北师大版数学八年级上册第一单元测试题
北师大版数学八年级上册第一单元测试题一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：63．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．1946．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30cm B．80cm C．90cm D．120cm7．△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．不能确定8．下列说法正确的是（）A．已知a、b、c是三角形的三边长，则a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则a2+b2=c2 9．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm210．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形二．选择题（共10小题）11．直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，CD=．13．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．14．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm 的木棍放入（填“能”或“不能”）．15．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为．17．如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积=．18．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S=．19．边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为．20．一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是．三．选择题（共9小题）21．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．22．如图，已知AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，∠ACB=90°，试求阴影部分的面积．23．如图，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9，求AB的长．24．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．25．我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数：（、、），（、、）；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．26．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）27．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A1处，问梯子底部B将外移多少米？28．为迎接南博会，要在会场周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化，经测量∠B=90°，AB=7米，BC=24米，CD=15米，AD=20米，求这块四边形草坪ABCD 的面积．29．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．30．如图，∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，AF长为12，正方形的面积为169，求三角形AFC的面积．2017年01月17日dxzxshuxue的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•淮安二模）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先判断出AD⊥BC，再用勾股定理求解即可．【解答】解：∵AB=AC，点D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵点D是BC中点，∴BD=BC=3，在Rt△ADB中，AB=5，∴AD==4，故选B【点评】此题是勾股定理题目，主要考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，解本题的是判断出∠ADB=90°．2．（2016•集美区模拟）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．（2016春•石家庄期末）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．64【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．4．（2016春•沧州期末）Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．8 B．4 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．【点评】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．5．（2016春•平南县期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．【解答】解：字母B所代表的正方形的面积=169﹣25=144．故选C．【点评】熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．6．（2016春•赵县期末）已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30cm B．80cm C．90cm D．120cm【分析】先求出斜边的平方，进而可得出结论．【解答】解：设直角三角形的斜边长为x，∵三边的平方和为1800cm2，∴x2=900cm2，解得x=30cm．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．7．（2016春•谷城县期末）△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．不能确定【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．综上所述，△ABC的周长是42或32．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．8．（2016春•饶平县期末）下列说法正确的是（）A．已知a、b、c是三角形的三边长，则a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则a2+b2=c2 D．在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则a2+b2=c2【分析】根据勾股定理进行判断即可．【解答】解：A、若该三角形不是直接三角形，则等式a2+b2=c2不成立，故本选项错误；B、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故本选项错误；C、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则a2+b2=c2，故本选项正确；D、在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则c2+a2=b2，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．9．（2016春•阿荣旗期末）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．10．（2016春•定州市期中）三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】对原式进行化简，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C．【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．二．选择题（共10小题）11．（2016•甘孜州）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．【分析】根据直角三角形的斜边与一条直角边，可利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再根据三角形的面积公式求出面积即可．【解答】解：∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为=4．该直角三角形的面积S=×3×4=6．故答案为：6．【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，解题的关键是根据勾股定理求出另一条直角边的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出直角三角形的三边关系是关键．12．（2016•黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD ⊥AB于D，CD=cm．【分析】先根据勾股定理求出直角边AC的长度，再利用三角形的面积即可求出CD的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC==4cm．∵S=AC•CB=AB•CD，△ABC∴×4×3=×5×CD，∴CD=cm．故答案为cm．【点评】此题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．利用直角三角形面积的两种不同表示方法是解题的关键．13．（2016•平谷区一模）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为x2+52=（x+1）2．【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2，再解即可．【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12，则x+1=13，答：水深12尺，芦苇长13尺，故答案为：x2+52=（x+1）2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．14．（2016•黔东南州一模）如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍能放入（填“能”或“不能”）．【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．故答案是：能．【点评】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．15．（2016•富阳市模拟）长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．【解答】解：如图所示，路径一：AB==13；路径二：AB==；路径三：AB==；∵＞13＞，∴cm为最短路径．【点评】此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．16．（2016•罗平县校级模拟）如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为125cm．【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【解答】解：展开图为：则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AB==125cm．所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．故答案为：125cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．17．（2016秋•宜宾期末）如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积=96m2．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB=AC×BC﹣AD×CD即可得出结论．为直角三角形，再根据S阴影【解答】解：在Rt△ADC中，∵CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676．∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．∴S=AC×BC﹣AD×CD=×10×24﹣×8×6=96（m2）．阴影故答案是：96m2．【点评】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．18．（2016春•建昌县期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S=31．【分析】利用勾股定理，根据图形得到S1+S2+S3+S4=S，求出即可．【解答】解：∵所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，∴S=S1+S2+S3+S4=9+4+8+10=31，故答案为：31．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．19．（2016春•通川区期末）边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为3．【分析】首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．【解答】解：∵72+242=252，∴△ABC是直角三角形，根据题意画图，如图所示：连接AP，BP，CP．设PE=PF=PG=x，S△ABC=×AB×CB=84，S△ABC=AB×x+AC×x+BC×x=（AB+BC+AC）•x=×56x=28x，则28x=84，x=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形的面积．注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即（AB+AC+BC）x，然后即可计算x的值．20．（2016春•云梦县期末）一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是54．【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：设三角形的三边是3x：4x：5x，∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，∴此三角形是直角三角形，∵它的周长是36，∴3x+4x+5x=36，∴3x=9，4x=12，∴三角形的面积=×9×12=54，故答案为：54．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．三．选择题（共9小题）21．（2016春•沧州期末）如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC==5，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB•BC +AC•CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD 的面积是36．【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．22．（2016春•滨州期末）如图，已知AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，∠ACB=90°，试求阴影部分的面积．【分析】先利用勾股定理求出AB ，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD 是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接AB ，∵∠ACB=90°，∴AB==5，∵AD=13，BD=12，∴AB 2+BD 2=AD 2，∴△ABD 为直角三角形，阴影部分的面积=AB ×BD ﹣AC ×BC=30﹣6=24．答：阴影部分的面积是24．【点评】此题考查了勾股定理勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．23．（2016春•启东市期末）如图，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9，求AB的长．【分析】在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长．【解答】解：∵CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9，∴在Rt△BCD中，CD2=CB2﹣DB2=152﹣92=144；在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2=202﹣144=256，∴AD=16，∴AB=AD+DB=16+9=25．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．24．（2016春•西城区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．【分析】由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD．【解答】解：∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC==2，∠BAC=45°，又∵CD=3，DA=1，∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，∴AC2+DA2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．故∠DAB的度数为135°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．25．（2016春•柳州期末）我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数：（6、8、10），（9、12、15）；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．【解答】解：（1）写出两组勾股数：（6，8，10），（9，12，15）．（2）证明：x2+y2=（2n）2+（n2﹣1）2=4n2+n4﹣2n2+1=n4+2n2+1=（n2+1）2=z2，即x，y，z为勾股数．故答案为：6，8，10；9，12，15．【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．26．（2016春•自贡期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．27．（2016春•谷城县期末）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC 上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A1处，问梯子底部B将外移多少米？【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B2C中，已知AB=A1B2，CA1即可求得CB2的长度，根据BB1=CB1﹣CB即可求得BB2的长度．