高中数学 2.3.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修1-1
抛物线教学课件
1
抛物线教学课件
抛物线教学课件
抛物线教学课件
【教学内容解析】
《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之后的又一重要内容，根据抛物线定义推出的标准方程，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质和几何性质的应用提供了必要的工具和基础．因此，它是圆锥曲线这章的重要的组成部分．
《抛物线及其标准方程》的重点是抛物线的定义和抛物线标准方程．难点是抛物线标准方程的推导．
抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系．因此，抛物线标准方程的推导是培养学生数形结合思想的好素材．
【教学目标设置】
1．知识与技能
通过“几何特征”的分析，让学生由观察与思考后理解抛物线的定义；
通过类比椭圆和双曲线的标准方程的推导过程，让学生探究出抛2
物线的标准方程；
在研究方程与抛物线定义的过程中，让学生能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，根据所给的抛物线方程写出焦点坐标、准线方程．
2．过程与方法
掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，培养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、计算能力．
3．情感态度与价值观
通过本节课的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想．
【学生学情分析】
1．学生已有认知基础
学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．
2．达成目标所需要的认知基础
学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．
3．难点及突破策略
高中数学第二章2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．3.1
抛物线及其标准方程
预习课本P56～59，思考并完成以下问题
1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？
2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？
[新知初探]
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px
(p>0) p2，0 x＝－p2
y2＝－2px
(p>0) －p2，0 x＝p2
x2＝2py(p>0) 0，p2 y＝－p2
x2＝－2py
(p>0) 0，－p2 y＝p2
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( )
(2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)( )
答案：(1)× (2)×
2．抛物线x＝－2y2的准线方程是( )
A．y＝12 B．y＝18
C．x＝14 D．x＝18
答案：D
3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为( )
A．(8,8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
答案：C
4．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
答案：y2＝8x
抛物线的标准方程
[典例] 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
(部编版)2020学年高中数学第二章2.3.1抛物线及其标准方程学案含解析新人教A版选修77
※ 精 品 试 卷 ※
※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 2．3.1 抛物线及其标准方程
抛物线的定义
[提出问题]
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？
提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．
问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？
提示：|DA|＝|DC|.
问题3：画出的曲线是什么形状？
提示：抛物线．
[导入新知]
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
[化解疑难]
对抛物线定义的认识
(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
抛物线的标准方程
[提出问题]
平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－1，l2：x＝2.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？
提示：抛物线；y2＝4x.
问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝－8x.
[导入新知]
抛物线标准方程的几种形式 ※ 精 品 试 卷 ※
※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p＞0) p2，0
x＝－p2
y2＝－2px(p＞0) －p2，0 x＝p2
x2＝2py(p＞0) 0，p2 y＝－p2
3.3.1抛物线及其标准方程教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1
抛物线的简单几何性质 抛物线的实际应用 抛物线的标准方程 抛物线的几何特征与概念
范围、对称性、顶点、
离心率 3.3.1抛物线及其标准方程
教学设计
抛物线的研究是类比椭圆、双曲线的研究方法进行的.先抽象抛物线的几何特征，然后通过坐标法建立它的标准方程，再利用方程研究它的几何性质，并利用这些性质解决简单的实际问题.整体研究框架如下：
通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.
二、学情分析
抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识.
