收敛数列的性质
收敛数列的性质
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
§2 收敛数列的性质
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
2-2收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
保不等式性
定理2.5
设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正数 N0 ,
当 n N0 时, 有 an bn ,
则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
若
b
a,
取
ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
因为 是任意的，所以 a b .
| an a | ;
(1)
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
有界性
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
定理2.3
若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ， 即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim 1 n n
lim
n
2 n
0.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
迫敛性（夹逼原 理）
极限的四则 运算
迫敛性 (夹逼原理)
一些例子
定理2.6
设数列 {an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn} 满足:
存在N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
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§2 收敛数列的性质
§2.2收敛数列性质
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
1 1 1 练习1 求极限: lim n n 1 n 2 n n
1 解： n n n 1
n
lim
n
1 n n
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. n 例:数列 {(1) } 是有界的, 但却不收敛. 推论 无界数列必定发散.
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
3
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
a n a , 且b a c, 定理 2.4（保号性） 设 lim n
当n N时, 有 a n bn .
ab 证 由 于a b, 由保号性 2 ab an . N 1 N , 当n N 1时, 2 ab bn . N 2 N , 当n N 2时, 2
取N max{N 1 , N 2 }, 当n N时, a n bn .
二、 极限的四则运算
定理2.7
设 lim an a , lim bn b, 则
n n
n
(1) lim(a n bn ) a b;
( 2) lim(a n bn ) a b;
n
an a ( 3) lim , 其中b 0. n b b n
n
则n n 1 hn ,
2 . n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 hn n 2 , 则hn 2 n 2 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n 2 1 , l im 1 l im 1 n n n
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
收敛数列性质知识点总结
收敛数列性质知识点总结一、定义在数学中，数列是由一系列按照特定顺序排列的数构成的序列。
而收敛数列是指当数列中的元素随着项数的增加逐渐趋于某一有界的值，这一值称为数列的极限。
即数列的极限存在且有限。
二、收敛数列的性质1. 有界性收敛数列是有界的，即存在一个上界和一个下界，使得数列中的每一项都在这个上下界之间。
证明：由于数列是收敛的，意味着存在一个极限值L，从而数列中的每一项都接近这个极限值。
因此，可以找到一个范围，使得数列中的每一项都在这个范围内。
2. 单调性如果一个数列是收敛的，那么它必然是单调的，即要么递增，要么递减。
证明：假设数列不是单调的，即存在两个相邻的数，其中一个大于另一个。
根据收敛数列的定义，接近极限的数列项越来越接近极限值，所以当数列不单调时，存在一个数列项接近极限值，另一个数列项远离极限值。
这与收敛数列的性质相矛盾，因此数列必须是单调的。
3. 极限值的唯一性对于一个收敛数列，它只有一个极限值。
证明：假设数列有两个极限值L1和L2，并且L1不等于L2。
根据数列的定义，当项数趋于无穷大时，数列的每一项都逐渐接近极限值。
但是当这两个极限值不相等时，数列无法同时逼近这两个不同的值，这与收敛数列的定义相矛盾。
因此，收敛数列的极限值必须是唯一的。
4. 极限运算法则如果数列{an}和{bn}分别收敛到a和b，那么有限个数列的极限和、差、积、商仍然收敛，并且它们的极限分别等于这些极限的和、差、积、商。
证明：（1）和的极限：设{an}收敛到a，{bn}收敛到b，那么对于任意的ε>0，存在N1，N2，使得当n>N1时，|an-a|<ε/2，当n>N2时，|bn-b|<ε/2。
那么当n>max{N1,N2}时，有|an+bn - (a+b)| = |(an-a) + (bn-b)| <= |an-a| + |bn-b| < ε/2 + ε/2 = ε因此{an+bn}收敛到a+b。
收敛数列的性质
性质4: “两边夹”定理 设an , bn 为收敛数列,且 lim an lim bn a
n n
若 自然数 N 0 ,使当 n N 0时,有 an cn bn 则 lim cn a （迫敛性）
n
性质5: 极限的四则运算法则
若 lim an a, lim bn b ,则
n n
（1） lim (an bn ) lim an lim bn a b
n n n
(an bn ) lim an lim bn （3） lim ( ) (b 0) n b lim bn b n
性质1:收敛的数列必定有界（有界性）
注意：逆命题不成立.有界未必收敛.