【解答】解：在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，则AC=m=2.4m，∵AC=AA1+CA1∴CA1=2m，∵在直角△A1B2C中，AB=A1B1，且A1B2为斜边，∴CB2==1.5m，∴BB2=CB1﹣CB=1.5m﹣0.7m=0.8m，答：梯子底部B将外移0.8米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CB2的长度是解题的关键．28．（2016春•官渡区期末）为迎接南博会，要在会场周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化，经测量∠B=90°，AB=7米，BC=24米，CD=15米，AD=20米，求这块四边形草坪ABCD的面积．【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，由题意可知四边形ABCD的面积等于两个直角三角形的面积问题的解．【解答】解：连接AC，如图所示：在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=72+242=625，∵AC＞0，∴AC=25，在△CAD中，AD2+CD2=400+225=625=AC2∴AD2+CD2=AC2∴∠ADC=90°，S四边形ABCD=S△BAC+S△ADC=•AB•BC+AD•DC，=×24×7+×15×20=84+150=234，答：这块四边形草坪ABCD的面积是234米2．【点评】考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．29．（2016春•澄城县期末）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解．【解答】解：将曲面沿AB展开，如图所示，过C作CE⊥AB于E，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18﹣1﹣1=16（cm），CE=×60=30（cm），由勾股定理，得CF==34（cm）．答：蜘蛛所走的最短路线是34cm．【点评】由于蜘蛛与苍绳均属于玻璃容器的外侧，因而蜘蛛不能直接到达点F，需沿侧面爬行．为此，可将曲面沿AB展开，显然蜘蛛所走的最短的路线即为线段CF，从而可构造直角三角形，用勾股定理求出CF的长．四．解答题（共1小题）30．（2016秋•江都区期中）如图，∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，AF长为12，正方形的面积为169，求三角形AFC的面积．【分析】先利用勾股定理求出AC的平方，再由正方形的面积为169，得出FC的平方为169，利用勾股定理的逆定理得出∠FAC是直角，再利用三角形的面积公式即可求出三角形AFC的面积．【解答】解：∵∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，∴AC2=AB2+BC2=16+9=25，∵正方形的面积为169，∴FC2=169，∵AF2+AC2=144+25=169=FC2，∴∠FAC=90°，∴三角形AFC的面积=AF•AC=×12×5=30．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的面积，三角形的面积，利用勾股定理的逆定理得出∠FAC是直角是解题的关键．。
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题1(附答案详解)
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题1（附答案详解）1．在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则AB等于（）A．2cm B．8cm C．10cm D．100cm2．等腰三角形底长为24，底边上的高为5，则这个三角形的周长为( )A．37 B．60 C．34 D．533．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形4．如图，等腰三角形ABC底边上的高AD为4 cm，周长为16 cm，则△ABC的面积是（）A．14 cm2B．13 cm2C．12 cm2D．8 cm25．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．35B．45C．23D．327．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m8．如图，数轴上点A，B表示的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是( )A．3B．5C．6D．79．以下各组数为边长，不能组成直角三角形的是（）．A．1.5，2，2.5 B．40，50，60 C．7，25，24 D．54，1，3410．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2018次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．111．在ABC ∆中，90,ACB CD ∠=︒是高，若,,BC a AC b ==,,AB c CD h ==,AD k BD p ==，且3,4a b ==，则____,____,____,____c p k h ====．12．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米．13．已知，如图，△OBC 中是直角三角形，OB 与x 轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=3，将△OBC 绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB 1=OC ，得到△OB 1C 1，将△OB 1C 1绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB 2=OC 1，得到△OB 2C 2，…，如此继续下去，得到△OB 2015C 2015，则点C 2015的坐标是_____．14．如图ABC 与ADE 都是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交AC 于点F ，若5AB =，32=AD ，当CEF △是直角三角形时，则BD 的长为__________．15．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，2ACD ACB ∠=∠．若4DG =，1EC =，则DE 的长为__________．16．如图，在ABC 中，AB 32=，BC 1=，ABC 45∠=，以AB 为边作等腰直角ABD ，使ABD 90∠=，连接CD ，则线段CD 的长为________．17．如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若正比例函数的图象过点P ，则它的表达式是y ＝_____18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC △是__________三角形．19．三角形中两条较短的边为a ＋b ，a-b(a>b),则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．20．如图，在直角三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边AB 上，以CD 为折痕将△CBD 折叠得到△CPD ，CP 与边AB 交于点E ，若△DEP 为直角三角形，则BD 的长是_____21．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD =3∠CAD, BC=2．（1）求△ABC 的面积；（2）求CD 的值．22．（1）在右面的方格纸中，以线段AB为一边，画一个正方形；（2）如果图中小方格的面积为1平方厘米，你知道（1）中画出的正方形的面积是多大吗？解释你的计算方法.23．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成.△ABC中，A点坐标为（2，3）、B （-2，0）、C（0，-1）.（1）AB的长为_____，∠ACB的度数为______；（2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请写出D点的坐标___________，并在图中画出平行四边形.24．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm,3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?25．小明剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，则△ACD的周长为cm；（2）如果∠B0，则∠CAD= 度；35操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．26．如图1所示，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，则有∠BAD=30°，BD=CD=12AB ．于是可得出结论“直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足为E ，当BD=5cm ，∠B=30°时，△ACD 的周长= ．（2）如图3所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ：EA= ．（3）如图4所示，在等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE=DC ，AD 、BE 交于点P ，作BQ ⊥AD 于Q ，若BP=2，求BQ 的长．27．已知四边形ABCD 中，10AB =，8BC =，26CD =，45DAC ∠=︒，15DCA =︒∠．（1）求ADC 的面积．（2）若E 为AB 中点，求线段CE 的长．28．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4．现在要将交ABC 扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长．赵佳同学是这样操作的：如图 1 所示，延长BC 到点 D，使CD=BC，连接AD．所以，△ADB 为符合条件的三角形．则此时△ADB的周长为____________．请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长．图2的周长：______________；图3的周长：______________.29．如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．30．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?参考答案1．C【解析】【分析】已知直角三角形两直角边，可以直接利用勾股定理来求斜边.【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴斜边22AB=+=.6810故选C.【点睛】运用勾股定理：a，b，c是直角三角形的三条边，c为斜边，则满足c2=a2+b2是解题的关键. 2．B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得等腰三角形的腰，据此即可得解．【详解】解：如图：BC=24cm，AD=5cm，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；则BD=DC=BC=6cm；Rt△ABD中，AD=5cm，BD=12cm；由勾股定理，得：AB===13cm,∴△ABC的周长是13+13+24=60cm，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．3．D【解析】分析：根据勾股定理的逆定理即可判断．详解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选D．点睛：此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．4．C【解析】【分析】设BD=xcm，由题意表示出AB的长度，根据勾股定理列方程求出x，进而求出△ABC的面积．【详解】设BD=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=xcm，∴AB=12（16﹣2x），由勾股定理可得：[12（16﹣2x）]2=x2+42，解得x=3，∴BC=2BD=6cm，∴S△ABC=12×6×4=12cm2．故选C．【点睛】本题关键在于设未知数，根据勾股定理列方程求解．5．C【解析】试题分析：如图，设水深h尺，在Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h＋3，BC＝6，由勾股定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2，即（h+3）2＝h 2＋62，∴h 2＋6h ＋9=h 2＋36，6h ＝27，解得h=4．5．故答案选C ．考点：勾股定理．6．B 【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，BC=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，然后求得△BCF 是等腰直角三角形，进而求得∠B /GD=90°，CE-EF=125，ED=AE=95，从而求得B /D=1，DF=35，在Rt △B /DF 中，由勾股定理即可求得B /F 的长． 【详解】解：根据首先根据折叠可得CD=AC=3，B /C=B4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，∴BD=4-3=1，∠DCE+∠B /CF=∠ACE+∠BCF ，∴∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B /FC=135°，∴∠B /FD=90°，∵S △ABC =12AC×BC=12AB×CE ， ∴AC×BC=AB×CE ，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=125，∴EF=125，22AC CE -=95∴DE=EF-ED=35， ∴B /22B D DF '-=45 故选：B ．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键．7．D【解析】【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选D．【点睛】考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．8．B【解析】【分析】先依据勾股定理可求得OC的长，从而得到OM的长，于是可得到点M对应的数．【详解】解：由题意得可知：OB=2，BC=1，依据勾股定理可知：∴故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．9．B【解析】分析：判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．详解：A. ()()2221.52 2.5+=，是直角三角形，故此选项错误；B. 222405060，+≠不是直角三角形，故此选项正确；C. 22272425，+=是直角三角形，故此选项错误；D. 22235144⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是直角三角形，故此选项错误. 故选B.点睛：考查勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.10．C【解析】【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求解． 【详解】设直角三角形的是三条边分别是a ，b ，c ．根据勾股定理，得a 2+b 2=c 2，即正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积=1．推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2019×1=2019． 故选：C ．【点睛】此题主要是能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系．11．5，91612,,555【解析】【分析】运用勾股定理可求解c，由三角形面积公式可求解h，再利用勾股定理可分别求解出k和p. 【详解】由勾股定理得：c2=a2+b2=9+16=25，则c=5；由三角形面积公式可得：ab=ch，则3×4=5×h，则h=125；由勾股定理得：b2=k2+h2，则16= k2+(125)2，则k=165，a2=p2+h2，则9= p2+(125)2，则p=95.【点睛】本题考查了勾股定理和三角形面积公式的应用.12．2【解析】【分析】如图，先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理求出CE的长，根据BE=BC-CE即可得答案.【详解】如图，AB=DE=10，AC=6，DC=8，∠C =90°，∴BC=2222106AB AC-=-=8，CE=2222108DE DC-=-=6，∴BE=BC-CE=2（米），故答案为2.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.13．（22016，0）【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，∴OC1=2OC=2×2=4=22，OC2=2OC1=2×4=8=23，OC3=2OC2=2×8=16=24，…，OC n=2n+1，∴OC2015=22016，∵2015÷6=335…5，∴点C2015与点C5在同一射线上，在x轴正半轴，坐标为（22016，0）．点睛：根据直角三角形得出∠BOC=60°，然后求出OC1、OC2、OC3、…、OC n的长度，再根据周角等于360°，每6个为一个循环组，求出点C2015是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．14．113【解析】∵△ABC、△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中：AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE.①如图1，当∠CFE=90°时，AF⊥DE，∴AF=EF=22AE=23232=，∴CF=AC-AF=5-3=2，∴在Rt△CEF中，223213+=∴13②如图2：当∠CEF=90°时，∠AEC=90°+45°=135°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB=∠AEC=135°，∴∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，∴点B 、D 、F 三点共线，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，则AG=DG=22AD=2323⨯=， ∴在Rt △ABG 中，BG=22534-=，∴BD=BG-DG=4-3=1.综上所述，131.1515【解析】∵AD BC ∥，DE BC ⊥．∴DAC ACB ∠=∠，90ADE DEC ∠=∠=︒．∵G 为AF 的中点．∴AG GD GF ==．∴ADG DAG ACB ∠=∠=∠．∴2DGC ADG DAG ACB ∠=∠+∠=∠．∵DG DC =．∵4DG =，1EC =．∴4DC =，∵90DEC ∠=︒． ∴222241DE DC EC =-=-15=．点睛：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是求出DG=DC 后利用勾股定理求DE 的长．16．13【解析】【分析】延长BC 交AD 于点E ，根据等腰直角三角形的性质求出AD ，再求出BE=DE=12AD 并得到BE ⊥AD ，然后求出CE ，在Rt △CDE 中，利用勾股定理列式计算即可得CD 的长．