七宝中学 2014-2015学年度第二学期高考模拟考试(三模_理数)
四川省成都七中2014届高三5月二次模拟理科数学试卷(带解析)
四川省成都七中2014届高三5月二次模拟理科数学试卷（带解析）1．设22{|10},{|log 0}A x x B x x =->=<,则A B ⋂=( )A.{|1}x x >B.{|0}x x >C.{|1}x x <-D.Φ 【答案】D 【解析】试题分析：{|11}A x x x =<->或，{|01},B x x A B =<<∴=Φ.选D.考点：不等式及集合基本运算.2．设i 是虚数单位,若()(1)2(1)a bi i i ++=-,其中,a b R ∈,则a b +的值是( ) A.12-B.2-C.2D.32【答案】B 【解析】试题分析：2(1)2(121)2,0,2,2111i i a bi i a b a b i ---+===-∴==-+=-++. 考点：复数的基本运算.3．有一正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有3个人从不同的角度观察,结果如图所示.若记3的对面的数字为m ,4的对面的数字为n ,则m n += ( )A.3B.7C.8D.11 【答案】C 【解析】试题分析：从图中可看出，与4相邻的是1、6、3、5，故与4相对的是2；与3相邻的是1、2、4、5，故与3相对的是6，所以8m n +=. 考点：空间几何体.4．设554log 4,log ((2,log a b c ===则( ) A.a c b << B.b c a << C.a b c << D.b a c << 【答案】D 【解析】 试题分析：5555log 4,log (2log (2log 234a b c b a c==-==+<∴<<.考点：对数的运算及性质.5．设,A B 是锐角ABC ∆的两内角,(sin ,1),(1,)p A q cosB =-=u r r ,则p u r 与q r的夹角是( )A.锐角B.钝角C.直角D.不确定 【答案】B 【解析】试题分析：sin cos p q A B ⋅=-+.因为,A B 是锐角ABC ∆的两内角，所以,22A B A B ππ+>>-，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，即sin cos 0p q A B ⋅=-+<，所以p u r 与q r的夹角是钝角.考点：三角函数及向量的基本运算.6．下列判断错误．．的是( ) A.“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B.“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得320010x x -->”C.若“p q Λ”为假命题,则,p q 均为假命题D.若随机变量ξ服从二项分布:ξ～1(4,)4B ,则1E ξ= 【答案】C 【解析】试题分析：对A ：“22am bm <”成立，则说明20m > ，所以必有“a b <”，故为充分条件；反之，若“a b <”，则22am bm ≤.所以“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件.对B ：全称命题：“,x A p ∀∈”的否定为“,x A p ∃∈⌝”.所以“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得320010x x -->”，成立.对C.当,p q 中有一个为假命题时，“p q Λ”就为假命题.所以C 不成立. 对D.若随机变量ξ服从二项分布:ξ～(,)B n p ，则E np ξ=，所以D 正确. 考点：逻辑与命题.7．设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是( )A.32 B.43 C.3 D.23【答案】A 【解析】试题分析：函数s i n ()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后所得函数为44sin[()]2sin()23333y x x ππωππωω=-++=-++，由423k ωππ-=得32kω=-，因为0ω>，所以ω的最小值为32.考点：三角函数的图象变换.8．设22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为3π,离心率为e ,则2a e b＋的最小值为( )A.3B.3C.【答案】B 【解析】试题分析：由题意得2232b b a e a ==⇒=，所以2a e b＋22233b b b b +==+≥. 考点：双曲线及重要不等式.9．设12,,,n a a a L 是1,2,,n L 的一个全排列,把排在i a 左边且小于i a 的数的个数称为i a 的顺序数(1,2,,i n =L ),例如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数是1而3的顺序数是0.在1,2,,8L 的全排列中,8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数是( )A.48B.96C.144D.192 【答案】C 【解析】试题分析：据题意，在8的左边有2个比8小的数，在7的左边有3个比7小的数，在5的左边有3个比5小的数.由于8是最大的数，故8必排在第3位，而7必须排在第5位：87------.若6在5的右边，则：875-----，共有24!48⨯=种；若6在5的左边，则5必在倒数第二位，875-----，共有44!96⨯=.所以总共有4896144+=种. 考点：排列组合.10．已知函数2()22ln (,0)f x x ax a x a R a =--∈≠,则下列说法错误的是( ) A.若0a <,则()f x 有零点B.若()f x 有零点,则12a ≤且0a ≠ C.0a ∃>使得()f x 有唯一零点 D.若()f x 有唯一零点,则12a ≤且0a ≠ 【答案】B 【解析】223【答案】6a ≥【解析】试题分析：原方程可变为：223log (3)233336x x x x x a x a a ---=-⇔=-⇔=+≥，考点：方程及重要不等式.13．已知直线l:0y -=与抛物线Γ:24y x =交于,A B 两点,与x 轴交于F ,若()OF OA OB λμλμ=+≤u u u r u u r u u u r ,则λμ=_______.[【答案】13【解析】试题分析：解方程组24y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩得113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或2213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由(1,0)3,2λ=13(,)3μ+得：1131330λμλμ⎧=+⎪⎪⇒=⎨⎪=-⎪⎩. 考点：1、直线与圆锥曲线的关系；2、向量的运算.14．正方体1111ABCD A BC D -中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1//A F 平面1D AE ,则1A F 与平面11BCCB 所成角的正切值的集合是____________.【答案】 【解析】试题分析：取111,BB B C 的中点P ，Q.易证，面1A PQ面1AD E ，所以点F 在直线PQ 上.连接1B F ，则11A FB ∠即为1A F 与平面11BCC B所成角，11111tan A B A FB B F∠=，当11B F B P =时，11111tan 2A B A FB B F ∠==最小；当F 为PQ 的中点时，11111tan A BA FB B F∠==.EA A 1考点：空间直线与平面所成的角.15．已知函数()122014122014f x x x x x x x =+++++++-+-++-L L 的定义域为R ,给定两集合4222{((12101)(2))(2)}A a R f aa a f a =∈-++=+及B ={()(),}a R f x f a x R ∈≥∈,则集合A B ⋂的元素个数是_________.【答案】7【解析】 试题分析：()|1||2||2014||1||2||2014|f x x x x x x x -=-++-+++-++--+--++--|1||2||2014||1||2||2014|()x x x x x x f x =-+-++--++++++=，即()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，且0x >时，()f x 递增. 由4222((12101)(2))(2)f a a a f a -++=+得4222(12101)(2)2a a a a -++=+或4222(12101)(2)(2)a a a a-++=-+，解之得25110,,,632a =.所以{0,A =. 因为|1|x x x x++-≥，|3||3|6,,|2014||2014|2028x x x x++-≥++-≥，所以()f x =+L L 2≥+，当11x -≤≤时取等号. 由此可知，若()()f x f a ≥恒成立，则11a -≤≤，即{|11}B a a =-≤≤.所以AB={0,，即共有7个元素. 考点：1、含绝对值不等式；2、函数与方程；3、集合的运算.16．设()f x p q =⋅u u r u r ,而2(24sin ,1),(cos )()2x p q x x x R ωωω=-=∈u u r u r .(1)若()3f π最大,求ω能取到的最小正数值.(2)对(1)中的ω,若()(21f x x =+且(0,)2x π∈,求tan2x. 【答案】(1). (2).【解析】试题分析：（1）由数量积的坐标运算得：2()(24sin)cos 22xf x x x ωωω=-然后降次化一，得()12sin(2)6f x x πω=++.显然当s i n (2)16x πω+=时，()f x 最大，所以s i n (2)136ππω⨯+=，由此可得ω的最小正数为.（2）由()(21f x x =+化简可得1tan 2x =，再由正切的二倍角公式得：222tan12tan 4tan 12221tan 2x x x x =⇒+=-，解这个方程即得tan 2x . （1）2()(24sin )cos 22x f x x x ωωω=-22cos 2x x ωω=1cos22x x ωω=+12sin(2)6x πω=++因为()12sin(2)336f πππω=+⨯+最大， 所以1sin(2)1,22,6363622k k πππππωωπω⨯+=⨯+=+=+， ω能取到的最小正数为12.（2）由()(21f x x =+得12sin()(216x x π++=++化简得：1cos 2sin ,tan 2x x x =∴=222tan12tan 4tan 12221tan 2xx x x =⇒+=- 因为(0,)2x π∈，所以tan 22x=.考点：三角恒等变换及三角函数求值.17．小区统计部门随机抽查了区内60名网友4月1日这天的网购情况,得到如下数据统计表(图(1))网购金额超过2千元的顾客被定义为“网购红人”,网购金额不超过2千元的顾客被定义为“非网购红人”.已知“非网购红人”与“网购红人”人数比恰为3:2. (1)确定,,,x y p q 的值,并补全频率分布直方图(图(2)).(2)为进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购红人”和“网购红人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查,设ξ为选取的3人中“网购红人”的人数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)，，补全频率分布直方图如图所示.(2)分布列为.【解析】试题分析：(1) “非网购红人”与“网购红人”人数比恰为3:2，又总人数为60，由此可得一个方程组，解这个方程组可得：，进而可得：.这样便可补全频率分布直方图；(2)选出的人中,“网购红人”有4人,“非网购红人”有6人,从中取3人，故“网购红人”的人数ξ的可能取值为0,1,2,3,这是一个超几何分布，由超几何分布的概率公式可得其分布列，进而求得其期望.(1) “非网购红人”与“网购红人”人数比恰为3:2，所以39153182xy+++=+，又39151860x y+++++=，解这个方程组得：.从而可得：.补全频率分布直方图如图所示:(2)选出的人中,“网购红人”有4人,“非网购红人”有6人,故ξ的可能取值为0,1,2,3,因为03463101(0)6C C P C ξ===，12463101(1)2C C P C ξ===，21463103(2)10C C P C ξ===，3046310(3)C CP C ξ==，所以ξ的分布列为：1316025105E ξ=+++=.考点：1、频率分布直方图；2、随机变量的分布列及期望.18．执行如图所描述的算法程序,记输出的一列a 的值依次为12,,,n a a a L ,其中*n N ∈且2014n ≤.