三、教学目标
1.能通过实验探究 ，理解抛物线的定义；
2.类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并解决简单的问题；
3.体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
四、教学重难点
1.理解抛物线定义
2.推导抛物线的标准方程
五、教学过程 2
1导入新课
世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜
“中国天眼”--500m口径抛物面射电望远镜的轴截
面是一个开口向上的抛物线的一部分。
2抛物线定义的形成
2.1尺规作图，观察抛物线的形成过程
如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，
一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的
一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等
于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一
点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把
高中数学抛物线的几何性质(教案)新课标人教A版选修1
抛物线的几何性质
教学目标：
1．掌握抛物线的几何性质;能根据几何性质确定抛物线的标准方程;
2．能利用工具作出抛物线的图形．提高综合解题能力
教学重点及难点：
1．抛物线的几何性质，抛物线定义，性质应用
2．几何性质的应用，解题思路分析
教学过程：
第一课时 抛物线的几何性质
Ⅰ.复习回顾
简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答)
练习：①已知抛物线y2＝2px的焦点为F，准线为l，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作AP⊥l，BQ⊥l，M为PQ的中点，求证：MF⊥AB
略证：过F作FN⊥AB交准线l于N，连结AN、BN， l y
P A
M
O F x
Q B
图8--24 则Rt△APM≌Rt△AMF,∴|PN|=|FN|,同理，|QN|=|FN|，
从而|QN|=|PN|，于是有，M与N重合，故MF⊥AB
说明：F点在以PQ为直径的圆上，故∠PFQ为直角。
②在抛物线y2＝2x上方有一点M（3，310），P在抛物线上运动，|PM|=d1,P到准线的距离为d2，求当d1 +d2最小时，P的坐标。
注：连MF，与抛物线交点即为所求。（2，2）
这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22ppxy ①来研究它的几何性质
Ⅱ.讲授新课
1. 范围
当x的值增大时,y也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).
2.对称性
抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.
说明:①对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程.
人教版高中数学必修第二册抛物线及其标准方程1
抛物线及其标准方程
教学目标：
1. 理解抛物线的定义明确焦点、准线的概念
2. 掌握抛物线的方程及标准方程的推导
教学重点：
抛物线的定义和标准方程
教学过程
一、 复习：1、椭圆、双曲线的定义及相关概念；
2、椭圆、双曲线标准方程的推导过程；
二、 引入新课
1．抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程.
2．抛物线的标准方程：
①推导过程：
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.
设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为（)0,2p，准线l的方程为.2px
设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{dMFMP
.|2|)2(|,2|,)2(||2222pxypxpxdypxMF
将上式两边平方并化简，得y2=2px ①
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是).0,2(p它的准线方程是.2px
②抛物线标准方程的四种形式： 师：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=－2px,x2=2py,x2=－2py.这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下：
图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程
pxy22(p＞0) )0,2(p 2px
pxy22(p＞0) )0,2(p 2px
pyx22(p＞0) )2,0(p 2py
pyx22(p＞0) )2,0(p 2py
师：下面，我们通过例题来熟悉一下抛物线标准方程、焦点坐标与准线方程的相互关系.
同课异构探讨数学教学的方法与策略
龙源期刊网
同课异构探讨数学教学的方法与策略
作者：姜平
来源：《中国校外教育·综合（上旬）》2013年第10期
摘要：概念教学在数学教学中有重要地位。根据来源可将数学概念分为两类，相应地有两类概念教学方法。数学概念有多重特征，揭示这些特征是概念教学的重要任务。概念教学有多种策略，策略的使用能提高教学的有效性。
关键词：同课异构概念教学高中数学
在讲授《2.3.1抛物线及其标准方程》时倾听了两位教师的课，感触很多，有很多问题值得我们反思。
本节课是新人教A版高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程的第三单元2.3抛物线，2.3.1抛物线及其标准方程的第一课时，这一节内容主要是抛物线的定义和抛物线标准方程及其运用，它是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，是学习抛物线的性质及其应用的基础，有着承上启下的作用。
两节课所制定的教学目标，教学重难点也是相同的，由于是集体备课教学内容也大致相同，但呈现出的效果却不同，各有千秋。
一、引出“抛物线定义”的部分课堂实录
示范课1：
教师：请大家和老师一起看一组图片
大屏幕上给出桥梁、彩虹、拱形过街横梁、喷水池、二次函数、投篮、探照灯共7张图片。
教师：请大家观察这些图形中都包含了同一种曲线，是什么呢？
