华东师大版七年级数学下册第9章 《多边形》PPT课件
问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？ (1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么?
等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等. (2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样 的三角形?
三边都不相等的三角形. (3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？
顶角
（
腰 底角 底边
∠ADB= ∠ADC=90 ° B
01 23 4 5
A0
1
2 3
垂直 4 5 6
符号 7 8
9 10
01 23 4 5
垂足 D
C
画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
的三条高，并观察高的交点有什么规律？
A
(E,F) A
F OE
O
F AE
B
D CB
D CB
画图发现 三角形的三条高交于一点.
记法：三角形ABC用符号表示_△__A_B__C__.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表
示为_c_，__a_，__b_.
顶点A
角
边c
边b
角 顶点B
角
边a
顶点C
辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？
不符合
不符合
不符合
要点提醒 三角形应满足以下两个条件： ①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次.
1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°; 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;（重点、
难点） 3.掌握三角形的外角的性质及外角和.重点、
难点）
导入新课
观察与思考 将三角形纸片分别按下面两种方法进行折
叠、剪拼等操作，你能发现什么？
A
B C
折叠三角形纸板，可以 把它的三个角拼成一个角.
(
B
D
C
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？
答：相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;不同点是：前者是线段， 后者是射线.
典例精析
例1 如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，
AC=8cm,BC=10cm， ∠CAB=90 °,试求：
A
（1）△ABE的面积；
（2）△ACE和△ABE的周长的差.
C
∠BAD= 1∠BAC=20 °.
2
D
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
A
B
=180°-75°-20°
=85°.
二 直角三角形的内角性质
问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数
吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，
你能得出什么结论？
A
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
=AC-AB
=8-6
B DE
C
=2(cm)
重要发现 三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的
周长差就是AC与AB的差.
例2 如图，在△ABC中，请作图
（1）画出△ABC的∠C的平分线；
（2）画出△ABC的边AC上的中线；
（3）画出△ABC的边BC上的高
答：如图，CF是一条角平分线；A
BE是AC边上的中线；AD是边
E
BC上的高.
F
D
B
C
注意 画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线 及高都要画成线段.
随堂练习
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边上的高( D )
C
AD
D
CA B
A
B
BC B
AD C
B
C
D
A
D
2.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为
典例精析
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33.
几何问题借助方程 来解. 这是一个重要
表示方法： 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，除此△ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等.
基本要素： 三角形的边：边AB、BC、CA； 三角形的顶点：顶点A、B、C； 三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C.
特别规定： 三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点 B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.
的中线？
A
定义：
如图，连接△ABC的顶点A和它所
对的边BC的中点D,所得线段AD
叫作△ABC的边BC上的中线.
B
D
C
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
1
BD=CD= BC
2
画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
A
F OE
F
O
E
A F OE
．
A
B C D EF
课堂小结
三角形
定义及其 基本要素
分类
顶点、角、边
按角分类
不重不漏
按边分类分类
第9章 多边形
9.1.1 认识三角形
（第2课时 三角形中的重要线段）
学习目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
B
D
CB
D
画图发现
CB
D
C
三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三 角形的重心.
问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是
△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为
什么？
A
答：相等，因为两个三角形等底同 高，所以它们面积相等.
B
问题4 通过问题3你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
导入新课
复习回顾 1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条，怎么画？
只能画一条.
2.已知△ABC中，BC=5cm,高AD=4cm,求△ABC的面积.
讲授新课
一 三角形的高
问题1 什么是三角形的高？
问题2 怎样画三角形的高？
定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD 叫作△ABC的边BC上的高. 想一想 由三角形的高你能得到什么结论？
讲授新课
一 三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫作三角形.
A
B
C
问题2：三角形中有几条线段?有几个角?
有三条线段，三个角 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角形的角.
DE C
三 三角形的角平分线
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
答： ∠AOC= ∠BOC
A C
O
B
问题2 如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边
于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线．类比探索三角形
的高和中线的过程，你能得到哪些结论？ A
答：三角形的三条角平分线交于三角形内一点.
底角
等边三角形
等腰三角形
按是否有边相等分
三角形
不等边 三角形
等腰 三角形
底和腰不相等 的等腰三角形
等边三角形
不等边三角形 按内角大小分
锐角三角形 三角形 直角三角形
钝角三角形
随堂练习
1.三角形是指（C ） A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成
的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成
AE为高（AE⊥BC）
A
AD为中线
（BD=DC）
B
EFD
C
AF 为∠A的平分线 （∠BAF=∠CAF）
能力提升：王大爷有一块三角形的菜
地,现在要将它们平均分给四个儿子,
A
在菜地的一角A处有一口池塘,为了使
分开后的四块菜地都就近取水,王大爷
为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮
王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎
解：（1）Q
SABC
1 2
ABgAC
1 2
BCgAD,
B
DE
C
68 10gAD, 即AD=4.8.
