【数学】山西省山西大学附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试(文)科试卷
山西省山大附中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
山西大学附中2015～2016学年高二第一学期11月（总第三次）模块诊断数 学 试 题考试时间：90分钟 考试内容：必修二1.1-3.2一．选择题：(每小题4分)1．已知直线l 过点2)-和(0,1)，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150 B ．120 C ．60D ． 302.如图，正方形''''O A B C 的面积为4，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）A ．B ．16C ．12D ．3．在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23π 错误！未找到引用源。
B ．43π错误！未找到引用源。
C ．53π错误！未找到引用源。
D ．2π4.已知0ab >，0bc <，则直线0ax by c ++=通过（ ） A ．第一、二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限5．在三棱锥A BCD -中，已知侧面ABD ⊥底面BCD ，若60ABC ∠=︒，45CBD ∠=︒，则侧棱AB 与底面BCD 所成的角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒6．一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）7.三条不重合的直线,,a b c 及三个不重合的平面,,αβγ,下列命题正确的是（ ） A ．若//,//,a a αβ则//αβ第12题E1D1C1BD CB1AA第11题B ．若,,,a αβαγβγ⋂=⊥⊥ 则a γ⊥C ．若,,,,,a b c c a c b ααβ⊂⊂⊂⊥⊥则αβ⊥D ．若,,//,//,a c c c αβγαβ⋂=⊂则//a γ8.已知q p ,满足012=-+q p ，则直线03=++q y px 必过定点 （ ）A ．)21,61(-B ．)61,21(C ．)61,21(-D ．)21,61(-9．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC BC ===，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为( ) ABC10．如图，111C B A ABC -是直三棱柱， 90=∠BCA ，点1D 和1F 分别是11B A 和11C A 的中点，若1CC CA BC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．101511.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111A B C D ，底面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 的长为b ，E 为侧棱1BB 上的动点（包括端点），则（ ） A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11B D EC ⊥ B ．当且仅当a b =时，存在点E ，使得11B D EC ⊥ C ．当且仅当a b ≥时，存在点E ，使得11B D EC ⊥ D ．当且仅当a b ≤时，存在点E ，使得11B D EC ⊥12．三棱锥O ABC -中，,,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥若,OA OB a OC b ===，D 是该三棱锥外部(不含表面)的一点，给出下列四个命题，① 存在无数个点D ，使OD ABC ⊥面；② 存在唯一点D ，使四面体ABCD 为正三棱锥；③ 存在无数个点D ，使OD AD BD CD ===；④ 存在唯一点D ，使四面体ABCD 有三个面为直角三角形. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题：(每小题4分)13．两直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a = . 14．空间四边形,8,ABCD AB CD M N P ==、、分别为BD AC BC 、、的中点，若异面直线AB 和CD 成60的角，则MN = ．15．已知正三棱锥P ABC -的主视图和俯视图如下图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为 .16．已知ABC ∆的三边长分别为5AB =，4BC =，3AC =，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点，给出下列四个命题：①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形；②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA PB PC ==；③若5PC =，PC ⊥平面ABC ，则PCM ∆面积的最小值为152；④若5PB =，PB ⊥平面ABC ,则三棱锥P ABC -其中正确命题是 .三．解答题：（共36分）17．（8分）已知直线l 过点(2,3)P ，根据下列条件分别求出直线l 的方程. （1）l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0；（2）l 与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16．18.（8分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AC BC =，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点.1（2）证明：平面1ACD ⊥平面 11ABB A . 19．（理科）（10分）如图，在五面体ABCDEF 错误！未找到引用源。
山西省山西大学附属中学高二数学下学期期中试题 理
2017～2018学年高二第二学期期中考试数 学 试 题（理科）考查内容： 选修2-1，选修2-2第一章一．选择题（本题共12小题，每小题3，共36在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1. i 是虚数单位，则复数ii-25的虚部为（ ） A. 2i B.2- C. 2 D. 2i -2．若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()1,0-B ．()()1,02,-⋃+∞C ．()2,+∞D ．()0,+∞3.已知函数c x x y +-=33的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝（ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C. 1-或1 D ．3-或1 4．若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()3f x dx =⎰( )A ．16B ．54C ．24-D ．18- 5．5个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有（ ）．A. 120种B. 80种C. 48种D.20种 6.设ABC V 的三边长分别为,,a b c ,ABC V 的面积为S ,内切圆半径为r ,则2Sr a b c=++,类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球半径为R ,四面体S ABC -的体积为V ,则R 等于（ ）A ．1234V S S S S +++B ．12342VS S S S +++C ．12343V S S S S +++D ．12344VS S S S +++7．曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．2eB ．22eC ．24eD ．292e 8．若3x = 是函数()()21x f x x ax e =++的极值点，则()f x 的极大值为（ ）A. 2e -B. 32e -C. 32e -D. 16e -9. 某校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课（每门课一节）,要求体育不排在第一节,数学不排在第四节,则这天课标的不同排法种数为（ ） A.600 B.504 C.480 D.28810．函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 311.5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( ) A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种12.若对于()12,,x x m ∀∈-∞，且12x x <，都有1221211x x x x x e x e e e ->-，则m 的最大值是（ ）A ．2eB ．e C. 0 D ．-1二、填空题（本大题共4小题，每小题4，共16分13. 2388C C +=14.由直线2y x =+与曲线2y x =围成的封闭图形的面积是__________．15. 如果函数2()ln 2f x x ax x =+-有两个不同的极值点，那么实数a 的范围是 ． 16.已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不等式()1e ex xf x -<的解集为___________.三、解答题（本大题共5题，共48分）17. （本小题满分8分）已知复数1+i i z m =（是虚数单位， m R ∈），且()3i z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （Ⅰ）设复数12i1im z +=-，求1z ； （Ⅱ）设复数20172i a z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分10分）若函数4)(3+-=bx ax x f ．当2=x 时，函数)(x f 取得极值34-． （1）求函数的解析式；（2）求函数)(x f 在区间]3,3[-上的最值．19．(本小题满分10分)已知函数()2()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为44y x =+．(Ⅰ)求,a b 的值； (Ⅱ)讨论()f x 的单调性．20．（本小题满分10分）已知函数()21ln 2f x x m x =-. （1）求函数()f x 的极值；（2）若1m ≥，试讨论关于x 的方程()()21f x x m x =-+的解的个数，并说明理由.21.（本小题满分10分）已知函数()22ln ,f x x a x ax a R =-+∈,且0a ≠.（1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上是减函数, 求实数a 的取值范围;（2）设函数()()()2231g x a x a a x =+-+,当1x >时,()()f x g x < 恒成立, 求a 的取值范围.山西大学附中2017～2018学年高二第二学期期中考试数 学 试 题（理科）考查内容： 选修2-1，选修2-2第一章一．选择题（本题共12小题，每小题3，共36在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1. i 是虚数单位，则复数ii-25的虚部为（ C ） A. 2i B.2- C. 2 D. 2i -2．若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ C ）A ．()1,0-B ．()()1,02,-⋃+∞C ．()2,+∞D ．()0,+∞ 3.已知函数c x x y +-=33的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝（ A ） A ．2-或2 B ．9-或3 C. 1-或1 D ．3-或1 4．若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()3f x dx =⎰( D )A ．16B ．54C ．24-D ．18- 5．5个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有（ D ）．A. 120种B. 80种C. 48种D.20种 6.设ABC V 的三边长分别为,,a b c ,ABC V 的面积为S ,内切圆半径为r ,则2Sr a b c=++,类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球半径为R ,四面体S ABC -的体积为V ,则R 等于（ C ）A ．