河南省实验中学2020届九年级下学期第一次月考数学试题答案
第一问3分 第二问2分
第一问2分
（）要有计算过程
第四问2分
本题得分写在17题号前
20题、共9分
第一问3分
第二问3分
第三问3分 本题得分写在20题号前
21
题
只用对改4个空和一个图即可
（1） 共 10 分
（2）
（3）
本题得分写在21题号前
河南省实验中学 2020届九年级下学
期第一次月考 数学试题答案
一、选择题（每题3分，共30分）
对改后，直接 写总分
二、填空题（每题3分，共15分）
对改后，直接 写总分
16、化简求值（共8分）
化简结果正确得5分， 化简结果不对后边 不用在看0分
此题只 有0分， 5分或8 分
本题得分写在16题号前
17 题， 共9 分
精品解析：山西省实验中学2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)
山西省实验中学2019-2020学年第一学期九年级第一次阶段性测评九年级数学一、选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1.下列方程是一元二次方程的是（ ）A. x 2+2y ＝1B. x 3﹣2x ＝3C. x 2+21x ＝5D. x 2＝0 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、x 2+2y ＝1是二元二次方程，故A 错误；B 、x 3﹣2x ＝3是一元三次方程，故B 错误；C 、x 2+21x ＝5是分式方程，故C 错误； D 、x 2＝0是一元二次方程，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一 元二次方程的定义，掌握其定义 是解题的关键.2.把一元二次方程x (x +1)＝3x +2化为一般形式，正确的是( )A. x 2+4x +3＝0B. x 2﹣2x +2＝0C. x 2﹣3x ﹣1＝0D. x 2﹣2x ﹣2＝0【答案】D【解析】【分析】方程移项变形即可得到结果.【详解】一元二次方程的一般形式为20ax bx c ++=x(x+1)＝3x+2x2+x﹣3x﹣2＝0，x2﹣2x﹣2＝0故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.3.下列说法中不正确的是（）A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等【答案】C【解析】【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．【点睛】本题考查了菱形判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．4.一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】B【解析】试题分析：在方程2x 2+x ﹣3=0中，△=12﹣4×2×（﹣3）=25＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B ．考点：根的判别式5.如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x 米，则下列方程正确的为（ ）A. ()58200x x -=B. ()29200x x -=C. ()292200x x -=D. ()582200x x -=【答案】D【解析】【分析】 根据题意用含x 的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽列式.【详解】解：∵垂直于墙的边长为xm ，∴平行于墙的一边为（58-2x ）m ．根据题意得：x （58-2x ）=200，故选：D ．【点睛】利用矩形的性质，正确理解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．6.下列说法中，正确的有（ ）个.①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形。
河南省实验中学等校2024-—2025学年九年级上学期期中数学试题
河南省实验中学等校2024-—2025学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1．如图所示，该几何体的左视图是（）A ．B ．C ．D ．2．袋中有50个除颜色外其余均相同的小球，从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为（）A ．20B ．15C ．10D ．53．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．234x x +=B ．240x =C ．20ax bx c -+=D ．2225x y +=4．如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在竖格线上.若线段 3.2AB cm =，则线段BC的长为（）A ．6.4cmB ．8cmC ．9.6cmD ．12.8cm 5．在长为30m ，宽为20m 的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为2468m ，求道路的宽度．设道路的宽度为(m)x ，则可列方程（）A ．(302)(20)468x x --=B ．(202)(30)468x x --=C ．302023020468x x ⨯-⋅-=D ．(30)(20)468x x --=6．下列条件不能判定 ADB ∽ ABC 的是（）A ．∠ABD ＝∠ACBB ．∠ADB ＝∠ABC C ．AD AC ＝DB BCD ．AB 2＝AD •AC 7．如图，点O 为菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，点M ，N 分别为边AB ，BC 的中点，连接MN ，若2MN =，BD =，则菱形的周长为（）A．B ．12C．D ．168．综合实践课上，嘉嘉设计了“利用已知矩形ABCD ，用尺规作有一个内角为30︒角的平行四边形”．他的作法如下：如图1，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径，在AB 两侧作弧，分别交于点E ，F ，作直线EF ；（2）如图2，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧，交直线EF 于点G ，连接AG ；（3）如图3，以点G 为圆心，以AD 长为半径作弧，交直线EF 于点H ，连接DH ．则四边形AGHD即为所求作的平行四边形，其中30GAD ∠=︒．根据上述作图过程，判定四边形AGHD 是平行四边形的依据是（）A ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形D ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形9．如图，点B 是线段AC 的黄金分割点()BC AB >，则下列结论中正确的是（）A ．222AC AB BC =+B ．2AB AC BC =⋅C ．12AB AC =D ．12BC AC =10．如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB BC →匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为（）A ．2B ．3CD ．二、填空题11．若23a b =则a b a b -=+．12．方程240x x c +-=有两个相等的实数根，则c =．13．如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是8cm ．一只长20cm 的蜡烛放在距离箱体32cm 的位置，则蜡烛在屏幕CD 上成的像长是．14．把两个全等的矩形ABCD 和矩形CEFG 拼成如图所示的图案，若4BC =，2AB =，则ACF 的面积为.15．如图，已知在三角形纸片ABC 中，90912A AB AC ∠=︒==，，．折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点D 处，折痕为EF （点E 在AB 上，点F 在AC 上）．若BDE V 与ABC V 相似．则折痕EF 的长度等于．三、解答题16．解下列方程：(1)2510x x +-=(2)()()752652x x x +=+17．2024年10月19日河南省实验中学举办首届“创意无界梦绘校园”校园文创设计大赛，在校园文创产品素材征集中推出四种素材：A ．服饰（如：衣服、帽子、胸针）、B ．纪念品（如：学校标志性建筑模型、摆件、徽章、光影画）、C ．生活用品（如：书包、水杯、台历、雨伞、钥匙扣）、D ．文化用品（如：文具、本、纸、文件夹、公文包、手提袋），参赛学生可自由选择自己擅长的素材进行设计．为了解学生最喜欢哪一类素材，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有人；(2)请将条形统计图补充完整；(3)在征集的“纪念品”素材作品中，甲、乙、丙、丁四件作品较为优秀，现决定从这四件作品中任选两件校内展览，用树状图或列表法求出恰好选中甲、乙两件作品的概率．18．实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 的坐标分别为()13，，()32，．(1)画出OAB △绕点B 顺时针旋转90︒后的O A B ''△；(2)点M 是OA 的中点，在（1）的条件下，M 的对应点M '的坐标为________．(3)以点B 为位似中心，相似比为2:1，在x 轴的上方画出O A B ''△放大后的22O A B △．19．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：222222831,1653,2475=-=-=-；则8、16、24这三个数都是奇特数．(1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”）(2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD ，其边长为403，求阴影部分的面积．20．某果园有100棵桃树，平均每棵桃树结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高果园产量．但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?(1)设多种x 棵桃树后，桃树有棵，桃子的总产量为个；(2)请求出多种的桃树数量x ．21．如图所示，某测量工作人员头顶A 与标杆顶点F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高AB 为1.4m ，标杆FC 的长为2.8m ，且测量人员与标杆的距离BC 为3.5m ，标杆与电视塔的距离CD 为6.5m ，AB BC ⊥，FC BD ⊥，ED BD ⊥，求电视塔的高DE ．22．如图1，ABCD 的各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．(1)求证：四边形EF 为矩形；(2)如图2，当ABCD 为矩形时，①四边形EF 的形状为；②若8AD =，四边形EF 的面积为6，求A 的长．23．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】()1如图①，PC 是PAB 的角平分线，求证：PA AC PB BC=．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B 作BD PA ，交PC 的延长线于点D ，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C 分别作CD PA ⊥交PA 于点D ，作CE PB ⊥交PB 于点E ，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【尝试应用】2如图②，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边A 上一点，连结C ，将ACD 沿C 所在直线折叠，使点A 恰好落在边BC 的中点E 处．若5DE =，求AC 的长．【拓展提高】()3如图③，ABC 中，6AB =，4AC =，C 为BAC ∠的角平分线．C 的垂直平分线EF 交BC 延长线于点F ，连接AF ，当3BD =时，AF 的长为．。
广东实验中学2024-2025学年九年级10月月考数学试题(解析版)
