《平面向量的数量积》公开课课件
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时， ab = |a||b|。
特例：aa = |a|2或 | a | a a
b O a
1．两个非零向量夹角的概念
b
O
a
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点
的.范围0≤≤180
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
是向量
aபைடு நூலகம்
和
b
的夹角，范围是：
0
≤
≤
180
特别地: a 0 0 a 0
例3 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6， 当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a· ｂ.
例4 3 判断下列命题的真假： 在△ABC中，若 ABBC 0 ，则△ABC是锐角三角形； 在△ABC中，若 ABBC 0 ,则△ABC 是钝角三角形； △ABC为直角三角形的充要条件是 ABBC 0
3．“投影”的概念： 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
AB CD AB CD cos180 4 4 ( 1) 16
例2 判断正误，并简要说明理由. ①a· 0＝0； ②0· a＝0； ③0－ BA ＝ AB ； ④｜a· ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜； ⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a· ｂ≠0； ⑥a· ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0； ⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a· ｂ）с＝a•(ｂ· с）； ⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.
注:数量积(点积)是一个数
2、数量积的几何意义：
B
b
a b a b cos
a
A
a b b a cos
O
| b | cos
a b b a
数量积a b等于a的长度a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积.
3、数量积的物理意义：F
F cos
例5 试证明：若四边形ABCD满足 AB CD 0, 且ABBC 0, 则四边形ABCD为矩形.
例6 设正三角形ABC的边长为
2, AB c, BC a, CA b, 求a b b c c a.
C
AD与BC的夹角为 0. AD BC AD BC cos0 3 3 1 9
(2). AB与CD平行, 且方向相反
AB与CD的夹角是 180
或 AD BC AD 9
2
60
A 120 B
进行向量数量积 计算时,既要考 2 虑向量的模,又 或 AB CD AB 16 要根据两个向量 (3). AB与AD的夹角是60 , AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。 1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
五、作业：习题5.6 1~6
a b 4 cos = | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
典型例题分析
例1、 如图, 在平行四边形 ABCD中,已知 AB
4, AD 3, DAB 60 ,
D
解: (1)因为AD与BC平行且方向相同 ,
求 : (1). AD BC
(2).AB CD
(3).AB DA
平面向量的数量积
一、引入：
一个物体在力F 的作用下产生 的位移s，那么力F 所做的功 应当怎样计算？
F
θ
S
力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角
向量的数量积
OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ 已知非零向量a与ｂ，作 OA ＝a，
（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 说明： （1）当θ＝0时，a与ｂ同向； （2）当θ＝π时，a与ｂ反向； （3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，
S
如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功W 可用公式计算:
W F S | F || S | cos
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中， 若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由ab = bc 能否推出a = c ？ (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共 线的向量，而一般a与c不共线。
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平面向量的数量积PPT教学课件
正面——实写
高 雅 脱 俗
反面——虚写
不 慕 富 贵
山——仙名
何陋之有
南洋诸葛庐
西蜀子云亭
斯是陋室，惟吾得馨
无
丝
谈
可
竹
笑
以
之
有
调
乱
鸿
素
耳水
——
儒Hale Waihona Puke 琴无往，
案
来 无
阅 金
牍 之
龙
白
经
劳灵
丁
形
苔痕上阶绿，草色入帘青
举例说出修辞手法 和 论证方法
• 比（喻）（起）兴
• 对比 可以调素琴，阅金经。 • 借代 无丝竹之乱耳，无案牍之劳形。对比论证
作业：
课本P121A组6 ~ 9
《玄都观桃花》
元和十年自朗州召至京戏赠看花诸君子
• 紫陌红尘拂面来，无人不道看花回。
• 玄都观里桃千树，尽是刘郎去后栽。
• 【注】新栽桃树喻攀附新当权者的新贵。
•
刘郎因此诗恶相遭贬。
•
《再游玄都观》
• 百亩庭中半是苔， 桃花净尽菜花开。
失望 再度失望
• 种桃道士归何处？ 前度刘郎今又来。
另一方面 3 1cos 3 1sin 2
∴ a b 3 1cos 3 1cos ……①
又 sin2 cos2 1
解之得：
cos 1 ，sin 3
或 cos
2
3 2
2
，sin
1 2
b1
3 2
,
1 2
或b2
1, 2
3 2
……②
小结：
1.平面向量的数量积的定义及几何意义 2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
向量的数量积ppt课件
同学提供进一步学习的机会
。
依据教学的直观性原则和启发性原则，
结合学生的学习策略的特点
向量的数量积（1）
1.向量的夹角
例1.