(1)若输入λ=写出全部输出结果. (2)若输入4λ=,记*)n b n N =∈,求1n b +与n b 的关系(*n N ∈).【答案】(1)输出结果共4个,依次是:.(2).【解析】试题分析：(1)这是一个循环结构，依次写出每次循环的结果即可.（2）由框图中1a aλ=-可得当4λ=时，111,04n n a a a -==-.再由*))n b n N =∈可得1))n b +=.将114n na a +=-代入即可得1n b +与n b 的关系. (1)这是一个循环结构，前4次输出的a为：5与λ相等，故结束循环.所以输出的a为： （2）当4λ=时，111,04n n a a a -==-.1124124n n na b a +--====--(7(7nb==-=-.考点：1、程序框图；2、递推数列.19．如图,已知平面ABCD⊥平面BCEF,且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,90CBF∠=,//BF CE,BC CE⊥,4DC CE==,2BC BF==.(1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法).(2)设,P DF AG Q=⋂是直线DC上的动点,判断并证明直线PQ与直线EF的位置关系.(3)求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.【答案】(1)见解答. (2)垂直. (3).【解析】试题分析：（1）根据几何体在三个方向的投影即可得其三视图；（2）一般地判断两直线的位置关系，都应该从平行与垂直两个方向去考虑.在本题中，直线PQ与直线EF明显不平行，故朝垂直的方向考虑.连接,PQ CF，结合题设易得EF⊥平面DCF，从而得EF PQ⊥.（3）结合该几何体的特征，可将面ADE补为一个矩形，这样便可作出EF在面ADE内的射影，从而求得EF与平面AED所成的角的余弦..（1）该几何体的三视图如下图所示：（2）连接,PQ CF ，因为,DC EF EF CF ⊥⊥，所以EF ⊥平面DCF ， 所以EF PQ ⊥.F（3）因为AD BC ，所以AD 平面BCEF ，又平面ABGF平面BCEF FG =，AD FG ，从而FG BC ，所以点G 是CE 的中点.过E 作EH FG ，连接FH 、AH.过F 作FM AH ⊥，则FM ⊥平面AHED，所以FEM ∠就是EF 与平面AED 所成的角.cos ME FEM EF ∠===.FH考点：1、三视图；2、空间两直线的位置关系；3、空间直线与平面所成的角.20．椭圆Γ:2221(0)25x y r r +=>的左顶点为A ,直线4x =交椭圆Γ于,B C 两点(C 上B 下),动点P 和定点(4,6)D -都在椭圆Γ上. (1)求椭圆方程及四边形ABCD 的面积. (2)若四边形ABCP 为梯形,求点P 的坐标.(3)若,m n 为实数,BP mBA nBC =+uu r uu r uu u r,求m n +的取值范围.【答案】(1)22125100x y +=；78ABCD S ∆=.(2)748(,)55P -. (3)13131818m n -+≤+≤. 【解析】试题分析：（1）将D 的坐标代入2221(0)25x y r r +=>即得2100r =，从而得椭圆的方程为22125100x y +=. 将4x =代入22125100x y +=得(4,6),(4,6)B C -.由此可得BCD ∆和ABD ∆的面积，二者相加即得四边形ABCD ∆的面积.（2）在椭圆中AP 不可能平行BC ，四边形ABCP 又为梯形，所以必有ABPC ，由此可得直线PC 的方程，从而求得点P 的坐标.（3）设(,)P x y ，由BP mBA nBC =+uu r uu r uu u r 得则,x y 与,m n 间的关系，即496612x my m n=-⎧⎨=-++⎩，又因为点P 在椭圆上，所以495cos 661210sin m m n θθ-=⎧⎨-++=⎩，由此可得13513665sin cos )333m n θθθϕ+=+-=+，这样利用三角函数的范围便可求得m n +的范围.（1）因为点D 在椭圆上，所以221636110025r r+=⇒=， 所以椭圆的方程为22125100x y +=. 易得：(4,6),(4,6)B C -，BCD ∆的面积为1482BCD S BC CD ∆=⨯=. 直线BD 的方程为32y x =-，即320x y +=.所以点A 到BD 的距离为d ==，BD =113022ABD S BD d ∆∴=⨯==. 所以483078ABCD S ∆=+=. （2）四边形ABCP 为梯形，所以ABPC ，直线PC 的方程为：26(4)3y x -=--即22633y x =-+.代入椭圆方程得7,45x =-（舍），将75x =-代入22633y x =-+得485y =.所以点P 的坐标为748(,)55P -.（3）设(,)P x y ，则(4,6)(9,6)(0,12)x y m n -+=-+，即496612x my m n=-⎧⎨=-++⎩因为点P 在椭圆上，所以495cos 661210sin m m n θθ-=⎧⎨-++=⎩，由此可得13513665sin cos )333m n θθθϕ+=+-=+，m n ≤+≤. 考点：1、椭圆的方程；2、四边形的面积；3、向量. 21．已知函数()2sin f x x x =-,()()(2)2g x f x π=--.(1)讨论()g x 在(0,)6π内和在(,)62ππ内的零点情况.(2)设0x 是()g x 在(0,)6π内的一个零点,求()f x 在0[,]2x π上的最值.(3)证明对*n N ∈恒有11)1212n k n n π=<<∑.[来【答案】(1)在(0,)6π内有唯一零点;在(,)62ππ内无零点.(2)在有最大值;在的最小值()222f ππ=-.(3)详见解析. 【解析】试题分析：(1)首先求导确定在(0,)6π、(,)62ππ内的单调性，然后根据零点判定定理确定的零点情况； (2)求导得，所以在有最大值,又0x 是()g x 在(0,)6π内的一个零点，所以在的最大值为.再由(1)的结论知在的最小值应为.由知,于是在的最小值. (3)由(2)知时,有,即，得，再将左右两边放缩相加即得.(1)在有唯一零点,易知在单增而在内单减,且,故在和内都至多有一个零点.又,故在(0,)6π内有唯一零点;再由知在(,)62ππ内无零点.(2)由(1)知在有最大值,故在有最大值;再由(1)的结论知在的最小值应为.由知,于是在的最小值.(3)由(2)知时,有,即①取,则且,将的值代入①中,可得②再由,得③相仿地,时,,故④而时④即,显然也成立.故原不等式成立.考点：1、导数及其应用；2、不等式的证明.。
重庆市第七中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
2014-2015学年（下）期末考试 高2016级数学（理科）试题考试说明：1.考试时间：120分钟 2.考试总分 150分 3.试卷页数 共 6 页一． 选择题（每小题5分，共计60分）1．若复数()(32)a i i ++（a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （ ） A.23 B. 23- C.32 D.32- 2．在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证假设时正确的是 ( ) A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1 B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1 C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1 D.以上都不对3．4名同学从跑步、跳高、跳远三个项目中任意选报比赛项目，每人报且只能报一项，共有报名方法的种数为 （ ） A ．64 B ．81 C. 4 D.244．函数cos y x =在点(6π处的切线方程是 ( )A ．206x y π+--=B ．206x y π++-=C ．206x y π-+-= D ．206x y π--= 5. 设随机变量ζ服从正态分布(2,3)N ,若)2()32(+>=-<a P a P ζζ,则=a ( )A ．1B ．43 C ．53 D ．37 6．关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下表的统计资料：若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，经计算线性回归直线方程y b x a ∧=+中的 1.23b ∧=，据此估计使用年限为10年时，维修费用是（ ）万元.A. 10.15B. 10.08C. 12.38D. 13.61 7．已知函数()sin f x x x =-，若1212,[,],f()f()022x x x x ππ∈-+>且，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．12x x > B. 12x x < C.120x x +> D.120x x +<8．先后抛掷两次一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y ⋅为偶数”，事件B 为“,x y 均为偶数”，则概率(|)P B A = （ ） A.12 B. 14 C. 310 D. 139．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如下图所示，则函数()f x 的图象可能是 ( )10．若321()nx x +展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是（ ） A ．416 B ．120 C. 461 D. 21011．已知函数1(),()ln22x x f x e g x ==+的图象分别与直线20y k +=交于,A B 两点,则||AB 的最小值为 ( ) A ．2 B ．212e +C ．2ln 2+D ．32ln 2e - 12．已知函数2()(2)xf x e x ax b =++在1x =-处取得极大值t ，则t 的取值范围是（ ）二、填空题（每小题5分，共计20分）13. 函数3()33f x x x =-+ 的极小值为14. ===…,=,则1b a+= 15．函数21()ln (0)2f x x ax x a =--<存在单调递减区间，则a 的取值范围是 16．某市教委准备对该市的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7所学校进行调研，要求在一周内的星期一至星期五完成调研，且每天至少去一所学校，其中甲、乙两所学校分别安排在星期一和星期二，丙、丁两所学校必须安排在同一天，戊学校不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为 （用数字作答） 三、解答题（共六个大题，共计70分）17．（本题12分）若多项式38280128(1)(1)x x a a x a x a x ++-=++++（1）求2a 的值；（2）求12345678a a a a a a a a -+-+-+-的值．18. （本题12分） 已知函数()1x f x e ex -=-（1）求函数()x f 的单调区间；（2）设a R ∈，求函数()x f 在区间[],1a a +上的最小值()g a ．19. （本题12分）某高校一年级开设,,,,,A B C D E F 六门选修课，每位同学须彼此独立地选四门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选三门课程．乙、丙两名同学从六门课程中随机任选四门课程．（1）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．20. （本题12分）已知数列2112(2)1{}(), 1.1n n n n n n a na n a a n N a a +++-++=∈=+满足且 （1）求234,,,n a a a a 猜测 , 并用数学归纳法证明； （2）比较3n a与()2122nn n -⋅+的大小，并给出证明过程.21. （本题12分） 已知函数()ln(1)f x x ax =+-在(0,(0))f 处的切线与函数212y x =相切（1）求()f x 的单调区间；（2）若2(1)(1)(1)()k x xf x x k Z +-<-+∈对任意1x >恒成立，求k 的最大值.22．（本题10分）选修4-1几何证明选讲 如图,AB 是O 的直径,AC 是弦,BAC ∠的平分线AD 交O 于点D ,DE AC ⊥,交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F（1）求证: DE 是O 的切线;（2）若13AC AB =, 求AFDF的值.选修4-4坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xoy 中, 直线l的参数方程是x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩（t 是参数） , 以原点O 为极点, Ox 为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为2sin()4πρθ=+（1）求圆心C 的直角坐标;（2）由直线l 上的点向圆C 引切线, 求切线长的最小值.选修4-5不等式选讲：已知对于任意非零实数m ，不等式|31||1|||(|1||23|)m m m x x -+-≥--+恒成立，求实数x 的取值范围．2014-2015学年（下）期末考试 高2016级数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5 ABBAC 6-10 CCDAD 11-12 CA 二、填空题13. 1 14. 2015 15. 104a -<< 16. 60 三、解答题17.解：（1）166238(1)31a C C =+⋅-=5分 （2）令0x =得3801(1)2a =+-= ，7分令1x =-得8012345678(2)256a a a a a a a a a -+-+-+-+=-=∴ 12345678254a a a a a a a a -+-+-+-=-12分18.解：（1）因为'1()x f x e e -=-，令()0='x f ，解得2x =2分 。