广东实验中学2024-2025学年第一学期10月质量检测九年级数学说明：试卷满分120分，考试时间120分钟！ 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ﹣2，4 B. ﹣2，﹣1C. 2，4D. 2，﹣4【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数和一次项系数的定义求解即可．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式()200ax bx ca ++=≠，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项．【详解】解：关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别2和﹣4， 故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二()200ax bx ca ++=≠，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项．2. 下列各点中，在二次函数289y x x =−−图象上的点是（ ） A. ()1,16−− B. ()1,16− C. ()3,8−− D. ()3,24【答案】B 【解析】【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．【详解】A ． 189016y =+-=≠-，选项错误，不符合题意； B ． 1891616y =--=-=-，选项正确，符合题意； C ． 9249248y =+-=≠-，选项错误，不符合题意； D ． 92492424y =--=-≠，选项错误，不符合题意． 故选：B ．【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．3. 平面直角坐标系中，将抛物线y ＝﹣2x 2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是（ ） A. y ＝﹣2（x ＋2）2＋1 B. y ＝﹣2（x ＋2）2﹣1 C. y ＝﹣2（x ﹣2）2＋1 D. y ＝﹣2（x ﹣2）2﹣1【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线y ＝﹣2x 2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是：y ＝﹣2（x ＋2）2﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减． 4. 用配方法解方程2650x x −+=，配方后所得的方程是（ ） A. 2(3)4x +=− B. 2(3)4x −=−C. 2(3)4x +=D. 2(3)4x −=【答案】D 【解析】【详解】解：2650x x −+=22223353x x −×+=−+()234x −=故选：D ．【点睛】本题考查了配方法，解决本题关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．5. 已知点()11,A y −，()26,B y 是抛物线()22y x k =−−上的两点，则1y ，2y 的大小关系为（ ）A. 12y y <B. 12y y >C. 12y y =D. 无法确定【答案】A 【解析】的【分析】根据抛物线解析式得，1a =，对称轴为2x =，则当2x <时，y 随x 的增大而减小，当2x >时，y 随x 的增大而增大，点()11,A y −的对称点为1(5,)A y ′，根据256<<即可得． 【详解】解：抛物线()22y x k =−−，1a =，对称轴为2x =，∴当2x <时，y 随x 的增大而减小，当2x >时，y 随x 的增大而增大，点()11,A y −的对称点为1(5,)A y ′， ∵256<<， ∴12y y <， 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 6. 已知a 为一元二次方程2310100x x +−=根，那么2264a a ++的值是（ ） A. 2024− B. 1012−C. 0D. 2024【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到2310100a a +−=，进而得到．231000a a +=，再由()22264234a a a a ++=++，利用整体代入法求解即可．【详解】解：∵a 为一元二次方程2310100x x +−=的根， ∴2310100a a +−=， ∴231000a a +=，∴()222642342100042024a a a a ++=++=×+=， 故选D ．7. 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有x 个，则可列方程（ ）A. ()11282x x −= B. ()128x x −= C. ()11282x x +=D. ()128x x +=【答案】A 【解析】的【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数12x （x −1），由此可得出方程． 【详解】解：设邀请x 个队，每个队都要赛（x −1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，()11282x x −=， 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．8. 关于x 的方程m （x +h ）2+k =0（m ，h ，k 均为常数，m ≠0）的解是x 1=-3，x 2=2，则方程m （x +h -3）2+k =0的解是（ ）A. x 1=-6，x 2=-1B. x 1=0，x 2=5C. x 1=-3，x 2=5D. x 1=-6，x 2=2【答案】B 【解析】【详解】解：解方程m （x +h ）2+k =0（m ，h ，k 均为常数，m ≠0）得x =-h 而关于x 的方程m （x +h ）2+k =0（m ，h ，k 均为常数，m ≠0）的解是x 1=-3，x 2=2，所以-h =-3，-h =2，方程m （x +h -3）2+k =0的解为x =3-h ， 所以x 1=3-3=0，x 2=3+2=5． 故选：B ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法．9. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB 的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC 是（ ）A. 16米B. 18米C. 20米D. 24米【答案】C 【解析】【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与x 轴的交点坐标即可求解．【详解】解：∵喷水头的高度（即OB 的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，设抛物线解析式为()28 1.8y a x =−+，将点()0,1代入，得164 1.8a =+解得180a =−∴抛物线解析式为()218 1.880y x =−−+ 令0y =，解得20x （负值舍去） 即()20,0C ，20OC ∴=米．故选：C【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．10. 二次函数2y ax bx c ++的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列结论：①0abc >；②0a c b +−>；③420a b c ++>；④30a c +>；⑤()a b m am b +≤+（m 为实数）．正确的有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的图象的开口方向判断a 的正负性，与y 轴的交点位置判断c 的正负性，根据对称轴的位置判断b 的正负性，从而可判断①；观察函数图象，取=1x −和2x =时，判断对应的函数值正负性，即可判断②，③；根据对称轴得出2b a =−，代入②中即可判断④；根据函数在1x =时，取得最小值，得出2a b c am bm c ++≤++，即可判断⑤．【详解】解：由图象可知：0a >，0c <， 由对称轴可知：02ba−>， ∴0b <， ∴0abc >， 故①正确；由图象知：当=1x −时，0y >， 即0a b c −+>， 故②正确；由图象知：当2x =时，0y <， 即420a b c ++<， 故③错误；∵12bx a=−=， ∴2b a =−， ∵0a b c −+>，∴()20a a c −−+>，即30a c +>， 故④正确；函数在1x =时，取得最小值，2a b c am bm c ++≤++（m 为一切实数）， 即()++≤++a b c m am b c （m 为一切实数）， 故()a b m am b +≤+（m 为一切实数）， 故⑤正确； 故正确的有4个． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数图象与性质，本题属于中等题型．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 解方程：2(2)90x −−=的根是 _____． 【答案】125,1x x ==−【解析】【分析】利用直接开方法，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：2(2)9x −=， 开方得：23x −=±， 解得：125,1x x ==−． 故答案为：125,1x x ==−．【点睛】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 12. 抛物线2(2)y x =−的顶点坐标是__________________． 【答案】（2，0） ． 【解析】【分析】直接利用顶点式可知顶点坐标． 【详解】顶点坐标是（2，0）， 故答案为：（2，0）．【点睛】主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．13. 已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x −+=的两根，则1212x x x x +−=______． 【答案】1 【解析】【分析】直接利用根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2430x x −+=的两根，∴124x x +=，123x x =， ∴1212431x x x x +−=−=． 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若12x x 、是方程aaxx 2+bbxx +cc =0(0a ≠)的两根，则12bx x a +=−，12c x x a=． 14. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下： x…-3-2-11…y … -4 -3 -4 -7 -12 …则该图象的对称轴是___________ 【答案】2x =− 【解析】【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴． 【详解】解：由表格可得，当x 取-3和-1时，y 值相等， 该函数图象的对称轴为直线3(1)22−+−==−x ， 故答案为：2x =−．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性解答．15. 如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A −，()1,1B ，则12y y ≤，x 的取值范围是______．【答案】21x −≤≤ 【解析】【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x −≤≤时，12y y ≤， ∴12y y ≤时，x 的取值范围是21x −≤≤． 故答案为：21x −≤≤【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．16. 飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是s =75t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行_____秒能停下来． 【答案】25【解析】【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s 最大时对应的t 值． 【详解】解：由题意，得 s =75t ﹣1.5t 2=﹣1.5（t 2﹣50t +625﹣625） =﹣1.5（t ﹣25）2+937.5，即当t =25秒时，飞机才能停下来． 故答案是：25．【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t =25时，s 取最大值．三．解答题（共9小题，共72分）17. 解下列关于x 的方程： （1）230x x −−= （2）2(23)3(23)x x −=−【答案】（1）1x =，2x = （2）132x =，23x =． 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：230x x −−=，1a =，1b =−，3c =−，21413130()()∴∆=−−××−=>，x∴=，1x ∴2x =．【小问2详解】解：2(23)3(23)x x −=−， 解：2(23)3(23)0x x −−−=，()()232330x x −−−=， 230x ∴−=或2330x −−=， 132x ∴=，23x =．18. 已知抛物线223y x x =+−，填空并画图：（1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标是_______；（2）选适当数据填入下表，并在图中直角坐标内描点画出该抛物线的图像；x … … y……（3）当0y ≤时，自变量x 的取值范围是_______． 【答案】（1）直线1x =−；(1,4)−− （2）见解析 （3）31x −≤≤ 【解析】【分析】（1）将二次函数的一般式化为顶点式作答即可；（2）先列表，然后描点，最后用平滑的曲线连线，即可画出图像；（3）根据图像作答即可； 【小问1详解】解：2223(1)4y x x x =+−=+−∴该抛物线的对称轴是直线1x =−；顶点坐标为(1,4)−−故答案为：直线xx =−1，()14−−，【小问2详解】 解：列表如下：x … 3− 2−1− 01 … y…0 3−4− 3−…作图如下：【小问3详解】解：由图像可知：当31x −≤≤时，0y ≤ 故答案：31x −≤≤【点睛】本题考查了二次函数图像的画法以及性质；熟练掌握二次函数图像与表达式之间的关系是解题的关键．19. 已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()5,0A −、()1,0B −两点． （1）求出这条抛物线的函数表达式；（2）用配方法求出这个抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）265y x x =++为（2）抛物线的顶点坐标为()3,4−−，对称轴为直线3x =− 【解析】【分析】（1）将()5,0A −、()1,0B −代入2y x bx c =++，得255010b c b c −+=−+=，解得，65b c = = ，进而可得抛物线的函数表达式； （2）由题意知，()226534y x x x =++=+−，进而可得抛物线的顶点坐标为()3,4−−，对称轴为直线3x =−．【小问1详解】解：将()5,0A −、()1,0B −代入2y x bx c =++，得255010b c b c −+=−+=，解得，65b c == ，∴这条抛物线的函数表达式265y x x =++； 【小问2详解】解：由题意知，()226534y x x x =++=+−，∴抛物线的顶点坐标为()3,4−−，对称轴为直线3x =−．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20. 已知：关于x 的一元二次方程23x mx +=（m 为常数）． （1）证明：无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）32− 【解析】【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是正确理解①若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根时，12bx x a +=−，12cx x a=②根的判别式24b ac ∆=−，0∆>时有两个不相等的实数根，0∆=时有两个相等的实数根， 0∆<时无实数根．