高二数学上学期期中考试试题及答案
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名
高二数学上学期期中考试试题及答案 考试时间：13：00—15：00 满 分：100分 一、 选择题（每小题3分，共36分） 01.01.01.01.01)1(.3122.1011.30.101..24.22.2.2.0862.122)3()2()8()5(2
2=--=+-=-+=++=+=++=++-+y x D y x C y x B y x A y x C y x D C B A D C B A y x y x ）垂直的直线方程是（，且与直线的圆心经过圆）（下列各数中最小的数是
）
的周长等于（圆ππππ 4.下边方框中为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为（ ） A. 20i > B. 20i < C.20i >= D. 20i <=
(第4
题) 052.01.032.03.25)1()1,2(.522=--=-+=-+=--=+--y x D y x C y x B y x A AB AB y x P ）的方程为（的中点，则直线内弦为圆点 6某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 w.w.w.k 0
23.0
43.043.023.)3,1(04.722=+-=+-=-+=-+=-+y x D y x C y x B y x A P x y x ）
处的切线方程是（
在点圆 3
2.3
.2
.1
.02.822D C B A c by ax y x c c b a ）所截得的弦长等于（
被直线为斜边），则圆是直角三角形的三边（、、若=++=+9.9.如
果执行下面的程序框图，那么输出的s 是 ( )
A ．2550
B ．-2550
C ．2548
D ．-2552
)
8
1
,81.()4
2
,42.()
2,2.()
22,22.(2)0,2(.1022--
--=+-D C B A K x y x l l ）
的取值范围是（
有两个交点时，其斜率与圆，当直线过点已知直线0
42.0
42.042.042.5,01)1(.1122222
2
2
2
=--+=-++=+++=+-+=++--y x y x D y x y x C y x y x B y x y x A C C a y x a a ）
为半径的圆的方程是（为圆心，则以恒过定点为任意实数时，直线当12.
某流程如下图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（ ）
A ．2)(x x f =
B ．x
x f 1
)(=
C ．62ln )(-+=x x x f
D ．x x f sin )(=
(第9题
)否
存在零点？
输出函数
()f x
是 开始
输入函数
()f x
()()0?f x f x +-=
是 否
k ≥-50 开始
k=1 S =0 结束 是
否
S=S-2k
输出S k=k-1
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二、填空题（每小题4分，共16分） 方程是的对称，则圆关于原点与圆圆圆221221)0,0(,25)3()1(:.13C O C C y x C =-++的最大公约数是和8401764.14 =-=+++++=22345215.01.004.008.0)(.15v x x x x x x x f 时的函数值时，在式应用秦九韶算法求多项的最小值为
距离
上各点到直线，则圆与圆已知直线l C y x C y x l 2)1()1(:04:.1622=-+-=+-三、解答题（共48分） 17、（本小题8分） （1）将下面的程序框图改写为程序语句。
17题（1）
（2）将上面的程序语句改写为程序框图。
方程。
，求该圆的截得的弦长为，且该圆被直线的圆心为已知圆分）
、（本小题2201:)1,2(818=---y x l C 图。
函数值，并画出程序框的值，输出相应的
量请编写程序，输入自变已知分段函数分）
、（本小题x x x x x x y ,)0(,12)0(,0)
0(,12819⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<+-=的长度）切线（的方程。
、）切线（求、）作圆的切线，切点为（外一点过圆分）
、（本小题PA PB PA B A P y x 21:.2,4482022=+ 的圆的方程
相切于点上，并且与直线求圆心在直线分）
、（本小题)2,3(01:4821-=-+-=P y x l x y 请说明理由。
值；如果不存在，共线？如果存在，求与，使得向量）是否存在常数（的取值范围。
）求（、相交于不同的两点的直线与圆率为且斜，过点的圆心为中，已知圆在平面直角坐标系分）
、（本小题K PQ OB OA K K B A Q K P Q x y x xoy +=+-+21)2,0(0321282222
i=1 s=1 WHILE i<99 s=s*i i=i+1 WEND PRINT S END 17题(2)
哈四中2021—2020学年度上学期期中考试 数学试卷答案
一、选择题：（每小题3分，共36分） 1—5 CCCAA 6---10 CDBCC 11---12 CD
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13、25)3()1(22=-++y x 14、84 15、0.34 16、2 三、解答题：（每小题8分，共48分）
17. （本小题8分）
(1) (2)
·4分
·8分
分
（）圆的方程为分
圆的半径分
的距离到直线圆心解：84)12(6222322
1
1201:.1822
=++-∴=+=∴=-+==--y x r d y x l C
19.INPUT x IF x<0 THEN
y=-2*x+1 ELSE
IF x=0 THEN
y=0 ELSE
y=2*x+1 END IF END IF PRINT y END
开始
s=1
i<99
输出S
S=S*i
是
否
i=1 s=0 DO s=s+i i=i+2
LOOP UNTIL i>999 PRINT s END
i=1
开始
y=-2x+1
输入ｘ
y=2x+1
y=0
·４分
·8分
20、（1）设过点P(4，2)与圆422=+y x 相切的直线方程为:y-2=k(x-4)·1分
即kx-y+2-4k=0 则1
4222
+-=
k k ·3分
解得:k=0或3
4
=k ·4分
∴切线PA,PB 的方程分别为y-2=0,4x-3y-10=0·5分
（2）4
4205
2242
222=-=-==∴=+=r PO PB PA PO ·7分
∴切线PA 长度为4 ·8分
分
所求圆的方程为分
解得分
由已知得解：设圆的方程为88)4()1(62
2,4,13)2()3(21
4)0()()(.2122222222 =++-∴=-==⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=--+-=-+-=>=-+-y x r b a r b a r b a a
b r r b y a x 22.解:(1)圆的方程可以写成4)6(22=+-y x
所以圆心为Q （6，0）。
过点P （0，2）且斜率为k 的直线方程为y=kx+2 ·1分 代入圆的方程得03212)2(22=+-++x kx x 整理得036)3(4)1(22=+-++x k x k ① ·2分
直线与圆交于两个不同的点A.B 等价于
()[]0)68(4)1(364342222
>--=+⨯--=∆k k k k ·3分
解得04
3
<<-
k ·4分 即k 的取值范围为)0,4
3
(-。
（2）设),(),(2211y x B y x A ，则),(2121y y x x OB OA ++=+。
由方程①得：2
211)
3(4k
k x x +--
=+ ② ·5分 又4)(2121++=+x x k y y ③ 而P （0，2），Q(6,0),)2,6(-= 所以+与PQ 共线等价于
)(6)(22121y y x x +=+-
将②③代入上式，解得4
3
-=k ·7分
由（1）知)0,4
3
(-∈k ，故没有符合题意的常数k ·8分
输出y。
广东省部分名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含解析)
2024—2025年度高二上学期期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的斜率为（ ）A.C.2.椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点在椭圆上，则的周长为（ ）A.16B.18C. D.203.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ）A.6B.7C.8D.94.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）A.9B.1C.1或9D.11或95.在正方体中，，，则（ ）A. B.C. D.6.过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C 于A ，B 两点，则（ ）0y +=22:19x y C m+=1F 2F P C 12PF F △10+212y x =F P (5,2)Q ||||PQ PF +22:1412x y C -=1F 2F C P 15PF =2PF =1111ABCD A B C D -13AE AB = 134BF BD = EF =11231234AB AD AA -++ 11331244AB AD AA -+11121243AB AD AA --+ 11331244AB AD AA -++2:4C y x =22:(3)1P x y -+=||AB =A. B.14 C.15 D.167.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球，则平面截球所得截面圆的面积为（ ）A.B.C.D.8.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ）B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若与圆相交于，两点，则D.过上一点向圆作切线，切点为，则10.在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）P ABCD -PA ⊥ABCD PB ABCD π4ABCD π2ABC BAD ∠=∠=2AD =1PA BC ==P ACD -O PBC O 9π811π89π411π421:2C x x +20y +=222:68160C x y x y +--+=P 21PC PC -1:(1)50l ax a y ++-=2:3450l x y -+=22:(3)(4)9C x y ++-=12//l l 37a =-12l l ⊥4a =-1l C A B min ||2AB =2l P C Q min ||PQ =ABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE △1A DE △1A DE C --P 1A CA.平面B.C.异面直线，所成的角为D.与平面11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为B.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为C.若存在点，使得，且，则椭圆D.若存在点，使得，且，则椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为___________.13.双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为___________，渐近线方程为___________.14.已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为16，最小值为4.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.16.（15分）//BP 1A DE DP EC⊥PB 1A D π31A B PBD 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C P 12π2F PF ∠=C ⎛ ⎝P ||2aOP =C ⎫⎪⎪⎭P 122PF PF =12π3F PF ∠=C P 2||3a OP =122π3F PF ∠=C (5,9,1)a =(2,1,1)b = a b C 2212036x y +=C 22:(1)(3)4C x y ++-=:280l x y --=M C N l (7,4)P --||||MN PN +2222:1(0)x y C a b a b+=>>C l C (3,4)--l已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为.（1）求曲线的方程.（2）过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P ，Q ，O 为坐标原点，试判断直线OP ，OQ 的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.17.（15分）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.（1）求该几何体的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程.（2）已知直线与轨迹交于A ，B 两点，以A ，B 为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求.19.（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于A ，B 两点（A 在B 上方），当轴时，直线为的等线.（1）求双曲线的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）已知为坐标原点，直线OP 与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由.ABC △(2,0)A -(3,0)B C 3||2||CA CB =C W W A l W 111ABDC A B C -111//A B C ABDC 11A ACC ABDC 11A ACC ⊥ABDC 111A B C △2AB =160A AC BAC ︒∠=∠=11A ABB 11B C D M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭30y +=32M C C :3l y kx =+C 1l 2l 1l 2l P ||||AB AP =k l l l l 22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>222:31C x y -=1F 2F 1C P 1C 1C P 1l 1C 2PF x ⊥y =12PF F △1C y =12AF BF 12AF BF O 2C Q 2C Q 2l 12AF F △[注]双曲线在其上一点处的切线方程为.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()00,P x y 00221x x y y a b -=2024—2025年度高二上学期期中考试数学参考答案1.D的斜率为，倾斜角为120°，所以绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的倾斜角为30°，斜率为.2.B 因为长轴长为10，所以长半轴长，短半轴长，半焦距，故的周长为.3.C 因为等于点到准线的距离，所以当PQ 垂直于准线时，有最小值，最小值为.4.A因为，所以，故.5.D 因为，，所以.因为，所以.6.D 记抛物线的焦点为，则.记切点为，因为圆的圆心为，所以，，所以，所以直线AB 的方程为.设，，联立方程组得，所以，所以.7.A 如图，建立空间直角坐标系，则，，.易知三棱锥的外接球球心为PD 的中点，所以.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.因为，所以点到平面的距离.0y +=tan 30=︒5a =3b =4c ==12PF F △2218a c +=||PF P ||||PQ PF +82Q px +=156PF a c =<+=2124PF PF a -==29PF =13AE AB = 134BF BD = 12334EF EB BF AB BD =+=+111BD BD DD AD AB AA =+=-+()1123133341244EF AB AD AB AA AB AD AA =+-+=-++C F (1,0)F Q P (3,0)P ||2PF =||1PQ =30PFQ ∠=︒1)y x =-()11,A x y ()22,Bx y 21),4,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩21410x x -+=1214x x +=12||16AB x x p =++=(0,0,1)P (1,0,0)B (1,1,0)C P ACD -O 10,1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭PBC (,,)n x y z = (1,0,1)BP =- (0,1,0)BC = 0,0,n BP x z n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩1x =(1,0,1)n = 10,1,2OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ O PBC ||||OP n d n ⋅===设截面圆的半径为，则，所以截面圆的面积为.8.A 由题知，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设点为圆与圆的根轴上的任意一点，则，所以，整理得，即圆与圆的根轴为直线.取关于对称的点，则.因为，所以在上，所以当，，三点共线时，取得最大值.因为到到，所以，即的最大值为.9.ABD 若，则，得，故A 正确.若，则，得，故B 正确.因为过定点，所以，故C 不正确.因为，所以当时，取得最小值.因为圆心到直线的距离，所以，故D 正确.10.AC 如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.r222519||488r OP d =-=-=9π81C 1(1,0)C -11r =2C 2(3,4)C 23r =(,)P x y 1C 2C l 22221122PC r PC r -=-()()()22222211343x y x y++-=-+--20x y +-=1C 2C l 20x y +-=1C l1C '11PC PC '=12C C l ⊥1C '12C C P 1C '2C 2121PC PC PC PC '-=-12C C '1C l 2C l 12C C '=21PC PC -12//l l 15345a a +-=≠-37a =-12l l ⊥34(1)0a a -+=4a =-1l (5,5)M -min ||4AB ===2222||||||||9PQ PC CQ PC =-=-2PC l ⊥||PQ C 2l 4d ==min ||PQ ==1(0,0,1)A (1,0,0)B C D 12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭对于A ，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A 正确.对于B ，因为，，所以，所以DP ，EC 不垂直，故B 错误.对于C ，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C 正确.对于D ，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D 错误.11.BCD 对于A ，只需，因为，所以，所以，故A 错误.对于B ，若存在，则只需，所以，故B 正确.对于C，因为，，所以，.因为，所以，，所以，故C 正确.12BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1A DE (1,0,0)m =0BP m ⋅= //BP 1ADE 11,2DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭EC =102DP EC ⋅=≠ 10,2PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 11)A D =-1cos ,PB A D = 1112PB A D PB A D ⋅=PB 1A D π3PBD (,,)n x y z =12BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(BD =- 10,20,n BP y z nBD x ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ x =n = 1A B PBD θ1(1,0,1)A B =-111sin cos ,A B n A B n A B nθ⋅====cos θ=b c ≤222b ac =-2222b ac c =-≤c e a ⎫=∈⎪⎪⎭||2a OP =2ab ≥e ⎫=⎪⎪⎭122PF PF =122PF PF a +=143a PF =223aPF =12π3F PF ∠=2221644214299332a a c a a =+-⨯⨯⨯223c a =c e a ==对于D ，因为，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.由，得D 正确.向量在向量上的投影向量的模为.13.； 设双曲线的方程为，因为椭圆的焦点为，长轴顶点为，所以，，所以.故双曲线的标准方程为，渐近线方程为.14.11 设圆心关于对称的点为，则解得即，连接，（图略），所以，故的最小值为.15.解：（1）由题意，可知解得因为，所以椭圆的方程为.（2）设，，则122PF PF PO += 2221212122cos 4||PF PF PF PF F PF PO ++∠=122PF PF a +=()2222121212121639PF PF PF PF PF PF PF PF a +-=+-=2122027PF PF a =222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-∠=()2212124PF PF PF PF c +-=221244PF PF a c =-222204427a a c =-e =ab ||||b a b ⋅= 2211620y x -=y x =C 22221(0,0)y x a b a b-=>>2212036x y +=(0,4)±(0,6)±4a =6c =b ==C 2211620y x -=a y x x b =±=(1,3)C -l ()000,C x y 000013280,2232,1x y y x -+⎧-⨯-=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩005,9,x y =⎧⎨=-⎩0(5,9)C -0C N 0C P 0013CN PN C N PN C P +=+≥=MN PN +13211-=16,4,a c a c +=⎧⎨-=⎩10,6.a c =⎧⎨=⎩22264b a c =-=C 22110064x y +=()11,A x y ()22,B x y 221122221,100641,10064x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，整理可得.因为线段AB 的中点坐标为，所以，，.所以直线的斜率，故直线的方程为，即.16.解：（1）设，因为，所以，所以，所以的方程为.（2）设，，.联立方程组得，所以，.因为，所以，故直线OP ，OQ 的斜率之积为定值，且定值为.17.解：取AC 的中点，连接，，则，.因为平面平面，且交于AC ，所以平面.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.（1）连接BC .因为，所以.