2.数量积的定义
例2.
3.投影向量
4.数量积的性质
目 录
23
教材分析
学情分析
教学目标设定
教学策略分析
教学过程设计
板书设计
感谢倾听
敬请指正
，求a b.
3
例2 设a 12，
b 9, a b 54 2，求a与b的夹角.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
1.创设数学情境，发现投影向量
问题5：
学生独立思考，
主动探究
设计意图
三组数量
积相等，引发
学生思考，发
现投影向量.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
2.借助几何直观，探究投影向量表达
b
N
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
3.结合几何意义，体会投影作用
椭圆具有什么对称性
设计意图
结合物理中力做功
的实例，让学生更为深
刻地体会投影作用。在
投影向量的背景下，数
量积有更灵活的处理方
法，几何意义也更丰富。
引入投影向量将不共线
的向量的数量积转化为
共线向量的数量积，体
会一般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
补充和提示，学生在推导过程中理解并记
忆这些性质.
a, b 反向 a b | a | | b |
（4）| a b || a | | b |
杜威主张的“在做中学”的教育
理念；艾宾浩斯的遗忘曲线
。
依据教学的直观性原则和启发性原则，
结合学生的学习策略的特点
向量的数量积（1）
1.向量的夹角
例1.
2.数量积的定义
例2.
3.投影向量
4.数量积的性质
目 录
23
教材分析
学情分析
教学目标设定
教学策略分析
教学过程设计
板书设计
感谢倾听
敬请指正
，求a b.
3
例2 设a 12，
b 9, a b 54 2，求a与b的夹角.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
1.创设数学情境，发现投影向量
问题5：
学生独立思考，
主动探究
设计意图
三组数量
积相等，引发
学生思考，发
现投影向量.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
2.借助几何直观，探究投影向量表达
b
N
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
3.结合几何意义，体会投影作用
椭圆具有什么对称性
设计意图
结合物理中力做功
的实例，让学生更为深
刻地体会投影作用。在
投影向量的背景下，数
量积有更灵活的处理方
法，几何意义也更丰富。
引入投影向量将不共线
的向量的数量积转化为
共线向量的数量积，体
会一般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
补充和提示，学生在推导过程中理解并记
忆这些性质.
a, b 反向 a b | a | | b |
（4）| a b || a | | b |
杜威主张的“在做中学”的教育
理念；艾宾浩斯的遗忘曲线
高三复习课平面向量的数量积课件
忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
contents
目录
6.2.4向量的数量积 课件【共48张PPT】
5×3×4×cos 120°-2×4 =25.
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
平面向量数量积的坐标表示公开课优质课件
a b x1x2 y1 y2
（2）向量模长的坐标表示式
a
2
2
a
x2
y2
或a
x2 y2
（3）向量夹角公式的坐标表示式
cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
（4）向量垂直的坐标表示式
a b x1x2 y1 y2 0
（5）直线的方向向量
斜率为k的直线的方向向量可设为mr (1,k)
平面向量数量积的坐标表示
问题情境
r
r
rr
设a
( x1 ,
y1
), r
b r
( x2
,
y2
),怎样用a和b的
坐标来表示agb呢？
特例探路
r
r
rr
若a (3,4),b (5,12)，则agb的值是多少？
rr
思路点拨： （在1）直用角ri坐, rj标表系示中ar与，br设i（ ,j分2） 别将 是argxbr用 轴分 和配 y轴律展 方开 向运 上算 的.单位向量.
方向向量:
ur
为k的直线，我们把向量m (1, k)称为直
学以致用
例1 已知直线l1 : 3x 4y 12 0和l2 : 7x y 28 0,
求直线l1和l2的夹角.
解：任取直线l1和l2的方向向量
ur m
1,
3 4
r 和n
1,
7.
ur r
ur r ur r
设向量m与n夹角为，因为m n mncos，从而
课堂评价
1.本节课你做得好的有哪些方面？ 2.本节课你学会了哪些知识？体会到 了哪些数学思想方法？ 3.你还有哪些疑问呢？
作业布置
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。
我们要明白什么是向量。
在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。
比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。
那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。
点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。
具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。
比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。
三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。
4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。
四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。
如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。
如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。
如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。
五、总结好了，今天我们就讲到这里了。
希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。
谢谢大家！。