【详解】延长BC 交AD 于点E ，∵∠ABD=90°,∠ABC=45°，∴∠DBC=45°，∵AB=BD ，∴BE=DE=12AD ，BE ⊥AD ， ∵2，∴AD=6，∴DE=BE=3，∵BC=1，∴CE=2，∴CD2=DE2+CE2∴【点睛】本题考查的是等腰三角形和勾股定理，熟练掌握这两点是解题的关键.17．【解析】分析：过点P作PD⊥x轴于点D，由等边三角形的性质可知OD=12OQ=1，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出P点坐标，再利用待定系数法求出直线OP的解析式即可．详解：解：过点P作PD⊥x轴于点D，∵△OPQ是边长为2的等边三角形，∴OD=12OQ=12×2=1，在Rt△OPD中，∵OP=2，OD=1，∴PD=∴P（1，设直线OP的解析式为y=kx（k≠0），k，∴直线OP的解析式为y．．点睛：本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，先根据题意得出点P 的坐标是解答此题的关键．18．直角三角形【解析】∵2223213AB =+=，2224652BC =+=，2221865AC =+=，∴222AB BC AC +=,∴ABC △为直角三角形．点睛：本题考查了勾股定理逆定理的应用，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.192222a b +【解析】 22a b a b ++-（）（）2222a b +. 2222a b +204552． 【解析】【分析】分两种情形：①如图1中，当∠EDF =90°时，作CH ⊥AB 于H ．只要证明CH =DH ，即可解决问题；②如图2中，当∠DEF =90°时，设DE =x ，则EF =2x ，DF =BD 5，构建方程即可解决问题．【详解】解：如图1中，当∠EDF =90°时，作CH ⊥AB 于H ．在Rt△ACB中，∵AC=2，BC=4，∴AB=2224+=25，∴CH=AC BCAB⋅=455．∵∠ACB=∠AHC=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∠BCH+∠B=90°，∴∠ACH=∠B=∠F．∵CH∥DF，∴∠F=∠HCE，∴∠ACH=∠HCE，∠DCE=∠DCB，∴∠HCD=45°，∴HC=HD=45．∵AH=22AC CH-=255，∴BD=AB﹣AH﹣DH=25﹣655=455．如图2中，当∠DEF=90°时，设DE=x，则EF=2x，DF=BD=5x．∵AE+DE+BD=25，∴255+x+5x=25，∴x=2﹣255，∴BD=5x=25﹣2．综上所述：BD的长为455或25﹣2．故答案为455或52．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题．21．（1）S△ABC32）3【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，根据已知可得BM=CM=12BC=1，然后根据勾股定理求得AM的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）过点D作DN⊥AC于N，根据已知则可得到△ADM≌△AND，从而得DM=DN，AN=AM=3，继而得CN=AC-AB=2-3，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，利用勾股定理求得x即可得.【详解】(1) 过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM=CM=12BC=1，∠BAM=∠CAM=30°，在Rt△CAM中，AM2+CM2=AC2，∴AM 2+12=22 ，∴AM=3，∴S△ABC=12BC·AM =12×2×3=3；（2）∵∠BAD=3∠CAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠CAD=14∠BAC=15°，∠MAD=∠MAC-∠DAC=15°，∴AD平分∠MAC ，过点D作DN⊥AC于N，则△ADM≌△AND，∴DM=DN，3∴3，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，DN2+CN2=CD2，x232=(1-x)2 ，解得：3-3，∴3【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质等，添加辅助构造直角三角形进行解题是关键.22．（1）作图见解析；（2）正方形的面积是53，解释见解析.【解析】试题分析：（1）在网格中分别过点A作AD⊥AB于点A，过点B作BC⊥AB于点B，并使AD=AB=BC，再连接CD即可得到所求正方形；（2）如图，由勾股定理易得AB=22+=，再由正方形的面积公式即可计算出正2753方形ABCD的面积了.试题解析：（1）如图，过A、B分别作AD⊥AB，BC⊥AB，并且使得AD=BC=AB，连接CD，则图中所得四边形ABCD为所求正方形；（2）如图，∵图中小方格为的面积为1cm2，∴小方格的边长为1cm，∴AB=222753+=,=AB2=53.∴S正方形ABCD23．（1）5 90°（2）（0，4）或（4，2）或（-4，-4），平行四边形如图.【解析】分析：（1）由勾股定理即可求得AB，BC，AC的值，然后由勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形； （2）首先根据题意画出图形，然后根据图可求得平行四边形中D 点的坐标．详解：（1）根据点A 和点B 的坐标可知：AB =()22223++=5；同理可得BC =()22111++=5，AC =2224+=5， 所以有(5)2+(25)2=52，即222BC AC AB +=，故△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°. （2）点D 的坐标为（0，4）或（4，2）或（-4，-4），所作平行四边形如图所示.点睛：考查平行四边形的性质, 坐标与图形性质，注意数形结合思想在解题中的应用. 24．蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .【解析】试题分析：根据题意，先将图形平面展开（如图所示），根据“两点之间，线段最短”可得蚂蚁爬行的最短距离为线段AB 的长，再用勾股定理求得AB 的长即可.试题解析：如图所示,将台阶展开.∵AC=3×3+1×3=12,BC=5,∴AB 2=AC 2+BC 2=132,∴AB=13(cm).∴蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．25．操作一：（1）14 cm ；（2）∠CAD =20度；操作二：CD=4.5cm【解析】【分析】操作一：（1）依据DE 垂直平分AB ，可得AD=BD ，依据△ACD 的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC 进行计算即可；（2）依据DE 垂直平分AB ，可得AD=BD ，即可得出∠B=∠BAD=35°，再根据Rt △ABC中，∠BAC=90°-35°=55°，即可得到∠CAD=55°-35°=20°；操作二：设CD=DE=x ，则BD=12-x ，Rt △ABC 中，15AB ==,BE=15-9=6，依据Rt △BDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，可得方程x 2+62=（12-x ）2，即可得CD=4.5cm ．【详解】操作一：(1)由折叠可得，DE 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∴△ACD 的周长为AD +CD +AC =BD +CD +AC =BC +AC =8+6=14(cm )故答案为14；(2)由折叠可得，DE 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∴35B BAD ∠=∠=，又∵Rt △ABC 中,903555BAC ∠=-=，∴553520CAD ∠=-=，故答案为20；操作二：∵AC=9cm ，BC=12cm ，∴15AB ==（cm ），根据折叠性质可得AC=AE=9cm ，∴BE=AB ﹣AE=6cm ，设CD=x ，则BD=12﹣x ，DE=x ，在Rt △BDE 中，由题意可得方程x 2+62=（12﹣x ）2，解之得x=4.5，∴CD=4.5cm ．【点睛】考查线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和以及勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.26．（1）15cm ；（2）3：1；（3）【解析】整体分析：(1)由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求AC 的长；(2)连接AD ，由“三线合一”得∠BAD=60°，利用直角三角形中的30°角所对的直角边的性质，分别把BE ，EA 用BD 表示；(3)证明△BAE≌△ACD，得∠BPQ=60°，结合勾股定理求解.解：(1)∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD ．又∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=12AB ， ∴△ACD 的周长=AC+AB=3BD=15cm ．故答案为15cm ；(2)连接AD ，如图所示．∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，，EA=12AD ，AD ，∴EA=1212AD ， ∴BE:AE=3:1．故答案为3:1．(3)∵△ABC 为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE 和△ACD 中，AE=CD ，∠BAC=∠ACB，AB=AC ，∴△BAE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ 为△ABP 外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，2BP PQ -2221-3．27．（1）933-（2）5【解析】试题分析：（1）如图，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，由此可得∠CFA=90°，由已知条件可得∠CDF=60°，从而可得∠DCF=30°，即可由CD 的长度求得DF 、CF 及AF 的长度，从而可得AD 的长度，就可计算出△ADC 的面积了；（2）在Rt △ACF 中由CF 32CAF=45°可求得AC 的长，结合已知的AB=10、BC=8可的AC 2+BC 2=AB 2，从而可证得∠ACB=90°，结合点E 是AB 的中点，即可得到CE=12AB=5. 试题解析：（1）过点C 作CF AD ⊥，交AD 延长线于点F ，∵45DAC ∠=︒，15DCA ∠=︒，∴CDF DAC DCA ∠=∠+∠ 451560=︒+︒=︒，在Rt CFD 中，26CD =，∴ 162DF CD ==， ()()222226632CF CD DF =-=-=，∴ 326AD AF DF =-=-，∴ 12ADC S AD CF =⨯ ()1236322=⨯-⨯ 933=-．（2）在Rt AFC 中，∵ 45DAC ∠=︒，32CF =∴ 22326AC CF ===，在ABC 中，∵ 2222268AC BC AB +=+=∴ △ABC 是直角三角形，又∵ E 为AB 中点，∴ 1110522CE AB ==⨯=． 28．16 5 403 【解析】试题分析：利用勾股定理可求出AB 的长进而得出△ADB 的周长；再根据题目要求扩充成AC 为直角边的直角三角形，利用AB=BD ，AD=BD ，分别得出答案．试题解析：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，CD=BC ，∴5=，则AD=AB=5，故此时△ADB 的周长为：5+5+6=16；如图2所示：AD=BD 时，设DC=x ，则AD=x+3，在Rt △ADC 中，（x+3）2=x 2+42，解得：x=76， 故AD=3+76=256 ， 则此时△ADB 的周长为：256+256+5=403 ； 如图3所示：AB=BD 时，在Rt △ADC 中，=则此时△ADB的周长为：故答案为（1）16；（2）403． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．29．（1）OC=2，BC=2；（2）S 与t 的函数关系式是：S=22(02)4)t t ⎧<≤⎪⎪-+<≤；（3）当t 为83时，△OPM 是等腰三角形． 【解析】整体分析：（1）先求出OA ，判断OC=CB ，再在Rt △AOC 中用勾股定理列方程求解；（2）分点P 在BC 上，与点C 重合，在CO 上，与点O 重合四种情况分类讨论，注意画出相应的图形，利用三角形的面积公式和三角形面积的和差关系求解；（3）因为等腰三角形的腰不确定，所以需要分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列方程求解.（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，∴∠B=30°，∴OA=12由勾股定理得：AB=3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，∴OC=BC，在△AOC中，AO2+AC2=CO2，∴(3)²+（3﹣OC）2=OC2，∴OC=2=BC，答：OC=2，BC=2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP=2﹣t，CQ=t，过P作PH⊥OC于H，∴∠HCP=60°，∠HPC=30°，∴CH=12CP=12（2﹣t），HP=32（2﹣t），∴S△CPQ=12CQ×PH=12×t×3（2﹣t），即S=﹣3t2+3t；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，∴S=0，③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO=2，∠NOC=60°，∴3CP=t﹣2，OQ=t﹣2，∠NOC=60°，∴∠GPO=30°，∴OG=12OP=12（4﹣t），34﹣t），∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=12×（t﹣2）×3﹣12×（t﹣2）×34﹣t），即3233．④当t=4时，P 在O 点，Q 在ON 上，如图（3）过C 作CM ⊥OB 于M ，CK ⊥ON 于K ，∵∠B=30°，由（1）知BC=2，∴CM=12BC=1， 有勾股定理得：3∵3，∴333，∴S=12PQ×CK=12×2×33 综合上述：S 与t 的函数关系式是：S=2233(02)333(24)t t t ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪； （3）解：如图（2），∵ON ⊥OB ，∴∠NOB=90°，∵∠B=30°，∠A=90°，∴∠AOB=60°， ∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠NOC=90°﹣30°=60°， ①OM=PM 时，∠MOP=∠MPO=30°， ∴∠PQO=180°﹣∠QOP ﹣∠MPO=90°， ∴OP=2OQ ，∴2（t ﹣2）=4﹣t ，解得：t=83， ②PM=OP 时，∠PMO=∠MOP=30°， ∴∠MPO=120°，∵∠QOP=60°，∴此时不存在； ③OM=OP 时，过P 作PG ⊥ON 于G ，OP=4﹣t ，∠QOP=60°， ∴∠OPG=30°，∴GO=12（4﹣t ），34﹣t ）， ∵∠AOC=30°，OM=OP ，∴∠OPM=∠OMP=75°， ∴∠PQO=180°﹣∠QOP ﹣∠QPO=45°，∴34﹣t ），∵OG+QG=OQ，∴12（4﹣t）+3（4﹣t）=t﹣2，解得：t=623+综合上述：当t为83或6233+时，△OPM是等腰三角形．30．25cm【解析】分析: 将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较.详解:将长方体沿CH,HE,BE剪开翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,连接AM,如图1,由题意可得:MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=20cm,在Rt△ADM中,根据勾股定理得:AM=25cm,将长方体沿CH、GD、GH剪开翻折,使面ABCD和面D CH G在同一个平面内,连接AM，如图2,由题意得:BM=BC+MC=20+5=25（cm）,AB=10cm,在Rt△ABM中,根据勾股定理得:AM29cm,将长方体沿CD、CH、GH剪开翻折,连接AM,如图3,由题意得:AC=AB+BC=10+20=30（cm）,MC=5cm,在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AM37cm,∵25＜29＜37则需要爬行的最短距离是25cm.点睛:本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.。
第1章勾股定理 单元综合测试题 2022—2023学年北师大版数学八年级上册(含答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（）A．B．C．D．2．下列各组数中，属于勾股数的是（）A．1，1.7，2B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．5，6，73．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．9πB．C．D．3π4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6B．7C．8D．95．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A．5B．6C．4D．4.86．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米7．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（）A．7m B．8m C．9m D．10m8．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm9．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．1，2，3D．32，42，52 10．现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（）A．4，6，8B．4，6，10C．4，8，10D．6，8，10二．填空题（共7小题，满分28分）11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是．12．直角三角形中，两边长为3，4，则第三边长的平方为．13．一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是cm．14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．15．观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．三．解答题（共6小题，满分52分）18．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．。
北师大版八年级上学期数学第一章勾股定理单元测试试题(含答案)
七年级下学期数学期末考试试题满分：120分时间：120分钟一、单选题。
（每小题3分，共30分）1.下列三条线段能组成直角三角形的是（）A.6，8，9B.2，3，5C.5，11，12D.9，12，152.在Rt△DMN中，∠D=90°，若DM=8，MN=17，则DN的长为（）A.15B.18C.6D.213.将一个直角三角形的两直角边分别扩大4倍，则斜边原来到原来的（）。