因为，，所以，2222121210064x x y y --+=121212121625y y x xx x y y -+=-⨯-+(3,4)--126x x +=-128y y +=-l 1212121216166122525825y y x x k x x y y -+-==-⨯=-⨯=--+-l 124(3)25y x +=-+12251360x y ++=(,)C x y 3||2||CA CB =22229(2)94(3)4x y x y ++=-+22120x y x ++=W 22120(0)x y x y ++=≠:2l x my =-()11,P x y ()22,Q x y 222,120,x my x y x =-⎧⎨++=⎩()2218200m y my ++-=12281m y y m +=-+122201y y m =-+()()()222121212122222016422244111m m x x my my m y y m y y m m m -=--=-++=++=+++12125OP OQ y y k k x x ⋅==-5-O 1A O BO 1A O AC ⊥BO AC ⊥11A ACC ⊥ABDC 1A O ⊥ABDC O OB OC 1OA(0,1,0)A -B (0,1,0)C 2,0)D 1A 1B 1(0,C 1222ABC S =⨯⨯=△1OA =11113A B C ABC ABC V S OA -=⋅=△(BC = 1BB = 1cos ,BC BB = 1114||BC BB BC BB ⋅=则.设平面的法向量为，则令，得，因为，所以点到平面的距离所以，所以该几何体的体积.（2）设平面的法向量为，因为，，所以令，则.设平面的法向量为，因为，，所以所以.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.解：（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为.（2）设，，联立方程组得，则，.易知，的斜率存在，设的方程为，1sin B BC ∠=11B BCC S =四边形11B BCC (,,)n x y z = 10,0,n BC y n BB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1n =- (0,2,0)DB =- D 11B BCC ||||DB n d n ⋅==1111123D B BCC B BCC V S d -=⋅=四边形111115A B C ABC D B BCC V V V --=+=11A ABB ()111,,p x y z =AB = 1AA = 111110,0,p AB y p AA y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11x =(1,p = 11B C D ()222,,q x y z =11(B C = 1(0,1,B D = 11221220,0,q B C y q B D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩q = 11A ABB 11B C D θ||1cos |cos ,|||||5p q p q p q θ⋅=〈〉==11A ABB 11B C D 15M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭32y =-C 26x y =2111,6A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2221,6B x x ⎛⎫⎪⎝⎭26,3,x y y kx ⎧=⎨=+⎩26180x kx --=126x x k +=1218x x =-1l 2l 1l ()21116y x m x x -=-联立方程组得.由，解得，所以的方程为.同理可得，的方程为. 由解得即点.因为，，，且，所以，即，化简得，因此或故.因为直线为的等线，所以点在轴的上方，即.由，得因为双曲线的离心率为2，所以双曲线的离心率为，又因为，所以，所以，，所以双曲线的方程为.（2）设，则双曲线在点处的切线的方程为.双曲线的渐近线方程为，可得，()21121,66y x m x x x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩2211660x mx mx x -+-=()221136460m mx x ∆=--=13x m =1l 2111136y x x x =-2l 2221136y x x x =-21122211,3611,36y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1212,2,6x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭222121,6x x AB x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ()12121,26x x x x x AP -⎛⎫-=⎪⎝⎭()22121,26x x x x x PB -⎫-⎛=⎪ ⎝⎭ ||||AB AP =()0AB AP PB +⋅=()()()()()222221212212112210236436x x x x x x x x x x x x x AB PB AP PB -+---⋅+⋅=+++= 22122227290x x x x ++=-=126,3x x =-⎧⎨=⎩126,3,x x =⎧⎨=-⎩12k =±y =12PF F △P x 2,b Pc a⎛⎫ ⎪⎝⎭2b a -=2b a=2C 1C 2ca=222c a b =+223b a =a =3b =1C 22139x y -=()00,P x y 1C P 1l 00139x x y y-=1C y =A x =B x =所以，所以是线段AB 的中点.因为点，到过原点的直线的距离相等，所以过原点的等线必定满足点A ，B 到该等线的距离相等，且分别位于两侧，所以该等线必过点，即直线OP 的方程为.方程组解得或所以.所以，，所以，故.（3）设，则双曲线在点处的切线的方程为.易知与在的右侧，在的左侧，因为，，所以点到的距离由得.因为，，所以，，所以因为点到的距离，点到的距离所以，即为的等线.02A B x x x +=+=P 1F 2F O O P y =22,1,39y x y⎧=⎪⎨-=⎪⎩3,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3,x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩P A A y ===+B B y ===--A B y y -=1212113622A B AF BF S F F y y =⋅-=⨯=四边形()11,Q x y 2C Q 2l 11310x x y y --=A 2F 2l 1F 2l A x =A y =A 2l 1d 0022,31,y y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩22022003x x x y =-10x >220039x y -=013x x =013y y =1d 2F 2l 2d =1(F -2l 3d =123d d d +=2l 12AF F △。
江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 直线的倾斜角等于（）A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，，则（）A. -32B. -16C. 16D. 323. 若点在圆外，则实数的取值范围为（）A.B. C. D.4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（）A. B. C. D.5. 过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D.6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（）A. B. C. D. 7. 高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（）A1010B. 2024C. 1012D. 20208. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点122x y -=30o4590135{}n a 54a =78a =11a =()1,1P 22:420C x y x y a ++-+=a 4,5-（）(),5∞-(),4∞--6,5-（）1:20+-=l x y ()2,090 2l 2l 220x y -+=20x y ++=20x y --=220x y --=()1,1P 22:420E x y y +-+=10x y -+=0x y +=10x y ++=0x y -=()()22126x y -++=P AB ()1,1P --AB P AB 210x y --=210x y -+=230x y ++=230x y ++=123100++++L 1100101+=299101+=⋯5051101+=501015050⨯=n {}n a 120241a a =()11f x x=+()()()122024f a f a f a +++= xOy ()()2221:10C x y r r +-=>P P x Q在圆上，则的取值范围是（）A. B. C.D. （3，7）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知点，点，点，则下列正确有（）A. B. 直线的倾斜角为C. D. 点到直线10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）A. 直线方程为B. 公共弦C. 圆与圆的公切线段长为1D. 线段的中垂线方程为11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（）A. B. 数列的前项和为C. 数列的前项和为D. 若数列的前项和为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设是数列前项和，且，则的通项公式为___________.13. 函数______________.14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的的的()222:24C x y -+=r 2⎤-+⎦[]3,7)2+()1,2A -()1,4B ()4,1C AB BC>AB 45 AB BC⊥B AC 221:2210C x y x y +--+=222:4440C x y x y +--+=A B AB 2230x y +-=AB 1C 2C AB 0x y +={}n a 1122n n n a a ++-=14a =332a =1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n 12n +2log n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()22log 12n nn +++14n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 11124n T ≤<n S {}n a n 23n S n ={}n a n a =()f x =1:230l x y --=2:230l x y ++=M x C 1l 2l ,A B AMCB15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.（1）求数列与通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16. 已知圆，点.（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.18. 已知圆.（1）求的范围，并证明圆过定点；（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.19. 已知数列满足.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.的{}n a 13a ={}n b 426a a -=24b ={}n a {}n b {}n c n n n c a b =+{}n c n n T ()22:19C x y -+=()3,4P -P C T PT P 12-A B AB Q C PQ 1:30l x y -+=2:210l x y -+=C C 410x y -+=C 1l 2l ()22:4420C x y x λλ++-+-=λC :320l x y -+=A B AB O λ{}n a ()*122N n n a a a n a n +++=-∈ 123a a a ++{}4log 2n a -()()()*212N n n b n a n =--∈*N n ∈n b t +≤22t t2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BCD10.【答案】AC11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.14.【答案】或四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；（2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，，所以；因为，所以．【小问2详解】结合（1）可得：．16. 【解析】分析】（1）求出圆心和半径，得到（2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出答案；（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案．【小问1详解】圆心，半径为，即，又，【63n-81595d 424a a -=26d =3d =()3133n a n n =+-⋅=24b =2224222n n n n b b --⋅⋅===1212n n n T a a a b b b =+++++++ ()()212123322122332n n n n n n ++=-++=+--PT ==:250AB x y +-=C AB PQ P C ()1,0C 33TC =PC ==故【小问2详解】，故直线，记圆心到直线的距离为，，故；【小问3详解】的最大值为点到圆心的距离加上半径，故．17. 【解析】【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.【小问1详解】联立方程，解得，．设与直线平行的直线为，由题意得：，，故满足要求的直线方程为：．【小问2详解】①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，，解得，直线方程为，PT ==()1432y x -=-+:250AB x y +-=C AB d d AB ==PQ P C max 33PQ PC =+=+C ()401x y t t -+=≠C 30210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩25x y =⎧⎨=⎩(2,5)C ∴410x y -+=()401x y t t -+=≠2450t -⨯+=18t =4180x y -+=2x =5(2)y k x -=-250kx y k --+=∴22120k =∴2120580x y -+=综上所述，符合题意的直线方程为或．【小问3详解】在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则，解得，，又，则直线的方程即所求直线方程，为，化简得，.故所求的直线方程为：．18. 【解析】【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】由圆，得，，，所以的范围为；，由，得，所以圆过定点.【小问2详解】以弦为直径的圆过原点，则，，20x -=2120580x y -+=1l ()0,3M M 2l ()00,N x y 0000312321022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⋅-+=⎪⎩0085115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩811,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭(2,5)C CN 115558225y x --=--790x y --=790x y --=22:(4)420C x y x λλ++-+-=2(4)4(42)0λλ--->20λ>0λ≠λ()(),00,-∞+∞ 22044(2)x x x y λ-++-+=2244020x y x x ⎧+-+=⎨-=⎩20x y =⎧⎨=⎩C ()2,0M AB O OA OB ⊥0OA OB ⋅=设点，，则，，即，由，消去整理得：，，，，于是，解得，满足，所以的值为．19. 【解析】【分析】（1）根据递推关系求值即可；（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列；（3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列{b n }的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围．【小问1详解】，，，，，，，【小问2详解】证明：由题可知：①，②，②-①得，即：，()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=()()12123+23+20x x x x +=()1212106+40x x x x ++=()223204420x y x y x λλ-+=⎧⎨++-+-=⎩y ()2108820x x λλ+++-=22=(+8)40(82)=962560λλλλ∆--+->12810x x λ++=-128210x x λ-=82+8106401010λλ-⋅-⋅+=3613λ=0∆>λ361312311...22n n n a a a a a n a +++++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-{}4log 2n a -12-1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=1n n b b +-()2max2n t b t ≤-t 123...2n n a a a a n a ++++=- 112a a ∴=-11a ∴=1224a a a ∴+=-232a ∴=12336a a a a ++=- 374a ∴=23137171.244a a a ++=++=∴123...2n n a a a a n a ++++=-12311...22n n n a a a a a n a ++∴+++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-所以，，，又∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列.【小问3详解】由（2）可得，，，则，由可得；由可得，∴，故{b n }有最大值，∴对任意，有，如果对任意，都有成立，则，∴，解得或，∴实数的取值范围是414411log 2log 2log 222n n n a a a +⎡⎤-=-=-+-⎢⎥⎣⎦4141log 2log 22n n a a +---=-41log 20a -={}4log 2n a -12-11212122n n a a a +-=-=--，1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=()11212212121322222n n n n n nn n n n nb b +-+--+---=-==10n n b b +->2n <10n n b b +-<2n ≥12345......n b b b b b b >>>><>>232b =*N n ∈32n b ≤*N n ∈22n t b t +≤()2max2n t b t ≤-2322t t ≤-1t ≤-3t ≥t (,1][3,).-∞-⋃+∞。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学及答案
哈三中2024—2025学年度上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆()()22342x y +++=的圆心和半径分别是（）A ．()3,4-，2B ．()3,4-，2C ．()3,4--D ．()3,4-2．下列命题是真命题的是（）A ．经验回归方程 y bxa =+ 至少经过其样本数据点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个B ．可以用相关系数r 来刻画两个变量x 和y 线性相关程度的强弱，r 的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强C ．线性回归分析中决定系数用2R 来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好D ．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好3．某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布()11,N μσ，()22,N μσ，()33,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则（）A ．123μμμ=>B ．123μμμ=<C ．123μμμ>=D ．123μμμ<=4．将1，2，3，4，5，6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相等的概率为（）A ．16B ．112C ．115D ．1305．设a 为实数，已知直线1l ：310ax y a +++=，2l ：()6340x a y +-+=，若12l l ∥，则a =（）A ．6B ．3-C ．6或3-D ．6-或36．已知直线l ：410x ty +-=，其中t 为321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则点()2,1P 到直线l的距离为（）A ．1B ．2C ．5D ．107．某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据(),i i y ，其中1i =，2，3，i y 为第i 次人流量数据（单位：千人），由此得到y 关于i 的回归方程 26log y i a=+.已知4y =，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（）千人.参考数据：2log 3 1.6≈A ．9.6B ．10.8C ．12D ．13.28．已知函数()11,0231,01x x f x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨+⎪≤⎪-+⎩，则()9723f x x --的取值范围为（）A ．404,,2121⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．220,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．[)40,0,21⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ D ．()20,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．关于函数()ππsin 2cos 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列命题中正确的是（）A ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =C ．将函数2y x =的图象向左平移7π24个单位后，与已知函数的图象重合D ．()y f x =的图象关于直线π24x =对称10．在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点1,1，2,2的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，则下列命题中正确的是（）A ．12,6M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4,13N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()7,6d M N =B ．O 为坐标原点，动点R 满足(),1d O R =，则R 的轨迹为圆C ．对任意三点A 、B 、C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥D ．已知点()1,3P 和直线l ：210x y -+=，则()4,3d P l =11．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是23，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分，则（）A ．()()()346P X P Y P Y ===+=B ．()()E Y E X <C ．()74D X =D ．