上海市七宝中学高三模拟考试数学试题(理科)
2011年上海市七宝中学高三模拟考试数学试题(理答)一、填空题(本大题满分56分)1.函数0.5log y x =的定义域为 。
(]0,12.已知集合{( )|210} {( )|20}A x y x y B x y x ay a =+-==--=，，，，若,I A B =∅则a 的值是 。
-13.若0ln 1a b π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单位矩阵，则a b -= . 1- 4.已知z 为复数，若2125z i =+，则(1)i z += ．22 5.在411)(1)x x++（的展开式中2x 项的系数为 ．106.若关于 x y z ，，的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则θ的取值的集合是 ．{ }2k k Z πθθπ≠+∈，7．已知地球的半径为R ，在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒西经60︒有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是 ．(飞机的飞行高度忽略不计)3R π8.已知等差数列{}n a 的各项均不为零，且公差0d ≠，若2nna a 是一个与n 无关的常数λ， 则λ= ．0.59.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ= .4.75ξ0 4 8()P ξ14 14 1210．在极坐标系中，点(2 ) (2 )2A B ππ，，，，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于 ． 311. 若框图所给的程序运行的结果为90S =，那么判断框中应 填入的关于k 的判断条件是 . 8(8)k k ≤=或 12. 若函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，且函数tan ()6x y f x π=-的图像过点1(2,3)3-，则函数1()(arcsin arccos )y f x x x -=-+的图像一定过点 .1( 2)32π-，13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3( 1.2]2π=-=-，，有下列命题：①若函数()(] f x x x x R =-∈，，则()f x 的值域为[1 0)-，；②若(1 4)x ∈，，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{(]}n a 也是等差数列；④若57{ 3 }32x y ∈，，，，则(](]2x y ⋅=的概率为29P =.则所有正确命题的序号是 .①②④开始 10 1k S ←←，S S k ←⨯1k k ←-输出S结束 是 否14. 设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈， a b c R ∈，，且为常数。
2014-2015学年度第二学期高三学情调研测试(一)
2014-2015学年度第二学期高三学情调研测试（一）物 理 试 题 2015/3/4说明：1．本试卷满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，所有题目一律在答题纸上相应位置规范作答。
第Ⅰ卷（选择题，共31分）一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．如图所示，两个物体A 、B 叠放在一起，接触面粗糙。
现将它们同时以相同的速度水平抛出，不计空气阻力。
在运动的过程中，物体B A ．只受重力B ．受重力和A 对它的压力C ．受重力和A 对它的摩擦力D ．受重力、A 对它的压力和摩擦力2. 在磁场中的同一位置放置一条直导线，导线的方向与磁场方向垂直。
先后在导线中通入不同的电流，导线所受的力也不一样，图中几幅图象表现的是导线受的力F 与通过的电流I 的关系。
a ，b 各代表一组F ，I 的数据。
下列图中正确的是3．如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹。
带电粒子只受电场力的作用，运动过程中电势能逐渐减小，它运动到b 处时的运动方向与受力方向可能的是 4．跳伞运动员从某高度的直升机上跳下，经过2s 拉开绳索开启降落伞，此后再过18s 落地。
整个跳伞过程中的υ-t 图象如图所示。
根据图象信息可知A ．4s 末速度为16m/sB ．14s 末加速度为零C ．前2s 跳伞运动员的机械能守恒D ．跳伞运动员下落的总高度约为240m5．如图所示，为自行车的传动机构，行驶时与地面不打滑。
a 、c 为与车轴等高的轮胎上的两点，d 为轮胎与地面的接触点，b 为轮胎上的最高点。
行驶过程中 A ．c 处角速度最大 B ．a 处速度方向竖直向下abcABCDC ．b 处向心加速度指向dD ．a 、b 、c 、d 四处速度大小相等二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分。
每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答得0分 6．如图所示，甲为一台小型发电机构造示意图，线圈逆时针转动，产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图乙所示。
2014-2015年重庆市七校联考高一(下)期中数学试卷(理科)含解析
2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分，把正确答案涂在机读卡上才能得分）1．（5分）不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（3，+∞）C．（2，3）D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）2．（5分）高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知7号、35号、49号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．20B．21C．22D．233．（5分）阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．554．（5分）根据三个点（0，2），（4，4），（8，9）的坐标数据，求得的回归直线方程是（）A．=3x﹣1B．=x+C．=x+2D．=x+5．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为200米和400米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B 间的距离为（）A．400米B．200米C．200米D．200米6．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．（5分）已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．48．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50B．45C．40D．359．（5分）下列结论中正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0且x≠1时，+≥2C．当x≥3时，x+的最小值是D．当0＜x≤1时，x﹣无最大值10．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果b+c=2，A=60°，△ABC的面积为，那么a为（）A．B．C．10D．611．（5分）已知，则=（）A．﹣2008B．2008C．2010D．﹣2010 12．（5分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N*，都有a n+1﹣a n ﹣a n≥3×2n成立，则a2015=（）≤2n，a n+2A．22006﹣1B．22006+1C．22015+1D．22015﹣1二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的中位数为．14．（5分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为．15．（5分）若a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC 的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于．三、解答题：（共70分，在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分）17．（10分）已知{a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，（1）求通项a n（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和S n．18．（12分）解关于x的不等式＞0（a＞0）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．20．（12分）重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍，若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为p=（0≤x≤8），若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．21．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3…（1）证明：数列{﹣1}是等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t成等差数列，且a m﹣1，a s﹣1，a t﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t，如果不存在，请说明理由．22．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；＞a n；（2）求证：a n+1（3）求证：．2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，把正确答案涂在机读卡上才能得分）1．（5分）不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（3，+∞）C．（2，3）D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）【解答】解：不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0，对应的二次方程为：（x﹣2）（3﹣x）=0的解为：x=2，x=3，不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是：（2，3）．故选：C．2．（5分）高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知7号、35号、49号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．20B．21C．22D．