上海市建平中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试卷 含答案
2020学年上海市建平中学第一学期高一年级数学十二月月考卷一、填空题1．设()102,0x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则()()2f f -=___________．2．不等式233log log 2x x ->（）的解集为___________．3．幂函数ky x =的图像，当01x ∈（，）时在直线y x =的上方，当1x ∈+∞（，）时在直线y x =下方，则实数k 的取值范围是___________．4．函数10y x =-≤（）的反函数是___________．5．函数22413[]x x f x x x -+=∈（）（，）的值域为___________．6方程73292xx ⋅=-的解是___________．7．设f x （）为定义在R 上的奇函数当0x ≥时，22xf x x b =++（）（b 为常数）则1f -=（）___________．8．设a 为常数，函数243f x x x =-+（），若f x a +（）在[0+∞，）上是增函数，则a 的取值范围是___________．9．已知y f x =（）是定义在[],a b 上的连续函数，下列命题正确的是___________．①若函数f x （）在,a b （）上有零点，则0f a f b <（）（）；②若函数f x （）在[],a b 上有零点，则0f a f b ≤（）（）；③若0f a f b ⋅>（）（），则函数f x （）在,a b （）内没有零点；④若0f a f b ⋅<（）（）且函数f x （）在[],a b 上严格增，则其在,a b （）内有且只有一个零点．10．若函数221y mx x =--在[22]-，内恰有一个零点，则实数m 的取值范围为___________．11．已知关于x 方程()lg 22lg xx a =+无解，则a 的取值范围是___________．12．设函数f x （）是定义在0+∞（，）上的单调函数，若对任意的20,2log 4x f f x x ∈+∞-=（，）（（））恒成立，则不等式的6f x <（）解集是___________．二、选择题13．与方程1 1 g f x g g x =（）（）同解的方程是（）A ．f x g x =（）（）B ．()()1010f x g x =C=D ．()()1122f xg x --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦14．已知y f x =（）的定义域为R ，则“对于任意1x R f x f x ∈+>，（）（）恒成立”是“f x （）为增函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件15．若f x （）是R 上的奇函数，且f x （）在[0+∞，）上严格递增，则下列结论：①y f x =（）是偶函数；②对任意的x R ∈都有0f x f x -+=（）（）；③y f x =-（）在0]-∞（，上严格递增；④y f x f x =-（）（）在0]-∞（，上严格递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．416．我们把形如0,0by a b x a=>>-（）的函数称为“囧函数”，因其函数图像类似于汉字“囧”字，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“固点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当1,1a b ==时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π三、解答题17．判断及证明函数21log 1x y x +⎛⎫=⎪-⎝⎭．在定义域上的单调性．18．已知()11312x f x =+-（1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）已知函数()g x 和()f x 的图像关于y 轴对称，求函数()g x 的解析式，并直接写出()g x 的单调区间．19．学生群体的人均通勤时间，是指单日内学生从居住地到学校的平均用时，某地学生群体S 中的成员仅以私家车或公共交通通勤，分析显示：当S 中%0100x x <<（）的学生乘坐私家车上学时私家车群体的人均通勤时间为()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟）；而公共交通群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．根据上述分析结果：（1）当x 在什么范围内时，公共交通群体的人均通勤时间少于私家车群体的人均通勤时间？（2）求该地学生群体S 的人均通勤时间g x （）的表达式，并求得x 取值多少时g x （）最小，以及最小值为多少？20．设a 为实数，函数22f x x x a x a =+--（）（）．（1）若关于x 的不等式1f x ≥（）在区间a +∞（，）上恒成立，求a 的取值范围；（2）求f x （）的最小值．21．已知函数2210g x ax ax b a =-++>（），在区间[2]3，上的最大值为4，最小值为1，记f xg x x R =∈（）（）,．（本题18分）（1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式222log 2log 3f x g x k k +≥--（）（）对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围；（3）对于定义在[],p q 上的函数m x （），设0,n x p x q ==，用任意的1121x i n =⋯-（，，）将[],p q 划分成n 个小区间，其中11t t t x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得01121n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋯+-≤（）（）（）（）（）（）恒成立，则称函数m x （）为在[],p q 上的有界变差函数．（i ）试证明函数f x （）是在[1]3，上的有界变差函数，并求出M 的最小值；（i i ）写出f x （）是在[],p q 上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例（不要求证明）．2020学年上海市建平中学第一学期高一年级数学十二月月考卷一、填空题1．【答案】122．【答案】(1)(2,+)-∞-⋃∞3．【答案】(,1)-∞4．【答案】)1y x =≥-5．【答案】[]2,36．【答案】32log 27．【答案】3-8．【答案】[)2,+∞9．【答案】④10．【答案】13,88⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．【答案】12a >12．【答案】“整体换元思想”设22log f x x t-=（）∴22log f x t x =+（）∵22log [4]f f x x -=（）∴4f t =（）当x t =时，22log 4f t t t =+=（）∴2t =∴222log f x x =+（）由6f x <（）得222log 6x +<∴2log 2x <∴04x <<∴6f x <（）的解集为0,4（），综上所述为，答案0,4（）二、选择题13．D14．D15．B16．B三、解答题17．证：∴101x x+>-∴()1,1x ∈-任取()()()()()()1212122211111,log 11x x x x f x f x x x +--<<<-=+-∵1221011,011x x x x <+<+<-<-∴()()()()211201111x x x x <-+<++．∴()()()()1221110111x x x x +-<<+-．∴()()()()()()121222111log 011x x f x f x x x +--=<+-．∴1f x f x f x <⋅2（）（）（）在定义域上是严格增函数．18．证：（1）00D =-∞⋃+∞（，）（，）关于原点对称．()()113131,,312132213x x x xx x x D f x -+∀-∈-=+=+=---()()1131312231x x x f x +=+=--.∴f x f x -=-（）（）∴f x （）是奇函数．（2）()()()113131312132213x x x x x g x f x -+=-=+=+=---严格增区间为00-∞+∞（，）,（，）．19．（1）当030x <≤时，3040f x =<（），不满足题意；当30100x <<时，180029040,45f x x x x=+->>（）．所以，当45100x <<时，公共交通群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．（2）()()()()230401004000,030,030100100180012904010032.536.875,30100,3010050100x x x x x g x x x x x x x x +-⎧-<≤⎧⎪<≤⎪⎪⎪==⎨⎨⎛⎫+-+- ⎪⎪⎪-+<<⎝⎭⎪⎪<<⎩⎩．所以当()()min 32.5,36.875min x g x ==．20．（1）由1f x ≥（）得221x x a x a +--≥（），即223210x ax a -+-≥区间a +∞（，）上恒成立，当0≤时，得到2a ≤-或者，2a ≥；当0> 时，由()03aa f a ⎧>⎪⎪≤⎨⎪⎪≥⎩得到22a ≤≤综上可得，a的取值范围是,,22a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭（2）当x a ≥时，()()()2222min ,02,032,2,0,033fa a a a f x x ax a f x a a f a a ≥⎧⎧≥⎪⎪=-+==⎨⎨⎛⎫<< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩当x a ≤时，()()()()222min 2,02,02,,02,0f a a a a f x x ax a f x f a a a a -≥⎧⎧≥⎪⎪=+-==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩综上()22min2,02,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩．21．（1）222110g x ax ax b a x b a =-++=-+>（）（）（）在[2]3，上单调递增，∴()()211,034g a b g =⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩；（2）依题意，()221f xg x x x ==-+（）∴()22221022222 2 0x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪+=--+=⎨+<⎪⎩（）（）于是当0x ≥时，0f x g x +≥（）（）；当0x <时，2f xg x +>（）（）∴不等式222log 2log 3f x g x k k +≥--（）（）对任意x R ∈恒成立，等价于222log 2log 30k k --≤，解得182k ≤≤；（3）①证明：依题意，221f x g x x x ==-+（）（）在[1]3，上单调递增，且对任意划分01213n x x x x =<<<⋯<=有012(1)3n f f x f x f x f x f =<<<⋯<=（）（）（）（）（）于是01121n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋯+-（）（）（）（）（）（）1021104n n n f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+⋯+-=-=（）（）（）（）（）（）（）（）∴存在4M ≥，使01121n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋯+-≤（）（）（）（）（）（）恒成立，∴函数f x （）是在[1]3，上的有界变差函数，且M 的最小值是4；②f x （）是在[],p q 上的有界变差函数的一个充分条件可以是：f x （）是在[],p q 上是单调函数．。
2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【分析】由增函数的定义知：12,x x I ∈且12x x <时21()()f x f x >，即可判断条件之间的充分、必要性.【详解】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件. 故选：A.2．设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>【答案】C【详解】ln p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．3．若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（ ）A ．a b a b -<-B ．a b a b -<+C ．a b a b +>-D ．a b a b +<- 【答案】D【分析】利用特殊值法判断即可. 【详解】令1,2a b =-=， 则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题. 4．关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； （2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数； （4）()y f x =是偶函数且有最小值． 其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数解析式可推出()y f x =是偶函数，在(,1)-∞-、(0,1)上单调递增，在(1,0)-、(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，即可判断各项的正误.【详解】函数()1xf x x =-是偶函数，当0x >时，()y f x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，可得函数草图如下：（1）当1x >时，1()111x y f x x x ===+--单调递减，当01x <<时，1()111x y f x x x ==-=----单调递增，故错误； （2）当0k >时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像一定有交点，由对称性可知，当0x <且0k <时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像也一定有交点，故正确； （3）当0m =时，方程()f x m =只有1个解0x =，故错误； （4） 由对称性知，()y f x =有最小值(0)0f =，故正确； 故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性以及值域，进而结合各项的描述判断正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.二、填空题5．设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B =___________【答案】{1,3,4}【分析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B x x =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞，{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算. 6．幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.【答案】13【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值. 【详解】幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得122a = 解得1a =-所以幂函数解析式为()1f x x -=则()11333f -==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.7．不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【答案】{}(,2]0(3,)-∞-+∞【分析】由分式不等式的解法，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩求解即可.【详解】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞. 故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞.8．已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[]3,2--【分析】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案.【详解】由|23|1x +<得1231x -<+<，解得21x -<<-由2(22)(2)0x a x a a -+++≤得(2)()0x a x a ---≤，解得2a x a ≤≤+因为“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件所以221a a ≤-⎧⎨+≥-⎩，解得32a --≤≤故答案为：[]3,2--9．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．【答案】2-【分析】由R 上的奇函数，有(0)0f =求参数b ，进而求()1f ，又()1(1)f f -=-即可求值.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，有(0)0f =， ∴根据函数解析式，有0(0)020f b =++=，即1b =-， ∴()321xf x x =+-，则()311212f =+-=，∴()1(1)2f f -=-=-. 故答案为：2-. 10．若a()2log 21a a +的值是________．【答案】1- 【分析】(1,2)=，即可得a =数运算的性质求值即可. 【详解】(1,2)=，知：1a =-=，即2a =，1212a +==∴()2log 211a a +==-=-. 故答案为：1-.11．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________【答案】4【分析】将2212126x x x x +=-15，变形为()21212815x x x x +=-，根据方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，得到212121+1,14x x k x x k =+⋅=+，再代入上式求解.【详解】因为方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ， 所以212121+1,14x x k x x k =+⋅=+， 因为2212126x x x x +=-15， 所以()21212815x x x x +=-，()221181154k k ⎛⎫+=⨯+- ⎪⎝⎭，即()()240k k +-=， 解得4k =或2k =-（舍去） 故答案为：412．若函数()()211f x mx m x =+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m的取值范围是________． 【答案】[]1,0-【分析】讨论0m =、0m ≠，并结合二次函数的性质，列不等式求参数范围，合并不同情况的m 取值即可.【详解】当0m =时，()1f x x =--在[1,)-+∞上是严格单调函数，符合题意；当0m ≠时，()221(1)()24m m f x m x m m-+=+-， ∴112m m -≤-，即102mm+≤，可得10m -≤<， 综上，有10m -≤≤. 故答案为：[]1,0-.13．若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,4【分析】转化条件为无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，按照a =0、0a ≠分类，即可得解.【详解】由题意，无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，当a =0时，10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，[)0,4a ∈. 故答案为：[)0,4.14．已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[0,1)【分析】解绝对值不等式得{|11}A x a x a =-≤≤+，且0a ≥，结合条件可得1A ∈，进而得011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，从而得解.【详解】由{||1|}A x x a =-≤得{|1}{|11}A x a x a x a x a =-≤-≤=-≤≤+，且0a ≥ 若A 只有1个整数元素，又111a a -≤≤+，所以1A ∈，所以011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，解得01a ≤<. 故答案为：[0,1).15．设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________． 【答案】(,1)(5,)-∞+∞【分析】令()|2||3|f x x x =--+并得到其分段函数形式，由题设不等式有解，即2min 6()a a f x ->即可，解一元二次不等式即可求a 的范围.