()()294E X D X -=第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12．下列说法中正确的有（填正确说法的序号）10y ++=的倾斜角为2π3②直线1x +=③直线()23y a x a =-+（a ∈R ）过定点()3,6-④点()0,1到直线20y +=的距离为113．对于随机事件,M N ，若()12P M =，()34P M N =，()38P M N =，则()P N =.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 为空间内两点且12AE AD =，BF BA BC λμ=+，[],0,1λμ∈.当三棱锥11A FC E -的体积最大时，其外接球的表面积为.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos cos 2sin b C c B a A +=(1)求锐角A 的大小；(2)在（1）的条件下，若sin cos C C =，且ABC V 的周长为求ABC V 的面积.16．已知ABC V 的三个顶点分别是()2,1A ，()1,0B -，()3,3C (1)求边AC 的高BH 所在直线方程；(2)已知M 为AB 中点，试在直线CM 上求一点P ，在x 轴上求一点Q ，使APQ △的周长最小，并求最小值.17．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求x 的值并估计该评分的上四分位数；(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在[)70,80，[)80,90的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取4人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X 的分布列和数学期望；(3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++α0.050.010.001x α3.8416.63510.82818．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M 为正方体中心，将四棱锥11M BCC B -绕1CC 逆时针旋转α（0πα<<）后得到四棱锥11M B CC B '''-，如图1.(1)求四棱锥11M BCC B -的表面积和体积；(2)若π2α=（如图2），求证：平面1MBB⊥平面1M B B'''；(3)求α为多少时，直线1M B''与直线DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.19．某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到.(1)当8n=，3k=时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；(2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X①设5n=，2k=，求随机变量X的分布列和数学期望；②求使()P X m=取得最大值的整数m.1．C【分析】由圆的标准方程直接可得出圆的圆心和半径.【详解】圆()()22342x y +++=的圆心为()3,4--.故选：C.2．D【分析】根据经验回归方程、相关系数、决定系数、残差等知识确定正确答案.【详解】对于A ，经验回归方程ˆˆˆybx a =+是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过)(x y ，所以A 错误；对于B ，由相关系数的意义，当r 越接近1时，表示变量y 与x 之间的线性相关程度越强，所以B 错误；对于C ，用决定系数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，所以C 是错误；对于D ，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故D 正确.故选：D.3．D【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得.【详解】观察曲线知，123μμμ<=.故选：D 4．C【分析】根据题意，先将6个数字分为3组，再将三组全排列，安排在表格的三行中，由分步计数原理计算计算个数，即可由古典概型概率公式求解.【详解】要使表格内每一行数字之和均相等，根据162534+=+=+，先将6个数字分为3组，分别为(1,6)，(2,5)，(3,4)；将三组全排列，安排在表格的三行中，每一行有22A 种顺序，则可组成不同表格的个数为22232223A A A A 48=；将1，2，3，4，5，6这6个数填入表格中的所有情况66A 720=,故概率为48172015=故选：C ．5．A【分析】由题可得()318a a -=，据此可得a 的可能值，验证后可得答案.【详解】因12l l ∥，则()()()23183180630a a a a a a -=⇒--=⇒-+=.则6a =或3a =-.当6a =，1l ：6370x y ++=，2l ：6340++=x y ，满足12l l ∥；当3a =-，1l ：3320x y -+-=，2l ：66403320x y x y -+=⇔-+-=，两直线重合，不合题意.则6a =.故选：A 6．B【分析】根据二项式展开式的通项特征可得3t =，即可根据点到直线的距离公式求解.【详解】321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为12321C 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故3t =，所以直线l ：4310x y +-=，故点()2,1P 到直线l 2=，故选：B 7．B【分析】令2log x i =，由 6y x a =+，求出 a ，得回归方程，可求预测值.【详解】令2log x i =，则6y x a =+ ，222log 1log 2log 3 2.633x ++==，又4y =，由 6y x a =+，得 2.6463a =⨯+，所以 1.2a =-，则 26log 1.2y i =-，下午2点时对应4i =，可得 26log 4 1.210.8y =-=.故选：B.8．B【分析】化简()f x ，()9723f x x --函数()f x 上一点()(),x f x 与39,27A ⎛⎫⎪⎝⎭连线斜率k 的72-倍，求出k 的范围，即可得出答案.【详解】因为()11,02321,01x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪-⎩，图象如下图，()12,,0,13B C ⎛⎫⎪⎝⎭，()()()9979777733232222f x f x f x x x x ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦==-⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，表示函数()f x 上一点()(),x f x 与39,27A ⎛⎫⎪⎝⎭连线斜率k 的72-倍，()12,,0,13B C ⎛⎫⎪⎝⎭，91204073213121222AB k -===---，9214773321022AC k -===-，由图可知：421k ≥或4021k ≤-，所以7223k -≤-或72023k -≥，则()9723f x x --的取值范围为220,,33∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：B.9．ABD【分析】根据辅助角公式可得()5π212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可根据周期以及最值求解AB ，根据平移的性质即可判断C ，代入验证即可求解D.【详解】()ππππ5πsin 2cos 222666412f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,对于A ，最小正周期为2ππ2=，A 正确，对于B ，由于5πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，故()y f x =B 正确，对于C，2y x =的图象向左平移7π24个单位后，得到()7π7π224212x f x y x ⎛⎫⎛⎫=+≠ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=+⎭，故C 错误，对于D ，5ππ22ππ214242f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()y f x =的图象关于直线π24x =对称，D 正确，故选：ABD 10．ACD【分析】对于A ：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B ：设(),R x y ，分析可得11x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C ：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D ：设点(,21)Q x x -可得{}(,)max 3,22d P Q x x =--，讨论可得距离d ，再由函数的性质，求得最小值.【详解】对于选项A ：若12,6M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4,13N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()4217213366⎛⎫---=--= ⎪⎝⎭，因为2736<，所以()7,6d M N =，故A 正确；对于选项B ：设(),R x y ，若(),1d O R =，则11x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，且等号至少有一个成立，可得R 的轨迹如图所示，为正方形，故B 错误；对于选项C ：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则{}{}13133232(,)(,)max ,max ,d A C d C B x x y y x x y y +=--+--133212x x x x x x ≥-+-≥-，同理可得12(,)(,)d A C d C B y y +≥-，所以{}1212(,)(,)max ,(,)d A C d C B x x y y d A B +≥--=，故C 正确；对于选项D ：设(,21)Q x x -为直线:210l x y --=上一点，则{}(,)max 3,22d P Q x x =--，当322x x -≥-，即513x -≤≤时，则(,)3d P Q x =-，可知当53x =时，取得最小值43；当322x x -<-，即53x >或1x <-，则4(,)223d P Q x =->，无最小值；综上可得：4(,)3d P l =，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.11．BCD【分析】分别计算出X 和Y 的分布列，然后逐项进行计算即可求得.【详解】由题意，X 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个；若该题有3个正确选项，则小明从1个错误选项中选择1个，概率为：()11211144C C 21503C 3C 12P X ==⨯+⨯=；2X =，该题有3个正确选项，则小明从3个正确选项中选择1个，概率为：()1314C 1123C 4P X ==⨯=；3X =，该题有2个正确选项，则小明从2个正确选项中选择1个，概率为：()1214C 2133C 3P X ==⨯=；Y 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个或选择2个错误选项；若该题有3个正确选项，则小明从1个错误选项中选择1个，再从3个正确选项中选一个，概率为：()1111231222222444C C C C C 2211303C 3C 3C 18P Y ==⨯+⨯⨯=；4Y =，该题有3个正确选项，则小明从3个正确选项中选择2个，概率为：()2324C 1143C 6P Y ==⨯=；6Y =，该题有2个正确选项，则小明从2个正确选项中选择2个，概率为：()2224C 2163C 9P Y ==⨯=；对于A 选项，()()()15346318P X P Y P Y ==≠=+==，A 错误；对于B 选项，()511302312432E X =⨯+⨯+⨯=；()1311404618693E Y =⨯+⨯+⨯=；所以()()E Y E X <，B 正确；对于C 选项，()251104941243E X=⨯+⨯+⨯=，()()()()22237424D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，C 正确；对于D 选项，()()279444E XD X -=-=，D 正确.故选：BCD.12．①③【分析】对于①，根据斜率与倾斜角的关系可判断，对于②，将直线化为一般式，即可判断；对于③，将直线()23y a x a =-+化为()()236y a x =-++，故可判断；对于④，根据点到直线的距离公式即可判断.10y ++=的斜率为根据倾斜角θ满足tan πθθ=≤<，即2π3θ=，故①正确；对于②，将直线1x +=0y +=，所以斜率为对于③，将直线()23y a x a =-+化为()()236y a x =-++，所以3x =-时，6y =，不论a 取值，故直线过定点()3,6-，故③正确；3=，故④错误.故答案为：①③13．13【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算即可.【详解】因为()()()34P MN P M N P N ==，所以()()34P MN P N =，则()()()()()34P N P MN P MN P MN P N =+=+，所以()()14P MN P N =，又()()()()()()()1318P MN P M P N P MN P M N P N P N --+===-，所以()()()11132418P N P N P N --+=-，解得()13P N =.故答案为：13.14．11π【分析】根据条件得到E 为AD 中点，F 在平面ABCD 内，其中11A C E S V 为定值，只需点F 到平面11A C E 的距离最大，建立空间直角坐标系，设(),,0F s t ，[],0,2s t ∈，得到平面11A C E 的法向量，利用点到平面距离的向量公式得到当2s t ==时，点F 到平面11A C E 的距离最大，此时F 与B 重合，求出1DB ⊥平面11A BC ，设球心(),,O a b c ，由11OE OB OA OC ===得到方程组，求出球心和半径，求出表面积.【详解】因为12AE AD = ，所以E 为AD 中点，又BF BA BC λμ=+ ，[],0,1λμ∈，故F 在平面ABCD 内，其中11A C E S V 为定值，只需点F 到平面11A C E 的距离最大，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故()()()()112,0,2,1,0,0,0,2,2,2,2,0A E C B ，设(),,0F s t ，[],0,2s t ∈，设平面11A C E 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()111,,1,0,220,,2,2,0220m A E x y z x z m A C x y z x y ⎧⋅=⋅--=--=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩，令1z =得2,2x y =-=-，故()2,2,1m =-- ，则(),,0F s t 到平面11A C E 的距离12223EF m d s t m ⋅==-- ，故当2s t ==时，点F 到平面11A C E 的距离最大，此时()2,2,0F ，即F 与B 重合，设球心(),,O a b c ，由11OE OB OA OC ===得()()()()()()()()()222222222222222222122122122a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎧-++=-+-+⎪⎪-++=-++-⎨⎪-++=+-+-⎪⎩，解得76a b c ===，故外接球球心为777,666O ⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为r ==故外接球表面积为24π11πr =.故答案为：11π【点睛】方法点睛：几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理，几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，进而求出半径，也可以利用空间向量的方放，设出球心坐标，待定系数法进行求解15．(1)π3A =(2)3【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；（2）先求出C ，再根据正弦定理，令sin sin sin a b c k A B C===，求出,,a b c ，再根据三角形的周长求出k ，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1)cos cos 2sin b C c B a A +=，)sin cos sin cos 2sin sin B C C B A A +=，()2sin sin B C A A A +==，又sin 0A >，所以sin 2A =，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3A =；（2）因为sin cos C C =，所以tan 1C =，又()0,πC ∈，所以π4C =，则()1sin sin 2B A C =+==，由正弦定理，令sin sin sin a b c k A B C===，则sin ,sin ,sin 242a k A kb k B kc k C k ======，所以ABC V 的周长为242a b c k ⎫++=++=+⎪⎪⎝⎭，解得4k =，所以a b ==所以1sin 32ABC S ab C ==V 16．(1)210x y ++=(2)当5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APQ △.【分析】（1）求出边AC 的高BH 的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.（2）先求出直线CM 的方程，如图，作出()2,1A 关于直线CM 的对称点(1,2)N ，作出()2,1A 关于x 轴的对称点(2,1)E -，则连结EN ，交直线CM 于P ，交x 轴于Q ，则MPQ V 的周长的最小值等于NE ，最后求出直线NE 的方程，即可求出点Q .【详解】（1）因为()2,1A ，()3,3C ，所以31232AC k -==-，所以边AC 的高BH 的斜率为12k =-，又因为直线BH 过点()1,0B -，所以BH 所在直线方程为：()112y x =-+，化简可得：210x y ++=.所以BH 所在直线方程为210x y ++=.（2）因为M 为AB 中点，所以11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,3C ，直线CM 的方程为：33113322y x --=--，化简可得：y x =，如图，作出()2,1A 关于直线:0CM l x y -=的对称点(),N a b ，则1122122b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⎪⎩，解得：1,2a b ==，所以()1,2N ，作出()2,1A 关于x 轴的对称点(2,1)E -，连结EN ，交直线CM 于P ，交x 轴于Q ，AP PN = ，AQ QE =，三角形APQ △的周长为线段NE 的长，由两点间线段最短得此时APQ △的周长最小，APQ △的周长最小时，最小值为：||NE =此时直线NE 的斜率为()21312--=--，直线NE 的方程为：()231y x -=--，化简可得：350x y +-=，令0y =，所以53x =，所以5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APQ △.17．(1)0.03x =，93.75(2)分布列见解析，()83E X =(3)无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.【分析】（1）根据频率和为1计算出x 的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算；（2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出X 的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望；（3）根据已知条件得到对应22⨯列联表，然后计算出2χ的值并与对应x α比较大小，由此得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知，0.005100.010100.01510100.040101x ⨯+⨯+⨯++⨯=，解得0.03x =；因为[]90,100的频率为100.0400.40.25⨯=>，且[]90,100为最后一组，所以评分的上四分位数位于区间[]90,100中，所以上四分位数为：0.40.25901093.750.4-+⨯=；（2）评分在[)70,80与[)80,90两组的频率分别为0.15,0.3，所以[)70,80内抽取人数为0.15620.150.3⨯=+，[)80,90内抽取人数为0.3640.150.3⨯=+，故6人中评分等级为良好的有4人，由题意可知，X 的可取值为2,3,4，()222446C C 22C 5P X ===，()132446C C 83C 15P X ===，()4446C 14C 15P X ===，所以X 的分布列为：X234P 25815115数学期望()2818234515153E X =⨯+⨯+⨯=；（3）青年游客评分等级良好的有()0.30.410070+⨯=人，所以老年游客评分等级良好的有1207050-=人，由上可得如下22⨯列联表，青年游客老年游客总计评分等级良好7050120评分等级非良好305080总计100100200零假设0H ：游客的评分等级是否良好与年龄段无关，由表中数据可得()220.001200350015008.33310.82810010080120x χ-=≈<=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，可知零假设0H 成立，即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.18．(1)表面积为4，体积为43(2)证明见解析(3)π4α=时，直线1M B ''与直线DC 所成角最小，最小角的余弦值为3【分析】（1）根据棱锥的表面积公式和体积公式计算即可；（2）易得平面11DCC D ､平面11CB B C ''为同一个平面，补全正方体111BNB C B PB C ''-，证明111D B B ∠'为二面角111D BB B '--的平面角，再证明111π2D B B '∠=即可；（3）以C 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）由题意，MB =则1122MBB S =⨯=V所以四棱锥11M BCC B -的表面积为224⨯=，四棱锥11M BCC B -的高为1，则111422133M BCC B V -=⨯⨯⨯=；（2）若π2α=，则平面11DCC D ､平面11CB B C ''为同一个平面，如图，补全正方体111BNB C B PB C ''-，连接BD 、1BB '，则M 是BD 中点，M '是1BB '中点，所以平面1MBB 与平面11BDD B 重合，平面1M B B '''与平面11BB B B ''重合，由正方体性质可知1BB ⊥平面1111A B B D '，因为1111,B D B B '⊂平面1111A B B D '，所以111BB B D ⊥，111BB B B '⊥，111D B B ∠'为二面角111D BB B '--的平面角，因为1111111,2πD C B C D C B =∠=，则111π4D B C ∠=，同理可得111π4B B C '∠=，所以111π2D B B '∠=，所以平面1MBB ⊥平面1M B B '''；（3）如图，以C为原点，建立空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,2,0,2cos ,2sin ,2C D B αα'-，ππ,144M αα⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭'，即()cos sin ,sin cos ,1M αααα+-'，故()()10,2,0,cos sin ,sin cos ,1DC M B αααα''==-+ ，则111cos ,DC M B DC M B DC M B '''⋅=='='' ，因为0πα<<，所以ππ5π444α<+<，所以πsin 4α⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以1cos ,DC M B '=⎝⎦' ，所以1max cos ,DC M B ''= ，此时ππ42α+=，即π4α=，所以π4α=时，直线1M B ''与直线DC【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.19．