北京市第四十三中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷含答案

北京市第43中学20120—2021学年度第一学期期中
高一数学2020.11.
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（答案填在答题纸上）
1.若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B = （）
A.{2}-
B.{1}
C.{2,1}-
D.{2,0,1}
-2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是（）
A ．0x R ∃∈，2450x x ++>
B ．0x R ∃∈，2450
x x ++≤C ．x R ∀∈，2450x x ++>D ．x R ∀∈，2450
x x ++≤4．下列哪一组函数相等（）
A ．()f x x =与()2
x g x x =B ．()2f x x =与()()
4
g x x =C ．()f x x =与()()2g x x =D ． x =x 2−1与g x =x 4−1x 2+1
5.若a 、b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（）
A．22a b <B．22a b ab <C．2211ab a b <D．b a a b
<
6.函数的零点是（）
A.1-
B.0
C.1
D.2
7.函数21y x =-的定义域是（）
A.(],1-∞-
B.()1,1-
C.(][),11,-∞-+∞
D.[)
1,+∞8.如果二次函数2(3)y x mx m =+++有两个不同的零点，那么m 的取值范围是（）．
A．()2, 6-B．[]2, 6-C．{}2, 6-D．()()
,26,-∞-+∞ 9．已知函数53()8f x ax bx cx =+++，且(2)10f -=，则函数(2)f 的值是（）A ．2-B ．6-C ．6D ．8
10．设偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，
则不等式()()
0f x f x x +->的解集为（）
A ．()()1,01,-⋃+∞
B ．()()
,10,1-∞-⋃C ．()(),11,-∞-+∞U D ．()()
1,00,1-U 二，填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（答案填在答题纸上）
11．设函数()21
11x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，，，则()4f f -=⎡⎤
⎣⎦_________．
12．不等式x 1
0x 2-<+的解集为______．
13．已知函数2(3)46f x x x -=-+，求()f x 的解析式______________.
14．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是1
1
(,)23-，
则+a b 的值是_________________.
15．已知函数1
()(1)1f x x x x =+>-，则函数()f x 的最小值为________
16．函数)(x f 满足下列性质：
（1）定义域为R ，值域为[)+∞,1；
（2）图象关于2=x 对称；
（3）对任意)0,(,21-∞∈x x ，且21x x ≠，都有1212
()()0f x f x
x x -<-.
请写出函数)(x f 的一个解析式（只要写出一个即可）．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分13分）
已知全集为R ，集合A={0322<--x x x }，集合B={04922>+-x x x }，求：
（1）A B ；（2）B
A C R )(18.（本题满分13分）已知函数()2f x x =-．
（1）将函数()2f x x =-写出分段函数
的形式，并画出图象；
（2）根据图象写出f (x )的单调区间，并指出在
各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)
（3）根据图象求出满足
条件()3f x <的x 的取值范围．
19.（本题满分10分）
（1）如图①，给出奇函数
的局部图象，试作出轴右侧的图象并求出的值；
（2）如图②，给出偶函数的局部图象，试作出轴右侧的图象并比较与的大小．
20.（本小题满分14分）已知函数x
x x f 2
)(2-=（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；
（2）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明
21.（本小题满分14分）某化工厂生产的某种化工产品，
当年产量在150吨至250吨之内，其年生产的总成本（万元）
与年产量（吨）之间的关系可近似地表示为．
（1）当年产量x 为多少吨时，每吨的平均成本W 最低，并求每吨最低平均成本
（2）若每吨平均出厂价为16万元，可获得的年利润为T，
求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润．
22.（本小题满分16分）
已知函数()(1)(1)f x ax x =-+.
（1）当1a =时，求()f x 在区间[1,2]-上的值域；
（2）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是减函数，求a 的取值范围；
（3）解关于x 的不等式()0f x <.
答案：
选择题每题4分，对4分，错0分。

1,C 2,A 3,D 4,D 5,C 6,A 7,C 8,D 9,C 10,A
填空题每题5分，对5分，错0分。

11,1512,(-2,1)13,2()23f x x x =++．
14,-1415,316,f(x)=x ²-4x+5
注意！18题的画图坐标系要印在答题卡上。

19题两问的的图形都要印在答题卡上。

17题（1）9分，（2）4分18题（1）6分，（2）4分，（3）3分
19题（1）5分，（2）5分20题（1）7分，（2）7分
21题（1）7分，（2）7分22题（1）5分，（2）5分，（3）6分。

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2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集为U ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,2}B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{3}B ．{3,2}-C ．{2}D ．{2,3}-【答案】C【分析】根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集，再根据集合交集运算即可. 【详解】解：根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集，所以{}{1,2,3,4,5}{3,2}2AB =-=.故选：C. 2．不等式021x x ≤-+的解集是（） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞，，D ．(12]-，【答案】D【分析】将“不等式21x x -+≤0”转化为“不等式组()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩”，由一元二次不等式的解法求解．【详解】依题意，不等式化为()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩，解得﹣1＜x≤2，故选D ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝|x |C ．y ＝2x +1D ．y =【答案】D【分析】求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.【详解】A. y ＝x 2﹣2x ,函数的减区间为(,1)-∞，所以选项A 不符； B. y ＝|x |，函数的减区间为(,0)-∞，所以选项B 不符； C.y ＝2x +1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C 不符；D. y =0，+∞），所以选项D 符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】C【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.5．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A【分析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>.【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A6．已知12,x x 是方程2710x x -+=的两根，则2212x x +=（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由韦达定理的127x x +=，121=x x ，再根据()2221212122x x x x x x +=+-即可求出. 【详解】12,x x 是方程2710x x -+=的两根，127x x ∴+=，121=x x ，()2221212122725x x x x x x +=+-=-=故选：D.7．设,a b ∈R ，且a b >，则下列结论中正确的是（） A ．1ab> B ．11a b< C ．||||a b >D ．33a b >【答案】D【分析】取特殊值判断ABC ，由幂函数3y x =的单调性判断D. 【详解】当1,1a b ==-时，11ab =-<，11a b>，||||a b = 因为幂函数3y x =在R 当单调递增，a b >，所以33a b > 故选：D8．“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当2a =，则()f x x a=-在[2,)+∞上为增函数，故充分性成立；当函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数，则，故必要性不成立.【解析】充分必要性．9．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A 满足．故选A ．10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题分析：由得，由得，∴函数的定义域可以是{02}，{02}，{022，共3个．．【解析】函数的定义域和值域．11．已知非零实数,,a b c 满足：a b c >>，下列不等式中一定成立的有（） ①ab bc >； ②22ac bc ≥； ③a b a bc c+->.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【分析】由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解. 【详解】对于①，若a c >，0b <，则ab bc <，故①错误；对于②，由()2220ac bc c a b -=-≥可得22ac bc ≥，故②正确；对于③，因为2a b a b b c c c +--=，若20b c <，则a b a bc c+-<，故③错误. 故选：B.12．已知a 、b R ∈，则“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】将代数式322a a b a ab a b +--++因式分解，找出使得3220a a b a ab a b +--++=成立的等价条件，进而可得出结论.【详解】()()()()()322221a a b a ab a b a a b a a b a b a b a a +--++=+-+++=+-+，对任意的a R ∈，22131024a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以，32200a a b a ab a b a b +--++=⇔+=.因此，“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的充要条件. 故选：C.13．已知{},;min ,,.a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 6,246x x x =-+-++，则函数()f x 的最大值是（） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】画出函数图像求得解析式，再求最大值即可【详解】根据题目的定义得，{}2()min 6,246f x x x x =-+-++2226,6246246,6246x x x x x x x x x ⎧-+-+≤-++=⎨-++-+>-++⎩，化简得，()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，可根据该分段函数做出图像，显然在左边的交点处取得最大值，此时，0x =，得(0)6f =即为所求；故选：C【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义得到()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，进而作出图像求解，属于基础题二、双空题14．设全集U =R ，集合{|2},A x x =<集合{|1}B x x =<，则集合UA___________，集合()UA B =___________.【答案】[)2,+∞ ()[),12,-∞+∞【分析】利用集合的交集和并集进行求解即可【详解】{|2},A x x =<}{2UA x x =≥[)2,=+∞；{|1}B x x =<，()U A B =()[),12,-∞+∞；故答案为：①[)2,+∞；②()[),12,-∞+∞15．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值是_____，此时x =_____. 【答案】3 2【分析】由题知10x ->，又由()1111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解．【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()12111131f x x x =-+++=-≥=，当且仅当111x x -=-即2x =时，函数取得最小值3．故答案为：①3；②2．【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．16．若函数()2f x x x a =-+为偶函数，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间是___________. 【答案】0 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由偶函数的定义得出x a x a +=-，等式两边平方可求得实数a 的值，求出函数()f x 在()0,∞+上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()2f x x x a =-+的定义域为R ，且该函数为偶函数，则()()f x f x -=，即()22x x a x x a ---+=-+，所以，x a x a -=+，等式x a x a -=+两边平方可得222222x ax a x ax a -+=++，可知0ax =对任意的x ∈R 恒成立，所以，0a =，则()2f x x x =-.当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 在()0,∞+上的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 由于函数()f x 为偶函数，因此，函数()f x 的单调递增区间为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：0；1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质.三、填空题 17．命题“11,1x x∀<>”的否定是___________. 【答案】11,1x x∃<≤ 【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】解：命题“11,1x x∀<>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“11,1x x∃<≤” 故答案为：11,1x x∃<≤18．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______. 【答案】12【分析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【详解】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解得3x =，所以1512x -=，即所求人数为12人，故答案为：12．19．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.【答案】1,2,3---【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．20．某学校运动会上，6名选手参加100米决赛.观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1､2､6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4､5､6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现并没有并列名次，且甲､乙､丙､丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___________. 【答案】丁【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对故答案为：丁【点睛】关键点睛：解题关键在于根据题意，进行合情推理即可，属于基础题 21．已知关于x 的不等式32ax a x+≤在区间0,上有解，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()[),03,-∞+∞【分析】由题意可得，当0x >时，2230ax ax -+能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围．【详解】关于x 的不等式32ax a x+在区间(0,)+∞上有解，即当0x >时，不等式32ax a x+能成立，即2230ax ax -+能成立．当0a =时，不等式不成立，故0a ≠．当0a >时，则1x =时，函数223y ax ax =-+的最小值为2124304a a a a-=-，求得3a ．当0a <时，二次函数223y ax ax =-+的图象开口向下，满足条件．综上可得，实数a 的范围为3a 或0a <，故答案为：()[),03,-∞+∞【点睛】易错点睛：解答本题时要注意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当0x >时，不等式2230ax ax -+能成立．即函数2()23f x ax ax =-+的最小值大于零，而不是最大值大于零.四、解答题22．已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .（1）若3a =，求集合P ；（2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{}13x x -<<；（2）(2)，+∞. 【分析】（1）直接解不等式得解；（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解. 【详解】（1）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<；（2）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤. 由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)，+∞. 23．已知定义在R 上的奇函数21()x mf x x =++,m ∈R . （1）求m ；（2）用定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上单调递减；（3）若实数a 满足()22225f a a ++<，求a 的取值范围. 【答案】（1）0m =；（2）证明见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，得到(0)0f =，即可求解；（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）结合()f x 在[)1,+∞单调递减，转化为2222a a ++>，即可求解实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，解得0m =. （2）任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，则12221212121122121222222212()(1)()()(),(1)111111()()()(1)x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x +-+-++++--==+-=+ 因211x x >>，故221221121,0,10,10x x x x x x >->+>+>，从而21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，所以函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）由()2222111a a a ++=++≥，又由2(2)5f =，因为()22225f a a ++<，结合()f x 在[)1,+∞单调递减，可得2222a a ++>，即220a a +>，解得2a <-或0a >，即实数a 的取值范围()(),20,-∞-+∞.【点睛】含有“f ”的不等式的解法：1、首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式；2、根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式（组），此时要注意()g x 和()h x 的取值应再外层函数的定义域内；3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.24．二次函数()f x 满足(0)1f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，函数()f x 的图像总在一次函数2y x m =+图像的上方，试确定实数m 的取值范围.条件①：()()12f x f x x +-=；条件②：不等式()4<+f x x 的解集为()1,3-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）2()1f x x x =-+；（2）1m <-.【分析】（1）选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出()f x 的解析式；选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出()f x 的解析式；（2）由题意可知231x x m -+>，构造函数2()31g x x x =-+，由min ()g x m >得出m的范围.【详解】解（1）由f (0)=1，可设f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0).选择①，则有()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++-++=++= 由题意，得22,0,a a b =⎧⎨+=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩故2()1f x x x =-+ 选择②，则()4<+f x x 可化为2(1)30ax b x +--<.由题，方程2(1)3=0ax b x +--的两实根分别为1-和3 所以1132b a --=-+=即21a b +=，及3133a-=-⨯=-即1a =，所以1b =-. 故2()1f x x x =-+（2）由题意，得212x x x m -+>+，即231x x m -+>，对[1,1]x ∈-恒成立.令2()31g x x x =-+，则问题可转化为min ()g x m >又因为g (x )在[1,1]-上递减，所以min ()(1)1g x g ==-，故1m <-【点睛】对于问题（2），在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.25．区间[],αβ的长度定义为βα-.函数()22()1f x a x ax =+-，其中0a >，区间{}|()0I x f x =≤.（1）求I 的长度；（2）求I 的长度的最大值.【答案】（1）21a a+；（2）12. 【分析】（1）解出()0f x ≤，即可利用区间长度定义求出；（2）利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）令2()(1)0f x x a x a ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得：10x =，2201a x a=>+，则{}2|()001a x f x x x a ⎧⎫≤=≤≤⎨⎬+⎩⎭ ，20,1a I a ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦，则I 的长度为22011a a a a -=++；（2）0a >，I ∴的长度211112a a a a =≤=++，当且仅当1a =时等号成立. ∴当1a =时，I 的长度的最大值为12. 26．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.（1）已知函数()g x x =，函数()2h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；（2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i ）得分计入总分) （i ）如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；（ii ）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x x =是，()2h x x =不是，理由见解析；（2）9；（3）（i ）不是，理由见解析；（ii ）()1,1-.【分析】（1）()g x x =用新定义证明，()2h x x =举反例否定. （2）由新定义得出x 的一次不等式恒成立问题求解.（3）(i)构造反例,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩说明；(ii)由分段函数逐一讨论即可. 【详解】解：（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈-，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2h x x =不是，反例：当1x =-时，()31111=1224h h h ⎛⎫⎛⎫-+==<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈--恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈--恒成立因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>，解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.（3）（i ）不是构造,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意正有理数q ，若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=；若R x Q ∈，则R x q Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=.因此()f x 是R 上的q -增长函数，但()f x 不是增函数.（ii ）由题意知2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a -上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a -上，因此2224()2a a a >--=注意到()f x 在2[2,0]a -上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =-时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾因此244a >，即(1,1)a ∈-.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数：①当24x a +≤-，(4)()f x f x +>显然成立②当224a x a -<+<时，2243x a a <-<-，此时2(4)(4)f x x a +=-+>-，22()2f x x a a =+<-，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+->+≥因此()f x 为R 上的4-增长函数综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1-.【点睛】此题是新定义题，属于难题；肯定命题时根据所给定义证明，否定结论要举出相应反例，方可获证.。