【详解】由235,3()|2||3|2321,32235,2x x x f x x x x x x x x x x -++=≤-⎧⎪=--+=---=---<≤⎨⎪---=->⎩，∴要使不等式2236x x a a --+<-有解，仅需2min 6()5a a f x ->=-即可，∴2650a a -+>，解得1x <或5x >. 故答案为：(,1)(5,)-∞+∞.16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________． 【答案】710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数，∴0032415x x -=+，得01x =， 又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+， ∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.三、解答题17．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【详解】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【解析】不等式选讲.18．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =. (1)由基本不等式及1ab =,有22a b ab +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 19．已知函数()33xxf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =； （2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x =或3log 2（2）当1a =时，函数为奇函数，当1a =-时，函数为偶函数，当1a ≠±时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据()07f =,代入可求得a 的值.即可得()f x 的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()f x -.根据奇偶性定义即可求得a 的值,即可判断奇偶性. 【详解】（1）因为()07f = 代入可得17a -=,解得6a =- 所以()363xxf x -=+⋅则()5f x =可化为3635x x -+⋅= 化简可得()235360x x -⋅+=即()()32330xx--= 解得3log 2x =或1x = （2）()33xxf x a -=-⋅则()33xxf x a --=-⋅当1a =时,()33xxf x -=-,()33xx f x --=-此时()()f x f x =--,函数()f x 为奇函数当1a =-时,()33x x f x -=+,()33x x f x --=+,此时()()f x f x =-,函数()f x 为偶函数当1a ≠±时,()()f x f x =--与()()f x f x =-都不能成立,所以函数()f x 为非奇非偶函数综上可知, 当1a =时,()f x 为奇函数;当1a =-时,()f x 为偶函数;当1a ≠±时, 函数()f x 为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题. 20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【分析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设t kx b =+，∴3010{ 2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-． （1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）， ∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． （2）设售价x （元）时总利润为z （元），∴2000200010200702z x x=---（） ，1002000?25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（ 元， 当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号， ∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 21．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 1=2x 时，max ()=2g x . (3) 1(0,)16【详解】试题分析：（1）根据112f ⎛⎫=⎪⎝⎭确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2220f x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围. 试题解析：(1) 由112=1122a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以()|1|x f x x -=. 当1x >时，()11=1x f x x x-=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1221121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=- ()()1221221211=x x x x x x --- 1212=x x x x -， 因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<， 所以()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）()()2221,141==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩， 当14x ≤≤时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1=4g x ； 当112x ≤<时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭， 因为112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1=2x时，()max =2g x ； 综上，当1=2x 即1=2x 时，()max =2g x . （3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1=10,1f x x -∈. 同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1=10,f x x -∈+∞. 方程()2221120x x x mx ---+=可化为221|1|220x x m x x---+=， 即()()2220f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<， 所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高一上学期12月月考数学试卷含详解
2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高一（上）月考数学试卷（12月份）一、填空题（本大题共12题，满分36分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数的定义域是．2．函数f（x）＝log a x+2（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为．3．函数y＝2x+1，x∈[0，+∞）的反函数为．4．若函数f（x）＝x+，x∈[1，2]，则函数值域为．5．已知函数f（x）＝x3是定义在区间[﹣3，m]上的奇函数，则f（m）＝．6．方程log2x+log2（x+3）＝2的解集为．7．已知函数f（x）＝﹣x2+4x+a，x∈[0，3]，若f（x）有最小值﹣2，则f（x）的最大值为．8．已知函数f（x）＝在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是．9．若对于f（x），任意非零实数x都有，则＝．10．若方程3x＝x2﹣2的实根在区间（m，n）内，且m，n∈Z，n﹣m＝1，则m+n＝．11．若关于x的方程有且仅有一个实数根，则a＝．12．已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤，则实数a的最大值是．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）13．“a＞b”是“lga＞lgb”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要14．下列各组函数中表示同一个函数的是（）A．f（x）＝x﹣1，g（x）＝﹣1B．f（x）＝x2，g（x）＝（）4C．f（x）＝，g（x）＝|x|D．f（x）＝，g（x）＝1﹣15．设函数f（x）＝，则f[f（3）]＝（）A．B．3C．D．16．对于函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3和实数m、n，下列结论正确的是（）A．若f（m）＜f（n），则m2＜n2B．若f（m）＜f（n），则m3＜n3C．若m＜n，则f（m）＜f（n）D．若0＜m＜n，则三、解答题（本大题共有5题，满分0分）17．已知函数f（x）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求不等式f（x）＞1的解集．18．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间并予以证明；（2）求函数f（x）的最值．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体中的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式，讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．已知，g（x）＝（a﹣3）x+2a﹣4．（1）当a＝7时，若x＞0，求解不等式g（x）﹣f（x）＞11；（2）已知函数y＝f（x）与y＝log2[g（x）]的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．21．若函数y＝f（x）满足：对其定义域D内的任意一个x0，都有f（x0）∈D，则称函数y＝f（x）是封闭的．（1）试判断函数y＝2x﹣1，x∈（0，1）和y＝2x﹣1，x∈（0，1）是否封闭，并说明理由；（2）若函数f（x）＝x2﹣2ax+1在定义域[0，2]上是封闭的，求a的取值范围；（3）已知函数y＝f（x）在其定义域D上封闭，且在D上严格增，若x0∈D，且f[f（x0）]＝x0，求证：f（x0）＝x0．2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高一（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试卷解析一、填空题（本大题共12题，满分36分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．【解答】解：依题意，得2﹣x＞0，解得x＜2，故答案为：（﹣∞，2）2．【解答】解：函数f（x）＝log a x+2（a＞0且a≠1），令x＝1，得f（1）＝2，可得它的图象恒过定点（1，2）故答案为：（1，2）．3．【解答】解：由函数y＝2x+1，x∈[0，+∞），可得x＝log2y﹣1，且y≥2，故函数的反函数为y＝log2x﹣1（x≥2），故答案为：y＝log2x﹣1（x≥2）．4．【解答】解：函数f（x）＝x+，x∈[1，2]，因为函数f（x）在[1，]上单调递减，在[]上单调递增，所以当x＝时，f（x）取得最小值为，又f（1）＝4，f（2）＝，所以f（x）的最大值为4，则f（x）的值域为．故答案为：．5．【解答】解：由已知必有﹣3+m＝0∴m＝3，∴f（m）＝f（3）＝27故答案为：27．6．【解答】解：根据题意，log2x+log2（x+3）＝2，必有，解可得x＞0，原方程变形可得log2[x（x+3）]＝2，即有x（x+3）＝4，解可得：x＝1或﹣4，又由x＞0，则x＝1；故方程log2x+log2（x+3）＝2的解集为{1}．故答案为：{1}．7．【解答】解：函数f（x）＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+a+4，∵x∈[0，3]，∴函数f（x）＝﹣x2+4x+a在[0，2]上单调增，[2，3]上单调递减，∴当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝a＝﹣2，当x＝2时，f（x）有最大值f（2）＝4+a＝2故答案为：28．【解答】解：∵函数f（x）＝＝a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）＝在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，故答案为：{a|a＞}．9．【解答】解：根据题意，，令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝5，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2，②联立①②可得：f（）＝3，故答案为：3．10．【解答】解：分别画出式子左右两边的函数图象，观察图象知：交点在区间（﹣2，﹣1）内，即m＝﹣2，n＝﹣1，∴m+n＝﹣3．故答案为：﹣3．11．【解答】解：根据题意，设f（x）＝+ln（x2+1）+a﹣1，其定义域为R，f（﹣x）＝+ln（x2+1）+a﹣1＝f（x），即函数f（x）为偶函数，若关于x的方程有且仅有一个实数根，即函数f（x）与x轴有且只有一个交点，必有f（0）＝a﹣1＝0，解可得a＝1，故a＝1；故答案为：1．12．【解答】解：存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤，即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|≤，化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|≤，可得﹣≤2a（3t2+6t+4）﹣2≤，即≤a（3t2+6t+4）≤，由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，可得0＜a≤，可得a的最大值为．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）13．【解答】解：lga＞lgb⇔a＞b＞0，∴“a＞b”是“lga＞lgb”的必要不充分条件．故选：B．14．【解答】解：A．f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数；B．f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；D.的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝的定义域为{x|x≠0}，定义域和解析式都相同，表示同一个函数．故选：D．15．【解答】解：函数f（x）＝，则f（3）＝，∴f[f（3）]＝f（）＝+1＝，故选：D．16．【解答】解：∵函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3，∴函数f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）•（﹣x）3＝（2x﹣2﹣x）•x3＝f（x），即函数f（x）为偶函数当x∈[0，+∞）时，∵y＝（2x﹣2﹣x）≥0，且为增函数，y＝x³≥0，且为增函数；∴函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3在[0，+∞）上为增函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，可得函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3在（﹣∞，0]上为减函数，对A：若f（m）＜f（n），则|m|＜|n|，则m2＜n2，故A正确；对B：若f（m）＜f（n），则|m|＜|n|，取m＝1，n＝﹣3，则m3＞n3，故B错误；对C：若m＜n，取m＝﹣3，n＝1，则f（m）＞f（n），故C错误；对D：若0＜m＜n，则，则f（）＞f（），故D错误；故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分0分）17．【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义．则，解得﹣2＜x＜2．故所求函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．（2）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为（﹣2，2），设∀x∈（﹣2，2），则﹣x∈（﹣2，2）．且f（﹣x）＝lg（﹣x+2）﹣lg（2+x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数．（3）因为f（x）在定义域（﹣2，2）内是增函数，因为f（x）＞1，所以，解得x＞．所以不等式f（x）＞1的解集是（，2）．18．【解答】（1）证明：函数的定义为R，∀x1，x2∈R，且x1＜x2，因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，当﹣1⩽x1＜x2⩽1时，1﹣x1⋅x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x1）＜f（x2）所以函数在[﹣1，1]上为增函数当x1＜x2⩽﹣1时，1﹣x1⋅x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x1）＞f（x2），所以函数在（﹣∞，﹣1]上为减函数同理可得函数在[1，+∞）上为减函数．综上所述，函数的增区间为[﹣1，1]，减区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）．（2）解：由题意得，f（0）＝0．当x＞0时，，当且仅当，即x＝1时取得等号，所以0＜f（x）≤1．当x＜0时，，当且仅当，即x＝﹣1时取得等号，所以﹣1≤f（x）＜0．所以函数的最大值为1，最小值为﹣1．19．【解答】解：（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）＝＞40，即x2﹣70x+1000＞0，解得x＜20或x＞50，故x∈（50，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．（2）当0＜x≤30时，g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣，当30＜x＜100时，g（x）＝（2x+）•x%+40（1﹣x%）＝，故g（x）＝，当0＜x＜35时，g（x）单调递减，当35＜x＜100时，g（x）单调递增，说明该上班族S中有小于35%的人自驾时，人均通勤时间是递减的，有大于35%的人自驾时，人均通勤时间是递增的，当自驾人数为35%时，人均通勤时间最少．20．【解答】解：（1）当a＝7，x＞0，时，g（x）﹣f（x）＞11⇔4x+10﹣＞11⇔4x﹣1＞⇔24x ﹣1，在平面直线坐标系中，分别作函数y＝24x﹣1和函数y＝在x＞0部分图象，由图象知原不等式的解集为（1，+∞）．（2）函数y＝f（x）与y＝log2[g（x）]的图像有且只有一个公共点，⇔方程＝log2（（a﹣3）x+2a﹣4）只有一个根，⇔只有一个根，⇔只有一个根，⇔只有一个根，当a＝3时，原方程只有一个根x＝﹣1；当a≠3时，当x＝﹣1是原方程根时，要求a＞1，当x＝是原方程根时，要求a，当时，a＝2；所以只使原方程只有一个根，只要1或a＝2或a＝3．故实数a的取值范围是（1，]∪{2，3}．21．【解答】解：（1）y＝2x﹣1不封闭，y＝2x﹣1封闭，理由如下：y＝2x﹣1，x∈（0，1），值域为（﹣1，1），因此存在f（x0）∉（0，1），故y＝2x﹣1在x∈（0，1）上不封闭；y＝2x﹣1，x∈（0，1）值域为y∈（0，1），因此y＝2x﹣1在x∈（0，1）上封闭；（2）因为函数f（x）＝x2﹣2ax+1在定义域[0，2]上是封闭的，可得f（x）＝x2﹣2ax+1的值域包含于[0，2]，又因为f（0）＝1，所以，解得：a∈[]，所以a的取值范围为[]；（3）证明：函数y＝f（x）在其定义域D上封闭，且在D上严格增x0∈D，且f[f（x0）]＝x0，所以f（x0）∈D，由单调函数的性质知，存在唯一的x0∈D使得f[f（x0）]＝x0，所以f（x0）＝x0．。
上海市建平中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
ïî2a < 5,
当 b = Æ 时， 3a - 2 > 2a Þ a > 2.
则 a 的取值范围是(0, +¥).
答案第31 页，共22 页
故答案为：(0, +¥).
9．
-
a2 a3
【分析】根据方程实数根的性质，结合整式的乘法运算法则进行求解即可.
【详解】因为关于的三次方程 a3x3 + a2 x2 + a1x + a0 = 0 的 3 个实根为 x1, x2 , x3 ，
第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假
命题的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
15．已知函数
f
(x)
=
ì í î
x2 x,
, x为无理数 x为有理数
，有下列两个结论：
① f ( x) 的值域为 R ；
②对任意的正有理数 a， g ( x) = f ( x) - a 存在奇数个零点
则 -1 < 1- a < 2 ，所以 -1 < a < 2 .
故答案为：(-1, 2).