1234V S S S S +++B ．12342VS S S S +++C ．12343V S S S S +++D ．12344VS S S S +++7．曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ A ）A ．2eB ．22eC ．24eD ．292e 8．若3x = 是函数()()21x f x x ax e =++的极值点，则()f x 的极大值为（ D ）A. 2e -B. 32e -C. 32e - D. 16e -9. 某校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课（每门课一节）,要求体育不排在第一节,数学不排在第四节,则这天课标的不同排法种数为（ B ） A.600 B.504 C.480 D.28810．函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ D ）A. 1-B. 1C. 2D. 311.5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( A )A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种12.若对于()12,,x x m ∀∈-∞，且12x x <，都有1221211x x x x x e x e e e->-，则m 的最大值是（ C ）A ．2eB ．e C. 0 D ．-1二、填空题（本大题共4小题，每小题4，共16分13. 2388C C += 8414.由直线2y x =+与曲线2y x =围成的封闭图形的面积是___92_______．15. 如果函数2()ln 2f x x ax x =+-有两个不同的极值点，那么实数a 的范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭． 16.已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不等式()1e e x xf x -<的解集为____()1∞+，_______.三、解答题（本大题共5题，共48分）17. （本小题满分8分）已知复数1+i i z m =（是虚数单位， m R ∈），且()3i z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （Ⅰ）设复数12i1im z +=-，求1z ； （Ⅱ）设复数20172i a z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．【解析】试题解析：∵z ＝1＋mi ，∴ 1i z m =-．∴()()()()()3i 1i 3i 313i z m m m ⋅+=-+=++-． 又∵()3i z ⋅+为纯虚数，∴30,{130.m m +=-≠∴m＝－3． ∴z＝1－3i ． （Ⅰ）132i 51i 1i 22z -+==---，∴1z ==．（Ⅱ）∵z＝1－3i ， ∴()()()()()()2i 13i 331ii 13i 13i 13i 10a a a a z -+++--===--+． 又∵复数z 2所对应的点在第四象限，∴30,10{ 310.10a a +>-< ∴3,{ 1.3a a >-<∴133a -<<． 18．（本小题满分10分）若函数4)(3+-=bx ax x f ．当2=x 时，函数)(x f 取得极值34-． （1）求函数的解析式；（2）求函数)(x f 在区间]3,3[-上的最值． 解：（1）b ax x f -=2'3)(， 由题知：0)2('=f 且34)2(-=f ，则：代入有： 012)2('=-=b a f 且34428)2(-=+-=b a f . 解得：4,31==b a 则函数解析式为：4431)(3+-=x x x f .------4分 （2）由（1）知：4)(2'-=x x f ， 令0)('=x f 解得2=x 或2-=x当)2,3(--∈x 时，0)('>x f ，则)(x f 在)2,3(--上单调递增. 当)2,2(-∈x 时，0)('<x f ，则)(x f 在)2,2(-上单调递减. 当)3,2(∈x 时，0)('>x f ，则)(x f 在)3,2(上单调递增. 则)(x f 在2-=x 处取极大值，在2=x 处取极小值. 又Θ 7)3(=-f ， 1)3(=f ，328)2(=-f ，34)2(-=f ∴ 则)(x f 在[]3,3-上的最大值为328，最小值为34-.---------------------10分19．(本小题满分10分)已知函数()2()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为44y x =+．(Ⅰ)求,a b 的值； (Ⅱ)讨论()f x 的单调性．试题解析：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4，由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8． 从而a ＝4，b ＝4．由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫-⎪⎝⎭． 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2．当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0．故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 20．（本小题满分10分）已知函数()21ln 2f x x m x =-. （1）求函数()f x 的极值；（2）若1m ≥，试讨论关于x 的方程()()21f x x m x =-+的解的个数，并说明理由.（2）令()()()()22111ln 2F x f x x m x x m x m x =-++=-++-，0x >，问题等价于求()F x 函数的零点个数.21.（本小题满分10分）已知函数()22ln ,f x x a x ax a R =-+∈,且0a ≠.（1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上是减函数, 求实数a 的取值范围;（2）设函数()()()2231g x a x a a x =+-+,当1x >时,()()f x g x < 恒成立, 求a 的取值范围.【答案】（1）[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U （2）[)1,0-【解析】试题解析：（1）因为函数()f x 在区间[)1,+∞上是减函数, 则()21'20f x a x a x=-+≤, 即()()()22212110F x a x ax ax ax =--=+-≥在[)1,+∞上恒成立. 当0a ≠时, 令()0F x =得12x a =-或1x a =,① 若0a >,则 11a≤,解得1a ≥; ②若0a <,则112a -≤,解得12a ≤-. 综上, 实数a 的取值范围是[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U .（2）令()()()h x f x g x =-,则()()221ln h x ax a x x =-++,根据题意, 当()1,x ∈+∞时,()0h x <恒成立, 所以()()()()1211'221x ax h x ax a x x--=-++=.①当102a <<时,1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭ 时,()'0h x > 恒成立, 所以()h x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数, 且11 ()1,2h x h a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以不符题意. ②当12a ≥时,()1,x ∈+∞ 时, ()'0h x >恒成立, 所以()h x 在()1,+∞上是增函数, 且()()()1,h x h ∈+∞所以不符题意.③当0a <时, ()1,x ∈+∞时,恒有()'0h x <,故()h x 在()1,+∞上是减函数, 于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞都成立” 的充要条件是()10h ≤,即()210a a -+≤,解得1a ≥-,故10a -≤<,综上, a 的取值范围是[)1,0-.。
山西省山西大学附属中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题
2015-2016学年山西省山西大学附属中学高一下学期期中考试数学试卷考查时间：90分钟 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1. tan150o的值为（ ）A3B 3-2.若(1,2),(1,1)OA OB =-=-u u r u u u r ，则AB =uu u r （ ）A (2,3)-B (0,1)C (1,2)-D (2,3)- 3.已知向量(3,),(2,1),a k b a b ==-⊥r r r r ，则实数k 的值为（ ） A 32- B 32 C 6 D 2 4.已知||3a =，b 在a 方向上的投影为32，则a b ⋅= A ．3 B ．92 C ．2 D ．125.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若λ+==31,2，则λ等于 A.31 B. 31- C ．32 D ．32- 6.已知向量,满足210===⋅b a，则=-a 2A ．0B ．2 2C ．4D ．87.给出下列命题： （1）若||||a b =r r ，则a b =r r ； （2）向量不可以比较大小； （3）若,,a b b c ==r r r r 则a c =r r ； （4）||||,//a b a b a b =⇔=r r r r r r其中真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 48.设,为基底向量,已知向量k -=+=-=3,2,,若D B A ,,三点共线,则实数k 的值等于A. 10B. 10-C. 2D. 2- 9.已知向量(3,4),(sin ,cos ),//a b a b αα==r r r r ，则tan α=（ ） A 34 B 34- C 43 D 43-10.如图21,e e 为互相垂直的单位向量，向量++可表示为 A.2123e e - B ． 2133e e --C ．2132e e +D ． 2123e e +11.设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B. a b a b -≤+C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =D ．若//,//a b a c ，则//b c12.设sin14cos14,sin16cos16,2a b c =+=+=o o o o则下列结论正确的是（ ） A a b c << B b a c << C c b a << D a c b << 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. cos89cos1sin 91sin181_________+=o o o o14. tan 25tan 3525tan 35_______+=o o o o15.已知b a c b a λ+===),1,1(),3,1(，若和的夹角是锐角，则λ的取值范围是___16.在直角梯形ABCD 中，//,,45,22,AB CD AB AD B AB CD ⊥∠===o点M 为腰BC 的中点，则________MA MD ∙=u u u r u u u r三、解答题（本题共5大题，共52分）17.（10分）已知(1,3),(3,),(1,),//AB BC m CD n AD BC =-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）求实数n 的值（2）若AC BD ⊥uuu r uu u r ，求实数m 的值18.（10（1，求()f α的值（2）若α为第二象限角，且，求()f α的值19.（10分）已知非零向量,1=,且43)()(=+⋅-b a b a .(1); (2)当41-=⋅时,求向量与2+的夹角θ的值.20.（12分）设)6,8(),,5(),3,(),1,1(===-=y x ，且⊥+)4(,//.(1)求和; (2)求在方向上的投影； (3)求1λ和2λ，使21λλ+=.21.（10分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),||a b a b ααββ==-=r r u r r （1）求cos()αβ-的值（2）若120,0,cos 2213ππαββ<<-<<=，求sin α山西大学附中2015~2016学年第二学期高一4月（总第2次）模块诊断数学参考答案一、选择题BDCBC BBCAD DD二、填空题 13. 0 14. 5,02λλ>-≠且 16. 2三、解答题17.