A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若正方形ACED和正方形CFGB的边长分别是2cm和5cm，则以AB为边的正方形的面积是（）。
A.7cm2B.29cm2C.21cm2D.49cm2（第4题图）（第7题图）（第8题图）5.已知四个三角形分别满足下列条件：①三边之比为5：12：13；②三个内角之比为1：2：2；③三边长分别是9，10，12；④三个内角之比是3：4：5，其中直角三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.一个长4.1dm的梯子，斜靠在一竖直的墙边，梯脚距墙底0.9m，这时梯子到达的高度是（）A.5mB.3.2mC.4mD.2.8m7.如图，直线上l上有三个正方形a，b，c，若b，c的面积为20和14，则a的面积为（）A.3B.6C.10D.88.如图，将一个长（AE）为20cm，宽（DE）为10cm的长方形剪去一个角，量得AB=2cm，CD=5cm，则BC的长为（）A.16cmB.23cmC.8cmD.17cm9.如图，在一块△ABC空地上种植草皮，已知AB=13m，AC=20m，AD=12m，且AD⊥BC，若这个草皮每平方米a元，则至少需要（）元购买这些草皮。
A.126aB.150aC.240aD.300a（第9题图）（第10题图）10.如图，一个长方体的高12cm，底面边长为8cm的正方形，一只蜜蜂从A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）A.15cmB.20cmC.25cmD.30cm二、填空题。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题(时间：120分钟 总分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各组数是勾股数的是( ) A ．8，15，17B ．1.5，2，2.5C ．5，8，10D.13，14，152．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，则AC 2＋BC 2＋AB 2的值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．83．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm ，正方形A 的边长为6 cm ，B 的边长为5 cm ，C 的边长为5 cm ，则正方形D 的面积为( )A ．16 cm 2B ．15 cm 2C ．14 cm 2D ．9 cm 2第4题图第6题图第7题图 第9题图5．三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为( ) A ．6B ．4.5C ．2.4D ．86．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．807．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3.将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA 、BC 为半径的圆形形成一圆环．该圆环的面积为( )A．πB．3πC．9πD．6π8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是()A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．a2＝c2－b2D．a∶b∶c＝3∶4∶69．如图，是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长2.8 m，宽2.8 m；③号木板长4 m，宽2.4 m．可以从这扇门通过的木板是()A．①号B．②号C．③号D．均不能通过10．如图，已知圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为()A．10 dm B．15 dm C．20 dm D．25 dm二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64 cm2，则x的长为cm.第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图所示，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸减去了一角，量得AB ＝3 cm，CD＝4 cm，则剪去的直角三角形的斜边BC的长为.13．小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米回到检录处，则他开始是按方向走的．(假设小明走的每段路线都是直的)14．假设电视机屏幕为矩形．“某个电视机屏幕大小是64 cm”的含义是矩形对角线长为64 cm.如图，若该电视机屏幕ABCD 中，CDBC ＝0.6，则电视机屏幕的高CD 为 cm.(精确到1 cm)15．如图所示，一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向沿一条直线滑动 米．16．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为 .第16题图第17题图第18题图17．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若AC ＝12，BC ＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是____.18．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm 、3 dm 、2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 .三、解答题(共66分)19．(10分)学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图①放置，从正前方看图①得到的图形如图②所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！(提示：连接AC 、CF 、AF )20.(10分)如图所示的一块草坪，已知AD＝12 m，CD＝9 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块草坪的面积．21．(10分)一圆柱形油罐，如图所示，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐的底面周长为12 m，高AB为 5 m，问所建的梯子最短需多少米？22．(12分)如图，一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？23．(12分)如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.①②(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点M(0，2)，N(12，3)，根据(2)中的规律和结论构图在x轴上找一点P，使PM＋PN最小，并求出PM＋PN的最小值．24．(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，设c 为最长边．当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状(按角分类)．(1)当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为________三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为________三角形；(2)猜想：当a 2＋b 2________c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2________c 2时，△ABC 为钝角三角形；(3)判断当a ＝2，b ＝4时，△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围． 参考答案一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各组数是勾股数的是( A ) A ．8，15，17B ．1.5，2，2.5C ．5，8，10D.13，14，152．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，则AC 2＋BC 2＋AB 2的值是( D ) A ．2B ．4C ．6D ．83．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有( B ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm ，正方形A 的边长为6 cm ，B 的边长为5 cm ，C 的边长为5 cm ，则正方形D 的面积为( C )A．16 cm2B．15 cm2C．14 cm2D．9 cm2第4题图第6题图第7题图第9题图5．三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为(D)A．6 B．4.5 C．2.4 D．86．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)A．48 B．60 C．76 D．807．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形形成一圆环．该圆环的面积为(C)A．πB．3πC．9πD．6π8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是(D)A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．a2＝c2－b2D．a∶b∶c＝3∶4∶69．如图，是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长2.8 m，宽2.8 m；③号木板长4 m，宽2.4 m．可以从这扇门通过的木板是(C)A．①号B．②号C．③号D．均不能通过10．如图，已知圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(A)A ．10 dmB ．15 dmC ．20 dmD ．25 dm二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64 cm 2，则x 的长为 17 cm.第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图所示，小明将一张长为20 cm ，宽为15 cm 的长方形纸减去了一角，量得AB ＝3 cm ，CD ＝4 cm ，则剪去的直角三角形的斜边BC 的长为 20cm .13．小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米回到检录处，则他开始是按 向南或向北 方向走的．(假设小明走的每段路线都是直的)14．假设电视机屏幕为矩形．“某个电视机屏幕大小是64 cm ”的含义是矩形对角线长为64 cm.如图，若该电视机屏幕ABCD 中，CD BC ＝0.6，则电视机屏幕的高CD 为 33 cm.(精确到1 cm)15．如图所示，一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向沿一条直线滑动 1 米．16．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为 1 cm .第16题图第17题图第18题图17．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若AC ＝12，BC ＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是__152__.18．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm 、3 dm 、2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 25dm .三、解答题(共66分)19．(10分)学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图①放置，从正前方看图①得到的图形如图②所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！(提示：连接AC 、CF 、AF )证明：连接AC 、CF 、AF .设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b .如图所示，我们根据梯形的面积公式可知，梯形ABEF 的面积＝12(a ＋c )(a ＋c )．从上图我们还发现梯形ABEF 的面积等于三个三角形的面积，即12(a ＋c )(a ＋c )＝12ac ＋12ac ＋12b 2.化简可得a 2＋c 2＝b 2.20.(10分)如图所示的一块草坪，已知AD ＝12 m ，CD ＝9 m ，∠ADC ＝90°，AB ＝39 m ，BC ＝36 m ，求这块草坪的面积．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝12 m ，CD ＝9 m ，由勾股定理得AC ＝15 m ，又因为AB ＝39 m ，BC ＝36 m ， 所以△ABC 为直角三角形，则∠ACB ＝90°， 所以草坪面积S ＝12× 15× 36－12× 9× 12＝216(m 2)．21．(10分)一圆柱形油罐，如图所示，要以A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，已知油罐的底面周长为12 m ，高AB 为 5 m ，问所建的梯子最短需多少米？解：假设将圆柱体的侧面沿AB 剪开，铺平得到如图所示的长方形AA ′B ′B ， 则AB ＝A ′B ′＝5 m ，AA ′＝BB ′＝12 m ，∠BAA ′＝∠A ′＝∠AB ′ B ＝∠B ＝90°， 因此沿AB ′建梯子最短．在△AA ′B ′中，由勾股定理，得AB ′ 2＝AA ′ 2＋A ′ B ′ 2＝122＋52＝169，解得AB ′＝13 m. 所以梯子最短需13 m.22．(12分)如图，一根长度为50 cm 的木棒的两端系着一根长度为70 cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？题图 答图解：如图①，当∠B ＝90°时，设BC ＝x cm ，则AC ＝(70－x ) cm.在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即(70－x )2＝502＋x 2，解之x ＝1207，则AC ＝(70－x )＝3707， 这时该点将绳子分成1207 cm ，3707cm 两段． 当∠A ＝90°时，该点将绳子分成1207 cm ，3207cm 两段， 如图②，当∠C ＝90°时，根据勾3股4弦5可知这两段为30 cm ，40 cm.故这个点将绳子分成的两段各有30 cm ，40 cm 或3707 cm ，1207cm.23．(12分)如图①，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC .已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x .① ② (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点M (0，2)，N (12，3)，根据(2)中的规律和结论构图在x 轴上找一点P ，使PM ＋PN 最小，并求出PM ＋PN 的最小值．解：(1)∵BD ＝ 8，CD ＝ x ，∴BC ＝ (8－x )，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝（8－x ）2＋25，在Rt △CDE 中，由勾股定理，得CE ＝x 2＋1，∴AC ＋CE ＝（8－x ）2＋25＋x 2＋1.(2)根据两点之间线段最短可知，当A 、C 、E 三点共线时，AC ＋CE 的值最小．(3)如图，作点M 关于x 轴的对称点M ′，连接M ′N 与x 轴相交于点P ，则点P 为所找的点．构造直角三角形M′NN′，则PM＋PN＝M′N＝（2＋3）2＋122＝13.24．(12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC 的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形；(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形；(3)判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．解：(1)锐角钝角(2)><(3)∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c＜6，a2＋b2＝22＋42＝20.①a2＋b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜25，∴当4≤c＜25时，这个三角形是锐角三角形；②a2＋b2＝c2，即c2＝20，c＝25，∴当c＝25时，这个三角形是直角三角形；③a2＋b2＜c2，即c2＞20，c＞25，∴当25＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．。
北师大版八年级数学数学上册单元测试题全套
