江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试数学试题(解析版)
南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试 数 学 2019.01
注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式： 锥体体积公式：13VSh，其中S为底面积,h为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合,1A，1,1,2B，则ABI ． 【答案】1,1 【解析】取两个集合的交集 【点评】考查集合的交集运算，该题属于基础题型。
2．设复数zai（其中i为虚数单位），若2zz，则实数a的值为 ． 【答案】1 【解析】zai，zai，2()()12zzaiaia，21a，1a
【点评】考查共轭复数的概念和复数四则运算，属于基础题型。 3．某工厂生产,,ABC三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n ． 【答案】80 【解析】A产品占220%235，1620%80 【点评】考查分层抽样概念，样本容量概念，属于基础题型。 4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 ． 【答案】13
【解析】列举法：12，21，13，31，23，32，一共6种可能，其中偶数2种，概率为13 【点评】考查古典概率知识点的基本运用，属于基础题型。
5．如图所示流程图中，若输入x的值为4，则输出c的值为 ．
【答案】4 【解析】4x，否，422x，否，220x，否，022x，是，24cx 【点评】考查流程图知识点，属于基础题型。
6．若双曲线2212xym的离心率为2，则实数m的值为 ． 【答案】6 【解析】由题：22a，2bm
，2cea，即22222(2)482caaabm，所以
6m 【点评】考查双曲线的标准方程和离心率计算，属于基础题型。
7．已知()yfx为定义在R上的奇函数，且当0x时，()1xfxe，则(ln2)f的值为 ． 【答案】3 【解析】因为()fx为奇函数，所以ln2(12)(12)(1)(21)3fnfne
【点评】考查奇函数概念及性质，属于基础题型。 8．已知等比数列na为单调递增数列，设其前n项和为nS，若22a，37S，则5a的值
开始 输入x
是 否
结束 0x
2cx 输出c
第5题
2xx 为 ． 【答案】16
【解析】显然此等比数列不是常数列，因此设：11nnaaq，212aaq，12aq，
231(1)7Saqq，222(1)227qqqqq，152qq，2q或12q（数列单
调递减，舍），易得45116aaq
【点评】考查等比数列求和公式，通项公式，属于基础题型。 9．如图，PA平面ABC，ACBC，4PA，3AC，1BC，,EF分别为,ABPC的中点，则三棱锥BEFC的体积为 ▲ ．
【答案】36
【解析】过F点作FDAC，易得：FD面ABC
113323346BEFCFBECBECVVSFD
【点评】立体几何体积求法，转化顶点，作高求体积。难度比较简单。 10．设,)34(7Axyxy，点PA，过点P引圆222(1)(0)xyrr的两条切线,PAPB，若APB的最大值为
3
，则r的值为 ．
【答案】1 【解析】算出满足使APB最大值的P点轨迹，连接P点和圆心，由切线可知：P点到圆心的距离为2r．P点满足轨迹：222(1)4xyr，因为存在唯一最大值．所以该圆和直线
3470xy 相切，此时满足2dr，又因为2d，解得1r．
C 第9题 A
B
P E F 【点评】隐形圆问题，求出P点满足的轨迹。分析题目得出直线与圆相切。难度中等。 11．设函数π()sin()3fxx，其中0．若函数()fx在0,2π上恰有2个零点，则的取值范围是 ．
【答案】54,
63
【解析】()fx取零点时x满足条件()3
k
xkZ，当0x时的零点从小到大依次为
123258,,333xxx，所以满足523823 ，解得：54,63
【点评】三角函数零点个数问题，求解参数范围。难度中等。 12．若正实数a、b、c满足2abab，2abcabc，则c的最大值为 ． 【答案】87
【解析】由2abcabc，2abab，解得221112121ababcababab，
2ababQ，121ba，12442(2)()442448ababababbababa
87c
【点评】不等式求解范围，考察换元代入的思想。难度中等。 13．设函数32()(0,0)fxxaxax，O为坐标原点，(3,1)A，(,0)Ca．若对此函数图象上的任意一点B，都满足OAOBOAOCuuruuuruuruuur成立，则a的值为 ．
【答案】62
【解析】设32(,)Bxxax，323()OAOBxxaxgxuuruuur
22()33gxxa，观察发现点C恰在函数上，
故()ga为极大值，()0ga，故62a
【点评】考察利用导数及构造函数求参，观察发现特殊点C处取最大值，进而求出答案，本题难度中等。 14．若数列na满足10a，414242433nnnnaaaa，44141412nnnnaaaa，其中nN，且对任意n
N都有nam成立，则m的最小值为 ．
【答案】8 【解析】4141434143111(6)2(2)444nnnnnaaaaa
43414311122268844nnnnnaaa
min8m 【点评】考察等差数列与等比数列的通项及性质，根据题中条件找到各项关系构造新的等比数列后，利用单调性求出答案。 二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 在ABC中，设abc、、分别为角ABC、、的对边，记ABC的面积为S，且2SABACuuuruuur． （1）求角A的大小； （2）若7c，4cos5B，求a的值．
【解析】（1）由2SABAC，得sincosbcAbcA,因为0,A，所以tan1A，4A
（2）ABC中，4cos5B，所以3sin5B，所以72sinsinsincoscossin10CABABAB
由正弦定理sinsinacAC
，得7272210a，解得=5a
（评分细则：第一问解答中不交代“0,A”而直接得到“4A”的，扣1分；第二问解答中不交
代“由正弦定理得的”，扣1分.） 【点评】本题主要考察了三角形面积公式和正弦定理在三角形中的应用，属于中等难度。
16．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱111ABCABC中，DE、分别是棱1BCCC、
上的点（点D不同于点C），且ADDE，F为棱11BC上的点，且111AFBC
．
求证：（1）平面ADE平面11BBCC
；
（2）//1FA平面ADE．
【解析】证明：（1）在直三棱柱111CBAABC
中，1BB平面ABC
因为AD平面ABC，所以1BBAD，又因为DEAD，在平面11BBCC中，1BB
与DE相交，
所以AD平面11BBCC，又因为AD平面ADE,所以平面ADE平面11BBCC
(2) 在直三棱柱111CBAABC中，1BB平面111ABC 因为1AF平面111ABC,所以11BBAF,又因为111AFBC，在平面11BBCC中1111BBBCB
，
所以1AF
平面11BBCC
在（1）中已证得AD平面11BBCC，所以//1FAAD，又因为1AF平面ADE，AD平面ADE,所以//1FA平面ADE （评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱1BB与底面垂直”，从而得到“1BBAD
和11BBAF
”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若
不交代“1AF
平面ADE”，扣2分.）
【点评】本题主要考查立体几何中平面与平面垂直，直线与平面平行的知识点.第一问直接利用面面垂直的判定定理证明即可，第二问关键在于线面平行转化为线线平行，再转化为用线面垂直的性质定理证明，对学生空间立体几何想象能力要求较高。 17．(本小题满分14分) 盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数2
600()ln6(422,)144xfxmxxxmxR，其中x为每天的时刻．若
在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6． （1）求实数m的值；
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试+数学+Word版
2019届高三年级第二次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，则A ∪B ＝________．2. 若复数z 满足za ＋2i ＝i(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．(第3题) (第4题)4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为________．5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．6. 在等差数列{a n }中，a 4＝10，前12项的和S 12＝90，则a 18的值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是抛物线y 2＝4x 与双曲线x 24－y 2b2＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且FA ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．8. 若函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(π6，2)，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f(π4)的值为________．9. 已知正四棱锥PABCD 的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．10. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x 2－5x ，则不等式f(x －1)>f(x)的解集为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M ：(x －4)2＋(y －m)2＝4上存在唯一一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．12. 已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB→＋PC →)·AD →＝4 2.若AD ＝2，则PB →·PC →的值为________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|， x ≤0，x 3－12x ＋3，x>0.设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)设向量a ＝(cos α，λsin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a ＋b 与a －b 互相垂直．(1) 求实数λ的值；(2) 若a·b ＝45，且tan β＝2，求tan α的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ，A 1C ⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1和BC 的中点．求证：(1) DE ∥平面ACC 1A 1； (2) AE ⊥平面BCC 1B 1.某公园内有一块以O 为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP ＝AB ＝BQ ，∠PAB ＝∠QBA ＝120°，且AB ，PQ 在点O 的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米．设∠OAB ＝α，α∈(0，π3)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且椭圆C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 2.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设经过点P(2，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点Q(m ，0)． ①若对任意直线l 总存在点Q ，使得QA ＝QB ，求实数m 的取值范围； ②设F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值．已知函数f(x)＝ln x－2x－2x－1＋2a，a>0.(1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．已知数列{a n }各项均为正数，且对任意n ∈N *，都有(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1. (1) 若a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求a 2a 1的值；(2) ① 求证：数列{a n }为等比数列；② 若对任意n ∈N *，都有a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n －1，求数列{a n }的公比q 的取值范围．2019届高三年级第二次模拟考试(十)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2141.(1) 求a ，b 的值；(2) 求A 的逆矩阵A －1.B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，P 是曲线C 上的任意一点．求点P 到直线l 的距离的最大值．C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 解不等式：|2x －1|－x ≥2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．(1) 求甲经过点C的概率；(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23. (本小题满分10分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n＝3，求T的最小值；(2) 若n≥4，求证：T≥2C3n.。
