21.2.2 公式法(公开课)
合集下载
21.2.2一元二次方程的解法——求根公式法(2)
例1. 解方程:
2
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
(1)x(2)
2 -7x+2x =4
2 (4) 2x -9x+8=0
用公式法解一元二次方程的步骤: (1)化：把一元二次方程化为一般形式; (2)定：确定a、b、c的值; 2 (3)判：求出b -4ac的值,判断根的情况; 2 (4)代：若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
(4)写：写出x1，x2
2. 用公式法解下列方程:
(1) 3x 1 2 3x
2
(2) 0.2 x 1.2x 0.55 0
2
2 2 1 (3) x x 1 0 3 2
(4) (x-1)(6-x)=6
３. 用公式法解下列方程:
x(x+1)+7(x-1)=2(x+2)
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的 值代入求根公式求解.
拓展与提高
2 1.x是什么值时,y=x -5x+4
的值分别是0,4?
2.解下列关于x的方程： 2 2 2x -mx-m =0
拓展与提高
求差
3.试比较代数式2x2-x-5与x-7 的值的大小。
2 解：2x -x-5-（x-7）
2 =2x -2x+2
2 =2(x -
2 2 x+0.5 -0.5 )+2
2 =2(x-0.5) -0.5+2
2 =2(x-0.5) +1.5
7 145 7 145 方程的根x1= , x2= . 6 6
21.2.2公式法教案
21.2.2 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入1.总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．2.用配方法解方程：3x2+6x-4＝0二、探索新知1.用配方法解方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0），分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵4a 2>0，当b 2-4ac ≥0时2244b ac a -≥0 ∴（x+2b a）2=(242b ac a -)2 直接开平方，得：x+2b a=±242b ac a - 即x=242b b ac a -±- ∴x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b ac a--- 归纳：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
21.2.2公式法。ppt
k 1 0, ∴ 2 1 2 b 4ac ［ (k 1) ］ 4 (k 1) 0， 4
解得k=2，
∴k的值等于2.
【规律总结】根的判别式的三个作用 1.不解方程,判断b2-4ac的符号直接判断方程根的情况. 2.已知方程根的情况,求方程中字母系数的取值范围. 3.根据b2-4ac恒大于0或恒小于0或恒等于0,证明方程根的情况.
【解题探究】1.原方程有两个实数根,说明原方程为哪种类型的方程? 需什么条件? 提示:原方程为一元二次方程,需k-1≠0,即k≠1.
2.原方程有两个相等的实数根,需有什么条件? 提示:b2-4ac=0,即[-(k-1)]2-4× 1 (k-1)=0,
4
∴k=2,k=1(舍去).
【自主解答】∵原方程有两个相等的实数根，
2a
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ， 2a 2a
两个相等 的实数根， 方程有_________ (3)若b2-4ac＜0，则(x+ b )2＜0.
2a
无 实数根. 方程___
b b 2 4ac 2.当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x=____________ ，这个 2a
1 3.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等实根,则m=__.
1 x , x2 2 1 4.2x2-5x+2=0的根为___________. 2
有两个不相 5.ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a,c异号,则原方程根的情况:___________
等的实数根 ___________.
知识点一
用公式法解一元二次方程
【示范题1】(5分)(2014·徐州中考)解方程x2+4x-1=0. 【ห้องสมุดไป่ตู้你解题】
解得k=2，
∴k的值等于2.
【规律总结】根的判别式的三个作用 1.不解方程,判断b2-4ac的符号直接判断方程根的情况. 2.已知方程根的情况,求方程中字母系数的取值范围. 3.根据b2-4ac恒大于0或恒小于0或恒等于0,证明方程根的情况.
【解题探究】1.原方程有两个实数根,说明原方程为哪种类型的方程? 需什么条件? 提示:原方程为一元二次方程,需k-1≠0,即k≠1.