（1）(1,3),(3,),(1,),(3,3),...............2//3(3)303................................5AB BC m CD n AD AB BC CD m n AD BC m n m n =-==∴=++=++∴++-=∴=-uuu r uuur uu u rQ uuu r uu u ruu u r uu u r uuu r uu u r Q 分分（2）由（1）得(1,-3),CD =uu u r (2,3),(4,3)AC AB BC m BD BC CD m =+=+=+=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ………7分 Q AC BD ⊥uuu r uu u r 所以 8(3)(3)0,1m m m ++-=∴=±………………….10分..6分（1分（2）19. (1)Q 43)()(=+⋅-b a b a ∴2223311||442a b b b -=∴-=∴=r r r r ………….4分(2) Q 211(2)212()42a a b a a b ∙+=+∙=+⨯-=r r r r r r ………………..6分 又 Q 22211|2|4414()4144a b a a b b +=+∙+=+⨯-+⨯=r r r r r r …………..8分∴|2|1a b +=r r..10分20(1)//,6240, 4.............1b d x x ∴-=∴=Q 分4(4,10),(4)54100, 2..............3(4,3),(5,2)................4a d a d cy y b c +=+⊥∴⨯+==-∴==-r u r r u r r Q r r 分分(2)cos ,58a c a c a c ⋅<>===-rr r r r r 分 ∴c 在a方向上的投影为cos ,2c a c <>=-r r r 分 . (3)21λλ+= 121254....................1023λλλλ=-+⎧∴⎨-=+⎩分，解得 12233,................1277λλ=-=分21. （1）(cos ,sin ),(cos ,sin ),=cos -cos sin -sin |-542-2cos -= (453)cos -=.......................55a b a b a b ααββαβαβαβαβ==-∴∴∴r r r r r r （，）分（）分（）分（2）由（1）得3cos -=.5αβ（） 0,0,0224sin() (7512)5cos ,0,,sin (8132134)123533sin sin[()]()........1051351365ππαβαβπαβπβββααββ<<-<<∴<-<∴-==-<<∴=-∴=-+=⨯+⨯-=Q Q 分分分。
湖南师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题 含答案
第Ⅰ卷（学业水平摸底考试，满分100分）一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)。
1。
已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,2,5U A B ===，则()UA CB 等于（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．三棱锥3.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 4.化简()2sin cos αα+=（ ）A ．1sin 2α+B ．1sin α-C ．1sin 2α-D ．1sin α+ 5.向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°7。
下列坐标对应的点中,落在不等式10x y +-<表示的平面区域内是（ )A ．()0,0B ．()2,4C ．()1,4-D ．()1,88。
在ABC ∆中,已知0120,1,2A b c ===，则a 等于（ ）A 3B 523+C 7D 523-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，将答案填在答题纸上)9。
比较大小：2log 5_____2log 3(填“>”或“<"）．10.某校有高级教师20人，中级教师30人,其他教师若干人,为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人.11。
某程序框图如图所示，若输入的,,a b c 值分别为3，4，5,则输出的y 值为________。
12.若1a >,则11a a +-的最小值是________． 三、解答题 （本大题共5小题,共40分。
【期末试卷】山西省2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
高二数学（理）1.已知22⨯列联表：随机变量()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．2．对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，则()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑ 一、选择题（每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.从4名男生、2名女生中选派4人参加某项活动，如果要求至少有1名女生被选中，那么不同的选派方案种数为（ ） A ．14 B ．20 C ．28 D ．482.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22⨯列联表： 计算得到2K 的观测值约为7.822．下列说法正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”3.已知变量,x y 的取值如下表．如果y 与x 线性相关，且ˆ1ykx =+，则k 的值为( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.94.已知有15名美术特长生和35舞蹈特长生，从这50人中任选2人，他们的特长不相同的概率是（ ） A ．27 B ．37 C ．47 D ．575.已知两个随机变量,X Y 满足24X Y +=，且()21,2X N ，则()(),E Y D Y 依次是（ ） A ．3,22 B ．1,12 C ．3,12 D ．1,226.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（ ） A ．480 B ．240 C ．120 D ．967. ()6211a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-58.将7个人（其中包括甲、乙、丙、丁4人）排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ） A ．1108种 B ．1008种 C ．960种 D ．504种9.将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为（ ） A ．120 B ．125 C ．130 D ．13510.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85．现该 地区已无特大洪水过去了30年，在未来10年内该地区将发生特大洪水的概率是（ ）A ．0.25B ．0.30C ．0.35D ．0.4011. ()1nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为729，不含y 的项的系数绝对值的和为64，则,,a b n 的值可能为（ ）A ．1,2,6a b n =-==B ．1,2,5a b n =-=-=C ．2,1,6a b n ==-=D ．1,2,5a b n ===12.设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作正确决策的概率均为()01p p <<．当占半数以上的成员作出正确决策时，系统作出正确决策．要使有5位成员的决策系统比有3位成员的决策系统更为可靠，p 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题 共4小题，每小题5分）13.随机变量X 只能取1，2，3，且()()13P X P x ===，则()E X =____________． 14.某办公室为保障财物安全，需要在春节放假的七天内每天安排一人值班，已知该办公室共有4人，每人需值班一天或两天，则不同的值班安排种数为_________． （用数字作答） 15.已知()()()()()9211201211121111x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则1211a a a ++=_________．16.将6个不同的小球放进4个不同的盒子，每个小球放入任何一个盒子都是等可能的，则4个盒子中小球的数量恰好是3，2，1，0的概率是___________． （用数字作答）三、解答题 （本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知n 为正整数，在二项式122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79．（1）求n 的值；（2）判断展开式中第几项的系数最大？ 18.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位/人）（1）能事据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的8名女生（其中包括甲、乙两人）中任意抽取两人对她们的答题E X．情况进行全程研究，记甲、乙两人被抽到的人数为X，求X的分布列及期望()19.（本小题满分12分）在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：（1）根据表中数据，求物理分数y对数学分数x的线性回归方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2名参加一项活动，以X表示选中的同学E X．的物理成绩高于90分的人数，求X的分布列及数学期望()20.（本小题满分12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后结束后将球放回原箱）．（1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；E X．（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()21.（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.4，一旦发生，将造成500万元的损失．现有,A B两种相互独立的预防措施可以使用．单独采用A预防措施所需的费用为80万元，采用A预防措施后此突发事件发生的概率降为0.1．单独采用B预防措施所需的费用为30万元，采用B 预防措施后此突发事件发生的概率降为0.2．现有以下4种方案；方案1：不采取任何预防措施；方案2：单独采用A 预防措施；方案3：单独采用B 预防措施；方案4：同时采用,A B 两种预防措施．分别用()1,2,3,4i X i =（单位：万元）表示采用方案i 时产生的总费用． （总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件的损失） （1）求2X 的分布列与数学期望()2E X ； （2）请确定采用哪种方案使总费用最少． 22.（本小题满分12分）我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在,A B 两城市之间开通高速列车，假设列车在试运行期间，每天在8:009:00,9:0010:00-- 两个时间段内各发一趟由A 城开往B 城的列车（两车发车情况互不影响），A 城发车时间及概率如下表所示：若甲、乙两位旅客打算从A 城到B 城，他们到达A 火车站的时间分别是周六的8:00和周日的8:20（只考虑候车时间，不考虑其他因素）．（1）设乙候车所需时间为随机变量X （单位：分钟），求X 的分布列和数学期望()E X ； （2）求甲、乙两人候车时间相等的概率．参考答案1---6 ACCBCB 7---12 DBAAAB 13. 2 14. 2520 15. 3 16.45128故12n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设二项式()1212121121422x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中第1k +项的系数最大，则有1112121112124444k k k k k k k k C C C C --++⎧≥⎨≥⎩ ，求得9.410.4k ≤≤，所以10k =， 所以展开式中第11项的系数最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 18.