2019届南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试数学试题Word版含解析
2019届南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试数学试题一、填空题 1．函数f (x )＝1ln1x-的定义域为_______． 【答案】(－∞，1)【解析】 由题意得，函数满足101x>-，解得1x <，所以函数的定义域为(),1-∞。
2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________． 【答案】2【解析】 由题意得，复数满足()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--， 所以()()112z z i i ⋅=-+--=。
3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________． 【答案】23【解析】 由题意得，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加共有339⨯=种不同的选法，其中甲、乙不在同一兴趣小组共有22326C A =，所以概率为6293P ==。
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 【答案】30【解析】根据上表数据，根据分层抽样方法可知40830150n n ⨯=⇒=。
5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________．【答案】17【解析】由题意得，运行上述程序，可知第1次循环： 2,3S I ==；第2次循环： 5,5S I ==； 第3次循环： 10,7S I ==；第4次循环： 17,9S I ==，此时终止循环，输出结果17S =。
6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为_________． 【答案】31【解析】 由等比数列的求和公式，由1421,50a S S =-=，得()()4211115011a q a q qq---=--，即()()22140q q --=，又因为正数等比数列，解得2q =，所以()5515112)31112a q S q--===--。
江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）A ．100B ．210C ．380D ．4002．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 3．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14 5．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．6．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同7．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,10,10 C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 8．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．4πB ．38πC ．2πD ．58π 9．已知集合{}|26M x x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ） A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x << 10．已知(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )2222x x x x a b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52 B ．75[,)42 C ．57[,)34 D ．7(,2]411．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ） A ．49 B ．94 C ．23 D ．3212．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)
2019届高三年级第二次模拟考试数学一、 填空题：本大题共 ( 满分 160 分，考试时间14 小题，每题 5 分，合计120 分钟 )70 分．1. 已知会合 A ＝ {x|1<x<3} ， B ＝ {x|2<x<4} ，则 A ∪ B ＝ ________．2. z ＝ i(i 为虚数单位 )，且实部和虚部相等，则实数a 的值为 ________． 若复数 z 知足 a ＋ 2i3. 某药厂选用若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据( 单位： kPa)的分组区间为 [12 ， 13)，[13 ，14)，[14 ，15)， [15， 16)， [16 ，17]，将其按从左到右的次序分别编号为第一组，第二组， ，第五组．如图是依据试验数据制成的频次散布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，则第三组的人数为 ________．(第3题)(第 4题)4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为 ________．5. 现有 5 件同样的产品，此中 3 件合格， 2 件不合格，从中随机抽检2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为 ________．6. 在等差数列 {a n } 中， a 4＝ 10，前 12 项的和 S 12＝90，则 a 18 的值为 ________．与双曲线x 227. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线 y 2＝ 4x－ y2＝ 1(b>0) 的一个交4 b点．若抛物线的焦点为 F ，且 FA ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________ ． 8.π若函数 f(x) ＝2sin( ωx＋φ )( ω，>00<φ <π)的图象经过点 ( ， 2)，且相邻两条对称轴间的距6π π离为 ，则 f( )的值为 ________．2 49. 已知正四棱锥 PABCD 的全部棱长都相等， 高为 2，则该正四棱锥的表面积为 ________．10. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时，f(x) ＝x 2－ 5x ，则不等式 f(x － 1)>f(x)的解集为 ________．11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( － 1， 0)，B(5 ， 0)．若在圆 M ： (x － 4)2＋ (y － m)2＝ 4 上存在独一一点 P ，使得直线 PA ，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数 m 的值为 ________．12. 已知 AD 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高，点 P 在 DA 的延伸线上，且知足→ (PB ＋→ →2.若 AD ＝→ →PC) ·AD ＝ 4 2，则 PB·PC的值为________．|x＋ 3|，x≤ 0，13.已知函数 f(x) ＝x3－12x＋3，x>0.设 g(x) ＝ kx ＋ 1，且函数 y＝ f(x) － g(x) 的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是 ________．14.在△ ABC 中，若 sin C ＝ 2cos Acos B，则 cos2A ＋ cos2B 的最大值为 ________．二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14 分 )πsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，此中λ>0，0<α<β<，且a＋b与a－b相互垂2直．(1)务实数λ的值；4(2) 若a·b＝5，且 tan β＝ 2，求 tan α的值．16.(本小题满分 14 分 )如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1中， AB ＝ AC ，A 1C⊥ BC1，AB 1⊥ BC 1，D，E 分别是 AB 1和BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面 ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面 BCC 1B1 .17. (本小题满分14 分)某公园内有一块以O 为圆心，半径为20 米的圆形地区．为丰富市民的业余文化生活，现提出以下设计方案：如图，在圆形地区内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 地区，此中两个端点 A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形 ABQP 内且在圆 O 外的地区，此中 AP ＝ AB ＝ BQ，∠ PAB＝∠ QBA＝ 120°，且 AB ， PQ 在点 O 的同侧．为保证视听成效，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超出 60 米．设∠ OAB ＝α，α∈πα，上述设(0， )．问：关于随意3计方案能否均能切合要求？18. (本小题满分16 分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2 y2 2C：2 ＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆 C 短轴的a b 2一个极点到一个焦点的距离等于 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 P(2， 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，点 Q(m ，0) ．①若对随意直线 l 总存在点 Q，使得 QA ＝ QB ，务实数 m 的取值范围；②设 F 为椭圆 C 的左焦点，若点Q 为△ FAB 的外心，务实数m 的值．19.(本小题满分 16 分 )已知函数 f(x) ＝ ln x －2x－2，a>0.x－1＋ 2a(1)当 a＝ 2 时，求函数 f(x) 的图象在 x＝ 1 处的切线方程；(2)若对随意 x∈ [1，＋∞ )，不等式 f(x) ≥0 恒建立，务实数 a 的取值范围；(3) 若函数 f(x) 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，务实数 a 的取值范围．