（1）根据判别式的值得到2120m ∆=+>，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用两根之积为3−，即可确定方程的另一根． 【小问1详解】23x mx += 230x mx +−=，∵1a =，b m =，3c =−，∴()222Δ441312b ac m m =−=−××−=+ ∵20m ≥， ∴2120m +>， ∴0∆>，∴无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】设方程的另一个根为1x ， ∴13231c x a −===−， ∴132x =−，即方程的另一个根为32−．21. 某文具专柜销售一种进价为40元的书包，当售价为60元时，日销售量为100个，国庆期间，通过市场调查发现这种书包的单价每降低2元，日销售量可增加20个．现准备降价x 元销售，请回答： （1）该专柜原来销售这种书包每天可获利_______元；（2）降价销售时，现在每个书包获利_______元，每天可售出书包_________个；（3）若该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元，并且为尽可能让利于顾客，赢得市场，则每个书包应降价多少元？ 【答案】（1）2000（2）()20x −，()10010x +（3）每个书包应降价6元 【解析】【分析】（1）根据利润=（售价−进价）×销售量，列式计算即可求解； （2）根据题意列出代数式即可；（3）根据“该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】解：根据题意得：()6040100201002000−×=×=（元）， ∴该专柜原来销售这种书包每天可获利2000元，故答案为：2000； 【小问2详解】 解：根据题意得：降价销售时，现在每个书包获利：()()604020x x −−=−元，每天可售出书包：()10020100102x x+×=+个，故答案为：()20x −，()10010x +； 【小问3详解】解：根据题意得：()()20100102240x x −+=， 整理得：210240x x −+=， 解得：14x =，26x =，尽可能让利于顾客，6x ∴=，∴每个书包应降价6元．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式、一元二次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22. 如图，抛物线()20y ax bx c a ++≠与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的正半轴交于点C ．已知抛物线的顶点坐标为()14，，点B 的坐标是()30，．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线上能否找到一点P ，使PO PC =？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）()214y x =−−+（2）能，点P坐标为312 + ，或312， 【解析】【分析】（1）根据题意，设出抛物线顶点式，将点B 的坐标是()30，，利用待定系数法即可得到答案； （2）根据题意，若存在P ，则P 在线段OC 的中垂线上，求出线段OC 的中垂线的表达式为32y =，联立()21432y x y =−−+=求解即可得到点P 坐标为312 + ，或312，． 【小问1详解】解： 抛物线()20y ax bx c a ++≠的顶点坐标为()14，， ()214y a x ∴=−+,抛物线()214y a x −+与x 轴的交点分别为A 、B ，点B 的坐标是()30，，∴()20314a =−+，解得1a =−， ∴该抛物线的解析式为()214y x =−−+；【小问2详解】 解：能，理由如下：假设在该抛物线上存在一点P ，使PO PC =，则P 在线段OC 的中垂线上，抛物线的解析式为()214y x =−−+，∴当0x =，3y =，即抛物线与y 轴的交点C ()0,3，∴线段OC 中点坐标为30,2，∴线段OC 的中垂线的表达式为32y =，∴联立()21432y x y =−−+ =，解得132x y =+ =132x y = =， ∴点P 坐标为312 ，或312−，． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数解析式、线段相等问题，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．23. 在长方形ABCD 中，5AB =cm ，6BC =cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：BQ =________，PB = ________（用含t 的代数式表示）： （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于262cm 若存在，请求出此时t 的值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）2t cm ；(5)t −cm（2）当t 的值为0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm（3）存在，当1t =秒时，使得五边形APQCD 的面积等于262cm 【解析】【分析】本题考查了列代数式，勾股定理，一元二次方程的应用等知识．熟练掌握列代数式，勾股定理，一元二次方程的应用是解题的关键．（1）由题意得，2AP t BQ t ==，，则5PB t =−，然后作答即可； （2）由题意知，当0t =时，5PQ =，当03t <≤时，由勾股定理得，222PBBQ PQ +=，即222(5)(2)5t t −+=，计算求出满足要求的解即可；（3）由题意知，()215625530262BPQ ABCD APQCD S S S t t t t =−=×−⋅⋅−=−+= 长方形五边形，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】解：∵点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．∴2AP t BQ t ==，， ∴5PB t =−，故答案为：2t cm ；(5)t −cm ； 【小问2详解】解：当0t =时，5PQ =， 当03t <≤时，由勾股定理得，222PB BQ PQ +=，即222(5)(2)5t t −+=， 解得：10t =（舍去），22t =； 综上所述，当t 的值为0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ； 【小问3详解】 解：存在，由题意知，()215625530262BPQ ABCD APQCD S S S t t t t =−=×−⋅⋅−=−+= 长方形五边形， 解得，1214t t ==，（舍去）， ∴存在，当1t =秒时，使得五边形APQCD 的面积等于262cm ． 24. 阅读理解：材料1：若代数式()200ax bx ca ++=≠在实数范围内可因式分解为()()212ax bx c a x x x x ++=−−. 令()()120a x x x x −−=我们可以得到该方程的两个解为1x ，2x ，则我们也可以得到关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两个解也为1x ，2x ，那么我们称这两个解为“共生根”，由()()212ax bx c a x x x x ++=−−得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：12b x x a +=−，12c x x a=．材料2：已知实数m ，n 满足210m m −−=，210n n −−=，且m n ≠，根据材料1求n mm n+的值． 解：由题知m ，n 是方程足210m m −−=的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：1m n +=，1mn =−，()22221231m n mn n m m n m n mn mn +−++∴+====−−． 解决以下问题：（1）方程2430x x −−=的两个“共生根”为1x ，2x ，则12x x +=_______，12x x =_______； （2）已知实数m ，n 满足2310m m −+=，2310n n −+=，且m n ≠，求11m n+的值； （3）已知实数p ，q 满足232p p =+，2213q q =−，且1p q ⋅≠，求1pq p q++． 【答案】（1）4，3− （2）3 （3）1 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，学以致用． （1）直接利用根与系数的关系求解；（2）利用m 、n 满足的等式，可把m 、n 可看作方程2310x x −+=的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到3m n +=，1mn =，接着把11m n+化简，然后利用整体代入的方法计算； （3）把2213q q =−整理后得到2113?20q q −−=，232p p =+整理后得到2320p p −−=，则p ，1q 可看作方程2320x x −−=的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到p q+=13，p q=− 12，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】解：根据题意得：124x x +=，123x x =−， 故答案为：4，3−； 【小问2详解】2310m m −+=，2310n n −+=，且m n ≠， ∴m ，n 可看作方程2310x x −+=两个不相等的“共生根”， ∴3m n +=，1mn =， ∴11331m n m n mn ++===， ∴113m n+=； 小问3详解】2213q q =−， ∴q q −−=21320，∴2113?20q q −−=， 232p p =+，即2320p p −−=，且1p q ⋅≠，∴p ，1q可看作方程2320x x −−=的两个不相等的“共生根”， ∴p q+=13，p q =− 12，∴11321pq p p p q q q++=++=−=． 25. 如图，抛物线()20y ax x c a =++>与x 轴交于()2,0A −，()10B ,两点，与y 轴负半轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D 是抛物线上第三象限内的一点，连接CD ，若ACD ∠为锐角，且30ACD ∠<°，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）如图2，经过定点P 作一次函数22ky kx =+−与抛物线交于M ，N 两点．试探究11PM PN+是否为的【定值？请说明理由．【答案】（1）22y x x =+− （2）23D x −<<−+ （3）114PM PN+=是定值，理由见解析． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A 作1AE AC ⊥，使1AE AC =，连接1CE 交抛物线于点1D ，过点1E 作11E F x ⊥轴于点1F ，求出()0,2C −，又()2,0A −，得到OAC是等腰直角三角形，得到1AE AC =，11AE F是等腰直角三角形，求出1AF 、1OF 的长，得到1E 的坐标，求出直线1CE 解析式，进而得到点1D 的坐标，同理可得2D 的坐标， 进而得到点D 横坐标的取值范围；（3）设()()1122，，，M x y N x y ，列方程组2222k y kx y x x=+− =+− ，得到2k (1)02x k x +−−=，根据根与系数的关系得到12121,x x k x x +=−根据勾股定理求出21MN k =+，由点P 是直线k22y kx =+−上一定点，得到1,22P−−，求出,,PM PN PM PN ⋅，即可得到答案． 【小问1详解】解：∵抛物线()20y ax x c a =++>与x 轴交于()()2010A B −，，，两点， 42010a c a c −+=∴ ++=，解得：12a c ==− ，∴该抛物线的解析式为22y x x =+−； 【小问2详解】∵tan30°，∴如图1，过点A 作1AE AC ⊥，使1AE AC =，连接1CE 交抛物线于点1D ，过点1E 作11E F x ⊥轴于点1F ，∵22y x x =+−，令0x =，得=2y −，∴()0,2C −，又()2,0A −，∴2OA OC ==，∴OAC 是等腰直角三角形，AC ∴，45OAC ∠=°，1AE AC ∴== ∵190CAE ∠=°，∴1145E AF ∠=°，∵1190AF E ∠=°，∴11AE F 是等腰直角三角形，1111AF E F AE ∴=112OF OA AF ∴=−=−1(2E ∴−，设直线1CE 解析式为y kx b =+，则(22k b b −+ =−，解得：22k b =− =− ，∴直线1CE解析式为(22y x =−−−，联立方程组得2(222y x y x x =−− =+− ，解得：1102x y = =− （舍去），2237x y =−=+ ，(13D ∴−+，同理可得：(23D −+− ，∵ACD ∠为锐角，且30ACD ∠<°，33D x ∴−<<−，又∵点D 是抛物线上第三象限内的一点，23D x ∴−<<−【小问3详解】11PM PN +是定值．理由如下：设()()1122，，，M x y N x y ， 由2222ky kx y x x =+− =+− ，得()2102kx k x +−−=，12121,2kx x k x x ∴+=−=−，11222,222k ky kx y kx +−+− ，∴()1212y y k x x −−＝，MN ∴===== 21k =+，∵点P 是直线k 22y kx =+−上一定点， 1,22P ∴−−，PM ∴===，PN ==(21PM PN k∴⋅=+(21k =+(21k =+ ()2114k +14MN =， 11414PM PN MN PM PN PM PN MN +∴+===⋅， 故11PM PN +是定值． 【点睛】此题是二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直角坐标系中两点之间的距离，等腰直角三角形的性质，综合掌握二次函数与几何图形的解题思路及方法是解题的关键．。
