1.教师版：圆的方程

圆的方程专项复习（教师版）

一、知识点归纳： 1.圆的标准方程

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。定点是圆心，定长是半径。

如果圆心坐标为(a ,b )，半径等于r ,根据两点间距离公式可得圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2。如果圆心恰好为原点时，方程为x 2+y 2=r 2。圆心在原点（0，0），半径为1的圆称为单位圆，其方程为x 2

＋y 2

=1,

由圆心坐标(a ,b )及半径r 的值，可以直接写出圆的标准方程。由圆的标准方程也可直接读出圆心坐标和半径r 的大小。

2.圆的一般式方程

任何一个圆的方程都可以写成下面形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆方程。 一般方程

x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F=0，配方22224()()224

D E D E F

x y +-+++=

（1）当D 2

+E 2

-4F ＞0时，方程表示圆，称为圆的一般式方程，其圆心(,)22D E --.

（2）当D 2+E 2-4F =0时，方程仅表示一个点；

（3）当D 2+E 2-4F ＜0时，方程没有实数解，方程不表示任何图形。 3.参数方程的概念

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数，即()

,()x f t y g t =??

=?

且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，则此方程组就叫这条曲线的参数方程，联系x ,y 之间关系的变数叫做参数。相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。 4.圆的参数方程：

若圆心坐标为C (a ,b )，半径为r ，则cos ,sin x a r y b r θ

θ=+??

=+?

称为圆的参数方程。其中θ是以x 轴正方向为始边方向，CP 方

向为终边方向的角。C 是圆心，P 是圆上与θ对应的点。 特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为)(sin cos 为参数θθ

θ

???==r y r x

5.点与圆的位置关系

几何法——利用距离来判断：设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．

（1）点在圆外;r d >? （2）点在圆上;r d =? （3）点在圆内;r d

＋(y －b)2

=r 2

（r>0）

（1）点P 在圆外22020)()(r b y a x >-+-?；（2）点P 在圆上;)()(2

2020r b y a x =-+-?；

（3）点P 在圆内22020)()(r b y a x <-+-?； 6. 求圆的切线方法

(1)已知圆x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F=0．

①若已知切点(x 0

，y 0

)在圆上，则切线只有一条，其方程是02

)

(2)(0000=+++++

+F y y E x x D y y x x 当),(00y x 在圆外时，0)2

()2(

000=++++++F y y E x x D y y x x 表示过两个切点的切点弦方程． ②若已知切线过圆外一点(x 0

，y 0

)，则设切线方程为y －y 0

=k(x －x 0

)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，

注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线． (2)已知圆x 2

＋y 2

=r 2

．①若已知切点P 0

(x 0

，y 0

)在圆上，则该圆过P 0

点的切线方程为x 0

x ＋y 0

y=r 2

．

②已知圆的切线的斜率为k ，圆的切线方程为12+±=k r kx y . 7.几种特殊位置的圆的方程

（1）圆心在原点：222(0)x y r r +=≠ （2）圆心在x 轴上：222()(0)x a y r r -+=≠ （3）圆心在y 轴上：222()(0)x y b r r +-=≠ （4）与x 轴相切：222()()(0)x a y b b b -+-=≠ （5）与y 轴相切：222()()(0)x a y b a a -+-=≠ （6）圆心在x 轴上且过原点：222()(0)x a y a a -+=≠ （7）圆心在y 轴上且过原点：222()(0)x y b b b +-=≠（8）过原点：222222()()(0)x a y b a b a b -+-=++≠ （9）与两坐标轴都相切：222()()(||||0)x a y b a a b -+-==≠ 8.重要结论：

（1）已知：一个圆的直径端点是A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．则圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0． （2）过圆外一点00(,)P x y 的圆的切线方程的求解方法：

设切线方程为00()y y k x x -=-，与圆的方程联立，根据=0?即可求出k 的值；也可以根据圆心到直线的距离等于半径求出k 的值。特别要注意若解出一个k ，则还有一条斜率不存在的直线。 （3）过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程是200.x x y y r +=

（4）过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的切线方程是200()()()().x a x a y b y b r --+--= （5）过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上一点00(,)P x y 的切线方程是00000.22

x x y y

x x y y D E F ++++?

