21圆(1) - 首页-徐州教研网
江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题
江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题一、单选题1．数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A ．(1)32nn -+B ．1(1)23n n --+C ．(1)23nn -+D ．1(1)32n n --+2．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（）A ．3y x =±B ．y =C ．3y x=±D ．13y x=±3．如图，在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ等于（）A ．112233a b c++ B ．112233a b c--C ．112233a b c-++D ．121233a b c-++4．在数列{}n a =，18a =，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．22(1)n a n =+B ．4(1)n a n =+C ．28n a n =D ．4(1)n a n n =+5．已知空间向量3,2a b == ，且2a b ⋅= ，则b 在a 上的投影向量为（）A ．aB ．29aC ．92aD 6．计算1098210223233+⨯+⨯+⋅⋅⋅+=（）A ．111132-B ．111132+C ．1131-D ．1121-7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(3,1)A 在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个动点，且ABF △周长的最小值为4p =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ）A ．⎛ ⎝⎦B ．2]-C ．12⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．1]-二、多选题9．下列结论中正确的是（）A ．若直线l 的方程10x ++=，则直线l 的倾斜角为2π3B ．已知曲线22:2||2||C x y x y +=+（x，y 不全为0），则曲线C 的周长为C ．若直线3260ax y ++=与直线220x a y -+=垂直，则32a =D ．圆22:2410O x y x y ++++=与圆22:1M x y +=的公切线条数为210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S S =，且1(1)n n n S nS ++<()n *∈N ，则（）A ．数列{}n a 为递增数列B ．10S 和11S 均为n S 的最小值C ．存在正整数k ，使得0k S =D ．存在正整数m ，使得3m mS S =11．已知抛物线28y x =（如图），过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线和圆22(2)4x y -+=于A ，C ，D ，B 四点，则（）A ．12OA OB ⋅=-B ．4AC BD ⋅=C ．当直线l1283AB AF ⋅=D ．418AF BF +≥三、填空题12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =.13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的左，右两支于,P Q 两点，若2PQF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为．14．已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且()11222nn n n S S S n +-+=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n 对*n N ∀∈都成立，则实数λ的最小值为.四、解答题15．已知圆C 经过两点()2,2A --，()6,2B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,4P --作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．16．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，{}n b 为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为74，{}n n a b 为等差数列，且其前三项和为9.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n T .17．抛物线22(0)y px p =>被直线23y x =-截得的弦的中点M 的纵坐标为1．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)过抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与拋物线相交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积S 的最小值．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.19．对于*N n ∀∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．(1)已知数列1，2m ，21m +是“K 数列”，求实数m 的取值范围．(2)是否存在首项为−2的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．(3)已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若11n n a b n +=+，试判断数列是否为“K 数列”，并说明理由．。
【暑假天天练】江苏地区数学五升六暑假真题每日一练(每天五道题)(7月11日—7月21日) 解答题共
江苏地区五升六暑假真题每日一练（每天五道题）（7月11日—7月21日）解答题共计55题一、解答题1．（2021·江苏·无锡市梁溪区教师发展中心五年级期末）下面的每个长方形都表示1升牛奶。
（1）在图中表示出“把3升牛奶平均分给4个小朋友，每个小朋友分得的结果”。
（2）每个小朋友分得3升牛奶的（）。
（3）每个小朋友分得（）升牛奶。
2．（2021·江苏·无锡市梁溪区教师发展中心五年级期末）（1）在下图中（每个小方格边长1厘米）画一个直径为4厘米的圆，圆心O的位置是（4，3）。
它的周长是（）厘米。
（2）如果把这个圆先向右平移2格再向下平移1格，平移后圆心的位置用数对表示是（）。
3．（2021·江苏·无锡市梁溪区教师发展中心五年级期末）一块地2公顷，其中15种西红柿，13种黄瓜，剩下的种青菜，种青菜的面积占这块地的几分之几？4．（2021·江苏·无锡市梁溪区教师发展中心五年级期末）无锡地铁一期工程分高架线和地下线两部分，全线长16.9千米，其中地下线长度是高架线的1.6倍。
高架线和地下线各长多少千米？（用方程解）5．（2021·江苏·无锡市梁溪区教师发展中心五年级期末）一个快递公司的收费标准如下：货物首重（不超过1千克的），收费9元；续重（超过1千克的部分），每千克增加收费4.5元（不足1千克按1千克计算）。
李叔叔快递一件物品，共付快递费27元，他快递的这件物品最多重多少千克？6．（2021·江苏·无锡市梁溪区教师发展中心五年级期末）把两根长分别是30厘米和45厘米的长彩带，剪成一样长的短彩带，且没有剩余。
每根短彩带最长是多少厘米？一共能剪成多少根这样的短彩带？7．（2021·江苏·无锡市梁溪区教师发展中心五年级期末）在一个直径为12米的圆形花坛周围铺一条2米宽的水泥路．这条水泥路的面积是多少平方米？8．（2020·江苏常州·五年级期末）笑笑和爸爸去登山，用20分钟走了全程的25，又用了25分钟走了全程的一半，最后用5分钟登上了山顶。
圆的复习课件(共30张PPT).. 共32页
3.垂径定理与推论的延伸:
新课标教学网（xkbw）--海量教学 资源欢迎下载！
知识点5:圆心角与圆周角
________
∠ _________________. ACB=90°
新课标教学网（xkbw）--海量教学 资源欢迎下载！
知识点6:圆内接四边形及其性质
C.115.5°
D.112.5°
【解】D
新课标教学网（xkbw）--海量教学 资源欢迎下载！
第二节 与圆有关的位置关系
知识点1:三角形的外心和内心
1.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线 的交点,到 三角形三个顶点 的距离相等. 2.三角形的内心:三角形内切圆的圆心,是三角形 三条角平分线 的交点,到
___∠___D___
新课标教学网（xkbw）--海量教学 资源欢迎下载！
知识点7:弦、弧、圆心角的关系
1.定理: 同圆 或 等圆 中,相等的圆心角所对的弧 相等 ,所对的弦 相等 .
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一 组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别 相等 .
新课标教学网（xkbw）--海量教学 资源的有关性质 • 第二节 与圆有关的位置关系 • 第三节 正多边形与圆 圆有关的计算
尺规作图
新课标教学网（xkbw）--海量教学 资源欢迎下载！
第六章 圆
第一节 圆的有关性质
知识点1:圆的概念: 圆是平面内到定点的距离等于 定长 的点的集合.
3.切线的判定定理:
经过半径的外端并且 垂直 这条半径的直线是圆的切线.
4.证明直线和圆相切的方法:
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证 垂直 .