2020-2021学年北京四中高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年北京四中高一（上）期中数学试卷试题数：26，总分：1401.（单选题，4分）已知全集为U，集合A={1，2，3，4，5}，B={-3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{3}B.{-3，2}C.{2}D.{-2，3}2.（单选题，4分）不等式x−2≤0的解集是（）x+1A.（-∞，-1）∪（-1，2）B.[-1，2]C.（-∞，-1）∪[2，+∞）D.（-1，2]3.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A.y=x2-2xB.y=|x|C.y=2x+1D. y=−√x4.（单选题，4分）已知函数f（x）=x3-5x+1，则下列区间中一定包含f（x）零点的区间是（）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）5.（单选题，4分）若函数f（x）是偶函数，且在区间[0，3]上单调递减，则（）A.f（-1）＞f（2）＞f（3）B.f（3）＞f（-1）＞f（2）C.f（2）＞f（-1）＞f（3）D.f（3）＞f（2）＞f（-1）6.（单选题，4分）已知x1，x2是方程x2- √7 x-2=0的两根，则x12+x22=（）A.2B.11C.4D.57.（单选题，4分）设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A. ab＞1B. 1a ＜1bC.|a|＞|b|D.a3＞b38.（单选题，4分）“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（）A.充分条件不必要B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.（单选题，4分）向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h=f（t）的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是（）A.B.C.D.10.（单选题，4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x2+1，值域为{1，3}的同族函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11.（填空题，5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，集合B={x|x＜1}，则集合∁U A=___ ，集合（∁U A）∪B=___ ．12.（填空题，5分）命题“∀x＜1，1＞1”的否定是___ ．x13.（填空题，5分）某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___ ．14.（填空题，5分）函数f（x）=x+ 1（x＞1）的最小值是___ ；此时x=___ ．x−115.（填空题，5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___ ．16.（问答题，8分）已知a＞0，记关于x的不等式（x-a）（x+1）＜0的解集为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q．（1）若a=3，求集合P；（2）若Q⊆P，求a的取值范围．，m∈R．17.（问答题，9分）已知定义在R上的奇函数f（x）= x+mx2+1（1）求m；（2）用定义证明：f（x）在区间[1，+∞）上单调递减；（3）若实数a满足f（a2+2a+2）＜25，求a的取值范围．18.（问答题，8分）二次函数f（x）满足f（0）=1，再从条件① 和条件② 两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，函数f（x）的图象总在一次函数y=2x+m图象的上方，试确定实数m的取值范围．条件① ：f（x+1）-f（x）=2x；条件② ：不等式f（x）＜x+4的解集为（-1，3）．19.（单选题，4分）已知如非零实数a，b，c满足：a＞b＞c，下列不等式中一定成立的有（）① ab＞bc② ac2＞bc2③ a+bc ＞a−bcA.0个B.1个C.2个D.3个20.（单选题，4分）已知a，b∈R，则“a+b=0”是“a3+a2b-a2-ab+a+b=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件21.（单选题，4分）已知min{a，b}= {a，a≤b，b，a＞b．设f（x）=min{-x+6，-2x2+4x+6}，则函数f（x）的最大值是（）A.8B.7C.6D.522.（填空题，5分）若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=___ ，函数f（x）的单调递增区间是___ ．23.（填空题，5分）某学校运动会上，6名选手参加100米决赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1、2、6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4、5、6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现并没有并列名次且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___ ．≤2a在区间（0，+∞）上有解，则实数a的24.（填空题，5分）已知关于x的不等式ax+ 3x取值范围是___ ．25.（问答题，10分）区间[α，β]的长度定义为β-α，函数f（x）=（1+a2）x2-ax，其中a＞0，区间I={x|f（x）≤0}．（1）求I的长度；（2）求I的长度的最大值．26.（问答题，13分）若函数f（x）的定义域为D，集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且f（x+t）＞f（x），则称f（x）为M上的t-增长函数．-（1）已知函数g（x）=x，函数h（x）=x2，判断g（x）和h（x）是否为区间[-1，0]上的32增长函数，并说明理由；（2）已知函数f（x）=|x|，且f（x）是区间[-4，-2]上的n-增长函数，求正整数n的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按① 得分计入总分）① 如果对任意正有理数q，f（x）都是R上的q-增长函数，判断f（x）是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由；② 如果f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）为R上的4-增长函数，求实数a的取值范围．2020-2021学年北京四中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：26，总分：1401.（单选题，4分）已知全集为U，集合A={1，2，3，4，5}，B={-3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{3}B.{-3，2}C.{2}D.{-2，3}【正确答案】：C【解析】：图中阴影部分表示的集合为A∩B．【解答】：解：根据题意，图中阴影部分表示集合A、B的公共部分，即A∩B，∵集合A={1，2，3，4，5}，B={-3，2}，∴A∩B={2}，故选：C．【点评】：本题考查Venn图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，属基础题．≤0的解集是（）2.（单选题，4分）不等式x−2x+1A.（-∞，-1）∪（-1，2）B.[-1，2]C.（-∞，-1）∪[2，+∞）D.（-1，2]【正确答案】：D【解析】：将“不等式x−2x+1 ≤0”转化为“不等式组 {(x +1)(x −2)≤0x +1≠0 ”，有一元二次不等式的解法求解．【解答】：解：依题意，不等式化为 {(x +1)(x −2)≤0x +1≠0，解得-1＜x≤2，故选：D ．【点评】：本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．3.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A.y=x 2-2xB.y=|x|C.y=2x+1D. y =−√x【正确答案】：D【解析】：由二次函数的性质可知，y=x 2-2x 在（0，+∞）上的单调性；由一次函数及函数图象变换可知y=|x|在（0，+∞）上为增函数；由一次函数的性质可知，y=2x+1在（0，+∞）上为增函数；由幂函数的性质可知，y= √x 在（0，+∞）上为增函数，从而可判断y=- √x （0，+∞）上为减函数【解答】：解：由二次函数的性质可知，y=x 2-2x 在（0，+∞）上先减后增，故A 错误； y=|x|在（-∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B 错误；由一次函数的性质可知，y=2x+1在（0，+∞）上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y= √x 在（0，+∞）上为增函数，从而有y=- √x （0，+∞）上为减函数，故D 正确；故选：D ．【点评】：本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．4.（单选题，4分）已知函数f （x ）=x 3-5x+1，则下列区间中一定包含f （x ）零点的区间是（）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）【正确答案】：C【解析】：利用函数的连续性，结合零点存在定理，直接计算函数在选项的区间端点出的函数值，根据函数值的符号来判断．【解答】：解：函数f（x）=x3-5x+1，是连续函数，并且f（-2）=3＞0，f（-1）=-1+5+1=5＞0，f（0）=1＞0；f（1）=1-5+1=-3＜0，f（2）=8-10+1=-1＜0，f（0）f（1）＜0，由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）有零点；故选：C．【点评】：本题考查函数的零点问题，考查零点存在定理，属于基础题．5.（单选题，4分）若函数f（x）是偶函数，且在区间[0，3]上单调递减，则（）A.f（-1）＞f（2）＞f（3）B.f（3）＞f（-1）＞f（2）C.f（2）＞f（-1）＞f（3）D.f（3）＞f（2）＞f（-1）【正确答案】：A【解析】：由已知结合函数的奇偶性及单调性即可比较函数值的大小．【解答】：解：因为函数f（x）是偶函数，且在区间[0，3]上单调递减，所以f（-1）=f（1），又f（1）＞f（2）＞f（3），所以f（-1）＞f（2）＞f（3）．故选：A．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性比较函数值的大小，属于基础试题．6.（单选题，4分）已知x1，x2是方程x2- √7 x-2=0的两根，则x12+x22=（）A.2B.11C.4D.5【正确答案】：B【解析】：根据根与系数的关系计算．【解答】：解：由根与系数的关系可知x1+x2= √7，x1x2=-2，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7+4=11．故选：B．【点评】：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．7.（单选题，4分）设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A. ab＞1B. 1a ＜1bC.|a|＞|b|D.a3＞b3【正确答案】：D【解析】：对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．【解答】：解：对于A，若a=1，b=-1，则ab＜1，故A不成立，对于B，若a=1，b=-1，则1a ＞1b，故B不成立，对于C，若a=1，b=-1，则|a|=|b|，故C不成立，对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3＞b3，故D成立，故选：D．【点评】：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题8.（单选题，4分）“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（）A.充分条件不必要B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：结合函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】：解：∵函数f（x）=|x-a|在区间[a，+∞）上为增函数，∴要使函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数，则a≤2，∴“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．9.（单选题，4分）向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h=f（t）的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：由已知可得：第一段和第二段杯中水面高度h匀速上升，故杯子的水面面积不变，但第二段上升速度更快，说明第二段水面面积较小，进而得到答案．【解答】：解：由已知可得：第一段和第二段杯中水面高度h匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升速度更快，说明第二段水面面积较小，故选：A．【点评】：本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，难度不大，属于基础题．10.（单选题，4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x2+1，值域为{1，3}的同族函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：由函数y=x2+1的值域求出它可能的定义域是什么，从而得出它的同族函数有多少．【解答】：解：根据题意，当x2+1=1时，求得x=0；当x2+1=3时，求得x=± √2；∴函数y=x2+1的定义域可以是{0，√2 }，{0，- √2 }，{0，√2，- √2 }，共3个；∴它的同族函数有3个．故选：C．【点评】：本题考查了新定义的函数性质的应用问题，是基础题．11.（填空题，5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，集合B={x|x＜1}，则集合∁U A=___ ，集合（∁U A）∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥2}; [2]{x|x＜1或x≥2}【解析】：进行补集和并集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＜2}，B={x|x＜1}，U=R，∴∁U A={x|x≥2}，（∁U A）∪B={x|x＜1或x≥2}．故答案为：{x|x≥2}，{x|x＜1或x≥2}．【点评】：本题考查了描述法的定义，补集和并集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．＞1”的否定是___ ．12.（填空题，5分）命题“∀x＜1，1x≤1或x0=0【正确答案】：[1]∃x0＜1，1x0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．≤1或x0=0，【解答】：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0＜1，1x0≤1或x0=0．故答案为：∃x0＜1，1x0【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．13.（填空题，5分）某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15-x）人，只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15-x）+（10-x）+x+16=38，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】：解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15-x）人，只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15-x）+（10-x）+x+16=38，解得x=3，所以15-x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】：本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．（x＞1）的最小值是___ ；此时x=___ ．14.（填空题，5分）函数f（x）=x+ 1x−1【正确答案】：[1]3; [2]2【解析】：由x ＞1可得x-1＞0，函数y= 1x−1 +x=x-1+ 1x−1 +1，利用基本不等式即可得出．【解答】：解：∵x ＞1，∴x -1＞0．∴函数y= 1x−1 +x=x-1+ 1x−1 +1≥2 √(x −1)•1x−1+1=3，当且仅当x=2时取等号．∴函数y= 1x−1 +x 的最小值是3．此时x=2．故答案为：3，2．【点评】：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形：x=x-1+1，属于基础题．15.（填空题，5分）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___ ．【正确答案】：[1]-1，-2，-3【解析】：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】：解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a+b≤c”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次-1，-2，-3，（答案不唯一），故答案为：-1，-2，-3【点评】：本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．16.（问答题，8分）已知a ＞0，记关于x 的不等式（x-a ）（x+1）＜0的解集为P ，不等式|x-1|≤1的解集为Q ．（1）若a=3，求集合P ；（2）若Q⊆P ，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当a=3时，解不等式（x-3）（x+1）＜0即可求出集合P．（2）先求出集合P和集合Q，再利用Q⊆P，即可求出a的取值范围．【解答】：解：（1）当a=3时，不等式即为（x-3）（x+1）＜0，解得：-1＜x＜3，所以集合P={x|-1＜x＜3}．（2）解不等式|x-1|≤1得：0≤x≤2，即集合Q={x|0≤x≤2}，解不等式（x-a）（x+1）＜0得：-1＜x＜a，即集合P={x|-1＜x＜a}，∵Q⊆P，∴a＞2，故a的取值范围为：（2，+∞）．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了集合间的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．，m∈R．17.（问答题，9分）已知定义在R上的奇函数f（x）= x+mx2+1（1）求m；（2）用定义证明：f（x）在区间[1，+∞）上单调递减；，求a的取值范围．（3）若实数a满足f（a2+2a+2）＜25【正确答案】：【解析】：（1）根据函数是奇函数，得f（0）=0，即可求得m的值；（2）根据减函数的定义进行证明即可；，及（2）中结论，将不等式转化为a2+2a+2＞2，解之即可．（3）由a2+2a+2≥1，f（2）= 25【解答】：（1）解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，解得m=0．，（2）证明：由（1）知f（x）= xx2+1任取1≤x 1＜x 2，f （x 1）-f （x 2）= x 1x 12+1 - x2x 22+1 = x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1) = (x 1x 22−x 2x 12)+(x 1−x 2)(x 12+1)(x 22+1) = (x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1) ，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1-x 2＜0，x 1x 2＞1，∴1-x 1x 2＜0，∴f （x 1）-f （x 2）＞0，∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在[1，+∞）上单调递减．（3）解：由（2）可知f （x ）在[1，+∞）上单调递减，又∵a 2+2a+2=（a+1）2+1≥1，f （2）= 25，∴f （a 2+2a+2）＜ 25 ，可化为f （a 2+2a+2）＜f （2），则a 2+2a+2＞2，解得a ＜-2或a ＞0，即a 的取值范围是（-∞，-2）∪（0，+∞）．【点评】：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，利用减函数的定义证明单调性，由函数的单调性解不等式，属于中档题．18.（问答题，8分）二次函数f （x ）满足f （0）=1，再从条件 ① 和条件 ② 两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求f （x ）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，函数f （x ）的图象总在一次函数y=2x+m 图象的上方，试确定实数m 的取值范围．条件 ① ：f （x+1）-f （x ）=2x ；条件 ② ：不等式f （x ）＜x+4的解集为（-1，3）．【正确答案】：【解析】：选条件 ① ：（1）先设f （x ）=ax 2+bx+c ，在利用f （0）=1求c ，再利用两方程相等对应项系数相等求a ，b 即可．选条件 ② ：（1）先设f （x ）=ax 2+bx+c ，在利用f （0）=1求c ，再根据不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解a ，b 即可．（2）转化为x 2-3x+1-m ＞0在[-1，1]上恒成立问题，找其在[-1，1]上的最小值让其大于0即可．【解答】：解：选条件 ① ：（1）设f （x ）=ax 2+bx+c ，由f （0）=1得c=1，故f （x ）=ax 2+bx+1．因为f （x+1）-f （x ）=2x ，所以a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+1）=2x ．即2ax+a+b=2x ，所以 {2a =2a +b =0 ，∴ {a =1b =−1，所以f （x ）=x 2-x+1，选条件 ② ：（1）设f （x ）=ax 2+bx+c ，由f （0）=1得c=1，故f （x ）=ax 2+bx+1，因为不等式f （x ）＜x+4的解集为（-1，3），所以：ax 2+bx+1＜x+4的解集为（-1，3），即ax 2+（b-1）x-3=0的根为-1和3，∴-1+3=- b−1a 且（-1）×3=- 3a， ∴a=1，b=-1，所以f （x ）=x 2-x+1，（2）由题意得x 2-x+1＞2x+m 在[-1，1]上恒成立．即x 2-3x+1-m ＞0在[-1，1]上恒成立．设g （x ）=x 2-3x+1-m ，其图象的对称轴为直线x= 32，所以g （x ）在[-1，1]上递减．故只需最小值g （1）＞0，即12-3×1+1-m ＞0，解得m ＜-1．【点评】：本题考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．19.（单选题，4分）已知如非零实数a ，b ，c 满足：a ＞b ＞c ，下列不等式中一定成立的有（）① ab ＞bc② ac 2＞bc 2③ a+b c ＞ a−b c A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：B【解析】：由不等式的基本性质逐一判断即可得结论．【解答】：解：若a＞0＞b＞c，则ab＜0，bc＞0，ab＜bc，故① 不一定成立；因为非零实数a，b，c满足：a＞b＞c，所以ac2＞bc2，故② 一定成立；a+b c - a−bc= 2bc，当b＞c＞0或0＞b＞c时，2bc＞0，即a+bc＞a−bc，当b＞0＞c时，2bc ＜0，即a+bc＜a−bc，故③ 不一定成立，故不等式中一定成立的有1个．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．20.（单选题，4分）已知a，b∈R，则“a+b=0”是“a3+a2b-a2-ab+a+b=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：a3+a2b-a2-ab+a+b=0，因式分解化为：（a+b）（a2-a+1）=0⇔a+b=0．即可判断出结论．【解答】：解：a3+a2b-a2-ab+a+b=0，化为：（a+b）（a2-a+1）=0，∵a2-a+1= (a−12)2+ 34＞0，∴a+b=0．∴“a+b=0”是“a3+a2b-a2-ab+a+b=0”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查了因式分解方法、简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.（单选题，4分）已知min{a，b}= {a，a≤b，b，a＞b．设f（x）=min{-x+6，-2x2+4x+6}，则函数f（x）的最大值是（）A.8B.7C.6D.5【正确答案】：C【解析】：由题意可得函数f（x）的解析式，作出图象，数形结合得答案．【解答】：解：由-x+6=-2x2+4x+6，得2x2-5x=0，解得x=0或x= 52．∴当0 ≤x≤52时，-x+6≤-2x2+4x+6，当x＜0或x＞52时，-x+6＞-2x2+4x+6，则f（x）=min{-x+6，-2x2+4x+6}= {−x+6，0≤x≤52−2x2+4x+6，x＜0或x＞52．作出函数y=f（x）的图象如图：由图可知，函数f（x）的最大值为6．故选：C．【点评】：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想，是中档题．22.（填空题，5分）若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=___ ，函数f（x）的单调递增区间是___ ．【正确答案】：[1]0; [2][- 12，0]，[ 12，+∞）．【解析】：根据函数f（x）是偶函数，f（-x）=f（x）恒成立求出a的值，根据绝对值的意义，去绝对值，对函数单调性进行讨论即可．【解答】：解：若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则f（-x）=f（x），即x2-|-x+a|=x2-|x+a|，解得a=0；∴f （x ）= {x 2−x ，x ≥0x 2+x ，x ＜0，当x≥0时，f （x ）=x 2-x=（x- 12 ）2- 14 ，∴f （x ）在[ 12 ，+∞）上单调递增；当x ＜0时，f （x ）=x 2+x=（x+ 12 ）2- 14 ，∴f （x ）在[- 12 ，0]上单调递增；∴f （x ）的单调增区间为：[- 12 ，0]，[ 12 ，+∞）．故答案为：0，[- 12 ，0]，[ 12 ，+∞）．【点评】：本题考查了函数的单调性与奇偶性及分类讨论的思想，属于基础题．23.（填空题，5分）某学校运动会上，6名选手参加100米决赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1、2、6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4、5、6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现并没有并列名次且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___ ．【正确答案】：[1]丁【解析】：分情况讨论，根据条件甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果排除即可．【解答】：解：如果1或2号得第一名，则乙和丙都猜对，不符合题意，如果3号得第一名，则只有丁猜对，符合题意，如果4或5得第一名，则甲和乙都猜对，不符合题意，如果6号得第一名，则乙和丙都猜对，不符合题意，所以只有丁猜对．故答案为：丁．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．24.（填空题，5分）已知关于x 的不等式ax+ 3x ≤2a 在区间（0，+∞）上有解，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）∪（-∞，0 ）．【解析】：由题意可得，当x ＞0时，ax 2-2ax+3≤0能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围．【解答】：解：关于x的不等式ax+ 3x≤2a在区间（0，+∞）上有解，即当x＞0时，不等式ax+ 3x≤2a能成立，即 ax2-2ax+3≤0能成立．当a=0时，不等式不成立，故a≠0．当a＞0时，则x=1时，函数y=ax2-2ax+3的最小值为12a−4a24a=3-a≤0，求得a≥3．当a＜0时，二次函数y=ax2-2ax+3的图象开口向下，满足条件．综上可得，实数a的范围为a≥3或 a＜0，故答案为：[3，+∞）∪（-∞，0 ）．【点评】：本题主要考查其它不等式的解法，函数的能成立问题，属于中档题．25.（问答题，10分）区间[α，β]的长度定义为β-α，函数f（x）=（1+a2）x2-ax，其中a＞0，区间I={x|f（x）≤0}．（1）求I的长度；（2）求I的长度的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知解不等式f（x）≤0，即可求解；（2）利用基本不等式即可求解．【解答】：解：（1）令f（x）≤0，即（1+a2）x2-ax≤0，解得0 ≤x≤a1+a2，所以区间I=[0，a1+a2]，故区间I的长度为a1+a2；（2）因为a1+a2 = 1a+1a≤2√a•1a= 12，当且仅当a= 1a，即a=1时取等号，此时I的长度的最大值为12．【点评】：本题考查了解一元二次函数以及求最值问题，属于基础题．26.（问答题，13分）若函数f（x）的定义域为D，集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且f（x+t）＞f（x），则称f（x）为M上的t-增长函数．（1）已知函数g （x ）=x ，函数h （x ）=x 2，判断g （x ）和h （x ）是否为区间[-1，0]上的 32 -增长函数，并说明理由；（2）已知函数f （x ）=|x|，且f （x ）是区间[-4，-2]上的n-增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按 ① 得分计入总分）① 如果对任意正有理数q ，f （x ）都是R 上的q-增长函数，判断f （x ）是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；② 如果f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x≥0时，f （x ）=|x-a 2|-a 2，且f （x ）为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）依据t-增长函数的定义进行验证即可；（2）将增长函数问题转换为关于n 的不等式在给定区间恒成立问题进行解决即可；（3） ① 构造出一个函数进行反证即可；② 作出f （x ）的图象，然后依据特殊区间进行求解．【解答】：解：（1）g （x ）=x 是：因为∀x∈[-1，0]，g （x+ 32）-g （x ）=（x+ 32）-x= 32＞0； h （x ）=x 2不是，反例：当x=-1时，h （-1+ 32）=h （ 12）= 14 ＜h （-1）=1．（2）由题意得，|x+n|＞|x|对于x∈[-4，-2]恒成立，等价于x 2+2nx+n 2＞x 2，即2nx+n 2＞0对x∈[-4，-2]恒成立，因为n ＞0，所以2nx+n 2是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需-8n+n 2＞0，解得n ＞8，所以满足题意的最小正整数n 为9．（3） ① 不是构造 f (x )={x ，x ∈Qx −1，x ∈C R Q ，则对任意的正有理数q ，若x∈Q ，则x+q∈Q ，因此f （x+q ）=x+q ＞x=f （x ）；若x∈C R Q ，则x+q∈C R Q ，因此f （x+q ）=x+q-1＞x-1=f （x ）．因此f （x ）是R 上的q-增函数，但f （x ）不是增函数． ② 根据题意，当x≥0时，f （x ）=|x-a 2|-a 2，则当x≥a 2时，f （x ）=x-2a 2，当0≤x≤a 2时，f （x ）=-x ，由奇函数的对称性可知：当x≤-a2时，f（x）=x+2a2，当-a2≤x≤0时，f（x）=-x，则可得函数图象如图：易知图象与x轴交点为M（-2a2，0），N（2a2，0），因此函数f（x）在[-a2，a2]上是减函数，其余区间上是增函数，f（x）是R上的4-增长函数，则对任意的x，都有f（x+4）＞f（x），易知当-2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）＞f（x），必有f（x+4）＞0，即x+4＞2a2，故-2a2≤x≤0且x+4＞2a2，所以4＞4a2，解得-1＜a＜1，故答案为a∈（-1，1）．【点评】：本题借助新定义考查了函数的单调性，奇偶性以及最值的求解，考查了学生的分析能力以及逻辑推理能力，属于难题．。