20. (本小题满分16 分 )已知数列 {a n} 各项均为正数，且对随意* 2 n＋1 n－ 1 n∈N ，都有 (a1a2 a n) ＝ a1 a n＋1.a2(1) 若 a1，2a2， 3a3成等差数列，求a1的值；(2) ①求证：数列 {a n} 为等比数列；②若对随意 n∈N*，都有 a1＋a2＋＋ a n≤ 2n－ 1，求数列 {a n} 的公比 q 的取值范围．2019 届高三年级第二次模拟考试(十 )数学附带题 (本部分满分 40 分，考试时间30 分钟 )21. 【选做题】 此题包含 A 、B 、 C 三小题 ，请选定此中两小题 ，并作答．若多做 ，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 4-2：矩阵与变换 ](本小题满分10 分)2 b 1 12 1 已知矩阵 A ＝3 ， B ＝－ 1， AB ＝.a 0 4 1(1) 求 a ， b 的值；－ 1(2) 求A 的逆矩阵 A .B. [ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 10 分 )x ＝ t ，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为y ＝ 3t ＋ 2x ＝cos ，θP 到直线 l 的距离的最大值．( θ为参数 )，P 是曲线 C 上的随意一点．求点 y ＝ 3sin θC. [ 选修 4-5：不等式选讲 ](本小题满分 10 分 )解不等式： |2x － 1|－ x ≥ 2.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10 分)如图是一旅行景区供旅客行走的路线图，假定从入口 A 开始到出口B，每碰到一个歧路口，每位旅客选择此中一条道路前进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 4 名旅客结伴到旅行景区游玩，他们从入口 A 的歧路口就开始选择道路自行游乐，并按箭头所指路线行走，最后到出口 B 集中，设 C 是此中的一个交错路口点．(1)求甲经过点 C 的概率；(2)设这 4 名旅客中恰有 X 名旅客都是经过点 C，求随机变量 X 的概率散布和数学希望．23.(本小题满分 10 分 )平面上有2n(n ≥3， n∈N* )个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n 个点中，任取 3 个点，记 3 个点颜色同样的全部不一样取法的总数为T.(1)若 n＝ 3，求 T 的最小值；(2)若 n≥ 4，求证： T≥ 2C3n .2019 届高三年级第二次模拟考试 (南京、盐城 )数学参照答案32 31.{x|1<x<4}2.－23.184.165.56.－ 47.y ＝± 3 x8. 39.4＋ 4 310. (－ 2， 3) 11.± 21 12.2 13.－ 9，132＋ 114.215. (1) 由 a ＋ b 与 a － b 相互垂直 ，可得 (a ＋ b )·(a － b )＝ a 2－ b 2＝ 0， 222分 )所以 cos α＋ λsin α－ 1＝0.(2 又因为 sin 2α＋ cos 2α＝ 1，22 α＝ 0.(4 分 )所以 ( λ－ 1)sinπ2－1＝ 0.因为 0<α<，所以 sin22α≠ 0，所以 λ又因为 λ>0，所以 λ＝ 1.(6 分 )(2) 由(1) 知 a ＝ (cos α，sin α)．44由 a ·b ＝ ，得 cos αcos ＋βsin αsin ＝β ，55即 cos( α－β)＝4.(8 分)5ππ因为 0<α<β<，所以－2<α－β <0，2所以 sin(23α－β)＝－ 1－cos （α－β）＝－ .(10 分)5所以 tan( α－ β)＝sin （α－ β）＝－ 3， (12 分 )cos （ α－ β） 4所以 tan α＝ tan( α－ β＋β)＝ tan （α－ β）＋ tan β 1分 )＝ .(141－ tan （α－ β） tan β 2 16. (1) 连接 A 1B ，在三棱柱 ABCA 1B 1 C 1 中， AA 1∥ BB 1 且 AA 1＝BB 1，所以四边形 AA 1B 1B 是平行四边形．又因为 D 是AB 1 的中点， 所以 D 也是 BA 1 的中点． (2 分 )在△ BA 1C 中， D 和 E 分别是 BA 1 和 BC 的中点，所以 DE ∥A 1C.又因为平面 ACC 1A 1，A 1平面 ACC 1A 1，所以 DE ∥平面 ACC 1A 1.(6 分 )(2) 由(1)知 DE ∥ A 1C ，因为 A 1C ⊥BC 1，所以 BC 1⊥ DE.(8 分 )又因为 BC 1⊥ AB 1 ，AB 1∩DE ＝ D ， AB 1， 平面 ADE ，所以 BC 1⊥平面 ADE.又因为平面 ADE ，所以 AE ⊥ BC 1.(10 分 )在△ ABC 中， AB ＝AC ， E 是 BC 的中点，所以 AE ⊥BC.(12 分)因为 AE ⊥BC 1， AE ⊥BC ， BC 1∩ BC ＝ B ， BC 1，平面 BCC 1B 1，所以 AE ⊥平面 BCC 1B 1 .(14 分 ) 17.过点 O 作 OH 垂直于 AB ，垂足为 H.在直角三角形 OHA 中， OA ＝ 20，∠ OAH ＝ α， 所以 AH ＝20cos α，所以 AB ＝ 2AH ＝40cos α(4. 分) 由图可知，点 P 处的观众离点 O 最远． (5 分) 在三角形 OAP 中，由余弦定理可知OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA ·AP ·cos α＋ 2π3(7 分)213＝ 400＋ (40cos α)－ 2× 20× 40cos α·(－2cos α－ 2 sin α)＝ 400(6cos 2α＋ 2 3sin α cos ＋α1) ＝ 400(3cos2 α＋ 3sin2 α＋ 4)＝ 800 3sin 2α＋π3＋ 1600.(10 分 )π，所以当 2α＝ ππ因为 α∈ 0，3 6，即 α＝12时，(OP 2)max ＝ 800 3＋ 1600，即 OP max ＝ 20 3＋ 20.(12 分)因为 20 3＋20<60 ，所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超出 60 米． (13 分)故关于随意 α，上述设计方案均能切合要求．(14 分 )c ＝ 2， c ＝ 1， 18. (1) 依题意得 a 2 解得a ＝ 2， a ＝ 2，所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1，2所以椭圆 C 的方程为 x2 ＋ y 2＝ 1.(2 分 )(2) 解法一：设直线的方程为 y ＝ k(x － 2)，2222代入椭圆 C 的方程，消去 y ，得 (1 ＋2k )x － 8k x ＋ 8k － 2＝ 0.所以＝ (－ 8k 2)2－ 4(1＋ 2k 2 )(8k 2－ 2)>0 ，22解得－ 2 <k< 2 .(4 分 ) 设点 A(x 1 ，y 1)， B(x 2， y 2)，2 2－ 2则 x 1＋ x 2＝ 8k 2， x 1x 2＝ 8k2.1＋2k 1＋ 2k①设 AB 的中点为 M(x 0， y 0 )，则 x 0＝ x 1＋ x 2＝ 4k 22， y 0＝ k(x 0－ 2)＝－ 2k 2.(6 分 )2 1＋2k1＋ 2k 当 k ≠ 0 时，因为 QA ＝ QB ，所以 QM ⊥l ，2k－1＋ 2k 2－即 k QM ·k ＝ 4k 2·k ＝－ 1.1＋ 2k 2－m 解得 m ＝2k 21＋2k 2.(8 分 )当 k ＝ 0 时，可得 m ＝0，切合 m ＝2k 22.1＋ 2k2所以 m ＝ 2k1＋2k 2.由2 m 110≤ k ＝2（ 1－ m ） < ，解得 0≤ m< .(10 分 )22 ②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F(－ 1， 0)， 所以 QA ＝QB ＝ QF.（ m ＋ 1） 2＝（ x － m ） 2＋ y 2 ，由 2(12 分)x＋ y 2＝ 1，2消去 y ，得 x 2－ 4mx － 4m ＝ 0，所以 x 1， x 2 也是此方程的两个根，所以 x 1＋ x 2＝ 4m ， x 1x 2＝－ 4m.(14 分 )又因为 x 1 ＋ x 2 ＝ 8k 2 2， x 1x 2＝ 8k 2 － 22，1＋ 2k 1＋2k228k2＝－ 8k－ 21，所以 2，解得 k 2＝1＋ 2k 1＋ 2k 8所以 m ＝ 2k 2 2＝ 11＋2k .(16 分 ) 5 解法二：①设点 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， AB 中点为 M(x 0， y 0)．x 12 2 2 ＋ y 1＝ 1，依题意 x 22 两式作差，2＋ y 2＝ 1，2y 1－ y 2 y 0 1得 － x × x 0＝－ 2(x 0≠ 0)．x 12y 1－ y 2y 0－ 0又因为 x 1－ x 2＝k AB＝x 0－2，2 1所以 y 0＝－x 0(x 0－ 2)．2 当 x 0＝ 0 时， y 0＝ 0，2 1切合 y 0＝－ x 0(x 0－ 2)． (ⅰ )(4 分 )2又因为 QA ＝ QB ，所以 QM ⊥ l ，所以 (x 0－ m)(x 0－ 2)＋ (y 0 －0)(y 0－ 0)＝ 0，即 y20＝－ (x0－ m)(x 0－2) ．(ⅱ )(6 分)由 (ⅰ )(ⅱ) ，解得 x0＝ 2m，所以 y20＝ 2m－ 2m2.(8 分 )因为直线 l 与椭圆 C 订交，所以点M 在椭圆 C内，（ 2m）2 2 1.所以＋(2m － 2m )<1 ，解得 m<2 2又 y20＝ 2m－ 2m2≥ 0，所以 0≤ m≤ 1.综上，实数 m 的取值范围是10，2 .(10 分 )②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点F(－ 1， 0)，所以 QA ＝QB ＝ QF.（ m＋ 1）2＝（ x－ m）2＋ y2，2消去 y，由x 2＝ 12 ＋ y得 x2－ 4mx － 4m＝ 0.(ⅲ)(12 分)当 y0≠ 0 时，则直线 l 为 y＝－x0(x－ 2)，代入椭圆的方程，2y0得 (2y 2＋ x2)x2－ 4x2x＋ 4x2－ 4y2＝ 0.00000将 (ⅰ )代入上式化简得 x2－ 2x0x＋ 3x0－ 2＝ 0.(ⅳ)当 y0＝ 0 时，此时x0＝ 0， x1＝－2， x2＝2也知足上式． (14 分 )由①可知m＝x20，代入 (ⅲ )化简得 x2－ 2x0x－ 2x0＝0.(ⅴ)因为 (ⅳ )(ⅴ )是同一个方程，2 所以 3x 0－ 2＝－ 2x0，解得 x0＝，所以 m＝x0 1＝ .(16 分) 2 519. (1)当a＝2时，f(x)＝lnx－2x－ 2 1－82，则f1 ， f ′(x)＝（ x＋ 3）′(1)＝ . x＋ 3 x 2又因为 f(1)＝ 0，所以函数 f(x) 的图象在 x＝ 1 处的切线方程为y＝1 (x－ 1)，2即 x－ 2y－ 1＝ 0.(2 分 )(2)因为 f(x) ＝lnx －2x－2，x－1＋ 2a14a所以 f ′(x)＝x－（x－1＋2a）2＝x2－ 2x＋ 4a2－4a＋ 1＝（x－ 1）2＋ 4a2－ 4ax（ x－1＋ 2a） 2 x（x－ 1＋ 2a）2 ，(4 分)且 f(1) ＝0.因为 a>0，所以 1－ 2a<1.①当 4a2－ 4a≥ 0，即 a≥1 时，因为 f ′(x)>0在区间 (1，＋∞ )上恒建立，所以函数 f(x) 在区间 (1，＋∞ )上单一递加．当 x∈ [1，＋∞ )时， f(x) ≥ f(1) ＝ 0，所以 a≥ 1 知足条件． (6 分 )②当 4a2－ 4a<0，即 0<a<1 时，2由 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 1－ 2a－ a ∈ (0， 1)，当 x∈ (1， x2)时， f ′ (x)<0，则函数 f(x) 在区间 (1， x2)上单一递减，所以当 x∈ (1， x2) 时， f(x)<f(1) ＝ 0，这与 x∈ [1，＋∞ )时， f(x) ≥ 0 恒建立矛盾，所以 0<a<1 不知足条件．综上，实数 a 的取值范围为[1，＋∞ )． (8 分 )(3)①当 a≥ 1 时，因为函数 f ′(x)≥ 0 在区间 (0，＋∞ )上恒建立，所以函数f(x) 在区间 (0，＋∞ )上单一递加，所以函数f(x) 不存在极值，所以 a≥ 1 不知足条件；(9 分 )②当1<a<1 时， 1－ 2a<0，2所以函数 f(x) 的定义域为 (0，＋∞ )，由 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 1－ 2 a－ a2∈ (0， 1)，2x2＝ 1＋ 2a－ a ∈ (1，＋∞ ) ．因为函数f(x) 在区间 (x1，x2) 是单一减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，1所以2<a<1 不知足条件．