+?+= （6）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C 1∶x 2

+y 2

+D 1x+E 1y+F 1=0和圆C 2∶x 2

+y 2

+D 2x+E 2y+F 2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(F 1-F 2)=0． 9．几何性质：

（1）点A,B 在圆上时，圆心在AB 的垂直平分线上；（2）圆心与切点的连线与圆的该切线垂直； （3）圆心到切线的距离等于圆的半径； （4）圆的半径、半径长、弦心距构成直角三角形。

二、典型例题分析

基础部分

例1. 写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C （3，4 【答案】(1)x 2+y 2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5； 例2．求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x 2

+y 2

-8x+6y=0， （2）x 2

+y 2

+2by=0．

【答案】(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 例3. 求下列各圆的一般方程：

(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；（２）过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)． 【答案】(1)x 2+y 2-16x+6y+48=0 (2)x 2+y 2-4x-2y-20=0 例4.已知圆的方程是x 2+y 2=1，求：

（１）斜率为1

【答案】（１）y x = （２）y x =±

例５．(1)已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

【答案】(1)分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决． 解法一：设圆心C(a ，b)、半径r ，则由C 为P 1P 2的中点得：

又由两点间的距离公式得：

∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10

分析二：从图形上动点P 性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决． 解法二：直径上的圆周角是直角，

∴对于圆上任一点P(x ，y)，有PP 1⊥PP 2．1

2

1.PP PP k k ?=-即

93

1.46

y y x x --?=--- 化简得：x 2+y 2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程． 解(2)：分别计算点到圆心的距离：

||||3CM CN CQ

因此，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内． 例６．求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．

解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x 2+y 2

-8x+6=0．

例１ 求经过点(5,2),(3,2)A B ,且圆心P 在直线230x y --=上的圆的方程； 解析：方法一：待定系数法，设圆心00(,)P x y ,则有002222

0000230

(5)(2)(3)(2)

x y x y x y --=???-+-=-+-??, 解得004

5

x y =??

=?，∴圆心(4,5)P

，半径||r PA ==∴所求圆的方程为22(4)(5)10.x y -+-=

方法二：数形结合，由垂径定理可知，圆心00(,)P x y 在线段

的垂直平分线上即直线

上

由0004230x x y =??--=?得00

45x y =??=?，∴圆心(4,5)P

，半径||r PA ==∴所求圆的方程为22

(4)(5)10.x y -+-=

例２. 求经过原点，且过圆x 2

+y 2

+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程． 解法一：由2286210,50

x y x y x y ?++-+=?

-+=?求得交点（－２，３）或（－４，１）设所求圆的方程为x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0．

∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，

∴所求圆的方程为：22199

0.55

x y x y ++

-= 解法二：设过交点的圆系方程为：x 2+y 2+8x-6y+21+λ(x -y+5)=0． 将原点（０，０）代入上述方程可得21=-.5λ则所求方程为：22199

0.55

x y x y ++-= 例３．（09年黑龙江双鸭山模拟）求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

解法一：解方程组2222

210240,2280x y x y x y x y ?+-+-=?

?+++-=??

得两圆交点为（－４，０），（０，２） 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为

222

222

(4)(2),0a b r a b r a b ?--+=?+-=??+=?