考点01 图形的旋转-2021届九年级《新题速递·数学》(人教版)(解析版)
考点01 图形的旋转1．（江苏省无锡市丁蜀中学2020-2021学年第一次阶段性测验数学试题）经过以下变化后所得到的三角形不能和ABC 全等的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵平移、旋转，翻折前后的三角形全等， ∵选项A 、B 、C 不符合题意，【点睛】本题主要考查全等三角形、平移、旋转、翻折的知识，熟练掌握相关定义是关键．2．（2020年江西省初中名校联盟九年级质量监测（一）数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，将ABC 绕点C 逆时针旋转θ角到DEC 的位置，这时点B 恰好落在边DE 的中点，则旋转角θ的度数为（ ）．A ．60︒B ．45︒C ．30D ．55︒A 【答案】A【解析】∵点B 恰好落在边DE 中点上，90ECD ACB ︒∠=∠=， ∵EB=CB ，由旋转的性质可得EC CB =，ECB θ∠= ∵EB CB EC == ∵EBC 是等边三角形， ∵60ECB θ︒∠==．故选A ．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质和等边三角形的判定及性质是解决此题的关键．3．(2019年山东省潍坊诸城市九年级中考三模数学试题)如图，ABC ∆中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ADE ∆，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ）A．8-BC ．1D【答案】B【解析】如图所示，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ， 由旋转可知：AB=AD ，∵BAD=60°， ∵∵ABD 是等边三角形， ∵∵BDA=60°，AB=BD ， 又∵∵BAC=∵ADE=45°， ∵∵BDE=∵BAE=60°-45°=15°， ∵在∵ABE 与∵DBE 中，AB BD BAE BDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ABE∵∵DBE （SAS ） ∵∵ABE=∵DBE∵BF∵AD ，点F 为AD 中点， 又∵AC=BC=2，∵EF=12AD =∵BE=BF -故答案为：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形、等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用旋转的性质构造等边三角形进行解答．4．（2020年山东省枣庄市九年级中考三模数学试题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(1,2-+B ．()C ．(2D ．(-【答案】B【解析】如图，作B H y '⊥轴于H ．由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒，∴30A B H ''∠=︒， ∴112AH A B '''==，B H '= ∴3OH =，∴()B '，故选B ．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（浙江省绍兴市三校联考2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在ABC ∆中，108BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''∆．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为（ ）A ．18︒B ．20︒C ．24︒D ．28︒【答案】C【解析】解：设C '∠=x°.根据旋转的性质，得∵C=∵'C = x°，'AC =AC, 'AB =AB. ∵∵'AB B =∵B.∵AB CB ''=，∵∵C=∵CA 'B =x°. ∵∵'AB B =∵C+∵CA 'B =2x°. ∵∵B=2x°.∵∵C+∵B+∵CAB=180°，108BAC ∠=︒， ∵x+2x+108=180. 解得x=24.∵C '∠的度数为24°. 故选：C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.6．（江苏省江阴市长寿中学2020-2021学年八年级10月阶段性检测数学试题）如图，∵AOB 中，∵B=30°，将∵AOB 绕点O 顺时针旋转得到∵A′OB′，若∵A′=40°，则∵B′= °，∵AOB= ．【答案】30°，110°【解析】∵∵AOB中，∵B=30°，将∵AOB绕点O顺时针旋转得到∵A′OB′，∵A′=40°，∵∵B=∵B′=30°，∵A′=∵A=40°，则∵B′=30°，∵AOB=180°-∵A-∵B=110°．故答案为30，110．【点睛】：旋转的变换7．（2020年甘肃省天水市麦积区九年级中考模拟数学试题）如图所示，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是_____．【答案】35°【解析】解：∵∵COD是∵AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，∵∵AOC＝∵BOD＝35°，∵∵AOD＝90°，∵∵BOC＝20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．（江苏省无锡市敔山湾中学2020-2021学年八年级上学期第一次阶段性测验数学试题）如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=2，AB=6，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△△AB′C′，且C′落在CO的延长线上，连接B B′交CO的延长线于点F，则BF=__________．【答案】143．【解析】解：过C作CD∵AB于点D，∵CA=CO，∵AD=DO，∵在Rt∵ACB中，AB=6，AC=2，∵BC= =，∵1122ABCS AB CD AC BC =⋅=⋅∵116222CD⨯⋅=⨯⨯，=23，∵OA=2AD=43，∵OB=AB-OA=6-43=143，∵∵AC′B′是由∵ACB旋转得到，∵AC=AC′，AB=AB′，∵CAC′=∵BAB′，∵∵ACC′=12（180°-∵CAC′），∵ABB′=12（180°-∵BAB′），∵∵ABB′=∵ACC′，∵在∵CAO和∵BFO中，∵BFO=∵CAO，∵CA=CO，∵∵COA=∵CAO，又∵∵COA=∵BOF（对顶角相等），∵∵BOF=∵BFO ，∵BF=BO=143． 故答案为：143．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据三角形面积公式求出CD 的值是突破口．9．（黑龙江省齐齐哈尔市第五十三中学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点A 顺时针旋转到11AB C ∆的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在X 轴上，再将11AB C ∆绕点1B 顺时针旋转到112A B C ∆的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C ∆绕点2C 顺时针旋转到222A B C ∆的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去，…若点()3,02A ，()0,2B ，则点2019B 的坐标为_____________．【答案】（6058，0） 【解析】由题意可得：∵AO=32，BO=2，52=， ∵OA+AB1+B1C2=32+52+2=6，∵B2的横坐标为：6，B4的横坐标为：2×6=12， ∵点B2018的横坐标为：20182×6=6054． ∵点2019B 的横坐标为：356054605822++=； ∵点2019B 的坐标为（6058，0）． 故答案为：（6058，0）．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，勾股定理，点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B 点横坐标变化规律是解题关键．10．（2019年山东省泰安市岱岳区中考第三次模拟数学试题）如图，点1A 的坐标为()1,0， 2A 在y 轴的正半轴上，且1230A A O ∠=︒，过点2A 作2312A A A A ⊥，垂足为2A ，交x 轴于点3A ；过点3A 作3423A A A A ⊥，垂足为3A ，交y 轴于点4A ；过点4A 作4534A A A A ⊥，垂足为4A ，交x 轴于点5A ；过点5A 作5654A A A A ⊥．垂足为5A ，交x 轴于点6A ，按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为____________【答案】A2019[-2018，0] 【解析】∵∵A1A2O=30°，OA1=1，∵点A2的坐标为(0，同理，A3(-3，0)，A4(0，-，A5(9，0)，A6(0，，A7(-27，0)，…，即A1(1，0)，A2[0，，A3[-，0]，A4[0，-(，，0]…，∵序号除以4整除的话在y 轴的负半轴上，余数是1在x 轴的正半轴上，余数是2在y 轴的正半轴上，余数是3在x 轴的负半轴上， ∵2019÷4=504…3，∵A2019在x 轴的负半轴上，A2019[-，0]． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、规律型题目，以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．11.（四川省眉山市2020年中考数学试题）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至11AB C △的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，则1CC 的长为________．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∵BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，1B 落在BC 的中点处， ∵111Rt A B C △是由Rt △ABC 旋转得到，∵1AB =AB=2，而1BC=2AB =4，根据勾股定理：， 又∵1AB =AB=2，且11BB =BC=22，∵1ABB △为等边三角形， ∵旋转角1BAB =60∠︒，∵1CAC =60∠︒，且1AC 1ACC △也是等边三角形，∵1CC故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．12．（湖南省邵阳市邵东市2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上．（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．【答案】(1)见解析；（2）见解析．【解析】解：（1）如图所示，∵O1A1B1即为所求；（2）如图所示，∵BO2A2即为所求．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．13．（江苏省扬州市江都区邵樊片2020-2021学年九年级上学期第一次质量检测数学试题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N 分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM∵PN ；（2）∵PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S∵PMN 最大＝492【解析】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．14．（黑龙江省齐齐哈尔市第五十三中学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）综合与实践 实践操作：①如图1，ABC ∆是等边三角形，D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE ．②如图2，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC 交于点G ．③如图3，将图2中得到AEF ∆沿AE 再一次折叠得到AME ∆，连接MB ．问题解决：（1）小明在探索图1时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：请根据小明的探索直接写出图1中线段CD，CF，AC之间的数量关系为：（2）猜想图2中四边形ADGF的形状，并说明理由；问题再探：（3）在图3中，若AD=6，BD=2，则MB的长为．【答案】（1）CD+CF=AC；（2）四边形ADGF为正方形；理由见解析；（3）【解析】解：（1）如图：由旋转得：∵DAF=60°=∵BAC，AD=AF，∵∵BAD=∵CAF，∵∵ABC是等边三角形，∵AB=AC，∵∵BAD∵∵CAF（SAS），∵∵ADB=∵AFC，BD=CF，∵∵ADC+∵ADB=∵AFC+∵AFE=180°，∵C、F、E在同一直线上，∵AC=BC=BD+CD=CF+CD，+=；故答案为：CD CF AC（2）四边形ADGF是正方形，理由如下：如图：∵Rt∵ABD绕点A逆时针旋转90°得到∵AEF，∵AF=AD，∵DAF=90°，∵AD∵BC，∵∵ADC=∵DAF=∵F=90°，∵四边形ADGF是矩形，∵AF=AD，∵四边形ADGF是正方形；（3）如图3，连接DE，∵四边形ADGF是正方形，∵DG=FG=AD=AF=6，∵∵ABD绕点A逆时针旋转90°，得到∵AEF，∵∵BAD=∵EAF，BD=EF=2，∵EG=FG-EF=6-2=4，∵将∵AFE沿AE折叠得到∵AME，∵∵MAE=∵FAE，AF=AM，∵∵BAD=∵EAM，∵∵BAD+∵DAM=∵EAM+∵DAM，即∵BAM=∵DAE，∵AF=AD，∵AM=AD，在∵BAM和∵EAD中，∵AM ADBAM DAEAB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BAM∵∵EAD（SAS），=故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．。