2020-2021高一数学上期中试卷(及答案)(5)

2020-2021高一数学上期中试卷(及答案)(5)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <>D ．1a b >>3．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）7．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 9．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．函数()12x f x =-的定义域是__________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.18．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-．若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____． 20．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.三、解答题21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 22．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈．（1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明；（2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围；（3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．23．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 24．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4. （1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-. (1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围. 26．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A 【解析】【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >，且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤，综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．4．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.5．D解析：D 【解析】【分析】利用换元法将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论【详解】设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1，令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．6．C解析：C 【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．10．B解析：B 【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点，则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-．故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填1.17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0 【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.19．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同解析：(1,0)-【解析】【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称，作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)- 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.20．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】解析：【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，则，或当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解.综上实数的取值范围是（，1）故答案为（，1）．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f kg k ====，()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤Q ，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.22．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解；（3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可．【详解】()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x xf <-++在[]0,2上恒成立，即122622xxx x a +<-++在[]0,2上恒成立，即22(2)162x x a <-++⋅在[]0,2上恒成立，令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，a <<，113a ∴≤<，当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<，综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题． 23．（1）()1124x f x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数所以()()1124x f x f x -=--=+⋅, （2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x -⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭,所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故135********20182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题. 24．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围. 【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =. 因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增，所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x+-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k xx ≤-+.令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12t =时，()max 14h t =，所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1-【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩.(2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-；当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-. 【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围． 26．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax =x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝，因为＜5，所以函数()f x 的最小值为．（3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--）而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m << 故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。