解：（1）由表中数据得2K 的观测值()225022128850= 5.5565.024*********K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯> .所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）X 的所有可能取值为0，1，2，()()()2112662222288815310,1,228728C C C C P X P X P X C C C =========．X 的分布列为：所以()012287282E X =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）设所求的回归直线方程为ˆˆˆybx a =+， ()18991939597935x =++++=， ()18789899293905y =++++=，()()()252222214202440i i x x=-=-+-+++=∑，()()()()()()()51432101224330iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑，()()()5152130ˆ0.7540iii i i x x y y bx x==--===-∑∑，ˆˆ900.759320.25ay bx =-=-⨯=， 故所求回归直线方程为ˆ0.7520.25y x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2）X 的所有可能取值为0，1，2．()()()2112222222244412101,2636C C C C P X X P X C C C =========，P ，X 的分布列为：所以()210121636E X =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）①设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件()A 0,1,2,3i i =，则()2132322531P 5C C A C C == ．②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B=A UA ．又()21121332222222253531P 2C C C C C A C C C C =+= ，且23A ,A 互斥， 所以()()()23117P 2510B P A P A =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，()()212797721P 01;1110100101050X P X C ⎛⎫⎛⎫==-===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2749P 210100X ⎛⎫===⎪⎝⎭； 所以X 的分布列是所以()21497012100501005E X =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）2X 的所有可能的取值是80，580；2X 的分布列如下()2800.95800.1130E X =⨯+⨯=（万元）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）1X 的分布列如下()100.65000.4200E X =⨯+⨯=（万元） 3X 的分布列如下()3300.85300.2130E X =⨯+⨯=（万元）． 4X 的所有可能的取值是110，610；()()446100.10.20.02,11010.020.98P X P X ==⨯===-=， 4X 的分布列如下()41100.986100.02120E X =⨯+⨯=（万元）经比较在()()()()1234,,,E X E X E X E X 中()4E X 最小，故为使总费用最小采用方案4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）X 的所有可能取值为10，30，50，70，90．()()()()()1111111110,30,50,70,3266366318111906212P X P X P X P X P X ======⨯===⨯===⨯=所以X 的分布列为：所以，()1112801030507090323618129E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设甲候车所需时间为随机变量Y （单位：分钟），Y 的分布列如下：所以甲、乙两人候车时间相等的概率()()()10305011111117633223672P P X Y P X Y P X Y ===+==+===⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
2015-2016学年山西省重点中学协作体高二(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年山西省重点中学协作体高二（下）期末数学试卷一、填空题（每空5分，共20分）1．（5分）已知直线l1：ax+y+3＝0，l2：x+（2a﹣3）y＝4，l1⊥l2，则a＝．2．（5分）若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z＝x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为．3．（5分）在△ABC中，若边长和内角满足b＝，c＝1，B＝45°，则角C的值是．4．（5分）椭圆（a＞b＞0）的右顶点为A，上、下顶点分别为B2、B1，左、右焦点分别是F1、F2，若直线B1F2与直线AB2交于点P，且∠B1P A为锐角，则离心率的范围是．二、选择题（每空5分，共60分）5．（5分）已知集合A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），B＝{x|log2（x+2）≤3}，则A∩B＝（）A．（2，6）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，6]C．（﹣2，﹣1）∪（2，6]D．（3，6]6．（5分）已知复数z＝1﹣i（i是虚数单位），则﹣z2的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i7．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x），是它的导函数，且恒有sin x•f′（x）＞cos x•f（x）成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（）＞f（）C．f（）＞2f（）D．f（）＜f（）8．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“m＝1”是“直线x﹣my＝0和直线x+my＝0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x＝y，则sin x＝sin y”的逆命题为真命题9．（5分）已知向量＝（3，1），＝（1，3），＝（k，﹣2），若（）∥，则向量与向量的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…一直数到2016时，对应的指头是（）A．小指B．中指C．食指D．大拇指11．（5分）对于函数f（x）＝tan2x，下列选项中正确的是（）A．f（x）在（﹣，）上是递增的B．f（x）在定义域上单调递增C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的所有对称中心为（，0）12．（5分）已知a＞0，b＞0满足a+b＝1，则的最小值为（）A．12B．16C．20D．2513．（5分）已知，，那么cosα等于（）A．B．C．D．14．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（）A．2B．C．2D．215．（5分）双曲线﹣＝1与直y＝﹣x+m（m∈R）的公共点的个数为（）A．0B．1C．0或1D．0或1或2 16．（5分）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．4B．11C．13D．15三、简答题17．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝4，a6+a8＝18．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．18．（12分）已知函数f（x）＝2sin cos+2cos2．（I）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）若f（B）＝3，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．19．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点E，F分别是AB，B1C1的中点，且∠DAB＝60°，AA1＝AB＝2．（I）求证：EF∥平面AB1D1；（II）求三棱锥A﹣CB1D1的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2＝4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝1．（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；（II）若从圆C1的圆心发出一束光线经直线x﹣y﹣3＝0反射后，反射线与圆C2有公共点，试求反射线所在直线的斜率的范围．21．（12分）已知函数f（x）＝xe ax+lnx﹣e（a∈R）．（I）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）设g（x）＝lnx+﹣e，若函数h（x）＝x•[f（x）﹣g（x）]在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．选做题[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB 上，DE⊥EB，且，AE＝6．（I）判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系并说明理由；（II）求EC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．[选修4-5：不等式选讲]24．（I）求|2x﹣1|+|2x+3|＜5的解集；（II）设a，b，c均为正实数，试证明不等式，并说明等号成立的条件．2015-2016学年山西省重点中学协作体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每空5分，共20分）1．【解答】解：∵直线l1：ax+y+3＝0，l2：x+（2a﹣3）y＝4，l1⊥l2，∴a+（2a﹣3）＝0，解得a＝1．故答案为：1．2．【解答】解：z＝x2+y2+6x﹣2y+10＝（x+3）2+（y﹣1）2，则z的几何意义为区域内的点到点D（﹣3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当BD垂直直线x+y﹣4＝0时，此时BD的距离最小，最小值为点D到直线x+y﹣4＝0的距离d＝＝，则z＝（）2＝18，故答案为：183．【解答】解：由正弦定理可得，∴＝＝，∵c＜b，∴C是锐角，∴C＝30°．故答案为：30°．4．【解答】解：由题意，∠B1P A就是与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则＝（a，﹣b）、＝（﹣c，﹣b），由向量的夹角为锐角，知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，把b2＝a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＜0，解得＜e＜，又0＜e＜1，所以0＜e＜，故答案为：0＜e＜．二、选择题（每空5分，共60分）5．【解答】解：集合A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），B＝{x|log2（x+2）≤3}＝{x|0＜x+2≤23}＝{x|﹣2＜x≤6}＝（﹣2，6]；所以A∩B＝（﹣2，﹣1）∪（2，6]．故选：C．6．【解答】解：由复数z＝1﹣i，得﹣z2＝＝，则﹣z2的共轭复数是：1﹣3i．故选：A．7．【解答】解：由f′（x）sin x＞f（x）cos x，则f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0，构造函数g（x）＝，则g′（x）＝，当x∈（0，）时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，）上单调递增，∴g（）＜g（），∴f（）＜f（），故选：D．8．