(11 分 )1③当 a＝时，由 f ′(x)＝ 0，得 x＝2.列表以下：此时函数f(x) 仅存在极小值，不合题意，1所以 a＝不知足条件．(12 分 )④当 0<a<12时，函数f(x) 的定义域为 (0， 1－ 2a)∪ (1－ 2a ，＋∞ )，且 0<x 1＝ 1－2 a － a 2<1 －2a ，x 2＝ 1＋ 2 a － a 2>1－ 2a.列表以下：所以函数 f(x) 存在极大值 f(x 1)和极小值 f(x 2)， (14 分 )此时 f(x 1) － f(x 2)＝ lnx 1－ 2x 1－ 2 － lnx 2 ＋ 2x 2－ 2＝ln x 1－4a （ x 1－ x 2） .x 1－ 1＋ 2a x 2－ 1＋ 2ax 2（ x 1－ 1＋ 2a ）（ x 2－1＋ 2a ）因为 0<x 1<1－2a<x 2，x 1所以 ln <0 ， x 1－ x 2<0，x 1－ 1＋ 2a<0， x 2－ 1＋ 2a>0， x 2 所以 f(x 1) － f(x 2)<0 ，即 f(x 1)<f(x 2)，所以 0<a<1知足条件． 2综上，实数 a 的取值范围为 10，2 .(16 分 )20. (1) 因为 (a 1a 2)2＝ a 31a 3，所以 a 22＝ a 1a 3，所以 a 1， a 2， a 3 成等比数列． (2 分 ) 设公比为 t ，因为 a 1， 2a 2， 3a 3 成等差数列，所以 4a ＝ a ＋ 3a ，即 4×a 2＝ 1＋ 3×a 3，213a 1a 1于是 4t ＝ 1＋3t 2，解得 t ＝1 或 t ＝ 1 ，3 所以 a 2＝ 1 或1.(4 分 )a 1 32n ＋ 1 n －1(2) ①因为 (a 1a 2 a n ) ＝ a 1 a n ＋1，2n ＋2 n所以 (a 1a 2 a n a n ＋ 1) ＝a 1 a n ＋2，n两式相除得2a n ＋2a ＋＝ a n － 1，n1 1·a n ＋1n ＋1n即 a n ＋ 1＝a 1a n ＋ 2， (*)(6 分 )n ＋2n ＋1由 (*) ，得 a n ＋2＝ a 1 a n ＋3， (**)n ＋2 n ＋1 a n ＋2a n ＋ 3，(*)(**) 两式相除得 a n n ＋11＝a n n ＋ 2＋2n ＋2 n ＋1 n ＋ 1即 a n ＋ 2 ＝ a n ＋1a n ＋ 3，2所以 a n ＋ 2＝ a n ＋ 1a n ＋ 3，2*，(8 分)即 a n ＋ 1＝a n a n ＋ 2， n ≥ 2， n ∈ N2 2 * ，由 (1)知 a 2＝ a 1 3 ，所以 a n ＋ 1＝a n n ＋ 2， n ∈ Naa所以数列 {a n } 为等比数列． (10 分)②当 0<q ≤ 2 时，由 n ＝ 1 时，可得 0<a 1≤1，所以 a n ＝ a 1q n － 1≤2n －1，n －1n所以 a 1＋ a 2＋ ＋ a n ≤ 1＋ 2＋ ＋ － 1， 2 ＝ 2 所以 0<q ≤ 2 知足条件． (12 分) 当 q>2 时，nna 1（ 1－ q ）n由 a 1＋ a 2＋ ＋ a n ≤2 － 1，得≤ 2 － 1，nn整理得 a 1q ≤ (q － 1)2 ＋ a 1－ q ＋ 1.(14 分 )所以 a 1q n<(q － 1)2n，即 q n q － 12 <1，a因为 q>1，所以 n<log qq － 1，与随意 n ∈ N * 恒建立相矛盾，2 2 a 1 所以 q>2 不知足条件． 综上，公比 q 的取值范围为 (0 ，2]． (16 分 )21.A. (1) 因为 A ＝ 2 b 1 1 2 1a ， B ＝ ， AB ＝ 4 ，3 0 － 1 1 2－ b ＝ 1，b ＝ 1，所以 a ＝4， 即(4 分)a －3＝ 1， a ＝ 4.(2) 因为 |A |＝2× 3－ 1× 4＝ 2， (6 分 )3 － 13－1 所以 A －1＝2 2 ＝2 2 .(10 分 )－42－ 2 12 2x ＝ t ，B.直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，化为一般方程为 3x － y ＋2＝ 0.(2 分 ) y ＝ 3t ＋ 2设点 P(cos θ， 3sin θ)，6cos θ＋ π＋ 2则点 P 到直线 l 的距离 d ＝ |3cos θ－ 3sin θ＋ 2|＝4分 )2 ， (6（ 3） 2＋1π π取 θ＝－4时， cos θ＋4 ＝ 1，此时 d 取最大值，所以距离 d 的最大值为 6＋ 22 .(10 分)C. 当 x ≥ 1时，由 2x － 1－x ≥ 2，得 x ≥ 3.(4 分 )21 1 当 x< 时，由 1－ 2x － x ≥ 2，得 x ≤－ .(4 分)231综上，原不等式的解集为{x|x ≥ 3 或 x ≤－ 3} ． (10 分 )22. (1) 设“甲从入口 A 开始到出口 B 经过点 C ”为事件 M ， 甲选中间的路的概率为1，在前面从歧路抵达点 C 的概率为 1，这两个事件相互独立，所以选32择从中间一条路走到点 C 的概率为1 1 1P 1＝×＝ .(2 分)3 26同理，选择从最右侧的道路走到点C 的概率为 P 2＝ 1×1＝ 1.3 2 6因为选择中间道路和最右侧道路行走的两个事件相互互斥，1 1 1所以 P(M) ＝ P 1＋P 2＝＋ ＝ .6 6 31故甲从入口 A 开始到出口 B 经过点 C 的概率 3.(4 分 ) (2) 随机变量可能的取值 X ＝0， 1， 2， 3， 4， (5 分)4则 P(X ＝ 0)＝ C 04× 13 × 23 ＝1681，1112 3 32，P(X ＝1)＝C 4× 3 × 3 ＝ 81P(X ＝2)＝C 42× 1 2 2 224， × ＝3 3 81 P(X ＝3)＝C 43× 1 3 2 18 ， × ＝ 3 3811 42 0P(X ＝4)＝C 44× × ＝ 1，(8分)3 381 概率散布为：X 0 1 2 3 4 P16 32 248 1 81 81 818181数学希望 E(X) ＝ 0×16＋ 1×32＋ 2×24＋ 3× 8 ＋ 4× 1 ＝ 4.(10 分 ) 81 8181 81 81 323. (1) 当 n ＝ 3 时，共有 6 个点，若染红色的点的个数为 0或6，则 T ＝C 3＝ 20；6若染红色的点的个数为 1或5，则 T ＝C 53＝ 10；若染红色的点的个数为2或4，则 T ＝C 3＝ 4；4若染红色的点的个数为3，则 T ＝ C 33＋ C 33＝ 2；所以 T 的最小值为 2.(3 分 )(2) 第一证明：随意*， n≥ k，有kkn，k∈N C n＋1>C n.k k k－ 1 k k证明：因为 C n＋1－ C n＝ C n >0，所以 C n＋1 >C n.设这 2n 个点中含有p(p∈N， p≤ 2n)个染红色的点，①当 p∈{0 ， 1，2} 时，T ＝ C2n3－p≥ C2n3（ 2n－2）（ 2n－3）（ 2n－4）－2＝ 6（ n－ 1）（ n－ 2）（ 2n－ 3）＝ 4×6 .因为 n≥4，所以2n－ 3>n ，n（ n－1）（ n－ 2）33.(5 分 )所以 T>4 × 6 ＝ 4C n>2C n②当 p∈{2n － 2， 2n－ 1，2n} 时，T ＝ C3p≥ C2n3－2，3同理可得T>2C n.(6 分 )T ＝ C3p＋ C2n3－p，设 f(p) ＝C3p＋ C32n－p， 3≤ p≤ 2n－ 3，当 3≤ p≤2n－ 4 时，33332 2f(p ＋1) －f(p) ＝ C p＋1＋ C2n－p－1－C p－ C2n－p＝ C p－ C2n－p －1，明显 p≠2n－ p－ 1，当 p>2n －p－ 1 即 n≤ p≤ 2n－ 4 时， f(p＋ 1)>f(p) ，当 p<2n －p－ 1 即 3≤ p≤ n－1 时， f(p ＋ 1)<f(p) ，即 f(n)<f(n ＋ 1)< <f(2n －3)； f(3)>f(4)> >f(n) ；3 3所以 f(p) ≥ f(n) ＝ 2C n，即 T≥ 2C n.。
2019年4月清华大学附属中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前清华大学附属中学2019届高三下学期第一次高考模拟考试数学（文）试题（解析版）2019年4月注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚，将条形码粘贴在指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。
在试题卷上作答,答案无效。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.考试结束,监考人员将试卷、答题卷一并收回。
5.保持答题卷清洁,不要折叠、不要弄破。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题解析：,,选A.考点：集合的运算2.为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学,在某景区,由于时间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览,高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选,据了解,在甲、乙两个景点中有18人会选择甲,在乙、丙两个景点中有18人会选择乙,那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是( )①该班选择去甲景点游览；②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高；④三个景点的得票数可能会相等.A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】D【解析】对甲、乙、丙喜欢程度排序共,分别为以下6种,甲>乙>丙甲>丙>乙乙>丙>甲乙>甲>丙丙>甲>乙丙>乙>甲,,综上所述③④正确,选D.【点睛】本题应根据三个景点喜欢程度排序,再根据题目条件分析各景点的人数情况,枚举是本题最重要的方法,最简单的方法反而是最有效的方法。
3.,( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】⇒反之不成立,.【详解】•是常数,是常数,若已知（•）（）,则。
江苏省苏、锡、常、镇2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏、锡、常、镇2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π3．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．134．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C 10D ．126．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π10．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．1211．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 12．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
南京、盐城2019届高三二模数学试卷参考答案
所以四边形 AA1B1B 是平行四边形． 又因为 D 是 AB1 的中点，所以 D 也是 BA1 的中点． ································2 分 在△BA1C 中，D 和 E 分别是 BA1 和 BC 的中点，所以 DE∥A1C． 又因为 DE平面 ACC1A1，A1C平面 ACC1A1， 所以 DE//平面 ACC1A1．····································································6 分 (2)由(1)知 DE∥A1C，因为 A1C⊥BC1，所以 BC1⊥DE． ·······························8 分 又因为 BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面 ADE，所以 BC1⊥平面 ADE． 又因为 AE平面 ADE，所以 AE⊥BC1． ·············································10 分 在△ABC 中，AB＝AC，E 是 BC 的中点，所以 AE⊥BC．·······················12 分 因为 AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，BC平面 BCC1B1， 所以 AE⊥平面 BCC1B1． ·································································14 分
17．(本小题满分 14 分) 解：过 O 作 OH 垂直于 AB，垂足为 H．