北京第四十三中学2020-2021学年高一数学理联考试卷含解析

北京第四十三中学2020-2021学年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆C的方程为为其左、右焦点，e为离心率，P为椭圆上一动点，则有如下说法：①当0＜e＜时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个；②当e=时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有6个；③当＜e＜1时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有8个；以上说法中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的离心率的取值范围，得出椭圆的短轴的顶点构成的角∠F1BF2的取值范围，分别判断，使△PF1F2为直角三角形的点P个数．【解答】解：如图所示，丨BF1丨=a，丨OF1丨=c，设∠BF1O=θ，则tanθ==e，①中，当椭圆的离心率0＜e＜时，即0＜tanθ＜，∴θ∈（0，），则∠F1BF2＞，若△PF1F2为直角三角形时，只能是∠PF1F2和∠PF2F1为直角时成立，所以这样的直角三角形，只有四个；②中，当椭圆的离心率e=时，即tanθ=，∴θ=，此时∠F1BF2=，此时对应的直角三角形共有六个；③中，当椭圆的离心率＜e＜1时，即tanθ＞，则θ∈（，），∴0＜∠F1BF2＜，此时对应的直角三角形共有八个，故选D．2. 设，则的最小值是（）A. 1B. 4C. 3D. 2参考答案：B【分析】先把代数式整理成，然后利用基本不等式可求出原式的最小值.【详解】，当且仅当时，即当，，时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.3. 下列对应是从集合A到集合B的映射的是（）A．A=R，B={x|x＞0 }，x∈A，f：x→|x|B．A=N，B=N＋，x∈A，f：x→|x－1|C．A={x|x＞0且x∈R}，B=R，x∈A，f：x→x2D．A=Q，B=Q，f：x→参考答案：C略4. 已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的范围是（）A． B．C． D．参考答案：B试题分析：方程有个不同的实根,可转化为函数与轴有个不同的交点,当时,,可得在上有个零点,即当时,与轴有个交点,等价于在上有解,有解,在单调递增,且,所以只需,故选B.考点：函数与方程.【方法点晴】本题考查学生的是函数与方程思想的应用,属于中档题目.函数与方程思想是数学四大思想之一,在函数题中均有体现,方法为函数的零点即为函数与轴的交点,也可转化为函数等于时的方程根,本题首先可判断出时的根个数为个,因此时有个根,通过参变分离,转化为与在只有一个交点.5. 在平面直角坐标系xOy中，点P在圆上运动，则的最小值为（）A. B. 6 C. D. 参考答案：A【分析】根据圆的方程、可知，从而得到，进而根据比例关系得到，将问题转化为求解的最小值的问题，可知当为线段与圆的交点时，取最小值，两点间距离公式求得即为所求最小值.【详解】为圆上任意一点，圆的圆心，半径，如下图所示，，，，即又（当且仅当为线段与圆的交点时取等号），即的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将转化为，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难题.6. 某市的纬度是北纬,小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3m，楼与楼间相距15m，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，应该选购该楼的最低层数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C7. 函数则的值为（）A．B．C．D．18参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由，由f（3）=32﹣3﹣3=3，能求出的值．【解答】解：∵，∴f（3）=32﹣3﹣3=3，∴=f（）=1﹣（）2=，故选C．8. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．1040参考答案：D【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中高二被抽取的人数为30，求总体．【解答】解：由已知条件抽样比为，从而，解得n=1040，故选：D．9. 设奇函数在上为增函数，且则不等式的解集 ( )A. B. C. D.参考答案：D略10. 函数的定义域为（）．A．B．C．D．参考答案：D∵，定义域，解出．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数y=x2+2ax+1在（﹣∞，5]上是减函数，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣5]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：求函数y=x2+2ax+1的对称轴，根据二次函数的单调性即可求出a的取值范围．解答：解：原函数的对称轴为x=﹣a；∵该函数在（﹣∞，5]上是减函数；∴﹣a≥5，a≤﹣5；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]．故答案为：（﹣∞，﹣5]．点评：考查二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性．12. 已知幂函数在区间是减函数，则实数m 的值是 ▲．参考答案：m=3 13.代数式的最小值为．参考答案： 14. 已知=,且=8,则函数=___________参考答案：-2415. 已知是定义在（0，+∞）上的减函数，若成立，则的取值范围是_______参考答案：解析：∵在（0，+∞）上定义，又，仅当或时，在（0，+∞）上是减函数，结合（*）知.16. 已知数列是等差数列，若,且,则_________。

2021-2022学年北京市高一年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市东城区高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集，，，则（）{2,1,0,1,2}U =--{|1}A x x =≤{2,0,2}B =-()U A B =A ．B ．C ．D ．{2,0}-{2,0,2}-{1,1,2}-{1,0,2}-【答案】C【分析】利用集合的交、补运算求即可.()U A B ⋂ 【详解】由题设，，又，{2,0}A B =- {2,1,0,1,2}U =--∴.(){1,1,2}U A B =- 故选：C2．命题“，都有”的否定是（）1x ∀≥ln 10x x +-≥A ．“，都有”B ．“，使”1x ∀≥ln 10x x +-<01x ∃<00ln 10x x +-<C ．“，使”D ．“，使”01x ∃≥00ln 10x x +-≥01x ∃≥00ln 10x x +-<【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题来得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，都有”的否定是“，使”1x ∀≥ln 10x x +-≥01x ∃≥00ln 10x x +-<故选：D.3．已知函数有（）()f x x =+()f x A ．最小值1，无最大值B ．最大值，无最小值32C ．最小值，无最大值D ．无最大值，无最小值32【答案】C【分析】先用换元法将变形为二次函数的形式，然后根据对称轴求解出二次函数的最值，则()f x 的最值情况可知.()f x【详解】因为，所以，()f x x =[)0,t =∈+∞232t x +=所以，()()()[)()2231110,22t f x g t t t t +==+=++∈+∞因为的对称轴为，所以在上递增，()g t 1t =-()g t [)0,∞+所以，无最大值，()()min 302g t g ==所以的最小值为，无最大值，()f x 32故选：C.4．对于任意实数，，，，命题：a b c d ①若，，则；a b >0c ≠ac bc >②若，则；a b >22ac bc >③若，则；22ac bc >a b >④若，则. a b >11a b <其中正确的个数是（）A ．B ．C ．D ．1234【答案】A【分析】根据不等式的性质判断各个命题，错误的可举反例说明．【详解】时，若，则，①错误；a b >0c <ac bc <若，则，②错误；0c =22ac bc =若，则，∴，③正确；22ac bc >20c >a b >，若，仍然有，④错误．a b >0a b >>11a b >正确的只有1个．故选：A5．已知，，且，则的最小值为（）0x >0y >41x y +=x y yx +A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】B【分析】将展开利用基本不等式即可求解.1111(4)x y x y xy x y x y ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭【详解】由，，且得0x >0y >41x y +=，11114(4)559x y y x x y xy x y x y x y ⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当即，时等号成立，的最小值为，414x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩13x =16y =x y y x +9故选：B.6．若定义域为的奇函数满足，且，则（）R ()f x (2)()f x f x -=(3)2f =(4)(1)f f +=A ．B ．C ．D ．212-【答案】D 【分析】根据函数为的奇函数和满足，得到函数，再结合()f x R ()f x (2)()f x f x -=4T =求解.()32f =【详解】因为函数为的奇函数，()f x R 所以，()()f x f x -=-又满足，()f x (2)()f x f x -=所以，即，()()2f x f x -=--()()2f x f x +=-所以，即，()()4f x f x +=4T =因为，，(3)2f =(0)0f =所以，，(4)0f =()()312f f =-=所以(4)(1)2f f +=-故选：D7．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]【答案】D【详解】由题意可知：当m =0时，由f (x )=0知，−3x +1=0，∴，符合题意；103x =>当m >0时，由f (0)=1可知：，解得0<m ⩽1；2(3)40302m m m m ⎧=--⎪⎨-->⎪⎩ 当m <0时，由f (0)=1可知，函数图象恒与轴正半轴有一个交点x 综上可知，m 的取值范围是：(−∞,1].故选D.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上大于0的有解问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x 轴的交点个数；四是，区间端点值.8．已知，则“”是“”的（）,a b +∈R ln ln 0a b ⋅>()()110a b -⋅->A ．充分而不必可条件B ．必要而不充分他件：C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】可求出的等价条件，根据充分必要条件的定义判断．ln ln 0a b >【详解】解析：由题，因为，所以，即或，所以或,a b +∈R ln ln 0a b ⋅>ln 0ln 0a b >⎧⎨>⎩ln 0ln 0a b <⎧⎨<⎩11a b >⎧⎨>⎩，即等价于，即是"的充分必要条件，0101a b <<⎧⎨<<⎩()()110a b -->“ln ln 0"a b ⋅>()()“110a b -⋅->故选：C.9．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是()21(1)3,(1),(1)x a x ax a x f x a x -⎧-++≥=⎨<⎩（）A ．B ．C ．D ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦22,53⎛⎤ ⎝⎦2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与101a <<比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围．【详解】函数是定义域上的递减函数，()21(1)3,(1),(1)x a x ax a x f x a x -⎧-++≥=⎨<⎩当时，为减函数，故；1x <()1x f x a -=01a <<当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为1x ≥()2(1)3f x a x ax a =-++1a <10a -<，即，解得；12(1)a x a -=≤-2(1)a a -≥-23a ≤当时，由分段函数单调性知，，解得；1x =211(1)113a a a a--⨯+⋅+≤25a ≤综上三个条件都满足，实数a 的取值范围是20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学1x =生的分析能力与运算能力，属于中档题.10．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与最接近的是MN （参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【详解】试题分析：设，两边取对数，36180310M x N ==，所以，即最接近，故选D.36136180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810x ==-=⨯-=93.2810x =MN 9310【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算36180310x =公式包含，，.log log log aa a M N MN +=log log log a a a MM N N -=log log n a a M n M =二、解答题11．函数的定义域为_________.lg(1)y x =+【答案】(]1,4-【分析】根据真数大于零，被开方数不小于零列不等式求解.【详解】由已知，解得1040x x +>⎧⎨-≥⎩14x -<≤即函数的定义域为.lg(1)y x =++(]1,4-故答案为：.(]1,4-三、填空题12．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为_________.()f x R 0x >2()log f x x =1(4f f ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】1【分析】根据奇函数可得到，然后利用题意中的解析式即可求解11()()44f f --=【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，，()f x R 0x >2()log f x x =所以，2111(()244g 4lo f f =-=--=所以21()(4log 22)1f f f ⎡⎤-==⎢⎥⎦=⎣故答案为：113．已知奇函数在上是增函数，.若，，，()f x R ()()g x xf x =()3a g =()0.82b g =()2log 5c g =-则、、的大小关系为___________.（用连接）a b c <【答案】b<c<a 【分析】分析出函数为偶函数且在上为增函数，比较、、的大小关系，由()g x ()0,∞+30.822log 5此可得出、、的大小关系.a b c 【详解】因为奇函数在上是增函数，则当时，，()f x R 0x >()()00f x f >=且，故函数为偶函数，()()()()g x xf x xf x g x -=--==()g x 任取、且，则，1x ()20,x ∈+∞12x x >()()120f x f x >>由不等式的性质可得，即，()()11220x f x x f x >>()()120g x g x >>所以，函数在上为增函数，()g x ()0,∞+因为，，，()3a g =()0.82b g =()()22log 5log 5c g g =-=又因为，即，故.0.822222log 4log 5log 83<=<<=0.822log 53<<b<c<a 故答案为：.b<c<a 四、双空题14．函数的图像是如图所示的折线段，点的坐标为，点的坐标为. 定义函()f x OAB A (1,2)B (3,0)数，则_________，函数的最大值为_________.()()(1)g x f x x =⋅-(1)g =()g x【答案】 0 1【分析】根据点的坐标得到函数，继而得到，()()2,013,13x x f x x x ≤≤⎧=⎨--<≤⎩()2222,0143,13x x x g x x x x ⎧-≤≤=⎨-+-<≤⎩然后利用二次函数性质即可求解【详解】设线段的方程为，AB y kx b =+由点的坐标为，点的坐标为可得，解得，A (1,2)B (3,0)203k bk b =+⎧⎨=+⎩13k b =-⎧⎨=⎩所以函数，()2,013,13x x f x x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩又∵，∴函数，()()()1g x f x x =⋅-()2222,0143,13x x x g x x x x ⎧-≤≤=⎨-+-<≤⎩所以，220(1)g =-=当时，，∴此时；01x ≤≤()2112(22g x x =--()()()max 100g x g g ===当时，，∴此时；13x <≤()()221g x x =--+()()max 21g x g ==∴函数最大值为1，()g x 故答案为：0；1五、填空题15．已知，若方程有四个不同的解，则下面结论正确21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =1234x x x x <<<的代号为_________.①122x x +=-②121=x x ③341x x =④341152,2x x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦【答案】①③④【分析】作出函数的图象，根据图象得出，，，再利用对()f x 122x x +=-341122x x ≤<<≤341x x =勾函数的单调性求得的取值范围即可.3411x x +【详解】作出函数的图象如图所示：()f x 由图象可知关于对称，，故①正确；12,x x =1x -122x x +=-当，满足，但不满足，故②不正确；112x =-232x =-122x x +=-121=x x ，即，2324log log x x = 341122x x ≤<<≤2324log log 0x x +=，故③正确，341x x ∴=，333431111,,12x x x x x ⎡⎫∴+=+∈⎪⎢⎣⎭又对勾函数在单调递减，1y x x =+()0,1所以，即，④正确，331522x x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦,341152,2x x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦故答案为：①③④六、解答题16．计算：（1）；20211)02-⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）.()()4839log 3log 3log 2log 2++【答案】（1）；（2）．1054【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解；（2）利用对数的运算性质求解．【详解】解：（1）原式；()41505510=+--+=+=（2）原式．223323111535log 3log 3log 2log 2log 3log 2232624⎛⎫⎛⎫=++=⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭17．已知集合，函数的定义域为.{}123A x m x m =-≤≤+()2()lg 28f x x x =-++B （1）当时，求；2m =()R A B⋂ （2）若，求实数的取值范围.A B A = m 【答案】（1）；（2）.{}21x x -<<()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求出集合A ，再求出其补集，由，求出集合B ，然后求出，2280x x -++>()R A B⋂ （2）由得，然后分和两种情况求解即可A B A = A B ⊆A =∅A ≠∅【详解】.解：（1）根据题意，当时，，则或，2m ={}17A x x =≤≤{1R A x x =< }7x >由，得，2280x x -++>24-<<x 所以，{}24B x x =-<<所以；(){}21RA B x x ⋂=-<< （2）根据题意，若，则，A B A = A B ⊆分2种情况讨论：①当时，有，解可得，A =∅123m m ->+4m <-②当时，A ≠∅若有，必有，解可得，A B ⊆12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩112m -<<综上可得：的取值范围是：.m ()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭18．已知函数，且，.2()ax b f x x +=(1)2f =5(2)2f =(1)确定函数的解析式，并判断奇偶性；()f x (2)用单调性定义证明函数在区间上单调递增.()f x (,1)-∞-【答案】(1)，奇函数21()x f x x +=(2)证明见解析【分析】（1）先通过，列方程求出函数的解析式，再利用奇偶性的定义证明(1)2f =5(2)2f =()f x 即可；（2）令，做差判断的正负来确定函数单调性.121x x <<-12()()f x f x -【详解】（1）由，得(1)2f =5(2)2f =24522a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，1a b ==，其定义域为21()x f x x +∴=()(),00,∞-+∞ ，2211()()x x f x f x x x ++∴-=-=-=--故函数为定义域上的奇函数；()f x （2）令，121x x <<-则，()()()22121212121211212211111()()x x x x x x f x f x x x x x x x x x --⎛⎫++∴-=-=-+-= ⎪⎝⎭，121x x <<- 12120,10x x x x ∴-<->，即，12()()0f x f x ∴-<12()()f x f x <故函数在区间上单调递增()f x (,1)-∞-19．设函数，已知的解集为.()()2,R f x x bx c b c =++∈()0f x <()1,3-(1)求，的值；b c (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值.()()g x f x ax =-[]0,24-a 【答案】(1)23b c =-⎧⎨=-⎩(2)0a =【分析】（1）根据二次不等式的解和二次方程的的根的关系，利用韦达定理列方程求解；（2）先通过，，求出，再验证是否在对应的处取到最小值即(0)4g =-(2)4g =-2(42a g +=-a x 可.【详解】（1）由已知的解集为，()0f x <()1,3-则方程的根为，20x bx c ++=1,3-由韦达定理得，()1313b c -+=-⎧⎨-⨯=⎩；23b c =-⎧∴⎨=-⎩（2）由（1）得函数，()23(2)g x a x x =-+-由于开口向上的二次函数的最小值只能在区间端点或者对称轴处取到，若，即，不符，舍去；(0)4g =-34-=-若，即，得，(2)4g =-()42234a -+-=-12a =此时，对称轴为，故函数应该在时取到最小值，不符，舍去；253()2x x x g -=-[]50,24x =∈54x =若，即，得或2()42a g +=-()24222232a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-=-4a =-0a = 当时，，对称轴为，不符合在对称轴处取到最小值，舍去；4a =-2()23g x x x =+-[]10,2x =-∉当时，，对称轴，符合在对称轴处取到最小值.0a =2()23g x x x =--[]10,2x =∈综合得.0a =20．设是上的奇函数，且当时，，.()f x R 0x >2()lg(1)f x x ax =-+R a ∈(1)若，求的解析式；(1)1f =()f x (2)若在区间单调，求实数的取值范围.()f x (1,2)a 【答案】(1)22lg(1),0()lg(1),0x ax x f x x ax x ⎧-+>=⎨-++≤⎩(2)1a ≤【分析】（1）先根据求出，再通过时求函数解析式；(1)1f =a 0x <()()f x f x =--（2）根据对称轴的位置，以及在区间上恒成立来列不等式求解.210x ax -+≥(1,2)【详解】（1）由已知，得(1)lg(11)1f a =-+=8a =-故当时，0x >2()l 8g(1)f x x x +=+又是上的奇函数，()f x R 当时，，∴0x <()()()()()22lg 81lg 81f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-+=--+⎣⎦，()()000f f += ()00f ∴=22lg(81),0()lg(81),0x x x f x x x x ⎧++>∴=⎨--+≤⎩（2）在区间单调，即在上单调，()f x (1,2)2()lg(1)f x x ax =-+(1,2)则，()()()1lg(11)02lg(421)01,22f a f a a ⎧⎪=-+≥⎪=-+≥⎨⎪⎪∉⎩.1a ∴≤21．非空有限集合S 是由若干个正实数组成，集合S 的元素个数不少于2个．对于任意，,a b S ∈，若数或中至少有一个属于S ，则称集合S 是“好集”；否则，称集合S 是“坏集”．a b ¹b a ab （1）断和是好集，还是坏集，并简单说明理由；{1,3,9}A =1111,,,2416B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（2）题设的有限集合S 中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S 是“坏集”；（3）若题设中的或都属于S ，则称集合S 为“超级好集”，求出所有的“超级好集”．b a ab【答案】（1）是“坏集”；是“好集”；（2）证明过程见解析；（3），A B {}1,S a =其中且.0a >1a ≠【解析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可；（2）利用小于的所有元素中的最小元素以及大于的所有元素中的最小元素，根据定义以及指数11函数的单调性进行证明即可.（3）结合（2）中的结论，可以证明出，其中且.{}1,S a =0a >1a ≠【详解】（1）且是“坏集”；93A ∉ 39A A ∉∴，因为，都有，，而，x B ∈11x =1x x =111224111111(),(),()42164162===所以中任意两个元素，满足且数或中至少有一个属于，B ,a b a b ¹ba ab B 因此是“好集”.B （2）若是中小于1的元素中的最小元素，是中大于1的元素中的最小元素，a Sb S 则由指数函数的单调性可得：，从而且，111b a a a a b b b <=<<<=b a S ∉a b S ∉∴集合是“坏集”.S （3）显然，其中且，是符合题意的“超级好集”．{}1,S a =0a >1a ≠现在证明集合中不可能存在其它元素.S 由（2）可知不可能同时存在既有大于1的元素，又有小于1的元素，S 不妨设且，且为中大于1的元素中最大的元素，,1a b >,a b S ∈b S 因此有，所以，矛盾，a b b >a b S ∉同理且时也矛盾，故集合中不可能存在其它元素.,1a b <,a b S ∈S 因此，其中且.{}1,S a =0a >1a ≠【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义问题，对于新定义的集合问题，关键是要理解新定义的内容，然后在求解问题时，利用结合集合以外的知识解答问题.本例中定义的“好、坏集”，实际上是研究元素与集合的关系，中间借助指数函数的相关内容解答问题.。