8． (0, +¥ )
【分析】由充分不必要条件的定义,知 b 是a 的真子集,分情况讨论 b 即可.
b ¹ Æ ì3a - 2 £ 2a,
【详解】由题意知当
时, ïí3a - 2 > -2, Þ 0 < a £ 2;
所以 a3x3 + a2 x2 + a1x + a0 = a3 ( x - x1 ) ( x - x2 )( x - x3 ) ，
( ) ( ) 而 a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = a3x3 - a3 x1 + x2 + x3 x2 + a3 x1x2 + x2x3 + x3x1 x - a3x1x2x3 ，
2020届上海市建平中学高三上学期12月月考数学试题解析版
2020届上海市建平中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．“1arcsin 3α=”是“1sin 3α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】 因为1arcsin3α=⇒1sin 3α=，但是 1sin 3α=⇒ 1arcsin 23k απ=+或1arcsin 23k αππ=-+，k Z ∈．所以“1arcsin 3α=”是“1sin 3α=”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，涉及三角方程的解法应用，属于基础题．2．已知数列{}n a 满足：()()200911201812.20193n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．则下列结论正确的是（ ）A ．lim n n a →+∞和lim n n S →+∞都存在B ．lim n n a →+∞和lim n n S →+∞都不存在C ．lim n n a →+∞存在，lim n n S →+∞不存在 D ．lim n n a →+∞不存在，lim n n S →+∞存在 【答案】A【解析】根据数列的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解. 【详解】数列{}n a ，对任意的正整数n ，()()20091,1201812.20193n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩， 设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，12320181a a a a ∴=====，102019123a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，112020123a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，，200912,20193n n a n -⎛⎫=-⨯≥ ⎪⎝⎭102018202791121331120182018213313n n n S --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=+=+⨯- ⎪⎝⎭-， 202799111lim lim 201822018333n n n n S -→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫∴=+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 20091lim lim 203n n n n a -→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以lim n n a →+∞和lim n n S →+∞都存在. 故选：A 【点睛】本题考查了数列的分组求和、等比数列的前n 项和公式、数列极限，考查了基本计算能力，属于中档题.3．对于实数0.2019a =，定义函数()f n k =定义域为Z +，其中k 为a 的小数点后第n 位的数字，规定()02f =，则()()()f f f n 的值域为（ ）A ．{}2,0,1,9B ．{}2,0,1C ．{}0,1D ．{}2,0【答案】D【解析】可知()f n 是以4为周期的函数，根据定义依次求出()f n ，(())f f n ，()()()f f f n 的取值范围即可.【详解】可知()f n 是以4为周期的函数，()f n k =，且{}2,0,1,9k ∈，{}()2,0,1,9f n ∴∈， (2)0,(0)2,(1)2,(9)(1)2f f f f f =====， {}(())0,2f f n ∴∈，()()(){}0,2f f f n ∴∈，即()()()f f f n 的值域为{}0,2.故选：D.【点睛】本题考查函数周期性的应用，属于基础题. 4．已知数列{}n a 满足112a =-，2131n n n a a a +=++，若12n nb a =+，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】根据2131n n n a a a +=++，得到10n n a a +->，判断出n a 为递增数列，由()()1112n n n a a a ++=++，从而得到11111n n n b a a +=-++，然后利用裂项相消法得到2019S ，从而得到2019S k-，判断出201911a +的范围，得到要使2019S k -最小的整数k的值. 【详解】因为2131n n n a a a +=++，所以()2212110n n n n n a a a a a +-=++=+≥，所以n a 为递增数列，而()()2113212n n n n n a a a a a ++=++=++，所以()()1111111212n n n n n a a a a a +==-+++++ 所以1111211n n n n b a a a +==-+++， 因为数列{}n b 的前项和为n S ，112a =- 所以2019122320192020111111111111S a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-++++++ 2020121a =-+而()()21131124a a a +=++=， ()()3227711216a a a +=++=，所以20203771116a a ++=≥从而得到202011382,2177a ⎡⎫-∈⎪⎢+⎣⎭所以2019S k -要取最小，k 的整数值为2， 故选C. 【点睛】本题考查数列的递推关系研究数列的性质，裂项相消法求数列的和，属于中档题.二、填空题5．已知角α的终边过点()2,3-，则sin 2α=_________. 【答案】1213-【解析】求出r ，直接利用三角函数的定义，求出sin α，cos α，再利用二倍角公式求解即可． 【详解】r ==所以sin α==cos α== 则sin 2α=2=1213- 故答案为1213- 【点睛】本题是基础题，考查三角函数的定义及二倍角公式，考查计算能力，常考题型． 6．已知复数z 满足1i z i ⋅=-（其中i 为虚数单位），则z =__________．【解析】先求出复数z ，再利用复数的模的计算公式即可求出． 【详解】因为1i z i ⋅=-，所以11iz i i-==--，即z ==．． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及复数的模的计算公式的应用，属于基础题． 7．函数()21sin f x x =+的最小正周期是__________．【答案】π【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期． 【详解】因为()21cos 2311sin 1cos 2222x f x x x -=+=+=-， 所以函数的最小正周期为22T ππ==． 故答案为：π． 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题． 8．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2414a a +=，770S =，则数列{}n a 的通项公式为________． 【答案】32n a n =-【解析】根据条件列关于首项与公差的方程组，解得结果代入等差数列通项公式得结果. 【详解】因为2414a a +=，770S =，设公差为d ， 所以11134d a a d +++=，11776702a +d ⨯⨯=， 解得13,113(1)32n d a a n n ==∴=+-=-， 故答案为32n a n =- 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．若23(2)n a b +的展开式中有一项为412ma b ，则m =__________． 【答案】60【解析】根据二项展开式的通项公式，得出23(2)na b +的展开式的第1r +项，求出412a b 的系数，即可得出结果. 【详解】因为23(2)na b +展开式的第1r +项为22312r n r n r r r n T C ab --+=， 令224312n r r -=⎧⎨=⎩，解得64n r =⎧⎨=⎩，则426260m C ==.故答案为：60. 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.10．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数的值是 . 【答案】8【解析】试题分析：221610x y -=的右焦点为，所以【考点】本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力. 点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别. 11．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ ． 【答案】40【解析】设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯=12．设三条不同的直线：()()()123:2310,:2130,:1230l ax by a b l bx a b y a l a b x ay b ++++=++++=++++=，若它们交于同一点，则+a b 的值为_____________. 【答案】12-【解析】设1c a b =++，联立方程组消去,x y 得33330a b c abc ++-=，分解因式即可得结果. 【详解】设1c a b =++，三条直线相交于点(),x y ，则有230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（※）消去,x y 得33330a b c abc ++-=，即()()2220a b c a b c ab bc ac ++++---=，把1c a b =++代入得()()()()222221110a b a b b a ⎡⎤++-++++=⎣⎦， 当()()()222110a b b a -++++=时，解得1a b ==-，不合题意，舍去； 所以2210a b ++=，解得12a b +=-， 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查了直线的交点问题，设1c a b =++可大大简化计算量，属于中档题. 13．已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【解析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+ ∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．14．已知集合U ={1，2，3，4，5}，{|}I X X U =⊆，从集合I 中任取两个不同的元素A ､B ，则A ∩B 中恰有3个元素的概率为____________ . 【答案】562【解析】【详解】当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3，4，5}时，设A =A'∪{3，4，5}，B =B ′∪{3，4，5}，A ′∩B =∅，那么{A'，B'}的情况有：{∅，{1}}，{∅，{2}}，{∅，{1，2}}，{{1}，{2}}，共4种情形.所以所求的概率为35232C 410425C 323162⨯⨯⨯==⨯. 故答案为：562． 15．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________． 【答案】8【解析】由0a b ⋅=，建立坐标系，设(),c x y =，得到221xy +=，然后将条件和所a b -的最大值，得到答案.【详解】因为0a b ⋅=，所以以a 为x 轴，以b 为y 轴建立坐标系， 设(),0a a =，()0,b b =，(),c x y =，1c =可得221x y +=，(),a c a x y -=--，(),b c x b y -=--因为5a c b c -=-=所以()()22222525x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 两式相加得()222212502ax by a b x y ⎡⎤+=+++-⎣⎦ 即()221482ax by a b +=+-由柯西不等式得()()()2222222ax by a bxy a b ≤+++=+，即ax by ≤+所以()221482a b ≤+-整理得2048≤-所以得80≤，(),a b a b -=-所以28a b a ≤-=+.故答案为：8. 【点睛】本题考查通过建立坐标系处理向量问题，利用柯西不等式求最值，属于中档题. 16．设函数()f x 的定义域为()1,1-且满足：①当()1,0x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(),1,1x y ∈-；以下关于函数()f x 有四个命题：（1）()f x 为奇函数；（2）()f x 为偶函数；（3）()f x 在定义域内单调递减；（4）存在正数m ，使得对于任意的()1,1x ∈-有()f x m <；其中真命题是______． 【答案】（1）（3）【解析】首先令0x y ==得到()00f =，令y x =-得到()()f x f x -=-，即可得到()f x 为奇函数，从而得到（1）正确，（2）错误；设任意11x y -<<<，得到()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，根据101x y xy --<<-，得到()()f x f y >，从而得到函数()f x 在定义域内单调递减，即（3）正确；根据题意得到()max >m f x ，再根据函数()f x 的单调性即可判断（4）错误. 【详解】因为函数()f x 的定义域为()1,1-，()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++=⎪+⎝⎭，令0x y ==得()()()000f f f +=，解得()00f =.令y x =-，()()()00f x f x f +-==，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，故（1）正确，（2）错误.设任意11x y -<<<，则()()()()1x y f x f y f x f y f xy ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭.因为11x y -<<<，所以1xy x y =<，即11xy -<<.又因为0x y -<，所以01x yxy-<-. 又因为()()111011x y x yxy xy+--+=>--，所以101x y xy --<<-，即01x y f xy ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭. 所以()()0f x f y ->，即()()f x f y >，函数()f x 在定义域内单调递减. 故（3）正确.任意的()1,1x ∈-有()f x m <，即()max >m f x 即可. 因为当()1,0x ∈-时，()0f x >，()0,1x ∈时，()0f x <，()f x 在区间()1,1-内单调递减，所以当1x →-时，()f x →+∞，当1→+x 时，()f x →-∞， 所以函数()y f x =无最大值，故不存在正数m ，使得对于任意的()1,1x ∈-有()f x m <，（4）错误. 故答案为：（1）（3） 【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.三、解答题17．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱11C D 的中点，F 是侧面11AA D D 的中心.（1）求三棱锥11A D EF -的体积；（2）求EF 与底面1111D C B A 所成角的大小（结果可用反三角函数表示）【答案】（1）13；（2）arctan 2【解析】（1）利用等体积法，可知三棱锥11A D EF -的体积等于三棱锥11E D A F -的体积，分别求出三棱锥11E D A F -的底面面积和高，即可求解；（2）取11A D 的中点G ，易得FG ⊥平面1111D C B A ，根据线面夹角的定义可得GEF ∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角的平面角，解Rt EGF ，即可得到EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．【详解】（1）因为点E 是棱11C D 的中点，所以点E 到面11AA D D 的距离为1，而1112112A D FS=⨯⨯=，1111111133A D EF E D A F V V --∴==⨯⨯=． （2）取11A D 的中点G ，则FG ⊥平面1111D CB A ，EF 在底面1111DC B A 的射影为GE ，GEF ∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角的平面角．在Rt EGF 中，1,2FG EG ==，2tan GEF ∴∠=，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是2arctan 2．【点睛】本题主要考查利用等积法求三棱锥的体积，以及直线与平面所成角的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．设D 是函数()y f x =定义域的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =-成立，则称0x 是()f x 的一个“准不动点”，也称()f x 在区间D 上存在准不动点，已知()()12log 421x x f x a =+⋅-，[]0,1x ∈.（1）若1a =，求函数()f x 的准不动点；（2）若函数()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）00x =；（2）(]0,1【解析】（1）由题意，当1a =时，可得()12()log 421x xf x x =+-=-，[]0,1x ∈，可解得函数()f x 的准不动点．（2）依()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，可得4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根．通过分离变量，可转化为1212xxa -=--，令[]21,2xt =∈，只需求出11y t t=--在[]1,2上的值域，即可得112a -≤≤，最后根据4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，解得0a >，取交集得实数a 的最终范围．【详解】（1）由题意，可得()12()log 421x xf x x =+-=-， 即4212x x x +-=，41x ∴=，0x ∴=． 故当1a =，函数()f x 的准不动点为00x =．（2）由题意知，()12()log 421x x f x a x =+⋅-=-即4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根，4212xxxa +⋅-=变形为1212xxa -=--，令[]21,2xt =∈，而11y t t=--在[]1,2上单调递增，所以112y -≤≤，即112a -≤-≤，所以112a -≤≤．又4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，所以122xx a >-．令[]21,2x t =∈，而1y tt =-在[]1,2上单调递减，所以max 0y =，即有0a >， 综上，01a <≤，即实数a 的取值范围为(]0,1． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，新定义的理解，含参的不等式在闭区间上恒成立问题的解法，以及分离参数法的应用，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题．19．某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线1l 与2l 修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通，已知60m AB =，80m BC =，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF 部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长90m 时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥EF 的位置，使矩形区域ABCD 内的总修建费用最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1）2arccos 23π-；（2）景观桥EF 与和河道沿线所成的角为6π时，最低总造价是803+.【解析】设EF 与AB 所成的角为α40tan 3α⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（1）在Rt △EMF 中有cos EMEF α=且EM AB =，求α角，进而求桥与河道所成角；（2）由题意可知总修建费用2y AE FC EF =++得到关于α的函数，利用辅助角公式及正弦函数的性质即可求最低修建费用及景观桥EF 的位置； 【详解】如题设中的图示，EM BC ⊥垂足为M ，设EF 与AB 所成的角为α，即40tan 3MEF αα⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，故有60tan MF α=，60cos EF α=.