在直角三角形 OHA 中，OA＝20，∠OAH＝α， 所以 AH＝20cos ，因此 AB＝2AH＝40cos ． ···········································4 分 由图可知，点 P 处观众离点 O 处最远． ·····················································5 分 在三角形 OAP 中，由余弦定理可知 OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos(α＋23π)··········7 分
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试卷及解析
第1页，总19页…………○…………装…………○………学校:_________姓名：___________班级：_______…………○…………装…………○………江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题（题型注释）1.已知集合A={x |1<x <3 }，B ={x |2<x <4 }，则A ∪B =______.2.若复数z 满足za+2i =i （i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为______.3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中人数为______.4.下图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为______.5.现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为______.6.等差数列{a n }中，a 4=10，前12项的和S 12=90，则a 18的值为______.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线y 2=4x 与双曲线x 24−y2b2=1(b >0)的一个交点.若抛物线的焦点为F ，且FA=5，则双曲线的渐近线方程为______.答案第2页，总19页…外…………○※…内…………○8.若函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过点(π6,2)，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f (π4)的值为______.9.已知正四凌锥P−ABCD 的所有棱长都相等，高为√2，则该正四棱锥的表面积为______.10.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f (x )=x 2−5x ，则不等式f (x −1)>f (x )的解集为______.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (−1,0)，B (5,0).若圆M:(x−4)2+(y −m )2=4上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为______.12.已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4√2.若AD =√2，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为______.13.已知函数f (x )={|x +3|,x ≤0,x 3−12x +3,x >0设g (x )=kx +1，且函数y =f (x )−g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围为______.14.在ΔABC 中，若sinC=2cosAcosB ，则cos 2A +cos 2B 的最大值为______.二、解答题（题型注释）15.设向量a ⃑⃑ =(cosα,λsinα)，b ⃑⃑ =(cosβ,sinβ)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a ⃑⃑ +b ⃑⃑ 与a ⃑⃑ -b⃑⃑ 互相垂直.（1）求实数λ的值； （2）若a ⃑⃑ ⋅b⃑⃑ =45，且tanβ=2，求tanα的值.16.如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB =AC ，A 1C ⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1和BC 的中点.求证：（1）DE//平面ACC 1A 1； （2）AE⊥平面BCC 1B 1.17.某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方第3页，总19页…………装………………○…………线___________姓名：______：___________…………装………………○…………线案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内切在圆O 外的区域，其中AP=AB =BQ ，∠PAB =∠QBA =120∘，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设∠OAB =α，α∈(0,π3).问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a+y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，且椭圆C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于√2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点P (2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点Q (m,0). ①若对任意直线l 总存在点Q ，使得QA=QB ，求实数m 的取值范围；②设点F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 为ΔFAB 的外心，求实数m 的值.19.已知f (x )=lnx −2x−2x−1+2a，a >0.（1）当a=2时，求函数f (x )图象在x =1处的切线方程；（2）若对任意x∈[1,+∞)，不等式f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；（3）若f (x )存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围. 20.已知数列{a n }各项为正数，且对任意n∈N ∗，都有(a 1a 2⋯a n )2=a 1n+1a n+1n−1.（1）若a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求a2a 1的值；（2）①求证：数列{a n }为等比数列； ②若对任意n∈N ∗，都有a 1+a 2+⋯+a n ≤2n −1，求数列{a n }的公比q 的取值范围.答案第4页，总19页……○…………订……※※装※※订※※线※※内※※答※……○…………订……21.已知矩阵A=[2ba 3]，B =[110−1]，AB =[2141]. （1）求a ，b 的值； （2）求A 的逆矩阵A−1.22.如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A 开始到出口B ，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 集中，设点C 是其中的一个交叉路口点.（1）求甲经过点C 的概率；（2）设这4名游客中恰有X 名游客都是经过点C ，求随机变量X 的概率分布和数学期望.23.平面上有2n (n≥3,n ∈N ∗)个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这2n 个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法总数为T . （1）若n =3，求T 的最小值；（2）若n≥4，求证：T ≥2C n 3.第5页，总19页参数答案1.{x |1<x <4 }【解析】1.直接利用并集的定义求解. 由题得A ∪B ={x |1<x <4 }. 故答案为：{x |1<x <4 } 2.−2【解析】2.由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，即可求出a 的值. 由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2. 故答案为：-2 3.18【解析】3. 由频率=频数样本容量以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分 别为0.24，0.16，设总的人数为n,则20n=0.24+0.16=0.4,∴n =50.所以第3小组的人数为50×0.36=18人. 故答案为：18 4.16【解析】4.直接按照算法的伪代码运行即得结果.1＜6，i=3,S=4,3＜6，i=5,S=9,5＜6，i=7,S=16,7＞6，输出S=16. 故答案为：16 5.35答案第6页，总19页【解析】5.分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式 即可得出．从5件产品中任意抽取2有C 52=10种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有C 31C 21=6种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率P=610=35．故答案为:35 6.−4【解析】6.首先根据已知求出a 1,d ，再利用等差数列的通项求出a 18的值.由题得{a 1+3d =1012a 1+12⋅112d =90∴a 1=13,d =−1,∴a 18=13+17⋅(−1)=−4. 故答案为：-4 7.y =±2√33x【解析】7. 设点A(x,y),根据FA =5求出点A 的坐标，再把点A 的坐标代入双曲线的方程求出b 2=163，再求双曲线的渐近线方程. 设点A(x,y),因为FA =5，所以x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4)，由题得164−16b2=1,∴3=16b2,∴b 2=163. 所以双曲线的渐近线方程为y =±43√32x =±23√3x .故答案为：y =±2√33x8.√3第7页，总19页【解析】8.先根据相邻两条对称轴间的距离为π2求出ω的值，再根据图象经过点(π6,2)求出φ=π6，再求f (π4)的值.因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2πω=π，∴ω=2.所以f (x )=2sin (2x +φ).因为函数的图象经过点(π6,2)，所以sin(π3+φ）=1，∵0<φ<π,∴φ=π6.所以f (x )= 2sin(2x +π6)，所以f(π4)=2sin(π2+π6)=√3.故答案为：√3 9.4+4√3【解析】9.设正四棱锥的棱长为2a,根据（√3a)2=a 2+√22求得a=1,再求正四棱锥的表面积. 设正四棱锥的棱长为2a,由题得（√3a)2=a 2+√22,∴a =1.所以四棱锥的棱长为2.所以正四棱锥的表面积=2⋅2+√34⋅22⋅4=4+4√3.故答案为：4+4√3 10.(−2,3)【解析】10.利用函数的奇偶性求出函数f (x )的表达式，然后解不等式件即可． 设x<0，则−x >0，所以f(−x)=x 2+5x ．因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(−x)=x 2+5x =−f(x)，所以f(x)=−x 2−5x ，所以当x ⩾0时，f(x)=x 2−5x ，当x <0时，f(x)=−x 2−5x .当x⩾1时，f(x -1)=（x -1）2−5（x -1）>x 2-5x,∴x <3.∵x ≥1,∴1≤x <3.当0≤x<1时，f(x -1)=−（x -1）2−5（x -1）>x 2-5x,∴−1<x <2.所以0≤x <1.当x ＜0时， f(x -1)=−（x -1）2−5（x -1）>-x 2-5x,所以-2＜x ＜0.综上不等式的解集为(−2,3).答案第8页，总19页故答案为：(−2,3) 11.±√21【解析】11.根据题意，设P 的坐标为(a,b)，据此求出直线PA 、PB 的方程，即可得求出两直线y 轴上的截距，分析可得(b a+1)×(−5b a−5)=5，变形可得b 2+(a −2)2=9，即可得P 的轨迹方程为(x −2)2+y 2=9，据此分析可得圆M 与(x −2)2+y 2=9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为√(4−2)2+m 2⩾2，则两圆只能外切，结合圆与圆的位置关系可得4+m 2=25，解可得m 的值，即可得答案．