例如： xn (1)n
推论：无界数列必定发散.
n
保号性
性质2:若 lim xn a p( p) ,则 正整数
N,使当 n N 时,有: xn p( p) 推论1:若 lim xn a 0( 0) ,则 正整数 N,使当 n N 时,有: xn 0( 0)
n
lim an
n
推论2:如果数列 xn 从某项起有 xn 0( 0),且
lim xn a,那么 a 0( 0)
n
注意:如果数列 xn 0( 0) , lim xn a不能推 出
a 0( 0)
n
1 例如：lim n n
性质3:收敛数列的极限是唯一的（唯一性）
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§1.2 收敛数列的性质
收敛数列有如下一些重要性质：
定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε
，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有
ε<-a x n
(1)
当2N n >时，有 ε<-b x n (2)
令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞
=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1
n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，
使得当0n N >时有n n a b ≤，则lim
lim n n n n a b →∞→∞
≤。
证明： 设
lim ,lim n n n n a a b b →∞
→∞
==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得
当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
由ε的任意性得a b ≤。
即lim lim n n n n a b →∞→∞
≤。
定理4（迫敛性, 夹逼定理）： 设lim lim n n n n a a b →∞→∞
==，数列{}n c 满足：00N ∃>，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞
=。
证明：0ε∀>，由lim lim n n n n a a b →∞→∞
==，分别存在正数1N 和2N ，使得当1
n N >时有n a a ε-<；当2n N >时有n b a ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n n a a c b a εε-<≤≤<+，从而
||n c a ε-<，这就证得所要的结果。
例1 证明
0!
lim =∞→n a n n （a 为常数）． 分析：n
a
m a m a a a a n a n ⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅= 1321!，因a 为固定常数，必存在正整
数m ，使1+<≤m a m ，
因此，自
1+m a
开始，11<+m a ，12<+m a ，1,<n
a ，且∞
→n 时，
0→n
a
． 证明：对于固定的a ，必存在正整数m ，使1+<m a ，当1+≥m n 时，有
≤⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅
⋅
=
≤n a m a m a a a a n a
n
13
2
1
!
0n
a
m a
m
⋅
!，
由于∞
→n lim
0!
=⋅
n
a m a
m
，由夹逼定理得0!
lim
=∞
→n a
n
n ，
即
0!
lim =∞→n a n n ． 例2 若0>n a ，且1l i m 1<=+∞
→r a a n
n n ，则0l i m
=∞→n n a ．
证明： 已知 1lim
1
<=+∞
→r a a n
n n ，且0>n a ．)1,(r q ∈∃，由极限保号性，0>∃N ，N
n ≥∀，有
q a a n
n <+1
或n n qa a <+1 （*）
于是，N N n n n
n a q a q qa a 11210+--+<<<<< ；
而0lim 1=+-∞
→N n n q ，由迫敛性定理，有
0lim 1=+∞
→n n a
所以
0l i m =∞
→n n a ．
定理5（四则运算法则） 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则
{},{},{}n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有
lim()lim lim ,n n n n n n n a b a b →∞
→∞
→∞
±=± lim()lim lim ,n n n n n n n a b a b →∞
→∞
→∞
⋅=⋅。
特别当n b 为常数c 时有
lim()lim n n n n a c a c →∞
→∞
+=+， lim()lim n n n n c a c a →∞
→∞
⋅=⋅。
若再假设0,lim 0
n
n n b b →∞
≠≠， 则
n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
也是收敛数列，且有
lim lim lim n
n n n n
n n a a b b →∞→∞→∞
=。
证明：由于1(),n n n n n n n n
a a
b a b a b b -=+-=⋅，因此只须证明关于和，
积与倒数运算的结论即可。
设lim
,lim n n n n a a b b →∞→∞
==，则0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有||n a a ε-<； 当2n N >时有||n b b ε-<。
取12max{,}N N N =，
则当n N >时有||n a a ε-<且||n b b ε-<，从而有
|()()|||||2lim()n n n n n n n a b a b a a b b a b a b ε→∞
+-+≤-+-<⇒+=+
由于收敛数列是有界数列，所以存在正数M ，使得||(1)n b M n ≤≥。
||||||||||(||)lim()n n n n n n n n a b a b a a b b b a M a a b a b ε→∞
⋅-⋅≤-⋅+-⋅<+⇒⋅=⋅。
由于0,lim
0n n n b b →∞
≠≠，根据收敛数列的保号性，30N ∃>，使得当
3n N >时有1
||||2
n b b >。
取32max{,}N N N '=，则当n N '>时有 22||2||11211
lim ||n n n n n n
b b b b b b b b b b b b ε→∞---=<<⇒=
⋅。