(1)15224；(2)①分布列见解析，数学期望为165；②答案见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率，结合事件的独立性及组合计数问题列式求解.（2）①求出X 的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；②按k n =和k n <分类求出()P X m =的表达式，再建立不等式求出对应的整数m .【详解】（1）设事件A =“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”，所以22753388C C 15()C C 224P A ==.（2）①X 的可能取值为2，3，4，211122554353222222555555C C C C C C 133(2),(3),(4)C C 10C C 5C C 10P X P X P X =========，所以X 的分布列为：X234P 11035310答案第15页，共15页数学期望13316()234105105E X =⨯+⨯+⨯=.②当k n =时，m 只能取n ，此时有()()1P X m P X n ====；当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k 和n 中的较小者，由甲和乙各自独立、随机地发送活动信息给k 位同学，得所包含的基本事件总数为2(C )k n ，当X m =时，同时收到甲乙两人所发信息的学生人数为2k m -，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m k -，由分步乘法原理知，事件{}X m =所包含的基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n k n k n k n k ------=，22C C C C C ()(C )C k k m m k m k m k n k n k k n k k k n nP X m ------===，当k m t ≤<时，22(1)()(1)(1)()(2)22k P X m P X m m k n m k m m k n +=≥=+⇔-+≤--⇔≥-+，22(1)()(1)(1)(1)(21)212k P X m P X m m k n m k m m k n +=≥=-⇔-+≤-+-+⇔≤+-+，因此()P X m =取得最大值时，m 满足22(1)(1)22122k k k m k n n ++-≤≤+-++，假如2(1)22k k k t n +≤-≤+成立，则当2(1)k +能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22k m k n +=-+和2(1)212k m k n +=+-+处达到最大；当2(1)k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)2[]2k m k n +=-+处达到最大值（[]x 表示不超过x 的最大整数），下面证明2(1)22k k k t n +≤-≤+：由1k n ≤<，得222(1)1(1)11202222k kn k k k k k k k n n n n +--+-----=≥=≥++++，22(1)(1)2022k n k k n n n +-+--=-<++，则2(1)22k k n n +-<+，显然2(1)222k k k n +-<+，因此2(1)22k k k t n +≤-≤+.【点睛】关键点点睛：求使()P X m =取得最大值的m 值，关键是求出()P X m =的表达式，再利用最大概率问题求解.。
河南省信阳2024-2025学年高二上学期期中考试 数学含答案
河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题（答案在最后）命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.43.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-= D.22(1)(5)25x y +++=5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +-6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，OP =PF =（）A.4B.6C.8D.107.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.B. C.6 D.128.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,2,3c =-，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆2228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P 的轨迹长度为三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．19.已知椭圆M ：22221(3x y a a a +=>-倍.（1）求M 的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l 与M 交于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，求m .20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF .（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B 【解析】【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可；【详解】因为直线的方向向量(1,2)v =，所以直线的斜率为2，又直线l 经过点(1,0)P ，所以直线方程为()021y x -=-，即220x y --=，故选：B.2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由题意可得20⋅=a b ，代入坐标计算可得答案．【详解】由题意可得()22,2,2b k =-- ，则24420a b k ⋅=--+= ，解之可得4k =.故选：D ．3.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“3m =-”和“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选：A.4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-=D.22(1)(5)25x y +++=【答案】D 【解析】【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为点()1,5C --，半径为5，则圆的方程为22(1)(5)25x y +++=．故选：D ．5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．【详解】点N 为BC 的中点，则有()12ON OB OC =+，所以()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ .故选：B.6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，43OP =PF =（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设()(),0P m n m ≥，结合3OP =4n =，由焦半径公式得到答案.【详解】抛物线2:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-，设()(),0P m n m ≥，则2228,3,m n m n ⎧=⎪+=，解得4n =或12n =-（舍去），则26PF n =+=．故选：B ．7.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.3B.23C.6D.12【答案】D 【解析】【分析】根据焦点坐标得到c ，再由1260F PF ∠=得到a ，c 的关系求解.【详解】因为椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()123,0,3,0F F -，则3c =，又上顶点为P ，且1260F PF ∠=，所以1sin 302c a =︒=，所以6a =，故长轴长为12.故选：D8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】设出直线2PF 的方程，与渐近线的方程联立，求出P 的坐标，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，求出Q 的坐标，代入双曲线的方程求解即可.【详解】令()2,0F c ，由对称性，不妨设直线2PF 的方程为()by x c a=-，由()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x c =，2bc y a =-，即点P 的坐标为,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，则点Q 的坐标为3,44c bc a ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线的方程，有222222911616c b c a a b -=，即222c a =，222c a=，解得e =，所以双曲线C．故选：A二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,3c =- ，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底【答案】BC 【解析】【分析】对A ：计算出a b ⋅ 即可得；对B ：由向量共线定理计算即可得；对C ：计算a c ⋅ 并判断a 与c是否共线即可得；对D ：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A ：132********a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯+⨯-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭r r ，故a 与b 不垂直，故A 错误；对B ：由13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 、()1,2,3c =-，有12b c = ，故b 与c 共线，故B 正确；对C ：()21022380a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=> ，且a 与c不共线，故a 与c所成角为锐角，故C 正确；对D ：由b 与c 共线，故a ，b ，c不可作为空间向量的一组基底，故D 错误.故选：BC .10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直【答案】ACD 【解析】【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A ；利用特殊值判断B ；将点的坐标代入方程即可判断C ；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D.【详解】对于A：直线330y +-=的斜率33k =-，所以该直线的倾斜角为150︒，故A 正确；对于B ：当0a =，0bc >时，直线cy b=-经过第三象限，故B 错误；对于C ：将()1,2--代入方程，则()2212430y λλ----+-=，即点()1,2--在直线上，故C 正确；对于D ：若两直线垂直，则320a a +=，解得0a =，故D 正确.故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A ：根据异面直线的夹角分析求解；对于B ：分析可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，运算求解即可；对于C ：四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，求正方体的外接球即可；对于D ：根据锥体的体积公式分析判断即可.【详解】对于A ：因为11//AA BB ，在1Rt B BD 中，1BB D ∠就是异面直线所成的角，且1,BD B D ==，则1sin3BB D ∠==，故A 正确；对于B ：连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD ，又因为BD ⊥AO ，1AA AO A ⋂=，1,AA AO ⊂平面1AOA ，可得BD ⊥平面1AOA ，且1AO ⊂平面1AOA ，则BD ⊥1A O ，可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，在1Rt A AO △中，1tan 222A OA a∠==B 错误；对于C ，显然四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，因为正方体外接球的半径32R a =，所以正方体的外接球体积为3343ππ32V R a ==，故C 正确；对于D ，因为111111A B D D D A B D V V --=，三棱锥1A ABD -的高1AA 与三棱锥111D A B D -的高1DD 相等，底面积111ABD A B D S S =△△，故三棱锥1A ABD -与三棱锥111A B D D -体积相等，故D 正确.故选：ACD .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆22228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数a 的范围判断A ，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B ，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C ，先根据矩形性质结合垂径定理得到点P 的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D .【详解】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,0圆2228C :(x a )(y -+-=的圆心为(a，半径为当圆1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-+≤，解得35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=- ，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且ABOP ==，又AB =，所以=，化简得()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0的圆，其周长为长度为，正确.故选：ABD三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．【答案】12##0.5【解析】【分析】将直线1l 的方程可化为68100x y +-=，利用平行线间的距离公式可求得结果.【详解】直线1l 的方程可化为68100x y +-=，且直线2l 的方程为6850x y +-=，所以，平行直线1l 与2l之间的距离为12d ==.故答案为：12.14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.【答案】7【解析】【分析】由双曲线的离心率可求得c 的值，可求得12F F 的值，推导出12F PF ∠为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出12PF PF ⋅的值，再利用三角形的面积公式可求得12PF F 的面积.【详解】如图所示：因为双曲线C 的离心率433c c e a ===，所以4c =，128F F =，设点P 在双曲线的右支上，由1212142OP F F OF OF ====，可得22OPF OF P ∠=∠，11OPF OF P ∠=∠，所以，()121212121π22F PF OPF OPF OPF OPF OF P OF P ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=，由双曲线定义可得126PF PF -=，由勾股定理可得222121264PF PF F F +==，所以()222121212236PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，可得1214PF PF ⋅=，因此12PF F 的面积为12172S PF PF =⋅=.故答案为：7.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．【答案】3【解析】【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.【详解】122PF PF a += ，222121224PF PF PF PF a ∴++⋅=，①又12,PF PF ⊥222212124PF PF F F c ∴+==②∴①-②得：()22212244PF PF a c b ⋅=-=，2121,2PF PF b ∴⋅=12PF F △的面积为9，1221219,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==> ，3.b ∴=故答案为：3.16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由题意可得：111,222BN BA BD DM BC BD =+=- ，根据空间向量的数量积运算求解.【详解】由题意可知：1BA BC BD === ，且12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ，因为M 为BC 中点，N 为AD中点，则111,222BN BA BD DM BM BD BC BD =+=-=- ，所以111222BN DM BA BD BC BD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211114422BA BC BD BC BA BD BD =⋅+⋅-⋅-uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r 1111111142422222=⨯+⨯-⨯-=-.故答案为：12-四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．【答案】（1）10x y -+=（2）722【解析】【分析】（1）求出AB 的中点H 的坐标，利用垂直关系得到高CH 所在直线的斜率，得到高CH 所在直线方程；（2）联立两直线得到点C 的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.【小问1详解】由题意可知，H 为AB 的中点，()1,3A - ，()2,0B ，13,22H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．又30112AB k -==---，11CH ABk k ∴=-=．CH ∴所在直线方程为3122y x -=-，即10x y -+=．【小问2详解】由24010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,2C --．又直线AB 方程为()2y x =--，即20x y +-=．∴点C 到直线AB 的距离722d ==．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【答案】（1）2a =-或6-；（2）1x =或512290x y +-=．【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．【小问1详解】圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB ==，解得2a=-或6-；【小问2详解】当切线的斜率不存在时，直线1x=，与圆C相切，切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x-=-，即20kx y k--+=，2=，解得512k=-，故切线方程为512290x y+-=，综上所述，切线方程为1x=或512290x y+-=．19.已知椭圆M：22221(3x y aa a+=>-倍.（1）求M的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l与M交于A，B两点，线段AB的中点坐标为1,2m⎛⎫⎪⎝⎭，求m.【答案】（1）22163x y+=（2）1m=-【解析】【分析】（1）根据条件确定a的值，即得椭圆的标准方程；（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.【小问1详解】由题意可得2a=26a=，所以M的方程为22163x y+=.【小问2详解】由题意得πtan14ABk==.设()11,A x y，()22,B x y，依题意可得12x x≠，且12122,1212x x my y+=⎧⎪⎨+=⨯=⎪⎩，由22112222163163x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()()()()12121212063x x x x y y y y-+-++=，则12122121106363y y m m x x -+⨯=+⨯=-，解得1m =-.经检验，点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆M 内.所以1m =-为所求.20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果；【小问1详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,0,1,1,1P C D M N ,()()0,2,2,2,0,0PD CD =-=- ，()0,1,1MN = ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则22020n PD y z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，得()0,1,1n = ，因为//MN n ，所以MN ⊥平面PCD ；【小问2详解】()()()0,0,2,2,2,0,1,0,0,P C M ()1,0,2PM =- ，()1,2,0MC = ，设平面PMC 的一个法向量为(),,m a b c =，则2020m PM a c m MC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2a =，得()2,1,1m =- ，()0,2,2,PD =- 设直线PD 与平面PMC 所成角为θ，则直线PD 与平面PMC所成角的正弦值为：3sin 3PD m PD m θ⋅===⋅ ．21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF.（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）28y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求p ，即可求抛物线的标准方程；（2）首先根据（1）的结果求点P 的坐标，设直线PM 和PN 的直线方程与抛物线方程联立，求得点,M N 的坐标，并表示直线MN 的坐标，即可证明.【小问1详解】由抛物线的定义知422p PF ==+，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】因为点P 的横坐标为2，即282y =⨯，解得4y =±，故P 点的坐标为()2,4，由题意可知，直线PM ，PN 不与x 轴平行，设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线PM ：()42m y x -=-，即42x my m =-+，代入抛物线的方程得()2842y my m =-+，即2832160y my m -+-=，则148y m +=，故184y m =-，所以()211428442882x my m m m m m m =-+=--+=-+，即()2882,84M m m m -+-，设直线PN ：()42m y x --=-，即42x my m =-++，同理可得284y m =--，则()222428442882x my m m m m m m =-++=---++=++，即()2882,84N m m m ++--直线MN 的斜率121216116MN y y m k x x m-===---，所以直线MN 的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线PM 与PN 的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点,M N 的坐标.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）11【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质可得四边形1D MPN 是平行四边形，再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1NP CC ∥，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11D M CC ∥，则有1D M NP ∥、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1D N MP ∥，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、1,1,0、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = ，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为 =1,1,1、 =2,2,2，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =、20z =，即()1,3,1m = ，()1,1,0n =，则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ ，故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为11；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m = ，则有111BB m m ⋅== ，即点B 到平面1CB M 的距离为11．。