23【解答】解：∵用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本对应的组距为56÷4=14，∴7+14=21，故样本中还有一个同学的座号是21，故选：B．3．（5分）阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．55【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1S=1，i=2满足条件i≤3，S=5，i=3满足条件i≤3，S=14，i=4不满足条件i≤3，退出循环，输出S的值为14．故选：A．4．（5分）根据三个点（0，2），（4，4），（8，9）的坐标数据，求得的回归直线方程是（）A．=3x﹣1B．=x+C．=x+2D．=x+【解答】解：∵=4，=5，故回归直线方程必过（4，5）点，故A错误；B正确，C错误，D错误，故选：B．5．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为200米和400米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B 间的距离为（）A．400米B．200米C．200米D．200米【解答】解：作出示意图，如图，则AC=200，BC=400，∠ACB=120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos120°=40000+160000+80000=280000，∴AB==200．故选：D．6．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【解答】解：由正弦定理可知=，∴sinB==∵B∈（0，180°）∴∠B=60°或120°故选：B．7．（5分）已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．4【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=2y﹣x，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（3，2），此时z的最大值为z=2×2﹣3=4﹣3=1，故选：A．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50B．45C．40D．35【解答】解：依题意可知求得d=﹣1，a1=9∴S n=9n﹣=﹣n2+9n+，∴当n=9时，S n最大，S9=81﹣=45故选：B．9．（5分）下列结论中正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0且x≠1时，+≥2C．当x≥3时，x+的最小值是D．当0＜x≤1时，x﹣无最大值【解答】解：选项A，当x＞0且x≠1时，lgx正负不定，故不可得到lgx+≥2，故错误；对于B，x＞0，∴＞0，∴+≥2当且仅当x=1时取等号，故B错误；对于C：令f（x）=x+，f′（x）=1﹣=，∴f（x）在（1，+∞）递增，f（x）min=f（3）=，故C正确；对于D，x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值，故D错误；故选：C．10．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果b+c=2，A=60°，△ABC的面积为，那么a为（）A．B．C．10D．6【解答】解：因为b+c=2，所以b2+c2+2bc=12．△ABC的面积为，所以bcsinA=，所以bc=2，所以b2+c2=8．由余弦定理可知a2=b2+c2﹣2bccosA=8﹣2=6，所以a=．故选：B．11．（5分）已知，则=（）A．﹣2008B．2008C．2010D．﹣2010【解答】解：令a n=∵∴数列共有251项，=﹣8×251=﹣2008故选：A．12．（5分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N*，都有a n+1﹣a n ﹣a n≥3×2n成立，则a2015=（）≤2n，a n+2A．22006﹣1B．22006+1C．22015+1D．22015﹣1﹣a n≥3×2n，得【解答】解：由a n+2a n+2﹣a n+1+a n+1﹣a n≥3×2n ①，且，即②，①+②得：a n﹣a n≥2n，+1﹣a n≤2n，又a n+1∴．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+22+21+1==2n﹣1．∴a2015=22015﹣1．故选：D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的中位数为84．【解答】解：根据茎叶图，得到6次数学成绩为：78，83，83，85，90，91，中位数是=84，故答案为：84．14．（5分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为a n=3n﹣1．【解答】解：当n≥2时，a n=2S n+1（n≥1），a n=2S n﹣1+1，+1﹣a n=2a n，∴a n+1=3a n．∴a n+1当n=1时，a2=2a1+1=3．∴数列{a n}为等比数列．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．（5分）若a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解答】解：a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，∴a2﹣a﹣6＞x+（x＜0）恒成立，令g（x）=x+=﹣（﹣x+）≤﹣4，∴a2﹣a﹣6＞﹣4，∴a＞2或a＜﹣1．故a的范围为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．16．（5分）△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC 的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于64．【解答】解：∵S=a2﹣（b﹣c）2，S=bcsinA，且根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣a2=2bccosA，∴，∴sinA=2﹣2cosA，即====tan，∴sinA==，又△ABC的外接圆的周长为17π，即外接圆直径为17，根据正弦定理=2R，可得a=2RsinA=17×=8，∵bc≤，当且仅当b=c时取等号，即bc达到最大值，则此时面积S的最大值为a2﹣（b﹣c）2=a2=64．故答案为：64三、解答题：（共70分，在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分）17．（10分）已知{a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，（1）求通项a n（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和S n．【解答】解：（1）由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=2﹣2（n﹣1）=4﹣2n；（2）{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，可得b n﹣a n=1•3n﹣1，即为b n=4﹣2n+3n﹣1；前n项和S n=（2+1）+（0+3）+…+（4﹣2n+3n﹣1）=（2+0+…+4﹣2n）+（1+3+…+3n﹣1）=•（2+4﹣2n）n+=3n﹣n2+．18．（12分）解关于x的不等式＞0（a＞0）【解答】解：＞0等价于（x﹣1）（x﹣）＞0，当a＞2时，解集为{x|x＜，或x＞1}，当a=2时，解集为{x|x≠1}，当0＜a＜2时，解集为{x|x＞，或x＜1}．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由已知和正弦定理得：（a+c）（a﹣c）=b（a﹣b）…（2分）故a2﹣c2=ab﹣b2，故a2+b2﹣c2=ab，故，…（4分）故C=60°…（6分）（2）由（1）中a2﹣c2=ab﹣b2，得25﹣49=5b﹣b2，得b2﹣5b﹣24=0，解得b=8或b=﹣3（舍），故b=8．…（9分）所以，△ABC的面积为：．…（12分）20．（12分）重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍，若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为p=（0≤x≤8），若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【解答】解：（1）根据题意得100=，所以k=800，故f（x）=+5+6x，0≤x≤8．（6分）（2）因为f（x）=+2（3x+5）﹣5≥80﹣5，当且仅当=2（3x+5）即x=5时f（x）min=75．所以宿舍应建在离厂5 km处，可使总费用f（x）最小，最小为75万元．（12分）21．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3…（1）证明：数列{﹣1}是等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t成等差数列，且a m﹣1，a s﹣1，a t﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵a n=，∴，+1∴，又a1=，∴，∴数列{﹣1}是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即，∴．假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有（3s+1）2=（3m+1）（3t+1），即32s+2×3s+1=3m+t+3m+3t+1，∵2s=m+t，∴得3m+3t=2×3s．但是，当且仅当m=t时等号成立，这与m，s，t互不相等矛盾，∴不存在互不相等的正整数m，s，t满足题给的条件．22．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；＞a n；（2）求证：a n+1（3）求证：．【解答】解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；=f（a n）=a n2+a n，（2）∵a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1∴a n＞a n；+1（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，＞a n，又n≥2时，∴a n+1∴a n≥a3＞1，+1∴，∴．。
2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷(一)(含解析)
第1页 共12页 ◎ 第2页 共12页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷(一）考试范围：必修1—5；考试时间：100分钟第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（本大题共17个小题，每小题3分，共51分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂）.1．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（ ）A ．4B ．34C ．9D ．182．若0ab >，则下列四个等式： ①()lg lg lg ab a b =+ ②lg lg lg a a b b ⎛⎫=-⎪⎝⎭③21lg lg 2a a b b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④()1lg log 10ab ab =中正确等式的符号是( ）A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③3．如图为()()()πϕωϕω<>>+=,0,0sin A x A x f 的图象的一段,则其解析式为（ ）A ．y=3sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．y=3sin 223x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．y=3sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． y=3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知集合A ＝｛0，1,2，3，4，5｝，B ＝｛1,3，6，9},C ＝{3，7，8｝，则（A ∩B ）∪C 等于 ( )A ．｛0,1，2，6，8}B ．｛3,7,8｝C ．｛1,3，7，8}D ．｛1,3，6，7，8｝5．数列－1,43,－95,167，…的一个通项公式是( ) A ．2(1)21nn n a n =-⋅- B ．(1)(1)21n n n n a n +=-⋅-C ．2(1)21nn n a n =-⋅+ D ．22(1)21n n n n a n -=-⋅- 6．下列表示中，正确的是 ( ）A 。