（1）当景观桥EF 的长为90m 时，得602290cos arccos cos 33EF ααα==⇒=⇒=，即景观桥EF 与和河道沿线所成的角为2arccos 23π-. （2）由8060tan AE FC α+=-，可得总修建费用()()60sin 2608060tan 1280cos cos y αααα-=-⨯+⨯=-， 令sin 2cos t αα-=，又40tan 3α≤≤，故02πα<<，则0t <且2sin cos 2sin()1t tαααϕ-=⇒+=+()2111sin tαϕ≤⇒≤++有t ≤，所以t 最大值为，y 有最小值为80+6πα=，景观桥EF 与河道沿线所成的角为3π. 【点睛】本题考查了利用三角函数解决实际问题，结合辅助角公式及正弦函数的值域范围求最值问题，注意实际问题中的约束条件； 20．已知抛物线2:4C y x =，点()4,4P （1）求点P 与抛物线C 的焦点F 的距离；（2）设斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若PAB △的面积为线l 的方程；（3）是否存在定圆()22:4M x m y -+=，使得过曲线C 上任意一点Q 作圆M 的两条切线，与曲线C 交于另外两点,A B 时，总有直线AB 也与圆M 相切？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）5；（2）1y x =-；（3）存在实数3m =【解析】（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，再根据两点间的距离公式，即可求出距离；（2）设直线l 的方程为y x a =+，代入抛物线的方程，由弦长公式求出AB ，点到直线的距离公式求出PAB △的高，再依据三角形的面积公式，解方程可得a ，进而得到直线方程；（3）假设存在，根据一般到特殊的原理，取()0,0Q ，设切线为y kx =，联立抛物线方程，求出点,A B 以及直线AB ，由相切可得3m =．再由特殊到一般，证明对任意的动点Q ，直线AB 与圆相切，即可说明存在3m =，使得直线AB 与圆M 相切． 【详解】（1）抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0，则点P 与抛物线C 的焦点F 5=． （2）设直线l 的方程为y x a =+，把y x a =+方程代入抛物线24y x =，可得222(2)0x a x a +-+=，1142x x a ∴+=-，212x x a ⋅=，21||AB x ∴=-==点P 到直线的距离d =1||2PAB S AB d ∆∴=12=⨯=， 解得1a =-，所以直线l 的方程1y x =-．（3）假设存在．取()0,0Q ，圆()22:4M x m y -+=，设切线为y kx =，2=，解得2244k m =-，①将直线y kx =代入抛物线方程24y x =， 解得244,A k k ⎛⎫⎪⎝⎭，244,B kk ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 直线AB 的方程为24x k=， 若直线AB 和圆相切，可得242m k -=② 由①②解得，3m =．下证3m =时，对任意的动点Q ，直线AB 和圆M 相切． 理由如下：设21,4Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭，21()4x t y a a =-+，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫⎪⎝⎭2=，可得()22222114634024a t a at a ⎛⎫⎛⎫---+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21221624a a t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+=-，2212213444a t t a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-， 又直线与曲线相交于A ，B ， 由21()4x t y a a =-+，代入抛物线方程可得22440y ty ta a -+-=， 可得()221114y t y a a =-+，()222224y t y a a =-+，则a ，1y 是方程224()y t y a a =-+的两根，即有2114ay t a a =-，即114y t a =-，同理224y t a =-．则有()2111444,A t a t a ⎛⎫--⎪⎝⎭，()2221444,B t a t a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线()()()2112121:4424AB y t a x t a t t a ⎡⎤--=--⎢⎥+-⎣⎦， 即为()()2211414444a y t a x t a a-⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦， 则圆心()3,0到直线AB 的距离为()2211224134444414a t a t a ad a a -⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由()2222211114634024a t a at a ⎛⎫⎛⎫---+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入上式，化简可得222424a d a+==+，则有对任意的动点Q ，存在实数3m =，使得直线AB 与圆M 相切．【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式，点到直线的距离公式等的应用，计算量大，全面考查学生综合运用平面解析几何知识的能力，属于难题．21．已知无穷数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足：1||||n n n x y z +=-，1||||n n n y z x +=-，1||||n n n z x y +=-，n *∈N ．记max{||,||,||}n n n n a x y z =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（1）若12x =，23y =，34z =，求1y ，1z 的可能值； （2）若11x =，12y =，求满足23a a =的1z 的所有值；（3）设1x ，1y ，1z 是非零整数，且1||x ，1||y ，1||z 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n x ，{}n y ，{}n z 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．【答案】（1）112y =，15z =； 112y =，15z =-； 112y =-，15z =； 112y =-，15z =-；（2）2,1,1,2--；（3）证明见解析.【解析】（1）利用已知关系代入特殊值求出可能情况即可；（2）先设1z x =，计算222,,x y z ，再结合n a 的定义得2a ，333,,x y z ，最后利用x 分类讨论计算出3a ，满足23a a =得1z 值即可； （3）利用反证法证明即可. 【详解】（1）由211||||y z x =-，得1||23z -=，所以15z =±； 由322||||z x y =-，得2||34x -=，所以27x =±，又2111||||||55x y z y =-=--≥，故27x =，1||12y =，112y =±． 所以1y ，1z 的所有可能值为112y =，15z =； 112y =，15z =-； 112y =-，15z =； 112y =-，15z =-．（2）若11x =，12y =，记1z x =，则211211||||2||,||||||1x y z x y z x x =-=-=-=-，21z =-，又max{||,||,||}n n n n a x y z =，故22,01,1,1||2,1,2,x x a x x x ⎧-≤<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩ 3|||1|1x x =--，31|2|||y x =--，3|2||||||1|z x x =---，当0||1≤x <时，333||,||1,1x x y x z =-=-=，31a =，由32a a =，得||1x =，不符合；当1||2≤x <时，333||2,||1,32||x x y x z x =-=-=-，32,1 1.5,1,1.52,x x a x x ⎧-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩由32a a =，得||1x =，符合；当||2≥x 时，333||2,3||,1x x y x z =-=-=-，31,23,2,3,x a x x ⎧≤<⎪=⎨-≥⎪⎩由32a a =，得||2x =，符合； 综上，1z 的所有取值是2,1,1,2--；（3）先证明“存在正整数3k ≥，使,,k k k x y z 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k ≥，,,k k k x y z 都不为0，由111,,x y z 是非零整数，且111||,||,||x y z 互不相等，得1N a *∈，2N a *∈．若对任意3k ≥，,,k k k x y z 都不为0，则k a N *∈， 即对任意1k ，k a N *∈．当1k时，{}1||||||||max ||,||,k k k k k k a x y z y z +=-<≤11||||||,||||||k k k k k k k k y z x a z x y a ++=-<=-<，所以，{}1111max ||,||,||k k k k k a x y z a ++++=<． 所以，{}k a 严格单调递减， 由2a 为有限正整数，所以，必存在正整数3m ≥，使得0m a ≤，矛盾． 所以，存在正整数3k ≥，使,,k k k x y z 中至少有一个为0． 不妨设0k x =，且10x ≠，20x ≠，，10k x -≠，则11||||k k y z --=，且111||||||k k k y z x ---=≠， 否则，若111||||||k k k y z x ---==，因为1110k k k x y z ---++=，则必有1110k k k x y z ---===，矛盾． 于是，1111||||0,||||0k k k k k k y z x z x y ----=-≠=-≠，且k k y z =-， 所以，10k x +=，11||,||||k k k k k y z z y z ++==-=-，依次递推，即有：对11,0,||,||n n k n k n k x y z z z ++∀===-≥，且||0k z ≠， 此时有且仅有一个数列{}n x 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立． 【点睛】本题考查了数列的综合应用，考查了分类讨论思想和反证法，属于难题.。
2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试卷含详解
2020学年高一阶段检测二（数学）一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B = ___________2.幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.3.不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．4.已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________5.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．6.若a的小数部分，则()2log 21a a +的值是________．7.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________8.若函数()()211f x mx m x =+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m 的取值范围是________．9.若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．10.已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________11.设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________．12.已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13.已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A.q r p =<B.q r p=> C.p r q =< D.p r q=>15.若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（）A.a b a b-<-B.a b a b -<+C.a b a b +>-D.a b a b +<-16.关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；（2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）()y f x =是偶函数且有最小值．其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()|2|f x x a a=-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.18.设0a >，0b >，且11a b a b+=+.证明：(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．19.已知函数()33xxf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.20.小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？21.已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =.（1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.2020学年高一阶段检测二（数学）一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B = ___________【答案】{1,3,4}【分析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B xx =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞ ，{}134A B = ，，.故答案为:{1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算.2.幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.【答案】13【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值.【详解】幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得122a =解得1a =-所以幂函数解析式为()1f x x -=则()11333f -==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.3.不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【答案】{}(,2]0(3,)-∞-+∞ 【分析】由分式不等式的解法，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩求解即可.【详解】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞ .故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞ .4.已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________【答案】[]3,2--【分析】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案.【详解】由|23|1x +<得1231x -<+<，解得21x -<<-由2(22)(2)0x a x a a -+++≤得(2)()0x a x a ---≤，解得2a x a ≤≤+因为“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件所以221a a ≤-⎧⎨+≥-⎩，解得32a --≤≤故答案为：[]3,2--5.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．【答案】2-【分析】由R 上的奇函数，有(0)0f =求参数b ，进而求()1f ，又()1(1)f f -=-即可求值.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，有(0)0f =，∴根据函数解析式，有0(0)020f b =++=，即1b =-，∴()321xf x x =+-，则()311212f =+-=，∴()1(1)2f f -=-=-.故答案为：2-.6.若a的小数部分，则()2log 21a a +的值是________．【答案】1-【分析】由题意知35(1,2)4+=，即可得514a =，代入对数式，应用对数运算的性质求值即可.35(1,2)4+=∈，知：3551144a=-=，即122a-=，51212a++==∴()251log2112aa-+==-=-.故答案为：1-.7.已知关于x的方程221(1)104x k x k-+++=有两个实数根1x、2x，若2212126x x x x+=-15，则k的值为________【答案】4【分析】将2212126x x x x+=-15，变形为()21212815x x x x+=-，根据方程221(1)104x k x k-+++=有两个实数根1x、2x，得到212121+1,14x x k x x k=+⋅=+，再代入上式求解.【详解】因为方程221(1)104x k x k-+++=有两个实数根1x、2x，所以212121+1,14x x k x x k=+⋅=+，因为2212126x x x x+=-15，所以()21212815x x x x+=-，()221181154k k⎛⎫+=⨯+-⎪⎝⎭，即()()240k k+-=，解得4k=或2k=-（舍去）故答案为：48.若函数()()211f x mx m x=+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m的取值范围是________．【答案】[]1,0-【分析】讨论0m=、0m≠，并结合二次函数的性质，列不等式求参数范围，合并不同情况的m取值即可.【详解】当0m=时，()1f x x=--在[1,)-+∞上是严格单调函数，符合题意；当0m≠时，()221(1)(24m mf x m xm m-+=+-，∴112mm-≤-，即102mm+≤，可得10m-≤<，综上，有10m-≤≤.故答案为：[]1,0-.9.若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[)0,4【分析】转化条件为无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，按照a =0、0a ≠分类，即可得解.【详解】由题意，无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，当a =0时，10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<，综上，[)0,4a ∈.故答案为：[)0,4.10.已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________【答案】[0,1)【分析】解绝对值不等式得{|11}A x a x a =-≤≤+，且0a ≥，结合条件可得1A ∈，进而得011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，从而得解.【详解】由{||1|}A x x a =-≤得{|1}{|11}A x a x a x a x a =-≤-≤=-≤≤+，且0a ≥若A 只有1个整数元素，又111a a -≤≤+，所以1A ∈，所以011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，解得01a ≤<.故答案为：[0,1).11.设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________．【答案】(,1)(5,)-∞+∞ 【分析】令()|2||3|f x x x =--+并得到其分段函数形式，由题设不等式有解，即2min 6()a a f x ->即可，解一元二次不等式即可求a 的范围.【详解】由235,3()|2||3|2321,32235,2x x x f x x x x x x x x x x -++=≤-⎧⎪=--+=---=---<≤⎨⎪---=->⎩，∴要使不等式2236x x a a --+<-有解，仅需2min 6()5a a f x ->=-即可，∴2650a a -+>，解得1x <或5x >.故答案为：(,1)(5,)-∞+∞ .12.已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________．【答案】710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f .