根据题意，设P 的坐标为(a,b)， 直线PA 的方程为y =b a+1(x +1)，其在y 轴上的截距为ba+1，直线PB 的方程为y=b a−5(x −5)，其在y 轴上的截距为−5b a−5，若点P 满足使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有(ba+1)×(−5ba−5)=5，变形可得b2+(a −2)2=9，则点P 在圆(x −2)2+y 2=9上，若圆M:(x−4)2+(y −m)2=4上存在唯一点P ，则圆M 与(x −2)2+y 2=9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为√(4−2)2+m 2⩾2，则两圆只能外切，则有4+m 2=25，解可得：m=±√21，故答案为：±√21． 12.2【解析】12.设∠DPC=α,∠DPB=β，先化简(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4√2得到|PD|=2,再利用数量积的公式展开PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 利用三角函数和三角和角的余弦公式化简即得解.第9页，总19页设∠DPC=α,∠DPB=β，由题得PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4√2,∴|PB|⋅√2⋅cosβ+|PC|⋅√2⋅cosα=4√2, 所以|PB|⋅|PD||PB|+|PC|⋅|PD||PC|=4,∴|PD|=2.所以PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|PB||PC|cos(α+β)=|PB||PC|(cosαcosβ−sinαsinβ) =|PB||PC|(2|PC|⋅2|PB|−|CD||PC|⋅|BD||PB|)=4−|AD|2=4−√22=2.故答案为：2 13.(−9,13)【解析】13.先讨论当x ≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，得到k ＜13.再讨论当x ＞0时，f(x)-g(x)=x 3−(12+k)x +2, f(x)-g(x)过第四象限，得到k ＞-9.综合即得解. 当x ≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限， 所以f(-3)-g(-3)<0, 解之得k ＜13.当x ＞0时，f(x)-g(x)=x 3−(12+k)x +2, 因为f ′(x)−g ′(x)=3x 2−12−k ， 所以须使f(x)-g(x)过第四象限，必须{12+k>0f(√12+k 3)−g(√12+k3)<0 ∴{12+k>012+k 3√12+k 3>0,∴k >−9综合得-9＜k ＜13. 故答案为：(−9,13) 14.√2+12【解析】14.先由题得cos 2A +cos 2B +cos 2C +2cosAcosBcosC =1，再化简得cos 2A +cos 2B =12−√22sin(2C +π4)，再利用三角函数的图像和性质求出最大值. 在△ABC 中，有cos 2A +cos 2B +cos 2C +2cosAcosBcosC =1,答案第10页，总19页所以cos 2A +cos 2B =1−1+cos2C2−sinCcosC =12−12(sin2C +cos2C)=12−√22sin(2C +π4)≤1+√22,当sin(2C +π4)=-1即C =58π时取等.故答案为：√2+1215.（1）1；（2）12.【解析】15.（1）由a ⃑⃑ +b ⃑⃑ 与a ⃑⃑ -b ⃑⃑ 互相垂直可得（a +b ⃑ ）⋅（a −b ⃑ )=a 2−b⃑ 2 =0，展开化简即得λ=1.（2）由a ⃑⃑ ⋅b⃑⃑ =45，得cos (α−β)=45.sin (α−β)=−35.tan (α−β)=−34，最后求tanα=tan (α−β+β)= tan (α−β)+tanβ1−tan (α−β)tanβ=12. 解：（1）由a ⃑⃑ +b ⃑⃑ 与a ⃑⃑ -b ⃑⃑ 互相垂直，可得（a +b ⃑ ）⋅（a −b ⃑ )=a 2−b⃑ 2 =0， 所以cos 2α+λ2sin 2α−1=0.又因为sin 2α+cos 2α=1，所以(λ2−1)sin 2α=0.因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2−1=0. 又因为λ>0，所以λ=1.（2）由（1）知a⃑⃑ =(cosα,sinα).由a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ =45，得cosαcosβ+sinαsinβ=45，即cos (α−β)=45.因为0<α<β<π2，所以−π2<α−β<0，所以sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−35.所以tan (α−β)=sin (α−β)cos (α−β)=−34，因此tanα=tan (α−β+β)= tan (α−β)+tanβ1−tan (α−β)tanβ=12. 16.（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】16.（1）连接A 1B ，证明DE//A 1C ，即得DE//平面ACC 1A 1.（2）证明AE⊥BC 1，AE ⊥BC ，第11页，总19页订…………○…__考号：___________订…………○…即得AE ⊥平面BCC 1B 1.证明：（1）连接A 1B ，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1//BB 1且AA 1=BB 1，所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形.又因为D 是AB 1的中点，所以D 也是BA 1的中点.在ΔBA 1C 中，D 和E 分别是BA 1和BC 的中点，所以DE//A 1C . 又因为DE⊄平面ACC 1A 1，A 1C ⊂平面ACC 1A 1，所以DE//平面ACC 1A 1.（2）由（1）知DE//A 1C ，因为A 1C ⊥BC 1，所以BC 1⊥DE .又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE =D ，AB 1，CE ⊂平面ADE ，所以BC 1平面ADE .又因为AE⊂平面ADE ，所以AE ⊥BC 1.在ΔABC 中，AB =AC ，E 是BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ，BC 1∩BC =B ，BC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AE⊥平面BCC 1B 1.17.能符合要求【解析】17.过O 作OH 垂直于AB ，垂足为H ,所以点P 处观众离点O 处最远. 由余弦定理可得OP 2==800√3sin (2α+π3)+1600.再求得(OP )max =20√3+20. 因为20√3+20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.解：过O 作OH 垂直于AB ，垂足为H .在直角三角形OHA 中，OA =20，∠OAH =α，所以AH=20cosα，因此AB =2AH =40cosα.由图可知，点P 处观众离点O 处最远.在三角形OAP 中，由余弦定理可知OP 2=OA 2+AP 2−2OA ⋅AP ⋅cos (α+2π3)=400+(40cosα)2− 2×20×40cosα⋅(−12cosα−√32sinα)=400(6cos 2α+2√3sinαcosα+1) =400(3cos2α+√3sin2α+4)答案第12页，总19页……订…………○…※※内※※答※※题※※……订…………○…=800√3sin (2α+π3)+1600.因为α∈(0,π3)，所以当2α=π6时，即α=π12时，(OP 2)max=800√3+1600，即(OP )max =20√3+20.因为20√3+20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求.18.（1）x 22+y 2=1；（2）①0≤m <12；②15.【解析】18.（1）依题意{ca=√22,a =√2,解之即得椭圆的方程.(2) ①设直线的方程为y=k (x −2)，代入椭圆C 的方程，根据Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−2)>0，解得−√22<k <√22.因为QA =QB ，所以OM ⊥l ，即k OM ⋅k =−1. 解得m =2k 21+2k2.由0≤k 2=m 2(1−m)<12，即可解得m 范围 ②由{(m +1)2=(x −m )2+y 2,x 22+y 2=1,得x 1+x 2=4m ，x 1x 2=−4m .所以8k21+2k2=8k 2−21+2k2，解得k 2=18,即可求出m 值.解：（1）依题意{ca=√22,a =√2,解得{c =1,a =√2,所以b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）设直线的方程为y =k (x −2)，代入椭圆C 的方程，消去y ，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2=0.因为直线l 交椭圆C 于两点，所以Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−2)>0，第13页，总19页解得−√22<k <√22.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则有x 1+x 2=8k21+2k2，x 1x 2=8k 2−21+2k2.①设AB 中点为M (x 0,y 0)， 则有x 0=x 1+x 22=4k21+2k2，y 0=k (x 0−2)=−2k1+2k2.当k≠0时，因为QA =QB ，所以OM ⊥l ，即k OM ⋅k =−2k 1+2k 2−04k21+2k2−m ⋅k =−1.解得m =2k 21+2k .当k=0时，可得m =0，符合m =2k 21+2k 2.因此m =2k 21+2k 2.由0≤k 2=m2(1−m)<12，解得0≤m <12.②因为点Q 为ΔFAB 的外心，且F (−1,0)，所以QA =QB =QF .由{(m +1)2=(x −m )2+y 2,x 22+y 2=1,消去y ，得x 2−4mx −4m =0，所以x 1 x 2，也是此方程的两个根. 所以x 1+x 2=4m ，x 1x 2=−4m . 又因为x 1+x 2=8k 21+2k2，x 1x 2=8k 2−21+2k2，所以8k21+2k2=8k 2−21+2k2，解得k2=18.所以m=2k 21+2k 2=15.19.（1）x −2y −1=0；（2）[1,+∞)；（3）(0,12).【解析】19.(1)利用导数的几何意义求得函数f (x )图象在x =1处的切线方程为x −2y −1=0.（2）先求导得f′(x )=(x−1)2+4a 2−4a x (x−1+2a )2，再对a 分类讨论得到a 的取值范围.(3对a 分类讨论，结合极大值小于极小值求出a 的取值范围. 解：（1）当a =2时，f (x )=lnx −2x−2x+3，f′(x )=1x−8(x+3)2，则f′(1)=12.又因为f (1)=0，所以函数f (x )图象在x =1处的切线方程为y =12(x −1)，即x−2y −1=0.答案第14页，总19页（2）因为f (x )=lnx −2x−2x−1+2a所以f′(x )=1x−4a(x−1+2a )2= x 2−2x+4a 2−4a+1x (x−1+2a )2=(x−1)2+4a 2−4a x (x−1+2a )2， 且f (1)=0.因为a >0，所以1−2a <1. ①当4a 2−4a ≥0时，即a ≥1，因为f′(x )>0在区间(1,+∞)上恒成立，所以f (x )在(1,+∞)上单调递增.当x∈[1,+∞)时，f (x )≥f (1)=0， 所以a≥1满足条件.②当4a 2−4a <0时，即0<a <1时，由f′(x )=0，得x 1=1−2√a −a 2∈(0,1)，x 2=1+2√a −a 2∈(1,+∞)当x∈(1,x 2)时，f′(x )<0，则f (x )在(1,x 2)上单调递减，所以x ∈(1,x 2)时，f (x )<f (1)=0，这与x ∈[1,+∞)时，f (x )≥0恒成立矛盾. 所以0<a <1不满足条件.综上，a 的取值范围为[1,+∞). （3）①当a ≥1时，因为f′(x )≥0在区间(0,+∞)上恒成立，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以f (x )不存在极值，所以a ≥1不满足条件.