21直线与圆圆与圆的位置关系专题复习讲义-高考数学一轮复习专题讲义(学生版)
目录直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：直线与圆位置关系】 (3)【典型例题】 (5)考点一：直线与圆位置关系的判定 (5)考点二：圆的切线方程 (6)考点三：直线与圆相交弦 (7)【知识点二：圆与圆的位置关系】 (8)【典型例题】 (9)考点一：圆与圆的位置关系 (9)考点二：圆与圆的公共弦 (9)考点三：圆与圆的公切线问题 (10)【小试牛刀】 (10)【巩固练习——基础篇】 (11)【巩固练习——提高篇】 (12)直线与圆、圆与圆的位置关系【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝03．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．4．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．5. 圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C.D.6. 圆上的点到原点的最大距离是( ) A. B.D.107. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）A.B.C.D.8. 两圆和的连心线方程为（ ）A. B. C. D.1)(2)(2)(4)0x x y y -++-+=（11)-（，11)2-（，1,2)-（1,1)2--（223)(1)25x y ++-=（5-11)A -（，1,1)B -（20x y +-=223)(1)4x y -++=（221)(1)4x y -+-=（22+3)(1)4x y +-=（22+1)(1)4x y ++=（22460x y x y +-+=2260x y x +-=30x y ++=250x y --=390x y --=4370x y -+=【知识点一：直线与圆位置关系】1：直线与圆的位置关系由平面几何知，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断一览表位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个1个0个判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离22||++=+Aa Bb C d A Bd r < d r = d r >代数法： 由()()2220++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩Ax By C x a y b r消元得到一元二次 方程的判别式∆0∆> 0∆= 0∆<图形2.圆的切线方程的问题（1）过圆上一点的切线方程：与圆相切于点的切线方程是；与圆相切于点的切线方程是：； 与圆相切于点的切线方程是；222x y r +=()11x y ，211x x y y r +=222x y r +=()cos sin r r θθ，cos sin 0x y r θθ+-=()()222x a y b r -+-=()11x y ，()()()()211x a x a y b y b r --+--=（2）过圆外一点的切线方程：设是圆外一点，求过点的圆的切线方程. 当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，求出待定系数k ，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.3. 直线与圆相交的弦长的求法（1）几何法如图所示，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的长即为l 与圆相交的弦长. 设弦心距为d ，半径为r ，弦为AB ，则有（2）代数法直线l 与圆交于，直线l 的斜率存在，设为k ，则联立直线方程和圆的方程得方程组.方法一：解方程组得点A 、B 的坐标，再由两点间的距离公式求弦长. 方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k 为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k 不存在时，可直接利用计算. 温馨提示①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.()000P x y ，()()222x a y b r -+-=0P ()00y y k x x -=-000kx y kx y --+=r =0x x =AB =()()1122A x y B x y ，，，AB 1212AB x y =-=-12AB x x =-12AB y y =-【典型例题】考点一： 直线与圆位置关系的判定例1.直线与圆的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离例2. 已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．例3.已知(,)M a b 在圆外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A.相切B.相交C.相离D.不确定练习1. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？1y x =+221x y +=10mx y m ---=224210.x y x y -+=+-m 22:1O x y +=k 2y kx =-222x y +=考点二： 圆的切线方程例1. 求经过点（1，7）且与圆相切的直线方程.例2.圆，在点处的切线方程为A. B. C.D.练习1.过点作圆的切线，求此切线的方程．练习2. 已知圆的方程为x 2 + y 2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.练习3. 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．2225x y +=2240x y x +-=P 20x +-=40x +-=+40x -=+20x -=3(4)-A ，22()(31)1x y --+=________考点三： 直线与圆相交弦例1.直线l 经过点P （5，5）并且与圆相交截得的弦长为l 的方程.例2.求直线被圆截得的弦长．例3.圆截得的劣弧所对的圆心角的大小为.例4.过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为 A.B. C.D.练习1过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为B.2D.练习2.直线得的劣弧所对的圆心角为. 练习3. 过圆内的点作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程 A. B. C.D.22:25O x y +=l ：3+60x y -=C ：22240x y y --=+224x y +=0y +-=________3π()21，222420x y x y +-+=350x y --=350x y +-=31=0x y --310x y +-=0602240x y y +-=y =224x y +=________222440x y x y +-+-=(3,0)M 30x y +-=30x y --=430x y +-=430x y --=【知识点二：圆与圆的位置关系】由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.设两圆222111()()x a y b r -+-=与222222()()x a y b r -+-=的圆心距为d ，我们可以得到：221212()()d a a b b =-+-12r r >）：位置关系 关系式 图示 外离12d r r >+外切12d r r =+相交1212r r d r r -<<+内切12d r r =-内含120d r r ≤<-【典型例题】考点一： 圆与圆的位置关系例1 圆与的位置关系是A.相离B.外切C.内切D.相交例2 若圆与圆相交，则的取值范围是A. B. C.D. 或练习1. 圆与圆的位置关系是A.外离B.相交C.内切D.外切练习2. 如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________．考点二： 圆与圆的公共弦例1 两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．例2. 若圆与圆的公共弦长为，.练习1. 求经过两圆22640x y x和226280x y y的交点且圆心在直线40xy 上的圆的方程．222x y +=22430x y y +++=2221:240C x y mx m +-+-=2222:24480C x y x my m ++-+-=m 12255m -<<-1205m -<<1225m -<<12255m -<<-02m <<()222(2)1x y ++-=22(2)(5)16x y -+-=2260x y x +-=224x y +=23x =224x y +=22260(0)x y ay a ++-=>a =________1考点三： 圆与圆的公切线问题例1.两相交圆的公切线有且仅有A.1条B.2条C.3条D.4条练习1. 到点A (－1,2)，B (3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．【小试牛刀】1．两圆和的位置关系是( )（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）外离2．圆截直线所得弦长是( )（A（B（C ）（D3. 圆与直线相切，正实数b 的值为( )（A ）（B ）1（C ）（D ）34.过圆内的点作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( ) （A ） （B ） （C ） （D ）5.★★已知圆 ，直线，则直线与的位置关系是（ ）（A ）一定相离 （B ）一定相切（C ）相交且一定不过圆心 （D ）相交且可能过圆心6.★过点的直线l 被圆，则直线l 的斜率为________．7.★上的点到直线的距离的最大值为________．2210x y +-=221:4240C x y x y +-+-=221:4460C x y x y +-++=50x y --=122430x y y +-+=+b=0y +121-222440x y x y +-+-=(3,0)M 30x y +-=30x y --=430x y +-=430x y --=22:21C x y x +-=(1)1y k x =-+l C (1,2)--222210x y x y +--+=2216x y +=3x y -=1.若直线与圆相切，则的值为（A ）（B ） （C ） （D ）2.圆：和：的位置关系是（A ）外切（B ）内切 （C ）相交 （D ）相离3.直线和圆的关系是（A ）相离（B ）相切或相交 （C ）相交（D ）相切 4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为（A ）（B ） （C ）（D ）5．两圆和的公切线有且仅有（A ）1条（B ）2条 （C ）3条 （D ）4条6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.7.设是圆上的点，则M 点到直线的最短距离是.8.过点与圆相切的切线方程为.9.圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为.10．★★当m 为何值时，直线与圆相交、相切、相离？y x b =+222x y +=b 4±2±±1C 224x y +=2C 2268240x y x y +-+-=:1(1)l y k x -=-2220x y y +-=22240x y x y +-+=350x y --=350x y +-=310x y --=310x y --=221:2220C x y x y +++-=222:4210C x y x y +--+=0602240x y x +-=________M 22(5)(3)9x y -+-=3420x y +-=________(3,2)P -22(2)(1)25x y ++-=________2240x y y +-=2268240x y x y +-+-=________10mx y m ---=224210x y x y +--+=1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为()A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h2．若圆22221x y by b外离，则,a b满足的条件是22x y ax a和222________．3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为a＝________. 4．已知点(1,)A a，圆O：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为a的值．。
21_圆内接四边形的性质及判定定理第一讲选修4-1)
21_圆内接四边形的性质及判定定理第一讲选修4-1)1.圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补.如图：四边形ABCD内接于⊙O,则有：∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE=∠D.2.圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.[小问题·大思维]1.所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆.2.如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180°,所以该平行四边形一定是矩形.3.判断下列各命题是否正确.(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆.解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等.[例1]如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠BEC,且与BC、AD分别相交于F、G.求证：∠CFG=∠DGF.[思路点拨]已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE=∠BAD,又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE.[证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ECF=∠EAG.又因为EG平分∠BEC,即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA.所以∠EFC=∠EGA.而∠DGF=180°-∠EGA,∠CFG=180°-∠EFC,所以∠CFG=∠DGF.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系.[例2]如图，在△ABC中，E,D,F分别为AB,BC,AC的中点，且AP⊥BC于P.求证：E、D、P、F四点共圆.[思路点拨]可先连接PF,构造四边形EDPF的外角∠FPC,证明∠FPC=∠C,再证明∠FPC=∠FED即可.[证明]如图，连接PF,∵AP⊥BC,F为AC的中点，1∴PF=AC.21∵FC=AC,2∴PF=FC.∴∠FPC=∠C.∵E、F、D分别为AB,AC,BC 的中点.∴EF∥CD,ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED=∠C.∴∠FPC=∠FED.∴E、D、P、F四点共圆.证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆.[例3]如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C,⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B 得公共弦AB;PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD,再考虑证角相等.[证明]如图，分别连接AB,AE,∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP=∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP=∠AEP.∴∠AEP=∠D.∴A、E、M、D四点共圆.∴∠PMC=∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥PA.∴∠PMC=∠DAE=90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立.1.圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C的度数比为4∶3∶5,求四边形各角的度数.2.已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD,BC相交于点E,点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB=AC;(2)若AC=3cm,AD=2cm,求DE的长.1.圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C的度数比为4∶3∶5,求四边形各角的度数.解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为4某、3某、5某,则由∠A+∠C=180°,可得4某+5某=180°.∴某=20°.∴∠A=4某20°=80°,∠B=3某20°=60°,∠C=5某20°=100°,∠D=180°-∠B=120°.2.已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD,BC相交于点E,点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB=AC;(2)若AC=3cm,AD=2cm,求DE的长.解：(1)证明：∵∠ABC=∠2,∠2=∠1=∠3,∠4=∠3,∴∠ABC=∠4.∴AB=AC.(2)∵∠3=∠4 =∠ABC,∠DAB=∠BAE,∴△ABD∽△AEB.ABAD∴=.AEAB∵AB=AC=3,AD=2,AB29∴AE==.AD295∴DE=-2=(cm).225.如图，P点是等边△ABC外接圆的BC上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D,连接BP.求证：(1)∠D=∠CBP;(2)AC2=CP·CD.6.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB,DF⊥AC,E、F是垂足.求证：E、B、C、F四点共圆.。
能根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径作业布置
设 x =2.7 则 y 16 2.7 8.71 3 所以该货车不能驶入这个隧道.