深圳中学2024-2025学年度第一学期高二数学期中考试试题及答案
试卷类型：A深圳中学2024-2025学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学命题人：审题人：考试用时：120分钟卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。
选择题作答必须用2B 铅笔。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线3450x y +-=的斜率为（）A ．34-B ．43-C ．34D ．432．已知等比数列{}n a ，若42a =，63a =则2a =（）A ．34B ．23C ．43D ．323．若椭圆2214x y λ+=的右焦点坐标为(1,0)，则λ的值为（）A ．1B ．3C ．5D ．74．设两直线1:(1)30l m x y +--=，2:210l x my ++=相互垂直，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．2-D ．3-5．已知1F ，2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，则12PF PF ⋅的最大值是（）A ．254B ．9C ．16D ．256．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足10a <，717S S =，则当n S 取得最小值时，n 的值为（）A ．10B ．12C ．15D ．247．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限步后，必然进入循环1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数5m =，根据上述运算法则得出51684→→→→ .现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1231nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩，当为偶数时，，当为奇数时，当3m =时，12320a a a a ++++= （）A ．72B ．77C ．82D ．878．“222a b R +<”是“圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两椭圆2241x y +=和2244x y +=，则（）A ．两椭圆有相同的焦点B ．两椭圆的离心率相等C ．两椭圆有4个交点D ．两椭圆有相同的对称轴和对称中心10．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b n =-+，且12n n b b +=，则（）A ．当10a ≠时，{}n b 是等比数列B ．3142b a =+C ．当10b =时，{}n a 是等差数列D ．当12b =时，{}n a 是递增数列11.已知实数,x y 满足方程21x y =-，则（）A ．22(2)x y -+的取值范围是[]0,5B ．21y x ++的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2x y -的取值范围是1,5⎡⎤-⎣⎦D ．|5|x y +-的取值范围是52,6⎡⎤-⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若直线2(3)0mx y m +-+=，10x y -+=，310x y --=交于一点，则m =．13.已知数列{}n a 满足12a =，11n n a a +=+，若11n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前n 项和n T =．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，且△1ABF 的面积为415，则椭圆C 的方程为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(13分)已知椭圆的方程为22154x y +=，设椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，与y 轴正半轴的交点为A .（1）求△12AF F 的周长；（2）设过椭圆的右焦点2F ，且斜率为1的直线l 与椭圆交于B ，C 两点，求弦BC 的长．16．(15分)已知圆221:40O x y +-=，圆222:6680O x y x y ++-+=．（1）求证：两圆1O ，2O 相交；（2）设两圆交于A ，B 两点，求四边形12O AO B 的面积.17．(15分)已知数列{}n a 中，11a =-，11122n n n a a +-=+.（1）求证：数列{}12n n a -⋅为等差数列，并求n a ；（2）求{}n a 的前n 项和n S .18．(17分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，()0,2A -，()26,B在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率存在的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且线段MN 的中点P 的横坐标为2-，过P 作新直线l l '⊥，①求直线l 和直线OP 的斜率之积；②证明新直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.19．(17分)在所有不大于()*,,2n k k n k ∈≥N 的正整数中，记既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()k F n .（注：一个自然数能被p 和q 整除当且仅当其能被p ，q 的最小公倍数整除，如能被5和3整除等价于能被15整除）（1）求()61F ，()62F 的值（不需说明）；（2）求()6F n 关于n 的表达式；（3）若数列{}n a 满足()651n a F n -=，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：对于*N n ∀∈，均有1111282265n n S --≤<⨯.深圳中学2024-2025学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学命题人：唐夷非、欧阳力亚审题人：许苏华1-8：ACBC DBBA 9-11：BD ，ACD ，BCD12-14：1；22n +-；2212515x y +=．1．A【详解】直线斜截式为3544y x =-+2.C【详解】242643a a a ==.3．B【详解】根据右焦点坐标为(1,0)，可得1c =，且焦点在x 轴上，故243c λ=-=.4．C【详解】两条直线的方向向量(1,1),(2,)m m +-相互垂直，故其数量积210m m +-=（），解得2m =-.5．D【详解】因为1210PF PF +=，所以21212252PF PF PF PF ⎛⎫+⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125PF PF ==时，12PF PF ⋅取到最大值.6．B【详解】因为717S S =，则89170a a a ++⋅⋅⋅+=，又因为数列{}n a 为等差数列，则8179161213a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+，可得()121350a a +=，即12130a a +=，且10a <，可知12130,0a a <>，即当12n ≤时，0n a <；当13n ≥时，0n a >；所以当n S 取得最小值时，n 的值为12.7．B 【详解】3105168421421→→→→→→→→→→ ，故12345310516842a a a a a ++++=++++=，又()20535-÷=，所以67207535a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=．所以1220423577a a a ++⋅⋅⋅+=+=．8．A【详解】由222a b R +<，可以表示为点(0,0)在圆()()222x a y b R -+-=的内部，此时圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点，则充分性成立；反之，由圆()()222x a y b R -+-=的方程可知，圆心为(,)a b ，半径为R ，则要使圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点，则,a R b R <<，则2222a b R +<，则必要性不成立，故“222a b R +<”是“圆()()222x a y b R -+-=成立的充分不必要条件.9．BD【详解】对于A ，椭圆1E 即22114y x +=，椭圆2E 即2214yx +=，他们的焦点分别在,x y 轴上，故A 错误；对于B ，1E 2E 的离心率均为32，故B 正确；对于C ，联立可得1,0x y =±=，所以1E 与2E 有2个公共点，故C 错误.D 显然正确.10．ACD 【详解】对于A ，当10a ≠时，由于111110b b a =-+=≠，且12n n b b +=，故是等比数列，故A 正确；对于B ，由已知有()11123441142a b b b b =-+===，故B 错误；对于C ，当10b =时，由12n n b b +=得0n b =.所以11n n a b n n =-+=-+，从而()()11111n n a a n n +-=--+--+=-，故{}n a 是等差数列，故C 正确；对于D ，由于12n n b b +=，故2n n b =.所以()()11111112110n n n n n n n n n a a b n b n b b b b b +++-=⎡-++⎤--+=--=--=->⎣⎦，从而{}n a 是递增数列，故D 正确.11．BCD【详解】210x y =-≥，两边平方得221x y +=，故方程21x y =-表示的几何图形为单位圆位于y 轴右侧的部分（包括y 轴上两点），其中()1,0T ，()()0,1,0,1M N -，对于A ，22(2)x y -+几何意义为21x y =-上的点到2,0的距离的平方，故2TQ 为最小值，最小值为1，2MQ 或2NQ 取得最大值，最大值为22215+=，所以22(2)x y -+的取值范围为[]1,5，A 错误；对于B ，21y x ++几何意义为21x y =-上的点与()1,2A --的连线的斜率，设过点()1,2A --的直线为()21y k x +=+，则2211k k -=+，解得34k =，此时为最小斜率，直线AM 的斜率为最大值，即12301+=+，21y x ++的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B 正确；对于C ，设2x y t -=，则2y x t =-，t -为直线2y x t =-与y 轴的交点的纵坐标，当2y x t =-与21x y =-的图形相切于H 时，t -取得最小值，t 取得最大值，由114t =+，解得5t =（负值舍去），当2y x t =-过点()0,1M 时，t -取得最大值，t 取得最小值，10t =-，解得1t =-，2x y -的取值范围是[5,1]-，C 正确；对于D ，|5|2x y +-的几何意义为21x y =-上的点到50x y +-=的距离，过点O 作OJ ⊥直线50x y +-=于点J ，与21x y =-的图形交于点S ，则SJ 即为21x y =-上的点到50x y +-=的距离最小值，其中55222OJ -==，故5212SJ =-，过点N 作NK ⊥直线50x y +-=于点K ，则NK 即为21x y =-上的点到50x y +-=的距离最大值，最大值为15322OJ --==，故|5|2x y +-的取值范围是521,322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，|5|x y +-的取值范围为52,6⎡⎤-⎣⎦，D 正确.12．1【详解】联立直线10,310x y x y -+=--=解得交点为(1,2)，代入直线2(3)0mx y m +-+=得1m =.13.22n +-【详解】由题知，1n a n =+.1112112n n n c n n a a n n +===+-+++++，12324321n n T c c c n n =+++=-+-+++-+ 22n =+-.14.2212515x y +=【详解】设2BF m =，则23AF m =，22142AB AF BF m AF =+==，则12AF m =，由椭圆的定义可知122352AF AF m m m a +=+==，所以25m a =，所以265AF a =，145AF a =，85AB a =，122822255BF a BF a m a a a =-=-=-=，在1ABF 中，22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF F AB a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯，所以21115sin 1cos 4F AB F AB ∠=-∠=，在12AF F △中，222121212122cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠，即222464614255554a a a a c ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得2252c a =，因为三角形1ABF 的面积为415，故111sin 4152AF AB F AB ∠=，即148154152554a a ⨯⨯⨯=，得225a =，所以210c =，222210155b a c =-==-，所以椭圆C 的方程为2212515x y +=15．(1)12252AF F C ∆=+(2)1659BC =【详解】（1）由题意，12(1,0),(1,0),(0,2)F F A -，故121212252AF F C F F AF ∆=+=+.（2）右焦点为2(1,0)F ，直线l 的方程为:1l y x =-.与椭圆方程联立化简得2910150x x --=，由韦达定理1212105,,93x x x x +==-由弦长公式，()2221212121651||149BC k x x k x x x x =+-=+⋅+-=.16.(1)见下;(2)126O AO B S =;【详解】（1）圆1O 的圆心1(0,0)O ，半径2r =，圆222:(3)(3)10O x y ++-=的圆心2(3,3)O -，半径10R =，可得()()2212303032102O O =--+-=<+，即12O O R r <+，所以两圆相交.（2）设(,)A x y ,则其同时满足两圆的方程：224x y +=，22(3)(3)10x y ++-=，故其也满足两式之差：2222((3)(341))0x x y y -++=--+，化简得一直线方程:20l x y -+=，即A 在直线l 上，同理点B 也在直线l 上，因此:20l x y -+=就是直线AB 的方程.1O 到直线l 的距离2211d ==+，由垂径定理22222AB r d =-=.因为12O O AB ⊥，筝形12O AO B 的面积1212112232622O AO B S AB O O =⋅=⋅=.17．(1)证明见解析，1232n n n a --=(2)12122n n n S -+=-.【详解】（1）因为11122n n n a a +-=+，所以11222n n n n a a -+=+，故11222n n n n a a -+-=，即数列{}12n n a -⋅是以2为公差的等差数列，又11a =-，故1122(1)23n n a a n n -=+-=-，所以1232n n n a --=.（2）依题意可得23211352523122222n n n n n S ----=-++++++ ，23411113525232222222n n nn n S ---=-++++++，两式相减可得2221111111232321221111222222212n n n n n nn n n S --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=-+++++-=-=-- ，所以12122n n n S -+=-.18.【详解】(1)221124x y +=(2)①13-；②证明见解析,定点的坐标为42(3-,0)（1）由题可知椭圆过点()()0,2,62,A B-可得222212362b b a a b =⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎩⎪⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=（2）①由题可设0(2,)P y -，设1(M x ,1)y 、N 2(x ,2)y ，显然12x x ≠，联立2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222212120124x x y y --+=，即1212121213y y y y x x x x -+⋅=--+，因为P 为线段MN 的中点，所以012122y y y x x +-=+，又012121212,2l MN OP y y y y y k k k x x x x -+===-=-+，所以13MN OP k k ⋅=-，即直线l 和直线OP 的斜率之积为13-；②由①可得直线l 的斜率为0012233l k y y -=-⋅=，又l l '⊥，所以直线l '的方程为003(2)2y y y x -=-+，即034()23y y x =-+，显然l '恒过定点4(,0)3-.19.【详解】（1）()()6612,122F F ==（2）()1626n F n -=⨯在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n个，能被2和3同时整除的数，即是能被6整除的数，其个数有66n个，所以满足题意的表达式为16666()626236n n nnn F n -=--+=⨯.（3）由（2）知，当1n =时，16555(1)121S F ===--，所以15S =；当2n ≥时，1111165556161326()1261261266n n n n n F n ------<==<=⨯⨯-⨯-⨯-⨯，（上式放缩用到了不等式性质，若0,0a b c >>>，则b b ca a c+<+）则2n ≥时，21211511111111553532666666556n n n n S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<<++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⨯⎝⎭⎝⎭ ，也即151128525565n n S -⎛⎫+-<< ⎪⨯⎝⎭综上可得，1111282265n n S --≤<⨯对于*N n ∀∈成立，即证.。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（ ）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（ ）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。
安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含解析)
2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卡上作答。