吉林省松原市前郭县南部学区2024~2025学年度九年级上期中测试.名校调研 物理(含答案)
九 年 · 物 理 ( 省 命 题 ) ( 六 十 ) 九年 ·物理(省命题) (六十)学 校姓 名班 级考 号名校调研系列卷 ·九年级期中测试物理(人教版) 题 号 二三四五 总 分得 分一、单项选择题(每题2分，共12分)1.一般情况下，下列物体中容易导电的是 ( )A.玻璃杯B.塑料尺C.铅笔芯D.橡胶轮胎2.植物油燃料是一种新型燃料，可用来替代传统燃料。
它不易燃、不易爆、无烟无异味，在节能方面比传统燃料更胜一筹，进行同样的工作消耗的燃料更少，这是因为该燃料具有 较大的 ( ) A. 热值 B.比热容 C.内能 D. 质量3.下列用电器正常工作时，所需电压最小的是 ( ) A.电饭锅 B.电子计算器 C. 电冰箱 D.电熨斗4.如图是一款热销的仿真猫咪玩具，其工作原理为：闭合开关S, 电源指示灯 亮，当触摸玩具猫咪头部时，开关S ₂ 闭合，玩具猫咪就会吐舌头(电动机工 作)开启撤娇卖萌模式；当断开开关S ₁ 时，电源指示灯不亮，无论是否触摸 其头部，玩具猫咪都不会吐舌头。
下列电路设计符合上述要求的是( )A B C D5.两只定值电阻，甲标有“1000.8A”字样，乙标有“1500.4A”字样，把它们串联起来， 两端允许加的最大电压是 ( ) A.14V B.10V C.8V D.6V6.小晨同学准备用如图所示的电路测量两个电阻的阻值，但当开关S 闭合时，他发现电流表有示数，电压表V ₁ 、V ₁ 有 示 数 且 示 数 相 同 ， 则电路故障的原因可能是 ( ) A.R ₁ 短路 B.R ₁ 断 路 C.R ₂ 短路 D.R ₁ 断路二、填空题(每空1分，共18分)7.在暗朗无风的天气，小明的爸爸给爷爷家的院门刷油漆时，在院子里玩的小明闻到了油漆 的气味儿，这是 现象；油漆能附着在院门上，这利用了分子间的 8.腊月，东北农村有蒸粘豆包的习俗。
将蒸熟的粘豆包放在寒冷的室外晾凉，这是通过的方式来 粘豆包的内能。
河南省郑州市省实验中学2020-2021学年第一学期七年级第一次月考语文试卷及答案(PDF版)
河南省实验中学2020-2021学年上期第一次月考试卷七年级语文出题人：（时间：110分钟，满分：120分）一、积累与运用(共28分)1.下列加点字的注音完全正确．．．．的一项是（）(2分)A.倜傥．（tǎng）朗润．（rùn）湖泊．（bó）轻捷（jié）B.饼铛．（dāng）狭．窄（xiá）澄．清（chéng）着．落（zháo）C.蝉蜕．（tuì）看．茶（kàn）发髻．（jì）得．劲（dé）D.响．晴（xiǎng）薄．烟（báo）棱．镜(léng)强．迫（qiáng）2.下列词语中没有．．错别字的一项是（）(2分)A.嘹亮端庄木板画山青水秀B.静谧窠巢荧光屏风餐露宿C.高邈粗旷天燃气红装素裹D.冷冽镶嵌三步曲披蓑带笠3.依次填入下面一段文字横线处的词语，最恰当．．．的一项是（）(3分)校园艺术节开幕式上，校长首先致辞：艺术就像蓝天上舞动的云霞，时而洁白如雪，时而五彩缤纷，时而柔曼，时而辉煌热烈……艺术可以让人生充满诗意，时时处处我们的生活。
让我们从热爱艺术开始，热爱生活吧！热情洋溢的讲话深深了在场的每一个人。
A.轻快点缀感慨B.轻盈连缀感慨C.轻盈点缀感染D.轻快连缀感染4.下面句子中加点成语的使用，不正确．．．的一项是（）（3分）A.街上寂静无人，这座大城市还在沉睡着，一阵阵柔和的清新气息到处飘散，再过几个钟头，这里就人声鼎沸．．．．了。
B.夏天的雨总是淅淅沥沥．．．．下一阵，让人觉得酣畅极了。
C.这个孩子活泼好动，每天都神采奕奕．．．．，就没见过他安静地坐下过。
D.挑着花篮灯的姑娘们,打扮得花枝招展．．．．,艳丽俊俏。
5.默写。
（8分）（1）“”，不错的，像母亲的手抚摸着你。
（朱自清《春》）（2），小桥流水人家。
（马致远《天净沙˙秋思》）（3）在《次北固山下》中，表现时序变迁，新事物必将取代旧事物这一自然规律的诗句是:，。
浙江省温州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题(无答案)
2024学年第一学期九年级综合素质检测数学试题卷考生须知：1．试题卷共4页，答题卷共2页；考试时间100分钟；全卷满分120分．2．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效．一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1）A ．B ．C ．D ．2．截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在一次中学生田径运动会上，参加女子立定跳远的15名运动员的成绩情况统计如下：成绩（米） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75人数（人）23253则这15名运动员立定跳远成绩的众数与中位数分别是（ ）A ．1.70，1.70B ．1.70，1.65C ．1.65，1.65D ．1.65，1.706．某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x 场，负y 场，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．若点都在反比例的图象上，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A ，镜子为点O ，BD 表示树，点A ，O ，B 在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为（）A ．4mB ．5mC ．6mD ．7m2x >2x ≠2x <2x ≥90.346510⨯83.46510⨯93.46510⨯834.6510⨯2210x x +-=2(1)2x +=2(1)3x +=2(2)2x +=2(2)3x +=26216x y x y +=⎧⎨+=⎩26216x y x y +=⎧⎨+=⎩16226x y x y +=⎧⎨+=⎩16226x y x y +=⎧⎨+=⎩(4,),(1,),(2,)A a B b C c -4y x=a b c<<a c b<<b c a<<c b a<<1.6CA = 2.4OA =6OB =9．已知下列表格中的每组x ，y 的值分别是关于x ，y 二元一次方程的解，则关于x 的不等式的解集为（ ）x …01…y …0123…A ．B ．C ．D ．10．如图，在中，，D 是BC 上的一点，且，E 是AB 的中点，连结AD ，CE 交于点F ．若时，则阴影部分的面积为（）A．B ．C ．D ．二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）11．因式分解：______．12．已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，如果，，则______cm ．13．一元二次方程有一个根为2，则a 的值为______．14．不等式组的解为______．15．如图，在中，边AB 的中垂线分别交BC 、AB 于点D 、E ，，的周长为18cm ，则的周长为______cm ．16．如图，四边形ABCD 为菱形，其中，，过O 作交AB ，CD 于点E 、F ，则EF 的长为______cm ．ax b y +=0ax b +>3-2-1-1-0x >0x <2x >-2x <-Rt ABC △90ACB ∠=︒:1:2BD CD =2AC CD ==ACF △4565435325a a -=2cm a =8cm b =c =260ax x +-=132133x x ->⎧⎪-⎨≤⎪⎩ABC △8cm AB =ABC △ADC △6cm BD =8cm AC =EF AB ⊥17．如图，双曲线经过的两顶点A 、C ，轴交y 轴于点B ，过点C 作轴于点D ，若，且的面积为4，则k 的值为______．18．如图，在矩形ABCD 中，BE 平分交AD 于E ，连结BE ，CE ，在AB 边上取一点F 使，连结CF ，交BE 于点G，则的值为______．若，则的值为______．三、解答题（本题有6个小题，共58分）19．（本题8分）（1）计算：（2）解方程：20．（本题8分）国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整），其中分组情况（x 为在校锻炼时间）：A 组：；B 组：；C 组：；D 组：．(0)ky x x=>ABC △AB x ∥CD y ⊥2OB CD ==ABC △ABC ∠AF DE =CE CF BF BG =BFAD)15--+-2450x x --=0.5x <0.51x ≤<1 1.5x ≤< 1.5x ≥根据以上信息，回答下列问题：（1）A 组的人数是______人，并补全条形统计图；（2）根据统计数据估计该地区10000名中学生中，求达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少人？21．（本题8分）尺规作图问题：如图，直线，点A ，B 分别在a ，b 上，请在a ，b 上分别作点D ，C ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为菱形．（1）利用尺规（无刻度的直尺和圆规）作出菱形，并保留作图痕迹．（2）根据作图过程，将已知条件补充完整，并写出证明过程．22．（本题10分）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．（1）求反比例函数的表达式：（2）当时，直接写出y 的取值范围；（3）若经过AB 的直线与y 轴交于点C ，求的面积．23．（本题12分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每a b ∥()0ky k x=≠()()2,,9,1A a B a -+1x >OAC △天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．（1）设售价每盒下降x 元，则每天能售出______盒（用含x 的代数式表示）；（2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；（3）该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．24．（本题12分）如图1，已知，在中，，点D 在AB 上，且，点P ，Q 分别从点D ，B 出发沿线段DB ，BC 向终点B ，C 匀速移动，P ，Q 两点同时出发，同时到达终点．设．（1）求AD 的值．（2）求y 关于x 的函数表达式．（3）如图2，过点P 作于点E ，连结PQ ，EQ ．①当时，求x 的值．②过D 作于点F ，作点F 关于EQ 的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x 的取值范围为______（请直接写出答案）．Rt ABC △90,4,3C AC BC ∠=︒==154BD =,BQ x AP y ==PE AC ⊥PQ EQ ⊥DF BC ⊥F 'F 'PQB △。
江苏省常州市第二十四中学、教科院、市实验中学联考2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)
数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）A．﹣6+3＝9B．﹣6﹣3＝﹣3C．﹣6+3＝﹣3D．﹣6+3＝3解答：解：由题意可知：﹣6+3＝﹣3，故选：C．2．（2分）计算（﹣a）3•a2的结果是（ ）A．﹣a6B．a6C．﹣a5D．a5解答：解：（﹣a）3•a2＝﹣a3•a2＝﹣a5，故选：C．3．（2分）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）A．m≤﹣1B．m≤1C．m≤4D．解答：解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，∴b2﹣4ac＝22﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故选：B．4．（2分）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．解答：解：A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；B．是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．5．（2分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）A．角平分线B．中线C．高线D．以上都不是解答：解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，故选：B．6．（2分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°解答：解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin B＝60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．7．（2分）如图，已知∠AOB＝60°，以点O为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，D为圆心，大于，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA交OB于点E，过点P作直线PF ∥OB交OA于点F，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）A．B．C．D．解答：解：过P作PM⊥OB于M，由作图得：OP平分∠AOB，∴，∴，∴，∵PE∥OA，PF∥OB，∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，∴∠POE＝∠OPE，∴OE＝PE，设OE＝PE＝x cm，在Rt△PEM中，PE2﹣MP2＝EM2，即：，解得：，∴．故选：B．8．（2分）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）cm2．A．24B．12C．18D．21解答：解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s），这段高度为：14﹣11＝3（cm），设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18•x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；“几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm），设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．