(完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
相交弦定 COO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.理的推论/于P.|（特殊情况）|127用相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA 长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得4.弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定7. 与圆有关的比例线段 定理 已知结论证法OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC 、 BD ,证： 于 P.△ APCo A DPB.到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）相交弦定8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。
解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理+巴“丄A1_3「£)5 = 1--恥二1 + —二一4=4 4 43- = 3：5P T2=PA- PBPBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD交OO于A COO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2A, CD为弦OP'2PA- PB= OP—r2r为OO的半径连结TA、TB ,证：△PTB^A PAT过P作PT切OO于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为F,交CD于E,求DE AE的值。
图144例2. OO中的两条弦AB与CD相交于E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么CE=cm。
Array解：由相交弦定理，得AE- BE= CE- DE■/ AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,DE=CD-CE =1-CE.6冥2=強(7・6)… ,即亡费+12 = 0/• CE= 3cm或CE= 4cm。
故应填3或4。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则*小:AC2 = $氏解：•••/ P=ZP/ PAC=Z B,•••△PAC^A PBAAB _ PB...疋二7Z,又••• PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得M 二刃，FCAB2_ 阳_ FS• ^^ _ 円■花-丽… ,即乂炉：Q=PC故应填PCo点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4.如图3, P是OO外一点，PC切OO于点C, PAB是OO的割线，交OO于A B两点，如果PA: PB= 1 : 4, PC= 12cm OO的半径为10cm 则圆心o到AB的距离是_______________ cm。
解：•/ PC是OO的切线，PAB是OO的割线，且PA: PB= 1 : 4••• PB= 4PA又••• PC= 12cm由切割线定理，得?，-'： _...1一•••二一二：•PB= 4X 6= 24 (cm)•AB= 24 —6 = 18 (cm)设圆心O到AB距离为d cm,由勾股定理，得故应填J」。
例5.如图4, AB为OO的直径，过B点作OO的切线BC, OC交OO于点E, AE的延长线交BC于点D,( 1)求证：占—JU ； (2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的长。
证明：（1）连结BEED是©0的切线=>Z J4=Z.CBEOA = OB = Z^= Z10EA 乙QEA =S ECFF CB点悟：要证HUEDS心EE=> ——=——=> 窗=CB * CDCD CS•=> 丄ABD = 90° -血二2 n O 吕二1 U g = 用门胆是0沏线 应为直径 (2)BC = 2OS = A又-'-••• 厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5，AB 为OO 的直径，弦证明：连结BD, •/AE 切OO 于 A•••/ EAD=Z ABD•/ AE! AB 又 AB// CD • AE! CD• AB 为OO 的直径•••/ ADB= 90° •••/ E =Z ADB= 90° • △ AD 0ABADAD DE药二75 AD 2= AB* DE• CD// ABc nAD= BC• AD= BC,EC 2 = AS* DSE 。
点悟：由结论AD- BC= CD- AB 得… --，显然要证厶PAB A PBA 和厶PC SA PBC证明：•/ PA 切OO 于A ,•••/ PAD=Z PBA 又/ APD=Z BPA • △ PAD^A PBA £ 旳.• . I ：-： J '同理可证厶PCD^A PBCCD PD• _ / 一一•/ PA PC 分别切OO 于A 、C • PA= PCMCD,=1^p」，• .l< 『I• AD- BC= DC- AB 求证：BC = 2OE点悟：由要证结论易想到应证 。
丘是厶ABC 的中位线。
而 OA= OB 只须证AE = CE, 证明：连结OD •/ ACL AB AB 为直径• AC 为OO 的切线，又 DE 切OO 于D • EA= ED, ODL DE •/ OB= OD •/ B =Z ODB 在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°—/B•••/ ODE= 90° 厶DO9IT - £ODB • / C =Z EDC• ED= EC • AE = EC例7.如图6, PA PC 切OO 于A 、C ,CD- AB例8.如图7,在直角三角形 ABC 中，/ A = 90°，以 AB 边为直径作O O,交斜边 BC 于点D,过D 点 作OO 的切线交AC 于 E 。
图7•OE是厶ABC的中位线•BC= 2OEc例9.如图8,在正方形ABCD中，AB= 1，弓］是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。
点En是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作日-所在圆的切线，交边DC于点F，G 为切点。