【解答】解：对于A，根据否命题的意义可得：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；对于B，“m＝1”是“直线x﹣my＝0和直线x+my＝0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x﹣my＝0和直线x+my＝0互相垂直”的充要条件是m2＝1，即m＝±1．对于命题C：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确对于D，根据正弦定理，∵x＝y⇔sin x＝sin y”，所以逆命题为真命题是正确的．故选：D．9．【解答】解：∵＝（3，1），＝（1，3），＝（k，﹣2），∴＝（k﹣3，﹣3），∵（）∥，∴3（k﹣3）＝1×（﹣3），∴k＝2，∴＝3×2+1×（﹣2）＝4，∴||＝，||＝2，∴cos＜，＞＝＝＝，故选：A．10．【解答】解：∵大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n，其中n∈Z，又∵2013＝251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指．故知数到2016时对应的指头是食指．故选：C．11．【解答】解：x＝﹣时，函数没有意义，A不正确；正切函数在定义域上不是单调函数，B不正确；函数f（x）＝tan2x的周期为：，所以C不正确；（，0）是函数的对称中心，所以D正确．故选：D．12．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足a+b＝1，则＝＝10+≥10+2＝16，当且仅当，即a＝，时，等号成立．故的最小值为16，故选：B．13．【解答】解：，，可得＝．cosα＝cos（α+﹣）＝+＝＝．故选：B．14．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为SD＝2，底面三角形边长BC＝2，高AD＝2；∴该三棱锥的最长棱是SA＝＝＝2．故选：C．15．【解答】解：由双曲线﹣＝1，得到a＝3，b＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，当m＝0时，直线y＝﹣x与双曲线没有公共点；当m≠0时，直线y＝﹣x+m与双曲线渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，综上，双曲线﹣＝1与直y＝﹣x+m（m∈R）的公共点的个数为0或1，故选：C．16．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝0+lg+lg+lg+…+lg的值，且当S＞1时，终止循环；又S＝lg+lg+lg+lg＝lg15＞1，所以，跳出循环时的i值为4，即输出i＝4．故选：A．三、简答题17．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝4，a6+a8＝18．∴，解得：a1＝3，d＝1，故数列{a n}的通项公式为a n＝3+（n﹣1）＝2+n．（II）设数列的前n项和为S n，，∴，∴，化为．18．【解答】解：（I）由已知可得：，所以f（x）的最小正周期为2π．由，k∈Z，得，k∈Z．因此函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．（II）在△ABC中，若f（B）＝3，求得sin（B+）＝1，故．由sin C＝2sin A及，得c＝2a．由b＝3及余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得9＝a2+c2﹣ac，将c＝2a代入得，求得，故．19．【解答】证明：（I）如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．∵，，∴．∴AOFE是平行四边形，∴EF∥OA，而EF⊄平面AB1D1，OA⊂平面AB1D1；∴EF∥平面AB1D1．（II）连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M．则＝，＝+＝2，∵四边形BACD是菱形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥平面ABCD，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴AM⊥平面BDD1B1，∴＝＝×2×2＝，∴＝．20．【解答】解：（I）由于直线x＝4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y＝k（x﹣4）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d＝1∴d＝＝1，从而k（24k+7）＝0即k＝0或k＝﹣∴直线l的方程为：y＝0或，即y＝0或7x+24y﹣28＝0．（II）圆C1的圆心（﹣3，1）经直线x﹣y﹣3＝0对称后的点记为A（4，﹣6），设反射光线所在的直线的斜率为k，则反射光线所在的直线方程为y+6＝k（x﹣4）⇒kx﹣y ﹣4k﹣6＝0．圆C2的圆心（4，5）．直线与圆C2有公共点即直线与圆相交或相切，则⇒⇒k2≥120⇒或．21．【解答】解：（I）y＝f（x）的定义域为（0，+∞），∵a＝1，∴f（x）＝xe x+lnx﹣e，f（1）＝0，∴，∴f'（1）＝2e+1，所以函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（2e+1）（x﹣1）；（II）＝x2e ax﹣1在定义域内存在两个零点，即x2e ax﹣1＝0在（0，+∞）有两个零点．令φ（x）＝x2e ax﹣1，φ'（x）＝ax2e ax+2xe ax＝xe ax（ax+2），i、当a≥0时，φ'（x）＝xe ax（ax+2）＞0，∴y＝φ（x）在（0，+∞）上单调递增，由零点存在定理，y＝φ（x）在（0，+∞）至多一个零点，与题设发生矛盾．ii、当a＜0时，xe ax（ax+2）＝0，则，因为φ（0）＝﹣1，当x→+∞，φ（x）→﹣1，所以要使φ（x）＝x2e ax﹣1在（0，+∞）内有两个零点，则即可，得，又因为a＜0，所以．综上，实数a的取值范围为．选做题[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】解：（I）取BD的中点0，连结OE，如图，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线．（II）设△BDE的外接圆的半径为r．在△AOE中，OA2＝OE2+AE2，即，解得，∵OE∥BC，∴＝，即＝，∴CE＝3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0；由ρ＝﹣4cosθ，得ρ2＝﹣4ρcosθ，即x2+y2＝﹣4x．两式作差得：x+y＝0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|＝，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（Ⅰ）由|2x﹣1|+|2x+3|＜5，可得①，②，，③，解①求得x∈∅，解②求得﹣≤x＜，解③求得≤x＜，综上可得，不等式|2x﹣1|+|2x+3|＜5的解集为{x|﹣≤x＜}；（Ⅱ）证明：∵a，b，c均为正实数，∴（+）≥≥，当且仅当a＝b时等号成立；（+）≥≥，当且仅当b＝c时等号成立；（+）≥≥，当且仅当a＝c时等号成立；三个不等式相加，得，当且仅当a＝b＝c时等号成立．。
山西大学附中2015-2016学年高一下学期期中数学试卷 含解析
2015—2016学年山西大学附中高一（下)期中数学试卷一、选择题:（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．tan150°的值为（）A．B．C．D．2．若=(﹣1,2），=(1，﹣1），则=（）A．（﹣2,3）B．(0，1）C．（﹣1，2）D．(2，﹣3)3．已知向量=（3，k），=（2，﹣1），⊥,则实数k的值为（）A．B．C．6 D．24．已知||=3,在方向上的投影为，则•=（）A．3 B．C．2 D．5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2,=，则λ=() A．B．C．﹣D．﹣6．已知向量，满足•=0,｜｜=1，｜|=2，则|2﹣｜=（)A．2B．4 C．6 D．87．给出下列命题：（1)若，则；（2）向量不可以比较大小；（3）若，则;（4)其中真命题的个数为(）A．1 B．2 C．3 D．48．设为基底向量,已知向量=﹣k,=2+,=3﹣,若A，B,D三点共线，则实数k的值等于（)A．﹣2 B．2 C．﹣10 D．109．已知向量,且∥，则tanα=（）A．B． C．D．10．如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为（）A．2B．3C．2D．311．设、、是非零向量，则下列说法中正确是（)A．B．C．若，则 D．若,则12．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．cos89°cos1°+sin91°sin181°=______．14．tan25°+tan35°+tan25°tan35°=______．15．已知，,,和的夹角是锐角,则实数λ的取值范围是______．16．在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则=______．三、解答题（本题共5大题，共52分）17．已知=（﹣1，3）,=（3，m)，=（1，n），且∥．（1）求实数n的值；（2)若⊥,求实数m的值．18．已知f(α）=（1)若α=﹣，求f（α）的值（2）若α为第二象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．19．已知非零向量，满足|｜=1，且（﹣）•（+)=．（1）求||；（2)当•=﹣时，求向量与+2的夹角θ的值．20．设=（﹣1，1），=(x，3），=（5,y）,=（8，6），且．（1）求和；（2）求在方向上的投影；（3)求λ1和λ2,使．21．已知=（cosα,sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣｜=．(1）求cos（α﹣β）的值（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cosβ=,求sinα．2015—2016学年山西大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．tan150°的值为（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】将所求式子中的角150°变形为180°﹣30°，利用诱导公式tan=﹣tanα化简后，再利用特殊角的三角函数值化简,即可求出值．【解答】解：tan150°=tan=﹣tan30°=﹣．故选B2．若=（﹣1,2)，=（1，﹣1）,则=（）A．（﹣2，3）B．（0，1）C．(﹣1，2）D．（2,﹣3）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算，计算即可．【解答】解：=（﹣1，2），=（1,﹣1），所以=﹣=(1+1，﹣1﹣2）=（2，﹣3)．故选：D．3．已知向量=(3,k），=(2，﹣1），⊥,则实数k的值为(）A．B．C．6 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直的条件即可求出．【解答】解：∵向量=（3，k），=（2，﹣1）,⊥，∴6﹣k=0，解得k=6，故选:C．4．已知｜｜=3，在方向上的投影为，则•=（)A．3 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】关键向量的数量积的定义变形可知,一个向量在另一个向量方向的投影为这个向量的模乘以夹角的余弦值．【解答】解：∵已知||=3,在方向上的投影为，∴•=｜｜｜|cos＜＞=3×=；故选B．5．在△ABC中,已知D是AB边上一点，若=2,=，则λ=(）A．B．C．﹣D．﹣【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来,表示时所用的基底要和题目中所给的一致,即用和表示，画图观察,从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点,把求出的结果和给的条件比较,写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．6．已知向量,满足•=0,|｜=1,|｜=2，则|2﹣|=（）A．2B．4 C．6 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】要求没有坐标的向量的模，一般先求模的平方，利用向量的平方等于模的平方解答．【解答】解：∵向量，满足•=0，｜｜=1,|｜=2，∴｜2﹣｜2=(2﹣）2=4|｜2+｜｜2﹣4•=4+4﹣0=8；故选：D．7．给出下列命题：（1）若，则；(2）向量不可以比较大小；（3）若，则;（4）其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据向量不能比较大小,故可判断(1），（2）,根据共线和向量的模即可判断（3）,（4）．