北师大版八年级数学数学上册单元测试题全套(含答案)(总44页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--北师大版八年级数学上册单元测试题全套（含答案）第一章检测卷(120分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题3分，共301．下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是( )A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，52．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的长为( )A．26 B．18 C．25 D．21(第3题)3．如图中有一个正方形，此正方形的面积是( )A．16 B．8 C．4 D．24．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为( )①a＝6，b＝8，c＝10；②a∶b∶c＝1∶2∶2；③∠A＝32°，∠B＝58°；④a＝8，b＝15，c＝17.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形(第6题)6．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m．若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的( )A．北偏东75°的方向上 B．北偏东65°的方向上C．北偏东55°的方向上 D．无法确定7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线上的D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )B．3 C．1(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则△ABC的面积为( )A．128 B．136 C．120 D．2409．如图，长方形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小长方形的周长和为( )A．14 B．16 C．20 D．2810．如图，长方体的高为9 m，底面是边长为6 m的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为( )A．10 m B．12 m C．15 m D．20 m二、填空题(每题3分，共24分)11．在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边，若a2＋b2＝16，则c＝________．12．如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，BC边上的中线AD＝4 cm，则∠ADB＝________．(第12题) (第13题) (第17题) (第18题)13．如图，一架长为4 m的梯子，一端放在离墙脚m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚________．14．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80 cm，宽为60 cm，对角线长为100 cm，则这个桌面________．(填“合格”或“不合格”)15．若直角三角形的两边长为a，b，且满足(a－3)2＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．16．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为________．17．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为________．18．《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》规定：小汽车在没有道路中心线的城市街道上的行驶速度不得超过30 km/h.如图，一辆小汽车在一条没有道路中心线的城市街道上直道行驶时，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪观测点A正前方30 m的C处，过了4 s后，行驶到B处的小汽车与车速检测仪间的距离变为50 m．请你判断：这辆小汽车________．(填“超速”或“未超速”)三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格的边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．(第19题)20．如图，在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB.若AB＝20，求△ABD的面积．(第20题)21．已知一个直角三角形的周长是12 cm，两条直角边长的和为7 cm，则此三角形的面积是多少？22．如图，将断落的电线拉直，使其一端在电线杆顶端A处，另一端落在地面C处，这时测得BC＝6 m，再把电线沿电线杆拉直，且电线上的D点刚好与B点重合，并量出电线剩余部分(即CD)的长为2 m，你能由此算出电线杆AB的高吗？(第22题)23．如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36 cm，点P从点A开始沿AB边向B点以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果同时出发，问过3 s时，△BP Q的面积为多少？(第23题)24．如图，圆柱形玻璃容器高19 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底cm的点A处有一只蜘蛛，在蜘蛛正对面的圆柱形容器的外侧，距上底cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短距离．(第24题)25．图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a ＋b 的正方形内．(1)由图乙、图丙，可知①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形．(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________． (3)图乙中①②面积之和为________．(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积有什么关系为什么由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗(第25题)答案一、 7．A二、 ° m 14.合格 或5 cm 2或66 cm 218.超速三、19.解：(1)用正方形的面积减去三个三角形的面积即可求出△ABC 的面积．S △ABC ＝4×4－12×1×2－12×4×3－12×2×4＝5，所以△ABC 的面积为5.(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：因为AB 2＝12＋22＝5，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝32＋42＝25，所以AC 2＋AB 2＝BC 2.所以△ABC 是直角三角形．20．解：在△ADC 中，因为AD ＝15，AC ＝12，DC ＝9，所以AC 2＋D C 2＝122＋92＝152＝AD 2.所以△ADC 是直角三角形，且∠C＝90°.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，所以BC ＝16.所以BD ＝BC －DC ＝16－9＝7.所以S △ABD ＝12×7×12＝42.21．解：设两条直角边长分别为a cm ，b cm ，斜边长为c cm .由题意可知a ＋b ＋c ＝12①，a ＋b ＝7②，a 2＋b 2＝c 2③，所以c ＝12－(a ＋b)＝5，(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab ＝49，2ab ＝49－25＝24.所以ab ＝12.所以S ＝12ab ＝12×12＝6(cm 2)．22．解：设AB ＝x m ，则AC ＝AD ＋CD ＝AB ＋CD ＝(x ＋2)m .在Rt △ABC 中，有(x ＋2)2＝x 2＋62，解得x ＝8.即电线杆AB 的高为8 m .23．解：设AB 为3x cm ，则BC 为4x cm ，AC 为5x cm . 因为△ABC 的周长为36 cm ， 所以AB ＋BC ＋AC ＝36 cm ， 即3x ＋4x ＋5x ＝36.解得x ＝3. 所以AB ＝9 cm ，BC ＝12 cm ， AC ＝15 cm .因为AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 是直角三角形，且∠B＝90°.过3 s 时，BP ＝9－3×1＝6(cm )，BQ ＝2×3＝6(cm )， 所以S △BPQ ＝12BP·BQ＝12×6×6＝18(cm 2)．故过3 s 时，△BPQ 的面积为18 cm 2.24．解：如图，将圆柱侧面展开成长方形MNQP ，过点B 作BC⊥MN 于点C ，连接AB ，则线段AB 的长度即为所求的最短距离．在Rt △ACB 中，AC ＝MN －AN －CM ＝16 cm ，BC 的长等于上底面的半圆周的长，即BC ＝30 cm .由勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2＝162＋302＝1 156＝342，所以AB ＝34 cm .故蜘蛛沿容器侧面爬行的最短距离为34 cm .(第24题)25．解：(1)a ；b ；c ；c (2)a 2；b 2；c 2(3)a 2＋b 2(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．由大正方形的边长为a ＋b ，得大正方形的面积为(a ＋b)2，图乙中把大正方形分成了四部分，分别是边长为a 的正方形，边长为b 的正方形，还有两个长为a ，宽为b 的长方形．根据面积相等得(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab.由图丙可得(a ＋b)2＝c 2＋4×12ab.所以a 2＋b 2＝c 2.能得到关于直角三角形三边长的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．第二章检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分) 1．9的平方根是( ) A ．±3 B．±13C ．3D ．－32．下列4个数：9，227，π，(3)0，其中无理数是( )C ．πD ．(3)03．下列说法错误的是( )A ．1的平方根是1B ．－1的立方根是－1 是2的一个平方根 D ．－3是(－3)2的一个平方根 4．下列各式计算正确的是( ) ＋3＝ 5 B ．43－33＝1 C ．23×23＝4 3 ÷3＝3 5．已知a ＋2＋|b －1|＝0，那么(a ＋b)2 017的值为( )A ．－1B ．1C ．32 017D ．－32 0176．若平行四边形的一边长为2，面积为45，则此边上的高介于( ) A ．3与4之间 B ．4与5之间 C ．5与6之间 D ．6与7之间7．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简a 2－|a ＋b|的结果为( )(第7题)A ．2a ＋bB ．－2a ＋bC ．bD ．2a －b8．已知a ，b 为Rt △ABC 的两直角边的长，且斜边长为6，则a 2＋b 2－3的值是( ) A ．3 B ．6 C ．33 D ．369．已知a ＝3＋2，b ＝3－2，则a 2＋b 2的值为( ) A ．4 3 B ．14 D ．14＋4310．若6－13的整数部分为x ，小数部分为y ，则(2x ＋13)y 的值是( ) A ．5－313 B ．3 C ．313 D ．－3 二、填空题(每题3分，共24分)的相反数是________；绝对值等于2的数是________．12．若式子x ＋1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________． 13．估算比较大小：(1)－10________－；(2)3130________5. 14．计算：8＋(－1)2 018－|－2|＝________．15．已知x ，y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，则y x＝________. 16．若2x ＋7＝3，(4x ＋3y)3＝－8，则3x ＋y ＝________．17．一个长方形的长和宽分别是6 2 cm 与2cm ，则这个长方形的面积等于________，周长等于________． 18．任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1.现对72进行如下操作：72――→第一次[72]＝8――→第二次[8]＝2――→第三次[2]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行________次操作后变为1；只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．三、解答题(20题12分，23，24题每题8分，25，26题每题10分，其余每题6分，共66分) 19．求下列各式中x 的值．(1)4x 2＝25； (2)(x －3＝.20．计算下列各题：(1)8＋32－2； (2)3216－3－3－38×400；(3)(6－215)×3－612； (4)(548－627＋12)÷ 3.21.已知a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简：||a －||a ＋b ＋（c －a ）2＋||b －c .(第21题)22．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．23．一个正方体的表面积是2 400 cm 2. (1)求这个正方体的体积；(2)若该正方体的表面积变为原来的一半，则体积变为原来的多少？24．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝22，CD＝43，BC＝8，求四边形ABCD的面积．(第24题)25．“保护环境，节约资源”一直是现代社会所提倡的．墨墨参加了学校组织的“节约资源，废物利用”比赛，他想将一个废旧易拉罐的侧面制作成一个正方体(有底有盖)的储存盒，经过测量得知废旧易拉罐的高是20 cm，底面直径是10 cm，废旧易拉罐的侧面刚好用完，正方体储存盒的接头部分忽略不计．求墨墨所做的正方体储存盒的棱长．(π取3)26．阅读材料：小王在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2.善于思考的小王进行了以下探索：设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn 2.所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小王就找到了一种把类似a＋b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小王的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝________，b ＝________；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：________＋________3＝(________＋________3)2；(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．答案一、 6．B二、11.－6；± 2 ≥－1 13．(1)> (2)> ＋115．64 16.－1 cm 2；14 2 cm 18．3；255三、19.解：(1)因为4x 2＝25， 所以x 2＝254.所以x ＝±52.(2)因为(x －3＝， 所以x －＝.所以x ＝1.20．解：(1)原式＝22＋42－2＝5 2.(2)原式＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×20＝36.(3)原式＝18－245－32＝32－65－32＝－6 5. (4)原式＝(203－183＋23)÷3＝43÷3＝4.21．解：由数轴可知b ＜a ＜0＜c ，所以a ＋b ＜0，c －a ＞0，b －c ＜0.所以原式＝－a －[－(a ＋b)]＋(c －a)＋[－(b －c)]＝－a ＋a ＋b ＋c －a －b ＋c ＝－a ＋2c.22．解：因为x ＝1－2，y ＝1＋2，所以x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1.所以x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y)2－2(x －y)＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.23．解：(1)设这个正方体的棱长为a cm ，由题意得6a 2＝2 400. 可得a ＝20，则体积为203＝8 000(cm 3)．(2)若该正方体的表面积变为原来的一半，则有6a 2＝1 200. 所以a ＝10 2.所以体积为(102)3＝2 0002(cm 3)． 所以2 00028 000＝24.即体积变为原来的24.24．解：因为AB ＝AD ，∠BAD＝90°，AB ＝22，所以BD ＝AB 2＋AD 2＝4.因为BD 2＋CD 2＝42＋(43)2＝64，BC 2＝64，所以BD 2＋CD 2＝BC 2.所以△BCD 为直角三角形，且∠BDC＝90°.所以S 四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×22×22＋12×43×4＝4＋8 3.25．解：设正方体储存盒的棱长为x cm ，由题意得6x 2＝20×π×10， 解得x ＝10.所以墨墨所做的正方体储存盒的棱长为10 cm . 26．解：(1)m 2＋3n 2；2mn (2)21；12；3；2(答案不唯一)(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ，所以4＝2mn ，且m ，n 为正整数．所以m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2.所以a ＝22＋3×12＝7或a ＝12＋3×22＝13.第三章检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分) 1．点P(4，3)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．根据下列表述，能确定位置的是( )A ．红星电影院2排B ．北京市四环路C ．北偏东30° D．东经118°，北纬40° 3．如果座位表上“5列2行”记作(5，2)，那么(4，3)表示( ) A ．3列5行 B ．5列3行 C ．4列3行D ．3列4行 4．如图，在直角坐标系中，卡片盖住的数可能是( ) A ．(2，3) B ．(－2，1) C ．(－2，－ D ．(3，－2)(第4题) (第7题) (第9题) 5．点P(－2，3)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．(－3，2) B ．(2，－3) C ．(－2，－3) D ．(2，3)6．已知点A(－1，－4)，B(－1，3)，则( )A．点A，B关于x轴对称 B．点A，B关于y轴对称C．直线AB平行于y轴 D．直线AB垂直于y轴7．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点(0，－1)，“象”位于(2，－1)，则“炮”位于点( )A．(－3，2) B．(－4，3) C．(－3，0) D．(1，－1)8．点C在x轴上方，y轴左侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点C的坐标为( ) A．(2，3) B．(－2，－3) C．(－3，2) D．(3，－2)9．如图，动点P从(0，3)出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2 015次碰到长方形的边时，点P的坐标为( )A．(1，4) B．(5，0) C．(6，4) D．(8，3)10．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，……以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，向上走1个单位长度；当n被3除，余数为1时，向右走1个单位长度；当n被3除，余数为2时，向右走2个单位长度，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是( ) A．(66，34) B．(67，33) C．(100，33) D．(99，34)二、填空题(每题3分，共24分)11．写出平面直角坐标系中一个第三象限内点的坐标：________．12．在直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，那么点P的坐标是________．13．如图是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(1，0)，安化县城所在地用坐标表示为(－3，－1)，那么南县县城所在地用坐标表示为________．(第13题) (第15题) (第17题)14．第二象限内的点P(x，y)满足|x|＝9，y2＝4，则点P的坐标是__________．15．如图，等腰三角形AOC的底边OC在x轴的正半轴上，点O是坐标原点，点A在第一象限，若AO＝5，OC ＝6，则顶点A的坐标为________．16．如果将点(－b，－a)称为点(a，b)的“反称点”，那么点(a，b)也是点(－b，－a)的“反称点”，此时，点(a，b)和点(－b，－a)互为“反称点”．容易发现，互为“反称点”的两点有时是重合的，例如(0，0)的“反称点”还是(0，0)．请写出一个这样的点：________.17．如图，点A，B的坐标分别为(2，4)，(6，0)，点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为________．18．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为4，△ABC是直角三角形且∠C不是直角，则满足条件的点C有________个．三、解答题(19题6分，20题8分，21，23题每题9分，22题10分，其余每题12分，共66分)19．