数学_2014年陕西省某校、交大附中、师大附中、西安中学)五校联考高考数学三模试卷(理科)(含答案)
2014年陕西省某校、交大附中、师大附中、西安中学）五校联考高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若复数m(m −2)+(m 2−3m +2)i 是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A 0或2 B 2 C 0 D 1或22. 已知集合A ={x||x +1|<1}，B ={x|(12)x −2≥0}，则A ∩∁R B =( )A (−2, −1)B (−2, −1]C (−1, 0)D [−1, 0)3. 等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39，a 3+a 6+a 9=27，则数列{a n }前9项的和S 9等于（ ）A 99B 66C 297D 1444. 圆：x 2+y 2−2x −2y +1＝0上的点到直线x −y ＝2的距离最大值是（ ） A 2 B 1+√2 C 1+√22D 1+2√25. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A 45B 50C 55D 606. 如图所给的程序运行结果为S ＝35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A k ＝7B k ≤6C k <6D k >6 7. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x”；②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的必要不充分条件；③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1, 2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)min 在x ∈[1, 2]上恒成立； ④“平面向量a →与b →的夹角是钝角”的充分必要条件是“a →⋅b →<0”． A 1 B 2 C 3 D 48. 已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →⋅OB →=−12．∠C =π3，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自△ABC 内的概率恰为3√34π，则△ABC 的形状为的形状为（ ）A 直角三角形B 等边三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形9. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30∘的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A √6 B √3 C √4 D √3310. 定义域为R 的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，当x ∈[0, 2)时，f(x)={x 2−x ，x ∈[0,1)−(12)|x−32|，x ∈[1,2)则当x ∈[−4, −2)时，函数f(x)≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A 2≤t ≤3B 1≤t ≤3C 1≤t ≤4D 2≤t ≤4二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分） 11. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．12. 若目标函数z =kx +2y 在约束条件{2x −y ≤1，x +y ≥2，y −x ≤2下当且仅在点(1，1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是________．13. 函数y =sinx(3sinx +4cosx)(x ∈R)的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(M, T)为________． 14. 观察下列等式：13+23=1；73+83+103+113=12； 163+173+193+203+223+233=39；…则当n <m 且m ，n ∈N 表示最后结果．3n+13+3n+23+...+3m−23+3m−13=________（最后结果用m ，n 表示最后结果）．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）（不等式选讲选做题）15. 己知x，y∈(0, +∞)，若√x+3√y<k√x+y恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是________．（几何证明选讲选做题）16. 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA 绕点O逆时针旋转60∘到OD，则PD的长为________．（坐标系与参数方程选做题）17. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−π)−1=0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy中，3则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）)+2cos2x−1．18. 已知函数f(x)=sin(2x−π6（1）求函数f(x)的单调增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f(A)=1，2求△ABC的面积．19. 为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率．20. 设数列{a n}的前n项和为Sn，且S n=4a n−p，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n}满足b n+1=b n+a n(n∈N∗)，b1=2，求数列{b n}的通项公式．21. 如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，且AB=AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点．（1）求证：DE // 平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF；（3）设AB=a，求三棱锥D−AEF的体积．22. 已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2, t)(t>0)在直线x=a2（ac为长半轴，c为半焦距）上．(1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM为直径且被直线3x−4y−5=0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．23. 已知函数f(x)=−x3+ax2+bx+c在(−∞, 0)上是减函数，在(0, 1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．（1）求b的值；（2）求f(2)的取值范围；（3）设g(x)=x−1，且f(x)>g(x)的解集为(−∞, 1)，求实数a的取值范围．2014年陕西省某校、交大附中、师大附中、西安中学）五校联考高考数学三模试卷（理科）答案1. C2. C3. A4. B5. B6. D7. B8. B9. B10. B11. 4π312. (−4，2)13. (4, π)14. m2−n215. k >√10 16. √7 17. (1,√3)18. 解：（1）因为f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1=√32sin2x −12cos2x +cos2x=√32sin2x +12cos2x =sin(2x +π6)所以函数f(x)的单调递增区间是〔kπ−π3，kπ+π6〕(k ∈Z) （2）因为f(A)=12，所以sin(2A +π6)=12又0<A <π所以π6<2A +π6<13π6从而2A +π6=5π6故A =π3在△ABC 中，∵ a =1，b +c =2，A =π3∴ 1=b 2+c 2−2bccosA ，即1=4−3bc ． 故bc =1从而S △ABC =12bcsinA =√3419. 该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为715．20. 证明：（1）证：因为S n =4a n −p(n ∈N ∗)，则S n−1=4a n−1−p(n ∈N ∗, n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n =S n −S n−1=4a n −4a n−1，整理得a n =43a n−1．由S n =4a n −p ，令n =1，得a 1=4a 1−p ，解得a 1=p3．所以a n 是首项为p 3，公比为43的等比数列． （2）解：因为a 1=1，则a n =(43)n−1，由b n+1=a n +b n (n =1, 2,)，得b n+1−b n =(43)n−1，当n ≥2时，由累加得b n =b 1+(b 2−b ′1)+(b 3−b 2)+...+(b n −b n−1)=2+1−(43)n−11−43=3(43)n−1−1，当n =1时，上式也成立．21. 解：（1）取AB 中点O ，连接CO ，DO∵ DO // AA 1，DO =12AA 1，∴ DO // CE ，DO =CE ，∴ 平行四边形DOCE ，∴ DE // CO ，DE ⊄平面ABC ，CO ⊂平面ABC ，∴ DE // 平面ABC ．（2）等腰直角三角形△ABC 中F 为斜边的中点，∴ AF ⊥BC又∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，∴ 面ABC ⊥面BB 1C 1C ，∴ AF ⊥面C 1B ，∴ AF ⊥B 1F 设AB =AA 1=1，∴ B 1F =√62，EF =√32，B 1E =32，∴ B 1F 2+EF 2=B 1E 2，∴ B 1F ⊥EF又AF ∩EF =F ，∴ B 1F ⊥面AEF ．（3）由于点D 是线段AB 1的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点B 1到平面AEF 距离的12．B 1F =(√22a)=√62a ，所以三棱锥D −AEF 的高为√64a ；在Rt △AEF 中，EF =√32a ，AF =√22a ，所以三棱锥D −AEF 的底面面积为√68a 2，故三棱锥D −AEF 的体积为13×√68a 2×√64a =116a 3．22. 解：(1)又由点M 在准线上，得a 2c =2， 故1+c 2c=2，∴ c =1，从而a =√2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1；(2)以OM 为直径的圆的方程为x(x −2)+y(y −t)=0, 即(x −1)2+(y −t 2)2=t 24+1.其圆心为(1,t 2)，半径r =√t 24+1,因为以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2, 所以圆心到直线3x −4y −5=0的距离d =√r 2−1=t2, 所以|3−2t−5|5=t2，解得t =4,所求圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=5.(3)设N(x 0, y 0)，则FN →=(x 0−1,y 0)，OM →=(2,t)， MN →=(x 0−2,y 0−t)，ON →=(x 0,y 0)，∵ FN →⊥OM →，∴ 2(x 0−1)+ty 0=0，∴ 2x 0+ty 0=2， 又∵ MN →⊥ON →，∴ x 0(x 0−2)+y 0(y 0−t)=0，∴ x 02+y 02=2x 0+ty 0=2， 所以|ON →|=√x 02+y 02=√2为定值．23. 