故选：A．二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）25的算术平方根是 5 ．解答：解：∵52＝25，∴25的算术平方根是5．故答案为：5．10．（2分）当a ≠﹣2 时，分式有意义．解答：解：根据题意得，a+2≠0，解得a≠﹣2．故答案为：≠﹣2．11．（2分）因式分解：a2+8a+16＝ （a+4）2 ．解答：原式＝（a+4）2，故答案为：（a+4）2．12．（2分）若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝ 5 ．解答：解：2＝，∵＜＜，∴5＜2＜6，又∵m＜2＜m+1，∴m＝5，故答案为：5．13．（2分）图中的小正方形的边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的点 D ．解答：解：∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故答案为：D．14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E 处．若∠B＝60°，AB＝2，则△ADE的周长为 12 ．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝2，∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝2，∴由折叠得∠E＝∠D＝60°，CE＝CD＝2，∵将△ADC沿AC折叠后，点D落在DC的延长线上的点E处，∴D、C、E三点在同一条直线上，∴DE＝CE+CD＝2+2＝4，∠DAE＝180°﹣∠E﹣∠D＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE＝4，∴AD+AE+DE＝3×4＝12，∴△ADE的周长为12，故答案为：12．15．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝8，AD＝6，则AF的长为 ．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，∠ADC＝90°，AB∥CD，∵AD＝6，∴AC＝＝＝10，∵点E是AB的中点，∴AE＝AB＝4，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠DEA，∠DCF＝∠CAE，∴△CDF∽△AEF，∴＝＝＝2，∴AF＝AC＝，故答案为：．16．（2分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 x＞3 ．解答：解：由题意得，一次函数y＝kx+b的图象经过（2，0），k＞0，∴2k+b＝0，∴b＝﹣2k，∴不等式可化为：2kx﹣6k＞0，解得x＞3，故答案为：x＞3．17．（2分）初三（9）班同学在“2021义卖”活动中表现特别突出，他们设计了两款特别的产品．第一是“人分纪念品”套装，销售一件此产品可获利16%；第二是“一路向北”手提袋，销售一件此产品可获利24%；当销售量的比为3：2时，总获利为18%．当销售量的比为1：3时，总获利为 20.8% ．解答：解：设一件“人分纪念品”套装卖x元，一件“一路向北”手提袋卖y元，则一件此产品可获利16%x 元，一件“一路向北”手提袋可获利24%y元，令“人分纪念品”的销售量为3a，则“一路向北”的销售量为2a，由销售量的比为3：2时，总获利为18%，得：＝18%，解得x＝2y，设销售量的比为1：3时，令“人分纪念品”的销售量为b，则“一路向北”的销售量为3b，则总获利为：＝＝＝20.8%，即总获利为20.8%．故答案为：20.8%．18．（2分）如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC＝1，BD＝3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是 2+ ．解答：解：如图，连接DC，并延长交BA的延长线于点G，欲使封闭图形ACPDB的面积最大，因梯形ACDB的面积为定值，故只需△CPD的面积最小．而CD为定值，故只需使动点P到CD的距离最小．为此作半圆平行于CD的切线EF，设切点为P′，并分别交BD及BA的延长线于点F，E．连接OC，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴△CGA∽△DGB，∴＝，∴GA＝AO＝AC＝1．∴△ACO和△GAC是等腰直角三角形，∴∠GCA＝∠OCA＝45°，∴∠GCO＝90°，∴OC⊥GD．OC⊥EF，∴切点P′就是OC与半圆的交点．即当动点P取在P′的位置时，到CD的距离最小，而OC＝，∴CP´＝﹣1，∴S△CP´D＝×2×（﹣1）＝2﹣，∴封闭图形ACPDB的最大面积为：×（1+3）×2﹣（2﹣）＝4﹣2+＝2+．故答案为：2+．三、解答题（本大题共10小题，第19题6分．第20-25题每题8分，第26-28题每题10分，共84分）19．（6分）计算：（﹣）﹣1+tan60°+|﹣2|+（π﹣3）0．解答：解：（﹣）﹣1+tan60°+|﹣2|+（π﹣3）0＝﹣2++2﹣+1＝1．20．（8分）解不等式组：，并求出它的正整数解．解答：解：，解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x＜14，所以不等式组的解集为x≤5，则不等式组的正整数解为1，2，3，4，5．21．（8分）某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如图：b．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差讲座前72.071.599.7讲座后86.8m88.4c．结合讲座后成绩x，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”（x＜80），有7人获得“优秀奖”（80≤x ＜90），有8人获得“环保达人奖”（90≤x≤100），其中成绩在80≤x＜90这一组的是：80 82 83 85 87 88 88根据以上信息，回答下列问题：（1）居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“〇”圈出代表居民小张的点；（2）写出表中m的值；（3）参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有 64 人．解答：解：（1）如图所示：（2）讲座后成绩的中位数是第10和第11个数的平均数，所以m＝＝87.5；（3）估计能获得“环保达人奖”的有160×＝64（人）．故答案为：64．22．（8分）完全相同的四张卡片，上面分别标有数字﹣1，2，1，﹣3，将其背面朝上，从中任意抽出1张（不放回），记为m，再抽一张记为n，以m作为M点的横坐标，n作为M点的纵坐标，记为M（m，n）．（1）抽出一张卡片标有数字为正数的概率是 ；（2）用树状图或列表法求所有点M（m，n）的坐标，并且点M在第二象限的概率．解答：解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽出一张卡片标有数字为正数的结果有：2，1，共2种，∴抽出一张卡片标有数字为正数的概率是＝．故答案为：．（2）列表如下：﹣121﹣3﹣1（﹣1，2）（﹣1，1）（﹣1，﹣3）2（2，﹣1）（2，1）（2，﹣3）1（1，﹣1）（1，2）（1，﹣3）﹣3（﹣3，﹣1）（﹣3，2）（﹣3，1）由表格可知，共有12种等可能的结果．其中点M在第二象限的结果有：（﹣1，2），（﹣1，1），（﹣3，2），（﹣3，1），共4种，∴点M在第二象限的概率为＝．23．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．解答：（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形．24．（8分）问题背景：新能汽车多数采用电能作为动力来，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．实验操作：为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：电池充电状态时间t（分钟）0103060增加的电量y（%）0103060实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：汽车行驶过程已行驶里程s（千米）0160200280显示电量e（%）100605030建立模型：（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e 关于s的函数表达式；解决问题：（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？解答：解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设y＝a1t+b1，e＝a2s+b2，将（10，10），（30，30）代入y＝a1t+b1得，解得，∴函数解析式为：y＝t，将（160，60），（200，50）代入e＝a2s+b2得，解得，∴函数解析式为：e＝﹣+100．（2）由题意得，先在满电的情况下行走了w1＝240km，当s1＝240时，e1＝﹣s1+100＝﹣＝40，∴未充电前电量显示为40%，假设充电充了t分钟，应增加电量：e2＝y2＝t，出发是电量为e3＝e1+e2＝40+t，走完剩余路程w2＝460﹣240＝220km，w2应耗电量为：e4＝﹣w2+100＝﹣＝45，满电状态下剩余电量45%，据此可得：应耗电量100%﹣45%＝55%，20＝e3﹣e4＝40+t﹣55，解得t＝35，答：电动汽车在服务区充电35分钟．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，k＞0）的图象经过点A（1，2），B （m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．（1）求反比例函数的表达式；（2）当△ABC的面积为4时，求B点坐标．解答：解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数得，＝2，∴k＝2，∴反比例函数解析式为：；（2）把点B（m，n）代入反比例函数得，＝n，∴B（m，），∴C（0，），BC＝，∵S△ABC＝），∴m＝5，∴B的坐标为（5，）．26．（10分）问题发现：如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：①∠ACE的度数为 45 °；②若CE＝2，则CA的值为 ；类比探究：如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长；拓展延伸：如图3所示，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD+∠BCD＝90°，AC、BD为对角线，且满足AC＝CD，若AD＝3，AB＝4，请直接写出BD的值．解答：问题发现：解：①将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，∴∠DAB＝∠CAE＝90°，CA＝EA，∴∠ACE＝45°，故答案为：45；②∵△CAE是等腰直角三角形，∠ACE＝45°，∴AC＝CE•cos45°＝2×＝，故答案为：；类比探究：解：将△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，如图所示：∵△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG＝1，∠ABE＝∠ADG＝90°，∵∠ADC+∠ADG＝180°，∴G、D、C共线，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF，即∠FAG＝∠EAF，在△GAF与△EAF中，，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴EF＝GF，∵GF＝GD+DF＝1+2＝3，∴EF＝3，设正方形ABCD边长为x，则CE＝x﹣1，CF＝x﹣2，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，∴（x﹣1）2+（x﹣2）2＝32，解得：x＝或x＝（舍去），∴正方形ABCD的边长为；拓展延伸：解：将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE，连接AE，如图所示：∴AD＝BE，CA＝CE，∠ACD＝∠ECB，∠ADC＝∠EBC，∵CD＝CB，∴∠BCD＝∠ACE，，∴△DCB∽△ACE，∴，∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝270°，∵∠ADC＝∠EBC，∴∠ABC+∠EBC＝270°，∴∠ABE＝90°，∴AE＝，∴BD＝．27．（10分）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．（1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝ 30 °，∠B＝ 60 °，∠C＝ 90 °．（任意写一种即可）（2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并说明理由．（3）拓展延伸：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作AE ⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1：2，则△ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由．解答：解：（1）由题意得：设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数，∴．可设n＝2，由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴．故答案为：30；60；90．（2）∠B的度数不变．由题意得：设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数，∴．∴∠B的度数不变，且∠B＝60°．（3）△ABC一定为和谐三角形．