北京市第四十三中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题含答案

.。。。。。。。15 分
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
22. 解：（Ⅰ）在三棱柱 ABC A1B1C1 中，
15. 已知直线 x ay 6 0 与圆 x2 y2 8交于 A, B 两点，若 AB 2 2 ，则 a ____.
16. 已知点 P 是直线 l : x 3y 12 0 上的一点，过 P 作圆 (x 2)2 y2 1 的切线，
切点为 A，则切线长 | PA |的最小值为__
uuuv
AE (0,1,1)
z
uuur
uur
向量 BD (2, 2, 0) , PB (2, 0, 2) .
P
r
E
设 n (x, y, z) 为平面 PBD 的法向量，则
n BD 0 即 2x 2 y 0．
y
n
PB
0
2x 2z
0
D
A
不妨令 y = 1 ，可得 n （1,1,1）为平面 PBD 的
因为侧棱垂直于底面，
所以 CC1 平面 ABC ．所以 CC1 AC ．
13
因为 AC BC ， CC1 I BC C ，
所以 AC 平面 BCC1B1 ．
因为 C1F 平面 BCC1B1 ，
所以 AC C1F ．
………5 分
（Ⅱ）取 A1C1 中点 H ，连结 EH ， FH ．
1 2
ac
sin
B
1 2
3
2 2
2 3 2 ………12 分

2021-2022学年北京四十三中高一(上)期中数学试卷-普通用卷

2021-2022学年北京四十三中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,0,1}，B={x∈N|x<3}，那么集合A∪B等于()A. [−1,3)B. {0,1,2}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,1,2,3}2.命题“∃x∈R，x2−2x+1<0”的否定是()A. ∃x∈R，x2−2x+1≥0B. ∃x∈R，x2−2x+1>0C. ∀x∈R，x2−2x+1≥0D. ∀x∈R，x2−2x+1<03.若a>b，则下列不等式一定成立的是()A. 1a <1bB. √a>√bC. a2>b2D. a−c>b−c4.满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4}，则满足条件的集合A的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 45.函数y=√x2−1的定义域是()A. (−∞,−1]B. (−1,1)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. [1,+∞)6.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A. y=−x+1B. y=−x2+4x+5C. y=2xD. y=|x−2|7.下列函数中，值域为R且为奇函数的是()A. y=x+1B. y=x2C. y=1xD. y=x|x|8.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)不存在零点，则m的取值范围是()A. (−∞,−2)∪(6,+∞)B. {−2,6}C. [−2,6]D. (−2,6)9.已知a，b∈R，则“a>b”是“ab>1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知函数f(x)={2x, x≥2x2−3, x<2，若关于x的方程f(x)=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知方程x 2−3x +1=0的两根为x 1和x 2，则x 12+x 22=______． 12. 若x >0，则x +4x 的最小值为______．13. 函数f(x)={x +2 (x ≤−1)x 2 (x >−1)，则f(f(−2))= ______ ；f(x)=3，则x = ______ ．14. 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+1x ，则f(−1)=______． 15. 二次不等式ax 2+bx +2>0的解集是(−2,1)，则a +b =______． 16. 若函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R ，值域为[1,+∞)； (2)图象关于x =2对称；(3)对任意x 1，x 2∈(−∞,0)，且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，请写出函数f(x)的一个解析式______(只要写出一个即可)．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 17. 求下列不等式的解集：(1)x 2−4x −12<0； (2)|2x −1|>1； (3)2+x 3−x>1．18. 求下列方程组的解集．(1){x +2y =42x −3y =5；(2){x −2y +2=03x 2+4y 2=12．19.已知函数f(x)=√3−x+的定义域为集合A，B={x|x<a}．√x+2(1)求集合A；(2)若全集U={x|x≤4}，a=−1，求A∩(∁U B)；(3)若A∩B=A，求a的取值范围．20.已知全集U=R，集合A={x|x(x−2)≥0}，B={x|c<x<2c+6}．(1)当c=1时，求A∩B，A∪B；(2)若∁U A⊆B，求实数c的取值范围．21.已知函数f(x)=x2+(2−m)x−2m，其中m∈R．(1)当m=0时，写出f(x)单调区间，并求f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(−∞,4]上是减函数，求实数m的取值范围；(3)求关于x的不等式f(x)≤0的解集．22.已知函数f(x)=x2−1．x(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(2)用函数单调性的定义证明：f(x)在(0,+∞)上为增函数；(3)求函数f(x)在区间[−4,−2]上的最大值和最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={−1,0,1}，B={x∈N|x<3}={0,1,2}，∴集合A∪B={−1,0,1,2}．故选：C．求出集合A，B，由此能求出集合A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x2−2x+1<0”的否定是命题：∀x∈R，x2−2x+1≥0．故选：C．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，令a=1，b=−1，满足a>b，但1a >1b，故A错误，对于B，当a，b一个为0，或a<0，b<0，√a，√b无意义，故B错误，对于C，令a=1，b=−1，满足a>b，但a2=b2，故C错误，对于D，∵a>b，−c=−c，∴由不等式的可加性可得，a−c>b−c，故D正确．故选：D．根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．【解析】解{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4}，∴集合A中除了含有1，2两个元素以外，可能含有另外一个元素，因此满足条件的集合A为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．故选：D．利用集合间的关系可知：集合A中除了含有1，2两个元素以外，可能含有另外的元素，据此即可求出．熟练掌握集合间的包含关系是解题的关键，本题是一道基础题．5.【答案】C【解析】解：依题意，得x2−1≥0，解得x≤−1或x≥1．∴函数y=√x2−1的定义域是(−∞,−1]∪[1,+∞)．故选：C．求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．6.【答案】B【解析】解：根据一次函数的性质可知，y=−x+1在(0,2)上单调递减，A不符合题意；根据二次函数的性质可知，y=−x2+4x+5的开口向下，对称轴x=2，在(0,2)上单调递增，符合题意；在(0,2)上单调递减，不符合题意；根据反比例函数的性质可知，y=2x根据函数图象的变换可知，y=|x−2|在(0,2)上单调递减，不符合题意．故选：B．结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x +1，为一次函数，不是奇函数，不符合题意；对于B ，y =x 2，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，y =1x ，为反比例函数，值域不是R ，不符合题意；对于D ，y =x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，值域为R 且为奇函数，符合题意；故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与值域，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数的值域判断，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵二次函数y =x 2+mx +(m +3)不存在零点，二次函数图象向上， ∴△<0，可得m 2−4(m +3)<0，解得−2<m <6，故选D ；已知二次函数y =x 2+mx +(m +3)，图象开口向上，根据判别式与根的关系进行求解；此题主要考查二次函数的性质，及其图象与x 轴交点问题，是一道基础题；9.【答案】D【解析】解：ab >1⇔a >b >0，或0<a b ”是“a b >1”的既不充分也不必要条件．故选：D ．a b>1⇔a >b >0，或0<a <b.即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．求出分段函数在各自范围上的取值范围，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x≥2时，f(x)=2x∈(0,1]，当x<2时，f(x)=x2−3≥−3，作出函数f(x)的图象如图：若方程f(x)=k有三个不相等的实数根，则0<k<1，故选：B．11.【答案】7【解析】解：∵方程x2−3x+1的两根为x1，x2，∴x1+x2=−−31=3，x1x2=11=1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2=7．故答案为：7．根据题意可得x1x2=−−31=3，x1x2=11=1，从而利用x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2进本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．12.【答案】4【解析】解：∵x >0，则x +4x ≥2√4=4，当且仅当x =4x 时，等号成立，故答案为4．因为x >0，直接利用基本不等式求出其最小值．本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．13.【答案】0；√3【解析】解：∵f(x)={x +2 (x ≤−1)x 2 (x >−1)∴f(f(−2))=f(0)=0又f(x)=3，当x >−1时，由x 2=3得x =√3；当x ≤−1时，有x +2=3，得x =1，舍．故方程的根为√3 故答案为0；√3．本题中给的函数是一个分段函数，求函数值时要注意自变量的取值区间，选择正确的解析式代入求函数值，解此类方程时要分两段解方程，找出两段上的方程的根来本题考查求函数的值，解题的关键是根据函数的定义域选取正确的解析式代入求值．14.【答案】−2【解析】解：∵当x >0时，f(x)=x 2+1x ， ∴f(1)=1+1=2． ∵函数f(x)为奇函数， ∴f(−1)=−f(1)=−2．故答案为：−2．即可得出．本题考查了函数奇偶性，属于基础题．15.【答案】−2【解析】解：不等式ax 2+bx +2>0的解集是(−2,1)， ∴方程ax 2+bx +2=0的解是−2和1，由根与系数的关系得{−2+1=−ba−2×1=2a ，解得a =−1，b =−1； ∴a +b =−2．故答案为：−2．根据不等式与对应方程解的情况，利用根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式与对应方程的问题，也考查了根与系数的关系问题，是基础题．16.【答案】f(x)=(x −2)2+1【解析】解：由已知中函数的定义域为R ，值域为[1,+∞)；而函数的图象关于x =2对称且在区间(−∞,0)上单调递减可得二次型函数f(x)=a(x −2)2+1(a >0)满足要求令a =1可得f(x)=(x −2)2+1 故答案为：f(x)=(x −2)2+1本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，其中熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．由已知中函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R ，值域为[1,+∞)；(2)图象关于x =2对称；(3)函数在区间(−∞,0)上单调递减，可得二次型函数f(x)=a(x −2)2+1(a >0)满足要求，任取a 值可得答案．17.【答案】解：(1)∵x 2−4x −12<0，故解集为{x|−2<x <6}．(2)∵|2x −1|>1，∴2x −1>1或2x −1<−1，解得x >1或x <0，故解集为{x|x >1或x <0}．(3)∵2+x 3−x >1， ∴2+x 3−x −1>0，∴2x−13−x >0，即(x −3)(2x −1)<0，解集为 {x|12<x <3}．【解析】(1)根据已知条件，结合因式分解，即可求解．(2)根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，即可求解．(3)根据已知条件，结合作差法，以及不等式的性质，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及一元二次不等式及其应用，考查计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1){x +2y =4⋅⋅⋅①2x −3y =5⋅⋅⋅②； ①⋅2得 2x +4y =8，③③−②7y =3，………………(2分)y =37代入①，………………(3分) ∴x =227，………………(4分)∴方程组的解集为{(227,37)}.………………(5分)(2){x −2y +2=0⋅⋅⋅①3x 2+4y 2=12⋅⋅⋅②．由①得x =2y −2代入②，………………(6分)3(2y −2)2+4y 2=12，………………(7分)16y 2−24y =0，………………(8分)y =0或y =32，………………(10分)当y =0时，x =−2，………………(11分)当y =32时，x =1，………………(12分)),(−2,0)}.………………(13分)∴方程组的解集为{(1,32【解析】(1)利用加减消元法，求解方程的解即可．(2)利用代入消元法，求解交点坐标即可．本题考查曲线与方程的应用，交点坐标的求法，考查计算能力，是基础题．19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=√3−x，√x+2∴{3−x≥0x+2>0，∴{x≤3x>−2，∴−2<x≤3，∴A=(−2,3]，(2)当a=−1时，B=(−∞,−1)，∴C U B=[−1,4]，∴A∩(C U B)=[−1,3]，(3)∵A∩B=A，∴A⊆B，∴a>3，∴a的取值范围是(3,+∞)．【解析】(1)由分式的分母不为0，偶次根式被开方式非负，即可得到所求集合A；(2)运用补集和交集的定义，即可得到所求集合；(3)运用集合的包含关系，可得a的范围．本题考查集合的运算，注意运用交集和补集的定义，以及集合的包含关系，考查函数的定义域的求法，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为A={x|x(x−2)≥0}，所以A={x|x≥2或x≤0}，当c=1时，B={x|1<x<8}，所以A∩B={x|2≤x<8}，A∪B={x|x>1或x≤0}，(2)因为集合C U A={x|0<x<2}，因为C U A ⊆B ，所以 {c ≤02c +6≥2，解得 {c ≤0c ≥−2，所以c ∈[−2,0]．【解析】(1)先求出集合A ，B ，再求出A ，B 的交集，并集即可；(2)先求出集合∁U A ，然后根据集合的包含关系求解结论．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．21.【答案】解：(1)当m =0时，f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，图象开口向上，对称轴为x =−1，所以f(x)的单调递增区间为[−1,+∞)，单调递减区间(−∞,−1]，所以当x =−1时，f(x)取得最小值且最小值为f(−1)=−1；(2)根据题意，抛物线开口向上，对称轴x =−2−m 2，由f(x)在(−∞,4]上是减函数，得−2−m 2≥4，解得m ≥10，所以m 的取值范围是[10,+∞)；(3)根据题意，f(x)≤0等价于(x +2)(x −m)≤0，所以当m >−2时，不等式的解集为[−2,m]，当m =−2时，不等式的解集为{−2}，当m <−2时，不等式的解集为[m,−2]．【解析】(1)当m =0时，f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，图象开口向上，对称轴为x =−1，从而可得f(x)的单调区间与最小值；(2)根据题意可得抛物线开口向上，对称轴x =−2−m 2，由f(x)在(−∞,4]上是减函数可得−2−m 2≥4，从而即可求出m 的取值范围；(3)根据题意，f(x)≤0等价于(x +2)(x −m)≤0，从而分类讨论m >−2，m =−2，m <−2三种情况即可求出不等式的解集．本题考查一元二次不等式与其所对应的二次函数之间的关系，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．22.【答案】(1)证明：由已知，函数f(x)的定义域为D={x∈R|x≠0}．∀x∈D，都有−x∈D，f(−x)=(−x)2−1−x =−x2−1x=−f(x)．所以函数f(x)为奇函数．(2)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且0<x1<x2，则x1−x2<0，那么f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22−1x2，=x2(x12−1)−x1(x22−1)x1x2=(x1−x2)(x1x2+1)x1x2，因为0<x1<x2，所以x1x2>0，x1−x2<0，x1x2+1>0，所以f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数．(3)由第(1)(2)问可知函数f(x)在[−4,−2]上是增函数当x=−4时,f min(x)=−154，当x=−2时,f max(x)=−32．【解析】(1)先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；(2)任取0<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断；(3)结合函数的单调性及奇偶性即可进行求解．本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性求解函数的最值，属于中档题．。