O
2.7
X
思考:假设货车的最大宽度为a m,那么货车要驶入该 a (0,4)时, 限高为 16 a 2 隧道，限高为多少？
课堂小结
1.掌握圆的标准方程： (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0) 2.能根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程； 能根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径. 3.灵活运用几何知识和代数知识来确定圆的方程.
作业布置
待定系数法:
①设圆的标准方程；
②根据条件列出关于a,b,r的方程组；
③解出a,b,r；写出圆的标准方程.
实际应用
已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路 中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入 这个隧道？ 解：如图所示建立直角坐标系， 则半圆的方程是 x 2 y 2 16 ( y 0)
数学运用
1.(1)求圆心是C(2,-3),且经过原点的圆的方程；
(x-2)2+(y+3)2=13
(2)求以点C(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.
(x+1)2+(y+5)2=1
变式训练
1.求圆心是C(a,b),且经过原点的圆的方程.
2 2 x a y b a b 2 2
2.求以点C(a,b),为圆心,且和y轴相切的圆的方程.
2 x a y b a Байду номын сангаас 2 2
3.若圆心为C(a,b),半径为r的圆，与两坐标轴都相切 则a,b,r的关系是
a b r
2.求圆心在直线5x-3y-8=0上，且与两坐标轴 都相切的圆的方程.
2023-2024学年江苏省徐州一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求．1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°2．通过椭圆x 24+y 23=1的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（ ） A ．2√3 B ．3C ．√3D ．63．双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．34．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√303B ．6C ．12D ．7√35．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象．上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB ＝20√10米，上底面直径CD ＝20√2米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（ ）A ．20米B ．10√5米C ．10√3米D ．10米6．若圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2，则k 的值为（ ） A ．12或2B ．34或43C ．2D ．437．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝08．已知F （﹣c ，0）是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x +c 与该椭圆相交于M ，N 两点，O 是坐标原点，P 是线段OF 的中点，线段MN 的中垂线与x 轴的交点在线段PF 上．该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．[√63，1) B ．[√22，1) C ．(0，√63] D ．[√22，√63] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分．9．已知a 为实数，若三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，则a 的值为（ ） A ．83B ．1C ．﹣1D ．﹣410．若方程x 22−t−y 21−t=1所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ）A ．若曲线C 为双曲线，则t ＜1或t ＞2B ．若曲线C 为椭圆，则1＜t ＜2C ．曲线C 可能是圆D ．若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜3211．如图，已知椭圆x 24+y 22=1的左、右顶点分别是A 1，A 2，上顶点为B 1，在椭圆上任取一点C ，连结A 1C 交直线x ＝2于点P ，连结A 2C 交PO 于点M （O 是坐标原点），则下列结论正确的是（ ）A ．k CA 1•k CA 2为定值B ．k A 1P =12k OP C ．OP ⊥A 2CD ．MB 1的最大值为√612．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）A ．若直线l 的斜率为2，则△OAB 的面积为12 B ．|AB |的最小值为4√2C ．1|PA|+1|PB|=√24D ．若M （﹣2，0），则|MA||MB|=|PA||PB|三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22，则S 8＝ ．14．已知直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k ＝ ．15．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点为A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为 ．16．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x ﹣17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上．则该正方形面积的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 5＝a 4+7且a 1+a 10＝20． （1）求{a n }的通项公式；（2）求满足不等式S n ＜3a n ﹣2的n 的值．18．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +m ＝0与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）求满足|PM |＝2|PO |的点P 的轨迹方程． 19．（12分）若椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2﹣y 2＝1有相同的焦点．（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y ＝x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，当△OAB 的面积为√32时，求直线l 的方程．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于不同的两点A ，B ，且|AB |＝4． （1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，过点T （2，0）的直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为k 1，直线NB 斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．22．（12分）已知椭圆C 1：x 24+y 2＝1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2．（1）求圆C 2的标准方程；（2）已知P 为椭圆C 1上任意一点，过点P 作圆C 2的切线分别交椭圆C 1于M 、N 两点，试求三角形PMN 面积的最小值．2023-2024学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求．1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：直线x +√3y +1＝0的斜率k =1√3=−√33， 设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=−√33，∴θ＝150°． 故选：D ． 2．通过椭圆x 24+y 23=1的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（ ） A ．2√3B ．3C ．√3D ．6解：由题设，不妨设过焦点（1，0）且垂直于x 轴的直线l ：x ＝1， 代入椭圆方程得14+y 23=1可得y =±32，故被椭圆截得的弦长等于3．故选：B ． 3．双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．3解：双曲线中，焦点坐标为（±√5，0），渐近线方程为：y =±12x ， ∴双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离：d =|±√5|√1+4=1． 故选：A ．4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√303B ．6C ．12D ．7√3解：由y 2＝3x 得其焦点F （34，0），准线方程为x =−34．则过抛物线y 2＝3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝tan30°（x −34）=√33（x −34）． 代入抛物线方程，消去y ，得16x 2﹣168x +9＝0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则x 1+x 2=16816=212， 所以|AB |＝x 1+34+x 2+34=34+34+212=12 故选：C ．5．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象．上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB ＝20√10米，上底面直径CD ＝20√2米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（ ）A ．20米B ．10√5米C ．10√3米D ．10米解：建立如图的坐标系，由题意可知D （10√2，20），B （10√10，﹣60）， 设双曲线方程为：x 2a 2−y 2b 2=1，∴{200a 2−400b 2=11000a 2−3600b2=1，解得a 2＝100，b 2＝400，|EF |＝2a ＝20， 故选：A ．6．若圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2，则k 的值为（ ） A ．