第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）A.点A 和点B 关于x 轴对称 B.点A 和点B 关于平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于平面对称2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m 的值为（ ）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）A.B. C. D.6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）A.2B.4C.Oxyz ()2,1,4A --()2,1,4B ---Oyz Oxz ()2,1,3a =- ()1,2,2b =- ()1,,2c m =- a b cπ320y +-=20y ++=20y --=20y -+=220x y x y a ++-+=()2,-+∞(),2-∞-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭()2a = 12b ⎛= ⎝a b )()(14⎛ ⎝2216x y m+=0m >6m ≠340x y +-=AB7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足，当且时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（ ）C.D.8.已知点P 在椭圆C ：上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为（ ）A.B.C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则面积的最小值是2010.已知椭圆C ：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（ ）A.离心率 B.的周长与点M 的位置无关C. D.直线与直线的斜率之积为定值11.如图，正方体的棱长为2，P 为上底面内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）PA PB λ=0λ>1λ≠ABC △2AB =2CA CB =ABC △cos C =354522143x y +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF 3253851l ()1230m x y m +++-=2l 220x my m ++-=12l l ∥1m =2m =-12l l ⊥23m =-1l 1m <-1l AOB △2214x y +=1F 2F 1e 2=12MF F △122MF -<<MA MB 1111ABCD A B C D -1111A B C D AB BCA.当直线和直线所成的角是30°时，点PB.若平面，则C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过，两点，且圆心C 在直线上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y 满足，则的取值范围为_________.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M ，N 分别为，的1AA AP AP ∥1B MN 1B P ()111111A P mA D m A B =+-AP ABCD 1D MN ()1,3A ()4,2B 30x y +-=1y =+14y x ++C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F C 122F F c =P 12111PF PF c+=C l ()2,1A -l m 50x y +-=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PB BC中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点A 到平面的距离17.（15分）已知过点的直线与圆O ：相交于A ，B 两点.（1）若弦的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线如何运动，x 轴都平分?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M 是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，离心率4.（1）求E 的标准方程；（2）过点的直线交E 于P ，Q 两点，若以为直径的圆过E 的右焦点，求直线的方程；2AF AE PGFD EB GC===3AB PA ==EF MN MFG ()1,0P l 224x y +=AB l l AQB ∠ABCD 2AB =BC =AC DAC △AC PAC △PB =PAC ⊥ABC PA MBC PAB ()222210x y a b a b+=>>1F 2F e =()2,0T PQ 2F PQ（3）两条不同的直线，的交点为E 的左焦点，直线，分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O 为坐标原点）1l 2l 1F 1l 2l AB CD 1l 2l 1k 2k 1240k k +=OGH △2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于平面对称.故选B.2.D 由题意得，，即，所以，解得.故选D.3.A 由题意得，所求直线的斜率为，且与y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.5.A 向量在向量上的投影向量为.故选A.6.B 设，，则，将A，B 的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，Oyz c xa yb =+ ()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-122232x y m x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭2y =+20y +-=220x y x y a ++-+=()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩122a -<<ab )212a bb a b b bb b⎛⋅⋅⋅=⋅== ⎝()11,A x y ()22,B x y 12122x x y y +=+=221116x y m +=222216x y m +=2222121206x x y y m--+=()()121212126m x x y y x x y y +-=--+AB 121213y y x x -=--12362m ⨯-=-⨯2m =因此椭圆的焦距为，故选B.7.D 由题意设，，，由化简得.∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则.∴.故选D.8.C 根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
重庆市2024—2025学年度上期高2026级半期考试数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 经过点()3,1，()2,0，则直线l 的倾斜角为（）A.π4 B.π3C.2π3 D.3π4【答案】A 【解析】【分析】由两点坐标结合斜率公式直接求出斜率，再求出倾斜角，然后由点斜式写出直线方程.【详解】设直线l 的倾斜角为θ.直线l 经过点()3,1，()2,0，所以01123l k -==-，所以tan 1θ=,又0πθ≤<，所以π4θ=.故选：A.2.若直线210x ay ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.1 B.－1 C.4D.－4【答案】B 【解析】【分析】直接利用两直线垂直时系数的关系求解即可.【详解】由题可知，220a +=，解得1a =-.故选：B3.如图，在空间四边形ABCD 中，设,E F 分别是BC ，CD 的中点，则1()2AD DB DC →→→++=（）A.AD →B.FA →C.AE →D.EF→【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果.【详解】解：由题可知，,E F 分别是BC ，CD 的中点，根据平面向量的平行四边形法则，可得2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法法则，得出：11()222AD DB DC AD DE AD DE AE →→→→→→→→++=+⨯=+=.故选：C.4.平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，则动点P 的轨迹方程是（）A.221259x y += B.2212516x y +=C.221259y x += D.2212516y x +=【答案】B 【解析】【分析】求出,,a b c 即可得出动点P 的轨迹方程.【详解】由题意，平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，∴动点P 的轨迹E 为椭圆,焦点在轴上,3,210c a ==,解得：5a =，∴22216b a c =-=，∴轨迹方程为:2212516x y +=，故选:B.5.已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F 的面积等于（）A.24B.26C.D.【答案】A 【解析】【分析】由定义可得12214PF PF a +==，结合条件求出12,PF PF 即可求出面积.【详解】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =，5c ==，由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c == ，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P S F ⋅=⨯⨯∴==.故选：A.6.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A.2310x y -+=B.2310x y --=C.3210x y -+=D.3210x y --=【答案】A 【解析】【分析】求得点()5,3-关于x 轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程.【详解】由()()22115x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，由反射定律可知，点()5,3-关于x 轴的对称点()5,3--在反射光线上，又反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，所以反射光线过(1,1)C ，由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为113151y x --=----，即2310x y -+=.故选：A.7.点P 是圆C ：()()22332x y -+-=上一动点，过点P 向圆O ：221x y +=作两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最大值为（）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】将四边形PAOB 的面积表示为S =||PO 的最大值即可.【详解】由圆()()22:332C x y -+-=为，可得圆心为(3,3)，由22:1O x y +=，可得圆心(0,0)O ，半径为1，连接PO ，则在PAO 中，||PA ==，所以四边形PAOB 的面积122||1||2PAO S S PA PA ==⨯⨯⨯== 所以||PO 最大时，四边形PAOB 面积的最大值，因为||CO ==，所以max ||||PO CO ==，所以四边形PAOB =故选：D.8.设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点，M 是C 上一点，且::3:5:7MA MB AB =，则C 的离心率为（）A.13B.182C.11D.143【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得tan 11MA MAB k ∠==，tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则22MA MBb k k a ⋅=-，得2245143b a =，结合离心率的概念即可求解.【详解】在MAB △中，由22237511cos 23714MAB +-∠==⨯⨯，得14sin MAB ∠=，所以tan 11MA MAB k ∠==，由22257313cos 25714MBA +-∠==⨯⨯，得sin MBA ∠=，所以tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则200022000MA MBy y y k k x a x a x a⋅=⋅=+--，又2200221x y a b +=，∴()2222002b y x a a =--，∴22MA MB b k k a⋅=-，又451113143MA MBk k ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2245143b a =，∴143e ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键在于求得22MA MB b k k a ⋅=-，进而得2245143b a =，从而求得离心率，求解离心率问题常常需得到或构造,,a b c 的齐次式求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12F F 、在x 轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的方程为2214x y += B.椭圆C的离心率为2C.1PQ =D.23PF =【答案】ABC 【解析】【分析】求出,,a b c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F为椭圆的左焦点，x =将代入椭圆方程，可求得||PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C，由已知可得222b c =⎧⎪⎨=⎪⎩1,2b c a ===，.对于A 选项，因为椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的方程为2214xy +=，故A 对；对于B选项，椭圆的离心率为2c e a ==，故B 正确；对于C 选项，设点1F为椭圆的左焦点，易知点1(F ，将x =代入椭圆方程可得12y =±，故||1PQ =，故C 正确；对于D 选项，111|||22|P PQ F ==，故212|17|2||42a PF PF =-=-=，故D 错误.故选：ABC.10.已知直线l ：10kx y -+=和圆M ：()()22124x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点()0,1B.圆M 与圆C ：221x y +=有三条公切线C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则474733k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解可判断A ，根据两圆的位置关系即可求解可判断B ，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解可判断C12<，求解即可判断D.【详解】对于A ，由直线l 的方程10kx y -+=，可知直线l 恒经过定点(0,1)P ，故A 正确；对于B ，由圆()()22124x y -+-=的方程，可得圆心(1,2)M ，半径2r =，由221x y +=，可得圆心(0,0)C ，半径为1，又||MC ==2121-<<+，所以圆M 与圆221x y +=相交，圆M 与圆C 有两条公切线，故B 错误；对于C ，由||PM =，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故C 正确；对于D ，当圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则圆心M 到直线l ：10kx y -+=的距离小于12，12<，整理得23830k k -+<，解得4433k +<<，故D 正确.故选：ACD.11.如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当P 在平面11BCC B 上运动时，三棱锥1P AA D -的体积为定值43B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 5D.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为2π42+【答案】AB 【解析】【分析】对A ：由1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离不变，求出体积即可；对B ：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(),2,0P x x -，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，结合向量的夹角公式，可判定B 正确；对C ：设(),,0P m n ，求得平面11CB D 的一个法向量为()1,1,1n =--，得到()2216FP m =-+ C 错误.对D ：由直线AP 与平面ABCD 所成的角为45︒，作PM ⊥平面ABCD ，得到点P 的轨迹，可判定D 正确.【详解】对于A ：1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离为正方体棱长，所以三棱锥1P AA D -的体积不变，且1111142223323P AA D AA D V S AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，可得()12,0,2A ，()0,0,2D ，()10,2,2C ，设(),2,0P x x -，02x ≤≤，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，设直线1D P 与11A C 所成角为θ，则111111111cos cos ,D P A C D P A C D P A C θ⋅===，因为011x ≤-≤，当10x -=时，可得cos 0θ=，所以π2θ=；当011x <-≤时，1cos 2θ==，由π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ32θ≤<，所以异面直线1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以B 正确；对于C ，由()12,2,2B ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,2F ，设(),,0P m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，则()12,0,2CB = ，()10,2,2CD =- ，()2,1,2FP m n =---设平面11CB D 的一个法向量为 =s s ，则11220220n CD b c n CB a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1a =，可得1b =-，1c =-，所以()1,1,1n =--，因为//PF 平面1B CD ，所以()()2120FP n m n ⋅=---+=，可得1n m =+，所以FP =，当1m =时，等号成立，所以C 错误.对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°，由1AA ⊥平面ABCD ，得直线AP 与1AA 所成的角为45°，若点P 在平面11DCC D 和平面11BCC B 内，因为145B AB ∠=︒，145D AD ∠=︒，故不成立；在平面11ADD A 内，点P 的轨迹是12AD =；在平面11ABB A 内，点P 的轨迹是122AB =；在平面1111D C B A 时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为45PAM ∠=︒，所以PM AM =，又因为PM AB =，所以AM AB =，所以1A P AB =，所以点P 的轨迹是以1A 点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点P 的轨迹的长度为12π2π4⨯⨯=，综上，点P 的轨迹的总长度为π42+D 错误；故选：AB.【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间的量()6,2,1a = ，()2,,3b x =，若()a b a -⊥ ，则x =______.【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示及数量积公式计算即可.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -=，所以20a a b -=，又因为()6,2,1a = ，()2,,3b x = ，所以3641(1223)0x ++-++=，解得13x =.故答案为：13.13.设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =有公共点，则实数b 的取值范围是______.【答案】2⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】曲线x =表示是以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，画出图象，结合图象，即可得出答案.【详解】由x =可得()2240x y x +=≥，即x =表示以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，()2240x y x +=≥与y 轴交于两点分别是()0,2A ，()0,2B -，当点()0,2A 在直线y x b =+上时2b =；当直线y x b =+与()2240x y x +=≥2=，所以b =(舍)或b =-所以直线y x b =+与曲线x =有公共点，实数b满足2b -≤≤.实数b的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故答案为：2⎡⎤-⎣⎦.14.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数,x y 满足228130x y x +-+=，则x y +的最小值为______，______．【答案】①.4-②.13+【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系可得x y +的最小值，把转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，结合图形可得答案.【详解】由228130x y x +-+=得()2243x y -+=，令x y t +=，则直线x y t +=与圆()2243x y -+=有公共点，所以圆心到直线x y t +=的距离为d =≤44t ≤≤+所以x y +的最小值为4-2=可以看作点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，设过点()1,0A 的直线与圆相切于点(),P x y.设直线方程为()1y k x =-，由()()22143y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得()()2222182130k x k x k +-+++=，()()()22228241130k k k ∆=+-++=，解得2k =±，结合图形可知2k =，把2k =代入联立后的方程可得切点(P ，代入可得13+.故答案为：4613+.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把目标式转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，数形结合可得答案.四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得0,0,0，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为1 =1,1,1，则11n CFn CG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n =，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以1MN n ⊥，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n =，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos ,3n AN n AN n AN θ⋅=====⋅ ，所以直线AN 与平面CFG所成角的正弦值为3.16.已知点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上．（1）求该圆的圆心坐标及半径长；（2）过点()1,1M -，斜率为43-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求弦AB 的长．【答案】（1）圆心坐标为()4,3-，半径长为2（2）165【解析】【分析】（1）先根据点在圆上求出参数m ，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式l =.【小问1详解】因为点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上，所以4916180m +--+=，解得21m =，所以该圆的标准方程为()()22434x y -++=，所以该圆的圆心坐标为()4,3-，半径长为2；【小问2详解】因为直线l 过点()1,1M -，斜率为43-，所以直线l 的方程为()4113y x +=--，即4310x y +-=，则圆心()4,3-到直线l 的距离65d ==，所以165AB ===.17.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1F 、2F 是椭圆C 的左、右两个焦点，12F F =，P 是椭圆C 上的一个动点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ，求点P 的横坐标的取值范围．