②当12<a <1时，1−2a <0，所以函数f (x )的定义域为(0,+∞)，由f′(x )=0，得x 1=1−2√a −a 2∈(0,1)，x 2=1+2√a −a 2∈(1,+∞)列表如下：由于f (x )在(x 1,x 2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以12<a <1不满足条件. ③当a=12时，由f′(x )=0，得x =2.列表如下：第15页，总19页此时f (x )仅存在极小值，不合题意， 所以a =12不满足条件.④当0<a <12时，函数f (x )的定义域为(0,1−2a )∪(1−2a,+∞)，且0<x 1=1−2√a −a 2<1−2a ，x 2=1+2√a −a 2>1−2a .列表如下：所以f (x )存在极大值f (x 1)和极小值f (x 2)， 此时f (x 1)−f (x 2)= lnx 1−2x 1−2x 1−1+2a−lnx 2+2x 2−2x 2−1+2a=ln x 1x 2−4a (x 1−x 2)(x 1−1+2a )(x 2−1+2a )因为0<x 1<1−2a <x 2，所以lnx 1x 2<0，x 1−x 2<0，x 1−1+2a <0，x 2−1+2a >0，所以f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以0<a <12满足条件.综上，所以a 的取值范围为(0,12). 20.（1）a 2a 1=1或13；（2）①详见解析；②0<q ≤2.【解析】20.（1）根据a 1，2a 2，3a 3成等差数列得到a 1，a 2，a 3成等比数列，即可求出a 2a 1=1或13.（2）①利用答案第16页，总19页定义证明数列{a n }为等比数列；②当0<q ≤2时，a 1+a 2+⋯+a n ≤1+2+⋯+2n−1=2n−1，所以0<q ≤2满足条件. 当q >2时，由a 1+a 2+⋯+a n ≤2n−1，得a 1(1−q n )1−q≤2n −1，由于q 2>1，因此n <log q2q−1a 1，与任意n∈N ∗恒成立相矛盾，所以q >2不满足条件. 综上可得q 的取值范围. 解：（1）因为(a 1a 2)2=a 13a 3，所以a 22=a 1a 3，因此a 1，a 2，a 3成等比数列.设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列， 所以4a 2=a 1+3a 3，即4×a 2a 1=1+3×a 3a 1，于是4t=1+3t 2，解得t =1或13， 所以a2a 1=1或13.（2）①因为(a 1a 2⋯a n )2=a 1n+1a n+1n−1，所以(a 1a 2⋯a n a n+1)2=a 1n+2a n+2n ，两式相除得a n+12=a 1a n+2nan+1n−1，即an+1n+1=a 1a n+2n ，(∗)由(∗)，得a n+2n+2=a 1a n+3n+1，(∗∗)(∗∗)两式相除得a n+2n+2a n+1n+1=a n+3n+1a n+2n，即a n+22n+2=a n+1n+1a n+3n+1，所以a n+22=a n+1a n+3，即a n+12=a n a n+2，n ≥2，n ∈N ∗， 由（1）知a 22=a 1a 3，所以a n+12=a n a n+2，n ∈N ∗，因此数列{a n }为等比数列. ②当0<q ≤2时，由n=1时，可得0<a 1≤1，所以a n =a 1q n−1≤2n−1，因此a 1+a 2+⋯+a n ≤1+2+⋯+2n−1= 2n −1，所以0<q ≤2满足条件.当q>2时，由a 1+a 2+⋯+a n ≤2n−1，得a 1(1−q n )1−q≤2n −1，整理得a 1q n ≤(q −1)2n +a 1−q +1.因为q>2，0<a 1≤1，所以a 1−q +1<0，因此a 1q n<(q −1)2n ，即(q 2)n<q−1a 1，由于q2>1，因此n <log q2q−1a 1，与任意n∈N ∗恒成立相矛盾，所以q>2不满足条件.第17页，总19页综上，公比q 的取值范围为0<q ≤2.21.（1）{b =1,a =4. ；（2）A −1=[32−12−21].【解析】21.(1)由题得{2−b =1,a =4,a −3=1,即得{b =1,a =4. （2）由题得|A |=2，即得A 的逆矩阵A −1.解：（1）因为A =[2ba 3]，B =[110−1]，AB =[2141]， 所以{2−b =1,a =4,a −3=1, 即{b =1,a =4.（2）因为|A |=2×3−1×4=2， 所以A−1=[32−12−4222]=[32−12−21]. 22.（1）13；（2）详见解析.【解析】22.(1) 选择从中间一条路走到C 的概率为P 1=13×12=16.选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2=13×12=16.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以P (M )=P 1+P 2=16+16=13.(2) 随机变量可能的取值X =0，1，2，3，4，再求出它们对应的概率，即得随机变量X 的概率分布和数学期望.解：（1）设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C ”为事件M ，甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为12，这两步事件相互独立， 所以选择从中间一条路走到C 的概率为P 1=13×12=16. 同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2=13×12=16. 因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥， 所以P (M )=P 1+P 2=16+16=13.答：甲从进口A 开始到出口B 经过点C 的概率13. （2）随机变量可能的取值X=0，1，2，3，4，答案第18页，总19页则P (X=0)=C 40×(13)0×(23)4=1681，P (X =1)=C 41×(13)1×(23)3=3281， P (X =2)=C 42×(13)2×(23)2=2481，P (X =3)=C 43×(13)3×(23)1=881， P (X =4)=C 44×(13)4×(23)0=181，概率分布为：数学期望E (X )=0×1681+1×3281+ 2×2481+3×881+4×181=43.23.（1）2；（2）详见解析.【解析】23. （1）当n =3时，共有6个点，对染红色的点的个数分类讨论，即得T 的最小值为2.(2) 首先证明：任意n ，k ∈N ∗，n ≥k ，有C n+1k >C n k. 设2n 个点中含有p (p ∈N,p ≤2n )个染红色的点，接着证明①p∈{0,1,2}时，②p ∈{2n −2,2n −1,2n }时，③3≤p ≤2n −3时，T ≥2C n 3.解：（1）当n =3时，共有6个点，若染红色的点的个数为0个或6个，则T =C 63=20； 若染红色的点的个数为1个或5个，则T =C 53=10； 若染红色的点的个数为2个或4个，则T =C 43=4；若染红色的点的个数为3，则T =C 33+C 33=2；因此T 的最小值为2. （2）首先证明：任意n ，k ∈N ∗，n ≥k ，有C n+1k >C n k .证明：因此C n+1k−C n k=C n k−1>0，所以C n+1k >C n k .设2n 个点中含有p (p ∈N,p ≤2n )个染红色的点，①当p∈{0,1,2}时，第19页，总19页T =C 2n−p3≥C 2n−23=(2n−2)(2n−3)(2n−4)6= 4×(n−1)(n−2)(2n−3)6，因为n ≥4，所以2n −3>n ， 于是T >4×n (n−1)(n−2)6=4C n 2>2C n 3.②当p∈{2n −2,2n −1,2n }时，T =C p 3≥C 2n−23，同上可得T >2C n 3.③当3≤p ≤2n −3时，T =C p 3+C 2n−p 3，设f (p )=C p 3+C 2n−p 3，3≤p ≤2n −3，当3≤p ≤2n −4时，f (p +1)−f (p )= C p+13+C 2n−p−13−C p 3−C 2n−p 3= C p 3−C 2n−p−12，显然p ≠2n −p −1，当p >2n −p −1即n ≤p ≤2n −4时，f (p +1)>f (p )， 当p<2n −p −1即3≤p ≤n −1时，f (p +1)<f (p )，即f (n )<f (n +1)<⋯<f (2n −3)；f (3)>f (4)>⋯>f (n )；因此f (n )<f (n )=2C n 3，即T ≥2C n 3. 综上，当n≥4时，T ≥2C n 3.。
【市级联考】江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题(解析版)
南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合，，则=______.【答案】【解析】【分析】直接利用并集的定义求解.【详解】由题得=故答案为：【点睛】本题主要考查并集的运算，意在考查学生对该知识的理解能力掌握水平.2.若复数满足（为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.【详解】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查复数的计算，考查复数实部与虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有人，则第三组中人数为______.【答案】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为：18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.4.下图是某算法的伪代码，输出的结果的值为______.【答案】【解析】【分析】直接按照算法的伪代码运行即得结果.【详解】1＜6，i=3,S=4,3＜6，i=5,S=9,5＜6，i=7,S=16,7＞6，输出S=16.故答案为：16【点睛】本题主要考查算法，意在考查学生对该知识的理解能力和掌握水平.5.现有件相同的产品，其中件合格，件不合格，从中随机抽检件，则一件合格，另一件不合格的概率为______.【答案】【解析】【分析】分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出．【详解】从5件产品中任意抽取2有种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率．故答案为:【点睛】熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键．6.等差数列中，，前项的和，则的值为______.【答案】【解析】【分析】首先根据已知求出，再利用等差数列的通项求出的值.【详解】由题得.故答案为：-4【点睛】本题主要考查等差数列的通项、前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和计算能力.7.在平面直角坐标系中，已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为，且，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】设点A(x,y),根据的坐标，再把点A的坐标代入双曲线的方程求出，再求双曲线的渐近线方程.【详解】设点A(x,y),因为x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4)，由题得所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平. 8.若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则的值为______.【答案】【解析】【分析】先根据相邻两条对称轴间的距离为求出的值，再根据图象经过点求出，再求的值.【详解】因为相邻两条对称轴间的距离为，所以所以.因为函数的图象经过点所以.所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，考查正弦型函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.9.已知正四凌锥的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为______.【答案】【解析】【分析】设正四棱锥的棱长为2a,根据求得a=1,再求正四棱锥的表面积.【详解】设正四棱锥的棱长为2a,由题得.所以四棱锥的棱长为2.所以正四棱锥的表面积=.故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和空间观察想象能力.10.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出函数的表达式，然后解不等式件即可．