理由如下：分两种情况讨论：①当S△ACF＝2S△ABF时，如图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G．由OA＝OB＝OC＝r，∠OBC＝30°，可得∠OCB＝30°，∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．∴．∴．∵，∴．又∵S△ACF＝2S△ABF，∴CF＝2BF．∴．∵AF⊥BD，∠OBC＝30°，∴∠AFB＝60°＝∠BAC．又∵∠ABF＝∠CBA，∴△ABF∽△CBA．∴AB2＝BF•BC．∴．∴解得：AB＝r．∴△AOB为等边三角形．∵，∴．∴∠ABC＝90°．∵30°：60°：90°＝1：2：3，∴△ABC为和谐三角形．②当S△ABF＝2S△ACF时，如图2，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G．同理可得OA＝OB＝OC＝r，∠BAC＝60°，，△ABF∽△CBA，∴AB2＝BF•BC．∴．∴△AOB为等腰直角三角形．∴．∴∠ABC＝75°．∵45°：60°：75°＝3：4：5，∴△ABC为和谐三角形．综上所述，△ABC一定为和谐三角形．28．（10分）已知，抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）当m＝0时，求点A，B坐标；（2）若直线y＝﹣x+b经过点A，且与抛物线交于另一点C，连接AC，BC，试判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积；若发生变化，请说明理由；（3）当5﹣2m≤x≤2m﹣1时，若抛物线在该范围内的最高点为M，最低点为N，直线MN与x轴交于点D，且，求此时抛物线的解析式．解答：解：（1）当m＝0时，y＝x2﹣2x，当y＝0时，有x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∵A在B的左侧，∴点A坐标为（0，0），点B坐标为（2，0）．（2）△ABC的面积不变．对于抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m，当y＝0时，有x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0，解得：x1＝m，x2＝m+2．∵A在B的左侧，∴点A坐标为（m，0），点B坐标为（m+2，0），∴AB＝2，∵直线y＝﹣x+b经过点A（m，0），∴0＝﹣m+b，∴b＝m，∴y＝﹣x+m，联立解得x1＝m，x2＝m+1，∵点C在y＝﹣x+m上，当x2＝m+1时，y C＝﹣1，∴C点坐标为（m+1，﹣1）．∴S△ABC＝，∴△ABC的面积不发生变化，S△ABC＝1．（3）∵5﹣2m≤x≤2m﹣1，∴5﹣2m＜2m﹣1，∴m＞．由题可知对称轴为x＝m+1，则对称轴x＝m+1，∵，即范围5﹣2m≤x≤2m﹣1的中点为x＝2，∴，即抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧．①若2m﹣1≤m+1，m≤2，即＜m≤2时，∵抛物线开口向上，当5﹣2m≤x≤2m﹣1时，y随x的增大而减小，如图，当x＝5﹣2m时，取最高点M（5﹣2m，9m2﹣24m+15），当x＝2m﹣1时，取最低点N（2m﹣1，m2﹣4m+3），分别过点M，N作x轴的垂线交于点H，G，则△MDH∽△NDG，∴，即，∴，解得m＝1（舍）或m＝2，∴当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8．②若2＜m+1＜2m﹣1，即m＞2，∴最低点在顶点处取得，∴N（m+1，﹣1），当x＝5﹣2m时，取最高点M（5﹣2m，9m2﹣24m+15），由，得9m2﹣24m+15＝3，解得，∵m＞2，∴m1与m2不符合题意，舍去，综上所述，抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8．。
河南省商丘市梁园区实验中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题
2023-2024学年九年级上学期1月月考数学（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．3B．C．﹣3D．﹣2．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换3．（3分）不透明的袋子中只有个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．3个球都是黑球B．3个球都是白球C．三个球中有黑球D．3个球中有白球4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（）A．152B．160C．165D．1706．（3分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年7．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°8．（3分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝2 9．（3分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．510．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（）A．∠BDC＝∠αB．BC＝m•tanαC．AO＝D．BD＝二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：xy 2﹣4x ＝．12．（3分）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是．13．（3分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A ＝30°，CD ＝2，则⊙O 的半径是．14．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．15．（3分）当x ＝1，y ＝﹣时，代数式x 2+2xy +y 2的值是．16．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解下列方程：（1）24410x x +-=；（2）(21)2(21)x x x -=-18．（8分）如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．19．（8分）商丘市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？20．（8分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．21．（8分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y （万元）．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A 原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A 原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A 原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．22．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线；（2）求证：BC 2＝4CF •AC ；（3）若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝15°，求阴影部分的面积．23．（10分）如图，ABC ∆中AB AC ≠，ABC ∆的三条角平分线交于点O ，过O 作AO 的垂线分别交AB 、AC 于点D 、E .（1）写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选一对证明.（2）若6cm BC =，4cm BD =，OC 比CE 长3cm 2，求OBC ∆的周长.24．（12分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．参考答案1D2A3C4B5C6D7A8A9D10C11.x（y+2）（y﹣2）．12.513.214.15.．16.2﹣π．17.（1）112 2x-+=，212 2x-=；（2）11 2x=，22x=18.解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．19.解：（1）8÷16%＝50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50﹣8﹣10﹣12﹣16＝4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×＝115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×＝288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．20.解：在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，则AD＝≈CD，在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴CD＝CD+30，解得，CD＝45，答：这座灯塔的高度CD约为45m．21.解：（1）y＝0.3x+0.4（2500﹣x）＝﹣0.1x+1000因此y与x之间的函数表达式为：y＝﹣0.1x+1000．（2）由题意得：∴1000≤x≤2500又∵k＝﹣0.1＜0∴y随x的增大而减少∴当x＝1000时，y最大，此时2500﹣x＝1500，因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．22.解：（1）如图所示，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF ＝90°，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）连接AD ，则AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，则DB ＝DC ＝，∵∠CDF +∠C ＝90°，∠C +∠DAC ＝90°，∴∠CDF ＝∠DCA ，而∠DFC ＝∠ADC ＝90°，∴△CFD ∽△CDA ，∴CD 2＝CF •AC ，即BC 2＝4CF •AC ；（3）连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝4，S 阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×42﹣4＝﹣4．23.（1） BDO BOC OEC ∆∆∆∽∽．（只写一对即可）．证明 OB 平分ABC ∠，OC 平分ACB ∠，∴1902BOC BAC ∠=︒+∠．又 AO DE ⊥，且DAO EAO ∠=∠，∴AD AE=∴1902BDO BAC ∠=︒+∠．∴BDO BOC ∠=∠，∴BDO BOC ∆∆∽．同理可证BOC OEC ∆∆∽．BC OC OC CE=设OC x =，则32CE x =-，由已知6BC =代入得：632x x x =-解得：123x x ==∴3CE =（厘米）∵BDO BOC ∆∆∽∴BC OB OB BD=将6BC =，3BD =代入得64OB OB =∴OB =∴OBC ∆的周长是(639BC BO CO ++=+=+（厘米）24.解：（1）OB ＝1，tan ∠ABO ＝3，则OA ＝3，OC ＝3，即点A 、B 、C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣3）（x +1）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即：﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，故函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3，点P （1，4）；（2）将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得：x 2﹣（2﹣k ）x ﹣k ＝0，设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2；②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．。
专题2.8平行线的性质与判定大题专练