解得：3,3,a b r =-== 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． 解法二：设圆的方程为x 2+y 2-2x+10y-24+λ（x 2+y 2+2x+2y-8）=0 即()()()

()2221258301111

x y x y λλλλλλλ-+++++-=≠-+++ 圆心2,01

511),15,11(

==++-+-∴++-+-λλλλλλλλλ解得

例１．求以圆C 1：x 2+y 2-12x -2y -13=0和圆C 2：x 2+y 2+12x +16y -25=0的公共弦为直径的圆的方程。 解：两圆方程相减得两圆公共弦所在直线的方程4x +3y -2=0，

过两圆交点的圆系方程可设为x 2+y 2-12x -2y -13+λ( x 2+y 2+12x +16y -25)=0， 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2-12(1-λ)x -2(1-8λ)y -13-25λ=0， 配方得圆心坐标6(1)18(

,)11λλλλ--++，公共弦是直径，则圆心在公共弦上，∴4·

6(1)1λλ-++3·181λλ-+-2=0，∴1

=.2

λ ∴以公共弦为直径的圆的方程为x 2+y 2-4x +4y -17=0。

评注 两相交圆的公共弦所在直线方程，可以将两个圆方程作差，消去x ,y 的平方项求得。因为交点坐标是两圆方程的公共解，满足两方程的差方程，差方程因消去x ,y 的平方项后变为关于x ,y 的二元一次方程，是一条直线的方程，这直线经过两圆的交点，即为公共弦方程。同理可知，无论λ为何值，方程x 2+y 2-12x -2y -13+λ(x 2+y 2+12x +16y -25)=0表示的曲线经过两圆x 2+y 2-12x -2y -13=0与x 2+y 2+12x +16y -25=0的公共点。 本题也可先求出两圆的交点后，再求所求圆的圆心及半径后得出方程。

例２．圆与y 轴相切，圆心P 在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为

【答案】设圆方程为：2

22)()(r b y a x =-+-，∵且圆心),(b a 在直线30x y -=上，∴b a 3= ∵圆与y 轴相切，∴||3||b a r ==，故圆方程为2

229)()3(b b y b x =-+-，

又因为直线y x =截圆得弦长为2

229

b +=，解得

故所求圆方程为：9)1()3(2

2=-+-y x 或9)1()3(2

2

=+++y x 例3 已知圆4)4()3(:2

2

=-+-y x C , 点),(y x P 为圆C 上一动点。

（1）求

y

x

的最大值与最小值；（2）若)0,1(),0,1(B A -，求22||||PB PA +的最大值与最小值。

【答案】 （1）设y

k x

=，则........*

∵点P(x, y) 既在直线l: kx-y=0上，又在圆C 上，即l 与圆C 有公共点．

∴

2d k .

∴

,

.

(2)令 u=|PA|2

+|PB|2

=(x+1)2

+y 2

+(x-1)2

+y 2

=2(x 2

+y 2

)+2=2|PO|2

+2，欲求u 最大（小）值，需求|PO|的最大（小）

而|PO |max min =|CO|-2=5-2=3，∴ u max =2×72

+2=100,u min =2×32

+2=20.

一、选择题：

1.若圆的方程为0118622=--++y x y x ，则圆心坐标与半径为（ D ） （A ）（-3,4），3 （B ）（-3,-4），３ （C ）（3,-4）,6 （D ）(-3,4),6

2.（08宁夏模拟）圆的一条直径的端点是)2,2(),0,2(-B A ，则圆的方程是（ A ） A 、042422=++-+y x y x B 、042422=+--+y x y x C 、042422=-+-+y x y x D 、042422=--++y x y x

3.已知圆的方程为x 2 + y 2－4x + 6y = 0，下列是通过圆心直线的方程为（ D ） A 3x + 2y + 1 = 0 B 3x －2y + 1= 0 C 3x －2y = 0 D 3x + 2y = 0

4.方程014222=++-++a y x y x 表示圆，则a 的取值范围是( D )

A ．6->a

B ．5->a

C ．5

D ．4

5.直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且与直线x +2y =0垂直，则直线l 的方程为（ A ）

A.y =2x

B.y =2x －2

C.y =－

21x +2

3 D.y =

21x +2

3

6.圆()2

2

11x y -+=的圆心到直线3

y x =

的距离是 （ A ）

A.