解：（1）∵ f(x)=−x 3+ax 2+bx +c ，∴ f′(x)=−3x 2+2ax +b 、 ∵ f(x)在(−∞, 0)上是减函数，在(0, 1)上是增函数，∴ 当x =0时，f(x)取到极小值，即f′(0)=0、∴ b =0，经检验符合题意； （2）由①知，f(x)=−x 3+ax 2+c ，∵ 1是函数f(x)的一个零点，即f(1)=0，∴ c =1−a 、 ∵ f′(x)=−3x 2+2ax =0的两个根分别为x 1=0，x 2=2a 3，∵ f(x)在(0, 1)上是增函数，且函数f(x)在R 上有三个零点， ∴ x 2=2a 3>1，即a >32、∴ f(2)=−8+4a +(1−a)=3a −7>−52、 故f(2)的取值范围为(−52, +∞)、（3）解法1：由（2）知f(x)=−x 3+ax 2+1−a ，且a >32、∵ 1是函数f(x)的一个零点，∴ f(1)=0， ∵ g(x)=x −1，∴ g(1)=0，∴ 点(1, 0)是函数f(x)和函数g(x)的图象的一个交点、结合函数f(x)和函数g(x)的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f(x)和函数g(x)的图象只有一个交点(1, 0)时，f(x)>g(x)的解集为(−∞, 1)、 即方程组{y =x −1y =−x3+ax2+1−a(1)只有一个解{x =1y =0、由−x 3+ax 2+1−a =x −1，得(x 3−1)−a(x 2−1)+(x −1)=0、即(x −1)(x 2+x +1)−a(x −1)(x +1)+(x −1)=0、 即(x −1)[x 2+(1−a)x +(2−a)]=0、 ∴ x =1或x 2+(1−a)x +(2−a)=0、 由方程x 2+(1−a)x +(2−a)=0，②得△=(1−a)2−4(2−a)=a 2+2a −7、∵ a >32，当△<0，即a 2+2a −7<0，解得32<a <2√2−1 此时方程②无实数解，方程组①只有一个解{x =1y =0、所以32<a <2√2−1时，f(x)>g(x)的解集为(−∞, 1)、 （3）解法2：由（2）知f(x)=−x 3+ax 2+1−a ，且a >32、∵ 1是函数f(x)的一个零点∴ f(x)=−(x−1)[x2+(1−a)x+1−a]又f(x)>g(x)的解集为(−∞, 1)，∴ f(x)−g(x)=−(x−1)[x2+(1−a)x+2−a]>0解集为(−∞, 1)∴ x2+(1−a)x+2−a>0恒成立∴ △=(1−a)2−4×1×(2−a)<0∴ a2+2a−7<0，∴ (a+1)2<8又∵ a>32∴32<a<2√2−1∴ a的取值范围为(32,2√2−1)。
重庆市七校联考2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试卷
2014—2015学年度第二学期期末七校联考高一数学试题（理科）命题学校：重庆市合川中学 命题人：丁德志审题人：朱光玖本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 满分 分，考试时间 分钟注意事项：．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上 ．答选择题时，必须使用 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑．答非选择题时，必须使用 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．考试结束后，将答题卷交回第Ⅰ卷（选择题，共 分）一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
．若0a b <<，则（ ） ．22a ab b <<．ac bc < ．11a b > ．22a b c c> ．一个人打靶时连续射击三次，与事件 至多有两次中靶 互斥的事件是（ ） ．至少有两次中靶．三次都中靶．只有一次中靶 ．三次都不中靶 ．不等式422x x >--的解集是（ ） ．(,0)(2,4)-∞ ．[0,2)[4,)+∞．[2,4) ．(,2](4,)-∞-+∞．如图，执行其程序框图，则输出 的值等于（ ） ． ． ．．．在某样本的频率分布直方图中，共有 个小长方形，若第三个小长方形的面积为其他 个小长方形的面积和的14，且样本容 量为 ，则第三组数据的频数为（ ） ．． ．．．某中学从文、理科实验班中各选 名同学去参加复旦大学自主招生考试，其数学成绩茎叶图如图，其中文科生的成绩的 众数为 ，理科生成绩平均数为 ，则 的值为（ ）． ． ． ．．由 、 、 、 、 、 组成没有重复数字的三位偶数有（ ） ． 个 ． 个． 个． 个从其中选择一种种子进行量产，最好选择（ ）． 种子 ． 种子 ． 种子． 种子．在 中，角 、 、 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin cos a b B B ==+=，则角 的大小为（ ）．．． ．．连续抛掷两次骰子，所得的点数之和能被 整除的概率为（ ） ．16 ．13．1136 ．56．对于实数x 和y ，定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若对任意2x >，不等式()2x m x m -⊗≤+都成立，则实数 的取值范围是（ ） ．[1,7]- ．(,3]-∞．(,7]-∞ ．(,1][7,)-∞-+∞．设数列{}n a 满足10a =，且1121,n n n n a a a b ++=+=12n n S b b b =+++，则100S =（ ）．1 91099100110二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分，把答案填在题中横线上。
2014-2015学年上海市七宝中学高二(上)期末数学试卷
2014-2015学年上海市七宝中学高二（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共12小题，共36.0分)1.抛物线y2+8x=0的焦点坐标为______ ．【答案】（-2，0）【解析】解：整理抛物线方程得y2=-8x，∴焦点在x轴，p=4，∴焦点坐标为（-2，0）故答案为（-2，0）．先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．2.双曲线3x2-y2=8的两条渐近线所成的最小正角为______ ．【答案】60°【解析】解：双曲线3x2-y2=8的两条渐近线方程为y=±x，则两条渐近线所成的锐角最小，且正切为||=，则有所求锐角为60°．故答案为：60°．求出双曲线的渐近线方程，再由两直线的夹角公式，计算即可得到所求锐角，即为最小正角．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查两直线的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．3.直线关于直线x=1对称的直线方程是______ ．【答案】x+2y-2=0【解析】解：直线关于直线x=1对称，可知对称直线的斜率为，且过（2，0）点，所求直线方程为：x+2y-2=0．故答案为：x+2y-2=0．本题求对称直线方程，先求斜率，再求对称直线方程上的一点，然后求得答案．考查对称知识，求直线方程，方法比较多；如采用相关点法、到角公式等方法．4.点A（1，3），B（5，-2），点P在x轴上使|AP|-|BP|最大，则P的坐标为______ ．【答案】（13，0）解：点B关于x轴的对称点为C，C（5，2），所以直线AC的方程为：y-3=-（x-1），即4y+x-13=0．令y=0，可得x=13，所以P（13，0）．故答案为：（13，0）．求出B关于x轴的对称点C，然后求出AC的直线方程，然后求出直线与x轴的交点，就是P的坐标．本题考查点关于直线对称点的求法，考查分析问题与解答问题的能力．5.已知焦点为（0，3）的双曲线方程是8kx2-ky2=8，则k= ______ ．【答案】-1【解析】解：双曲线8kx2-ky2=8化为-=1，∵双曲线的一个焦点为（0，3），∴--=32，解得k=-1．故答案为：-1．双曲线8kx2-ky2=8化为-=1，由于双曲线的一个焦点为（0，3），可得--=32，解出即可．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查运算能力，属于基础题．6.若直线x+2y+m=0，按向量，平移后与圆C：x2+y2+2x-4y=0相切，则实数m的值为______ ．【答案】-13或-3【解析】解：直线x+2y+m=0按向量，平移后变为（x+1）+2（y+2）+m=0，即x+2y+m+5=0．圆C：x2+y2+2x-4y=0，即（x+1）2+（y-2）2=5，表示以C（-1，2）为圆心、半径等于的圆．再根据平移后的直线和圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即=，解得m=-3或m=-13．故答案为：-13或-3．由条件根据函数的图象的平移规律可得平移后的直线方程为x+2y+m+5=0，再根据圆的切线性质求得m的值．本题主要考查函数的图象的平移规律，圆的切线性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．7.已知复数z=，则|z|= ______ ．1【解析】解：化简可得z=====+i，∴|z|==1故答案为：1．由复数代数形式的运算法则化简复数z，由模长公式可得．本题考查复数的求模，涉及复数的化简运算，属基础题．8.在抛物线y2=4x上有三点A，B，C，△ABC的重心是抛物线的焦点F，则= ______ ．【答案】6【解析】解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）∵点F是△ABC重心，∴x1+x2+x3=3，∵|FA|=x1-（-1）=x1+1，|FB|=x2-（-1）=x2+1，|FC|=x3-（-1）=x3+1，∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6．故答案为：6．根据点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．本题重点考查抛物线的定义、方程和简单性质，考查学生的计算能力，解题的关键是判断出x1+x2+x3=3．9.关于x的方程x2+x+p=0（p∈R）至少存在一个根x0，若|x0|=1，则p= ______ ．【答案】-2或0或1【解析】解：当x0∈R时，由|x0|=1，得x0=±1，若x0=1，则1+1+p=0，即p=-2，此时方程x2+x+p=0化为方程x2+x-2=0，有两实数根；若x0=-1，则（-1）2-1+p=0，即p=0，此时方程x2+x+p=0化为方程x2+x=0，有两实数根；当x0为虚数时，若关于x的方程x2+x+p=0（p∈R）至少存在一个根x0，且|x0|=1，则x0为1的一个立方虚根，由此可知p=1．故答案为：-2或0或1．分x0为实数和虚数两种情况求解，当x0为实数时，直接代入球p，当x0为虚数时，由|x0|=1，借助于1的立方虚根求得p值．本题考查实系数一元二次方程根的问题，考查了代入法，是基础题．10.已知两点M（0，-5），N（4，3），给出下列曲线方程：①x+2y+1=0；②（x+1）2+（y+1）2=2；③；④．则曲线上存在点P满足|PM|=|PN|的方程的序号是______ ．【答案】②③【解析】解：问题可转化为线段MN的垂直平分线与所列曲线存在交点的问题．由x+2y+1=0与平行，可得不存在点P满足|PM|=|PN|；由与（x+1）2+（y+1）2=2联立，可得=0，方程有解，可知存在点P 满足|PM|=|PN|；由与联立，可得=1，方程有解，可知存在点P满足|PM|=|PN|；由与联立，可得0=1，不成立，可知不存在点P满足|PM|=|PN|；故答案为：②③．求出线段MN的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用方程有、无解，从而判断给出的曲线上是否存在点P，使得|PM|=|PN|．本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用方程有、无解判断两条曲线的位置关系，是中档题．11.若动点P在直线l1：x-y-2=0上，动点Q在直线l2：x-y-6=0上，设线段PQ的中点为M（x1，y1），且（x1-2）2+（y1+2）2≤8，则x12+y12的取值范围是______ ．【答案】[8，16]【解析】解：因为动点P在直线l1：x-y-2=0上，动点Q在直线l2：x-y-6=0上，设线段PQ的中点为M（x1，y1），所以M在直线x-y-4=0，又M满足（x1-2）2+（y1+2）2≤8，所以M的轨迹是直线x-y-4=0与圆及内部的公共部分，M是一条线段，如图：的几何意义是坐标原点到线段x-y-4=0（0≤x≤4）距离的平方，因为圆的图形过原点，所以的最小值为：8，最大值为：16，故的取值范围是[8，16]．故答案为：[8，16]．由题意求出M所在的直线方程与圆及内部的公共部分，M是一条线段，画出图形，通过的几何意义，求出它的范围即可．