特殊平行四边形教师用

八年级平行四边形相关知识归纳 和常见题型精讲 性质和判定总表 矩形菱形正方形的 矩形 菱形 正方形

性 质

边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平

分一组对角

判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等； ·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 一. 矩形

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．

矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD．因此

可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半．

矩形的判定方法． 矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长． 例一.分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：222)4(8xx，解得x=6． 则 AD=6cm． （2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm． 例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF． 例二分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC． 此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC． 变式练习 1．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

2、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． (1)求证：AB=CF； (2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

二．菱形 FED

CB

A 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1 菱形的四条边都相等； 性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定 菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ CB=CD， CA平分∠BCD． ∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE， ∴ △BCE≌△COB（SAS）． ∴ ∠CBE=∠CDE． ∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC ∴ ∠AFD=∠CBE． 例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC． ∴ ∠1=∠2． 又 ∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴ △AOE≌△COF． ∴ EO=FO． ∴ 四边形AFCE是平行四边形． 又 EF⊥AC， ∴ AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)． 变式练习 1、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，

若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

B M A D C E 2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．求线段BE的长．

3、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

解：DE＝DF 证明如下： 连结BD ∵四边形ABCD是菱形 ∴∠CBD＝∠ABD(菱形的对角线平分一组对角) ∵DF⊥BC，DE⊥AB ∴DF＝DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)

4、 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由；

三．正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

DABC

O

E60 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结

如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质． 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法： • (1)有一个角是直角的菱形是正方形； • (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

• 注意：1、正方形概念的三个要点： • （1）是平行四边形； • （2）有一个角是直角； • （3）有一组邻边相等． 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. 例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F． 求证：OE=OF． 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得． 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）． 又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO． ∴ △AEO ≌△DFO． ∴ OE=OF． 例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点． 求证：四边形PQMN是正方形． 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论． 证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1， ∴ PN∥QM，∠PNM=90°． ∵ PQ∥NM， ∴ 四边形PQMN是矩形． 图 5EDC

BA

∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）． ∴ ∠1+∠2=90°． 又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3． ∴ △ABM≌△DAN．

∴ AM=DN． 同理 AN=DP． ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN． ∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 变式练习 1．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB 试判断△ADE的形状，并给出证明．

【解析】△ADE是等边三角形． 理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形， ∵∠B=∠C． ∴E为BC的中点， ∵BE=CE． 在△ABE和△DCE中，

∵,,ABDCBCBECE ∴△ABE≌△DCE． ∵AE=DE． ∴AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∴AB=DE ∵AB=AD， ∴AD=AE=DE． ∴△ADE为等边三角形． 例5：（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形． （2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

2：（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC ∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC 又∵∠C＝2∠E ∴∠ADC＝∠BCD ∴梯形ABCD是等腰梯形 （2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5 ∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30° ∴∠DBC＝90° ∴DC＝2BC＝10