当/DEF= 45°时，求证点G为线段EF的中点;图8解：由/DEF= 45°,得•••/ DFE=Z DEF••• DE= DF又••• AD= DC• AE= FC因为AB是圆B的半径，ADL AB所以AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点G 又因为EF切圆B于点G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即点G为线段EF的中点。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1.已知：PA PB切OO于点A、B,连结AB,若AB= 8，弦AB的弦心距3,则PA=（）A.203 B.253 C. 5 D. 82.卜列图形定有内切圆的疋（)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如图1直线MN与OO相切于C, AB为直径，/ CAB= 40°,则/ MCA的度数（）4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5. 在厶ABC中，D是BC边上的点，AD i'-L • ；• , BD= 3cm, DC= 4cm,如果E是AD的延长线与△ ABC的外接圆的交点，那么DE长等于)（3忑mA. B.C. D.6. PT切OO于T, CT为直径，D为OC上一点，直线PD交OO于B和A B在线段PD上，若C【=2, AD= 3, BD= 4,贝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5D. 中厂二、填空题7. AB 、CD是OO切线，AB// CD EF是OO的切线，它和AB CD分别交于E、F,则/ EOF= 度。
8. 已知：OO和不在OO上的一点P,过P的直线交OO于A、B两点，若PA- PB= 24, OP= 5,贝HOO的半径长为______________ 。
9. 若PA为OO的切线，A为切点，PBC割线交OO于B、C,若BC= 20,八V ，贝U PC 的长为______________ 。
10. 正厶ABC内接于O O, M N分别为AB AC中点，延长MN交OO于点D,连结BD交AC于P, PC _则丹______________ 。
三、解答题11.如图2, △ ABC中，AC= 2cm,周长为8cm, F、K、N是厶ABC与内切圆的切点，DE切OO于点M 且DE// AC,求DE的长。
AxD/f \0 j FB〜E M C图2已知P为OO的直径AB延长线上一点，PC切OO于C, CDLAB于D,求证：CB平分已知AD为OO的直径，AB是OO的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C,且若AB -'二-「，求OO的半径。
图412.如图3,/ DCP13.如图4,Bg MN k NC1112 【试题答案】-、选择题1. A2. C3. A4. B5. B6. A、填空题三、解答题: CD L AB • △ ACB^A • -Z A =Z1 PC 为OO 的切线，• /A =z 〈2,又/ 1 = Z 2, ••• BC 平分/ DCP13.设 BM k MN ^ NG= xcm又..,<■--；—…I - .'：：■ ■(2.^12 f = r • 2x f .\x = 2(cm)• /■- - - 「•匚又•/ OA 是过切点 A 的半径，• OALAB 即AC L AB在Rt △ ABC 中，由勾股定理，得， …：由割线定理： ' ，又.m —亠二•「'•半径为7. 908. 1 9. 30 10.(2/7-J W) * 2^/7 = 2X4AD =11. 由切线长定理得厶BDE 周长为4,由厶BD 0A BAC 得 DE = 1cm12. 证明：连结AC 贝U ACL CB。
第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理
与圆有关的定理第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。
换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA?PB（切割线定理）如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA?PB 证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT2=PB?PA2、推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言：∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD?PC=PA?PB（切割线定理推论）由上可知:PT2=PA?PB=PC?PD3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（2）几点说明对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。
（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．基础知识运用：例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。
弦切角定理
弦切角定理弦切角定理是指在圆上，顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。
如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都是弦切角。
弦切角定理指出，弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
已知AC是⊙O的弦，AB 是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧。
可以证明弦切角定理分三种情况。
切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
例如，P 是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，线段PA、PB就是点P到⊙O的切线长。
切线长定理还有一个推论，即圆的外切四边形的两组对边的和相等。
相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
例如，若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD。
相交弦定理还有一个推论，即如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
割线定理是指从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
例如，直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD。
切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切割线定理是圆幂定理的一种。
由圆的切线定理可知，对于圆上的一点T，连接该点与圆心O的线段OT与切线PT垂直。
同时，设PBA为圆O的一条割线，则根据切割线定理，有PT²=PA·PB。
进一步推论，对于圆外一点P，连接该点到圆上两个交点的线段，两线段的长度之积等于该点到圆的两条割线与圆的交点的两条线段长度之积。
因此，设PBA和PDC为圆O的两条割线，则有PD·PC=PA·PB，即PT²=PA·PB=PC·PD。
接下来，我们来证明切割线定理。
最新北师大版九年级下册数学 第3章 圆 第5节 切线定理与圆幂定理 讲义
1
5. 如图 4, PA 切⊙ O 于 A, AB PO, P 300, AB 6, 则⊙ O 的半径为__________.