学生：抛物线。
教师：那你觉得什么样的曲线是抛物线呢？
学生参差不齐的回答，教师没有提问。
教师：请大家把课本打开到57页，我们一起读一下。 龙源期刊网
学生齐读定义，教师在黑板上板书抛物线定义。
教师：同学们请看大屏幕。
教师在大屏幕上通过几何画板演示了抛物线的形成过程。
教师：从课件演示我们真切的体会到抛物线产生的过程，那么同学们注意到此时定点F是在直线外的，那么如果定点F在直线上又会得到什么结论呢？
抛物线的简单几何性质(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第三章《圆锥曲线的方程》的第三节《抛物线》。以下是本节的课时安排：
第三章 圆锥曲线的方程
课时内容 3.3.1抛物线及其标准方程 3.3.2抛物线的简单几何性质
所在位置 教材第130页 教材第134页
新教材
内容
分析 教材在用直尺画抛物线的过程中，体会抛物线的定义，感知抛物线的形状，为选择适当的坐标系，建立抛物线的标准方程、研究抛物线的几何性质做好铺垫。 通过对抛物线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的p的几何意义，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养 通过抛物线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对抛物线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过抛物线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与抛物线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 抛物线的标准方程、几何性质
学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
重点：抛物线的标准方程及其推导过程
难点：求抛物线标准方程
（一）新知导入
已知抛物线y2＝8x，其轨迹如图所示．
(1)观察抛物线y2＝8x轨迹可知其上的点的坐标的范围是怎样的？ (2)观察抛物线y2＝8x的轨迹有什么对称性？
【提示】(1)抛物线上的点的横坐标x≥0，纵坐标y∈R.
(2)关于x轴对称．
（二）抛物线的几何性质
知识点一 抛物线的几何性质
◆抛物线的几何性质
标准
人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用
第 1 页 共 33 页 选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》
§2.1.1 椭圆及其标准方程
【知识要点】
椭圆的定义：到两个定点 F1、F2的距离之和等于定长（12FF）的点的轨迹．
标准方程：（1）222210xyabab，22cab，焦点是 F1（－c，0），F2（c，0）；
（2）222210yxabab，22cab，焦点是 F1（0，－c），F2（0，c）．
【例题精讲】
【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．
【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22，求椭圆的标准方程．
点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程． 第 2 页 共 33 页 【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a，b，c的值．
【例4】已知ΔABC的一边BC的长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．
【基础达标】
1．椭圆221259xy上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．4 D．10
2．椭圆2211312xy上任一点 P到两个焦点的距离的和为（ ）
A．26 B．24 C．2 D．213
高一数学人教版选修2-1《抛物线及其标准方程》教案
一、教课目的
(一) 知识教育点
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
(二) 能力训练点
要修业生进一步娴熟掌握分析几何的基本思想方法，提升剖析、对照、归纳、转变等方面的能力．
(三) 学科浸透点
经过一个简单实验引入抛物线的定义，能够对学生进行理论根源于实践的辩证唯心主义思想教育．
二、教材剖析
1．要点：抛物线的定义和标准方程．
(解决方法：经过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义对比较引入抛物线的定义；经过一些例题加深对标准方程的认识． )
2．难点：抛物线的标准方程的推导．
(解决方法：由三种成立坐标系的方法中选出一种最正确方法，防止了硬性规定坐标系． )
3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点 F 不在定直线 l 上”的限制．
(解决方法：向学生加以说明． )
三、活动设计
发问、回首、实验、解说、演板、归纳表格．
四、教课过程
(一) 导出课题
我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今日我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．
请大家思虑两个问题：
问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中， 抛物线被以为是抛射物体的运转轨道； 在数学中， 抛物线是二次函数的图象？
问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特色？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于 y 轴、张口向上或张口向下两种
情况．
指引学生进一步思虑：假如抛物线的对称轴不平行于 y 轴，那么就不可以作为二次函
数的图象来研究了．今日，我们打破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．
(二) 抛物线的定义
1．回首
平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当 0 ＜e＜1 时是椭圆，当 e＞1 时是双曲线，那么当 e=1 时，它又是什么曲线？
2．简单实验
如图 2-29 ，把一根直尺固定在绘图板内直线 l 的地点上，一块三角板的一条