12或2B ．34或43C ．2D ．43解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0的圆心C （1，3），半径r =12√4+36−4=3，∵圆上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2， ∴圆心C （1，3）到直线y ＝kx 的距离为1，即d =|k−3|√k +1=1，解得k =43．故选：D ．7．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 由直线l ：2x +y +2＝0，可得直线PM 的斜率为12，直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）． 则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．8．已知F （﹣c ，0）是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x +c 与该椭圆相交于M ，N 两点，O 是坐标原点，P 是线段OF 的中点，线段MN 的中垂线与x 轴的交点在线段PF 上．该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．[√63，1) B ．[√22，1) C ．(0，√63] D ．[√22，√63] 解：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设MN 的中点为B ，与OF 的交点为A ， 联立{y =x +c x 2a2+y 2b2=1，整理可得：（a 2+b 2）x 2+2a 2cx +a 2（c 2﹣b 2）＝0，所以x 1+x 2=−2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b2，y 1+y 2＝x 1+x 2+2c =2b 2c a 2+b2，因为直线MN 的斜率为1，所以线段MN 的中点B （−a 2ca 2+b2，b 2ca 2+b 2）所以由题意可得直线AB 的斜率为﹣1， 所以直线AB 的方程为：y −b 2c a 2+b2=−（x +a 2c a 2+b2）， 将A （x A ，0）的坐标代入可得−b 2ca 2+b2=−（x A +a 2c a 2+b2）， 所以可得x A =b 2c−a 2ca 2+b 2，由﹣c ≤x A ≤−c 2，可得﹣1≤b 2−a 2a 2+b2≤−12， 又b 2＝a 2﹣c 2， 所以可得﹣1≤−c 22a 2−c 2≤−12，e =ca ， 所以可得23≤e 2≤1， 又因为e ∈（0，1），解得：√63≤e ＜1， 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分．9．已知a 为实数，若三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，则a 的值为（ ） A ．83B ．1C ．﹣1D ．﹣4解：联立{2x −y −10=04x +3y −10=0，得x ＝4，y ＝﹣2，即交点（4，﹣2），三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形， 所以直线ax +2y +8＝0过点（4，﹣2）或与已知一条直线平行， 当直线ax +2y +8＝0过点（4，﹣2）是，a ＝﹣1， 当ax +2y +8＝0与4x +3y ﹣10＝0平行时，a =83， 当ax +2y +8＝0与2x ﹣y ﹣10＝0平行时，a ＝﹣4，综上，a ＝﹣1或a ＝﹣4或a =83． 故选：ACD ． 10．若方程x 22−t−y 21−t=1所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ）A ．若曲线C 为双曲线，则t ＜1或t ＞2B ．若曲线C 为椭圆，则1＜t ＜2C ．曲线C 可能是圆D ．若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜32解：对于A ，方程表示双曲线，则（2﹣t ）（1﹣t ）＞0，解得t ＜1或t ＞2，故A 正确； 对于B ，方程表示椭圆，则{2−t ＞0t −1＞02−t ≠t −1，解得1＜t ＜2且t ≠32，故B 错误；对于C ，当t =32时，方程表示圆，故C 正确；对于D ，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则2﹣t ＞t ﹣1＞0，解得1＜t ＜32，故D 正确； 故选：ACD ． 11．如图，已知椭圆x 24+y 22=1的左、右顶点分别是A 1，A 2，上顶点为B 1，在椭圆上任取一点C ，连结A 1C 交直线x ＝2于点P ，连结A 2C 交PO 于点M （O 是坐标原点），则下列结论正确的是（ ）A ．k CA 1•k CA 2为定值B ．k A 1P =12k OP C ．OP ⊥A 2CD ．MB 1的最大值为√6解：椭圆的左右顶点分别A 1（﹣2，0），A 2（2，0），因为点C 在椭圆上，所以设点C 的坐标为(2cosθ，√2sinθ)，θ∈[0，2π]， 对于A ，k CA 1k CA 2=√2sinθ2cosθ+2+√2sinθ2cosθ−2=2sin 2θ4cos 2θ−4=sin 2θ−2sin 2θ=−12，所以A 正确； 对于B ，因为k A 1P =k C A 1=√2sinθ2cosθ+2，所以直线AP 为y =√2sinθ2cosθ+2x +2√2sinθ2cosθ+2，令x ＝2，得y =2√2sinθcosθ+1，所以点P 的坐标为(2，2√2sinθcosθ+1)，所以k OP =√2sinθcosθ+1，所以k A 1P =12k OP ，所以B 正确；对于C ，因为k k A 2=√2sinθ2cosθ−2，所以k CA 2⋅k OP =√2sinθ2cosθ−2⋅√2sinθcosθ+1=2sin 2θ2(cos 2θ−1)=−1，所以OP ⊥A 2C ，所以C 正确；对于D ，直线OP 为y =√2sinθcosθ+1x ，直线A 2C 为y =√2sinθ2cosθ−2x −2√2sinθ2cosθ−2， 由两直线的方程联立方程组，解得x =2(cosθ+1)3−cosθ，y =2√2sinθ3−cosθ，所以点M 的坐标为(2(cosθ+1)3−cosθ，2√2sinθ3−cosθ)， 因为B 1(0，√2)，所以|MB 1|2=4(cosθ+1)2(3−cosθ)2+(2√2sinθ3−cosθ−√2)2，当cosθ=45，sinθ=−35时，|MB 1|2=4(45+1)2(3−45)2+(−2√2×353−45−√2)2=902121＞7，所以D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）A ．若直线l 的斜率为2，则△OAB 的面积为12 B ．|AB |的最小值为4√2C ．1|PA|+1|PB|=√24D ．若M （﹣2，0），则|MA||MB|=|PA||PB|解：A ．抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点， 若直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为y ＝2（x ﹣2），即x =y2+2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x =y2+2y 2=4x，得y 2﹣2y ﹣8＝0，∴y 1+y 2＝2，y 1y 2＝﹣8，∴△OAB 的面积S =12|PO||y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=6，故A 错误； B 和C ．由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x =my +2y 2=4x ，得y 2﹣4my ﹣8＝0，∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣8， ∴|AB|=√(1+m 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+m 2)(16m 2+32)=4√m 4+3m 2+2=4√(m 2+32)2−14≥4√2，当且仅当m ＝0时等号成立，故B 正确；|AP|=√(x 1−2)2+y 12=√[(my 1+2)−2]2+y 12=√1+m 2|y 1|，同理，可得|BP|=√1+m 2|y 2|，则1|AP|+1|BP|=√m 21+√m 22=21√m 2+1|y1y 2|=128√m 2+1=√28√m 2+1=√22√m 2+1≠√24，故C 错误；D .k AM +k BM =y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1(x 2+2)+y 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2my 1y 2+4(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2)=2m×(−8)+4×4m(x 1+2)(x 2+2)=0， 即∠AMP ＝∠BMP ，∴|MA||MB|=|PA||PB|，故D 正确．故选：BD ．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22，则S 8＝ ． 解：S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22， ∴{a 1+d =44a 1+4×32d =22，解得a 1＝1，d ＝3，则S 8＝8×1+8×72×3=92． 故答案为：92．14．已知直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k ＝ ．解：由（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4可知圆心为C （1，1），半径为2，设直线与圆交于A 、B 两点，又直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，∴∠ACB ＝120°，∴圆心到直线的距离为半径的一半， ∴√1+k 2=1，解得k ＝0或k =43．故答案为：0或43．15．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点为A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为 ．解：由题意，A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B （c ，b 2a ），C （c ，−b 2a ）， ∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c+a ⋅−b 2a c−a =−1，∴a ＝b ，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故答案为：±1．16．