【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数，∴0032415x x -=+，得01x =，又222log 3332[(log 3)[(log 3)41105f f f f +=+=+，∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =.故答案为：710.【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13.已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由增函数的定义知：12,x x I ∈且12x x <时21()()f x f x >，即可判断条件之间的充分、必要性.【详解】由()y f x =在区间I 上是严格增函数，∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件.故选：A.14.设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A.q r p =<B.q r p =>C.p r q =<D.p r q=>【答案】C【分析】由对数函数，结合对数的运算性质得ln ln 1(()())22a b p f f a f b r +===+=，应用基本不等式判断q 与p 的大小关系即可.【详解】由题意，ln ln ln 22ab a b p f +====，而1ln ln (()())22a br f a f b +=+=，∴p r =，又ln(22a b a bq f ++⎛⎫==>⎪⎝⎭∴综上有：p r q =<.故选：C.15.若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（）A.a b a b -<-B.a b a b -<+C.a b a b +>-D.a b a b +<-【答案】D 【分析】利用特殊值法判断即可.【详解】令1,2a b =-=，则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题.16.关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；（2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）()y f x =是偶函数且有最小值．其中正确的命题个数为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】由函数解析式可推出()y f x =是偶函数，在(,1)-∞-、(0,1)上单调递增，在(1,0)-、(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，即可判断各项的正误.【详解】函数()1xf x x =-是偶函数，当0x >时，()y f x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，可得函数草图如下：（1）当1x >时，1()111x y f x x x ===+--单调递减，当01x <<时，1()111x y f x x x ==-=----单调递增，故错误；（2）当0k >时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像一定有交点，由对称性可知，当0x <且0k <时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像也一定有交点，故正确；（3）当0m =时，方程()f x m =只有1个解0x =，故错误；（4）由对称性知，()y f x =有最小值(0)0f =，故正确；故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性以及值域，进而结合各项的描述判断正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．【详解】试卷分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试卷解析：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥.①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.考点：不等式选讲.18.设0a >，0b >，且11a b a b+=+.证明：(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【详解】试卷分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.试卷解析：由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.19.已知函数()33x xf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x =或3log 2（2）当1a =时，函数为奇函数，当1a =-时，函数为偶函数，当1a ≠±时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据()07f =,代入可求得a 的值.即可得()f x 的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()f x -.根据奇偶性定义即可求得a 的值,即可判断奇偶性.【详解】（1）因为()07f =代入可得17a -=,解得6a =-所以()363x xf x -=+⋅则()5f x =可化为3635x x -+⋅=化简可得()235360x x -⋅+=即()()32330x x --=解得3log 2x =或1x =（2）()33x x f x a -=-⋅则()33x xf x a --=-⋅当1a =时,()33x x f x -=-,()33x x f x --=-此时()()f x f x =--,函数()f x 为奇函数当1a =-时,()33x x f x -=+,()33x x f x --=+,此时()()f x f x =-,函数()f x 为偶函数当1a ≠±时,()()f x f x =--与()()f x f x =-都不能成立,所以函数()f x 为非奇非偶函数综上可知,当1a =时,()f x 为奇函数;当1a =-时,()f x 为偶函数;当1a ≠±时,函数()f x 为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题.20.小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【分析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设t kx b =+，∴3010{ 2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-．（1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）g g ，∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．（2）设售价x（元）时总利润为z（元），∴2000200010200702z x x =---（），1002000·25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（元，当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号，∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =.（1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2)1=2x 时，max ()=2g x .(3)1(0,16【详解】试卷分析：（1）根据112f ⎛⎫=⎪⎝⎭确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2220f x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围.试卷解析：(1)由112=1122a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1a =或0.因为0a >，所以1a =，所以()|1|x f x x -=.当1x >时，()11=1x f x x x -=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1221121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=-()()1221221211=x x x x x x ---1212=x x x x -，因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<，所以()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）()()2221,141==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩，当14x ≤≤时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭，因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1=4g x ；当112x ≤<时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，因为112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1=2x 时，()max =2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，()max =2g x .（3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1=10,1f x x -∈.同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1=10,f x x -∈+∞.方程()2221120x x x mx ---+=可化为221|1|220x x m x x---+=，即()()2220f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=.要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2020-2021学年上海市某校高一(上)月考数学试卷(12月份)
2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（12月份）一、填空题1. 已知集合A={2, 3}，B={1, 2, a}，若A⊆B，则实数a=________．【答案】3【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用子集的定义和性质直接求解．【解答】∵集合A={2, 3}，B={1, 2, a}，A⊆B，∴a=3．2. 函数y＝的定义域为________．【答案】[1, 2)∪(2, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数的解析式列不等式组求出函数的定义域．【解答】由函数y＝，得，解得x≥1且x≠2；所以该函数的定义域为[6, 2)∪(2．3. 已知函数，则＝________．【答案】【考点】分段函数的应用函数的求值求函数的值根据题意，由函数的解析式可得f（）＝，则有f[f（）]＝f（），进而计算可得答案．【解答】根据题意，函数，则f（）＝＝，则f[f（）]＝f（2＝，4. 已知函数y＝x2−4ax在[2, 3]上是严格增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(−∞, 1]【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】根据题意，将函数y＝x2−4ax的解析式变形，可得该函数是对称轴为x＝2a，开口向上的二次函数，结合二次函数的性质可得a的取值范围．【解答】函数y＝x2−4ax＝(x−8a)2−4a4，则对称轴为x＝2a，开口向上，若该函数在[2, 6]上是严格增函数，即a≤1，则a的取值范围为(−∞, 1]，5. 函数y=a x−1+2(a>0且a≠1)的图象过一个定点，该定点的坐标为________．【答案】(1, 3)【考点】指数函数的性质【解析】函数恒过定点即与a无关，由题意令x−1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出f(x)的值，从而可求出定点坐标．【解答】解：令x−1=0，解得x=1，则x=1时，函数f(1)=a0+2=3，即函数图象恒过一个定点(1, 3)．故答案为：(1, 3)．2【答案】k>0或k<−4【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】根据一元二次方程与二次函数之间的关系，分别讨论k的正负得到满足已知的等价条件，从而求得k的范围．【解答】解：由题意k≠0，当k>0时，要使关于x的一元二次方程2kx2−2x−3k−2=0的两个实根x1、x2满足x1<1<x2，只要2k×12−2×1−3k−2<0解得k>−4；所以k>0；当k<0时，要使关于x的一元二次方程2kx2−2x−3k−2=0的两个实根x1、x2满足x1<1<x2，只要2k×12−2×1−3k−2>0解得k<−4，由前提得到k<−4；综上，实数k的取值范围是k>0或k<−4．故答案为：k>0或k<−4．7. 若(m+1)12<(3−2m)12，则实数m的取值范围________．【答案】−1≤m<2 3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】根据题中不等式的结构，考察幂函数y=x 12，它在[0, +∞)上是增函数，从而建立关于m的不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：考察幂函数y=x 12，它在[0, +∞)上是增函数，∵(m+1)12<(3−2m)12，∴0≤m+1<3−2m，解得：−1≤m<23，则实数m的取值范围−1≤m<23．故答案为：−1≤m<23．8. 已知函数f(x)=√2−axa−1(a≠1)在区间(0, 1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】函数单调性的性质【解析】函数的解析式若有意义，则被开方数2−ax≥0，进而根据x∈(0, 1]恒有意义，故a≤2，分1<a≤2，0<a<1，a=0和a<0，分类讨论函数的单调性，最后综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：若使函数的解析式有意义须满足2−ax≥0当x∈(0, 1]时，须：2−a×0≥0，且2−a≥0得：a≤21<a≤2时，y=2−ax为减函数，a−1>0，故f(x)为减函数，符合条件0<a<1时，y=2−ax为减函数，a−1<0，故f(x)为增函数，不符合条件a=0时，f(x)为常数，不符合条件a<0时，y=2−ax为增函数，a−1<0，故f(x)为减函数，符合条件故a的取值范围是(−∞, 0)∪(1, 2]故答案为：(−∞, 0)∪(1, 2]9. 方程|a x−1|＝2a(a>0, a≠1)有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围是________．【答案】(0，）【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】方程|a x−1|＝2a(a>0且a≠1)有且仅有两个不同的实数解，等价于函数f(x)＝|a x−1|的图象和直线y＝2a有2个交点，分类画出图形，由图象可得a的范围．【解答】方程|a x−1|＝2a(a>2且a≠1)有且仅有两个不同的实数解，等价于函数f(x)＝|a x−1|的图象和直线y＝6a有2个交点．如图所示：当0<a<8和a>1时对应的图象为：由图象可得，当0<a<2时，解得0<a<，当a>1时，不合题意．故答案为：(0，）．10. 已知a、b均为正实数，且，则的最小值为________．【答案】．【考点】基本不等式及其应用【解析】由＝（）(a+）＝，展开后结合基本不等式可求．【解答】因为a、b均为正实数，且，则＝（）(a+＝，当且仅当ab＝且，即a＝时取等号，所以的最小值．11. 已知+2，则关于x 的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为________．【答案】（-，+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合【解答】设g(x)＝f(x)−2＝2020x+log2020（+x)−2020−x，∴g(−x)＝2020−x+log（−x)−2020x＝2020−x−log20202020（+x)−2020x＝−g(x)，所以g(x)为奇函数且单调递增，由f(3x+4)+f(x)>4，可得g(3x+3)+g(x)>0，所以3x+8>−x，解得x>−，即不等式的解集为（-，+∞)．12. 已知函数f(x)＝lg(x+1)的图象关于y轴对称后，再向右平移4个单位，可得到函数g(x)的图象．若对任意的x1，x2∈[0, m]，当x1>x2时，恒有f(x1)−f(x2)>g(x2)−g(x1)，则实数m的最大值是________．【答案】2【考点】函数的图象与图象的变换对数函数的图象与性质【解析】易知g(x)＝lg(5−x)，构造函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)，可将原问题可转化为ℎ(x)在[0, m]上单调递增，再根据二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数单调性的判断原则，即可得解．【解答】由题意知，g(x)＝lg[−(x−4)+1]＝lg(8−x)，令ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝lg(x+1)+lg(5−x)＝lg[(x+6)(5−x)]，定义域为(−1，原问题可转化为ℎ(x)在[7, m]上单调递增，因为y＝(x+1)(5−x)在(−8, 2]上单调递增，5)上单调递减，所以ℎ(x)在(−2, 2]上单调递增，5)上单调递减，所以m≤6，即m的最大值为2．二、选择题已知a、b为实数，且a>b，则下列结论正确的是（）A. B.a2>b2 C.ac2>bc2 D.−a<−b【答案】D不等式的基本性质不等式的概念【解析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】若a>0>b，则，故A错误；若0>a>b时，a2<b6，故B错误；若c＝0时，ac2＝bc2，故C错误；a>b，则−a<−b．“−2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出一元二次方程x2+ax+1=0无实根的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根，则△=a2−4<0，∴−2<a<2，∵−2≤a≤2，∴ “−2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根的必要不充分条件．故应选A．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n>2时，关于x、y、z的方程x n+y n＝z n没有正整数解．”历经三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁•怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理．则有（）A.存在至少一组正整数组(x、y、z)使方程x3+y3＝z3有解B.关于x、y的方程x3+y3＝1有正有理数解C.关于x与y的方程x3+y3＝1没有正有理数解D.当整数n>3时，关于x、y、z的方程x n+y n＝z n没有正实数解．【答案】C【考点】归纳推理根据已知中费马大定理可得：故p 3+q 3＝z 3，无正整数解，即(p z )3+(q z )3=1无正整数解，进而利用整体代换思想，得到答案．【解答】：“当整数n >2时，关于x 、y 、z 的方程x n +y n ＝z n 没有正整数解．”3>2，故p 3+q 3＝z 3，无正整数解，即(p z )3+(q z )3=1无正整数解，即关于x 与y 的方程 x 3+y 3＝1没有正有理数解，已知函数f(x)={|ln |x||(x ≠0)0(x =0)，则方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法根的存在性及根的个数判断【解析】方程f 2(x)−f(x)=0可解出f(x)=0或f(x)=1，方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数即两个函数f(x)=0或f(x)=1的所有不相等的根的个数的和，根据函数f(x)的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y =0，y =1的图象与函数f(x)的图象的交点个数的问题．【解答】解：方程f 2(x)−f(x)=0可解出f(x)=0或f(x)=1，方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数即两个函数f(x)=0或f(x)=1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y =0，y =1的图象与函数 f(x)的图象的交点个数相同，如图，由图象，y =1的图象与函数f(x)的图象的交点个数有四个，y =0的图象与函数f(x)的图象的交点个数有三个，故方程f 2(x)−f(x)=0有七个解，应选C．三、解答题已知集合A＝{x|y＝lg(2−x−x2)}，集合B＝{y|y＝2x−1, x∈R}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|2m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，求实数m的取值范围．【答案】∵A＝{x|2−x−x2>3}＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−5}，∴A∩B＝(−1, 1)；∵C＝{x|3m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，∴ ①C＝⌀时，2m≥m+2；②C≠⌀时，，解得m≤−8或，∴m的取值范围为：．