北京高一上学期期中考试数学试卷含答案(word版)

高一上学期期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题（请把答案填在机读卡相应位置.每小题3分，合计42分）1.已知{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}5,6,3A =，{}1,2,3B =，()U C A B ⋃=则( )A. φB. {}1,2,3C. {}4,7D. U2.已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（）A. 3,1x yB. ()3,1-C. {}31，-D. 3,1 3.命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是（）A. x R ∀∈，20x ≥B. x R ∀∈，20x <C. x R ∃∈，20x <D. x R ∃∈，20x ≥ 4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A. ()f x x =，()2x g x x = B. ()()f x x x R =∈，()()g x x x Z =∈C. ()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D. ()f x x =，()2g x = 5.下列函数中为偶函数的是（）A. y =B. y x =C. 21y x =+D. x y x = 6.下列函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（）A. 32y x =+B. 5y x =C. 21y x =-D. 2 y x =7.已知某幂函数的图象过点(，则此函数解析式是（）A. 2y xB. 2y x =C. y =D. 21y x =8.已知命题:30p x -=，2:560q x x -+=，p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9.若a ，b 是任意实数，且a b >，则（）A. 22a b >B. 1b a <C. 1a b ->D. 1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10.下列不等式中正确的是（）A. 224a b ab +≥B. 44a a +≥C. 221222a a ++≥+D. 2244a a+≥ 11.某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了km a ，休息了一段时间，又沿原路返回km()b a b >，再前进km c ，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（）．A. B. C. D. 12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+上是减函数，则（）A. ()()()354f f f <-<-B. ()()()453f f f -<-<C. ()()()345f f f <-<-D. ()()()543f f f -<-< 13.已知()72f x ax bx =-+且()517f -=，则()5f =（）A. 13B. 13-C. 15D. 15-14.设()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则7.5f =（）A. 1.5B. -1.5C. 0.5D. -0.5第Ⅱ卷二、填空题（请把答案写在答题纸相应位置，每题3分，合计15分）15.函数()232f x x x =-+的定义域是________. 16.在①112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、②122-、③1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭④12-中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）. 17.已知函数()3,1,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2f -=________；()()1f f =________.18.已知1x >，则31x x +-的最小值为________，此时x 的值为________. 19.如果函数224423y x ax a a =-+-+在区间[]0,2上有最小值3，那么实数a 的值为_________. 三.解答题（请把详细过程写在答题纸上，合计43分）20.计算: ()130.5010.25327π--⎛⎫+- ⎪⎝⎭21.已知集合{}2450A x x x =-++>，{}220B x x x m =--<（Ⅰ）3m =，求()R A B ；（Ⅱ）若{}14AB x x =-<<，求实数m 的值.22.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()24x f x =- （1）当(),0x ∈-∞时，求函数()f x 的解析式；（2）求方程()2f x =-的解集.23.已知函数()2m f x x x =-，且()742f =. （1）求m 的值；（2）判定()f x 的奇偶性并证明；（3）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义给予证明.24.已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =.（1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1【答案】C【解析】本题考查的是集合运算．由条件可知,所以，应选C ． 2【答案】D【详解】由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D. 【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题.3【答案】C【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C4【答案】C【详解】当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，两个函数才是同一函数.A. ()f x x =的定义域是R ，()2x g x x=的定义域是{|0}x x ≠，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；B. ()()f x x x R =∈，()()g x x x Z =∈，两个函数的定义域显然不同，所以两个函数不是同一函数；C. ()f x x = ,0,0x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数；D. ()f x x =的定义域是R ，()2g x x =的定义域是{|0}x x ≥，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数.故选：C【点睛】本题主要考查同一函数的定义和判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5【答案】C【详解】A. y x ={|0}x x ≥，定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数；B. 函数y x =为奇函数；C. 二次21y x =+图象的对称轴为y 轴，该函数为偶函数；D. 对于函数x y x =，该函数在12x =有定义，在12x =-没定义，即函数x y x =的定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数.故选：C.6【答案】D【详解】A. 32y x =+，是R 上的增函数，所以该选项不符合题意；B. 5y x =，是R 上的增函数，所以该选项不符合题意；C. 21y x =-，在()0,+∞上单调递增，所以该选项不符合题意；D. 2y x=，在()0,+∞上单调递减，所以该选项符合题意. 故选：D.7【答案】C【详解】设幂函数为()a f x x ，因为幂函数的图象过点(，112212=2,()2a a f x x =∴=∴==，故选：C.8【答案】A【详解】由题得命题:3p x =由题得命题:2q x =或3x =.因为命题:3p x =成立时，命题:2q x =或3x =一定成立，所以p 是q 的充分条件；因为命题:2q x =或3x =成立时，命题:3p x =不成立，所以p 是q 的非必要条件.所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.9【答案】D【详解】A.取1a =，2b =-，则22a b <，所以该选项错误；B.取1a =-，2b =-，则1b a>，所以该选项错误；C.取2a =，32b =，则1a b -<，所以该选项错误； D.由于指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，a b >，1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该选项正确. 故选：D.10【答案】D 【详解】A. 224a b ab +≥，取1a b ==不成立，排除； B. 44a a+≥，取1a =-不成立，排除；C. 221222a a ++≥=+，等号成立的条件为22122a a +=+，无解，排除；D. 2244a a +≥=，等号成立的条件为224a a=，即a =. 故选：D .11【答案】C【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A ；又按原路返回bkm ，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D ；C 选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B 故选C ．12【答案】D【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(3)(3)f f =-.因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在()0,∞+上是减函数，所以函数()f x 在(),0-∞上是增函数，因为543,(5)(4)(3)(3)f f f f -<-<-∴-<-<-=.故选：D.13【答案】B【详解】()775(5)5217,(5)515f a b a b -=-++=∴⋅-=-, 所以()7555215213f a b =⋅-+=-+=-. 故选：B.14【答案】D【详解】由()()2f x f x +=-有7.5(5.5)(3.5)(1.5)(0.5)f f f f f , 又()f x 是R 上的奇函数则(0.5)(0.5)0.5f f .故选：D15【答案】{|2x x >或1}x <. 【详解】由题得2320,2x x x -+>∴>或1x <.所以函数()f x 的定义域为{|2x x >或1}x <.故答案为：{|2x x >或1}x <.16【答案】 (1). ③. (2). ①. 【详解】①1122-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②122-==1122122-⎛⎫== ⎪⎝⎭1122-=. 所以最大的是③，最小的是①.故答案为：(1). ③. (2). ①.17【答案】 (1).19. (2). 13. 【详解】()21239f --==； ()()111(1)33f f f -=-==. 故答案为：(1). 19. (2). 13. 18【答案】(1). 1.(2).1.【详解】33111111x x x x +=-++≥=--，当且仅当1311x x x >⎧⎪⎨-=⎪-⎩，即当1x =+时取到最小值. 故答案为：(1). 1.(2).1. 19【答案】0或8 【详解】由题得抛物线的对称轴为2a x =，当02a <即0a <时，2min ()(0)233,0f x f a a a ==-+=∴=或2a =，因0a <，所以舍去；当即04a ≤≤时，22min 16(23)16()()3,0216a a a a f x f a -+-===∴=；当22a >即4a >时，2min ()(2)168233,2f x f a a a a ==-+-+=∴=或8a =，因为4a >，所以8a =.综上所述，0a =或8a =.故答案为：0或8.20【答案】2【详解】原式1330.5210.533--⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1110.533--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 233=+-2=.21【答案】（Ⅰ）(){}35R A B x x ⋂=≤<；（Ⅱ）8. 【详解】（Ⅰ）集合{}15A x x =-<<， 3m =时，{}13B x x =-<<，所以{3R B x x =≥或}1x ≤-，(){}35R A B x x ∴⋂=≤<；（Ⅱ）{}14A B x x ⋂=-<<，4∴是方程220x x m --=的一个根，1680m ∴--=，所以8m =.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22【答案】（1）()24(0)24(0)x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩；（2）{}1,1-. 【详解】（1）设(),0x ∈-∞，所以(0,)x -∈+∞，所以()24x f x --=-，由于函数()f x 为偶函数，所以()()24x f x f x -=-=-，所以函数()f x 的解析式为()24(0)24(0)x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩. （2）当0x <时，()24=2,1x f x x -=--∴=-；当0x ≥时，()242,1x f x x =-=-∴=.所以方程()1f x =-的解集为{}1,1-.析.23【答案】（1）1m =；（2）()f x 为奇函数，证明见解析；（3）()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解【详解】（1）()742f =，()274442m f =-=∴，1m ∴=；（2）()f x 为奇函数，()2f x x x=-，所以函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()22f x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=---=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴为奇函数；（3）()f x 在()0,∞+上单调递增.证明：对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()()12121212212222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212121212221x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，120x x ∴-<，12210x x +>， ()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，()f x ∴在()0,∞+上单调递增.24【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）1m <-【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---，11 所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==，所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立. 设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-.。