【解答】解：（1）若,则，故错误（2）向量不可以比较大小，故正确，（3）若，则；故正确，（4），故错误，其中真命题的个数为2个,故选:B．8．设为基底向量,已知向量=﹣k，=2+，=3﹣,若A，B,D三点共线,则实数k的值等于（)A．﹣2 B．2 C．﹣10 D．10【考点】平行向量与共线向量．【分析】由题意先求出，再由A，B,D三点共线得=λ，根据方程两边对应向量的系数相等求出k的值．【解答】解：由题意得，=﹣=（3﹣）﹣(2+）=﹣2，∵A，B，D三点共线，∴=λ，则﹣k=λ（﹣2），解得λ=1，k=2．故选B．9．已知向量，且∥，则tanα=（）A．B． C．D．【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据题设条件,由∥,知，由此能求出tanα．【解答】解：∵向量，且∥，∴,∴tanα==．故选A．10．如图，为互相垂直的单位向量,向量可表示为（）A．2B．3C．2D．3【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】观察图形知:,=，，由此能求出．【解答】解：观察图形知：，=，，∴=（）+（）+(）=．故选C．11．设、、是非零向量，则下列说法中正确是（)A．B．C．若，则 D．若，则【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】根据向量共线和向量的数量积的应用分别进行判断【解答】解:对A选项，（）与共线,（•）与共线，故A错误；对B选项，当，共线且方向相反时，结论不成立,故B错误；对C选项，∵=｜||｜cos，=|｜|｜cos，∴若=,则|｜cos=｜|cos，故C错误．对D选项，∵是非零向量，所以若与共线，与共线，则与共线，故D正确．故选D．12．设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°，c=，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】不等式比较大小;两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角和的正弦公式对a和b进行化简，转化为正弦值的形式,再由正弦函数的单调性进行比较大小．【解答】解：由题意知，a=sin14°+cos14°==，同理可得,b=sin16°+cos16°=,=,∵y=sinx在（0，90°）是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b,故选D．二、填空题(本大题共4小题,每小题3分，共12分）13．cos89°cos1°+sin91°sin181°=0．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：cos89°cos1°+sin91°sin181°=cos89°cos1°﹣cos1°sin1°=sin1°cos1°﹣cos1°sin1°=0，故答案为：0．14．tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角和差的正切公式即可得出．【解答】解:原式=tan（25°+35°）(1﹣tan25°tan35°）+tan25°tan35°=tan60°=．故答案为：．15．已知，，，和的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是{λ｜λ＞，且λ≠0｝．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出向量，而由和的夹角是锐角，便可得到0＜cos＜,＞＜1，根据条件即可求出=,从而解不等式，这样便可求出实数λ的取值范围．【解答】解:；∵，夹角为锐角；∴；∵=；；∴；∴，且λ≠0；∴实数λ的取值范围是｛λ｜，且λ≠0}．故答案为：．16．在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则=2．【考点】向量在几何中的应用．【分析】以直角梯形的两个直角边为坐标轴，写出点的坐标,求出向量的坐标，利用向量数量积的坐标形式的公式求．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,建立直角坐标系．则:A(0,0)，B(2，0），D（0,1)，C（1，1)，M（．因为AB=2CD=2,∠B=45，所以AD=DC=1，M为腰BC的中点,则M点到AD的距离=(DC+AB）=，M点到AB的距离=DA=所以，，所以=﹣=2．故答案为2．三、解答题（本题共5大题，共52分)17．已知=(﹣1，3），=（3,m),=（1，n），且∥．（1）求实数n的值；（2)若⊥,求实数m的值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）由已知得到向量，利用向量平行求n;（2)求出，的坐标，由向量垂直，数量积为0 求m．【解答】解：因为=（﹣1，3）,=（3,m），=（1，n），所以==（3，3+m+n），(1）因为∥．所以，即，解得n=﹣3；(2）因为==（2，3+m），==（4，m﹣3），又⊥，所以•=0,即8+（3+m）（m﹣3）=0，解得m=±1．18．已知f（α)=（1）若α=﹣，求f（α)的值（2）若α为第二象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】(1）利用诱导公式化简已知可得f（α)=cosα，从而利用诱导公式可求α=﹣时f（α)的值；(2）利用诱导公式可求sinα，进而根据同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：（1）∵，….。
【百强校】2015-2016学年山西大学附属中学高一下期中数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年山西大学附属中学高一下期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：137分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设则下列结论正确的是（） A ．B ．C ．D ．2、设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ） A ． B ．C ．若，则D ．若，则3、如图为互相垂直的单位向量，向量可表示为（）A． B．C． D．4、设为基底向量,已知向量,若三点共线,则实数的值等于（）A． B． C． D．5、给出下列命题：（1）若，则；（2）向量不可以比较大小；（3）若则；（4）．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46、已知向量满足，则（）A．0 B．2 C．4 D．87、在中，已知是边上一点，若，则等于（）A． B． C． D．8、已知，在方向上的投影为，则（）9、已知向量，则实数的值为（）A． B． C． D．10、若，则（）A． B． C． D．11、的值为（）A． B． C． D．12、已知向量，，且，则（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、在直角梯形中，点为腰的中点，则．14、已知，若和的夹角是锐角，则的取值范围是___ ．15、．16、．三、解答题（题型注释）17、已知．（1）求的值；（2）若，求．18、设，且.（1）求和；（2）求在方向上的投影；（3）求和，使.19、已知非零向量满足,且. （1）求；（2）当时,求向量与的夹角的值.20、已知．（1）若，求的值；（2）若为第二象限角，且，求的值．21、已知．（1）求实数的值；（2）若，求实数的值．参考答案1、D2、D3、D4、C5、B6、B7、C8、B9、C10、D11、B12、A13、14、15、16、17、（1）；（2）.18、（1）；（2）；（3）.19、（1）；（2）.20、（1）；（2）.21、（1）；（2）.【解析】1、试题分析：因为，，，又函数在上是增函数，所以，，故选D.考点：1、两角和的正弦公式；2、正弦函数的单调性.2、试题分析：由题意得，对于A中，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以不正确；对于B中，时，此时，而，所以不正确；对于C中，若，而此时与不一定是相等向量，所以不正确；对于D中，因为、、是非零向量，若，则是正确，故选D.考点：向量的数量积的运算.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及其平面向量的数量积的定义，属于中档试题和易错题，其中熟记平面向量的数量积的定义与向量的数量积的运算是解答本题的关键，本题的极大中根据平面向量的数量积的运算及其数量积的定义可判定，利用向量的线性运算的几何意义可判定，根据向量平行与垂直与数量积的关系可判定，即可得到结论.3、试题分析：由题意得，，所以，故选D.考点：向量的加法及其几何意义.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的加法及其向量的几何意义，属于基础试题，解答时要注意认真审题、仔细解答，同时注意合理进行等价转化是解答的关键，着重考查了数形结合思想和转化思想的应用，本题的解答中，根据平面向量的基本定理表示出，即可得到的运算结果.4、试题分析：由题意得，，因为三点共线，所以，解得，故选C.考点：共线向量的应用.5、试题分析：由题意得，（1）中，例如，此时，但，所以不正确；（2）中，向量是既有大小又有方向的量，所示向量不能比较大小，所以（2）是正确的；（3）中，根据相等向量的概念，可得“若则”是正确的；（4）中，由，则是成立的，但由，则与是相等向量或相反向量，所以不正确，综上所述，正确命题的个数为个，故选B.考点：向量的基本概念.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本的概念——向量的模、相等向量、向量的概念、共线向量及相反向量的概念，其中牢记平面向量的基本概念是判断此类问题的关键，试题很容易出错，属于易错题，本题的解答中，（4）中，，容易忽视相反向量的概念，造成错解，应牢记向量是既有大小又有方向的量这一基本概念，防止出错.6、试题分析：由题意得，故选B.考点：向量的模的计算.7、试题分析：如图所示，所以，又，所以，两式相加得，所以，所以，故选C.考点：平面向量的基本定理.8、试题分析：由在方向上的投影为，则，所以，故选B.考点：向量的数量积及向量的投影的应用.9、试题分析：由题意得，解得，故选C.考点：向量的数量积.10、试题分析：由题意得，故选D.考点：向量的坐标运算.11、试题分析：由题意得，故选B.考点：诱导公式的应用.12、试题分析：由，所以，故选A.考点：共线向量的坐标运算.13、试题分析：以点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，则,因为，，所以为腰的中点，则点到的距离等于到的距离为，所以，所以.考点：向量在几何中的应用.【方法点晴】本题主要考查了平面向量在几何问题中的应用，通过建立平面直角坐标性将几何问题转化为代数运算问题，大大降低了试题的难度，同时考查了平面向量的坐标形式下的向量的数量积的公式，着重考查了转化与化归思想及数形结合思想的应用，本题的解答中以直角梯形的两个直角边为坐标轴，建立直角坐标系，求出向量的坐标，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.14、试题分析：由题意得，若和的夹角是锐角，则且与不共线，即且，所以且，解得. 考点：平面向量的夹角公式的应用.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积表示两个向量的夹角，其中根据和的夹角是锐角，得到且与不共线是解答本题的关键，但解答中容易忽视时，与同向的情况，而导致求解结果为，所以本题为一个易错题，解答是要认真审题、仔细作答.15、试题分析：由，可得，即.考点：两角和的正切函数.16、试题分析：由题意得.考点：两角差的余弦函数.17、试题分析：（1）利用向量的坐标运算，由，求得，即可求解的值；（2）由（1）中得，又，即可求出.试题解析：（1）（2）由（1）得考点：向量的坐标运算及三角恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算及两角和与差的三角函数、三角函数的基本关系式的综合应用，试题运算量加大，属于中档试题，其中探讨角的取值范围是解答本题的一个难点和易错点，着重考查了学生的推理与运算能力，本题解答中要熟记向量的坐标运算公式和三角恒等变换的公式，做到仔细解答.18、试题分析：（1）两个向量共线其坐标交叉相乘相等，求解，再利用数量积的运算求解，即可得到求和的坐标；（2）利用在方向上的投影为，即可计算出投影；（3）根据向量相等，列出方程组，即可求解和的值.试题解析：（1）（2）∴在方向上的投影为（3） ,，解得考点：向量数量积的坐标运算、模、夹角的求解和应用.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标表示、向量的模和夹角的前运算、平面向量的数量积的坐标运算等基础知识的应用，其中熟记平面向量的坐标表示，向量的模的计算和夹角公式及向量的数量积的运算公式是解答此类问题的关键，着重考查学生的推理与运算能力，解答时要仔细、认真.19、试题分析：（1）由，得，再由，即可求得；（2）由，即可求得，再求得，利用向量的夹角公式，即可得到向量的夹角.试题解析：（1）（2）又考点：平面向量的数量积的运算；向量的模，数量积表示两个向量的夹角.20、试题分析：（1）利用诱导公式，化简得，代入，即可求解的值；（2）利用诱导公式得，用三角函数的基本关系式，即可求解的值.试题解析：（1）（2），考点：三角函数的诱导公式及三角函数的基本关系.21、试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值. 试题解析：（1）（2）由（1）得所以考点：向量的坐标运算.。