【考点】交集及其运算【解析】（1）可求出A＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−1}，然后进行交集的运算即可；（2）根据A∩C＝⌀，可讨论C是否为空集：C＝⌀时，2m≥m+1；C≠⌀时，，然后解出m的范围即可．【解答】∵A＝{x|2−x−x2>3}＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−5}，∵C＝{x|3m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，∴ ①C＝⌀时，2m≥m+2；②C≠⌀时，，解得m≤−8或，∴m的取值范围为：．已知函数f(x)＝(a∈R)．（1）当a＝1时，证明：函数f(x)在(2, +∞)上是严格减函数；（2）求不等式f(x)>1．【答案】a＝1，f(x)＝，设2<x1<x3，则f(x1)−f(x2)＝＝>3，所以f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(3, +∞)上是严格减函数；f(x)＝>1，化简得，，当a>8时，2<x<a+2，当a＝7时，x不存在，当a<0时，2+a<x<3，综上，a>0时，当a＝0时，x不存在，当a<3时，{x|2+a<x<2}．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】（2）已知不等式化简得，，然后讨论a+2与2的大小，进行求解．【解答】a＝1，f(x)＝，设2<x1<x3，则f(x1)−f(x2)＝＝>3，所以f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(3, +∞)上是严格减函数；f(x)＝>1，化简得，，当a>8时，2<x<a+2，当a＝7时，x不存在，当a<0时，2+a<x<3，综上，a>0时，当a＝0时，x不存在，当a<3时，{x|2+a<x<2}．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x+1−3x)元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【答案】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1−3x )×2＝200(5x+1−3x)根据题意，200(5x+1−3x)≥3000，即5x2−14x−3≥0∴x≥3或x≤−15∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y＝100(5x+1−3x )×900x＝90000(−3x2+1x+5)＝9×104[−3(1x−16)2+6112]∵1≤x≤10，∴x＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值．【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1−3x )×2＝200(5x+1−3x)根据题意，200(5x+1−3x)≥3000，即5x2−14x−3≥0∴x≥3或x≤−15∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y＝100(5x+1−3x )×900x＝90000(−3x2+1x+5)＝9×104[−3(1x−16)2+6112]∵1≤x≤10，∴x＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．已知函数f(x)＝+kx为偶函数，g(x)＝(x+a)．（1）求实数k的值；（2）若x∈[−2, 0]时，函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，求实数a的取值范围；（3）求函数y＝−4f（x）−kx+g(2x+2)在x∈[−1, 2]上的最大值与最小值之和为2020，求实数a的值．【答案】∵f(x)是偶函数，∴f(−x)＝f(x)，则log4(4−x+5)−kx＝log4(4x+6)+kx，得2kx＝log4（）−log6(4x+1)＝log74−x＝−x，得2k＝−6，得k＝-．若x∈[−2, 0]时，则f(x)>g(x)恒成立，即log4(2x+1)−x>，∴a<3log4(4x+4)−2x，设F(x)＝2log4(4x+1)−8x＝log2(4x+5)−2x＝log2(6x+1)−log22x＝log2(1+），由复合函数的单调性可知F(x)在[−2, 6]上为减函数，∴F(x)≤F(0)＝1，∴a<1，即实数a的取值范围是(−∞．函数y＝−3f（x）−kx+g(2x+2)＝-+(6x+2+a)＝−4x−4+2×2x+a＝−(2x)5+2×2x+a−1，设t＝8x，∵x∈[−1, 2]，∴，则设ℎ(t)＝−t2+8t+a−2，对称轴为t＝1，图象开口向下，∴最大值为ℎ(1)＝a，最小值为ℎ(4)＝，∴a+，解得a＝2029．【考点】函数的最值及其几何意义函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）利用函数是偶函数，建立方程进行求解即可（2）由函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，可得f(x)>g(x)恒成立，利用参数分离法进行求解即可；（3）利用换元法结合指数的性质，转化为一元二次函数，结合二次函数的性质求得最大值和最小值，进而可求得a的值．【解答】∵f(x)是偶函数，∴f(−x)＝f(x)，则log4(4−x+5)−kx＝log4(4x+6)+kx，得2kx＝log4（）−log6(4x+1)＝log74−x＝−x，得2k＝−6，得k＝-．若x∈[−2, 0]时，则f(x)>g(x)恒成立，即log4(2x+1)−x>，∴a<3log4(4x+4)−2x，设F(x)＝2log4(4x+1)−8x＝log2(4x+5)−2x＝log2(6x+1)−log22x＝log2(1+），由复合函数的单调性可知F(x)在[−2, 6]上为减函数，∴F(x)≤F(0)＝1，∴a<1，即实数a的取值范围是(−∞．函数y＝−3f（x）−kx+g(2x+2)＝-+(6x+2+a)＝−4x−4+2×2x+a＝−(2x)5+2×2x+a−1，设t＝8x，∵x∈[−1, 2]，∴，则设ℎ(t)＝−t2+8t+a−2，对称轴为t＝1，图象开口向下，∴最大值为ℎ(1)＝a，最小值为ℎ(4)＝，∴a+，解得a＝2029．若函数y＝f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)⋅f(x2)＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g(x)＝2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域[m, n](m，n∈N，且m>1)上为“依赖函数”，求m+n的取值范围．（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，有不等式f(x)≥−t2+(s−t)x+8都成立，求实数s的取值范围．【答案】对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x5＝−x1，则g(x1)g(x4)＝1，且由g(x)＝2x在R上单调递增，可知x5的取值唯一，故g(x)＝2x是“依赖函数”；因为m>1，f(x)＝2在[m, n]递增，即(m−1)8•(n−8)2＝1，由n>m>7，得(m−1)(n−1)＝4，故m+n＝m+＝m−1++2＝4（，（当且仅当m＝1+时“＝”成立），故m+n的取值范围是[2（+8)；因a<，故f(x)＝(x−a)5在[，2]上单调递增，从而f（）⋅f(4)＝2−a)8(4−a)2＝6，进而（，解得a＝6或a＝（舍），从而存在x∈[，4]，有不等式(x−1)5≥−t2+(s−t)x+8都成立，即t7+xt+x2−(2+s)x−6≥0恒成立，由△＝x2−5(x2−(2+s)x−5)≤0恒成立，故2+s≤（x−）max，x∈[，4]x−，4]递增，故x＝6时，y取最大值，故8+s≤，故s≤−，-]．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）利用新定义，对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x2＝−x1，则g(x1)g(x2)＝1，判断g(x)＝2x是“依赖函数”；（2）因为m>1，f(x)＝(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)＝1，推出n＝，求出m+n的范围即可；（3）根据a的范围，求出a的值，求出f(x)的解析式，问题转化为t2+xt+x2−(2+s)x−7≥0恒成立，根据根的判别式得到2+s≤（x−）max，x∈[，4]，从而求出s的范围即可．【解答】对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x5＝−x1，则g(x1)g(x4)＝1，且由g(x)＝2x在R上单调递增，可知x5的取值唯一，故g(x)＝2x是“依赖函数”；因为m>1，f(x)＝2在[m, n]递增，即(m−1)8•(n−8)2＝1，由n>m>7，得(m−1)(n−1)＝4，故m+n＝m+＝m−1++2＝4（，（当且仅当m＝1+时“＝”成立），故m+n的取值范围是[2（+8)；因a<，故f(x)＝(x−a)5在[，2]上单调递增，从而f（）⋅f(4)＝2−a)8(4−a)2＝6，进而（，解得a＝6或a＝（舍），从而存在x∈[，4]，有不等式(x−1)5≥−t2+(s−t)x+8都成立，即t7+xt+x2−(2+s)x−6≥0恒成立，由△＝x2−5(x2−(2+s)x−5)≤0恒成立，故2+s≤（x−）max，x∈[，4]x−，4]递增，故x＝6时，y取最大值，故8+s≤，故s≤−，-]．。
上海市建平中学2020—2021学年高一上学期12月月考语文试卷(含答案)
建平中学2020学年第一学期十二月月考高三语文试题（满分150分，考试时间150分钟）一积累与运用（10分）1.按要求填空。
（5分）（1）__________________，使我不得开心颜。
（李白《梦游天姥吟留别》）（2）嗟乎！__________________！欲人之无惑也难矣！（_____《师说》）（3）姜夔《扬州慢》中运用今昔对比、虚实结合的手法，表现扬州城的萧条景象的两句是“________________，________________”。
2.按要求选择。
（5分）（1）下列对联中，不适合悬挂在杜甫草堂的一联是（）。
（2分）A.金石文章空八代，江山姓名著千秋。
B.十年幕府悲秦月，一卷唐诗补蜀风。
C.秋天一鹄先生骨，春水群鸥野老心。
D.吏情更觉沧州远，诗卷长留天地间。
（2）将下列编号的语句依次填入语段的空白处，语意连贯的一项是（）。
（3分）从更宏观的“栖居”的角度来看，城市空间的历史一直都与流行病的历史相缠绕。
正如英国建筑评论家迪耶·萨迪奇在《城市的语言》中所说的那样：“城市由物质塑造，也由理念铸就”，新冠疫情从_______上改变了城市的_______，更从_______上对_______进行了再界定。
①观念意识②空间形态③公共空间④公共文化A.①④②③B.①③②④C.②④①③D.②③①④二阅读 70分（一）阅读下文，完成第3—7题。
（16分）①在今天，我们为何偏爱真实？②一个可能的回答是，它正遭遇前所未有的威胁，变得越来越稀缺。
这种危机，既源自个人的选择，也是机构管控的结果。
③从个人层面来说，当代人趋于理性化，人格沦为可资利用的工具。
德国社会学家马克思·韦伯，对人的社会行动有一个经典划分：工具理性和价值理性。
工具合理性行动，指通过理性计算设计最有效的手段，达成某种特定的实际目的；价值合理性行动则是指，关注行为本身的价值，而不顾条件、后果如何。
两种理性并不对立。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(上)12月月考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）12月月考数学试卷一.填空题1．（3分）若函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，则f（x2）的定义域为．2．（3分）设函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则f（﹣3）与f（﹣π）的大小关系是．3．（3分）若函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝．4．（3分）若函数是奇函数，则实数a＝．5．（3分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y＝3x的图象关于y轴对称，则f（x）＝．6．（3分）（理）已知函数f（x）＝x3+x，关于x的不等式f（mx﹣2）+f（x）＜0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围为．7．（3分）已知命题P：关于x的不等式的解集为{x|x≠0且x∈R}，命题Q：函数是减函数，若命题P与命题Q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是．8．（3分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝．二.选择题9．（3分）下列函数中，与函数有相同值域的是（）A．f（x）＝x3B．y＝x﹣1C．f（x）＝|x|D．f（x）＝2x 10．（3分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝B．y＝x+C．y＝2x+D．y＝x+e x11．（3分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内12．（3分）关于x的方程有唯一解，则的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）三.解答题13．已知函数．（1）求出函数f（x）的对称中心；（2）判断并证明f（x）在（﹣1，+∞）上的单调性．14．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求k的取值范围．15．已知函数f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，f（x）+g（x）＝2e x，其中e是自然对数底数．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若函数，求h（x）的值域；（3）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）若函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，则f（x2）的定义域为[﹣1，1]．【分析】根据函数y＝f（x）的定义域，得出x2的取值范围，从而求出f（x2）的定义域．【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，令0≤x2≤1，解得﹣1≤x≤1，∴f（x2）的定义域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了函数的定义域应用问题，是基础题．2．（3分）设函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则f（﹣3）与f（﹣π）的大小关系是f（﹣3）＞f（﹣π）．【分析】先确定函数是增函数，再利用单调性的定义，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）是增函数∵﹣3＞﹣π∴f（﹣3）＞f（﹣π）故答案为：f（﹣3）＞f（﹣π）．【点评】本题考查函数的单调性，考查单调性的运用，确定函数的单调性是关键．3．（3分）若函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝．【分析】由函数f（x）＝，将x＝﹣2代入计算可得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（f（﹣2））＝f（）＝，故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．4．（3分）若函数是奇函数，则实数a＝1．【分析】根据题意，求出f（﹣x）的解析式，由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝＝，函数是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，变形可得：（a﹣1）2x＝0，则有a＝1；故答案为：1【点评】本题考查奇函数的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．5．（3分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y＝3x的图象关于y轴对称，则f（x）＝3﹣x﹣1．【分析】根据题意，求出与函数y＝3x的图象关于y轴对称的函数的解析式，求出将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式，即可得答案．【解答】解：根据题意，与函数y＝3x的图象关于y轴对称的函数为y＝3﹣x，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为y＝3﹣x﹣1，故答案为：3﹣x﹣1【点评】本题考查函数的图象变换规律，注意函数图象的对称变换，属于基础题．6．（3分）（理）已知函数f（x）＝x3+x，关于x的不等式f（mx﹣2）+f（x）＜0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围为m＜1．【分析】先判定函数的奇偶性和单调性，然后根据单调性和奇偶性化简不等式，要使（m+1）x＜2在区间[1，2]上有解，只需将x用1和2代入求出m的范围即可．【解答】解：f（﹣x）＝（﹣x）3﹣x＝﹣f（x）∴函数f（x）是奇函数f（x）＝x3+x，则f'（x）＝3x2+1＞0∴函数f（x）在R上单调递增∵f（mx﹣2）+f（x）＜0∴f（mx﹣2）＜﹣f（x）＝f（﹣x）即mx﹣2＜﹣x，（m+1）x＜2在区间[1，2]上有解∴m+1＜2或（m+1）×2＜2即m＜1故答案为：m＜1【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数单调性的判定，同时考查了不等式在给定区间上有解，属于中档题．7．（3分）已知命题P：关于x的不等式的解集为{x|x≠0且x∈R}，命题Q：函数是减函数，若命题P与命题Q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是[1，2）．【分析】直接利用不等式的解法，基本不等式的性质和指数函数的性质求出命题P和命题Q中的参数的取值范围．进一步利用真值表的应用求出结果．【解答】解：命题P：关于x的不等式的解集为{x|x≠0且x∈R}，整理得，由于，故，所以m＜1．命题Q：函数是减函数，所以，整理得，解得m＜2．由于命题P与命题Q中有且只有一个为真命题，故①P真Q假，即，解得为Φ．②P假Q真，即，解得1≤m＜2．故m的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．【点评】本题考查的知识要点：不等式的解法，基本不等式的性质，指数函数的性质，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8．（3分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝．【分析】通过转化可知问题等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+e﹣x+1）的图象只有一个交点求a的值．分a＝0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+e﹣x+1）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1+e﹣x+1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+e﹣x+1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+e﹣x+1）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1+e﹣x+1）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+e﹣x+1）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a＝，符合条件；综上所述，a＝，故答案为：．【点评】本题考查函数零点的判定定理，函数的单调性，考查运算求解能力，数形结合能力，转化与化归思想，分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.选择题9．（3分）下列函数中，与函数有相同值域的是（）A．f（x）＝x3B．y＝x﹣1C．f（x）＝|x|D．f（x）＝2x【分析】根据y＝，可得函数的值域为（0，+∞），然后逐项考查各选项函数的值域，看哪个函数值域为（0，+∞）即可．【解答】解：对于A：f（x）＝x3的值域为R，对于B：y＝，可得值域为{y|y≠0}；对于C：f（x）＝|x|≥0，可得值域为[0，+∞）；对于D：f（x）＝2x的值域为（0，+∞）；故选：D．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，幂函数和指数函数的值域，考查计算能力，比较基础．10．（3分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝B．y＝x+C．y＝2x+D．y＝x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y＝是偶函数，所以A不正确；对于B，y＝x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y＝2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）＝f（x）也不满足f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．11．