12 B. 2

C. 1

D. 7.若直线34120x y -+=与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ A ） A 、2

2

430x y x y ++-= B 、 2

2

430x y x y +--= C 、2

2

4340x y x y ++--= D 、2

2

4380x y x y +--+=

8.过点A （1，-1），B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ C ）

A.22(3)(1)4x y -++=

B. 22(+3)(-1)4x y +=

C. 22(1)(1)4x y -+-=

D. 22(+1)(1)4x y ++=

9.方程y D ）

A.一条射线

B.一个圆

C. 两条射线

D. 半个圆

10. 以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（ B ）

A 、522=+y x

B 、2522=+y x

C 、422=+y x

D 、162

2=+y x

二、填空题：

1.已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .则经过两圆交点的公共弦所在直线方程____ _02=-+y x

2.若方程x 2+y 2

+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____ F=4 3.过点O （0，0），A （1，1），B （1，－5）的圆方程是__________．()()2

2

3213x y -++=

4.点(5112)a a +，在圆22(1)1x y -+=的内部，则实数a 的取值范围是____________11

1313

a -

<< 5.与x 轴相交与A(1,0)和B(5,0)

_______.2222(3)(1)5(3)(1)5x y x y -+-=-++=或 6.经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，且半径为2的圆的标准方程是_______.22(2) 4.x y ++=

7.已知圆C 的圆心坐标为C （1，3），且该圆经过坐标原点，它的标准方程为_______.22(1)(3)10x y -+-= 8.已知圆C 经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为_______.22(2)10x y -+= 9.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为_______.22(2)1x y +-= 10.直线240x y ++=截226210x y x y +-++=所得弦长为 三、解答题：

1.求下列条件所决定的圆的方程：

(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；

(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切．

【答案】（1）(x-3)2+(y+5)2= 32 （2）22224

8(2)(4)5()()55

5

x y x y -+-=-+-=或 2.（1）已知：224x y +=，求过点（1

）的切线方程。 （2）已知：22(1)(2)4x y -++=，求过点P （3，1）圆的切线方程。 解：（1）

（2）①当斜率存在时，设:1(3)l y k x -=-

22130,2(23)44.kx y k k k -+-=∴-=+5.12k ∴=

5

1(3),51230.12

y x x y ∴-=---=即 ②斜率不存在时， 3.x =

3.求过点)1,2(),2,1(--B A 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程。 解:设所求的圆的圆心为),(b a ,半径为r ………1分

则由题意得222

22220(1)(2)(2)(1)a b a b r a b r +-=??-++=??++-=?

…4分 解得?????===9

11

2r b a …6分

所以,所求圆的方程为9)1()1(2

2

=-+-y x ………………………………7分

4.求过两圆x 2 + y 2 + 6x －4 = 0和x 2 + y 2 + 6y －28 = 0的交点，并且圆心在直线x －y －4 = 0上的圆的方程。

5.求经过直线x+3y+7=0与3x-2y-12=0的交点，圆心在（-1，1）的圆的方程。

B 组练习

一、选择题： 1.点P （5a+1,12a ）在圆的内部，则的取值范围是（ C ）

A.||1a <

B.113a <

C. 1||5a <

D. 1||13

a < 2.（09年沈阳质监二）直线l 与圆)3(04222<=+-++a a y x y x 相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为（-2,3），则直线l 的方程为（ A ）

A 、05=+-y x

B 、01=-+y x

C 、05=--y x

D 、03=-+y x 3.过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为

（ B ）

A ．(x －3)2+(y +1)2=4

B ．(x －1)2+(y －1)2=4

C ．(x +3)2+(y －1)2=4

D ．(x +1)2+(y +1)2=4 4.直线x －y +3=0被圆（x +2）2+（y －2）2=2截得的弦长等于

（ D ）

A ．

2

6

B ．3

C ．23

D ．6 5.（09·重庆）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ） A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=

D ．22(3)1x y +-=

【答案】A 【解法】设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故选A.

