1·b 2a 2＝－1B ．a 1b 1＋b 2a 2＝0C ．a 1a 2＝b 1b 2D ．a 1b 2＝a 2b 16．已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i)x －y的值是( )A ．－4B ．4C ．－1D ．17．若z ＝cos θ＋isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π28．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A ．13B ．14C ．16D ．1129．已知f (n )＝i n－i －n(i 2＝－1，n ∈N *)，集合{f (n )|n ∈N *}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个10．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B ． 2 C ．2 D ． 5二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．已知a ，b ∈R ，且a －1＋2a i ＝4＋b i ，则b ＝________.12．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是__________． 14．设复数z 在对应法则f 的作用下和复数w ＝z ·i 对应，即f ：z →w ＝z ·i，则当w ＝－1＋2i 时，复数z ＝__________.15．若P ，A ，B ，C 四点分别对应复数z ，z 1，z 2，z 3，且|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则点P 为△ABC 的________心．三、解答题(本大题共4小题，共25分) 16．(6分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i＋2. 求：(1)z 1·z 2； (2)z 1z 2.17．(6分)已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，求ω.18．(6分)已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，求|z 1z 2|的最大值和最小值． 19．(7分)已知复数z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i 和z ＝x ＋y i ，设z ＝z 1i －z 2，m ，n ，x ，y ∈R .若复数z 1所对应的点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋2)2＋52上运动，求复数z 所对应的点P (x ，y )的轨迹C 的方程．参考答案一、1．解析：(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的充要条件是实数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ≠0，即a ＝b 且a ≠－b ，也就是a ＝b ≠0.故选C.答案：C2．解析：由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)，应选D.答案：D 3．解析：i3＋3i＝3－3＋3－＝3i －3i23－9i2＝3i ＋312＝14＋312i. 答案：B 4．解析：∵z ＝1i －1＝－1－i－1＋－1－＝－1－i 2＝－12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案：B5．解析：向量OZ 1→＝(a 1，b 1)，OZ 2→＝(a 2，b 2)， 由OZ 1→∥OZ 2→可知a 1b 2－a 2b 1＝0，即a 1b 2＝a 2b 1. 答案：D6．解析：∵(x －1)i －y ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－y ＝2，x －1＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2，x ＝2.∴(1＋i)x －y＝(1＋i)4＝－4.答案：A7．解析：∵z 2＝cos 2θ－sin 2θ＋isin 2θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0.故选D.答案：D8．解析：因为(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，所以n 2＝m 2.因为骰子的点数为正数，所以m ＝n ，则可以取1,2，…，6，共6种可能．所以所求概率P ＝66×6＝16.故选C.答案：C9．解析：f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i ， f (4)＝i 4－i －4＝0，由i n的周期性知{f (n )|n ∈N *}＝{0，－2i,2i}． 答案：B10．解析：设复数－i ，i ，－(1＋i)对应的点分别是Z 1，Z 2，Z 3.由|z ＋i|＋|z －i|＝2知复数z 在复平面内对应的点Z 到Z 1，Z 2两点的距离之和为2，则点Z 是在以Z 1，Z 2为端点的线段上移动，求|z ＋i ＋1|的最小值，即求|ZZ 3|的最小值．如图所示，显然当Z 与Z 1点重合时，|ZZ 3|取得最小值，|ZZ 3|min ＝1.答案：A二、11．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，2a ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10.答案：1012．解析：∵i(z ＋1)＝－3＋2i ， ∴z ＋1＝－3＋2i i ＝－2－3i－1＝2＋3i.∴z ＝1＋3i.故z 的实部为1. 答案：113．解析：由已知得m ＋2＝2(m －1)，解得m ＝4. 答案：414．解析：∵f ：z →w ＝z ·i，且w ＝－1＋2i ， ∴z ·i＝－1＋2i ，则z ＝2＋i.∴z ＝2－i.答案：2－i15．解析：由|z －z 0|的几何意义可知，动点P 到三角形三顶点距离相等，即为△ABC 的外接圆圆心．答案：外 三、16．解：z 2＝15－5i＋2＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 17．分析：要求复数ω，就应先设出ω的代数形式，再据题意建立其实、虚部的方程组即可．解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(2＋i)ω＝(－1＋7i)(x ＋y i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i 为实数，且|ω|＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧7x －y ＝0，x 2＋y 2＝50，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－7.∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.18．分析：这是一道复数与三角函数交会的题目，|z 1z 2|由θ的三角函数表示，应结合三角函数知识求最值．解：|z 1z 2|＝|1＋sin θcos θ＋(cos θ－sin θ)i| ＝＋sin θcos θ2＋θ－sin θ2＝2＋sin 2θcos 2θ ＝2＋14sin 22θ. ∵0≤sin 22θ≤1，∴2≤2＋14sin 22θ≤94.∴2≤2＋14sin 22θ≤32. ∴|z 1z 2|的最大值为32，最小值为 2.19．解：∵z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i ，∴z ＝z 1i －z 2＝(m －n i)i －(2－2i)＝(n －2)＋(m ＋2)i.∴x ＋y i ＝(n －2)＋(m ＋2)i.∴x ＝n －2，y ＝m ＋2，即n ＝x ＋2，m ＝y －2.又点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋2)2＋52上运动，代入整理，得点P (x ，y )的轨迹C 的方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.。