第五章 刚体力学基础
第五章 刚体力学2
m h
i i
x
i
m gh c
m
（由质心定义）
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的
全部质量都集中在质心时所具有的势能。
4、机械能守恒
对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只 有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。
1 1 2 2 mgh c1 J1 mgh c 2 J 2 2 2
m
m
ω
r2
r1
如：一个人站在有光滑固定转轴的转动 平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该 人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中, 人、哑铃与转动平台组成的系统的
（A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒; （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒. [ C ]
dL 在M 中， 若M 0, 则L 常量. dt 即( J )1 ( J ) 2
M=0的原因，可能 1）F＝0（不受外力）；
对定轴转动均没有 2）外力作用于转轴上; 作用，则刚体对此 3）外力作用线通过转轴； 轴的角动量守恒。
4）外力作用线与转轴平行。
演示 茹可夫斯基凳 花样滑冰 跳水 体操
盘状星系
角动量守恒的结果
例2：有一半径为R的水平圆转台，可绕通过 其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为 J ， 开始时转台以匀角速度0转动，此时有一质量 为m的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑 去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为
J 0 2 J mR
例3、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的
① 1 5rad/s t1 10s
②
t2 90S
移去恒力矩后， 0 — 90s内有 :
M r t2 0 J1
第05章刚体力学基础学习知识补充
第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A 端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小：(A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中L5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v < (C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
大学物理 第五章.
时，
刚体定轴转动的 角动量守恒定律
35
§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
例5.6：如图，质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴
转动，阻力忽略不计，质量为m的人站在台的边缘，人和台原来都 静止，如果人沿转台的边缘绕行了一周，问相对地面转台转过了多 少角度？
解：把人和转台看做一个系统
系统的角动量守恒 规定：逆时针转动为正方向，以 地面为参考系。 设人的角速度为ω，转台的角速度为Ω。
或
A = ∫ Mdθ = Mθ
42
例5.9：一质量为m，长为 l的匀质杆，两端用绳悬挂杆处于水平 状态，现突然将杆右端的悬线剪断，求(1)此瞬间另一根绳受到 的张力 ;(2)剪断绳子之后任一时刻杆的角速度 ω与转过角度 θ之 间的关系。 解： （1）首先考虑杆绕O点的的转动 根据转动定律： T O
匀变速运动
6
§5.1 刚体及其定轴转动描述
例5.1：一汽车发动机的转速在5s内由200r（转）/min均匀地增加 到3000r（转）/min。（1）求在这段时间内的初角速度、末角速 度和角加速度；（2）求这段时间内转过的角度；（3）发动机轴 上装有一半径为R=0.15m的飞轮，求轮边缘上一点在这第5s末的 切向加速度、法向加速度和总加速度。
24
§5.3 刚体转动的功和能
回顾： 质点 质量 牛顿运动定律
M = Jβ
刚体 转动惯量 转动定律
力做功
力矩做功
25
§5.3 刚体转动的功和能
一、力矩的功
轴
dθ dr α r
α
F 在转动平面内
ω
元功： dA = F • dr = F dr cos α = F ( rdθ ) cos α F ( r cos α )dθ = Mdθ
刚体的运动及描述
v r
P点线加速度 an r
2
dv at r dt
z
ω ,α v r θ
匀角加速转动的运动学关系：
P
参 考 方 向
0 t ( 0 ) 0 t 1 t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
刚体
r O ×
定轴
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
矢量形式
v r 2 an r at r
或： a t r e
刚体定轴转动(一维转动) 的转动方向可以用角速 度的正、负来表示。 角加速度
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
定点转动：
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固
定点的某一瞬时轴线转动.