6.直线3x + 4y + 2 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x = 0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ D ） A ．4x －3y －2 = 0 B.4x －3y －6 = 0 C . 4x + 3y + 6 = 0 D. 4x -3y + 8 = 0

7.点P(4,-2) 与圆x 2 + y 2 =4上任一点连线的中点轨迹方程是（ A ） A ．22(2)(1)1x y -++=

B ．22(2)(1)4x y -++=

C ．22(+4)(-2)1x y +=

D. 22(+2)(-1)1x y +=

8.（09·湖北重点中学联考）若P （2，－1）为圆（x －1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 （ ） A.x －y －3=0 B.2x +y －3=0 C.x +y －1=0 D.2x －y －5=0 【答案】A 【解析】由（x －1）2+y 2=25知圆心为Q （1，0）.据k QP ·k AB =－1， ∴k AB =－

QP

k 1=1（其中k QP =

1

20

1---=－1）∴AB 的方程为y =（x －2）－1=x －3，即x －y －3=0.∴ 应选A. 9.若实数x,y 满足222(5)(12)14x y ++-=，则22x y +的最小值为（ B ）

A ．2

B ．1

C

【答案】B 【解析】由几何意义可知最小值为14 1.r d -=

10.已知两定点A(-2,0),B(1,0)，如果动点P 满足||2||PA PB =,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ B ） A ．π B ．4π C ．8π D. 9π

【答案】B 【解析】设点(,)P x y ，由题设可知有2222(2)4[(1)]x y x y ++=-+，整理可得2240x x y -+=，配方可得22(2) 4.x y -+=可知圆的面积为4π. 二、填空题：

1.过点A （5，0），B （0，5），且圆心在直线01443=-+y x 上的圆的方程为________13)2()2(22=-+-y x

2.已知圆2x －4x －4＋2y ＝0上的点P （x,y ）,求22y x +的最大值 2812+

3.圆221x y +=上的点到直线8x y -=的距离的最小值 ．124-

4.点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝___，b ＝____. 解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心 (－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1.

5.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________．

解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r ＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝252－12＝46，四边形ABCD 的面积为20 6.

6.已知点P 是圆2216.x y +=上的一个动点，点A 是轴上的定点，坐标为（12，0），当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程是 。22(6) 4.x y -+=

7.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________． 解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴

|4x 0－3|

42＋(－3)

2

＝1，解得x 0＝2或x 0＝－12(舍)，所求圆为(x －2)2＋(y －1)2

＝1. 8.圆22(3)(4)1x y -++=关于直线0x y +=对称的方程是 。22(4)(3)1x y -++=

9.(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为___________．

解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称，

1

11

,1110

22

b a a b -?=-??+∴?-+?--=??解得???

??

a ＝2，

b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.

10.(10年扬州)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是______． 解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝1

2，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径

的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.

11.已知直线5120x y a -+=与圆2

2

20x x y -+=相切，则a 的值为 解：圆的方程可化为2

2

(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得|5|

1|5|1313

a a +=?+=，所以a 的值为－18或8。

12.若直线y ＝kx ＋2与圆（x －2）2＋（y －3）2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______

解：由直线y ＝kx ＋2与圆（x －2）2

＋（y －3）2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心 1，解得k ∈)3

4,0(

13.直线x -y +a =0被圆x 2+y 2=25所截得的弦长为8,则a = 23± 14.若点),(y x 在直线3x+4y+25=0上移动，则22y x +的最小值是_________ 【答案】25 【解析】2

2242525

,(4)253

9

y x x

y y --=+=

++ 法二：数形结合圆心到直线距离.