(1)在坐标平面内画出点P(2，3)；(2)分别作出点P关于x轴、y轴的对称点P1，P2，并写出P1，P2的坐标．20．已知点A(1＋2a，4a－5)，且点A到两坐标轴的距离相等，求点A的坐标．21．春天到了，七(1)班组织同学到人民公园春游，张明、李华对着景区示意图(如图)描述牡丹园的位置(图中小正方形的边长为100 m)．(第21题)张明：“牡丹园的坐标是(300，300)．”李华：“牡丹园在中心广场东北方向约420 m处．”实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题：(1)请指出张明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出所建立的平面直角坐标系．(2)李华同学是用什么来描述牡丹园的位置的？请用张明同学所用的方法，描述出公园内其他地方的位置．22．如图，在平面直角坐标系中，O，A，B，C的坐标分别为(0，0)，(－1，2)，(－3，3)和(－2，1)．(1)将图中的各个点的纵坐标不变，横坐标都乘－1，与原图案相比，所得图案有什么变化？画出图形并说明一下变化．(2)将图中的各个点的横坐标不变，纵坐标都乘－1，与原图案相比，所得图案有什么变化？画出图形并说明一下变化．(第22题)23．如图，A，B，C为一个平行四边形的三个顶点，且A，B，C三点的坐标分别为(3，3)，(6，4)，(4，6)．(1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；(2)求这个平行四边形的面积．(第23题)24．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.(1)当m＝3时，求点B的横坐标的所有可能值；(2)当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，用含n的代数式表示m.(第24题)25．先阅读一段文字，再回答问题：已知在平面内两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则该两点间的距离公式为P1P2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴或垂直于x轴时，两点间的距离公式可化简成|x2－x1|或|y2－y1|.(1)若已知两点A(3，5)，B(－2，－1)，试求A，B两点间的距离．(2)已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为－1，试求A，B两点间的距离．(3)已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(0，6)，B(－3，2)，C(3，2)，你能判断此三角形的形状吗？试说明理由．答案一、 6．C二、11.(－1，－1)(答案不唯一) 12．(5，－2) 13.(2，4) 14．(－9，2) 15.(3，4) 16．(－2，2)(答案不唯一)17．(3，0)或(9，0) 点拨：设点P 的坐标为(x ，0)，根据题意得12×4×|6－x|＝6，解得x ＝3或9，所以点P 的坐标为(3，0)或(9，0)．18．4三、19.解：(1)点P(2，3)如图所示．(2)点P 1，P 2如图所示，P 1(2，－3)，P 2(－2，3)．(第19题)20．解：根据题意，分两种情况讨论： ①1＋2a ＝4a －5，解得a ＝3， 所以1＋2a ＝4a －5＝7. 所以点A 的坐标为(7，7)． ②1＋2a ＋4a －5＝0，解得a ＝23，所以1＋2a ＝73，4a －5＝－73.所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－73.故点A 的坐标为(7，7)或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－73.21．解：(1)张明同学是以中心广场为原点、正东方向为x 轴正方向、正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系的，图略．(2)李华同学是用方向和距离描述牡丹园的位置的．用张明同学所用的方法，描述如下：中心广场(0，0)，音乐台(0，400)，望春亭(－200，－100)，游乐园(200，－400)，南门(100，－600)．22．解：(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标都乘－1，得到新的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，3)，(2，1)．在坐标系中描出各点，再连接各点，如图所示．所得图案与原图案关于y轴对称．[第22(1)题](2)将各个点的横坐标不变，纵坐标都乘－1，得到新的坐标分别为(0，0)，(－1，－2)，(－3，－3)，(－2，－1)．在坐标系中描出各点，再连接各点，如图所示．所得图案与原图案关于x轴对称．[第22(2)题]23．解：(1)(7，7)或(1，5)或(5，1)．(2)这个平行四边形的面积为8.24．解：(1)如图①，当点B的横坐标为3或4时，m＝3，即当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3和4.(第24题)(2)如图②，当点B的横坐标为4n＝4时，n＝1，m＝3；当点B的横坐标为4n＝8时，n＝2，m＝9；当点B的横坐标为4n＝12时，n＝3，m＝15……当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝6n－3.25．解：(1)AB＝（－2－3）2＋（－1－5）2＝61. (2)AB ＝|－1－5|＝6. (3)能．理由：因为AB ＝ （－3－0）2＋（2－6）2＝5， BC ＝[3－（－3）]2＋（2－2）2＝6， AC ＝（3－0）2＋（2－6）2＝5， 所以△ABC 为等腰三角形．第四章检测卷(120分，90分钟)得 分一、选择题(每题3分，共30分)1．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有( )(第1题)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．直线y ＝x ＋3与y 轴的交点坐标是( ) A ．(0，3) B ．(0，1) C ．(1，0) D ．(3，0)3．如图，直线O A 是某正比例函数的图象，下列各点在该函数图象上的是( ) A ．(－4，16) B ．(3，6) C ．(－1，－1) D ．(4，6)(第3题) (第4题) (第6题)4．如图，与直线AB 对应的函数表达式是( )A ．y ＝32x ＋3B ．y ＝－32x ＋3C ．y ＝－23x ＋3D ．y ＝23x ＋35．关于一次函数y ＝12x －3的图象，下列说法正确的是( )A ．图象经过第一、二、三象限B ．图象经过第一、三、四象限C ．图象经过第一、二、四象限D ．图象经过第二、三、四象限6．一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图所示，则下列结论中：①k<0；②a>0；③b>0；④当x ＝3时，y 1＝y 2.正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm )与所挂物体质量x(kg )间有如下关系(其中x≤12)．下列说法不正确的是( )A.x与y都是变量，且x是自变量B．弹簧不挂物体时的长度为10 cmC．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加 cmD．所挂物体质量为7 kg，弹簧长度为 cm8．若直线y＝－3x＋m与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为( )A．6 B．－6 C．±6 D．±39．A，B两地相距20 km，甲、乙两人都从A地去B地，如图，l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s(km)与时间t(h)之间的关系，下列说法：①乙晚出发1 h；②乙出发3 h后追上甲；③甲的速度是4 km/h；④乙先到达B地．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4(第9题) (第10题)10．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其从正面看得到的图形如图所示．小亮决定做个实验：把塑料桶和玻璃杯看成一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中玻璃杯始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是( )二、填空题(每题3分，共24分)11．下列函数：①y＝πx；②y＝2x－1；③y＝1x＋8；④y＝kx＋3；⑤y＝x2－(x－2)2.其中一定属于一次函数的是________．12．直线y＝－3x＋5不经过的象限为________．13．若一次函数y＝2x＋b(b为常数)的图象经过点(1，5)，则b＝________.14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝2x＋1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1<x2，则y1________y2.(填“>”“<”或“＝”)15．如图，一次函数的图象经过点E，且与正比例函数y＝－x的图象交于点F，则该一次函数的表达式为____________．(第15题) (第17题) (第18题) 16．已知点(3，5)在直线y ＝ax ＋b(a ，b 为常数，且a≠0)上，则ab －5＝________．17．如图，l 1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l 2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当销售量x________时，该公司盈利(收入大于成本)．18．将正方形A 1B 1C 1O 和正方形A 2B 2C 2C 1按如图所示方式放置，点A 1，A 2在直线y ＝x ＋1上，点C 1，C 2在x 轴上．已知点A 1的坐标是(0，1)，则点B 2的坐标为________．三、解答题(19题6分，20，21题每题9分，22题10分，23题8分，其余每题12分，共66分) 19．已知y ＋2与x －1成正比例，且当x ＝3时，y ＝4. (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)当y ＝1时，求x 的值．20．作出函数y ＝3x ＋1的图象，根据图象回答： (1)当x 取什么值时，函数值y 大于零？(2)直接写出方程3x ＋1＝0的解．21．已知直线y 1＝－23x ＋3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y 2＝2x ＋b 经过点B ，且与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积．22．请你根据如图所示的图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出直线l 1，l 2对应的函数中变量y 的值随x 的变化而变化的情况；(2)求出直线l 1对应的函数表达式．(第22题)23．一次函数y ＝ax －a ＋1(a 为常数，且a≠0)．(1)若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3在一次函数y ＝ax －a ＋1的图象上，求a 的值； (2)当－1≤x≤2时，函数有最大值2，请求出a 的值．24．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种收费方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图所示．(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是__________，乙种收费方式的函数关系式是__________； (2)该校某年级每次需印制100～450(含100和450)份学案，选择哪种收费方式较合算？(第24题)25．甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，甲车途经C 地休息了1 h ，然后按原速度继续前进到达B 地；乙车从B 地直接到达A 地，如图是甲、乙两车和B 地的距离y(km )与甲车出发时间x(h )的函数图象．(1)直接写出a，m，n的值；(2)求出甲车与B地的距离y(km)与甲车出发时间x(h)的函数表达式(写出自变量x的取值范围)；(3)当两车相距120 km时，乙车行驶了多长时间？(第25题)答案一、5．B 点拨：一次函数y＝12x－3.其中k＝12＞0，b＝－3＜0.其图象如图所示．(第5题)6．D二、11.①②⑤ 12.第三象限 14．< ＝x ＋216．－13 点拨：将(3，5)代入y ＝ax ＋b ，得3a ＋b ＝5.所以b －5＝－3a ，因为a≠0，所以b≠5.所以a b －5＝a －3a ＝－13. 17．>4 18．(3，2)三、19.解：(1)由y ＋2与x －1成正比例可设y ＋2＝k(x －1)，将x ＝3，y ＝4代入上式得4＋2＝k(3－1)，解得k ＝3，所以y ＋2＝3(x －1)，即y ＝3x －5.(2)当y ＝1时，得1＝3x －5，解得x ＝2，即当y ＝1时，x ＝2. 20．解：列表：图象如图所示．(1)当x>－13时，y>0.(第20题)(2)x ＝－13.21．解：令x ＝0，则y 1＝3；令y 1＝0，则0＝－23x ＋3，即x ＝92.所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，点B 的坐标为(0，3)．又因为点B 在直线y 2＝2x ＋b 上， 所以b ＝3，即y 2＝2x ＋3.令y 2＝0，则0＝2x ＋3， 所以x ＝－32.所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.(第21题)如图，AC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＋92＝6，OB ＝3，∴S △ABC ＝12AC·OB＝12×6×3＝9.22．解：(1)直线l 1对应的函数中，y 的值随x 的增大而增大；直线l 2对应的函数中，y 的值随x 的增大而减小．(2)设直线l 1对应的函数表达式为y ＝a 1x ＋b 1，由题意得a 1＋b 1＝1，b 1＝－1， 可得a 1＝2，所以直线l 1对应的函数表达式为y ＝2x －1.23．解：(1)把⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3代入y ＝ax －a ＋1，得－12a －a ＋1＝3，解得a ＝－43.(2)当a>0时，y 随x 的增大而增大，则当x ＝2时，y 有最大值2，把x ＝2，y ＝2代入函数关系式得2＝2a －a ＋1，解得a ＝1；当a<0时，y 随x 的增大而减小，则当x ＝－1时，y 有最大值2，把x ＝－1，y ＝2代入函数关系式得2＝－a －a ＋1，解得a ＝－12.所以a ＝－12或a ＝1.24．解：(1)y ＝＋6；y ＝(2)当甲、乙两种收费方式费用相同时，有 0．12x ＝＋6， x ＝300.因此可得其函数图象交点横坐标为300. 如图，由函数图象可得(第24题)当100≤x＜300时选择乙种收费方式较合算；当x ＝300时，选择甲、乙两种收费方式费用一样；当300<x≤450时，选择甲种收费方式较合算． 25．解：(1)a ＝90，m ＝，n ＝.(2)①休息前，0≤x＜，设甲车与B 地的距离y(km )与甲车出发时间x(h )的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)．因为函数图象经过点(0，300)，故b ＝300.把点，120)的坐标代入y ＝kx ＋300中得k ＝－120. 所以y ＝－120x ＋300； ②休息时，≤x＜，y ＝120；③休息后，≤x≤，设甲车与B 地的距离y(km )与甲车出发时间x(h )的函数表达式为y ＝px ＋n(p≠0)． 把点，120)，，0)的坐标分别代入y ＝px ＋n 中得p ＝－120，n ＝420. 所以y ＝－120x ＋420.综上可知，y 与x 的函数表达式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－120x ＋300（0≤x<），120（≤x<），－120x ＋420（≤x≤）.(3)设两车相距120 km 时，乙车行驶了t h ，甲车的速度为(300－120)÷＝120(km/h)，乙车的速度为120÷2＝60(km/h)．①若两车相遇前相距120 km ，则120t ＋60t ＝300－120，解得t ＝1；②若两车相遇后相距120 km ，则120(t －1)＋60t ＝300＋120，解得t ＝3.所以当两车相距120 km 时，乙车行驶了1 h 或3 h.第五章检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．二元一次方程x －2y ＝3有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )2．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )3．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －3x ＝1，x ＝y －1，下面的变形正确的是( )A ．2y －3y ＋3＝1B ．2y －3y －3＝1C ．2y －3y ＋1＝1D ．2y －3y －1＝14．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1是方程12x －ky ＝3的一个解，那么k 的值是( )A ．1B ．2C ．－2D ．－15．若|3－a|＋2＋b ＝0，则a ＋b 的值是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－16．在函数y ＝kx ＋b 中，当x ＝3时，y ＝－4；当x ＝4时，y ＝－3，则k ，b 的值分别为( ) A ．1，－7 B ．7，－1 C ．－1，7 D ．－7，17．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝5，bx ＋ay ＝1的解，则a －b 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．48．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1，l 2，如图所示，他解的这个方程组是( )(第8题) (第10题)9．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，4x －z ＝－1，6x ＋y ＋z ＝8，则z 的值为( )B ．1C ．2D ．310．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有m 张长方形纸板和n 张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m ＋n 的值可能是( )A ．2 013B ．2 014C ．2 015D ．2 016 二、填空题(每题3分，共24分)11．把方程5x －2y ＋12＝0写成用含x 的代数式表示y 的形式为________． 12．已知(n －1)x |n|－2ym －2 014＝0是关于x ，y 的二元一次方程，则n m＝________.13．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，y ＝2的解为________．14．在△ABC 中，∠A－∠B＝20°，∠A＋∠B＝140°，则∠A＝________，∠C＝________.15．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，nx －my ＝1的解，则m ＋3n 的立方根为________．16．对于实数x ，y ，定义新运算x*y ＝ax ＋by ＋1，其中a ，b 为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3*5＝14，4*7＝19，则5*9＝________.17．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒长度之和为220 cm ，此时木桶中水的深度是________．(第17题) (第18题)18．在一次越野跑中，当小明跑了1 600 m 时，小刚跑了1 400 m ，小明、小刚在此后所跑的路程y(m )与时间t(s )之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为________．三、解答题(19，25题每题12分，20～23题每题8分，24题10分，共66分) 19．解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，3x ＋y ＝2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3－y 2＝6，x －y 2＝9；(3)⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）－4（x －y ）＝6，x ＋y 2－x －y 6＝1； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，4x ＋2y ＋z ＝0，25x ＋5y ＋z ＝60.20．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，求m ，n 的值．21．某村粮食专业队去年计划生产水稻和小麦共150 t ，实际完成了170 t ．其中水稻超产15%，小麦超产10%.问：该专业队去年实际生产水稻、小麦各多少吨？22．已知一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大1，百位上的数字是十位上的数字的2倍，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新的三位数比原来的三位数小297.求原来的三位数．23．如图，过点A(0，2)，B(3，0)的直线AB与直线CD：y＝56x－1交于点D，C为直线CD与y轴的交点．求：(1)直线AB对应的函数表达式；(2)S△ADC.(第23题)24．某地区为了鼓励市民节约用水，计划实行生活用水按阶梯式水价计费，每月用水量不超过10 t时，每吨按基础价收费；每月用水量超过10 t时，超过的部分每吨按调节价收费．例如，第一个月用水16 t，需交水费元，第二个月用水20 t，需交水费23元．(1)求每吨水的基础价和调节价；(2)设每月用水量为n t，应交水费为m元，写出m与n之间的函数表达式；(3)若某月用水12 t，则应交水费多少元？。