如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
3 平面平行运动 刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的 平面运动，又称为刚体的平面平行运动。 如：车轮直线滚动 可以分解为： 刚体随质心的平动（i=2） 和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动（i=1）
·
Δ
· o
o
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动。
O
z
ω
r P’(t+dt) d P(t)
力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系
切线方向 Fi fi miai
Fi sin fi sin miri
两边同乘 ri
Firi sin firi sin miri2
O
ri
fi
mi
Fi
对整个刚体 Firi sin firi sin ( miri2)
R3
m 2π R
mR2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dS 2πrdr
dm dS
π
m R2
2π
rdr
2mr R2
dr
J
m r2dm
0
R 0
2m R2
r
3dr
m 2
R2
2020/2/2
4
dl m
R O
Rm dr
r O
第五章 刚体力学基础 动 量矩
(3) J 与转轴的位置有关 z
下加速运动。开始时系统处于静止。
求 物体下降距离为s时，滑轮的ω和β。
解一 转动定律
+
T1
R
M 转动： m 平动：
TR J
mg T
1 2
MR2
ma
a
R
2mg (2m M
)R
（常量）
T M
T' Mg
m mg
2
02
2
2
s R
2 s
R
2 R
mgs 2m M
受力图
T1
m1 g
第5章1刚体力学1
B
B’
A’
A
如果在某一瞬时刚体上某点P的速度为零， v P 0 则称该点P为刚体在该瞬时的瞬心。选P点为基点，那么
vB vP RBP RBP
即刚体上任意质元在该瞬时的运动仅仅是绕瞬心P的转动。
10
i
i
i
定于转动轴的位置以及刚体的质量分布。
12
第5章(1) 刚体力学
[例] 选z轴固定轴，写出定轴转动刚体角动量的直角坐标表达式。 [解] 由质点角动量的定义，可得定轴转动刚体的角动量： L Li mi ri vi mi ri ( ri )
20
第5章(1) 刚体力学
二、刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
ex dL 将质点系对轴的角动量定理 M , 应用于刚体的定轴转动， dt 令转动轴与z轴重合，则有
dLz d Mz ( I z ) dt dt
M z 表示作用于刚体上的外力对z轴的合力矩.
如图，力对O点力矩 z Mz
xi
在直角坐标系中， L Lx i Ly j Lz k ( Lx , Ly , Lz )
( xi zi , yi zi , xi2 yi2 )
Lx mi ( xi zi ), Ly mi (yi zi ),
Lz
m ( x
F
F//
则力对z轴的力矩：
M z r F r0 F
2 i )
Ri
vi
mi
Liz mi ri sin i cos(
mi (ri2 sin2 i ) mi Ri2
第五章_刚体力学 - 副本
y
平面平行运动总能找到瞬心。
0=v A (rs rA )
两边矢乘
0= v A (rs rA )
2 = v A [ (rs rA )] (rs rA )
环
R
dm
(3)均质圆盘(m,R)对中心轴 的转动惯量:
m 1 2 mR Ic r 2 2rdr R 2 0
2
R
r dr
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Jc ，则刚体对与该轴相距为 d 的平行 轴 z 的转动惯量 Jz 是
Jz
m
Jc
R
J z J c md
如图所示：
2
1 3 2 2 J z mR mR mR 2 2 2
A B C B(C A) C ( A B)
2 0= v A (rs rA )
所以，速度为0的点的位置矢量为
1 rs rA 2 ( v A )
用分量形式写出
rs xs i ys j, rA xAi y A j, k
I xx，I yy，I zz 分别称为刚体对x轴, y轴, z轴的转动惯量
I yy mi ( zi2 xi2 ) I zy mi zi yi
I xy mi xi yi
I zz mi ( xi2 yi2 )
I yz mi yi zi
I xz mi xi zi
J y x mi yi xi y mi ( zi2 xi2 ) z mi yi zi
刚体力学基础
v p 0
1。微分形式
M dt d L
dL M r F dt
L2 L1
2。积分关系
dL
t2
t1
M dt
刚体→质点系(连续体)
L
t2
M外 d t d L
dL M外 dt
t1
M dt
t2 L M 外 d t
3.刚体的转动（rotation): 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。这条直线称作转轴。
定轴转动──转轴相对参考系固定不动的转动。 特征：各点的角位移、角速度、角加速度相同。但线 位移、线速度、线加速度不同。
4.复杂运动可视为平动和转动的叠加。 二、刚体定轴转动的角量描述 1。转动平面：刚体定轴转动时，任一 质点作圆周运动的垂直于转轴的平面 某一时刻， 不同点的：
二、转动惯量J 1.定义：