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，M表示的直线段以及表达式的几何意义是解题的关键，考查转化思想计算能力．12.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值K，那么甲的面积是乙的面积的K倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD、乙：小矩形EFCD）、②（甲：大直角三角形ABC乙：小直角三角形DBC）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是+=1（a＞b＞0）与x2+y2=a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______ ．【答案】πab【解析】解：由题意，用垂直于x轴的直线截圆与椭圆，得到的弦长分别为，m=2，n=2，故n：m=，故S椭圆：S圆=S：πa2=，故S=πab．故答案为：πab．由题意，用垂直于x轴的直线截圆与椭圆，得到的弦长分别为，m=2，n=2，从而解得．本题考查了合情推理的应用，同时考查了学生对新定义的接受能力，属于基础题．三、解答题(本大题共5小题，共48.0分)17.△ABC中，已知点A（3，-1）和点B（10，5），∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0，求BC边所在直线的方程．【答案】解：设A关于直线x-4y+10=0的对称点A′（x，y）则可得-4×+10=0，且•=-1，由对称性知A′在BC边所在直线上，∴直线BC的斜率k==-故直线BC的点斜式方程为：y-5=-（x-10）化为一般式可得：2x+9y-65=0【解析】由题意可得关于直线x-4y+10=0的对称点A′（x，y）在直线BC上，求A′的坐标可得直线BC的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的方程的求解，涉及对称点的求解，属基础题．18.已知：以点，，为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．【答案】解：（1）∵圆C过原点O，∴，设圆C的方程是，令x=0，得，，令y=0，得x1=0，x2=2t∴，即：△OAB的面积为定值；（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN，∵k MN=-2，∴，∴直线OC的方程是，∴，解得：t=2或t=-2，当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=-2x+4的距离，圆C与直线y=-2x+4相交于两点，当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），，此时C到直线y=-2x+4的距离，圆C与直线y=-2x+4不相交，∴t=-2不符合题意舍去，∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．【解析】（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC的方程，解出t的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．19.设P，Q是复平面上的点集，P={z||z-3i|=4}，Q={ω|ω=2iz，z∈P}．（1）P，Q分别表示什么曲线（指出形状、位置、大小）？（2）设z1∈P，z2∈Q，求|z1-z2|的最大值与最小值．【答案】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则由|z-3i|=4，得，即x2+（y-3）2=16．P表示以（0，3）为圆心，4为半径的圆；设ω=x1+y1i（x1，y1∈R），z=x0+y0i∈p，（x0，y0∈R），且ω=2iz，则，即，代入，得，故Q表示以（-6，0）为圆心，8为半径的圆．（2）|z1-z2|表示分别在圆P，Q上的两个动点间的距离．又圆心距离＜＜，∴|z1-z2|的最大值为，最小值为0．【解析】（1）设出复数z，代入||z-3i|=4可得P所表示的曲线，设出复数ω，z，由ω=2iz可得两复数实部和虚部的关系，再代入P可得Q所表示的曲线；（2）由两圆的位置关系求得两圆上动点距离的最大值与最小值．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了两圆间的位置关系，是中档题．20.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x A，y A），则，，因为F的坐标为（1，0），所以，，由，得（x-x A，y-y A）=-2（x A-1，y A）．即，解得代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x．（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），则，解得．若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（，）．【解析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A 点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的端点分别为B1，B2，且•=-a．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由题意不妨设B1（0，-b），B2（0，b），则，，，．∵=-a，∴1-b2=-a，又∵a2-b2=1，解得a=2，．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．联立得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．∴弦MN的中点P，．∴|MN|===．直线PD的方程为．∴|DP|=．∴===．又∵k2+1＞1，∴＜＜，∴＜＜．∴的取值范围是，．【解析】（Ⅰ）利用数量积即可得到1-b2=-a，又a2-b2=1，即可解得a、b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段MN的中点P的坐标，利用弦长公式即可得到|MN|，利用点斜式即可得到线段MN的垂直平分线DP的方程，利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到|DP|，进而得出的关于斜率k的表达式，即可得到其取值范围．熟练掌握直线与椭圆的相交问题转化为一元二次方程根与系数的关系、线段MN的中点坐标公式、弦长公式、点斜式、线段的垂直平分线的方程、两点间的距离公式或点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键..二、选择题(本大题共4小题，共16.0分)13.已知点P1（1，1），P2（5，4）到直线l的距离等于，则这样的直线l共有（）条．A.2B.3C.4D.无数条【答案】B【解析】解：∵点P1（1，1），P2（5，4），∴|P1P2|==，若点P1（1，1），P2（5，4）到直线l的距离等于，∴当l是线段P1P2的中垂线时，满足条件，此时满足条件的直线只有一条，若P1（1，1），P2（5，4）在直线的l的同侧，则满足l∥P1P2，则到直线l的距离等于的直线有2条，故选：B根据点P1（1，1），P2（5，4）在直线的l的同侧或两侧进行判断即可．本题主要考查点到直线距离相等的应用，讨论点与直线的位置关系是解决本题的关键．14.设（n∈N），则集合{x|x=f（n）}中元素个数是（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C【解析】解：∵==i，∴==-i，根据虚数单位i的幂运算性质，=i n+（-i）n=，，，，或，，，，故集合{x|x=f（n）}中元素个数是3个，故选：C．依据两个复数代数形式的除法法则，化简：和，得到f（n）=i n+（-i）n，分n=4k，n=4k+1，n=4k+2，n=4k+3这四种情况分别求出f（n）的值，即得结论本题考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的难点．15.设M（x0，y0）为抛物线C：x2=4y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A.（0，1）B.[0，1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）【答案】C【解析】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），准线方程为：y=-1，设F到准线的距离d1，M（x0，y0）到准线的距离d2，则d1=2，d2=y0+1=|FM|（抛物线定义），依题意得：|FM|＞d1=2，即y0+1＞2，解得：y0＞1．∴y0的取值范围是（1，+∞）．故选C．由条件求得抛物线的焦点和准线方程，由直线和圆相交的条件可得|FM|＞2，由抛物线的定义|FM|可由y0表达，由此可求y0的取值范围．本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用．抛物线上的点到焦点的距离往往转化为到准线的距离处理．16.在平面直角坐标系中，若x与y都是整数，就称（x，y）为整点，下列命题中正确的是（）②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．A.①⑤B.②④C.④⑤D.①③⑤【答案】D【解析】解：①直线y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，∴命题①正确；②当k=，b=-时，直线y=x-过整点（1，0），∴命题②错误；③设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1-y2=k（x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，∴命题③正确；④当直线y=kx+b经过无穷多个整点时，k、b都是有理数，如y=x+1，∴充分性成立；反之，当k、b都是有理数时，直线y=kx+b经过无穷多个整点，不一定成立，如y=x+，∴必要性不成立；∴命题④错误；⑤直线y=x只过一个整点（0，0），∴命题⑤正确．综上，正确命题有3个，序号是①③⑤．故选：D．①举例子说明命题是真命题；②举反例说明命题是假命题；③取直线l的两个不同整点，设方程为y=kx，把两整点的坐标代入l的方程，两式相减得到两整点的横、纵坐标之差的那个点也为整点且在l上，由此得到直线l经过无穷多个整点，判定命题为真；④利用充分必要条件判断即可；⑤举例子说明命题为真命题．本题考查了判定命题真假的问题以及对题中新定义的理解能力，是中档题．高中数学试卷第11页，共11页。
【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题3 三角函数、解三角形、平面向量第3讲 平面向量(理卷B)