A
E D
D O
C
B
O
图3
A C
图4
B
E
图5
图6
【典型例题】
例 1.①如图 5， CD 是⊙O 的直径， AE 切⊙O 于点 B, DC 的延长线交 AB 于点 A, A 200 ，则
的长为____________. A
B A
OM C
O
C
B
图 13
图
A
D
O
F
B
C
E 图 14
例 2.①12如图 15，从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PA 和 PB ，切点分别是 A 和 B ，如果 APB 700 , 那么这
两条切线所夹 AB 的度数是（ ）
A. 1100
B.70
C.55
D.35
DBE =_______. ②如图 6, ABC 是圆内接三角形， BC 是圆的直径， B 350 , MN 是过 A 点的切线，那么
C =________； CAM =________； BAM =________． ③如图 7， ABC 内接于⊙O， AB AC, BOC 1000 , MN 是过 B 点而垂直 OB 的直线，
半径长为_________.
3. RTABC 的斜边 AB 5, 直角边 AC 3, 若 AB 与⊙ C 相切，则⊙ C 的半径是__________.
4.如图 3，已知半圆的圆心在 RTABC 的斜边上，且半圆分别切 AB, AC 于 D, E, AB 3cm, AC 4cm ，
中考数学--圆的必考点2
圆的必考基础知识2一、圆的八大定理的定义1、垂径定理：垂直于弦的直径（ ）这条弦，并且（ ）弦所对的两条弧平分2、相交弦定理：圆中两条相交弦被交点分成的两条线段长的（ ）是相等积3、切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长（ ），那点与圆心的连线（ ）切线的夹角。
相等，平分4、切割线定理：圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A、B两点，则有( )PC²=PA·PB5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.圆外是P点，交点是ABCD,则有()PA.PB=PC.PD6、弦切角定理：弦切角（ ）对应的圆周角。
等于7、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧（ ），所对的弦（ ），所对的弦的弦心距（ ）。
相等8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的（ ）。
一半二、圆的公式：圆的周长＝弧长的公式 =以后看到22.5度，一般会有对应45度1、长度相等的两条弧是等弧（对或错 ）错2、等弧的长度是相同的（对或错 ）对3、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧。
（对或错 ）对4、周长相等的两个圆一定是等圆（对或错 ）对5、同心圆就是圆心相同的圆。
（对或错 ）错6、同心圆就是圆心相同，但半径不等的两个圆。
（对或错 ）对7、相等的圆心角所对的弧相等（对或错 ）错8、相等的圆心角所对的弦相等（对或错 ）错9、等弦所对的弧相等（对或错 ）错10、等弧所对的弦相等（对或错 ）对11、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧（ ），所对的弦（ ），所对的弦的弦心距也（ ）相等12、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等13、平行四边形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）错矩形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）对菱形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）错正方形4个顶点在同一个圆上。
切割线定理
相交弦定理 :圆内的两条相交弦,被交点分
成的两条线段长的积相等.
A P D
B C
如图,则有
PA • PB=PC •PD
若P是圆外一点,PT是⊙O的切线,过P点的 割线与圆交于A、B两点, PT、PB、PA三条线段 有什么关系? 连结TB 、TA ∠BPT=∠TPA ∠PTB= ∠A △PTB∽ △PAT PB PT BT PT PA AT
式。
3. 应用切割线定理和推论可以运用其乘积 式和比例式关系进行问题的转化。
（1）如图⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是
AB的延长线上的一点，过P点的割线分
P
别与⊙O1、⊙O2交于D、C；E，F。 试判断PD•PC是否和PF•PE相
. O
C
1
.O
A
2
E
（2）如图A、B是⊙O割线上的两点，AS切 ⊙O于S，BT切⊙O于T。若AC=BD，则AS和TB 有什么关系？
S T
A C
.