Moment of inertia
J mi ri2
第i质元到转轴的垂直距离
J 的单位：kg· m2
m
第i质元的质量
如质量连续分布，则有：
2 r dm J lim mi ri 0
2 m i 0
质量分布
2。物理意义：物体转动惯性大小的量度
t1
[例题6]一棒长l,质量m,其质量分布与到 O点的距离成正比，将细 棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始角速 度为ω0 棒与桌面的摩擦系数为μ。 求:(1)细棒对O点的转动惯量。(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 （3）细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。 解：
(1) d m d r
2 2
J c md 0
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第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小： (A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球L的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v <(C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
已知物体与转台间的静摩擦因数为μ，若物体与转台间无相对滑动，则物体的转动动能为： (A)mgR E k μ41≤(B) mgR E k μ21≤ (C) mgR E k μ≤ (D) mgR E k μ2≤ ［ B ］难度：中8 一匀质细杆长为l ，质量为m 。
杆两端用线吊起，保持水平，现有一条线突然断开，如图所示，则断开瞬间另一条绳的张力为： (A)mg 43 (B) mg 41 (C) mg 21(D) mg ［ B ］难度：难9 一根均匀棒AB ，长为l ，质量为m ，可绕通过A 端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由摆动，已知转动惯量为231mgl ．开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆到θ角时，B 端速度的大小为：(A)θsin gl (B) θsin 6gl(C)θsin 3gl (D) θsin 2gl［ C ］难度：中10 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为(A)2ωmR J J+． (B) ()02ωR m J J +． (C) 02ωmRJ． (D) 0ω． ［ A ］难度：中11 一质量为M 、半径为r 的均匀圆环挂在一光滑得的钉子上，以钉子为轴在自身平面内作幅度很小的简谐振动．已知圆环对轴的转动惯量22Mr J =，若测得其振动周期为π21s ，则r 的值为 (A) g /32． (B) 216g ．(C)16/2g ． (D) g /4．［A ］难度：中 12、质量和长度都相同的均匀铝细圆棒A 和铁细圆棒B ，它们对穿过各自中心且垂直于棒的轴的转动惯量各为J A 和J B ，则(A) J A ＞J B ． (B) J B ＞J A ．(C) J A ＝J B ． (D) J A 、J B 哪个大，不能确定．［ C ］难度：易13、两个质量和厚度相等的均匀木质圆盘A 和均匀铁质圆盘B ，设两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为J A 和J B ，则(A) J A ＞J B ． (B) J B ＞J A ．(C) J A ＝J B ． (D) J A 、J B 哪个大，不能确定．［ A ］难度：易14、两根细棒的质量、长度均相同，且都半截木质、半截钢质，一根的转动轴木质端，另一根的转动轴在钢质端。
今在棒的另一端施相同的力F ，两细棒得到的角加速度满足：(A) βA ＞βB ． (B) βB ＞βA ．(C) βA ＝βB ． (D) 无法确定． ［B ］难度：易15、一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上，圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ，圆盘可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘的角速度为0ω，当圆盘角速度变为2ω所需时间为（SI 制）：(A)gRμω0． (B) g R μω20．(C)gRμω830． (D) g R μω40．［C ］难度：中16、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，开始时自然悬挂于竖直位置若给棒一水平冲力，则棒在绕轴转动过程中： (A) 角速度逐渐增大，角加速度逐渐减小； (B) 角速度和角加速度都逐渐增大； (C) 角速度和角加速度都逐渐减小；(D) 角速度逐渐减小，角加速度逐渐增大。