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x ﹣17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上．则该正方形面积的最小值为 ．解：不妨设C ，D 在抛物线上，C （x 1，x 12），D （x 2，x 22）．不妨设x 1＜x 2，∵CD ∥AB ，∴k CD ＝k AB ，∴化为x 1+x 2＝2．①由正方形ABCD 可得|BC |＝|CD |， ∴112√5=√(x 1−x 2)2+(x 12−x 22)2，②①②联立解得x 1＝3或9或﹣1或﹣7．取3或9时，|BC |＝4√5，∴正方形ABCD 的面积S 取得最小值80．故答案为80．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 5＝a 4+7且a 1+a 10＝20．（1）求{a n }的通项公式；（2）求满足不等式S n ＜3a n ﹣2的n 的值．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由a 3+a 5＝a 4+7，得2a 1+5d ＝a 1+3d +7①．由a 1+a 10＝20，得10a 1+45d ＝100②，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1；（2）因为a 1＝1，a n ＝2n ﹣1，所以S n =a 1+a n 2n ＝n 2， 由不等式S n ＜3a n ﹣2，得n 2＜3（2n ﹣1）﹣2，所以n 2﹣6n +5＜0，解得1＜n ＜5，因为n ∈N *，所以n 的值为2，3，4．18．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +m ＝0与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）求满足|PM |＝2|PO |的点P 的轨迹方程．解：（1）圆C 的方程可化为（x +1）2+（y ﹣2）2＝5﹣m ，因为圆C 与y 轴相切，所以5﹣m ＝1，所以m ＝4，即圆心C （﹣1，2），半径为1；（2）设P （x ，y ），则|PM |2＝|PC |2﹣|MC |2＝（x +1）2+（y ﹣2）2﹣1，|PO |2＝x 2+y 2，因为|PM |＝2|PO |，所以|PM |2＝4|PO |2，即（x +1）2+（y ﹣2）2﹣1＝4（x 2+y 2），化简得3x 2+3y 2﹣2x +4y ﹣4＝0，所以点P 的轨迹方程为3x 2+3y 2﹣2x +4y ﹣4＝0．19．（12分）若椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2﹣y 2＝1有相同的焦点．（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y ＝x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，当△OAB 的面积为√32时，求直线l 的方程．解：（1）抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），双曲线x 2﹣y 2＝1的焦点为(±√2，0)，依题意可得，{b =1c =√2，则a 2＝b 2+c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1；（2）根据题意，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆方程，可得{x 2+3y 2=3y =x +m，消去y 并整理可得，4x 2+6mx +3m 2﹣3＝0， 则x 1+x 2=−3m 2，x 1x 2=3m 2−34， 由弦长公式可得，|AB|=√2×√(−3m 2)2−4×3m 2−34=√22⋅√2−3m 2，又点O 到直线AB 的距离为d =|m|1+1=√22|m|， 依题意，令S △AOB =12d|AB|=12×√22×|m|×√22×√2−3m 2=14√−3(m 2−2)2+12=√32，当且仅当m 2＝2，即m =±√2（符合题意）时，△AOB 的面积取得最大值为√32，此时直线l 的方程为y =x ±√2．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于不同的两点A ，B ，且|AB |＝4．（1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标．解：（1）抛物线C 的焦点为F(p 2，0)，由于线段AB ⊥x 轴，且|AB |＝4，所以，点(p 2，±2)在抛物线C 上，将点的坐标代入抛物线C 的方程得2p ⋅p 2=4，即p 2＝4， 由于p ＞0，得p ＝2，因此，抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设直线l 的方程为x ＝my +t ，则直线l 与x 轴的交点为Q （t ，0），设点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则x 1=y 124，x 2=y 224， 将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立{x =my +t y 2=4x，得y 2﹣4my ﹣4t ＝0， 由韦达定理得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4t ，∵OM →⊥ON →，∴OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=y 12y 2216+y 1y 2=(−4t)216−4t =t 2−4t =0， 解得t ＝0或t ＝4．当t ＝0时，直线l 过原点O ，不合乎题意，舍去！所以，t ＝4，因此，直线l 过x 轴上的定点Q ，且点Q 的坐标为（4，0）．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，过点T （2，0）的直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为k 1，直线NB 斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值． 解：（1）∵虚轴长为4，∴2b ＝4，即b ＝2，∵直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线，∴b a=2，∴a ＝1， 故双曲线C 的标准方程为x 2−y 24=1． （2）由题意知，A （﹣1，0），B （1，0），设直线l 的方程为x ＝ny +2，M （x 1，y 1）N （x 2，y 2），联立{x 2−y 24=1x =ny +2，得（4n 2﹣1）y 2+16ny +12＝0，∴y 1+y 2=−16n 4n 2−1，y 1y 2=124n 2−1， ∴ny 1y 2=−34（y 1+y 2），∵直线MA 的斜率k 1=y 1x 1+1，直线NB 的斜率k 2=y2x 2−1， ∴k 1k 2=y 1x 1+1y 2x 2−1=y 1(ny 2+1)y 2(ny 1+3)=ny 1y 2+y 1ny 1y 2+3y 2=−34(y 1+y 2)+y 1−34(y 1+y 2)+3y 2=−13，为定值． 22．（12分）已知椭圆C 1：x 24+y 2＝1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2． （1）求圆C 2的标准方程；（2）已知P 为椭圆C 1上任意一点，过点P 作圆C 2的切线分别交椭圆C 1于M 、N 两点，试求三角形PMN 面积的最小值．解：（1）因为椭圆C 1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2， 所以A 2（2，0），B 1（0，1），此时直线A 2B 1的方程为x +2y ＝2，而原点O 到直线A 2B 1的距离d =2√5， 可得圆C 2的半径r ＝d =2√5， 则圆C 2的标准方程为x 2+y 2=45；（2）不妨设直线PM 方程为y ＝mx +n ，P （x 1，y 1），M （x 2，y 2）， 因为直线PM 与圆C 2相切，所以原点O 到直线PM 距离d =1√m 2+n 2=2√5，整理得5n 2＝4m 2+4， 联立{y =mx +n x 24+y 2=1，消去y 并整理得（1+4m 2）x 2+8mnx +4n 2﹣4＝0， 此时x 1x 2+y 1y 2=(1+m 2)x 1x 2+mn(x 1+x 2)+n 2=(1+m 2)4n 2−41+4m 2+mn −8mn 1+4m2+n 2=0， 即k OP •k OM ＝﹣1，所以OP ⊥OM ，同理得OP ⊥ON ，则M ，O ，N 三点共线，所以S △PMN ＝2S △OPM ＝|OP |•|OM |，不妨设直线OP 的方程为y ＝k ，将y ＝k 代入椭圆方程中，解得x 2=41+4k 2， 所以OP 2=x 2+y 2=(1+k 2)x 2=4(1+k 2)1+4k 2， 同理得OM 2=4[1+(−1k )2]1+4(−1k )2=4(k 2+1)k 2+4， 则1OP 2+1OM 2=1+4k 24(1+k 2)+k 2+44(1+k 2)=54， 此时54=1OP 2+1OM 2≥2|OP||OM|，解得|OP |•|OM |≥85，则S △PMN ＝|OP |•|OM |≥85，当且仅当|OP|=|OM|=2√105时，等号成立． 故△PMN 面积的最小值为85．。
20-21版：一 第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程（步步高）
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.参数方程
(1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x，y之间的关系的中间变量，起到
了桥梁的作用.
(2)参数方程通过变数间接反映坐标变量x与y之间的联系.
2.求曲线参数方程的步骤
第一步，建系，设M(x，y)是轨迹上任意一点；
第二步，选参数，比如选参数t； 第三步，建立x，y与参数间的关系，即
知识点二 圆的参数方程
圆心和半径
圆的普通方程
圆心O(0,0)，半径r
x2＋y2＝r2
圆的参数方程 x＝rcos θ， y＝rsin θ (θ为参数)
圆心C(a，b)，半径r (x－a)2＋(y－b)2＝r2
x＝rcos θ＋a， y＝rsin θ＋b (θ为参数)
2 题型探究
PART TWO
(θ为
参数).
y＝－2＋2sin θ
(1)求曲线C上的点Q(－ 3 ，－3)对应的参数θ的值；
解 把点 Q 的坐标(－ 3，－3)代入参数方程，
得－ －3＝3＝－22c＋os2θs，in θ，
cos 即
θ＝－
23，
sin θ＝－12，
解得 θ＝76π＋2kπ(k∈Z)，故曲线上的点 Q 对应的参数 θ 的值是76π＋2kπ(k∈Z).
(2)求点P到点D(0，－2)距离的最大值.
解 由(1)得|PD|2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2
＝4cos2α＋sin2α＋4sin α＋4
＝－3sin2α＋4sin α＋8
＝－3sin
α－
232＋238.
当
sin
α＝23时，|PD|取得最大值2
21 3.