2.原方程有两个相等的实数根,需有什么条件? 提示:b2-4ac=0,即[-(k-1)]2-4× 1 (k-1)=0,
4
∴k=2,k=1(舍去).
【自主解答】∵原方程有两个相等的实数根，
2a
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ， 2a 2a
两个相等 的实数根， 方程有_________ (3)若b2-4ac＜0，则(x+ b )2＜0.
2a
无 实数根. 方程___
b b 2 4ac 2.当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x=____________ ，这个 2a
1 3.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等实根,则m=__.
1 x , x2 2 1 4.2x2-5x+2=0的根为___________. 2
有两个不相 5.ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a,c异号,则原方程根的情况:___________
等的实数根 ___________.
知识点一
用公式法解一元二次方程
【示范题1】(5分)(2014·徐州中考)解方程x2+4x-1=0. 【ห้องสมุดไป่ตู้你解题】
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：
21.2.2公式法(第一课时)
2.二次项系数化为1得到，
3.配方得到
4.写成（x+m）2=n形式： 能直接开平方吗？
5.直接开平方，得
活动3-观察分析： 对 观察，分析，在a≠0时对
的值与0的关系进行讨论 因为a≠0,所以4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）b2-4ac＞0，这时 （2）b2-4ac=0，这时 （3）b2-4ac＜0，这时
用配方法解一般形式的一元二次方程呢？
探究新知 活动1-交流讨论： 请你观察下面两个方程思考它们有何异同？
①6x2-7x+1=0
②ax2+bx+c=0(a≠0)
活动2-对比解题： 按配方法一般步骤同时对两个方程进行解答：
①6x2-7x+1=0
1.移项得到， 6x2-7x=-1
②ax2+bx+c=0(a≠0) ax2+bx=-c
1.把常数项移到方程右边； 2.方程两边同除以二次项系数，化二次 项系数为1； 3.方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4.原方程变形为（x+m）2=n的形式； 5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解， 如果右边是负数，则一元二次方程无解.
2.思考 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： ax2+bx+c=0(a元二次方程 例1 用公式法解方程：x2-4x-7=0 解： ∵a=1,b=-4 ,c=-7
∴Δ =b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0
∴方程有两个不相等的实数根 ∴
例2
用公式法解方程：（x-2)(1-3x）=6
解：去括号，化简为一般式：
3x2-7x+8=0 a=3 b=-7 c=8
人教新课标版数学九年级上册21.2.2-一元二次方程的解法-公式法(2)课件
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实
数解根：∵. 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0， b2 4ac 0
凡形先如把方a程x2+的c常=0数(项a≠移0到, a方c<程0的) 右边，再把左边配成一
个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接
开平方法或来求a出(x+它p的)2解+q.=0 (a≠0, aq<0)
的公一式元二法次是方解程一都元可二用次直接方开程平的方通法法解..