SABC
1 2
ABgAC
1 2
BCgAD,
SABE
1 2
BEgAD
1 2
5 4.8
12(cm2 )
（2） ∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
2.判断：
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ × ） （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ √ ） （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ × ） （4）等边三角形是锐角三角形.（ √ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
3.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 AC
的数学思想.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
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华东师大版七年级下册9.3用正多边形铺设地面课件
•如图所示，用正三角形和正六边形还可
以这样拼!
•如图所示，用正三角形和正六边形还可以这
样拼!
90 °
思考：还有其它的组合吗？
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为什么以下几组图形能够如此巧妙的结合在一起？
正八边形和正方形组合。
正八边形与正方形
正四边形和正八边形的每个内角分别为90°、135°
围绕每一点的所有角和为2×135°+90 ° = 360°
5、 正五边形
108°
108° 108°
围绕每一点有3个角，3个角和为3×108°= 324° ≠360°
6、 正六边形
120° 120°
围绕每一点有3个角，3个角和为3×120°=360°
7、 正七边形
正七边形的每个内角为 (7-2) ×180°÷7≈128.6° 围绕每一点有3个角,3个角和为
小结
1、能密铺的条件是什么？
当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周 角( 360°)时，就能铺满地面。
2、能用同一种正多边形拼地板的正多边形有哪些？
能用同一种正多边形拼地板的正多边形只有正三角形、 正方形、正六边形．
正五边形、正十边形
围绕一点能拼 成360º，但能 扩展到整个平 面，即铺满地
每个内角
(128
4 7
)…
(n 2) 180 n
如何用多边形铺设地面？
由使用给定的某种多边形，当围绕一点拼在一起的几个 内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面.
如正六边形的每个内角为120°，三个120°拼在一起 恰好组成周角，所以全用正六边形瓷砖就可以铺满地面 (如图所示).
如图：把相邻两行正三角形分开，添一行正方形，得到下 面的图。它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满 地面。为什么？
新华东师大版七年级数学下册《9章 多边形 9.2 多边形的内角和与外角和 多边形的内角和》课件_17
1、完成课本P86练习题。
2、如图所示的模版，按规定
C
BC、DE的延长线相交成
B
D
80°的角，因交点不在板上，
E
不便测量，质检员测得
∠ABC=122°, ∠DEF=155°，
如果你是质检员，如何知道 A
F
模版是否合格，为什么？
3、一个正方形瓷砖，截去一个角后： （1）还剩几个角？ （2）剩下的多边形的内角和是多少 度？
这节课，你有什么收获？
华东师大版七年级下册第九章第二节
问题1： （1）什么叫三角形？
（2）什么叫四边形、五边形呢？
（3）什么叫多边形？
由n条不在同一直线上的线段首 尾顺次连接组成的平面图形，叫 做n边形，又称多边形。
1
2
3
4
5
多边形
凸多边形 凹多边形 (不在研是多边形的什么？
A B
D
C
阅读课本84页，完成下表：
边数
内角个数 外角个数
三角形
3
3
6
四边形
4
4
8
五边形
5
5
10
多边形
n
n
2n
问题3： 这些图形有什么特点？
如果多边形的各边都相等， 各角也都相等，那么就称它 为正多边形。
问题4： 四边形的内角和
B A
D
C
1个三角形内角和是180 °.
2个三角形内角和是360 °. 所以四边形的内角和为360°
问题5： 探究多边形的内角和
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
分成三角形的个数 多边形的内角和
1 2 3 4 5… … 180°180°×2 180°×3180°×4180°×5
七年级数学下册第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和教学课件(新版)华东师大版
活动2：探究多边形的外角和 三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？
E A
3×1800-(3-2) ×1800=3600
B F
D C
1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角 的和求出来，刚好是三个平角.
2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下 的就是三角形的外角和了！
那
整体思路：1.先求4个 外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和
D
B
C
如图1是凸多边形； 图2不是凸多边形，今后如果不作说明， 我们讲的多边形都是凸多边形.
相关概念
在多边形的顶点处一边与另一边的延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做这个多边形的外角和.
合作探究
活动1：探究多边形的内角和 如何求出任意五边形的内角和？你能想出几种
教学课件
数学 七年级下册 华东师大版
第9章多边形
9.2 多边形内角和与外角和
自主学习
在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封 闭图形叫做三角形.
在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封 闭图形叫做四边形.
在平面内，由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封 闭图形叫做五边形.