21教资面试-情境导入逐字稿-北京师大版小学数学六年级上册第一单元第1课时《圆的认识(一)》
1 圆的认识（一）教学设计片段走进圆的世界，寻求其中的奥秘(教学导入)师：对于圆，同学们一定不会感到陌生吧？生：不陌生。
师：生活中你们在哪儿见到过圆？生1：车的方向盘是圆形的。
生2：有圆形的钟面。
生3：车轮是圆形的。
……师：今天，老师要带大家看一个现象，见过平静的水面吗？生：见过。
师：如果我们往水面上丢一颗小石子(课件播放动态的水纹，并配以石子入水的声音)，你发现了什么？生：水纹是圆形的，一圈一圈的。
师：其实这样的现象在大自然中随处可见，让我们一起来看看。
(伴随着优美的音乐，课件出示阳光下绽放的向日葵、花丛中五颜六色的鲜花、光折射后形成的美妙光环、用特殊仪器拍摄到的电磁波、雷达波、月球上的环形山等画面)从这些现象中，你找到圆了吗？生：找到了。
师：有人说，因为有了圆，我们的世界才变得如此美妙而神奇。
今天这节课，就让我们一起走进圆的世界，去探寻其中的奥秘，好吗？生：好。
赏析：通过观看生活中常见的现象，让学生感受身边的各种圆，同时，感受生活与数学密不可分，生活中处处有数学，产生主动学习的热情，积极投入到学习新知中去，为探究圆的各部分名称的学习做好铺垫。
实际操作，掌握圆心、半径和直径的意义以及在同圆中直径和半径的关系(教学重点) 师：圆中蕴藏着许多丰富的知识，同学们想不想自己动手来研究呢？生：想。
师：同学们手中有圆形纸片、直尺、圆规等，这就是我们的研究工具。
现在就请同学们动手折一折、量一量、比一比、画一画，相信大家一定会有新的发现。
学生开始在小组内操作，并交流、讨论。
师：谁来说一说你们小组的发现。
生：我们小组发现圆有无数条半径。
师：能说说你们是怎么发现的吗？生1：我们小组是通过折一折发现的。
把一个圆形纸片反复对折几次，展开后就会发现圆形纸片上有许许多多的半径。
生2：我们小组是通过画一画得出的。
生3：我们小组是直接得出的。
师：能具体说说吗？生：因为连接圆心和圆上任意一点的线段叫作圆的半径，而圆上有无数个点，所以这样的线段也有无数条，说明半径有无数条。
2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编16 圆含详解
专题16圆一、圆的基本性质1．（2021·江苏无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．2．（2021·江苏扬州市）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm 的正方形，该果罐侧面积为_____2cm ．3．（2021·江苏盐城市）一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．4．（2021·江苏宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．二、圆锥与扇形5．（2021·江苏徐州市）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍6．（2021·江苏南京市）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．7．（2021·江苏常州市）如图，BC 是O 的直径，AB 是O 的弦．若60AOC ∠=︒，则OAB ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒8．（2021·江苏宿迁市）如图，在Rt△ABC 中，△ABC =90°，△A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则△ABE =__________．9．（2021·江苏盐城市）如图，在△O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．10．（2021·江苏连云港市）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．11．（2021·江苏南京市）如图，,,,,FA GB HC ID JE 是五边形ABCDE 的外接圆的切线，则BAF CBG DCH EDI AEJ ∠+∠+∠+∠+∠=______︒．12．（2021·江苏徐州市）如图，AB 是O 的直径，点C D 、在O 上，若58ADC ∠=︒，则BAC ∠=_________°．13．（2021·江苏连云港市）如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．614．（2021·江苏常州市）如图，在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，D 是AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是________．15．（2021·江苏扬州市）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．△该弧所在圆的半径长为___________；△ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． △线段PB 长的最小值为_______；△若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．三、圆的切线16．（2021·江苏泰州市）如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（8，5），△A 与x 轴相切，点P 在y 轴正半轴上，PB 与△A 相切于点B ．若△APB ＝30°，则点P 的坐标为 ___．17．（2021·江苏南京市）如图，已知P 是O 外一点．用两种不同的方法过点P 作O 的一条切线．要求： （1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．18．（2021·江苏南通市）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B 的度数；（2）若2AB =，求EC 的长．19．（2021·江苏盐城市）如图，O 为线段PB 上一点，以O 为圆心OB 长为半径的△O 交PB 于点A ，点C 在△O 上，连接PC ，满足2PC PA PB =⋅．（1）求证：PC 是△O 的切线；（2）若3AB PA =，求AC BC的值． 20．（2021·江苏无锡市）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA ，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE ∽．21．（2021·江苏宿迁市）如图，在Rt △AOB 中，△AOB =90°，以点O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于点C ，点D 在边OB 上，且CD= BD ．（1）判断直线CD 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）已知24tan 7DOC ∠=，AB =40，求O 的半径．22．（2021·江苏苏州市）如图，四边形ABCD 内接于O ，12∠=∠，延长BC 到点E ，使得CE AB =，连接ED ． （1）求证：BD ED =；（2）若4AB =，6BC =，60ABC ∠=︒，求tan DCB ∠的值．23．（2021·江苏扬州市）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．24．（2021·江苏连云港市）如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E ，若2EDC ABC S S =，求tan BAC ∠的值．25．（2021·江苏泰州市）如图，在△O中，AB为直径，P为AB上一点，P A＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD△AB，Q为BC上一动点（与点B不重合），AH△QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．△求证：△OAD＝60°；△求BQDH的值；（2）用含m的代数式表示BQDH，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的△O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时△Q的度数．26．（2021·江苏苏州市）如图△，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图△，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，2EF EH=．（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h h h-=乙甲，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图像如图△所示，其中MN平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：△求a的值；△求图△中线段PN所在直线的解析式．专题16圆一、圆的基本性质1．（2021·江苏无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．【答案】50 3【分析】先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解．【详解】△扇形的弧长=120501001803ππ⨯=，△圆锥的底面半径=1003π÷2π=503．故答案是：503．【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．2．（2021·江苏扬州市）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为_____2cm．【答案】100π【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积．【详解】解：△果罐的主视图是边长为10cm的正方形，为圆柱体，△圆柱体的底面直径和高为10cm，△侧面积为1010π⨯=100π，故答案为：100π．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据．3．（2021·江苏盐城市）一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．【答案】6π【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：该圆锥的侧面积＝12×2π×2×3＝6π．故答案为6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4．（2021·江苏宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【答案】48π【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：△底面圆的半径为4，△底面周长为8π，△侧面展开扇形的弧长为8π，设扇形的半径为r，△圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，△120180rπ＝8π，解得：r＝12，△侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．二、圆锥与扇形5．（2021·江苏徐州市）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍【答案】C【分析】 设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA =OD ，OB =OC ，△圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，△设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，△圆的面积=π(3x )2=9πx 2，正方形的面积=()2122x =2x 2， △9πx 2÷2x 2=9142π≈，即：圆的面积约为正方形面积的14倍， 故选C ．【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．6．（2021·江苏南京市）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，△C 是AB 的中点，△OC AB ⊥ △14cm 2AD AB ==设O 的半径为R ，△2cm CD =△(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．7．（2021·江苏常州市）如图，BC 是O 的直径，AB 是O 的弦．若60AOC ∠=︒，则OAB ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒【答案】C【分析】先根据平角的定义求出△AOB ，再根据等腰三角形的性质求解，即可．【详解】解：△60AOC ∠=︒，△△AOB =180°-60°=120°，△OA =OB ，△OAB ∠=△OBA =（180°-120°）÷2=30°，故选C ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键．8．