高中数学 第一章《1.3.3函数的最大(小)值与导数(2课时)》教案 新人教A版选修2-2
人教A版高中数学选修2-2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
练习、求函数f(x)= xex在区间[-1，1]内的最大
值和最小值.
解 f′(x)=ex(x+1)≥0
f(x)在[-1，1]上是增函数.
f (1) 1 , f (1) e, e
故函数f(x) 在区间[-1，1]内的最大值为e， 最小值为-1/e .
12
例 设x 0,求证 : (x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
◆函数的极大值与极小值统称为极值.
3
2.函数的极值 与导数的关系
y
f (a) 0
f (x) 0
f (x) 0
-2
-1
O
f (x) 0
1
2
a
f (x) 0
证 令f (x) sin x x, x (0, ).
f / (x) cos x 1 0,
f (x)在(0, )上是减函数,
f (x) f (0)
sin x x 0
sin x x.
16
作业 P32 6(3)(4) 1(4)
17
3
练习、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的
最大值和最小值.
另解: 图象法
解: f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.
f′(x)=2x- 4
令f′(x)=0，即2x–4=0， 得x =2
f (1) 8, f (2) 1, f (4) 3
故函数f(x) 在区间[-1，4]内的最大值为8， 最小值为-1
5
讲授新课 请考察下列函数的最值的存在性
-2
1
-2
1 -2
人教版数学高二教案 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 知识与技能：1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤. 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点难点教学重点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题 教学难点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题 三、教学过程：函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距.需要教师指导并借助动画给予直观的认识. 五、教学方法 发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案. 七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性.提问1.极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点.2.极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0).就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值.4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若x 0满足()00f x '=，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ); (2)求方程f ′(x )=0的根;(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值. （二）情景导入、展示目标.设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标.1.函数的最大值和最小值:在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值． ⑴在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，是f (x )在闭区间[a ,b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.2.利用导数求函数的最值步骤: ⑴求f (x )在(a ,b )内的极值；⑵将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在[a ,b ]上的最值（三）合作探究、精讲点拨.例1：求函数f (x )＝－x 3＋2x 2＋3在[－3,2]上的最大值与最小值. 解：f ′(x )＝－3x 2＋4x ，由f ′(x )＝x (4－3x )＝0，得x ＝0，43.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：单调递减当x ＝0或x ＝2时，f (x )取最小值3.例2：已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， ∴f (2)＞f (－2)．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∵在(－1,3)上f ′(x )＞0， ∴f (x )在[－1,2]上单调递增． 又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.多媒体展示探究思考题.在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导.（四）反思总结，当堂检测.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正.（五）发导学案、布置预习.设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高.教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练.九、板书设计1.函数的最大值和最小值2.利用导数求函数的最值步骤:十、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方.课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数课件1 新人教A版选修2-2
K12课件
6
(2)极值的定义：一般地，设函数y＝f(x)在x＝x0 及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有点 的函数值都大，我们说f(x0)是函数y＝f(x)的一个 极大值；如果f(x0)的值比附近所有点的函数值都 小，我们说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，极 大值与极小值统称为极值．
(3)函数的极值不是唯一的．
(4)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函
数的极大值未必大于极小值．
(5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点
不能成为极值点．
K12课件
9
2．利用结论“判”与“求” 结论1：极值的判别方法：当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么 f(x0)是极小值．
＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，
∴f′(x)在[－1，1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
K12课件
17
例2：已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2] 上的最大值是3，最小值是－29，求a，b的值．
极值是比较_极__值__点__附__近_的函数值得到的．
K12课件
4
3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下： (1)求f(x)在(a，b)内的__极__值__； (2)将f(x)的各极值与_端__点__处__的__函__数__值__f_(_a_)，__f_(_b_) _比较， 其中_最__大___的一个是最大值，_最__小___的一个是最小 值．
人教A版高中数学选修2-2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数 (2).pptx
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1.3.3函数的最大(小)值与导数
安徽省滁州市第二中学高二数学备课组 2014年12月17日
2.函数的极值 与导数的关系
y
f (a) 0
f (x) 0
f (x) 0
-2
-1
O
f (x) 0
1
2
a
f (x) 0
3 f ( b ) 4 0 x5 b
(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧 f/(x0)>0,右侧f/(x0)<0,那么f(x0)是极大值. (2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x0)<0, 右侧f/(x0)>0,那么f(x0)是极小值.
3．最大值与最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实 数M满足：
sin x x ห้องสมุดไป่ตู้0
sin x x.