［ D ］难度：易17、一个转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，则圆盘的角速度从ω0变为021ω时所需的时间（SI 制）：(A)21． (B) k J． (C) k J 2ln ． (D) k 21．A B［C ］难度：中18、一个转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，则圆盘的角速度从ω0变为021ω时，阻力距所作的功（SI 制）：(A) 420ωJ ． (B) 8320ωJ -．(C) 420ωJ -． (D) 820ωJ ．［B ］难度：中19、一花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时以转动动能220ωJ 旋转，当他向内收缩双臂时，他的转动惯量减少为31J ．这时他转动动能变为：(A) 220ωJ ． (B) 620ωJ ．(C) 2320ωJ ． (D) 2920ωJ ．［ C ］难度：中20、一人双手握着重物伸开双臂站在可绕中心轴无摩擦转动的平台上，系统的转动惯量为J ，角速度为ω．当此人突然将两臂收回，使系统的转动惯量减少为31J 0．则该系统： (A) 机械能和角动量守恒，动量不守恒． (B) 机械能守恒，动量和角动量不守恒． (C) 动量和机械能不守恒．角动量守恒． (D) 机械能不守恒．动量和角动量守恒．［ C ］难度：易21、一质量为M 的水平匀质圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，圆盘边缘站着一个质量为m 的人.把人和圆盘取作系统，开始时，该系统的角速度为ω0，接着此人沿着半径走到圆盘中心，在走动过程中（忽略轴的摩擦），此系统的(A) 转动惯量不变； (B) 角速度减小； (C) 机械能不变； (D)角动量不变。
［ D ］难度：易22、一质量为M 的水平匀质圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，圆盘边缘站着一个质量为m 的人.把人和圆盘取作系统，开始时，该系统的角速度为ω0，接着此人沿着半径走到圆盘中心，此系统的角速度将为： (A)02ωMm；(B) 0)21(ωM m+； (C) 0)21(ωM m+；(D) 02ωMm。
［ B ］难度：中23、一飞轮从静止开始作均加速转动，飞轮边上一点的法向加速度n a 和切向加速度t a 值的变化为：(A) n a 不变，t a 为零； (B) n a 不变，t a 不变； (C) n a 增大，t a 为零； (D) n a 增大，t a 不变；。
［ D ］难度：中24、一根均匀棒，长为l ，质量为m ，一端固定，由水平位置可绕通过其固定端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由摆动．则在水平位置时其质心C 的加速度为（已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为231ml ） ：(A)g ． (B)0． (C)g 43． (D) g 21． ［C ］难度：中25、一根长为l 、质量为m 的均匀细直棒在地上竖立着，如果让其以下端与地的接触处为轴自由倒下，当上端到达地面时，上端的速率为（已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为231ml ） ：(A)gl 6． (B)gl 3．(C)gl 2． (D)23gl． ［B ］难度：中 26、一根长为l 、质量为m 的的杆如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 、速度为0v 的子弹从与水平方向成角处飞来，击中杆的中点且留在杆中，则杆的中点C 的速度为：(A)20v ． (B) ϕcos 730v ．(C) ϕcos 430v ．(D) ϕsin 730v ． ［B ］难度：中27、在经典力学中，下列哪个说法是错误的：(A) 质点的位置、速度、加速度都是矢量． (B) 刚体定轴转动的转动惯量是标量． (C) 质点运动的总机械能是标量． (D) 刚体转动的角速度是标量．［ D ］难度：易1 一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度为ω，则0ωω＝__________________． 答案：31 难度：中2 一电唱机的转盘以n = 78 rev/min 的转速匀速转动，则转盘上与转轴相距r = 15 cm 的一点P 的线速度v ＝__________________． 答案：8.17srad难度：中3 一电唱机的转盘以n = 78 rev/min 的转速匀速转动，则转盘上与转轴相距r = 15 cm 的一点P 的法向加速度a n ＝__________________． 答案：102s m难度：中4 一电唱机的转盘开始以n = 78 rev/min 的转速匀速转动，在电动机断电后，转盘在恒定的阻力矩作用下减速，并在t = 15 s 内停止转动，则转盘在停止转动前的角加速度β＝__________________． 答案：-0.5452s rad难度：中5 一电唱机的转盘开始以n = 78 rev/min 的转速匀速转动，在电动机断电后，转盘在恒定的阻力矩作用下减速，并在t = 15 s 内停止转动，则转盘在停止转动前转过的圈数N ＝__________________． 答案：9.75rev 难度：难6 如图所示，半径为r 1＝0.3 m 的A 轮通过皮带被半径为r 2＝0.75 m 的B 轮带动，B 轮以匀角加速度π rad /s 2由静止起动，轮与皮带间无滑动发生．则A 轮达到转速3000 rev/min 所需要的时间t ＝__________________s ． 答案：40 难度：中7、圆柱体以80srad的角速度绕中心轴转动，对该轴转动惯量为42m kg ⋅，由于恒力矩的作用，在10s 内其角速度变为40srad ，则力矩的大小为__________________m N ⋅。