【答案】（1）2214x y +=（2）(．【解析】【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a ，进而求得b 即可；（2）设(),(0,0)P x y x y >>，从而可求得()2212134PF PF x y ⋅=--+≤ ，再把2214x y =-代入求解即可.【小问1详解】由已知得2c =c ∴=，()1F ∴，)2F ，142MF +==，同理2432MF =，1224a MF MF ∴=+=，2a ∴=，1b ∴==，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】设(),(0,0)P x y x y >>，且2214x y +=，则()1,PF x y =- ，)2,PF x y =- ，()2212134PF PF x y ∴⋅=--+≤ ．由椭圆方程可得()2213144x x --+-≤，整理得239x ≤，所以0x <≤，即点P 的横坐标的取值范围是(．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12CC =，D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；（3）若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明过程见解析（2）4（3）1,22⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到BD ⊥平面11ACC A ，BD ⊥1AC ，又平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，又1//DE AC ，从而得到线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =- ，利用点到平面的距离向量公式求出答案；（3）设111,01C F C B λλ=<<，求出,Fλ，求出平面FBD 的法向量，结合平面BDE 的一个法向量为(10,3,A C =-，从而得到1cos ,A C m =，换元后，得到11cos ,,22AC m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .【小问1详解】连接11,C D AC ，因为1C 在平面ABC 内的射影为D ，所以1C D ⊥平面ABC ，因为,BD AC ⊂平面ABC ，所以1C D ⊥BD ，1C D ⊥AC ，因为ABC V 为边长为2的等边三角形，D 是线段AC 的中点，所以BD ⊥AC ，因为1C D AC D = ，1,C D AC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为1A C ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥1AC ，因为112C C AC ==，四边形11ACC A 为平行四边形，所以平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，因为D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，所以1//DE AC ，故1AC ⊥DE ，因为DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BDE ，所以1AC ⊥平面BDE ；【小问2详解】由（1）知，1,,C D AC BD 两两垂直，以D 为坐标原点，1,,BD DA C D 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1C D ⊥AC ，D 是线段AC 的中点，所以由三线合一可得112C C AC ==，又2AC =，故1ACC △为等边三角形，(()()11110,,0,1,0,,,,,22A C B C F B ⎛- ⎝，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，点F 到平面BDE 的距离11334DF A C d A C⋅== ；【小问3详解】点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），设111,01C F C B λλ=<<，(,Fs t ，则()),,0s t λ=，故,s tλ==，故,Fλ，设平面FBD 的法向量为(),,m x y z =，则())(),,0,,,0mDB x y z m DF x y z x y λλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，解得0x =，令1y =，则33z =-，故30,1,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，故111cos ,A C m A C m A C m ⋅==⋅ ，令()32,3q λ-=∈，则1cos ,A C m ==，因为111,32q⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故2111124443q ⎛⎫⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值取值范围是1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】立体几何二面角求解方法：（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.19.已知点A ，B 是平面内不同的两点，若点P 满足PAPBλ=(0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是以有序点对(),A B 为“稳点”的λ—阿波罗尼斯圆.若点Q 满足QA QB μ⋅=(0μ>)，则点Q 的轨迹是以(),A B 为“稳点”的μ—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，(),B a b (2a ≠-）.（1）当2a =，0b =时，若点P 的轨迹是以(),A B 为“稳点”阿波罗尼斯圆，求点P 的轨迹方程；（2）在(1)的条件下，若点Q 在以(),A B 为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求OQ (O 为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若0b =，λ=试判断是否存在实数a ，μ，使得以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数a ，μ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221240x y x +-+=（2）[]1,3（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)由题意可知PA PB =，设：(),P x y=，整理计算即可求解；(2)设(),Q x y ，由定义得到()222242516x y x ++=+，从而有2240y x =-≥，求得209x ≤≤，再由OQ =(3)由0b =，λ=(),A B 为“稳点”一阿波罗尼斯圆的方程：()22244240x y a x a +-++-=，再结合对称性及QA QB μ⋅=得到μ—卡西尼卵形线，关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，从而得到2222a a -+=推出矛盾，即可解决问题.【小问1详解】由已知()2,0A -，()2,0B 且PA PB=(),P x y=，∴()()22222222++=-+x y x y ，整理得：221240x y x +-+=，∴点P 的轨迹方程为：221240x y x +-+=.【小问2详解】由(1)知()2,0A -，()2,0B ，设(),Q x y，由5QA QB ⋅=，5=，所以()222242516x y x ++=+，2240y x =-≥，整理得42890x x --≤，即()()22190x x +-≤，所以209x ≤≤，OQ ==209r ≤≤，得13OQ ≤≤，即OQ 的取值范围是[]1,3.【小问3详解】若0b =，则以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆的方程为()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得()22244240x y a x a +-++-=，该圆关于点()22,0a +对称.由点()2,0A -，(),0B a 关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称及QA QB μ⋅=，可得μ—卡西尼卵形线关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，令2222a a -+=，解得2a =-，与2a ≠-矛盾，所以不存在实数a ，μ，使得以(),A B 一阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.。
黑龙江省哈尔滨2024-2025学年高二上学期期中数学试题(含答案)
2023级高二上期中考试数学试题一、单选题：本题共8道小题<每个小题5分<共40分．在每小题给出的选项中<只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．直线将圆：平分<且与直线：平行<则直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3．A <B <C <D <E 五人站成一排<如果C <D 必须相邻<那么排法种数为（ ）A ．48B ．24C ．20D ．164．如图<圆O 的半径为定长<A 是圆O 内一个定点<P 是圆O 上任意一点<线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q <当点P 在圆O 上运动时<点Q 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．圆5．3D 打印是快速成型技术的一种<它是一种以数字模型文件为基础<运用粉末状金属或塑料等可粘合材料<通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒<该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的<已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为62cm<下底直径为92cm<喉部（中间最细处）的直径为8cm<则该塔筒的高为（ ）A ．272cmB ．18cmC ．2722cm D ．182cm230y x +=30,4⎛⎫-⎪⎝⎭30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,12⎛⎫-⎪⎝⎭10,12⎛⎫⎪⎝⎭l C 04222=--+y x y x l '142=-yx l 032=+-y x 032=-+y x 042=--y x 02=-y x r6．已知椭圆<则椭圆上的点到点的距离的最大值是（ ）A ．B ．CD7．已知抛物线的方程为<过其焦点的直线交抛物线于两点<若<则（ ）A ．B ．3C ．D ．28．已知双曲线：（<）的离心率为<右顶点为<以为圆心<为半径作圆<圆与双曲线的一条渐近线交于<两点<则有（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3道小题<每小题6分<共18分．在每小题给出的选项中<有多项符合题目要求<全部选对的得6分<部分选对的得2分或4分<有选错的得0分．9．已知方程表示的曲线为C <则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当时<曲线C 是椭圆B ．当或时<曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆<则D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线<则10．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．两圆与的公共弦所在的直线方程为B ．圆：与圆：恰有三条公切线C ．为圆：上的点<则的最大值为25D ．若圆：上有且仅有两个不同点到直线：的距离为1<则的取值范围11．已知点是抛物线：上一点<过点P 作抛物线：的两条切线PM <PN <切点分别为M <N <H 为线段MN 的中点<F 为的焦点<则（ ）A ．若<则直线MN 经过点FB ．直线轴C ．点H 的轨迹方程为D ．三、填空题：本题共3道小题<每小题5分<共15分．12．有4封不同的信投入3个不同的信箱<可有_____________种不同的投入方法．13．已知是椭圆16x 2+25y 2=1600上的一点<且在x 轴上方<F 1<F 2分别是椭圆的左、右焦点<直线PF 2的22:14x C y +=C 01B （，）216324y x =F ,A B 3AF FB =AB =163C 12222=-by a x 0>a 0>b 332A A b A A C M N =∠MAN30609012022171x y t t +=--17t <<7t >1t <47t <<7t >22440x y x y ++-=222120x y x ++-=260x y -+=1C 2220x y x ++=2C 224840x y x y +--+=()11,P x y C 224x y +=()(22111x y -+-C 224x y +=l 0x y m ++=m m <<()()000,0P x y x ≠1C 24y x =-2C 24y x =2C 01x =-PH y ⊥234y x =PFM PFN∠=∠P的斜率为―43<则△PF 1F 2的面积为_____________．14．已知点是双曲线C ：x 2a 2―y 2b 2=1(a >0<b >0)左支上一点<是双曲线的左、右两个焦点<且与两条渐近线相交于两点（如图）<点恰好平分线段<则双曲线的离心率是___________．四、解答题：本题共5道小题<共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知直线<直线<与交于点点．（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）求过两点<且圆心在直线上的圆的标准方程．16．（本小题满分15分）已知是双曲线的一条渐近线<点在上．（1）求的方程．（2）已知直线的斜率存在且不经过原点<与交于两点<的中点在直线上．若<<求的方程．17．（本小题满分15分）已知椭圆<四点、、、中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于<两点<若直线与直线的斜率的和为0<求证：的斜率为定值．18．（本小题满分17分）已知动圆过定点<且截轴所得的弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）过点的直线交的轨迹于两点．（ⅰ）若点<求的最小值；P 12,F F 122,⊥PF PF PF ,M N N 2PF 1:210l x y --=2:320l x y --=1l 2l ,A (2,2)B -AB ,A B :10l x y -+=y =()2222:10,0x y C a b a b-=>>()2,2C C l l C ,A B AB 2y x =()1,1M MAB △l 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1P 2(0,1)P 3(P 4P C C l 4P C A B 4P A 4P B l ()2,0A y C ()5,4Q -C ,A B ()1,0F FA FB ⋅（ⅱ）M 为在轴上的投影<连接与分别交抛物线于<问：直线是否过定点<若存在<求出该定点；若不存在<请说明理由．19．（本小题满分17分）如图<已知椭圆<曲线与轴的交点为<过坐标原点的直线与曲线相交于两点<直线<分别与交于点<．（1）求；（2）证明：以为直径的圆经过点；（3）记、的面积分别为、<若<求的取值范围．2023级高二上期中考试Q x AM BM C D ，CD 221:14x C y +=22:1C y x =-y M O l 2C 1122(,)(,)A x y B x y 、MA MB 1C D E 12x x DE M MAB △MDE △1S 2S 12S S λ=λ数学试题答案1-8．CDAACCCB 9．BD 10．ABC 11．ABD 12．81 13．1415．（1）因为，所以中点坐标为且．所以的垂直平分线方程为．（2）圆心坐标为．所以圆的标准方程为．16．（1）由题可得，所以的方程为．（2）（ⅰ）证明：设，由得，由题意得，设中点的坐标为，则所以．因为的中点在直线上，所以，即，因为，所以，故的斜率为定值．()2101,1320x y A x y --=⎧⇒⎨--=⎩()2,2B -AB 31,22⎫⎛- ⎪⎝⎭3AB k =-AB 113y x =-1113y x y x =+⎧⎪⇒⎨=-⎪⎩()3,2--5=22(3)(2)25x y +++=22222222241ba ab a b ⎧=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎩C 22124x y -=():0l y kx t t =+≠22124y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2222240k x ktx t ----=()()()22222220,Δ(2)4248240k kt k tt k -≠=-----=-+>()()1122,,,,A x y B x y AB ()00,x y 12221222,24,2kt x x kt x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩12000222,222x x kt tx y kx t k k +===+=--AB 2y x =002y x =222222t ktk k =--0t ≠1k =l（ⅱ）由（ⅰ）得的方程为，且，又点到的距离所以，解得，所以的方程为．17．（1）由对称性可知和在椭圆C 上．所以因为所以不在上，进而在上．所以．即的方程为．（2）设し的方程为则l 0x y t -+=AB ===Mld 1122MAB S AB d =⋅=⨯=△1t =±l 10x y -±=3P 4P 221221a b +=2222121221a b a b+>+=1P c 2P c 1.2b a ==c 2214x y +=()()1122.,,,y kx m A x y B x y =+()2222214844014y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2121222844,1414km m x x x x k k --+==++440p p k A k B +=+=所以所以．所以所以所以因为直线し不经过点所以所以．18．【详解】（1）设动圆圆心为到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2，则，化简得；所以动圆圆心的轨迹方程为．（2）设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与的轨迹方程联立得消去得，((12210kx m x kx m x ⎛⎛+-++-= ⎝⎝()1212220kx x m x x ⎛+--+-+= ⎝()()22282442201414m km k m k k ⎛-- -⎝⎭+-+=++()28820k k +-+-=()()21210k k ⎡⎤---=⎣⎦4P ()210k -≠12k =(),,C x y CA =C y x y 2222(2)||2x y x -+=+24y x =C 24y x =()()1122,,,M x y N x y MN MN MN ()()54540y k x kx k k =--=--≠C 24,54,y x y kx k ⎧=⎨=--⎩y ()22221084(54)0k x k k x k -++++=由在抛物线内部，故，所以．由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得，所以当时，的最小值为；当直线斜率不存在时，．由抛物线定义知．综上，的最小值为．（3）情况1、直线斜率不存在时，直伐的方程为．情况2、直线斜率存在时，设直线的方程为．设直线的方程为．所以．则，所以．即同理．所以直线CD 的方程为令．则()5,4P -Δ0>221212221084(54),k k k x x x x k k ++++==()1,0F C ()()2212121222(54)10841111k k k FM FN x x x x x x k k+++⋅=++=+++=++2248201636363620555k k k +⎫⎛=+=++≥ ⎪⎝⎭165,56k k =-=-FM FN ⋅365MN 125x x ==()()121136FM FN x x ⋅=++=FM FN ⋅365AB CD 5x =AB ()()()1225 4.,,y k x A x y B x y =--AM ()5y m x =-()()2222241042505y x m x m x m y m x ⎧=⎪⇒--+=⎨=-⎪⎩125c x x ⋅=125c x x =115c y y x -=111255,y C x x ⎫⎛-⎪ ⎝⎭222255,y D x x ⎫⎛-⎪⎝⎭111121221525552525y y x x x y y x x x x +-=--5x =1121121212555552525x y y y y x x x x x -⎫⎛=⋅--⎪ ⎝⎭-所以定点为．19．（1）证明：若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意．所以，直线的斜率存在，设直线的方程为．由得，设，则是上述方程的两个实根，于是．又因为点，所以，所以，即，所以为直径的圆经过点．（2）解：由已知，设的斜率为，则的方程为，由解得或，则点A 的坐标为，又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．所以，由得，解得或，()()()1121221212155454545k x k x k x x x x x x x x x ⎡-+⎤⎡----⎤-⎣⎦=⋅--⎢⎥-⎣⎦()()1122121554554kx k x x x k x x x ---=+-545k k=+-4=()5,4l y l 2C l l y kx =21y kxy x =⎧⎨=-⎩210x kx --=()()1122,,A x y B x y 、12x x 、1212,1x x k x x +==-()0,1M -()()()22212121212121212121111111MA MBkx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x x x +++++++-++=⋅====-MA MB ⊥90DME ∠=︒DE M MA ()110k k >MA 11y k x =-1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩01x y =⎧⎨=-⎩1211x k y k =⎧⎨=-⎩()211,1k k -MB 11k -B 21111,1k k ⎫⎛--⎪ ⎝⎭21111122k S MA MB k +=⋅=1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩()22111480k x k x +-=01x y =⎧⎨=-⎩12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩则点的坐标为，又直线的斜率为，同理可得点的坐标，于是，因此，当时，即当时，等号成立，所以，所以的取值范围为．D2112211841,1414k k k k ⎫⎛-⎪++⎝⎭MB 11k -E 211221184,44k k k k ⎫⎛--⎪ ++⎝⎭()()()211112222211113218812144144k k k k S MD ME k k k k +=⋅==++++()()221121122211144141254171764646464k k S k S k k ++⎫⎛⎫⎛==++≥⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212144k k =11k =2564λ≥λ25,64⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭。
北京市西城区2024-2025学年高二上学期期中测验数学试题含解析