16
作业P326(3)(4)1(4)
17
5
讲授新课 请考察下列函数的最值的存在性
-2
1
-2
1 -2
1
-2
1
-2
1 -2
1
最值的存在性定理
一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x） 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有 最大值和最小值。
如何求最值？
7
假设在区间[a，b]上函数f(x)的图像是一条连续 不断的曲线,求它的最大值与最小值的步骤如下：
f (x) f (0)
ex x 1 0 ex x 1.
15
练习 设x (0, ),求证 : sin x x.
证 令f (x) sin x x, x (0, ).
1.3.3 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修2-2课件
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2-2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能：使学生理解函数的最大值和最小值的概 念，掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
图 1－3－8
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2-2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、 极小值．
【提示】 极大值为：f(x1)、 f(x3)， 极小值为： f(x2)，f(x4)．
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当 堂 双 基 达 标
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函数的最大(小)值与导数
【问题导思】 如图 1－3－8 为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A版选修2_2
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
大值、极小值吗?
图3.3 - 13
观察图象,我们发现,f x1 ,
f x3 ,f x5 是函数y = f x
的极小值,f x2 ,f x4 ,f x6 是极大值.
探究 你能找出函数y = f x在区间a,b上的最
大值、最小值吗?
y
f
x
=
1 3
x3
-
4x
+
4
2
o
3x
图1
当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
x 0 (0,2) 2 (2, 3) 3
f (x)
－
0+
f (x) 4
↘
4 ↗ 1
3
当x
=
2时,fx有极小值,并且极小值为f2 =
-
4. 3
又由于 f (0) 4 , f (3) 1
所以函数的最大值为 f (2) 22 a,最小值为 5 a
22 a 20 即a 2
最小值为 5 2 7
（五）当堂训练，巩固提高
1.求函数f (x)=6x2 －x －2在区间 [0，2] 上的最大值和最小值.
人教A版高中数学选修2-2课件：1.3.3函数的最大(小)值与导数(共19张PPT)
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 可以改为：
（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计 算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值．
堂上练习
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值
1 f x 6x2 x 2, x 0,2; 2 f x x3 27x, x 4,4;
最小值：f(x3)
阅读课本判断下列命题的真假：
1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多 各有一个；
2、最大值一定是极大值； 3、最大值一定大于极小值；
y f(x3)
f(x1)
f(b)
a
x2
x1
0
x3
x4 bx
f(a)
f(x2)
2、找出f (x)在区间[a,b]的内最值
最大值：f(b)
最小值：f(a)
练习：已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a),若f(x)在 x=-1处取得极值，求f(x)在[-2,2]上的最大值和最 小值。
a=1/2 最大值：9/2
最小值：-50/27
知识小结：
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3
解: y x2 4 ( x 2)( x 2).
令 y 0 , 解得x1=-2 , x2=2.
当 y 0 , 即 x 2, 或 x 2 ;
当 y 0 , 即 2 x 2 .
x0
y′ － y4
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值与导数（2课时）》教案 新人教A版选修2-2 "
教学目标：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上
所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
教学过程：
一．创设情景
二．新课讲授
观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．图中)(1xf与3()fx是极小
值，2()fx是极大值．函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()fx．
1．结论：一般地，在闭区间ba,上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么
函数()yfx在ba,上必有最大值与最小值．
说明：⑴如果在某一区间上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，则称函数
()yfx
在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)ab内连续的函数)(xf不一定有最大值与
最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分
条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个
局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也
可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有
最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值
进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求)(xf在(,)ab内的极值；
⑵将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值
三．典例分析
例1．（课本例5）求31443fxxx在0,3的最大值与最小值
解： 由例4可知，在0,3上，当2x时，()fx有极小值，并且极小值为
4
(2)3f
，又由于04f，31f
因此，函数31443fxxx在0,3的最大值是4，最小值是43．
上述结论可以从函数31443fxxx在0,3上的图象得到直观验证．
例2．求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值
解：先求导数，得xxy443/
令/y＝0即0443xx解得1,0,1321xxx
导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表
X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2
y
/
－ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗
1
3
从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4
四．课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
3．函数y=234213141xxx，在［－1， 1］上的最小值为 ( )
A.0 B.－2 C.－1 D.1213
4．求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值．
5．课本练习
五．回顾总结
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，
区间端点；
2．函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分
条件而非必要条件；
3．闭区间ba,上的连续函数一定有最值；开区间),(ba内的可导函数不一定有最
值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4．利用导数求函数的最值方法．
六．教后反思：