（3分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．12．（3分）关于x的方程有唯一解，则的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】利用指对互化，转化为二次函数问题即可求解；【解答】解：关于x的方程有唯一解，定义域为{x|x＞0，且x≠1}，对数化为指数，可得，即ax2﹣b＝1，∴ax2＝b+1则x2＝，由x2＞0，可得＞0，且≠1；故选：C．【点评】本题考查了方程的指对互化的应用，属于基础题．三.解答题13．已知函数．（1）求出函数f（x）的对称中心；（2）判断并证明f（x）在（﹣1，+∞）上的单调性．【分析】（1）由已知函数进行分离系数，然后结合反比例函数的对称性可求；（2）结合函数单调性的定义进行判断即可．【解答】解：（1）∵＝﹣＝﹣＝﹣1+，故对称中心为（﹣1，﹣1）；（2）f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．理由：设﹣1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．【点评】本题主要考查了函数对称中心的求解及单调性的定义在单调性判断中的应用，属于基础试题．14．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求k的取值范围．【分析】（1）令＝0，则x＝或0（舍0），再利用基本不等式的性质求出x的最大值即可；（2）原问题等价于存在x＞0，使得y＝kx﹣（1+k2）x2＝3.2成立，即关于x的方程（k2+1）x2﹣20kx+64＝0有正根，然后利用韦达定理列出关于k的不等式，解之即可．【解答】解：（1）令＝0，则x＝0或，∵k＞0，x＞0，∴x＝＝≤＝10，当且仅当＝k，即k＝1时，等号成立．故当k＝1时，炮的射程最大，为10千米．（2）炮弹可以击中目标等价于存在x＞0，使得y＝kx﹣（1+k2）x2＝3.2成立，即关于x的方程（k2+1）x2﹣20kx+64＝0有正根，由韦达定理知，满足两根之和大于0，两根之积大于0，∴只需△＝（20k）2﹣4（k2+1）×64≥0，解得k≥或k≤﹣．∵k＞0，∴k≥．故若炮弹可以击中它，k的取值范围为．【点评】本题考查函数的实际应用，运用了基本不等式求函数的最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15．已知函数f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，f（x）+g（x）＝2e x，其中e是自然对数底数．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若函数，求h（x）的值域；（3）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）运用函数的奇偶性的定义，解方程可得所求解析式；（2）求得y＝h（x）的解析式，反解出x，结合指数函数的值域解不等式可得所求值域；（3）运用参数分离和换元法、结合基本不等式可得所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），g（x）为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），由f（x）+g（x）＝2e x，①可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2e﹣x，即f（x）﹣g（x）＝2e﹣x，②由①②解得f（x）＝e x+e﹣x，g（x）＝e x﹣e﹣x；（2）函数＝＝，由y ＝，可得e2x ＝，由e2x＞0，即＞0，解得y＞1或y＜﹣1，则函数h（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3）关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即为m（e x+e﹣x）≤e﹣x+m﹣1，即m ≤＝在x＞0恒成立，令t＝e x﹣1，（t＞0），则＝﹣＝﹣≥﹣，可得m ≤﹣，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣]．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，以及函数的值域的求法和不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、化简运算能力，属于中档题．第11页（共11页）。
2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则A B ⋃=_________.【正确答案】{1,2,3,4}直接根据并集定义得到答案.【详解】集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则{1,2,3,4}A B ⋃=.故答案为.{1,2,3,4}本题考查了并集计算，属于简单题.2．函数()f x _______________.【正确答案】(]3,1-【分析】由根式函数定义域的求法得到103xx-≥+，再转化为()()()310,3x x x +-≤≠-，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为103xx-≥+，所以()()()310,3x x x +-≤≠-，解得31-<≤x ，所以函数()f x =(]3,1-.故(]3,1-本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______．【正确答案】()12f x x =【分析】先设解析式()f x x α=，再由点()9,3代入求得α，即得结果.【详解】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=，所以()12f x x =.故答案为.()12f x x =4．函数4()f x x x =+，1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为__________．【正确答案】174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据对勾函数的单调性分析出()f x 的单调性，然后即可求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：4()f x x x =+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,4上单调递减，所以()()min 24f x f ==，又()()max 1max ,42f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且11178222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，所以()max 172f x =，所以()f x 的值域为174,2⎡⎤⎢⎣⎦，故答案为.174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．若函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，则()3f =______.【正确答案】5先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求()3f 的值.【详解】因为函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，所以()()11f f -=，即()131a a --=-，解得2a =，所以()3f =5故56．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．【正确答案】(1,2)【分析】令211x -=求解即可.【详解】令211x -=，得1,2x y ==，故函数()f x 图象过定点(1,2)P ，故(1,2)7．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是_________【正确答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】利用函数是偶函数得到不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），即2≤|a |，∴a ≤﹣2或a ≥2，故(,2][2,)-∞-+∞ ．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f （a ）＝f （|a |）是解决偶函数问题的关键．8．设8log 9a =，3log 5b =，则lg 2=__________．（用a 、b 表示）【正确答案】223ab+【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【详解】由8log 9a =，3log 5b =，则328222log 9log 3log 33a ===即32log 23a=又3332log 10log 2log 53b a=+=+233ab a +=则3lg 323aab =+2lg 33log 3lg 22a==，则lg3lg 232a =32223323a ab a ab =⨯=++，故答案为.223ab+9．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【正确答案】89根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由0∆≥，解得23m ≤，然后由()2212121222x x x x x x ++⋅=-，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m ∆=-+-≥，解得23m ≤，所以112222322,2x x x x m m m +=⋅-=+，则()2212121222x x x x x x ++⋅=-，()22232222m m m +-=-⨯，2232m m =-+，237248m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2212x x +的最小值为2237823489⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故8910．已知函数()e e ,0x xy a b a b -=+>的最小值为2，则a b +的最小值为__．【正确答案】2【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可【详解】因为e 0,0,0,e 0x x a b ->>>>，所以e e 2x x y a b -=+≥=，仅当ln ln 2b ax -=时取等号，又e e x x y a b -=+的最小值为2，所以1ab =，所以2a b +≥，当且仅当1a b ==时取等号．故211．若一个非空数集F 满足：对任意,a b F ∈，有a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，有aF b∈，则称F 为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2021F ∈；（3）集合{|3,Z}P x x k k ==∈为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【正确答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当a b =时，0a b -=属于数域，故（1）正确，（2）若数域F 有非零元素，则1bF b=∈，从而112,21,,202012021F F F +=∈+∈+=∈ ，故（2）正确；（3）由集合P 的表示可知得x 是3的倍数，当6,3a b ==时，623a P b==∉，故（3）错误，（4）若F 是有理数集，则当a ，b F ∈，则a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故312．已知函数2(3)1,1()11log ,14a a x a x f x x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】3(1,]2根据函数()f x ()f x 在R 上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数()f x 在R 上是增函数，所以(3)1y a x a =-+-在区间(,1)-∞上是增函数且211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上也是增函数，对于函数(3)1y a x a =-+-在(,1)-∞上是增函数，则303a a ->⇒<；①对于函数2[1,11log ,)4a y x ax x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝+∞⎭，（1）当01a <<时，12a<，外函数log a y u =为定义域内的减函数，内函数2221111(424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上是增函数，根据复合函数“同增异减”可得01a <<时函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是减函数，不符合题意，故舍去，（2）当1a >时，外函数log a y u =为定义域内的增函数，要使函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是增函数，则内函数2221111()424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上也是增函数，且对数函数真数大于0，即21104u x ax =-+>在[1,)+∞上也要恒成立，所以2212215111044a a a a a ⎧≤≤⎧⎪⎪⎪⇒⇒≤⎨⎨<⎪⎪-+>⎩⎪⎩，又1a >，所以12a <≤，②又()f x 在R 上是增函数则在衔接点处函数值应满足：22111531log 1044a a a a a a ⎛⎫-+-≤-+⇒+-≤ ⎪⎝⎭，化简得5322a -≤≤，③由①②③得，312a <≤，所以实数a 的取值范围是3(1,]2.故答案为.3(1,]2方法点睛：利用单调性求参数方法如下：（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；（2）需注意若函数在区间[,]a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．二、单选题13．若实数a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．1>a b B ．222a b ab +≤C ．2b a a b+≥D ．11a b<【正确答案】B【分析】根据特殊值判断ACD ，由不等式性质判断B.【详解】当2,1a b ==-时，1ab<，故A 错误；因为222()20a b a b ab -=+->，所以222a b ab +<，故B 成立；当1,1a b ==-时，2b aa b+≥不成立，故C 错误；当当2,1a b ==-时，11a b>，故D 错误.故选：B14．函数()222x xx f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除B,D ，再利用特殊值排除选项C ，进而求解.【详解】函数()222x xx f x -=+的定义域为R ，且22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++，则函数()f x 为偶函数，故排除选项B,D ；又因为当0x >时，()0f x >，故排除选项C ，故选.A15．在物理中，我们已学习过匀加速直线运动以及如下式子：2001,2t v v at s v t at =+=+，22102v v as -=，现小明以加速度(0)a a ≠做匀加速直线运动，在A 地处的速度为1v ，在B 地处的速度为2v ，则它在A 地和B 地的中点处的速度3v 满足（）A ．123122v v v v v =+B ．1232v v v +=C ．1232v vv +<<D ．3v =【正确答案】D【分析】由匀加速直线运动的公式结合已知条件求解即可【详解】因为匀加速直线运动速度与位移的关系为22102v v as -=，所以由题意得223122s v v a -=⋅，222322s v v a -=⋅，所以3v =A 、B 、C 均错.故选：D.16．命题p ：存在R a ∈且0a ≠，对于任意的x ∈R ，使得()()()f x a f x f a +<+；命题1q ：()f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2q ：()f x 单调递增，存在00x <使得()00f x =，则下列说法正确的是（）A ．只有1q 是p 的充分条件B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【正确答案】C【分析】对于命题1q ：当0a >时，结合()f x 单调递减可得出()()()()f x a f x f x f a +<<+，对于命题2q ：当00a x =<时，()()00f a f x ==，结合()f x 单调递增可得出()()f x a f x +<，进而可得()()()f x a f x f a +<+，由充分条件的定义可判断1q ，2q ，进而可得正确选项.【详解】对于命题1q ：当0a >时，x a x +>，因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +<，因为()0f x >恒成立，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题1q 可得出p 成立，所以1q 是p 的充分条件；对于命题2q ：当00a x =<时，x a x +<，()()00f a f x ==，因为()f x 单调递增，所以()()f x a f x +<，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题2q 可得出p 成立，所以2q 是p 的充分条件；所以1q ，2q 都是p 的充分条件，故选：C.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}22|440,{||25|3}A x x x a B x x =--+≤=-≥.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)当“x A ∈”是“B R ð”的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,1][4,5]- (2)(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）将3a =代入，解一元二次不等式以及绝对值不等式求出集合,A B ，再根据集合的交运算即可求解.（2）求出B R ð，根据题意可得()B R ðA ，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当3a =时，{}{}{}22244045015A xx x a x x x x x =--+≤=--≤=-≤≤∣，{||253}{|253B x x x x =-≥=-≥∣或253}x -≤-{|4x x =≥或1}x ≤，所以{11A B x x ⋂=-≤≤或}[][]451,14,5x ≤≤=-⋃.（2）由（1）可得()1,4R B =ð，{}()()()(){}22440220A x x x a x x a x a ⎡⎤=--+≤=+--+≤⎣⎦∣∣，当0a >时，{}22A x a x a =-≤≤+，当0a =时，{}2A =，当0a <时，{}22A x a x a =+≤≤-，“x A ∈”是“R x B ∈ð”的必要不充分条件，则()B R ðA ，显然0a =，不成立；当0a >时，2124a a -≤⎧⎨+≥⎩，解不等式可得2a ≥，此时2a ≥；当0a <时，2124a a +≤⎧⎨-≥⎩，解不等式可得2a ≤-，此时2a ≤-，所以实数a 的取值范围为2a ≥或2a ≤-.实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞ .18．已知11()f x a x=-.(1)判断函数()y f x =的奇偶性并说明理由；(2)判断函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性并证明.【正确答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2)增函数，证明见解析【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可求解；（2）利用函数单调性的定义即可求解.【详解】（1）函数()y f x =是非奇非偶函数，理由如下：由题意可知，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()1111()f x a x a x -=-=+-，11()f x a x-=-+，所以()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，所以函数()y f x =是非奇非偶函数；（2）函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调递增，证明如下：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，因为120x x <<，所以121212120,00,x x x x x x x x --<<>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以函数()y f x =在区间(0,)+∞上是增函数.19．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合01()(12)kt m c t kV-=-，其函数图象如图所示，其中V 为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600)，0m 为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合2()2ktc t c -=⋅，其中c为停药时的人体血药浓度．