专题3 三角函数、解三角形、平面向量第3讲 平面向量(B 卷)一、选择题（45分）1．（2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·2）已知向量)4,2(=，)1,1(-=，则=-2（ ）A ．（3，7）B ．（3，9）C ．（5，7）D ．（5，9）2．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·3）已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（） A ．3-B ．3-C ．3D ．33．(2015·北京市西城区高三二模试卷·2)已知平面向量，则实数k ＝（ ）A ．4B ．－4C ．8D ．－84.(2015·大连市高三第二次模拟考试·5)在△ABC 中，D 为BC 边的中点，若(2,0)BC =，(1,4)AC =,则AD =（ ）（A ）(2,4)--（B ）(0,4)-（C ）(2,4)（D ）(0,4)5．(2015·丰台区学期统一练习二·6）平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC 的中点，那么AD =（ ）(A)(B) (C) 3 (D) 66. (2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·10)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足0)1(=+++OC OB OA λλ，若OAB ∆的面积与OAC ∆ 的面积比值为3，则λ的值为（ ）A.21 B. 1 C.2 D. 37.(2015·济宁市5月高考模拟考试·9)8.（2015·陕西省咸阳市高考模拟考试（三）·5）9．(江西省九江市2015届高三第三次模拟考试·9)如图，已知ABC △中，4AB AC ==，2BAC π∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB mAC =+，且点M 在ACD △的内部（不含边界），则AM BM 的取值范围是（ ）A ．(2,4)-B ． (2,6)-C ．(0,4)D ． (0,6）二、非选择题（55分）10．（2015·厦门市高三适应性考试·14）如图，在ABC △中，0AD BC ⋅=,3BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N.若(),0,0AM AB AN AC λμλμ==>>，则μλ2+的最小值是 ．C11．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·17)在平面上,1212,1AB AB OB OB ⊥==, 12AP AB AB =+．若13OP <,则OA 的取值范围是__ _．12. （2015·青岛市高三自主诊断试题·11）已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ；13．（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·13）已知G 为△ABC 的重心，令=，=，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且m =，n =，则nm 11+=__________． 14．(2015·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题·15)已知向量、的夹角为 60，且2||=，1||=，则与2+的夹角等于 ．15．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·14） 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足2131+=，则=⋅MB MA ．16、（2015·海南省高考模拟测试题·13）在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______ 17.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·14）18. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·14)设关于,x y 的不等式组340,(1)(36)0x y x y -≥⎧⎨-+-≤⎩表示的平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点. OA OM OM ⋅=λ，则λ的取值范围是 .19．(2015·日照市高三校际联合5月检测·14)在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y r r +=>交于A,B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB r =+=uuu r uu r uu u r，则______．20.(2015·北京市东城区综合练习二·13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ．专题3 三角函数、解三角形、平面向量 第3讲 平面向量(B 卷)答案与解析1.【答案】C【命题立意】本题考查的是平面向量的坐标运算．【解析】()()()∵a =2,4,b =-1,1,∴2a -b =5,7，故选C ． 2.【答案】A【命题立意】本题旨在考查向量的数量积的定义和计算公式． 【解析】向量a 在b 上的投影为026cos 321a b a bθ⋅--====-+，故选:A ． 3.【答案】 D【命题立意】本题旨在考查向量的坐标运算及两向量平行的条件。
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七宝中学 2014-2015学年度第二学期高考模拟考试
高三年级 数学(理科)试卷2015.4 (测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）。把答案直接填写在答题卷的相应位置上。 1、已知集合0,1,Aa，0,3,3Ba，若0,3AB，则AB_____________。
2、复数2aii在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a________。 3、在等比数列na中，18a，435aaa，则此数列前n项和为_________。 4、已知偶函数()fx在(0,)上为减函数， 且(2)0f，则不等式
()()0fxfxx的解集为_____________。
5、如图程序框图，若实数a的值为5，则输出k的值为_____。 6、在极坐标系中，圆2与直线cossin2交于,AB两
点，O为极点，则OAOB_________。 7、下图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为__________。
8、若二项式naxx的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，且第四项的系数与第六项的系数之比为1:4，则其常数项为___________。 9、某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元。 用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品。则获得利润最大时生产产品的档次是________。 10、从甲、乙等五人中任选三人排成一排，则甲不在排头、乙不在排尾的概率为______。 11、函数)20)(sin()(，AxAxf其中的图像如图所示，为了得到xxg2sin)(的图象，则需将)(xf的图象向右最少平移
个长度单位。
2nn 31nn
开始 n=a，k=0 n为偶数
n=1 输出k 结束
k=k+1 是 否 是 否 第5题图 12、过点22,0且方向向量为,1k的直线与双曲线22184xy仅有一个交点，则实数k的值为____________。 13、某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100。则该校学生上学所需时间的均值
估计为__________。（精确到1分钟） 14、已知全集为U，PU，定义集合P的特征函数为
1,,0,.PUxPfxxP
ð
，对于AU， BU，给出下列四个结论：
① 对任意xU，有1UAAfxfxð； ②对任意xU，若AB，则ABfxfx； ③对任意xU，有ABABfxfxfxI； ④对任意xU，有ABABfxfxfx。 其中，正确结论的序号是__________。 二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）。每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上。 15、已知函数21fxx，对于任意正数a，12xxa是12fxfxa成立的 ( ) A）充分非必要条件； B）必要非充分条件； C）充要条件； D）既不充分也不必要条件。 16、函数2()3log()xfxx的零点所在区间是 ( )
A)5,22； B）2,1； C）1,2； D）52,2
17、如果函数1yx的图像与方程221xy的曲线恰好有两个不同的公共点，则 实数的取值范围是 （ ） A）,10,1 B）1,0 C）1,1 D）1,01, 18、设等差数列na的前n项和为nS，已知3771201211aa，
频率/组距时间x0.0030.0065
0.025
10080604020O 3200620061201211aa，则下列结论正确的是 （ ）
A）20122012S，20127aa B）20122012S，20127aa C）20122012S，20127aa D）20122012S，20127aa 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分。 19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）
在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,且3cos4B。
（1） 求2sin2cos2ACB的值； （2）若3b，求ABC面积的最大值。
20、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题7分，满分13分） 已知向量23,1,,axbxy，（其中实数x和y不同时为零），当2x时，有ab，当2x时，//ab。
（1）求函数关系式yfx； （2）若对任意,22,x，都有mfx恒成立，求实数m的取值范围。
21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题7分，满分13分） 如图所示，在三棱锥ABCP中，PD平面ABC，且垂足D在棱AC上，6ABBC， 1AD，3CD，3PD。
（1）证明PBC为直角三角形； （2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值。
B
P
A CD 22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分） 已知椭圆2214yx的左，右两个顶点分别为A、B，曲线C是以A、B两点为顶点，焦距为25的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T。 （1）求曲线C的方程； （2）设P、T两点的横坐标分别为1x、2x，求证12xx为一定值；
（3）设TAB与POB（其中O为坐标原点）的面积分别为1S与2S，且15PAPBuuruur，求2212SS的取值范围。
23、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分） 实数列0123,,,aaaa，由下述等式定义：123,0,1,2,3,.nnnaan （1）若0a为常数，求123,,aaa的值；
（2）令3nnnab，求数列nb（nN）的通项公式（用0a、n来表示）； （3）是否存在实数0a，使得数列na（nN）是单调递增数列？若存在，求出0a的值；若不存在，说明理由。
高三年级 数学(理科)参考答案 一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）
1、0,1,3,9 2、12 3、116(1)2n 4、,20,2 5、5 6、0 7、323 8、1120 9、9 10、1320 11、6 12、0或2
14、①②③ 13、54 二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 15、B 16、B 17、C 18、A
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分。 19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）
解：（I）因为3cos4B，所以7sin4B. -------------------------1’
又22πsin2cos2sincoscos22ACBBBB 12sincos(1cos)2BBB=73244+18=1378. ----------------------6’ （II）由已知得2223cos24acbBac， ------------------------7’ 又因为3b， 所以22332acac. - -----------------------8’ 又因为223322acacac， 所以6ac，当且仅当6ac时，ac取得最大值. -------------------11’ 此时11737sin62244ABCSacB.
所以ABC的面积的最大值为374. -------------------------12’ 20、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题7分，满分13分） 解：（1）当2x时，由ab可得：230abxxy-------------------------1’ 33yxx（2x且0x）---------------------------------------------------3’
当2x时，由//ab可得：23xyx---------------------------------------5’
3
23220223xxxxyfxxxxx且
或-----------------------------------6’
（2）由题意知23xmfxx当(,2]2,x恒成立 mfx在(,2]2,x的最大值，-----------------------------------7’
当,2x时，203xfxx，而当2,x时，0fx 23xfxx
的最大值必在,2上取到--------------------------------------8’