北京市2020-2021高一上学期期中考试数学试题(含答案)

北京市高一上学期期中考试数学试题含答案考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX题号----- --- 总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2,请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1.设集合/= {见。

2,0}, B = {2,4},若4nB = {2},则实数a的值为( □A. 2B. ±2C. A/2D. ±A/22.计算log2V访的结果是O3 「「4 c _3A 4DA. §B・％ C. 一5 D. *3.下列函数中，是偶函数的是(□A. /(%) = -B. /(%) = IgxC. /(%) = e x - e^xD. /(%) = |x| X4.函数/•(%)=婕+% — 4的零点所在的区间是()A. (0Z1)B. (1 匚 2)C. (213)D. (3 二 4)5.已知f(x + l) =疝，则函数f(x)的大致图像是( 口6. g 6rZlog25nbZlog35Dc01og32,则。

二的大小关系为()A. aucZbB. aJbZcC. b% 二 cD. c二。

二b7.已知XC[1,2]二/—恒成立，则实数。

的取值范围是()A. [1^ + 00)B. (1,+8)C. (—8,1]D. (—8,1)8.设函数f(x) = 1 + [划一％,其中国表示不超过x的最大整数，若函数y = loga”的图象与函数/• (%)的图象恰有3个交点，则实数a的取值范闱是()A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4) O O ••■■••••■■••••■■••••■■••然••■■••••■■••••■■••••■■••O O••■•■••■•■••■■•■■••■•■•O•■••■••■••■•摒•■••■••■••■•O•■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■•■••■••■••■•O•■第n卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9.计算：e lnl Z10.已知集合/= {x|x > 1}, B = {x\x > d］,若A之B,则实数a的取值范围是.11.函数/1 (x) = log a(a - a x) (0 < a < 1)的定义域为.12.己知/(')匚，则/丁(—切= ______________________________ ；若/(、)= —1,则I一X十1, X > 1X =二13.已知函数f(x) = a/ —2% —2在区间［1,+8)上不单调，则实数。

北京高一第一学期期中数学试卷含答案(共3套)