2024-2025学年度第一学期期中试卷高二数学（答案在最后）2024年11月本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的倾斜角是23π，则斜率是（）A.33-B.33C.D.【答案】C 【解析】【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系即得.【详解】∵直线的倾斜角是23π，∴直线的斜率为2tan tan()tan 333ππππ=-=-=故选：C.2.已知点P 在椭圆22132x y +=上，点()11,0F ，()21,0F -，则12PF PF +=（）A.2B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果.【详解】由椭圆方程为22132x y +=可知1a c ==，则()11,0F ，()21,0F -即为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义可得122PF PF a +==.故选：C3.已知圆222610x y x y +-++=关于直线0x y m ++=对称，则实数m =（）A.－2B.－1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案.【详解】将222610x y x y +-++=化成标准方程为()()22139x y -++=，圆心为()1,3-，半径为3，因为圆222610x y x y +-++=关于直线0x y m ++=对称，所以圆心()1,3-在直线上，即130m -+=，解得2m =.故选：D.4.以点()2,1A 为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为（）A.()()22211x y -+-= B.()()22214x y -+-=C.()()22211x y +++= D.()()22214x y +++=【答案】A 【解析】【分析】根据圆心和半径可得圆的方程.【详解】以点()2,1A 为圆心，且与x 轴相切的圆的半径为1．故圆的标准方程是()()22211x y -+-=．故选:A ．5.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.E的圆 B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l D.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6.如图，三棱锥D-ABC 中，DC ⊥平面ABC ，DC=1，且 为边长等于2的正三角形，则DA 与平面DBC所成角的正弦值为A.5B.5C.5D.25【答案】B 【解析】【分析】先过A 点作出高线，利用等体积法先求高线，再计算线面角．【详解】过点A 作垂直于平面BCD 的直线，垂足为O ，利用等体积法求解AO ．011131V DC S 60221V AO S 33233D ABC ABC A BCD BCD sin --=⨯=⨯⨯⨯⨯===⨯，由此解得AO =，DA 与平面DBC 所成角为ADO ∠，所以15sin ADO 5AO AD ∠==,故选B 【点睛】本题考查了等体积法和线面角的基本求法，综合性强，在三棱锥中求高线，利用等体积法是一种常见处理手段，计算线面角，先找线面角，要找线面角必找垂线，而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式．7.点M 是直线250x y -+=上的动点，O 是坐标原点，则以OM 为直径的圆经过定点（）．A.(0,0)和(1,1)-B.(0,0)和(2,2)-C.(0,0)和(1,2)-D.(0,0)和(2,1)-【答案】D 【解析】【分析】过点O 作OP 垂直于直线250x y -+=，根据圆的性质可得以OM 为直径的圆过定点O 和P ，得解.【详解】如图，过点O 作OP 垂直于直线250x y -+=，垂足为P ，则以OM 为直径的圆过定点O 和P ，易知直线OP 的方程为12y x =-，联立25012x y y x -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即()2,1P -.所以以OM 为直径的圆经过定点()0,0和()2,1-.故选：D.8.“3m =”是“椭圆2214x y m+=的离心率为12”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆2214x y m+=的离心率为12求出m ，进而求得答案.【详解】椭圆2214x y m +=的离心率为12，当04m <<时，4122=，得3m =；当4m >时，12=，得163m =．即“3m =”是“椭圆2214x y m+=的离心率为12”的充分不必要条件．故选：A.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P 到平面QGC 的距离是（）A.12B.22C.32D.1【答案】B 【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合向量法求解点到面的距离，即可得到结果.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,2,0,0,0,2,1,0,2,2,0,1C G Q P ，则()()()1,0,0,0,2,2,2,2,1GQ GC CP ==-=-，设平面QGC 的一个法向量为(),,n x y z =，则0220GQ n x GC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()0,1,1n = ，所以点P 到平面QGC 的距离是22n CP n ⋅== .故选：B10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在正方形11BCC B 的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）A.存在点P满足1PM PD +=B.存在点P 满足1π2D PM ∠=C.满足1AP D M ⊥的点P 的轨迹长度为π4D.满足1MP D M ⊥的点P的轨迹长度为4【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决此题，对于A ，利用两个特殊点求出1PM PD +的值，在此范围内即可；对于B ，利用向量垂直数量积等于零解方程即可求P 点坐标；对于C ，D 利用向量垂直数量积等于零可求P 点的轨迹方程，根据图形找到P 点的轨迹求长度即可．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则(1A ,0,0)，1(0D ,0,1)，1(1,,0)2M ，1(0C ,1,1)，动点P 设为(P x ,1,)z ，对于A ，点M 关于平面11BCB C 的对称点为13(1,,0)2M ，当动点P 在点1M时，此时1min 11()2PM PD D M +===<，当动点P 在点1C时，此时111135122PM PD C D C M +=+=+=>，所以存在点P满足1PM PD +=，所以A 正确；对于B ，1(1,,)2PM x z =--- ，1(,1,1)PD x z =--- ，若1π2D PM ∠=，则11(1)(1)02PM PD x x z z ⋅=--+--= ，化简得：2211()(022x z -+-=，解得1212x z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(,1,)22P ，满足题意，所以B 正确；对于C ，(1,1,)AP x z =- ，11(1,,1)2D M =- ，若1AP D M ⊥，则11102AP D M x z ⋅=-+-= ，即12z x =-，取BC 中点E ，1BB 中点F ，则点P 的轨迹为线段EF ，长度为22，所以C 错误；对于D ，1(1,,)2MP x z =- ，11(1,,1)2D M =- ，若1MP D M ⊥，则11104MP D M x z ⋅=-+-= ，即34z x =-，取BF 中点H ，BE 中点K ，则点P 的轨迹为线段HK ，长度为24，所以D 正确．故选：C ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.椭圆22194x y +=的离心率是_________．【答案】53【解析】【分析】利用标准方程，求出a ，b ，然后求解c ，即可求解离心率．【详解】椭圆22194x y +=的长半轴为a ＝3，短半轴为b ＝2，则半焦距为c ==．所以椭圆的离心率为：e 53c a ==．故答案为53．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．12.已知直线1l ：()210m x y +++=，2l ：()5210x m y +-+=．若12l l ∥，则实数m 的值为______．【答案】－3【解析】【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可.【详解】若12l l ∥，则()()2250m m +--=，解得3m =或3m =-，当3m =时，直线1l ：510x y ++=与2l ：5310x y ++=重合，不符合题意；当3m =-时，直线1l ：10x y -++=与2l ：5510x y -+=，符合题意，综上，3m =-故答案为：－3.13.在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为______．【答案】π2【解析】【分析】利用异面直线夹角的向量求法建立空间直角坐标系计算可得结果.【详解】分别取11,BC B C 的中点1,O O ，连接1,AO OO ，由正三柱性质可知11,,AO BC OO BC AO OO ⊥⊥⊥，以O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由2AB =，12AA =可得)()((113,0,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2AB BC -，所以((113,1,2,0,2AB BC ==-，又111111022cos ,066AB BC AB BC AB BC ⋅===⨯，且[]11,0,πAB BC ∈ ；所以11π,2AB BC = .故答案为：π214.已知点P 是圆()2211x y -+=上的动点，直线1l ：3470x y -+=，2l ：340x y m -+=，记P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d （若P 在直线上，则记距离为0），（1）1d 的最大值为______；（2）若当点P 在圆上运动时，12d d +为定值，则m 的取值范围是______．【答案】①.3②.(],8∞--【解析】【分析】（1）根据圆上点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离加半径求解即可；（2）根据12d d +为定值，分析得到圆的位置，结合直线与圆的位置关系求解.【详解】（1）圆()2211x y -+=，圆心 th ，半径为1，圆心到直线1l 的距离()2231407234d ⨯-⨯+==+-，所以P 到直线1l 的距离1d 的最大值为13d +=；（2）当7m =时，两直线重合，不符题意；当7m ≠时，直线1l ，2l 平行，若当点P 在圆上运动时，12d d +为定值，所以圆在两平行线之间，此时直线2l 与圆相离，所以()223140134m d ⨯-⨯+=≥+-，解得2m ≥或8m ≤-，又因为当2m ≥时，直线1l ，2l 在圆同侧，不符合题意，所以8m ≤-，故答案为：3，(],8∞--.15.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．在平面直角坐标系xOy 中，到定点(),0A a -，(),0B a 的距离之积为()20a a >的点的轨迹C 就是伯努利双纽线，C 的方程为()()2222222x y a x y +=-，其形状类似于符号∞，若点()00,P x y 是轨迹C 上一点，给出下列四个结论：①曲线C 关于原点中心对称；②00y x ≤恒成立；③曲线C 2a ；④当0x a =时，0y 取得最大值或最小值．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】根据曲线的方程，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及不等式和三角形面积，逐项判定，即可求解.【详解】在曲线C 上任取一点(),M x y ，关于原点的对称点为(),M x y '--，代入曲线C 的方程，可知M '在曲线C 上，所以曲线C 关于原点中心对称，故①正确；因为点()00,P x y 是轨迹C 上一点，所以()()22222200002x y a x y +=-，因为()222000x y +≥，所以()()222222000020x y a x y +=-≥，即2200y x ≤，所以00y x ≤，故②正确；因为()()()22222222222x y a x x y y a +=-+≤，所以2222x y a +≤，≤，所以曲线C ，故③正确；因为()00,P x y ，所以12121212011||||sin ||||22PF F S PF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅ ，又212||||PF PF a ⋅=，所以2120sin 2||a F PF a y ∠=⋅，即012||sin 22a a y F PF =∠≤，所以022a a y -≤≤，当12π2F PF ∠=时等号成立，故④错误，故答案为：①②③【点睛】方法点睛：本题考查曲线的轨迹及其性质的问题，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．16.已知直线l ：()()211510x y λλλ++---=，R λ∈．（1）当直线l 与直线20x y +=垂直时，求λ的值；（2）设直线l 恒过定点P ，求P 的坐标；（3）若对任意的实数λ，直线l 与圆()2220x y r r +=>总有公共点，直接写出r 的取值范围．【答案】（1）14λ=（2）()2,1P（3）r ≥【解析】【分析】（1）根据直线与直线垂直关系列方程即可求得λ的值；（2）将直线方程转化为()1250x y x y λ--++-=，列方程组解得定点坐标即可；（3）根据直线与圆位置关系结合点与圆位置关系求解即可.【小问1详解】当直线l ：()()211510x y λλλ++---=与直线20x y +=垂直时，可得()()21112410λλλ+⨯+-⨯=-=，解得14λ=；【小问2详解】直线l ：()()211510x y λλλ++---=方程整理得()1250x y x y λ--++-=，令10,250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,1,x y =⎧⎨=⎩即直线l 恒过定点()2,1P ；【小问3详解】对任意的实数λ，直线l 与圆()2220x y rr +=>总有公共点，则直线l 恒过定点()2,1P 在圆上或者圆内，则OP r =≤，即r ≥17.已知C 经过点()0,2A -，()3,1B ，并且圆心C 在直线28y x =-上，（1）求C 的方程；（2）设过点()2,0P 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若MN =l 的方程．【答案】（1）()()22329x y -++=（2）2x =或3460x y +-=．【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质确定线段AB 的垂直平分线方程，从而联立直线可得圆心坐标，根据圆的定义得半径，从而得圆的方程；（2）根据直线与圆相交弦长公式，分直线斜率存在与不存在两种情况验证求解直线方程即可.【小问1详解】因为()0,2A -，()3,1B ，则1AB k =，且线段AB 中点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段AB 的垂直平分线的斜率为1-，故其方程为1322y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即10x y +-=，由圆的对称性知点C 在AB 的垂直平分线上，因此联立10,28,x y y x +-=⎧⎨=-⎩解得3,2,x y =⎧⎨=-⎩即点()3,2C -，又因为3r AC ==，所以圆C ：()()22329x y -++=．【小问2详解】圆心()3,2C -，半径3r =当1l 的斜率不存在时，1l ：2x =，则圆心C 到直线1l 的距离为1d =，此时相交弦长MN ==当1l 的斜率存在时，设1l ：()2y k x =-，即20kx y k --=，因为相交弦长MN ==所以C 到1l的距离为1d ==，解得34k =-，此时，直线1l ：3460x y +-=，综上，直线1l 的方程为2x =或3460x y +-=．18.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为()1F和)2F ，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上一点，()1,0M ．若存在实数λ使得12PF PF PM λ+=，求λ的取值范围．【答案】（1）2214x y +=（2）4,3⎡⎢⎣．【解析】【分析】（1）根据椭圆,,a b c 的关系列方程组求得,,a b c 的值，即可得椭圆方程；（2）根据椭圆的定义可得124PF PF +=，再根据两点距离公式结合点在椭圆上求解PM 的取值范围，即可得所求.【小问1详解】由题知22224,,c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以，C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由椭圆的定义可知124PF PF +=，设点 h t h ，其中220014x y +=，则220014x y =-，所以()222020200033421224433PM x y x x x ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为022x -≤≤，所以2293PM ≤≤，即633PM ≤≤当且仅当043x =时，63PM =，02x =-时，3PM =，因为12PF PF PM λ+=，则12PF PF PM λ+=，所以4,3λ⎡∈⎢⎣．综上所述，λ的取值范围是4,3⎡⎢⎣．19.如图，在三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥平面1,,2ABC AB AC AB AC AA ⊥===，111,A C N =为AB 中点，M 为棱BC 上一动点（不包含端点）.（1）若M 为BC 的中点，求证：1//A N 平面1C MA .（2）是否存在点M ，使得平面1C MA 与平面11ACC A 所成角的余弦值为66？若存在，求出BM 长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】连接NM ，因为N 为AB 中点，M 为BC 的中点，所以1//,2NM AC NM AC =，因为111ABC A B C -是正三棱台，111,2A C AC ==，所以11111//,2AC AC AC AC =，于是有11111//,2NM A C NM A C =，因此四边形11NMC A 是平行四边形，所以111//,A N C M A N ⊄平面1C MA ，1C M ⊂平面1C MA ，所以1//A N 平面1C MA【小问2详解】假设存在点M ，使得平面1C MA 与平面11ACC A 所成角的余弦值为66，因为1A A ⊥平面,,ABC AB AC ⊂平面ABC ，所以11,A A AB AA AC ⊥⊥，而AB AC ⊥，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()10,0,0,0,1,2,2,0,0,0,2,0,,,A C B C M x y z ，设()()()()()0,12,,2,2,022,2,0BM BC x y z M λλλλλ=∈⇒-=-⇒-，设平面1C MA 的法向量为(),,m a b c =，()()1220,1,2,0,,2,AC AM λλ=-=，所以有()1202,2,112220m AC b c m m AM a b λλλλ⎧⋅=+=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪-⎝⎭⋅=-+=⎪⎩，因为1A A AB ⊥，AB AC ⊥，11,,AA AC A AA AC A == ，所以AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为()2,0,0AB =，所以41cos ,66m AB m AB m ABλ⋅==⇒⋅ ，解得13λ=，1λ=-舍去，即42,,033M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，223BM ==，即BM 长度为223.20.平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()1,0P ，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）24,00,0y y x y ≥⎧=⎨<⎩（2）[)0,1．【解析】【分析】（1）根据题意列出等量关系并整理即可得出轨迹C 的方程；（2）分情况将曲线C 与直线方程联立，根据方程根的个数求得实数k 的取值范围．【小问1详解】设点 t1y =+，两边平方，并整理得24,0220,0y y x y y y ≥⎧=+=⎨<⎩,所以轨迹C 的方程为24,00,0y y x y ≥⎧=⎨<⎩.【小问2详解】易知直线():1l y k x =-，当0y ≥时，如下图所示：联立()214y k x x y⎧=-⎨=⎩，消去y 得2440x kx k -+=，21616k k ∆=-，当0∆=，即0k =或1k =时，有且仅有一个公共点且满足题意；当0∆<，即01k <<时，无公共点；当0y <时，令0x =，yk =-，当0k ≤时，无公共点；当0k >时，有一个公共点；综合以上可知当01k ≤<时，有且仅有一个公共点，故k 的取值范围是[)0,1．21.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成45︒的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为2π，宽为π的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．（1）求该直角圆形弯管的体积；（2）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；（3）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．【答案】（1）2π（2）22（3）证明见解析，最小正周期为2π，振幅为1【解析】【分析】（1）易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积，且当矩形的长或宽作为圆柱的高时，体积最大，分别求两种情况的体积；（2）根据圆柱截面的性质可得a =，即可得离心率；（3）以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x 轴建立平面直角坐标系，设对于底面圆上一点()cos ,sin P αα，则()1,0与P 所连接的弧长为α，假设短轴对应的高度为0，可得点P 对应到椭圆上的点的高度，即可得截口展开形成的图形的函数，进而可得最小正周期与振幅.【小问1详解】易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积，且当矩形的长或宽作为圆柱的高时，体积最大，当矩形的长作为圆柱的高时，圆柱体的底面圆周长为π，则底面半径为12，高为2π，体积为221π2ππ22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭；当矩形的宽作为圆柱的高时，圆柱体的底面圆周长为2π，则底面半径为1，高为π，体积为222ππ1ππ2⨯=>；所以体积为2π；【小问2详解】设该椭圆为()222210+=>>x y a b a b，因此22a b =，即a =，所以22c e a ===；【小问3详解】以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x 轴建立平面直角坐标系，设对于底面圆上一点()cos ,sin P αα，则()1,0与P 所连接的弧长为α，假设短轴对应的高度为0，则点P 对应到椭圆上的点的高度为sin tan 45sin αα︒=，所以，截口展开形成的图形的函数解析式为sin y x =，最小正周期为2π，振幅为1.。