B O D
；
/ 助孕
flp493bej
我瞪了他一眼。 “对了对了，我忘记你们是北方人了。”范教授急忙解释道：“南方人最爱吃辣了，平时炒菜都得放辣椒，不然感觉没味道，这是南方 有名的老火靓汤„„所谓一方水土养一方人，北方天气冷，如果吃清淡的炒菜不利于增加脂肪御寒，南方天气热就不用这样，所以吃些 清淡的。而北方人注重的则是口味，依据个人的爱好，酸甜苦辣咸想怎么吃就怎么吃。这就是人们常说的南甜北咸„„” 你听，人家真不愧是教授，几句话就把南北两方人的饮食差异说的头头是道。他把大家的酒杯里倒满了香槟，又拿了一瓶白酒，对我说： “北方人喜欢喝白酒，我们兄弟俩喝杯五粮液。” 一位堂堂有名的大学教授跟我一个小小的平民百姓称兄道弟，真是羞煞我也。我受宠若惊，两手发抖地端着酒杯站了起来，“范教 授„„您太客气了„„” 孙院长笑了，笑得很甜，却宛然不失院长的风范，“快坐下，我们大家一同喝。”恭敬不如从命，先喝为敬，我憋着气把一杯酒喝了个 底朝天。 “爸——”小荷急了。我明白女儿的意思。 “好！我们北方人就是爽快！我陪兄弟一杯！”范教授说完也一饮而尽。 “来来来，我们夹菜„„”孙院长招呼着大家。 “我已经是十几年不这样喝酒了，今天遇见老家的人，我太开心了！”范教授一边倒 酒一边说。 “难道范教授也是山东人？”我试探着问。他长长地叹了口气，若有所思地说：“我不仅是山东人，咱俩还是地地道道的老乡。” 这怎么可能呢？我茫然了„„ “我看过苏小荷的个人资料，我的老家在离你们村不远的杏花村。以前我在省城济南教书，自从父母双亡 后，为了照顾岳父岳母，十几年前我来到了南方。十几年来，我没有回过一次老家，真是乡音未改鬓毛衰„„” 原来如此，世上竟有这么巧的事！ “我姑妈就住在你们村，我姑父也姓苏„„”我恍然大悟，莫非他就是我舅舅家的表哥„„ 十八年前我的女儿大荷就是被我母亲送给了他家„„天下这么大，竟然想躲也躲不过！ “这„„你说的是„„我想起来了，我们是邻居„„”我支吾着撒起慌来，因为我不想让他知道我俩的关系，更不想触痛彼此的伤心 处„„ “我接到学生会会长的电话，说是我女儿用车撞了你的行李箱，把苏小荷同学的电脑屏碰破了，我深表歉意，电脑的问题我来解决。” 一个怒目圆瞪的女孩儿浮现在我的眼前„„难道她就是我的亲生女儿大荷？„„ “苏老弟，还是谈谈你的想法吧。” 范教授的话把我从沉思中惊醒，我慌不择释地说：“范教授„„我是一个地地道道的庄稼汉„„对于电脑这玩意儿我是一窍不通，那就 麻烦您了„„至于维修费还是由我来出。” “哈哈哈„„”范教授笑起来，“你看„„你这人也太见外了吧，都是我女儿惹的祸，按道理应该赔个新的才行。”
切割线定理
P
∴ DE PD
CE PE
∵PD=PC+CD 1 424214 cm
DE2 14
a
10
10 5
35
DE 1 10 35a 5
判断题
如图所示，PT切⊙O于T。下面的判断是否正确
P
（1）PT2=PE•PD （ ）
A CE
（2）PA•PB=PE•PD （ ）
T （3） PA•AB=PE•ED （ ）
PB PT BT
•O
PT PA AT
PB PT PT PA
PT 2 PA PB A
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长
切割线定理 是这点到割线与圆的交点的两条线段
长的比例中项.
PT切⊙O于T
PT2=PB•PA
P
由切割线定理 PT2= PD•PC ;
从而得到 PB•PA=PD•PC
B D
从圆外一点引圆的两条割 T
求证： PB PO
PD PC
A
证明： 连结OA
PA切圆O于A OA⊥PA
AD⊥PC
PD•PO=PA2 P
。 B DO
C
PA切圆O于A
PB•PC=PA2
PB•PC=PD•PO PB PO PD PC
1。若过圆外一点P的切线与⊙O相切于T点，P与圆心O的 P 连线与圆交于A点，若PO=5，半径是4，求切线长PT。
P DB
（1）如图⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是 AB的延长线上的一点，过P点的割线分
别与⊙O1、⊙O2交于D、C；E，F。 试判断PD•PC是否和PF•PE相等。
为什么？
F
.