北京市高一（上）期中考试试卷数学试卷满分：150分考试时间：120分钟 A 卷 [必修模块1] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合A ＝｛2，4，5｝，B ＝｛1，3，5｝，则A ∪B ＝（）A ．∅B ．｛5｝C ．｛1，3｝D ．｛1，2，3，4，5｝ 2．下列函数中，与函数x y =相同的是（）A ．2)(x y =B ．33x y =C ．2x y =D ．xx y 2=3．函数f (x )＝x －1x －3的定义域为( ) A ．[1,3)∪(3，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1,2)D ．[1，＋∞)4．已知函数21,0,()2,0,xx x f x x -<⎧⎪=⎨>⎪⎩ 那么)3(f 的值是（） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5．函数f (x )＝x 3＋x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 6．下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A. y = x 2-1 B. y = x3C. y = -3x +2D. y = log 2x7．已知定义在R 上的函数f (x ) 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f (x ) 一定存在零点的区间是（）A. (3，+∞)B. (2，3)C. (1，2)D. (-∞，1) 8．三个数a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3之间的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．b <c <a9．2|log |y x =的图象是（）A. B. C. D.10．四个函数在同一坐标系中第一象限内图象如图所示，则幂函数21x y =的图象是（） A ．① B ．② C ．③ D ．④二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若集合{}7,5,3=A ，则集合A 的子集共有个.12．若函数[])4,2(2)(2∈-=x x x x f ，则)(x f 的最小值是． 13．已知31=+-x x ，则22-+x x 等于．14. 若3log 2a =，则33log 8log 6-= （用含a 的代数式表示）.15．给定函数①12y x =②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 ______________. 16. 设函数24,41,()log ,04,x f x xx x ⎧+⎪=⎨⎪<<⎩≥ 若函数k x f y -=)(有两个零点，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）（1）02334(0.008)81-+-；（2）74log 2327log lg 25lg 473+++18．（本小题满分12分）某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x （元）与日销售量y （件）之间有如下关系：(x ，y )对应的点，并确定x 与y 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式；并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大的日销售利润．19.(本小题满分12分)设函数()()log 21(0,1)a f x x a a =+->≠且. (Ⅰ)若()21f =，求函数()f x 的零点；(Ⅱ)若()x f 在[]1,0上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a = .2．已知函数20,,0,()ln ,x x f x x x -⎧<=⎨>⎩若()2f a =，则实数a = .3. 函数()f x =_____.4.已知定义域为R 的偶函数)(x f 在[0，+)∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式4(log )0f x <的解集是 .5. 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系ekx by +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6．（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}M x a x a =<<+．（1）求集合U P ð；（2）若U P M ⊆ð，求实数a 的取值范围．7．（本小题满分10分）已知函数31()log 1x f x x+=-(Ⅰ)求函数的定义域；(Ⅱ)判断()f x 的奇偶性，并证明；(Ⅲ)判断()f x 的单调性，不用证明，并求当1425x -≤≤时，函数()f x 的值域.8．（本小题满分10分）若函数()f x 满足：对于,[0,)s t ∈+∞，都有()0f s ≥，()0f t ≥，且()()()f s f t f s t +≤+，则称函数()f x 为“T 函数”.（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()lg(1)f x x =+是否是“T 函数”，并说明理由；（Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0,)x ∈+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =；（Ⅲ）试写出一个“T 函数”()f x ，满足(1)1f =，且使集合{|(),01}y y f x x =≤≤中元素的个数最少.（只需写出结论）数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.１.D 2. B 3.A 4. A 5. C 6. C 7. B 8. C 9. A 10.D 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11． 8 12．0 13．7 14. 2a-1 15． ②③ 16.1<k<2三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）(1) 原式＝0.2-2+33+1=25+27+1=51 …………… 6分（2）原式＝lg(254)+2=lg100+2=4⨯ …………… 12分 18．（本小题满分12分）解 (1)坐标系画点略．4分设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧60＝30k ＋b ，30＝40k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.7分∴f (x )＝－3x ＋150,30≤x ≤50检验成立． 8分(2)P ＝(x －30)·(－3x ＋150)＝－3x 2＋240x －4500,30≤x ≤50. 10分 ∵对称轴x ＝－240－＝40∈[30,50]， 11分∴当销售单价为40元时，所获利润最大． 12分 19．（本小题满分12分）解：（1）(2)1,f = log 42a ∴= 得到24a =，0,2a a >∴= …… 2分令2()log (2)10f x x =+-=，即2log (2)1x += 22,x ∴+= 即0x =∴ 函数的零点为0x = …… 6分（2）当1a >时，函数()f x 在区间[0,1]上单调递增min max ()log 21,()log 31a a f x f x ∴=-=- …… 7分当01a << 时，函数()f x 在区间[0,1]上单调递减 min max ()log 31,()log 21a a f x f x ∴=-=- …… 8分∴ 由题意得log 31(log 21)a a -=--log 3log 2log 62a a a ∴+== …… 10分26a ∴=1a > a ∴= …… 12分B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上.1. 22. 2-或2e3. (4]-∞，4. 1(,16)16 5. 0.4.6．（本小题满分10分）（1）解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð，【 2分】即集合{|02}U P x x =<<ð. 【 4分】（2）解：因为 U P M ⊆ð，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩ 【 6分】解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩【 8分】所以 [2,0]a ∈-. 【10分】注：第（2）小问没有等号扣2分. 7．（本小题满分10分）解：（1）由10(1)(1)0111xx x x x+>⇔+->⇔-<<- ∴此函数定义域为{|11}x x -<< …… 3分（2）1333111()log log ()log ()111x x xf x f x x x x--++-===-=-+-- ()f x ∴为奇函数 …… 6分（3）()f x 在区间14[,]25-上为增函数，…… 8分∴函数的值域为14[(),()]25f f -，即[1,2]-为所求.…… 10分8．（本小题满分10分）8.解：（Ⅰ）对于函数21()f x x =，当,[0,)s t ∈+∞时，都有1()0f s ≥，1()0f t ≥，又222111()()()()20f s f t f s t s t s t st +-+=+-+=-≤，所以111()()()f s f t f s t +≤+. 所以21()f x x =是“T 函数”. ………………2分对于函数2()lg(1)f x x =+，当2s t ==时，22()()lg9f s f t +=，2()lg5f s t +=，因为lg9lg5>，所以222()()()f s f t f s t +>+.所以2()lg(1)f x x =+不是“T 函数”. ………………4分（Ⅱ）设12,[0,)x x ∈+∞，21x x >，21x x x =+∆，0x ∆>.则211111()()()()()()0f x f x f x x f x f x x x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥所以，对于12,[0,)x x ∈+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ≤. ………………6分因为()f x 是“T 函数”，0[0,)x ∈+∞，所以0()0f x ≥. 若00()f x x >，则000(())()f f x f x x ≥>，不符合题意. 若00()f x x <，则000(())()f f x f x x ≤<，不符合题意.所以00()f x x =. ………………8分（Ⅲ）20,[0,1),(),[1,).x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ （注：答案不唯一）………………10分北京市第一学期期中试卷高一数学 Ⅰ卷一、选择题（共12个小题，每题4分，共48分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．设集合{}1,2,3,4U =，{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则()U M N =ð（）．A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}2,4D ．{}1,4【答案】D 【解析】∵{}2,3M N =， ∴{}()1,4U MN =ð，选择D ．2．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数中同一个向变量只能对应一个函数值， ∴选择C ．3．三个数2(0.3)，0.32，2log 0.3的大小顺序是（）． A ．20.32(0.3)2log 0.3<=，2log 0.30<， ∴显然有20.32log 0.3(0.3)2<<，选择C ．4．函数1()f x x x=--的图象（）．A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】A【解析】∵()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，且1()()f x x f x x-=+=-， ∴()f x 为奇函数，关于原点对称，选择A ．5．12236log 49-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（）．A ．43B ．1C ．1-D ．34【答案】B【解析】∵原式1212626log (2)7-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦16176-⎛⎫=- ⎪⎝⎭1=．∴选择B ．6．下列函数中值域是(0,)+∞的是（）．A ．21(0)y x x =+>B ．3x y =C．y =D ．2y x=【答案】B【解析】∵A 的值域为(1,)+∞，C 的值域为R ，D 的值域为(,0)(0,)-∞+∞，选择B ．7．如图给出了某种豆类生长枝数y （枝）与时间t （月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（）．A ．22y t =B ．2log y t =C ．3y t =D ．2t y =【答案】B【解析】∵由图像知模型越来越平滑， ∴只有B 符合条件， ∴选择B ．8．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图像是（）．A ．B．C ．D ．【答案】A【解析】∵由图像易知：1b <-，01a <<； ∴()x g x a b =+为减函数，又∵0x =时，()10g x b =+<，与y 轴加点在x 轴下方； ∴选择A ．9．函数3()21f x x x =+-一定存在零点的区间是（）．A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】B【解析】∵3()21f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，以上集合均属于(0,)+∞，根据零点存在定理， ∴()()0f a f b ⋅<，易知B 选项符合条件，∴选择B ．10．在R 上运算：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（）．A ．3112a -<对任意x 成立， ∴21(1)40a a --+⨯<，解得1322a -<<，选择B ．11．函数()xf x x a=-，()a ∈R ，若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）．A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(0,1]D ．(0,1) 【答案】C 【解析】∵()xf x x a=-，若()f x 在(1,)+∞上为减函数， ∴00a x a >⎧⎨->⎩， ∴01a <≤，选择C ．12．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式2()log (1)f x x +≥的解集是（）．A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】B【解析】作出函数2log (1)y x =+的图像： ∵易知()f x 与2log (1)y x =+相交于(1,1)P ， ∴由图可知解集为[]1,1-，选择B ．a +1)二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处） 13．映射:f x ，2的象为__________，2的原象为__________．4【解析】22的原象为224=． 14．已知关于x 的不等式20x ax b -++>，(,)a b ∈R 的解集为{}|13,A x x x =-<<∈R ．则a b +=__________．【答案】5【解析】易知11x =-和23x =是20x ax b --=的两个根， ∵根据韦达定理可知1212x x a x x b +=⎧⎨=-⎩，∴132a =-+=，12133b x x =-=⨯=， ∴5a b +=．15．函数lg(),(0)()1,(0)x x f x x x x -<⎧⎪=⎨+>⎪⎩的零点为__________，单调减区间为__________．【答案】1x =-，(,0)-∞和(0,1)【解析】∵lg()0x -=时，1x =-，合题，当0x >时，12x x +≥，∴零点为1x =． ∵1()f x x x =+时，21()1f x x'=-，1x =时()0f x '=， ∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 为单调减函数，又∵(0lg()f x x =-在(,0)-∞上为单调减函数，综上所述：()f x 在(,0)-∞和(0,1)上为单调减函数．16．函数2()log f x x =在区间[]2,2a 上的最大值与最小值之差为12，则a =__________．【解析】∵2()log f x x =在区间[]2,2a 上为单调增函数，由题可得：221log (2)log 22a -=， ∴221log 22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴a ．17．函数21()23f x ax ax =++的定义域为全体实数，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[0,3)【解析】①0a =时，1()3f x =，符合条件；②∵0a >时，等价于2230ax ax ++>恒成立，0∆<， ∴有24120a a -<，解得03a <<；③∵0a <时，等价于2230ax ax ++<恒成立，0∆<， ∴有24120a a -<，无解，故不符合条件．综上所述a 的取值范围为[0,3)．18．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若[]00()f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，[]{}|()B x f f x x ==．（1）设函数()34f x x =+，则集合A =__________，B =__________．（2）A __________B ．（用⊆，⊇，=填空）【答案】（1）{}2-，{}2-；（2）⊆ 【解析】（1）34x x +=，解得2x =-， ∴{}2A =-；3(34)4x x ⨯++=，解得2x =-，∴{}2B =-．（2）若A Φ=，显然A B ⊆成立；若A Φ≠，设t A ∈，则()f t t =，[]()()f f t f t t ==， ∴t B ∈， ∴A B ⊆．三、解答题（共3个小题，共28分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）19．（8分）已知集合{}2|430A x x x =-+<，集合{}|2B x x =>．（1）化简集合A 并求A B ，A B ．（2）若全集U R =，求()U B A ð．【答案】见解析【解析】（1）∵{}2|430A x x x =-+<，∴{}|13A x x =<<， ∵{}|2B x x =>，∴{}|23A B x x =<<， {}|1AB x x =>．（2）∵{|1U A x x =ð≤或3}x ≥， ∴{}()|3U B A x x =ð≥．20．（10分）已知函数21()1f x x =-．（Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数．（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵()f x 定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，又∵2211()1=1()()f x f x x x-=--=-， ∴()f x 为偶函数．（Ⅱ）证明：取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x >， 12222111()()f x f x x x -=- 12122212()()0x x x x x x +-=>． ∴()f x 在(0,)+∞上为增函数．21．（10分）函数2()2f x x x =-．（Ⅰ）若[]0,3x ∈，求函数()f x 的最小值和最大值．（Ⅱ）讨论方程()f x m =，()m ∈R 的根的情况（只需写出结果）．（Ⅲ）当[],3x t t ∈+，t ∈R 时，求函数()f x 的最小值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵2()2f x x x =-，关于1x =对称，开口向上，∴()max(3)963x f f ==-=，()min (1)121x f f ==-=-．（Ⅱ）作出|()|f x 的图像如图：易得当0m <时，方程无根；当0m =时，方程有两个根；当01m <<时，方程有四个根；当1m =时，方程有三个根；当1m >时，方程有两个根．x ()（Ⅲ）当13t t +≤≤时，min ()(1)1f x f ==-，此时21t -≤≤，当1t ≥时，()2min()2x f f t t t ==-；当31t +≤时，即2t -≤时，()2min(3)43x f f t t t =+=++．Ⅱ卷一、填空题（共5个小题，每题4分，共20分，请将正确答案填写在答题纸相应题号处） 22．已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧=⎨->⎩≤若()2f a =，则a =__________．【答案】23log【解析】∵32a =时，23log 1a =<，符合题意；又∵2a -=时，21a =-<，不合题，舍去； ∴23log a =．23．已知函数2()31f x x mx =-+在(,2]-∞-上递减，在[2,)-+∞上递增，则m =__________．【答案】12-【解析】已知()f x 等于26mx ==-对称， ∴12m =-．24．若函数符合条件()()()f x f y f x y =+，则()f x =__________（写出一个即可）．【答案】2x【解析】易知222x y x y +⋅=， ∴()2x f x =符合条件．25．设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0xf x >的x 的取值范围是__________．【答案】(2,0)(0,2)-【解析】∵0x >时，()0f x >时()0xf x >成立，又∵()f x 在(0,)+∞上是减函数，(2)0f =， ∴02x <<，又∵0x <时，(2)(2)0f f -=-=，()f x 在(,0)-∞上单调减， ∴20x -<<．综上所述(2,0)(0,2)x ∈-．26．已知集合{}1,2,,U n =，*n ∈N ，设集合A 同时满足下列三个条件： ①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x A ∈ð，则2U x A ∉ð．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是__________．（写出一个即可）（2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为__________．【答案】（1）{}2或{}1,4，或{}2,3或{}1,3,4；（2）16 【解析】（1）易知4n =时，{}1,2,3,4U =，由条件易知：当1A ∈，则2A ∉， ∴2U A ∈ð，则4U A ∉ð，即4A ∈，元素3与集合的关系无法确定．故{}1,4A =，或{}1,3,4A =，当2A ∈，则4A ∈，1A ∉，但元素3与集合关系无法确定，故{}2A =，或{}2,3A =．（2）7n =时，{}1,2,3,4,5,6,7U =，由条件易知1，4必需属于A ，此时2属于A 的补集；或1，4必须同时属于U A ð，此时2属于A ；3属于A 时，6U A ∈ð；3属于U A ð时，6A ∈；而元素5，7没有限制，故满足条件的集合A 共有4216=个．二、解答题（共3个小题，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）27．（满分10分）设函数1()2x f x a +=-（0a >，且1a ≠），若()y f x =的图象过点(1,7)．（1）求a 的值及()y f x =的零点．（2）求不等式5()3f x -≥的解集．【答案】见解析【解析】（1）∵()f x 经过点(1,7)，即2(1)27f a =-=，又∵0a >， ∴3a =，∴1()320x f x +=-=时，解得32log 3x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，零点为32log 3x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）∵5()3f x -≥即15323x +--≥，∴1133x +-≥， ∴11x +-≥， ∴2x -≥，∴不等式解集为[2,)-+∞．28．（满分10分）已知函数()()()f x x x a a =⋅+∈R 的奇函数．（Ⅰ）求a 的值．（Ⅱ）设0b >，若函数()f x 在区间[],b b -上最大值与最小值的差为b ，求b 的值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵()f x 为奇函数，∴()||()()||()f x x a x f x x x a -=-⋅-=-=-⋅+， ∴a x x a -=--， ∴0a =．（Ⅱ）∵22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥，∴()f x 在R 上为单调增函数，又∵0b >， ∴()()f b f b b --=， ∴2()f b b =，即22b b =， ∴12b =．29．（10分）设()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若a ，[]1,1b ∈-，0a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立．（Ⅰ）求证：函数()f x 在[]1,1-上是增函数．（Ⅱ）解不等式2(23)0f x x -<．（Ⅲ）若2()21f x m am -+≤，对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-成立，求m 的取值范围．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：任取1x ，[]21,1x ∈-，且12x x <， ∵()f x 是奇函数，则有1212()()()()f x f x f x f x -=+- 121212()()()()f x f x x x x x +-=-+-，∵()()0f a f b a b +>+，即1212()()0()f x f x x x +->+-， ∵120x x -<， ∴12()()0f x f x -<．则()f x 在[]1,1-上是增函数．（Ⅱ）∵()f x 定义域关于原点对称的奇函数， ∴(0)0f =．又∵()f x 在[]1,1-上单调增，∴有221231230x x x x ⎧--⎪⎨-<⎪⎩≤≤，解得102x <≤或312x <≤．不等式的解集为130,1,22⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（Ⅲ）∵()f x 是[]1,1-上的增函数，∴()max(1)1x f f ==， ∴2211m am -+≥对于所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即220m am -≥恒成立， ①当0m =时，00≥成立，②0m ≠时，令2()2g a ma m =-+，()g a 是关于[]1,1a ∈-的一次函数，仅需22(1)20(1)20g m m g m m ⎧=-+⎪⎨-=+⎪⎩≥≥，解得2m -≤或2m ≥或0m =，综上所述0m =，或2m -≤或2m ≥．选做．（满分10分，但总分不超过150分）一般地，我们把函数1110()()n n n n h x a x a x a x a n --=++++∈N 称为多项式函数，其中系数0a ，1a ，，n a ∈R ．设()f x ，()g x 为两个多项式函数，且对所有的实数x 等式[][]()()f g x g f x =恒成立．（Ⅰ）若2()3f x x =+，()(0)g x kx b k =+≠． ①求()g x 的表达式． ②解不等式()()5f x g x ->．（Ⅱ）若方程()()f x g x =无实数解，证明方程[][]()()f f x g g x =也无实数解．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）①∵[][]()()f g x g f x =，即有22222()323(3)kx b k x kbx b k x b ++=+++=++，即有2222233k x kbx b kx k b +++=++，∴222033k k kb b k b ⎧=⎪=⎨⎪+=+⎩，解得10k b =⎧⎨=⎩．∴()g x x =．②()()5f x g x ->，即235x x -+>，解得2x >或1x <-．（Ⅱ）反证法：设()()()F x f x g x =-，则[][][]()()()F f x f f x g f x =-， [][][]()()()F g x f g x g g x =-，若结论成立，则[][]()()0F f x F g x +=，即[][]()()F f x F g x =-，说明存在一点a 介于()f x 与()g x 之间，满足()0F a =．∵()()f x g x =无实数解，则()0F x =永远不成立， ∴假设不成立， ∴原命题成立．北京西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期期中数学试卷选择1. 已知集合A= {x|2< x < 4}，B = {x|x<3或x> 5}，则A ∩B=（）．A. {x|2< x < 3}B. {x|2< x < 5}C. {x|x< 4或x> 5}D. {x|x< 2或x > 5}2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）．A. y = e −xB. y = xC. y = ln xD. y = |x|3. 已知函数x xx f 2log 6(-=），在下列区间中，包含)(x f 零点的区间是（）． A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 4) D. (4, +∞)4. 下列大小关系正确的是（）．A. 0.42 < 30.4 < log 40.3B. 0.42 < log 40.3 < 30.4C. log 40.3 < 0.42 < 30.4D. log 40.3 < 30.4 < 0.425. 与函数y= 10lg(x−1)的定义域相同的函数是（）．A. y = x – 1B. y = |x− 1|C. 1-=x yD. 11-=x y6. 已知)(x f , )(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且)(x f − )(x g = x 3 + x 2 +1，则f (1) + g(1) =（）．A. −3B. −1C. 1D. 37. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为（）．A.24个工作日B.27个工作日C. 36个工作日D. 42个工作日8. 设函数211)1ln()(x x x f +++=，则使得)(x f > )12(-x f 成立的x 的取值范围是（）． A. (31, 1) B. (−∞, 31)∪ (1, +∞) C. (−31 , 31) D. (−∞, − 31)∪ (31 , +∞)填空9. 若点(2, 2)在幂函数)(x f y =的图象上，则)(x f =10. 若映射f: x → y = 2(x−2)，则8的原象是 ,8 的象是． 11. =--10lg 5lg 21lg． 12. 若a x f x +-=121)( 是奇函数，则a= ． 13. 校运会上，学生会组织售卖某种“SDSZ ”纪念品．已知该纪念品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨 1 元，销售量就减少1个．为了获得最大利润，则该纪念品的最佳售价为元．14. 已知函数 ⎩⎨⎧+-≤=m x m mx x mx x x f ,42,)(2．（1）当m = 1 时，则f (f (−2)) = ；)(x f（2）若m>0，且存在实数b ，使得关于x 的方程)(x f = b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是．15. 函数223)21(x x y -+=的定义域为，值域为． 16. 已知函数)(x f = ax 2 + (1 − 3a) x + a 在区间[1, +∞ )上递增，则实数a 的取值范围是． 17. 函数)32(log 221+--=x x y 的单调递减区间是．18. 已知集合U= {1, 2, ⋯ , n}，n ∈ N ∗．设集合A 同时满足下列三个条件．①A ⊆ U ；②若x ∈A ，则2x ∉ A ；③若x ∈ ∁U A ，则2x ∉ ∁U A ．（1）当n =4时，一个满足条件的集合A 是．（写出一个即可）（2）当n =7时，满足条件的集合A 的个数为．解答19. 已知：函数)(x f = x 2 − bx + 3，且f (0) = f (4)．（1）求函数)(x f y =的零点，写出满足条件f (x) < 0的x 的集合．（2）求函数)(x f y =在区间[0, 3]上的最大值和最小值．20. 已知函数xx x f 4)(+= （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明．（2）判断函数)(x f 在(2, +∞)上的单调性，并用定义加以证明．21. 已知函数)(x f = x 2 − 2ax+ a 2 − 1．（1）若f (1) = 3，求实数a 的值．（2）若函数)(x f 在区间[0, 2]上是单调的，求实数a 的取值范围．（3）当x ∈ [−1, 1]时，求函数)(x f 的最小值g(a)，并画出最小值函数y = g(a)的图象．22. 设集合A= {x|x 2 − 2x− 3 < 0 ，B = {x|21<12-x < 8 ，C = {x|2x 2 + mx −m< 0}，m ∈ R ．（1）求A ∪B ．（2）若(A ∪B) ⊆ C ，求实数m 的取值范围．23. 已知函数)(x f 满足：①任意s ，t ∈R,有f (s + t) = f (s) + f (t) + st ；②f (3) = 6；③任意x > 0，有)(x f > 0．（1）求f (1)的值．（2）证明：函数)(x f 在(0, +∞)上单调递增．（3）求满足f (2x ) + f (21−x ) <4的x 的取值范围．24. 已知函数g(x) = log a x ，其中a > 1．（1）当x ∈ [0, 1 ]时，g(a x + 2) >1恒成立，求 a 的取值范围．（2）设m(x)是定义在[s, t]上的函数，在(s, t)内任取n-1个数x 1, x 2, ⋯ , x n−2, x n−1 ，设x 1 < x 2< ⋯ < x n−2< x n−1，令s = x 0, t = x n ，如果存在一个常数M > 0，使得∑=--n i i ix m x m 11)()(⩽ M 恒成立，则称函数m(x i )在区间[s, t ]上的具有性质P ．试判断函数)()(x g x f =在区间[a 1 , a 2]上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由．（注：=-∑=-n i i i x m x m 11)()(+-)()(01x m x m +-)()(12x m x m + )()(1--n n x m x m ）北京西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期期中数学试卷选择1. A2. B3. C4. C5. D6. C7. D8. A填空9. 21x 10. 5; 64 11. 23- 12. 21 13. 70 14. 4 ;(3, +∞) 15. R; [161, +∞) 16. [0, 1] 17. (−3, −1)18. 1．A = {1, 4} 或A = {1, 3, 4} 或A = {2} 或A= {2, 3}; 16解答19. （1）f (x)的零点为x= 1 或x= 3 ；{x|1 < x < 3}（2）f (x)max = 3 ，f (x)min = −1 ．20. （1）f (x)为奇函数；（2）函数f (x 在(2, +∞)上的单调递增；21. （1）a= −1 或a= 3 ．（2）a ⩾ 0 或a ⩽ 2（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥----≤+=1,211,11,2)(22a a a a a a a a g22. （1）A ∪B = {x| − 1 < x < 4}（2）(−∞, −4] ∪ [8, +∞)23. （1）1（2）证明略（3）0 < x < 124. （1）(1, 3)（2）函数f (x)在区间[a 1, a 2]上具有性质P .a 的最小值为3．。

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