2015-2016年山西省晋中市高二(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．3．（5分）直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A．（0，）B．（0，π） C．[﹣，]D．[0，]∪[，π）4．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=05．（5分）已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是（）A．D+E=2 B．D+E=1 C．D+E=﹣1 D．D+E=﹣26．（5分）以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=87．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．10．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．412．（5分）设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A． B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是．14．（5分）不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．15．（5分）两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为．16．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．三、解答题17．（10分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．18．（12分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．19．（12分）点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P 为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．20．（12分）如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC 的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．21．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8．（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；（2）在直线x+y﹣7=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．22．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选：C．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．3．（5分）直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A．（0，）B．（0，π） C．[﹣，]D．[0，]∪[，π）【解答】解：由xsinα﹣y+1=0，得此直线的斜率为sinα∈[﹣1，1]．设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ∈[﹣1，1]．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选：D．4．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．5．（5分）已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是（）A．D+E=2 B．D+E=1 C．D+E=﹣1 D．D+E=﹣2【解答】解：圆的圆心坐标是（），圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l 上，所以，即D+E=﹣2．故选：D．6．（5分）以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=8【解答】解：∵线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）两个端点为（0，2）、（2，0），∴以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的圆心为（1，1），半径为=．故选：B．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，可得此几何体为正方体+正四棱锥，∵正方体的棱长为，其体积为：3，又∵正棱锥的底面边长为，高为，∴它的体积为×3×=∴组合体的体积=，故选：B．9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选：D．10．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故②错误；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故③错误．故选：B．11．（5分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．4【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故选：C．12．（5分）设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A． B．C．D．【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，所以d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是．【解答】解：由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O是等边△BCD的中心，∠ACO为AC与平面BCD所成角．设正四面体的棱长为1，则OC==．Rt△AOC中，cos∠ACO==故答案为：14．（5分）不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y ﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．15．（5分）两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0．【解答】解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．16．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确；AC1与底面ABCD所成角的正切值为=，故③不正确；CB1与BD既不相交，又不平行，不同在任何一个平面内，故CB1与BD为异面直线，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题17．（10分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．【解答】证明：（1）取PB中点Q，连MQ、NQ，∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NQ∥BC，MQ∥PA∵AD∥BC，∴NQ∥AD，∵MQ∩MQ=Q，PA∩AD=A，∴平面MNQ∥平面PAD，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥面PAD；（2）由（1）可知Q在PB的中点上18．（12分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．【解答】解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），∵k AB==﹣，∴线段AB的中垂线的斜率k=，∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．19．（12分）点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P 为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）过点B倾斜角为135°的直线方程为x+y﹣2=0，圆心O（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==，∴过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长为2=2．20．（12分）如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC 的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．【解答】解：（1）由OO1∥AD1知，AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角，在△OO1D中，由题设可得，OD=，O1D=2，OO1=，由余弦定理得，cos∠OO1D=，故AD1和DC1所成角的余弦值为：；（2）设点C到平面BC1D的距离为h，=V C1﹣BCD，则有：V C﹣BC1D=••CC1=••4=8，其中，V C1﹣BCD在△BDC1中，BD=5，DC1=5，BC1=4，所以，△BDC1的面积为••4=2，再由V C=V C1﹣BCD得，•2•h=8，﹣BC1D解得h=，即点C到平面BC1D的距离为：．21．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8．（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；（2）在直线x+y﹣7=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．【解答】解：（1）设x+y=t，∵点Q（x，y）是圆C上一点，∴直线x+y=t与已知圆有公共点，∴≤2，解得﹣5≤t≤3，∴x+y的取值范围为[﹣5，3]；（2）∵圆心（﹣1，0）到直线x+y﹣7=0的距离d==4＞2=r，∴直线与圆相离，由直线和圆的知识可得只有当过圆心向直线x+y﹣7=0作垂线，过其垂足作圆的切线所得切线段最短，此时垂足即为要求的点P，由直线的垂直关系设过圆心的垂线为x﹣y+c=0，代入圆心坐标可得c=1，联立x+y﹣7=0和x﹣y+1=0可解得交点为（3，4）即为所求．22．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，∴FA⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴FA⊥平面ABCD．∵BC=2，BD⊥CD，CD=x，∴DB=（0＜x＜2）．=2S△BCD=2×=．∴S平行四边形ABCD∴V（x）===．（0＜x＜2）．（2）由基本不等式的性质可得：V（x）=，当且仅当，即x=时取等号．∴V（x）的最大值是．。