15.设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(P ，则直线AB 的方程是 02=-+y x 三、解答题：

1.求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程． 【答案】x 2+y 2-x+7y-32=0

2.求圆心在轴上，且过点A （1，4），B （2，-3）的圆的方程。

解：方法一：设2

2

2

()x a y r -+= 22

22

(1)16,(2)9a r

a r

?-+=?∴?-+=?? 222,(2)25.5a x y r =-?∴∴++=?=? 方法二：∵设 ∴-

02

E

=, ∴E=0 ∴

∴ ∴ ∴

方法三：设222()x a y r -+=

∴

∴

∴

∴

方法四：∵

，

∴1.7

CM k =

又∵31(,)22

M ∴ CM 113()2

7

2

y x -=- 设C （，0）在CM 上∴1130(), 2.2

7

2

a a -=-∴=-22||5,(2)25.CA x y ∴=∴++= 3.求与轴切于点（5，0）并在y 轴上截取弦长为10的圆的方程。 解法一：设所求圆的方程为

，并且与y 轴交于A 、B 两点，由方程组

，得

∵

||10,|10,B

A y

y b b b -=∴=∴=±∴圆的方程为22(5)(50.x y -+±=

解法二：设所求圆的方程为

∵圆与轴相切于点（5，0）∴①

②

∵圆在y 轴上截得的弦长为10，

2

22

10

()2

a

r ∴+= ③由①、②、③得5,a r ==

∴圆的方程为

2

2(5)

(50.x y -+±=

C 组练习

一、选择题： 1.圆

上到直线

的距离为

的点共有（ C ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 2.圆

过点（-1，0）的最大弦长为

，最小弦长为，则

等于（ ）

A. B. C. D.

【答案】 A 【解析】将圆方程整理成标准形式得(x-2)2

+(y+3)2

=25.最大弦长应为直径,故m=10,最小弦长应是边

心距最大时,此时弦应与点(-1,0)、(2,-3)连线垂直.

n ∴ 3.如果实数x ，y 满足x 2 + y 2 = 4，那么3y －4x 的最大值是 （ A ）

A 10

B 8

C 6 D

10

4.如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么y

x

的最大值是 （ D ）

A 、

1

2

B C D 、3

5.已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a 的值为 （ C ）

A ．2

B ．22-

C ．12-

D ．12+

6.过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是( ) (A)x 2+y 2+x-5y+2=0 (B)x 2+y 2-x-5y-2=0 (C)x 2+y 2-x+7y-32=0 (D)x 2+y 2+x+7y+32=0 解：设方程为x 2+y 2+6x-4+λ（x 2+y 2+6y-28）=0整理得

01

2814161622=+-+-++++

+λλλλλλy x y x 圆心坐标为)1

3,13(+-+-

λλ

λ点带入方程中得7-=λ故选C 法（二）验证圆心坐标是否在直线上 7.（09年山东枣庄一模）将圆12

2

=+y x 沿x 轴正方向平移1个单位后得到圆C ，若过点（3,0）的直线l 与圆C 相切，则直线l 的斜率为（ ）

A ．3

B ．3±

C ．

33 D ．3

3±

【答案】D 【解析】圆心C （1,0），设l:03),3(0=---=-k y kx x k y 即

因为l 与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径1，

1,k =8.（09年山东临沂模拟）若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则

b

a 1

1+的最小值是（ ）A ．4 B ．2 C ．

21 D ．4

1 【答案】选A ，圆 ,4)2()1(22=-++y x 弦长为4，故为直径，即直线过圆心,1),2,1(=+∴-b a

1111

()()224b a

a b a b a b a b

∴+=++=++≥+ 9.（05年北京卷）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) （A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π 【答案】B R l ||α=

10.（08年山东东营4月模拟）已知圆C ：122=+y x ，点A （-2,0）及点B （2，a ），从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是（ ）

A ．

),1()1,(+∞-?--∞ B ．),2()2,(+∞?--∞ C ．),3

34()334,(+∞?--∞ D ．),4()4,(+∞?--∞ 【答案】选C ，解法一：（直接法）写出直线方程，将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决。

过A 、B 两点的直线方程为.2

4a

x a y +=

即,024=+-a y ax

则

1d ，化简后得2316,a a ==解得 再进一步判断便可得到正确答案为C

解法二：设直线1AB 的方程为222222

(2)

(1)4410,0,1y k x k x k x k k x y =+???+++-=?==?