一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
解：∵ b2 4ac (m 5)2 4 2(m 1)
把判别式配方 m2 10m 25 8m 8
m2 2m 17
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
典型例题解析
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
（3） x2 x 1 0
（4） x2 x 1 0
（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0
21.2.2公式法解一元二次方程(两课时)
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 = b 4ac 的值，
2
特别注意:当
=
b 4ac 0
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
9 ∴m＞ 8 9 2 （2）若方程有两个相等的实数根，则b -4ac=0即8m+9=0 ∴m= 8
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴当m＞
9 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根 8
2
0
，
一般地，式子b 4 ac 叫做方程
2
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
ax bx c 0
2
△＝ b 4ac
2
心动
2
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当 b 4ac 0时, 它的根是 :
21.2.2 公式法(课件+教案+练习+反思)-11
最大最全最精的教育资源网
全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | 《21.2.2公式法》教材分析
教材通过例题，进一步深化巩固用配方法求解一元二次方程，合理的选择适当的方法可以简化解题过程．
学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积为零的形式．另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程结构的观察，从而在方法的选择上欠佳，缺乏解决问题的灵活性，增加了计算的难度，降低了计算的准确性．
基于以上分析，确定出本节课的教学重点：会用公式法解特殊的一元二次方程．
本节课的难点：学会观察方程特征，选用公式法解决一元二次方程．。
21.2.2公式法教案
21.2.2公式法教案
一、教学内容
21.2.2公式法教案：
（1）教材章节：《数学》八年级下册第二章“一元二次方程”
（2）教学内容：
1.掌握一元二次方程的标准形式：ax²+bx+c=0（a≠0）
2.了解一元二次方程的求解公式：x1,2=（-b±√(b²-4ac)）/2a
3.学会使用求解公式解决实际问题，如：计算物体的运动时间、计算平面图形的面积等。
此外，小组讨论的环节让我看到了学生们的潜力，他们能够从不同的角度分析问题，并提出创造性的解决方案。但是，我也观察到有的小组在分享成果时表达不够清晰，这可能影响了他们思想的传达。为了提高学生的表达交流能力，我打算在以后的课堂上，多设置一些类似的活动，鼓励学生多开口，多分享，同时提供一些表达技巧的指导。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解过程有着不同的理解程度。有的学生能够迅速掌握公式，并能够灵活运用到实际问题中；而有的学生则在判别式的理解和符号的判断上遇到了困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个别差异，提供更有针对性的指导。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发学生的兴趣，效果还不错。学生们能够积极参与讨论，提出自己的看法。但在实践活动环节，我发现有的小组在讨论时，个别成员参与度不高，可能是因为他们对问题的理解不够深入，或者是对小组讨论的形式不太适应。针对这一点，我考虑在下次的实践活动中，提供更明确的讨论指导，鼓励每个学生都参与到解决问题的过程中来。
一、教学内容
21.2.2公式法教案：
（1）教材章节：《数学》八年级下册第二章“一元二次方程”
（2）教学内容：
1.掌握一元二次方程的标准形式：ax²+bx+c=0（a≠0）
2.了解一元二次方程的求解公式：x1,2=（-b±√(b²-4ac)）/2a
3.学会使用求解公式解决实际问题，如：计算物体的运动时间、计算平面图形的面积等。
此外，小组讨论的环节让我看到了学生们的潜力，他们能够从不同的角度分析问题，并提出创造性的解决方案。但是，我也观察到有的小组在分享成果时表达不够清晰，这可能影响了他们思想的传达。为了提高学生的表达交流能力，我打算在以后的课堂上，多设置一些类似的活动，鼓励学生多开口，多分享，同时提供一些表达技巧的指导。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解过程有着不同的理解程度。有的学生能够迅速掌握公式，并能够灵活运用到实际问题中；而有的学生则在判别式的理解和符号的判断上遇到了困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个别差异，提供更有针对性的指导。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发学生的兴趣，效果还不错。学生们能够积极参与讨论，提出自己的看法。但在实践活动环节，我发现有的小组在讨论时，个别成员参与度不高，可能是因为他们对问题的理解不够深入，或者是对小组讨论的形式不太适应。针对这一点，我考虑在下次的实践活动中，提供更明确的讨论指导，鼓励每个学生都参与到解决问题的过程中来。
公式法 ppt课件
典例精析
例1:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴ b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0,
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：程左方边程配两成边完同全时平加方上的一形次式项；系数一半的平方，将方
合作探究
用配方法解下列方程：
思考：
你能用配方法解方程：
吗？
合作探究
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0). 解：系数化为1，得：
移项，得：
配方，得：
即：
能用直接开平方法 解方程（1）吗？为 什么？
合作探究
∵a ≠0,4a2>0，∴ 式子b2-4ac 有三种情况：
方程有两个不相等的实数根， 将（1）两边开平方，得：
4.若关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+（k-1）=0
有实数根，求k的取值范围.
总结归纳
我们知道，当b2-4ac ≥0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个实数根，可以写成：