北师大版八年级数学 上册 第一章一节 同步课时练习题(附参考答案)
北师八上数学测试题第一章一节1.有一个角为角的三角形是直角三角形,直角三角形的两锐角.2.我国古代称直角三角形中较短的直角边为,较长的直角边为,斜边为.3.如图1-1-1,求直角三角形中未知边的长度:b=,c=.图1-1-14.已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边的平方为( )A.25B.7C.25或7D.55.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边的平方为( )A.169B.119C.169或119D.不能确定6.如图1-1-2,三个正方形中有两个的面积分别为S1=169,S2=144,则S3等于( )图1-1-2A.50B.25C.100D.307.如图1-1-3,已知勾为2,股为3,则以弦为边长的正方形的面积是( )图1-1-3A.4B.16C.5D.138.在Rt△ABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.9.如图1-1-4,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草.图1-1-410.如图1-1-5,在△ABC中,已知∠B=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a=6,b=11,求c2.图1-1-511.课堂上,老师给同学们出了一道题:“有一直角三角形的两边长分别为6和8,你们知道第三边长的平方吗?”刘飞立刻回答:“第三边长的平方是100.”你认为第三边长的平方应该是多少呢?12.如图1-1-6,有两个全等的直角三角形,它们的直角边长分别为3和4,把这两个直角三角形拼成一个三角形或一个四边形.在这些图形中,周长最小值是( )图1-1-6A.14B.16C.18D.2013.已知等腰三角形的一条腰长是5,底边长是6,则它底边上的高为.14.某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏,它的高为2米,宽为1.5米,如图1-1-7.现需要在相对的顶点间用一块木板加固,则木板的长为米.图1-1-715.如图1-1-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.图1-1-816.如图1-1-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若AC=4,BC=3,则CD的长为.图1-1-917.如图1-1-10,一架长2.5 m的梯子AB斜靠在一面竖直的墙上,这时梯子底端B距离墙根0.8 m.为了安装壁灯,梯子顶端A需离地面2 m(即A’C=2 m),请你计算一下,此时梯子的底端B应向远离墙根的方向拉多远?图1-1-1018.如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么有,即直角三角形两的平方和等于的平方.19.勾股定理的验证.(1)图1-1-11中大正方形的面积为.(2)计算图1-1-11中大正方形的面积时,可以将大正方形的每个边上补一个边长分别是a,b,c的直角三角形,得到一个更大的正方形,如图1-1-12,此时大正方形的面积为(a+b)2-==c2,因此,勾股定理得以验证.(3)也可以将大正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形,如图1-1-13.图1-1-11图1-1-12图1-1-1320.如图1-1-14,隔湖有两点A,B,为了测得A,B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50米,CB=40米,则A,B两点间的距离是米.图1-1-1421.一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图1-1-15,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B间的距离为mm.图1-1-1522.观察图1-1-16,大正方形被分成四个全等直角三角形和一个小正方形.你能验证c2=a2+b2吗?把你的验证过程写下来,并与同伴进行交流.图1-1-1623.如图1-1-17,将两个直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形,从图中可以得到什么样的数学结论?图1-1-1724.如图1-1-18,直线l上有三个正方形A,B,C.若A,C的面积分别为5和11,则B的面积为( )图1-1-18A.4B.6C.16D.5525.2.如图1-1-19,利用图1-1-19①或图1-1-19②两个图形中的有关面积的等量关系都能验证数学中一个十分著名的定理,这个定理结论的数学表达式是.图1-1-1926.如图1-1-20,为了修铁路,需凿通隧道AC,现测量出∠ACB=90°,AB=5 km,BC=4 km.若每天凿隧道0.2 km,问几天才能把隧道AC凿通?图1-1-2027.如图1-1-21,校园内有两棵树,相距12 m,一棵树高13 m,另一棵树高8 m.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多少米?图1-1-21参考答案1.直互余2.勾股弦3.12254.A5.C6.B7.D8.89.410.解:由∠B=90°知,b是Rt△ABC的斜边.由勾股定理,得c2=b2-a2=112-62=85.11.解:分类讨论.①当8是斜边长时,第三边长的平方为82-62=28;②当8是直角边长时,第三边长的平方为62+82=100.故第三边长的平方应该是28或100.12.A13.414.2.515.2π16. 12 17.解:∵B’C2=A’B’2-A’C2=2.52-22=2.25=1.52,∴B’C=1.5(m).∴BB’=1.5-0.8=0.7(m).因此,梯子的底端B应向远离墙根的方向拉0.7 m.18.a2+b2=c2直角边斜边19.(1)c2(2)2ab a2+b220.3021.15022.解:由图可知,S大正方形=4×1ab+(b-a)2=2ab+b2+a2-2ab=a2+b2,S大正方形=c2,所以a2+b2=c2. 23.解:因为S梯形ABCD=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2),又S梯形ABCD=ab + ab + c2,所以a2+b2=c2. 24.C 25.a2+b2=c226.解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,即52=AC2+42.解得AC=3. 因为每天凿隧道0.2 km,所以凿隧道用的时间为3÷0.2=15(天). 答:15天才能把隧道AC凿通.27.解:如图所示:作DE⊥AB于点E.因为AB=13 m,CD=8 m, 所以AE=5 m.由BC=12 m,得DE=12 m.在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2=52+122=132, 所以AD=13 m.所以小鸟至少要飞13 m.。
北师大八年级数学上册单元测试题全套及答案
最新北师大版八年级数学上册单元测试题全套及答案第一章勾股定理综合测评时间： 满分：120分、精心选一选（每小题4分，共32 分）1. 在厶 ABC 中，/ B=90° ，若 BC=3 AC=5,贝U AB 等于（ ）A.3B.4C.5D.62. 下列几组数中，能组成直角三角形的是（）4.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8 cm,另一只朝左挖，每分钟挖 6 cm,10分钟后，两只小鼹鼠相距（ ）6.图2中的小方格都是边长为 1的正方形，试判断厶 ABC 的形状为（）、耐心填一填（每小题4分，共32 分）9. 写出两组勾股数： ________________ . _______________10. 在厶ABC 中，ZC = 90° , 若 BC ： AC = 3 ：4 , AB= 10,则 BC= ___ , AC = _____ .班级: ________ 姓名： _______ 得分： _______1 1 1A.—,B.3 ,4, 6C.5 ,12, 13D.0.8 , 1.2 , 1.53 4 ，53.如图 1, 正方形 ABCD 的面积为 100 cm 2, △ ABP 为直角三角形， / P=90 ° ,且PB=6 cm ,则AP 的长为 ( )A.10 cmB.6 cmC.8 cmD.无法确定A.50 cmB.80 cmC.100 cm D.140 cm5.已知a , b , cABC 的三边，且满足 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 = 0，则它的形状为（ A.直角三角形C.等腰直角三角形B.等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形A .钝角三角形 B. 锐角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能［来源：学科网7. 如图3, 一圆柱高8 cm,底面半径为2 cm, —只蚂蚁从点 A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程（ 取3 )是()A. 20 cmB.10 cmC.14 cmD.无法确定8.已知 Rt △ ABC 中，/ C=90°, 若 BC + AC = 14 cm , AB= 10 cm ,则该三角形的面积是（ 2A.24 cm2B.36 cmC.48 cm2D.60 cm11. 如图4，等腰三角形ABC的底边长为16,底边上的高AD长为6,则腰AB的长度为___________13. 一个三角形的三边长之比为 5 ： 12 ： 13，它的周长为60,则它的面积是 _______ . 14. 图6是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米，0.3米，0.2米，A ，B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面 爬行到B 点的最短路程是 米.屋门只有242 cm 高，100 cm 宽.你认为小明能把床垫拿进屋吗？________________________________________________________________________ .（填"能”或"不能”）16.图7是一束太阳光线从仓库窗户射入的平面示意图，小强同学测得 米，AC = 4.5米，MC= 6米，则太阳光线 MA 的长度为 _______ 米.17. （10分）如图8，甲渔船以8海里/时的速度离开港口 O 向东北方向航行，乙渔船以5 4 BN ^ —米，NC=—米，BC = 133三、细心做一做（共56分）12.如图 5，/ OAB =Z OBC=Z OCD= 90°, AB= BC = CD= 1, OA= 2，贝U OD 2 = _____15. 一天，小明买了一张底面是边长为 260 cm 的正方形，厚30 cm 的床垫回家，至U 了家门口，才 发现6海里/时的10,在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树后走到离树 20米处的池塘D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，试求该树的19. （12分）如图 A 处.另一只爬到树顶速度离开港口 O 向西北方向航行，它们同时出发 .一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里?9，已知在厶 ABC 中，AB=13, AD=12 AC=15, CD=9 求厶 ABC 的面积.18. （10分）如图高度.20. （12分）如图11, 一块草坪的形状为四边形 ABCDr 其中/ B=90 , AB=8 m BC=6 m CD=24 mAD=26 m.求这块草坪的面积.来源:Z#xx#]21. （12分）对任意符合条件的直角三角形保持其锐角顶点 A 不动，改变BC 的位置，使 E , D ，且/ BAE = 90°,/ CAD = 90° （如图 12）.【分析】所给数据如图中所示，且四边形 ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等.第一章勾股定理综合测评一、 1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C 7.B 8.A二、 9.答案不唯一，如 3,4,5 ; 60,80,100 10.6 8 11.10 12.7 13.120 14.2.5 15.台匕冃匕16.7.533三、 17.解：由题意得 OA — 812 （海里），OB — 69 （海里）， AOB 90，所以△ AOB22是直角三角形.由勾股定理，得 OA 2 OB 2 AB 2，即AB 2 =92+122=225,所以AB= 15 （海里）.答略.18. 解：因为 AD=12 AC=15 CD=9所以AD+cD=144+8仁225= AC 2，所以△ ADC 为直角三角形，且/ ADC=90 .在 Rt △ ABD 中，AB=13, AD=12 由勾股定理得 BD 2 =AB 2 - AD 2 = 25，所以ED =5,所以 BC = BD+DC=5+9=1411所以 S AABC =• BC• AD=— X 14X 12=84 .2 219. 解：由题意知 AD+DB=BC+CA 且 CA=20米，BC=10米，设 BD=x 贝U AD=30-x .【解答】结合上面的分析过程验证勾股定理［来源：学科网］在Rt △ ACD中，CD+CA^AE2，即(30-x ) 2= ( 10+x) 2+202，解得x=5，故树高CD=10+x=15 (米).20. 解：如图，连接AC,因为/ B=90，所以在Rt△ ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=82+62=100, 所以AC=10.又因为CD=24, AD=26所以在△ ACD中, AC+CD^A E J，所以△ ACD是直角三角形.1 1 1 1” *所以S 四边形ABC=S^ACD-S△ AB(= — AC?CD ——AB?BC —X 10X 24 -——X 8X6 =120-24=96 (m)."22 2 2 2/故该草坪的面积为96 m. '-一/21解：由分析可得S 正方形ACFD= S 四边形ABFE=S^ BAE+ S^ BFE・1 1即b2= c2+ (b+a) (b-a).2 2整理，得2b2= c2+ (b+ a) (b-a) .*源学一科网心所以a2+ b2= c2.第二章实数检测题【本检测题满分：100分，时间：90分钟】、选择题（每小题3分，共30分）1 .下列无理数中，在一2与1之间的是（)A. —LB.—:;C.D .2. （2014 •南京中考）8的平方根是（)A . 4B . ±4C .2 .刁D . ±皿3.若a,b为实数，且满足|a—2|+ . b2 =0, 则b —a的值为（)A . 2B . 0C.—2 D . 以上都不对4.卜列说法错误的是（）A. 5是25的算术平方根B.1是1的一个平方根C . （—4）2的平方根是一4D.0的平方根与算术平方根都是5.要使式子- x有意义，则x的取值范围是（）A . x> 0 B. x>- 2 C. x> 2 D. x< 26.若a, b均为正整数，且a> .7 , b> 3 2，则a + b的最小值是( )A. 3B.4C.57.在实数-，。
最新北师大版八年级数学上册单元测试题附答案全套
最新北师大版八年级数学上册单元测试题附答案全套第一章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.在以下几组线段中，可以形成直角三角形的一组是（）a.3、4、4b。
3，4，6C。
3,4,7天。
3, 4, 52．如图，在rt△abc中，∠a＝90°，bc＝2.5cm，ac＝1.5cm，则ab的长为()a．3.5cmb．2cmc．3cmd．4cm3.如图所示，在RT中△ 美国广播公司，∠ ACB=90°如果AB=15cm，则平方Adec和平方bcfg之和为（）a．150cm2b．200cm2c．225cm2d．无法计算4.在△ ABC适用于以下条件，直角三角形的数量为（）① a=6，B=8，C=10；②A.∶B∶c＝1∶2.∶2.③∠a＝32°∠b＝58°④a＝7，b＝24，c＝25。
a．2个b．3个c．4个d．1个5.在△ ABC，ab=12，BC=16，AC=20，然后是△ ABC是（）a.96b。
120摄氏度。
160d。
2006．若△abc的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△abc是()a．等腰三角形b．直角三角形c、等边三角形D.等腰三角形或直角三角形7．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的()a、75°北偏东B.65°北偏东C.55°北偏东D.不确定8．如图，将长方形纸片abcd折叠，使边dc落在对角线ac上，折痕为ce，且d点落在对角线d′处．若ab＝3，ad＝4，则ed的长为()34a。
b、 3c.1d。