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】专题2.8平行线的性质与判定大题专练（压轴篇，重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．2．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD 外一点．(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．3．（山东省日照市岚山区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）（1）阅读下面材料：已知：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到∠AEC．求证：∠AEC+∠A+∠C=360°．解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：过点E作EF∥AB，则有∠AEF+∠A=180°（______）．∵AB∥CD，∴EF∥CD（______）．∴∠FEC+∠C=180°（______）．∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC∴∠AEC+∠A+∠C=360°．假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若AB∥CD，E为AB，CD之间一点，则有∠AEC+∠A+∠C=360°（2）已知：直线m∥n，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图2，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求∠ABC的度数；②如图3，当点D在点C的右侧时，设∠ABC=α，∠ADC=β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．4．（江苏省江阴市周庄中学2021-2022学年七年级下学期3月限时作业数学试题）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD 分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．5．（河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．6．（福建省福州市鼓楼区第十八中学2021-2022学年七年级上学期期中考数学试卷）如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2=180°．(1)求证：AB∥CD；(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若3∠M=2∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．7．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD 分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？8．（海南省儋州市鑫源中学2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试题）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC 与α、β之间的数量关系．9．（浙江省杭州市拱墅区杭州树兰中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立吗？请说明理由．(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC ＝40°，求∠BED的度数．10．（江苏省无锡市江阴市华士实验中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a−3)2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)求a、b的值；(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．11．（江苏省盐城市亭湖区毓龙路实验学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数．（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC 的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．12．（江苏省苏州市景城中学2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．13．（广东省东莞市松山湖实验中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷）请作答：(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β．①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．14．（江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E 是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．(1)BD与AC平行吗？为什么？(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．15．（江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图①，已知直线a∥b，点O、C 分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．(1)求证：AB∥CO；(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．①当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；②当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．16．（浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考数学试题）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B=∠E=60°.(1)请说明AE∥BC；(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．①.如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数=_____________；②.在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，∠Q=_____________．17．（湖南省岳阳市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知∠DCF和∠ECF互为邻补角，∠DCF=α(0<α<90°)，将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：∠ACB=90°，∠ABC=60°）．(1)如图1，使三角板的短直角边BC 与射线CD 重合，若α=40°，则∠ACF =_________．(2)如图2，将图1中的三角板ABC 绕点C 顺时针旋转60°，试判断此时AB 与DE 的位置关系，并说明理由．(3)如图3，将图1中的三角板ABC 绕点C 顺时针旋转β(0<β<90°)，使得∠ACE =12∠BCF ，此时α和β满足什么关系？请说明理由．(4)将图1中的三角板绕点C 以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，AC 恰好与直线CF 重合，求t 的值（用含α的式子表示）．18．（广东省广州市白云区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，点A ，B ，C ，D 四点共线，点E ，F ，G ，H 四点共线．BG ，CF 相交于点I ，点J 是直线AD 与EH 之间的一个动点，∠ABJ +∠J +∠EFJ =360°．(1)求证：AD ∥EH ；(2)若BJ 平分∠DBG ，FJ 平分∠CFH ，请探索并证明∠BIF 和∠BJF 之间的数量关系；(3)若∠GBJ =13∠GBD ，∠CFJ =13∠CFH ，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．19．（江西省抚州市乐安县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知的三角形的三个内角的度数和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB =∠CDE =90°，∠BAC =60°，∠DEC =45°．(1)当AB∥DC 时，如图①，求∠DCB 的度数．(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由．(3)如图③，当∠DCB等于______度时，AB∥EC．（直接写出答案）20．（江苏省南通市如皋市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD 平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．(1)如图1，∠ABC=40°，点E与点A重合，求∠G的度数；(2)若∠ABC=α，①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．21．（河北省保定市高阳县2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）如图1，已知∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，在∠EFH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD．(1)如图1，若FAB=150°，求∠HCD的度数；(2)小颖发现，在∠EFH内部，无论FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；(3)①如图3，把图1中的∠EFH=90°改为∠EFH=120°，其他条件不变，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系；②如图4，已知∠EFG+∠FGC=α，点A，C分别在射线FE，GH上，在∠EFG与∠FGH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系．22．（北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为；(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）23．（黑龙江省哈尔滨德强学校2022—2023学年七年级上学期11月份线上教学问题诊断数学试题）如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．(1)如图1，求证：AB∥CD；(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求∠VPN 的度数．24．（北京市海淀区三帆中学2021-2022学年七年级下学期月考数学试卷（6月份））已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB,CD上，∠EFD=α．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H．(1)如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF=40°时，∠EHF=°；(2)如图2，若α=120°，点P在射线EA上．①补全图形；②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论．(3)如图3，若0°<α<90°，直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含α的式子表示）．25．（江苏省盐城初级中学中校区2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF=30°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α(0°<α<180°)，在旋转过程中：(1)如图2，∠ABC=40°，当∠α=______时，DE∥BC，当∠α=______时，DE⊥BC；(2)如图3，∠ABC=40°，当顶点C在△DEF内部时（不包含边界）)，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，①此时∠α的度数范围是______．②∠BMD与∠AND度数的和是否变化？若不变，求出∠BMD与∠AND的度数和；若变化，请说明理由：______．(3)如图4，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q，则∠BPD与∠AQD有什么关系______．(4)如图5，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q、请在备用图中画出其他可能位置，并写出∠BPD与∠AQD的关系______．26．（浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD之间.(1)若∠ABE =150°，∠BAE =20°．①当∠CDE =2∠EDM 时，求∠BED 的度数.②如图2，作出∠CDE 的角平分线DF ，当DF 平行于△ABE 中的一边时，求∠BED 的度数.(2)如图3，∠CDE 的角平分线DF 交EB 的延长线于点H ，连结BF ，当∠ABH =2∠HBF ，12∠BED +13∠F =40°时，求∠CDE 的度数.27．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）新定义：在△ABC 中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为n 倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A =100°，∠B =50°，∠C =30°，可知∠A =2∠B ，所以△ABC 为2倍角三角形．(1)在△DEF 中，∠E =40°，∠F =35°，则△DEF 为 倍角三角形．(2)已知：在图中直线AB 、CD 被直线EF 所截交点分别为E 、F ，AB∥CD ，∠BEF 与∠DFE 的平分线交于点G ，若△EFG 是6倍角三角形，求∠AEF ．(3)图中AE 平分∠BAC ，CE 平分∠BCD ，∠E =20°，∠ACB =80°，问△ABC 是几倍角三角形，为什么？(4)在△ABC 中，∠A <∠B <∠C ，若△ABC 既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A 的度数．28．（浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，直线PQ ∥MN ，一副直角三角板△ABC 、△DEF 中，∠ACB =∠EDF =90°，∠ABC =∠BAC =45°，∠DFE =30°，∠DEF=60°．(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM= ．(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）29．（浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）30．（北京市第三十九中学2021一2022学年七年级下学期数学期中试卷）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．。