么 你 能 研
究
出
四
边
形
容易看出，4个外角+4个内角=4个平角，而4个
的 外
内角的和是（4-2） × 180 ° ，那么四边形的
角
外角和就是4× 180°-（4-2） × 180°= 360°
和 吗
？
五边形的外角和是多少度？
5×1800角和是多少度？
七年级数学下册第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和多边形的外角和课件华东师大版
9、2多边形的外角和
学习目标
1、探索并掌握多边形的外 角和定理
2、应用外角和定理解决实际问 题
知识回顾 A
1、什么是三角形的外角？
三角形的内角的一边与另一边的反向
内角 外角
延长线所组成的角是三角形的外角。
B
CD
2、什么是三角形的外角和？
1
从与三角形的每个内角相邻的两个外角中分
别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。
2 B
∠1+∠2+∠3+∠4+ ∠DAB + ∠CBA +∠DCB +∠ADC= 180°x4 又因为四边形的内角和为360°
所以∠DAB + ∠CBA +∠DCB +∠ADC= 360°
所以∠1+∠2+∠3+∠4= 360°
探索:分别求出下列多边形的外角和的度数.
1
3
2 360° 多边形的
边数
1
2
即∠1+∠2+∠3的和
3、三类角比形三的角内形角和，与说外说角什和么度是数分别
3
是 多多少边？形18的0 °外,36角0 °与外角和呢？
A
4、多边形的内角和公式 （n-2). 180°
1
内角 外角
3
B
CD
2
多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反
向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
外4角
1
解：设多边形的边数为n，根据题意，得 (n－2)·180=5×360 °
解得：n=12 答:这个多边形是十二边形.
你来试一试
1.一个多边形的外角都是45°，则这个
多边形是
学习目标
1、探索并掌握多边形的外 角和定理
2、应用外角和定理解决实际问 题
知识回顾 A
1、什么是三角形的外角？
三角形的内角的一边与另一边的反向
内角 外角
延长线所组成的角是三角形的外角。
B
CD
2、什么是三角形的外角和？
1
从与三角形的每个内角相邻的两个外角中分
别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。
2 B
∠1+∠2+∠3+∠4+ ∠DAB + ∠CBA +∠DCB +∠ADC= 180°x4 又因为四边形的内角和为360°
所以∠DAB + ∠CBA +∠DCB +∠ADC= 360°
所以∠1+∠2+∠3+∠4= 360°
探索:分别求出下列多边形的外角和的度数.
1
3
2 360° 多边形的
边数
1
2
即∠1+∠2+∠3的和
3、三类角比形三的角内形角和，与说外说角什和么度是数分别
3
是 多多少边？形18的0 °外,36角0 °与外角和呢？
A
4、多边形的内角和公式 （n-2). 180°
1
内角 外角
3
B
CD
2
多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反
向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
外4角
1
解：设多边形的边数为n，根据题意，得 (n－2)·180=5×360 °
解得：n=12 答:这个多边形是十二边形.
你来试一试
1.一个多边形的外角都是45°，则这个
多边形是
2022-2023学年华东师大版数学七年级下册 用正多边形铺设地面 课件PPT
A.正方形
B.等边三角形
C.正十一边形
D.正六边形
3．用正六边形的瓷砖铺满地面时，（ Ａ）个
正六边形围绕一点拼在一起。
A.3
B.4
C.5
D.6
用两种正多边形进行
平面镶嵌
1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌，（ 先用纸片进行实验） 2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌， 先用纸片进行拼图再理论探讨有几种情况。
练习
正三角形、正方形、正六边形
正三角形、正四边形和正六边形的每个内角 分别为 60°、90°、120°
围绕每一点的所有角和为60°+2×90°+120°=360°
人要独立生活，学习有用的技艺。 —— 凯德
正三角形和正方边形的每个内角分别为 60°、90° 围绕每一点的所有角和为3×60°+2×90°=360°
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正三角形和正六边形的每个内角分别为 60°、120° （1）围绕每一点的所有角和为2×60°+2×120°=360° （2）围绕每一点的所有角和为4×60°+1×120°=360°
108°×3=324°
正六边形瓷砖
120°×3=360°
小结：用一种正多边形铺设地面 三个条件
如果，正多边形一个内角度数×正 多边形个数= 360º 时，可铺地板。
换句话说，必须满足以下条件：
360°
为正整数
一个内角的度数
我们发现： (1)能用来拼地板的正多边形有：
_________________________________
些既不留空隙，又不相互重叠呢?
动手试一试
1、请用你手中的正三角形拼一拼，能不能拼成不留 空隙，又不重叠的平面图形。
七年级数学下册 第9章 多边形 9.2 多边形的内角和与外角和 第2课时 多边形的外角和课件 华东师
【解析】 如答图，延长 CD、DE， 则∠1＝∠7，∠2＝∠6， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝∠7＋∠6＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.