(1)求出函数1()c t 的解析式；(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）【正确答案】(1)()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可；（2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解.【详解】（1）令0m N KV=，则1()(12)kt c t N -=-，由图象可知，图象经过(4,8)，(8,12)两点，则()()481281212k k N N --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1614N k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，所以浓度为15时为最迟停止注射时间，故()141161215t c t -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，解得16t =，浓度从15降到4为最长间隔时间，故142()1524t c t -=⨯=，即144215t -=，两边同时取以2为底的对数，则14224log 2log 15t -=，即221lg(310)lg152log 4log 15224lg 2lg 2t ⨯⨯-=-=-=-lg31lg 20.4810.322 1.93lg 20.3+-+-=-≈-=-，所以 1.9347.7t =⨯≈，所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．20．已知幂函数223()()m m f x x m -++=∈Z 是奇函数，且()f x 在(0,)+∞为严格增函数．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求2212log ()log [2()]y f x f x =-，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】（1）0m =，3()f x x =；（2）162x -=时取到最小值为34；2x =时，取得最大值13．（1）由()f x 单调递增得出312m -<<，又m Z ∈，得0m =或1m =，再根据函数奇偶性即可得出结果；（2）化简函数为()222log 13log 9y x x =++，令2log t x =可得213964y t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，在(0,)+∞为增函数，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f xx x ，显然是偶函数，不符合题意；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log y x x x x =-++=，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2213319649y t t t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭=，所以2193t t y ++=在11,6t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,16⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，当16t =-即21log 6x =-，162x -=时min 34y =；因为1517(1)16666⎛⎫---=<--= ⎪⎝⎭，当1t =时，即2log 1x =，2x =时max 93113y =++=.本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的最值，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质是解题的关键，属于常考题型.21．已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数．(1)当1a =时，解不等式()2f x <的解集；(2)当6a =时，写出函数()y f x =的单调区间；(3)若在[0,2]上存在2021个不同的实数(1,2,,2021)i x i = ，122021x x x <<<L ，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-++-= ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)(,2)-∞(2)增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，减区间为[3,6](3)(,2][6,)-∞-+∞ 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；（2）根据二次函数直接写出函数单调区间即可；（3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解.【详解】（1）当1a =时，()|1|f x x x =-，当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<，所以12x <<，当1x =时，()02f x =<成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <，综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）当6a =时，()226,666,6x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，所以由二次函数的单调性知，()f x 的严格增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，严格减区间为[3,6]；（3）①当0a ≤时，()()f x x x a =-在[0,2]上严格增，所以12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211(()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得2a ≤-；②当4a ≥时，()()f x x a x =-在[0,4]上严格增，12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得6a ≥，③当24a ≤<时，()f x 在[0,]2a 上严格增，在[],22a 上严格减，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-++- ()()0222a a f f f f ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2224(4)4442a a a a =⨯-+=-+<，不满足条件，④当02a <<时，()f x 不单调，max ()max{(),(2)}42a f x f f =<，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x-+-++- max 2()8f x ≤<，不满足条件，所以实数a 的取值范围为(,2][6,)-∞-+∞ ．关键点点睛：本题的关键在于求12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于8，而最大值的上界小于8不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对a 需结合单调性分类讨论.。
2023-2024学年上海建平中学高一上学期数学月考试卷及答案(2023.12)
1建平中学2026届第一学期高一年级12月数学月考2023.12一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合{}{}21,0,1,2,1,,A B x x x =−=−，且B A ⊆，则x =______． 2．已知一个扇形的圆心角大小为3π，弧长为23π，则其面积为______． 3．已知幂函数()()212222m m f x mm x+=−−在[)0,+∞上是增函数，则m =______．4．已知角α的终边经过点()1,0P −，则角α的余弦值为______． 5．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}{}22320,A x xx Bx xx =−+===，则A B = ______． 6．若函数()f x =+为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为______．7．定义在()1,2−上的函数()y lg x a =+不存在反函数，则实数a 的取值范围是______． 8．若"23""2"x x a −<<−<<是的充分不必要条件，则a 的取值范围是______． 9．如果关于x 的一元三次方程3232100a x a x a x a +++=（,0,1,2,3i a R i ∈=且30a ≠）有三个实数根123,,x x x ，则12233112x x x x x x x x +++=______（用0123,,,a a a a 表示）10．已知定义在R 上的函数()2224x x x f a x e ae −−=，其中0a >，如果函数()f x 与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围是______．11．已知函数()21,02,0x a x x f x x ax x ++−>= −+≤的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为______． 12．已知函数()()2,f x x g x ax x ==−，其中0a >，若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则实数a 的取值范围是______． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．用反证法证明命题“设,a b N ∈，如果ab 能被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整2除”，假设应该是（ ） A ．,a b 都能被5整除 B ．,a b 至多有一个能被5整除 C ．a 或b 不能被5整除D ．,a b 都不能被5整除14．在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于2π的角一定是锐角，②钝角一定是第二象限的角，③第一象限的角一定不是负角，④第二象限角一定大于第一象限角，其中假命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个15．已知函数()2,,x x f x x x =为无理数为有理数，有下列两个命题： ①()f x 的值域为R ；②对任意正有理数a ，函数()()g x f x a =−存在奇数个零点；则下列判断正确的是（ ） A ．①②均为真命题B ．①②均为假命题C ．①为真命题②为假命题D ．①为假命题②为真命题16．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(),a b 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17．（8分）求下列关于x 的方程的解集． （1）()31lgx lg x ++=；（2）()()2295134x x log log +=++．318．（10分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈−∞时，()x f x e −=． （1）求证：()f x 在定义域内是严格减函数：（2）若()()2610f tx f tx +−−≥对[]1,4x ∈恒成立，求实数t 的取值范围．19．（10分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()110P x x =+，日销售量．．．．()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示： x10 15 20 25 30 ()Q x5055605550（1）给出以下四个函数模型：①()Q x ax b =+；②()Q x a x m b =−+；③()Q x a bx =−；④()b Q x a log x =⋅．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域．．．； （2）设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），求()f x 的最小值．420．（12分）已知函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∈−∞= +∈−（1）写出()f x 的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）： （2）解不等式()20ff x +<；（3）若()12,,2x x ∈−∞满足()()12f x f x =，且12x x ≠，求证：122x x +<．521．（12分）设函数()f x 定义域为D ，如果存在常数K 满足：任取12,x x D ∈，都有()()1212f x f x K x x −≤−，则称()f x 是L 型函数，K 是这个L 型函数的L 常数．（1）判断函数()[]2,1,2f x x x =∈−是不是L 型函数，并说明理由；如果是，给出一个L 常数； （2）设函数()y f x =是定义在区间[],m n 上的L 型函数，a 是一个常数，求证：函数()yf x a =+也是L 型函数；（3）设函数()f x 是定义在[]0,1上的L 型函数，其L 常数(]0,1K ∈，且()f x 的值域也是[]0,1，求()f x 的解析式．6参考答案一、填空题 1.1−； 2.23π； 3. 1−； 4. 1−； 5.{}1； 6.1a >； 7. 12a −<<； 8.()3,+∞； 9.103a a a −； 10.1,2 +∞；11. {[]211,−−∪−； 12.；5443,11. 已知函数()21,02,0x a x x f x x ax x ++−>= −+≤ 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为______．{[]211,−−∪−（1）若0…a −,即0…a 时,()21,0121,1,2,0……a x f x x a x x ax x +< =+−> −+()f x ∴在(]0,−∞上单调递减,最小值为()02f =,在()0,+∞上最小值为1a +,故只需21…a +即可,解得01剟a ;(2)若01…a <−,即10…a −<时,则()221,01,121,12,0………x a x aa a x f x x a x x ax x −−+<− +−<<=+− −+ ()f x ∴在(]0,−∞上先减后增,最小值为2224a a f=−,在()0,+∞上最小值为1a +, 故只需2214…a a −+即可,解得22a −−−+又10,10剟a a −<∴−<, (3)若1a −>,即1a <−时,()221,011,1,21,2,0………x a x a x a f x x a x a x ax x −−+< −−<<−= +−− −+()f x ∴在(]0,−∞上先减后增,最小值为2224a a f=−,()f x 在()0,+∞上的最小值为10a −−>7而()f x 的最小值为10a +<,故只需令2214a a −=+即可,解得2a =−−2a =−+舍),综上,a的取值范围是{[]211,−−∪−.故答案为:{[]211,−−∪−.12. 已知函数()()2,f x x g x ax x ==−，其中0a >，若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则实数a 的取值范围是______．5443,依题意,()()()()1212f x f x g x g x =,可等价于()()()()1212f x g x g x f x =，令()()221,11x ax xh x m x ax ax x ax x −====−−−则问题等价于对任意的[]113x ,∈,总存在[]214x ,∈,使得()()1h x m x =成立,其中0a >, 所以()h x 的值域是()m x 的值域的子集,又当[]0,1,3a x >∈时,()[]()110131311h x ,a ,a a a ∈∉−− −−当[]0,1,4a x >∈时,()[]141m x a ,a ∈−−,所以11311411a a a a ≥− − ≤− −(1),依题意可知,1a −与31a −同号,当1a >时,解(1)式可得,5443a ,∈;当103a <<时,此时(1)式无解.综上,5443a , ∈ ;故答案为:5443,.二、选择题13.D ； 14.A ； 15. D ； 16. B 15. 已知函数()2,,x x f x x x = 为无理数为有理数，有下列两个命题：8①()f x 的值域为R ；②对任意正有理数a ，函数()()g x f x a =−存在奇数个零点；则下列判断正确的是（ ） A ．①②均为真命题B ．①②均为假命题C ．①为真命题②为假命题D ．①为假命题②为真命题D由于()f x 的值域为R ,故(1)为假命题;当0…a 时,()()0g x f x a =−=,即()f x a =,此时方程无解,所以()g x 没有零点;当0a >时,()()0g x f x a =−=,即()f x a =,此时方程有2个解,即()g x 有2个零点,故(2)为假命题.16. 已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(),a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个B若不等式()2…f x 在[]1,5x ∈上恒成立,则必须满足()()()()()()212212,1232,2932,2,25222552,3f a b f a b f a b −≤≤−≤++≤−≤≤−≤++≤−≤≤−≤++≤ 即由()()212,12932,2a b a b −≤−−−≤ −≤++≤ ,两式相加,得482462,剟剟a a −+⇒−−(4), 再由()()5232932,2252,a b a b −≤−−−≤ −≤++≤ 两式相加,得41624106剟剟a a −+⇒−−(5), 结合(4),(5)两式可知,6a =−,代入不等式得()()()252,292,25213,2b b b −≤−+≤−≤−+≤−≤−+≤ 解得7b =,经检验,当6,7a b =−=时,()()226732f x x x x −+−−,9则()()()()()152,32max min f x f f f x f =====−满足()2…f x 在[]15x ,∈上恒成立,综上,满足要求的有序数对()a,b 为()67,−,共一个. 故选:B . 三、解答题17.（1）2x = （2）1x =18.（1）证明略 （2）13t ≥19.（1）()2060Q x x =−−+ （2）441 20. 已知函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∈−∞= +∈−（1）写出()f x 的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）： （2）解不等式()20ff x +<；（3）若()12,,2x x ∈−∞满足()()12f x f x =，且12x x ≠，求证：122x x +<．见解析（1）递增区间(],1−∞；递减区间[)1,2和[)2,+∞；(2) 由题意210,11厔?x x −−, ①[]10x ,∈−,不等式()20f f x +<,即22120x x −−<,解得x <x >,所以1x , ∈−− ; ②(]01x ,∈,不等式()20ff x +<,即22120x x −+<,解得x ∈∅;综上,1x , ∈−− ;10(3)证明:函数()(](),123,122x x x ,f x x ,x ∈−∞= +∈ −的大致图象如图, 当(]1x ,∈−∞时,函数单调递增,当()12x ,∈时,函数单调递减,所以若()12,2x x ,∈−∞满足()()12f x f x =,则1212x x <<<,由图象知, ①若10…x ,则显然122x x +<;②若10x >,要证明122x x +<,则要证212x x <−,注意到21,21x x −>,且()f x 在()12,递减,则可证明()()212f x f x >−, 因为()()12f x f x =,则可证明()()112f x f x >−, 构造函数()()()2F x f x f x −−,()01x ,∈,则()223F x x x=−−,任取12,x x ,使1201x x <<<,则 ()()()()()()()2112121212121212121222222,2x x F x F x x x x x x x x x x x x x x x x x −−=+−−=+−+=−+−1201x x <<<因为所以12120,02x x x x −<<+<()121212222,0x x x x x x >+−< 所以()()12121220,x x x x x x−+−<即()()()()12120,F x F x F x F x −<<所以()F x 在()0,1上单调递减,又因为()()()1110,F f f =−=所以当()01x ,∈时,()()10F x F >=, 即()()2f x f x >−,所以()()212f x f x >−,从而122x x +<,得证.21．（12分）设函数()f x 定义域为D ，如果存在常数K 满足：任取12,x x D ∈，都有()()1212f x f x K x x −≤−，则称()f x 是L 型函数，K 是这个L型函数的L 常数．11 （1）判断函数()[]2,1,2f x x x =∈−是不是L 型函数，并说明理由；如果是，给出一个L 常数；（2）设函数()y f x =是定义在区间[],m n 上的L 型函数，a 是一个常数，求证：函数()y f x a =+也是L 型函数；（3）设函数()f x 是定义在[]0,1上的L 型函数，其L 常数(]0,1K ∈，且()f x 的值域也是[]0,1，求()f x 的解析式．（1）是，4K ≥；（2）见解析；（3）(),01f x x x =≤≤或()1,01f x x x =−≤≤；（1）定义域内任取12,x x ，221212x x K x x −≤−。