【详解】设，则，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以当时，，当时，.当时，当0≤时，.所以0≤.当x＜0时，所以-2＜x＜0.综上不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图像和性质，考查函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.11.在平面直角坐标系中，已知点，.若圆上存在唯一点，使得直线，在轴上的截距之积为，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，设的坐标为，据此求出直线、的方程，即可得求出两直线轴上的截距，分析可得，变形可得，即可得的轨迹方程为，据此分析可得圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，结合圆与圆的位置关系可得，解可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设的坐标为，直线的方程为，其在轴上的截距为，直线的方程为，其在轴上的截距为，若点满足使得直线，在轴上的截距之积为5，则有，变形可得，则点在圆上，若圆上存在唯一点，则圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，则有，解可得：，故答案为：．【点睛】本题考查轨迹的求法，涉及圆与圆的位置关系，关键是求出的轨迹，属于综合题．12.已知是直角三角形的斜边上的高，点在的延长线上，且满足.若，则的值为______.【答案】【解析】【分析】设∠DPC=,∠DPB=，先化简得到|PD|=2,再利用数量积的公式展开，利用三角函数和三角和角的余弦公式化简即得解.【详解】设∠DPC=,∠DPB=，由题得,所以|PB|所以=.故答案为：2【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算，考查和角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.13.已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】先讨论当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，得到k＜.再讨论当x＞0时，f(x)-g(x)=, f(x)-g(x)过第四象限，得到k＞-9.综合即得解.【详解】当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，所以f(-3)-g(-3)<0, 解之得k＜.当x＞0时，f(x)-g(x)=,因为，所以须使f(x)-g(x)过第四象限，必须综合得-9＜k＜.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查导数研究函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.14.在中，若，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【详解】在△ABC中，有,所以==,当即时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.解题的关键是三角恒等变换.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15.设向量，，其中，，且与互相垂直.（1）求实数的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由与互相垂直可得，展开化简即得.（2）由，得..，最后求.【详解】解：（1）由与互相垂直，可得，所以.又因为，所以.因为，所以，所以.又因为，所以.（2）由（1）知.由，得，即.因为，所以，所以.所以，因此.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图，在三棱柱中，，，，，分别是和的中点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接，证明，即得平面.（2），，平面. 【详解】证明：（1）连接，在三棱柱中，且，所以四边形是平行四边形.又因为是的中点，所以也是的中点.在中，和分别是和的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，因为，所以.又因为，，，平面，所以平面.又因为平面，所以.在中，，是的中点，所以.因为，，，，平面，所以平面.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理转化能力.17.某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】【分析】过作垂直于，垂足为,所以点处观众离点处最远. 由余弦定理可得.再求得. 因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.【详解】解：过作垂直于，垂足为.在直角三角形中，，，所以，因此.由图可知，点处观众离点处最远.在三角形中，由余弦定理可知.因为，所以当时，即时，，即.因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.答：对于任意，上述设计方案均能符合要求.【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查余弦定理和三角函数最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和利用数学知识解决实际问题的能力.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，点.①若对任意直线总存在点，使得，求实数的取值范围；②设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，求实数的值.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）依题意解之即得椭圆的方程.(2) ①设直线的方程为，代入椭圆的方程，根据，解得.，所以，即. 解得.由，解得. ②由，.所以，解得.所以.【详解】解：（1）依题意解得所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去，得.因为直线交椭圆于两点，所以，解得.设，，则有，.①设中点为，则有，.当时，因为，所以，即.解得.当时，可得，符合.因此.由，解得.②因为点为的外心，且，所以.由消去，得，所以，也是此方程的两个根.所以，.又因为，，所以，解得.所以.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等会恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求得函数图象在处的切线方程为.（2）先求导得，再对a分类讨论得到的取值范围.(3对a分类讨论，结合极大值小于极小值求出的取值范围.【详解】解：（1）当时，，，则.又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以，且.因为，所以.①当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，，所以满足条件.②当时，即时，由，得，当时，，则在上单调递减，所以时，，这与时，恒成立矛盾.所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）①当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.②当时，，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以不满足条件.③当时，由，得.列表如下：此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.④当时，函数的定义域为，且，.列表如下：所以存在极大值和极小值，此时因为，所以，，，，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程,考查利用导数研究极值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，，成等差数列，求的值；（2）①求证：数列为等比数列；②若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.【答案】（1）或；（2）①详见解析；②.【解析】【分析】（1）根据，，成等差数列得到，，成等比数列，即可求出或.（2）①利用定义证明数列为等比数列；②当时，，所以满足条件. 当时，由，得，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件. 综上，公比的取值范围为.【详解】解：（1）因为，所以，因此，，成等比数列. 设公比为，因为，，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）①因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，，，由（1）知，所以，，因此数列为等比数列.②当时，由时，可得，所以，因此，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，，所以，因此，即，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的证明，考查数列的求和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学附加题【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定．．．．．区域内．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与交换21.已知矩阵，，.（1）求，的值；（2）求的逆矩阵.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由题得即得（2）由题得，即得的逆矩阵.【详解】解：（1）因为，，，所以即（2）因为，所以.【点睛】本题主要考查矩阵的性质和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口开始到出口，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口集中，设点是其中的一个交叉路口点. （1）求甲经过点的概率；（2）设这名游客中恰有名游客都是经过点，求随机变量的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)选择从中间一条路走到的概率为.选择从最右边的道路走到点的概率为.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以.(2) 随机变量可能的取值，，，，，再求出它们对应的概率，即得随机变量的概率分布和数学期望.【详解】解：（1）设“甲从进口开始到出口经过点”为事件，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点的概率为，这两步事件相互独立，所以选择从中间一条路走到的概率为.同理，选择从最右边的道路走到点的概率为.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以.答：甲从进口开始到出口经过点的概率.（2）随机变量可能的取值，，，，，则，，，，，概率分布为：数学期望.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平，考查学生的应用能力. 23.平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为. （1）若，求的最小值； （2）若，求证：.【答案】（1）2；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）当时，共有个点，对染红色的点的个数分类讨论，即得T 的最小值为2.(2) 首先证明：任意，，，有. 设个点中含有个染红色的点，接着证明①时，②时，③时，.【详解】解：（1）当时，共有个点，若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为，则；因此的最小值为.（2）首先证明：任意，，，有.证明：因此，所以.设个点中含有个染红色的点，①当时，，因为，所以，于是.②当时，，同上可得.③当时，，设，，当时，，显然，当即时，，当即时，，即；；因此，即.综上，当时，.【点睛】本题主要考查排列组合的计数问题，考查组合不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，解答本题的关键是分类讨论思想的灵活运用.。