山西大学附中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年山西大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，请把答案写在答题纸上）1．已知复数z=a（a﹣1）+ai，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．﹣12．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的3．函数y=x4﹣4x+3在区间上的最小值为（）A．72 B．36 C．12 D．04．曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．5．用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A．a、b中至少有二个不小于2 B．a、b中至少有一个小于2C．a、b都小于2 D．a、b中至多有一个小于26．若函数f（x）=x2﹣ax+lnx有极值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）7．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则由四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=（）A．4πr4 B．4πr2 C．2πr4 D．πr48．已知函数f（x）=，若存在x∈上有三个零点，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数f'（x）=x2+a，利用曲线f（x）在处的切线与直线平行，列出方程求解a即可．（2）利用导数判断函数的单调性，通过函数y=f（x）﹣m在区间上有三个零点，等价于函数f（x）在上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间上大致图象求解实数m的取值范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=x2+a因为曲线f（x）在处的切线与直线平行，所以，所以a=﹣1．（2）由，得f'（x）=x2﹣1，令f'（x）=0，得x=±1．当﹣3＜x＜﹣1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣3，﹣1），单调递增，在（﹣1，1）单调递减．又．若函数y=f（x）﹣m在区间上有三个零点，等价于函数f（x）在上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间上大致图象可知，实数m的取值范围是．20．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的倒数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原不等式等价于在x∈（1，+∞）上恒成立，令，得到a≥，求出F（x）在x∈（1，+∞）单调递增，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．故f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）原不等式等价于在x∈（1，+∞）上恒成立．一方面，令，只需g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0即可．又∵g（1）=0，故g'（x）在x=1处必大于等于0．令，g'（1）≥0，可得．另一方面，当时，∵x∈（1，+∞）故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F'（x）在时恒大于0．∴当时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，．2017年6月20日。
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山西大学附中2015--2016学年高二第二学期4月（总第八次）模块诊断数学试题（文） 考试时间：90分钟一.选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分，请把答案写在答题纸上) 1．复数i1-2i（i 为虚数单位）的共轭．．复数为（） A ．-2+i 5 B ．-2-i 5 C ．2-i 5D ．2+i 52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点；因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点。
以上推理中（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3．已知变量x ,y 的取值如下表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为 2=+ y bx ，则 y 的值为（） A ．1 B.32 C ．45 D ．564．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角都大于60度 C ．假设三内角至多有一个大于60度 D ．假设三内角至多有两个大于60度 5．有下列说法：①线性回归方程一般都有时间性；②样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围； ③根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ⑤相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好；()f x ()00f x '=0x x =()f x ()3f x x =0x =()00f '=0x =()3f x x =其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．36．函数2()3ln f x x x x =--的极值点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．37．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（）AB ．1 C．2D8.设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为],4,0[π则点P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为( )A.]1,0[aB.]21,0[aC.|]2|,0[a b D.|]21|,0[a b - 9.已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若11()22a f =，2(2)b f =，(ln 2)(ln 2)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c a b << 10.对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是59，则m的值为( )A.6B.7C.8D.9 11.函数21()2ln 2f x x ax x =-+在(0,)+∞上不单调，则a 的取值范围是（） A ．1a <-或1a >B ．1a ≤-或1a ≥C ．1a ≥ D ．1a >12.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意R ∈x ，都有2()()f x f x x +-=，且(0,)x ∈+∞时，()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞二. 填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。
请把答案写在答题纸上)13.若复数()()2321i -++-a a a 是纯虚数，则实数的值为______.14．已知函数2()22ln f x x x x=--，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___. a15.已知z 为复数，z 2i +和2i-z均为实数，其中i 是虚数单位.则复数||z =_. 16.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和22222222(133)(22323)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为.三.解答题(本大题共4个小题,共36分.要求写出必要的演算过程和推理步骤)17.（8分）某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．（1）求线性回归方程；（参考数据：442111120,440i ii i i x yx ====∑∑）（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii nii x y n x yb xn x--∧=-=-=-∑∑，a y b x ∧-∧-=-18.（8分）为了调查大学生对吸烟是否影响学习的看法，询问了大学一、二年级的200个大学生，询问的结果记录如下：其中大学一年级110名学生中有45人认为不会影响学习，有65人认为会影响学习，大学二年级90名学生中有55人认为不会影响学习，有35人认为会影响学习.（1）根据以上数据完成2×2列联表；（2）据此回答，能否有99%的把握断定大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同？ 附表：（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.（10分）设函数()()21ln R 2-=+-∈a f x x ax x a ． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值； （2）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性．20.（10分）已知函数()(01)ln x f x ax x x x=->≠且（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若212,[,]x x e e ∃∈，使12()()f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．参考答案一.选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)1.B2.A3.A4.B5.D6.B7.A8.B9.A 10.C 11.D 12.B 二. 填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)13.2 14.220x y --=15. 16.465 三．解答题(本大题共4个小题,共48分.)17.（8分）解：（1）250y x ∧=-+；（2）估计当气温为10℃时的用电量为30度． 18.（8分）解：（1）2×2的列联表为：（2）由K 2统计量的数学公式得8.080 6.635k ≈>∴有99%的把握说：大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同． 19.（10分）解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝3时，f (x )＝－x 2＋3x －ln x ，f ′(x )＝－2x 2＋3x －1x ＝－（2x －1）（x －1）x ，当12<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当0<x <12及x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )极大值＝f (1)＝2，f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝54＋ln 2(2)f ′(x )＝(1－a )x ＋a －1x＝（1－a ）x 2＋ax －1x＝（1－a ）⎝⎛⎭⎫x －1a －1（x －1）x，当1a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝－（1－x ）2x ≤0，f (x )在定义域上是减函数；当0<1a －1<1，即a >2时，令f ′(x )<0，得0<x <1a －1或x >1；令f ′(x )>0，得1a －1<x <1…11分当1a －1>1，即1<a <2时，由f ′(x )>0，得1<x <1a －1；由f ′(x )<0，得0<x <1或x >1a －1， 综上，当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a －1和(1，＋∞)单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a －1，1上单调递增；当1<a <2时，f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增．20.（10分）解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14．（2）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()f x ≤”．01当14a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min ()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故2114ea ≥-．2当14a <时，由于()f x '()2111a =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合．(ii )若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合．综上，得21124e a ≥-．。