239．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形abc空地上种植草皮以美化环境，已知ab＝13米，ad＝12米，ad⊥bc，ac＝20米．若这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()a、 126a元b.150a元c.156a元d.300a元10．如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从顶点a开始爬向顶点b，那么它爬行的最短路程为()a、 10mb.12mc.15md.20m二、填空题(每小题3分，共24分)11.如图所示，4m长梯子的一端距离墙脚2.4m，另一端靠近墙，因此梯子顶部远离墙脚。
第1章 勾股定理 单元测试卷 -21学年北师大版八年级上册数学
2020-2021学年北师大新版八年级上册数学《第1章勾股定理》单元测试卷一．选择题1．如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，现在有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取），按如图所示方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是（）A．3，4，5B．2，2，4C．3，3，6D．2，4，62．在Rt△ABC中，∠C＝90°．若a＝6，b＝8，则c的值是（）A．10B．2C．2D．4.83．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，则BC的长度为（）A．5B．3C．D．4．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：5D．1：105．下列几组数能作为直角三角形三边长的是（）A．3，4，6B．1，1，C．5，12，14D．，2，5 6．下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，9B．6，8，11C．5，12，14D．3，4，57．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点P是边AC上一动点，过点P 作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．B．C．D．8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）A．5.3尺B．6.8尺C．4.7尺D．3.2尺9．丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．4米B．8米C．10米D．12米10．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9B．10C．18D．20二．填空题11．直角三角形的两直角边是3和4，则斜边是12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为．13．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为．14．面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为．15．如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若CF＝5，AB＝13，则EF 的长为．16．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．17．观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26……请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：．18．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为米．19．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口C，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行16nmile，乙客轮每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点A、B处，且相距30nmile．如果知道甲客轮沿着北偏西45°方向航行，则乙客轮的航行方向可能是．20．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处，则最短路线长为．三．解答题21．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BD＝3，BC＝，求AB的长．22．阅读下列材料，解决所提的问题：勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组（3，4，5）．类似地，还可以得到下列勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组．上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：勾股数组各组数的和和的另一表示法和与最小数的差股弦3，4，5123×412﹣3＝95，12，13305×630﹣5＝257，24，25567×856﹣7＝499，40，41909×1090﹣9＝81………………观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；特点2：．…学习任务：（1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：；（2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n，，）（3）请你证明（2）的结论．23．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）24．如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．（1）求AC的长．（2）求图中阴影部分图形的面积．25．如图是5×6的网格．（1）如图（1），A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点），判断AC与BC 的数量和位置关系，直接写出结论，不需要说明理由；（2）如图（2），求∠1+∠2的度数（要求：画出示意图并给出推导过程）．26．如图，每小个正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称格点，△ABC的顶点都是在格点上．（1）求△ABC的周长；（2）求△ABC的面积．27．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．参考答案与试题解析一．选择题1．解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，∵所围成的三角形是直角三角形，∴斜边对应的正方形的面积＝两直角边对应的正方形的面积和，又∵3+4≠5，2+2＝4，3+3＝6，2+4＝6，∴选取的三块纸片的面积不可以是3，4，5，故选：A．2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，由勾股定理得：c＝＝＝10，故选：A．3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，由勾股定理得，BC＝＝＝，故选：D．4．解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长＝＝2，∴＝＝＝．故选：C．5．解：A、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；B、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；C、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；D、（）2+（2）2＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，符合题意；故选：D．6．解：A、∵72+82≠92，∴这组数不是勾股数．不符合题意；B、∵62+82≠112，∴不是勾股数，不符合题意；C、∵52+122≠14，∴这组数不是勾股数．不符合题意；D、∵32+42＝52，∴是勾股数，符合题意．故选：D．7．解：设BQ＝x，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∵BD平分∠ABC，∴∠QBD＝∠ABD，∵PQ∥AB，∴∠QDB＝∠ABD，∴∠QBD＝∠QDB，∴QD＝BQ＝x，∵D为线段PQ的中点，∴QP＝2QD＝2x，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得：x＝，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝，故选：B．8．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．解得：x＝3.2，∴折断处离地面的高度为3.2尺，故选：D．9．解：设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．根据题意得：x2+62＝（x+2）2，解得x＝8．故旗杆的高为8米．故选：B．10．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF＝A'B＝15cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝12cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝9cm，∴则该圆柱底面周长为18cm．故选：C．二．填空题11．解：在直角三角形中，三边边长符合勾股定理，已知两直角边为3、4，则斜边边长＝＝5，故答案为5．12．解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，由作图可知：MN是AB的垂直平分线，∴O是AB的中点，∴CO＝AB＝，故答案为：．13．解：连接AB，AD，如图所示：∵AD＝AB＝＝2，∴DE＝＝，∴CD＝3﹣．故答案为：3﹣．14．解：如图所示：△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，则BC•AD＝48，BD＝CD，即BC×6＝48，∴BC＝16，∴BD＝BC＝8，∴AB＝＝＝10，故答案为：10．15．解：如图，∵正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，∴AH＝BE＝CG＝DF，AE＝BG＝CF＝DH，∴EG＝GF＝GH＝HE，∴四边形EGFH为菱形，∵△ABE为直角三角形，∴∠AEB＝∠GEH＝90°，∴四边形EGFH为正方形，∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AB＝13，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，CF＝5，根据勾股定理得，DF＝12，∴GF＝DF﹣DH＝GC﹣FC＝7，在△GEF中，GE＝GF＝7，∠EGF＝90°，根据勾股定理得，EF＝＝7．故答案为：7．16．解：∵AB2＝8，BC2＝2，AC2＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC ＝××2＝2，S△ABD＝×2×2＝2，∴S△ABC ＝S△ABD，故答案为：＝．17．解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．18．解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COG＝∠OAF，在△AOF与△OCG中，，∴△AOF≌△OCG（AAS），∴OG＝AF＝BD＝4米，设AO＝x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，解得x＝8.5．则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．故答案为：4.5．19．解：AC的长度为：16×1.5＝24（n mile），BC的长度为：12×1.5＝18（n mile），∵302＝242+182，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∵甲客轮沿着北偏西45°方向航行，∴乙客轮的航行方向可能是北偏东45°，故答案为：北偏东45°．20．解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路线．设∠BAB′＝n°．∵，∴n＝120，即∠BAB′＝120°．∵E为弧BB′中点，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，Rt△AFB中，∠ABF＝30°，AB＝6∴AF＝3，BF＝＝3，∴最短路线长为3．故答案为：3．三．解答题21．解：设AB＝AC＝x，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴CD＝＝1，∴AD＝x﹣1，在Rt△BDA中，BD2+AD2＝AB2，即32+（x﹣1）2＝x2，解得，x＝5，即AB＝5．22．解：特点2，答案不唯一：如：最小的勾股数是奇数，另外两个勾股数是两个连续的正整数，故答案为：答案不唯一：如：最小的勾股数是奇数，另外两个勾股数是两个连续的正整数；（1）上述勾股数组的一个特点：最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和，故答案为：最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和；（2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n2，，），故答案为：；；（3）证明：n2+（）2＝n2+＝＝（）2，则（n2，，）是勾股数组．23．解：（1）如图所示，是梯形；由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+b）（a+b）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ab+ab+c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．24．解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，由勾股定理，得：AC＝＝＝5；（2）∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴图中阴影部分图形的面积＝S △ABC ﹣S △ACD ＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24． 25．解：（1）AC ＝BC 且AC ⊥BC ．理由：如图（1），∵CD ＝BE ，∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AD ＝CE ， ∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBE ，又∵∠CBE +∠BCE ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∴∠ACB ＝180°﹣90°＝90°，∴AC ⊥BC ；（2）如图（2），作△ABC ，△DEF ，∵BC ＝FE ，∠ABC ＝∠DFE ，AB ＝DF ，∴△ABC ≅△DFE （SAS ），∴∠ACB ＝∠DEF ＝∠2．由图，结合勾股定理，得 ，，AD ＝5，∴AC 2+DC 2＝5+20＝25＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°．∵∠2+∠ACD +∠1＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠ACD ＝180°﹣90°＝90°． 26．解：（1）由勾股定理得：，，， ∴△ABC 的周长＝； （2）由（1）可知，AC 2+AB 2＝（）2+（）2＝20，BC 2＝（2）2＝20， ∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，∴．27．解：延长AD到E使AD＝DE，连接CE，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD，∴AB＝CE＝5，AD＝DE＝6，AE＝12，在△AEC中，AC＝13，AE＝12，CE＝5，∴AC2＝AE2+CE2，∴∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝＝，∴BC＝2CD＝2，答：BC的长是2．。
1、八年级数学上册直角三角形单元测试题(北师大版)-
图1C B A 图3B A 224441八年级数学上册直角三角形单元测试题（北师大版）120分 60分钟完卷 姓名：________ 得分：________一、选择题：将正确的答案直接填在表格中（本大题共10个小题，每小题4分，1. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是 （ ）A.12米B. 13米C. 14米D. 15米2. 以直角三角形的三边长为边长分别向外作正方形，已知其中两个正方形的面积分别为20和16，则第三个正方形的面积为 （ ）A.20B.20或36C.16或20D.4或363. 如图1所示，直角三角形ABC 中，周长是24，AB ︰BC=4︰3，那么AC 等于 （ ） A.2 B.4 C.6 D.84. Rt △ABC 中，斜边AB=12，则222AC BC AB ++ 的值是 （ ）A.4 B6 C.8 D.105. 有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12，从中取出3跟顺次首尾相连，能构成一个直角三角形的是 （ ）A.2、4、8B.4、8、10C.6、8、10D.8、10、126. 在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，则△ABC 的面积为 （ ）A.60B.30C.120D.657. 如图2，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 （ ）A.3米B. 4米C. 5米D. 6米8. 如图，相邻两边互相垂直，则从点B 到点A 的最短距离为 （ ）A.13B.12C.8D.59. 以下选项中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成的，则图中阴影部分面积最大的是 （ ）图2图44米3米图5D C B A 图6图7图910.△ABC 中， AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长是 （ ）A.42 B32 C.42或32 D.37或33二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11. 一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时以后相距____________________.12. 如图4，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树根距离为4米，这棵大树原来的高度为__________.13. 在△ABC 中，AB=10，AC=17，BC 边上的高为8.则BC= _____. 14. 如图5，BC ⊥AD,AB=12，AC=13，BD=4，DC=3，则该图形的面积为__ __15. 如图，在一个高为3米，长为5；米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______ 米. 16.如图6，有一圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于6cm ， 在圆柱的下底面A 点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面B 点（距D 点41圆处）处的食物， 需要爬行的最短距离是 cm 。