4．一个多边形的内角和与外角和之比是 7∶2，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为 n，则（n－326）0°·180°＝27，解得 n＝9， 故这个多边形的边数为 9.
类型之三 “星形角”和的计算
[2017·青岛模拟]阅读理解：图 1 是二环三角形，可得 S＝∠A1＋∠A2
＋…＋∠A6＝360°.
理由：连结 A1A4.
图1
∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，∠A1OA4＝
∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6.∵∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝
5．一个多边形的内角和与外角和之和 2 160°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为 n， 则(n－2)×180°＋360°＝2 160°，解得 n＝12. 故这个多边形的边数为 12.
6．如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB＝60°. (1)求证：AB∥DE； (2)连结 BD，如果 BD 平分∠CDA，求证：BD⊥AB. 证明：(1)六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°. ∵六边形 ABCDEF 的内角都相等，∴每个内角的度数为 720°÷6＝120°. 又∵∠DAB＝60°，四边形 ABCD 的内角和为 360°， ∴∠CDA＝360°－∠DAB－∠ABC－∠C＝360°－60°－120°－120°＝60°， ∴∠EDA＝120°－∠CDA＝120°－60°＝60°，∴∠EDA＝∠DAB＝60°， ∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)． (2)∵DB 平分∠CDA，∴∠ADB＝∠BDC＝30°.又∵∠DAB＝60°， ∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB＝180°－30°－60°＝90°，∴BD⊥AB.
4．一个多边形的内角和与外角和之比是 7∶2，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为 n，则（n－326）0°·180°＝27，解得 n＝9， 故这个多边形的边数为 9.
类型之三 “星形角”和的计算
[2017·青岛模拟]阅读理解：图 1 是二环三角形，可得 S＝∠A1＋∠A2
＋…＋∠A6＝360°.
理由：连结 A1A4.
图1
∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，∠A1OA4＝
∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6.∵∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝
5．一个多边形的内角和与外角和之和 2 160°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为 n， 则(n－2)×180°＋360°＝2 160°，解得 n＝12. 故这个多边形的边数为 12.
6．如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB＝60°. (1)求证：AB∥DE； (2)连结 BD，如果 BD 平分∠CDA，求证：BD⊥AB. 证明：(1)六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°. ∵六边形 ABCDEF 的内角都相等，∴每个内角的度数为 720°÷6＝120°. 又∵∠DAB＝60°，四边形 ABCD 的内角和为 360°， ∴∠CDA＝360°－∠DAB－∠ABC－∠C＝360°－60°－120°－120°＝60°， ∴∠EDA＝120°－∠CDA＝120°－60°＝60°，∴∠EDA＝∠DAB＝60°， ∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)． (2)∵DB 平分∠CDA，∴∠ADB＝∠BDC＝30°.又∵∠DAB＝60°， ∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB＝180°－30°－60°＝90°，∴BD⊥AB.
七年级数学下册第9章多边形9.3用正多边形铺设地面课件新版华东师大版20222221532
角度数为：360°-216°=144°，相邻的外角为：180°-144°=36°，
∴360°÷36°=10，应该是正十边形.
答案：十
第十五页，编辑于星期六：六点 五分。
5.如图是用形状大小完全相同的16个等腰梯形和4个正方形拼成
的图案，则这个梯形中的下底上的角是
°.
第十六页，编辑于星期六：六点 五分。
2.用三种正多边形能铺满地面的有：正三角形、____正_方__形和
正六边形等.
第五页，编辑于星期六：六点 五分。
(打“√”或“×”)
(1)单独用正十边形能铺满地面. ( ) ×
(2)单独用正八边形能铺满地面. ( ) ×
(3)用任何一种相同的四边形都能铺满地面. ( )
√
(4)内角度数能被360°整除的正多边形能铺满地面. ( ) √
【解析】如图所示，在点A的周围有8个等腰梯形下底的角组成，故
每一个这样的角为360°÷8=45°.
答案：45
第十七页，编辑于星期六：六点 五分。
6.如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的.
(1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面？
(2)像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？ (3)你能不能另外想出一种用多边形(不一定是正多边形)的材料铺
内角为120°.
2.选项中各组组合需要满足什么条件，才能铺成一个平面图案 ？ 提示：假设选项中四种情况都能铺满地面，需正三角形x块，正方形y 块，正六边形z块.块数乘以内角度数之和为360°即可.
第八页，编辑于星期六：六点 五分。
3.A组合：因为90°y+120°z=360°，找不到y，z同时为整数； B组合，由于90°y+60°x=360°，求得x=__，3y=__；2 C组合，由于120°z+60°x=360°，求得x=__，z2=__或x2=__，4 z=_1_； D组合，由于60°x+90°y+120°z=360°，求得x=__，1y=__，2 z=_1_，所以D也能铺满. 4.综上所述，本题选_A_.