+=??

所以直线1AB 的方程为2),2(33AB x y 直线+=

的方程为),2(3

3

+-=x y 可得)3

3

4,2(),334,

2(21-B B ，

要使从A 点看B 点不被挡住，B 点纵坐标即实数a 的取值范围为),3

3

4()334,(2+∞?--∞B 二、填空题：

1．(原创题)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是________． 解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的距离等于半径的2

2

倍．由于圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，即2＝

2

2

×5－c ，解得c ＝－3. 法（二）数形结合可知，圆与y 轴交点的坐标为（0，1）和（0，-3），再令x=0，可得220,y y c ++=根据韦达定理可知c=-3.

2. (2010年福州质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为___________． 解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.

3.若圆x 2＋y 2－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为________．

解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2－1，若圆与两坐标无公共点，即

???

k 2－1<|k |k 2－1<1

，解得1

则????? 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，??????

x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，

代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 5.（05年湖南卷）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线 方程是 . 设023=+-m y x 圆心带入0323=--y x 三、解答题：

1.一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程． 解法一:设出一般方程，用待定系数法．(由三角形性质知：顶点为(0，5))

解法二:设出标准式x 2

+(y －b)2

=r 2

．(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y 轴上)． 【答案】222941

()().1010

x y +±

= 2.已知正三角形ABC 的顶点A (5,-6)，B (-1,2)，求△ABC 的外接圆的方程。

解：由题10.设C (x ,y )，则由||||||AB AC BC ==得

22

22

(5)(6)100,(1)(2)100x y x y ?-++=??++-=??

解之得12122222x x y y ??=+=-????=-+=--????

或 即顶点C 有两种可能C

(

或C

(

。 正三角形的重心就是外接圆圆心，则圆心(a ,b )为

即(22-

或

即(22-

外接圆半径3

r AB =

=。

∴圆方程为22100(2(23x y -++=

，或22100

(2(23

x y -++=。 评注：正三角形的重心、内心、外心合一，本题先求出C 的坐标，再求重心，即求出圆心，而正三角形外接圆半

AB 的长度即得圆半径。然后写出圆的标准方程即可。 本题也可以用轨迹法求解；设外接圆上动点P ，则∠APB 或者等于60°或者等于120°，通过AP ，BP 的斜率与夹角(到角)公式求圆的方程。 3.求过直线370x y +-=与圆的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为8的圆方程。 解：设，∴令

令，∴

，∴同理：

∴

∴

∴

4. 设P （00,x y ）是圆外的一点，过P 作圆的切线，试求过两切点的切点弦所在的直线方程。

解：以OP 为直径的圆：

①又∵

②， ①－②：

为所求直线方程。

5.已知点P 是圆C ：22(3)(4)1x y -+-=上的任意一点，点A(-1,0),B(1,0)，试求22|PA|||PB +的最大值和最小值。 解：

设22222222222(,),||||(1)(1)22222|| 2.P x y PA PB x y x y x y OP +=+++-+=+++=+=+则有 由题意可得||OP 的最大值是||516,OC r +=+=最小值是||-5-14,OC r ==所以22|PA|||PB +的最大值是226+2=74?， 最小值是224+2=34?， 6.已知对于圆上任意一点P （x,y ），不等式恒成立，求实数的取值范围。

解：圆的参数方程可写为

∵恒成立∴

恒成立，即恒成立

∵

，∴

即

为所求。