（2021·江苏宿迁市）如图，在Rt△ABC 中，△ABC =90°，△A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则△ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DC B 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE =,ABE ACD ∴∠=∠,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠90,32,ABC A ∠=︒∠=︒()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键． 9．（2021·江苏盐城市）如图，在△O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．【答案】80【分析】根据圆内接四边形的性质计算出18080ADC ABC ∠∠=︒-=︒即可．【详解】解：△ABCD 是△O 的内接四边形，△ABC ＝100°，△△ABC +△ADC =180°，△180********ADC ABC ∠∠=︒-=︒-︒=︒．故答案为80．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．10．（2021·江苏连云港市）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．【答案】25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到△BOC =100°，求出△AOC ，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC，△OC=OB，△△OCB=△OBC=40°，△△BOC=180°-40°×2=100°，△△AOC=100°+30°=130°，△OC=OA，△△OAC=△OCA=25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则11．（2021·江苏南京市）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【分析】由切线的性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．【详解】如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270180=︒．故答案为：180︒．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，多边形的内角和公式2180()n -⨯︒（n 为多边形的边数）,由半径相等可得“等边对等角”，正确的理解题意作出图形是解题的关键．12．（2021·江苏徐州市）如图，AB 是O 的直径，点C D 、在O 上，若58ADC ∠=︒，则BAC ∠=_________°．【答案】32【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90°然后根据三角形内角和即可求出BAC ∠的度数．【详解】△58ADC ∠=︒，△58ABC ADC ∠=∠=︒，又△AB 是直径，△90ACB ∠=︒，△905832BAC =︒-︒=︒∠．故答案为：32．【点睛】此题考查了同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质．13．（2021·江苏连云港市）如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）N 为BD 上一动点，A 点关于线段BD 的对称点为点C ，连接CN ，则=CN AN ，过A 点作CN 的平行线AG ，过C 点作BD 的平行线CG ，两平行线相交于点G ，AG 与BD 相交于点M ．//,//,CN MG NM CG∴四边形CNMG 是平行四边形∴MG CN =∴MG AN =则=1AMN C AN AM NM MG AM ++=++（2）找一点'N ， 连接'CN ，则'='CN AN ，过G 点作'CN 的平行线MG ，连接'AM 则''=''''''''''1AM N C AN AM N M AN AM CG AN AM NM AN AM ++=++=++=++．此时1''1AN AM AN AM ++<++∴''AMN AM N C C <∴（1）中AMN 周长取到最小值四边形CNMG 是平行四边形∴CNM NMA ∠=∠四边形ABCD 是正方形∴CO OA =，AC BD ⊥又CNM NMA ∠=∠，NOC MOA ∠=∠，CO OA =∴()CNO AOM AAS ≅∴ON OM =又AC BD∴AN AM =∴ANM 是等腰三角形22S r ππ==，则圆的半径r =1111222OM MN ==⨯= 2222219+24AM r OM ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 32AM ∴= 3=2+1=42AMN C ∴⨯ 故选：B ．【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到AMN 周长取最小值时M N 、的位置．14．（2021·江苏常州市）如图，在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，D 是AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是________．【答案】43＜AD ＜2 【分析】以AD 为直径，作O 与BC 相切于点M ，连接OM ，求出此时AD 的长；以AD 为直径，作O ，当点D 与点B 重合时，求出AD 的长，进入即可得到答案．【详解】解：以AD 为直径，作O 与BC 相切于点M ，连接OM ，则OM △BC ，此时，在Rt ABC 的直角边上存在3个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形，如图，△在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，△AB =2，△OM △BC ， △1sin 302OM OB ︒==， 设OM =x ，则AO =x ， △122x x =-，解得：23x =， △AD =2×23=43， 以AD 为直径，作O ，当点D 与点B 重合时，如图，此时AD =AB =2，△在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是：43＜AD ＜2． 故答案是：43＜AD ＜2．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论，是解题的关键．15．（2021·江苏扬州市）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．△该弧所在圆的半径长为___________；△ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． △线段PB 长的最小值为_______；△若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）△2；2；（2）见解析；（3） 【分析】（1）△设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到△BOC =60°，证明△OBC 是等边三角形，可得半径； △过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，△ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）△根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′； △根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在△ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF △PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）△设O 为圆心，连接BO ，CO ，△△BAC =30°，△△BOC =60°，又OB =OC ，△△OBC 是等边三角形，△OB =OC =BC =2，即半径为2；△△△ABC 以BC 为底边，BC =2，△当点A 到BC 的距离最大时，△ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，△BE =CE =1，DO =BO =2，△OE△DE 2，△△ABC 的最大面积为)1222⨯⨯2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，△点D 在圆上，△△BDC =△BAC ，△△BA ′C =△BDC +△A ′CD ，△△BA ′C ＞△BDC ，△△BA ′C ＞△BAC ，即△BA ′C ＞30°；（3）△如图，当点P在BC上，且PC=32时，△△PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，△tan△DPC=CDPC =43，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，△当点P在优弧CPD上时，tan△DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE△BE，垂足为E，△点Q是PD中点，△点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，△BE=BC-CE=3-34=94，△BQ，△PD 52，△圆Q的半径为155 224⨯=，△BP′=BQ-P′Q BP△△AD=3，CD=2，23PCD PADS S=，则23 CDAD=，△△P AD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在△ADC的平分线上，如图，过点C作CF△PD，垂足为F，△PD平分△ADC，△△ADP=△CDP=45°，△△CDF为等腰直角三角形，又CD=2，△CF=DF△tan△DPC=CFPF=43，△PF△PD=DF+PF．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹．三、圆的切线16．（2021·江苏泰州市）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），△A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与△A相切于点B．若△APB＝30°，则点P的坐标为___．【答案】()0,11．【分析】连接AB，作AD△x轴，AC△y轴，根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标．【详解】如下图所示，连接AB ，作AD △x 轴，AC △y 轴，△PB 与△A 相切于点B△AB △PB ，△△APB ＝30°，AB △PB ，△P A =2AB =2510⨯=．△90,90,90O OCA ADO =︒=︒=︒∠∠∠，△四边形ACOD 是矩形，点A 的坐标为（8，5），所以AC =OD =8，CO =AD =5，在Rt PAC △中，6PC ==．如图，当点P 在C 点上方时，△5611OP OC CP =+=+=，△点P 的坐标为()0,11．【点睛】此题考查了勾股定理，30°角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．17．（2021·江苏南京市）如图，已知P 是O 外一点．用两种不同的方法过点P 作O 的一条切线．要求： （1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】答案见解析．【分析】方法一：作出OP 的垂直平分线，交OP 于点A ，再以点A 为圆心，P A 长为半径画弧，交O 于点Q ，连结PQ ，PQ 即为所求．方法二：作出以OP 为底边的等腰三角形BPO ，再作出△OBP 的角平分线交OP 于点A ，再以点A 为圆心，P A 长为半径画弧，交O 于点Q ，连结PQ ，PQ 即为所求．【详解】解：作法：连结PO ，分别以P 、O 为圆心，大于12PO 的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO 于点A ；以点A 为圆心，P A 长为半径画弧，交O 于点Q ，连结PQ ，PQ 即为所求．作法：连结PO ，分别以P 、O 为圆心，以大于12PO 的长度为半径画弧交PO 上方于点B ，连结BP 、BO ；以点B 为圆心，任意长为半径画弧交BP 、BO 于C 、D 两点，分别以于C 、D 两点为圆心，大于12CD 的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B 点，并将其反向延长交PQ 于点A ，以点A 为圆心，P A 长为半径画弧，交O 于点Q ，连结PQ ，PQ 即为所求．【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．（2021·江苏南通市）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B的度数；（2）若2AB=，求EC的长．【答案】（1）55°；（2）718π．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC△CD，则判断OC△AE，所以△DAC=△OCA，然后利用△OCA=△OAC 得到△OAB的度数，即可求解；（2）利用（1）的结论先求得△AEO=△EAO=70°，再平行线的性质求得△COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）连接OC，如图，△CD是△O的切线，△OC△CD，△AE△CD，△OC△AE，△△DAC=△OCA，△OA=OC，△CAD=35°，△△OAC=△OCA=△CAD=35°，△AB为△O的直径，△△ACB=90°，△△B=90°-△OAC=55°；（2）连接OE，OC，如图，由（1）得△EAO =△OAC +△CAD =70°，△OA =OE ，△△AEO =△EAO =70°，△OC △AE ，△△COE =△AEO =70°，△AB =2，则OC =OE =1，△EC 的长为70718018018n r πππ==． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．19．（2021·江苏盐城市）如图，O 为线段PB 上一点，以O 为圆心OB 长为半径的△O 交PB 于点A ，点C 在△O 上，连接PC ，满足2PC PA PB =⋅．（1）求证：PC 是△O 的切线；（2）若3AB PA =，求AC BC的值． 【答案】（1）见解析；（2）12【分析】(1) 连接OC ，把2PC PA PB =⋅转化为比例式，利用三角形相似证明90PCO ∠=︒即可；(2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OC△2PC PA PB =⋅ △PC PB PA PC=， 又△△P =△P ，△PAC PCB ∽△PAC PCB =∠∠，PCA PBC ∠=∠△PCO PCB OCB ∠=∠-∠△PCO PAC OCB ∠=∠-∠又△OC OB =△OCB OBC ∠=∠△PCO PAC ABC ACB ∠=∠-∠=∠已知C 是O 上的点，AB 是直径，△90ACB ∠=︒，△90PCO ∠=︒△AC PO ⊥，△PC 是圆的切线；（2）设AP a =，则3AB a =， 1.5r a =△ 1.5OC a =在Rt △PCO 中△ 2.5OP a =， 1.5OC a =，△2PC a =已知PAC PCB ∽，AC PA BC PC= △12AC BC =． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键．20．（2021·江苏无锡市）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA ，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知△ABC =90°，由切线的性质可知△OBP =90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得△AOB =40°，继而得△OAB =70°，再推出△CDE =70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）△AC 是O 的直径，△△ABC =90°，△PB 切O 于点B ，△△OBP =90°，△90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，△PBA OBC ∠=∠；（2）△20PBA ，PBA OBC ∠=∠，△20OBC ∠=︒，△OB =OC ，△20OCB OBC ∠=∠=︒，△△AOB =20°+20°=40°，△OB =OA ，△△OAB =△OBA =(180°-40°)÷2=70°，△△ADB =12△AOB =20°，△AC 是O 的直径，△△ADC =90°，△△CDE =90°-20°=70°，△△CDE =△OAB ，△40ACD ∠=︒，△40ACD AOB ∠=∠=︒，△OAB CDE ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．21．（2021·江苏宿迁市）如图，在Rt △AOB 中，△AOB =90°，以点O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于点C ，点D 在边OB 上，且CD= BD ．（1）判断直线CD 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）已知24tan 7DOC ∠=，AB =40，求O 的半径．【答案】（1）直线CD 与圆O 相切，理由见解析；（2）【分析】（1）连接,OC 证明90,DCB OCA ∠+∠=︒可得90,OCD ∠=︒ 从而可得答案；（2）由24,tan ,7CD OC CD DOC OC ⊥∠== 设24,CD x = 则7,OC x = 再求解25,7,OD x OA x == 再表示49,OB OD BD x =+= 再利用222,AO BO AB += 列方程解方程，可得答案．【详解】解：（1）直线CD 与圆O 相切，理由如下：如图，连接,OC90,,AOB OA OC ∠=︒=90,,B OAC OAC OCA ∴∠+∠=︒∠=∠,CD BD =,B DCB ∴∠=∠90,DCB OCA ∴∠+∠=︒1809090,OCD ∴∠=︒-︒=︒,OC CD ∴⊥ OC 为O 的半径，CD ∴是O 的切线．（2）24,tan ,7CD OC CD DOC OC ⊥∠== 设24,CD x = 则7,OC x =25,7,OD x OA OC x ∴===,CD BD =24,BD x ∴=49,OB OD BD x ∴=+=40,90,AB AOB =∠=︒222,AO BO AB ∴+=()()22274940,x x ∴+= 232,49x ∴=12x x ∴==（负根舍去）O ∴的半径为：777OC x ==⨯= 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键．22．（2021·江苏苏州市）如图，四边形ABCD 内接于O ，12∠=∠，延长BC 到点E ，使得CE AB =，连接ED ． （1）求证：BD ED =；（2）若4AB =，6BC =，60ABC ∠=︒，求tan DCB ∠的值．【答案】（1）见解析；（2 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知180A BCD ∠+∠=︒，再由180DCE BCD ∠+∠=︒，即可得出A DCE ∠=∠．根据圆周角定理结合题意可知AD CD =，即得出AD CD =．由此易证()ABD CED SAS △≌△，即得出BD ED =． （2）过点D 作DM BE ⊥，垂足为M ．根据题意可求出10BE =，结合（1）可知152BM EM BE ===，即可求出1CM =．根据题意又可求出230∠=︒，利用三角函数即可求出DM =最后再利用三角函数即可求出最后结果． 【详解】（1）证明：△四边形ABCD 是圆的内接四边形，△180A BCD ∠+∠=︒．△180DCE BCD ∠+∠=︒，△A DCE ∠=∠．△12∠=∠，△AD CD =，△AD CD =． 在ABD △和CED 中，AB CE A DCE AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ABD CED SAS △≌△，△BD ED =．（2）解：如图，过点D 作DM BE ⊥，垂足为M ．△6BC =，4AB CE ==，△10BE BC CE =+=．由（1）知BD ED =． △152BM EM BE ===． △1CM BC BM =-=．△60ABC ∠=︒，12∠=∠，△230∠=︒．△tan 305DM BM =⋅︒==．△tan DM DCB CM ∠== 【点睛】 本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键．23．（2021·江苏扬州市）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π【分析】（1）过点B 作BF △CD ，证明△ABD △△FBD ，得到BF =BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到△ABD =30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF △CD ，△AD △BC ，△△ADB =△CBD ，△CB =CD ，△△CBD =△CDB ，△△ADB =△CDB ，又BD =BD ，△BAD =△BFD =90°，△△ABD △△FBD （AAS ），△BF =BA ，则点F 在圆B 上，△CD 与圆B 相切；（2）△△BCD =60°，CB =CD ，△△BCD 是等边三角形，△△CBD =60°△BF △CD ，△△ABD =△DBF =△CBF =30°，△△ABF =60°，△AB =BF =△AD =DF =tan30AB ⋅︒=2，△阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．24．（2021·江苏连云港市）如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E ，若2EDC ABC S S =，求tan BAC ∠的值．【答案】（1）见解析；（2【分析】 （1）利用SAS 证明≌∆∆BAC DAC ，可得90ADC ABC ∠=∠=︒，即可得证；（2）由已知条件可得EDC EBA ∆∆∽，可得出:=DC BA :=CB BA tan BAC ∠；【详解】（1）△AC 平分BAD ∠，△BAC DAC ∠=∠．△AB AD =，AC AC =，△≌∆∆BAC DAC ．△90ADC ABC ∠=∠=︒．△CD AD ⊥，△AD 是C 的切线．（2）由（1）可知，90EDC ABC ∠=∠=︒，又E E ∠=∠，△EDC EBA ∆∆∽．△2∆∆=EDC ABC S S ，且≌∆∆BAC DAC ，△:1:2∆∆=EDC EBA S S ，△:=DC BA△DC CB =，△:=CB BA△90ABC ∠=︒△tan ∠=CB BAC BA 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 25．（2021·江苏泰州市）如图，在△O 中，AB 为直径，P 为AB 上一点，P A ＝1，PB ＝m （m 为常数，且m ＞0）．过点P 的弦CD △AB ，Q 为BC 上一动点（与点B 不重合），AH △QD ，垂足为H ．连接AD 、BQ ．（1）若m ＝3．△求证：△OAD ＝60°；△求BQ DH的值； （2）用含m 的代数式表示BQ DH ，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的△O ，对于点Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2的值是一个定值，求此时△Q 的度数．【答案】（1）△见解析；△2；（2（3）存在半径为1的圆，45°【分析】（1）△连接OD ，则易得CD 垂直平分线段OA ，从而OD =AD ，由OA =OD ，即可得△OAD 是等边三角形，从而可得结论；△连接AQ ，由圆周角定理得：△ABQ =△ADH ，从而其余弦值相等，因此可得BQ AB DH AD= ，由△可得AB 、AD 的值，从而可得结论；（2）连接AQ 、BD ， 首先与（1）中的△相同，有BQ AB DH AD =，由△APD △△ADB ，可求得AD 的长，从而求得结果； （3）由（2）的结论可得：22(1)BQ m DH =+，从而BQ 2﹣2DH 2+PB 222(1)m DH m =-+当m =1时，即可得是一个定值，从而可求得△Q 的值．【详解】（1）△如图，连接OD ，则OA =OD△AB =P A +PB =1+3=4△OA =122AB = △OP =AP =1即点P 是线段OA 的中点△CD △AB△CD 垂直平分线段OA△OD =AD△OA =OD =AD。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.3勾股定理的简单应用（学案）
【目标导航】能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题；
感受数学“转化”、“建模”思想，提高分析问题、解决问题的能力。
【问题导学】
活动一：请举出勾股定理在生活中应用的例子。
活动二：阅读课本中的例1，思考以下问题：
1、你会把实际问题转化成数学问题吗？会建立“数学模型”吗？
2、如果知道直角三角形中一边的长，另两边之间有一定的关系（如线段和、两边之比等），
你用什么方法求这两边的长？
活动三：阅读课本中的例2，思考以下问题：
1、例2中的等腰三角形和直角三角形有什么联系？
2、勾股定理和勾股定理的逆定理在应用上有什么区别？
【迁移运用】
1. “引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
1
2. 如图，将长为10 cm、宽为8 cm的长方形纸片ABCD沿着折线AP对折，使长方形的一个顶点D恰好落在边BC的D′处．试求PC的长．
3.计算图中四边形ABCD的面积。
【收获感悟】
2
3
随堂检测
1.如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得其内径CD=6cm ，高BC=8cm ，今有一支 长12cm 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少 为 cm ．
第1题 第2题
2. 在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少 需要 m ．
3．一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长是60cm ．这个三角形的面积为
1.如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得其内径CD=6cm ，高BC=8cm ，今有一支 长12cm 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少 为 cm ．
第1题 第2题
2. 在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少 需要 m ．
3．一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长是60cm ．这个三角形的面积为。