O1
.O2
E
CA
切线长及弦切角
切线长定理与弦切角定理一、切线长定理 1、切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2、切线长定理：如图：因为PA 、PB 是O ⊙的切线，A 、B 是切点，所以，PA=PB二、弦切角定理及其推论1、弦切角：________________________________________________________________。
问题： 以下各图中的角哪个是弦切角？2、弦切角定理：________________________________________________________3、弦切角定理的推论：___________________________________________________ 【运用举例】例1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm ，求△PEF 的周长.例2.如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC 分别相交于E，F. 求证：EF∥BC.拓展提升已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．课后训练学案1.在△ABC中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm,⊙O与BC、AC、AB分别相切于D、E 、F，则AF=_____, BD=_______ 、CF=________2.已知PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=60º，PA=4，则⊙O的半径为。
3.已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为23，则过点P的两条切线的夹角为度，切线长为。
4.BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=25°，∠ACB=80，则∠P的度数为_______．★5.已知⊙O1和⊙O2外切于点B，PB是两圆公切线，PA、PB分别与⊙O1、⊙O2相切于A、C，如果AP=2X-3,PC=X+3，则x= 。
第一讲：切线长定理、弦切角定理、圆幂定理2012.03.04
第一讲：切线长定理、弦切角定理、圆幂定理 （2012-3-4）【定理的介绍】第1课一、切线长定理：（教材要求）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠．对定理的理解：（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
经验总结：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．二、弦切角定理：（补充内容,可用于在圆中找相似三角形）1．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3．弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．解题经验：.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
【典型例题】例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，40APB ∠=︒， 求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．P例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．例3 如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，ACB ∠的平分线CE交AB 于D ，交⊙O 于E ，⊙O 的切线EF 交CB 的延长线于F ．求证：2AEAD EF =⋅例4 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC CD ⊥于C ，BD CD ⊥于D ，PQ AB ⊥于Q ． 求证：2PQ AC BD =⋅EB【课堂专练】1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论，错误的是（ ） A 、OP AB ⊥ B 、C 、APO BPO ∠=∠D 、M 是PAB ∆的外心2．若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（ ）A 、30︒B 、45︒C 、60︒ D 、90︒ 4．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、6个5．如图，AB 为⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若25ACE ∠=︒，则D ∠为（ ） A 、50︒ B 、55︒ C 、60︒ D 、65︒ 6．圆的外切平行四形一定是 形．7．圆外切梯形的周长为24cm ，则它的中位线的长是 ㎝． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，CE 切⊙O 于C ，CD AB ⊥于D ．若60,3ECB CD ∠=︒=，则sin A = ，BD = ． 9．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D 、E 、F 为切点，::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠= °．FEC ∠= °．10．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝， 则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝， 内切圆半径为 ㎝．11．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ， 且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ， ⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝． 12．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ， 若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是 ㎝．AM DM =P13．如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径 的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝， 求梯形的上、下底AD 、BC 的长．14．如图，AB 为⊙O 的直径，过B 作⊙O 的切线，C 为切线上一点，连OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于D ．（1）求证：2CE CD CB =⋅．（2）若2AB BC ==，求CD 的长．三．圆幂定理（补充内容）第2课定理 图形 已知 结论证法相 交 弦 定 理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于PPA ·PB ＝PC ·PD 连结AC 、BD ，证：△APC ∽△DPB相的 交推 弦论 定 理⊙O 中，AB 为直径，CD ⊥AB 于P PC 2＝PA ·PB (此处可补充射影定理) 用相交弦定理 切 割 线 定 理⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2＝PA ·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB ∽△PAT 切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、CPA ·PB ＝PC ·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理，等量代换可得。
重要但常不为人知道的几何定理
阿基米德折弦定理：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）,BC〉AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线,我们称之为该图的一条折弦.角平分线定理定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
该命题逆定理成立：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
该命题逆定理成立:如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.xv=uy燕尾定理因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC，D、E、F 为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。
S△ABC中,S△AOB：S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF;S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
推论:共边比例定理：四边形ABCD（不一定是凸四边形)，设AC，BD相交于E，则有BE ：DE=S△ABC :S△ADC。
此定理是面积法最重要的定理.典型例题：如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE=ED,BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平方厘米．答案：4解析:过D作DM‖BF交AC于M(如图)因为BD=2DC，因为AE=DE,所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积,由DM‖BF知道△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3，即FM=CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积．解：过D作DM‖BF交AC于M(如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积DM‖BF所以△DMC相似△CBF 所以CM:CF=CD：CB=1：3即FM=CF因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC所以△ABF的面积10×=4（平方厘米）即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米答：阴影部分的面积是4平方厘米,故答案为：4．共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。
弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理(最新整理)
∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2） 圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3） 圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。
解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。
∴∠CAB=∠CBA。
（等腰三角形“等边对等角”）。
例2：如图，经过点A的⊙OA D是ΔABC中∠BAC的平分线，A C分别相交于E，F. 求证：EF//BC.与BC切于点D，与AB，证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB 于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.则有LA·LB=LC·LD=LT^2。
为切线）那么或许割线定理就可以从圆内接四边形。
的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D证明：连接AC、BD由圆内接四边形定理得∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定义）∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的补角相等）∴△ACP∽△DBP（两角对应相等的三角形相似）∴AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）∴AP·BP=CP·DP（比例基本性质）[1]4证明三根据切割线定理求证。