2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：9 指数与指数函数(试题)(教师版)
2021版新高考数学(文科)一轮复习集训9 指数与指数函数
指数与指数函数建议用时：45分钟2．已知函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,6) B．(1,5)C．(0,5) D．(5,0)A[由于函数y＝a x的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过定点P(1,6)．]3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜aC[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，∴0.60.6＞0.61.5.又y＝x0.6为R上的增函数，∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b.]4．函数y＝xa x|x|(0＜a＜1)的图象的大致形状是()A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎨⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数y ＝a x ，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数y ＝－a x 的图象与指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象关于x 轴对称，所以函数递增，所以应选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减C [易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时，－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.]二、填空题6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 7．不等式2－x 2＋2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．(－1,4) [原不等式等价为2－x 2＋2x ＞2－x －4， 又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]8．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫0，12 [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12；同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜12，与a ＞1矛盾． 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，函数y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.10．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)， 所以⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以m ≤56.即m 的取值范围是.1．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜bC [∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1.∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ＞1.∴ab ＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.]2．(2019·郴州质检)已知函数f (x )＝e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)＞0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)B [函数f (x )＝e x －1e x 的定义域为R ， ∵f (－x )＝e －x －1e－x ＝1e x －e x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)＞0等价于f (2x －1)＞－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的单调递增函数，∴2x －1＞x ＋1，解得x ＞2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)＞0的解集为(2，＋∞)．]3．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．12或32[当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2， ∴a ＝12或a ＝0(舍去)． 当a ＞1时，a 2－a ＝a2， ∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.]4．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．[解] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0， 从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.1．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1D [根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.]2．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解] (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2.当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝3716，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为34，3716. (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3 ＝(t －λ)2＋3－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2，①当λ≤14时，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞14，不符合，舍去； ②当14＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＝－2＜14，不符合，舍去；③当λ＞2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7， 令－4λ＋7＝1，得λ＝32＜2，不符合，舍去． 综上所述，实数λ的值为 2.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021年高考数学一轮复习《指数及指数函数》精选练习(含答案)
2021年高考数学一轮复习《指数及指数函数》精选练习一、选择题1.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( )A.2x －5B.－2x －1C.－1D.5－2x2.计算（2n ＋1）2×（12）2n ＋14n ×8－2(n ∈N *)的结果是( )A.164B.22n ＋5C.2n 2－2n ＋6 D.(12)2n －73.已知x 2＋x －2=22，且x>1，则x 2－x －2的值为( )A.2或－2B.－2C. 6D.24.下列各式中错误的是（ ） A.21153151(1)a a a a --⋅⋅=>B.()269463(,0)a b a b a b ---⋅=⋅> C.12211133342423424(,0)x y x y x y y x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.113324115324153(,,0)525a b cac a b c a b c ---=->5.若2<a<3，化简442)3()2(a a -+-的结果是( )A.5-2aB.2a-5C.1D.-16.当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果是( )A.2x-5B.-2x-1C.-1D.5-2x7.将322-化简成不含根号的式子是( ) A.212- B.512- C.312- D.322-8.设m a a =--2121，则a a 12+等于( )A.m 2－2B.2－m 2C.m 2＋2D.m 29.若f(x)=－x 2＋2ax 与g(x)=(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是() A.(0.5,1] B.(0,0.5] C.[0，1] D.(0，1]10.函数y=16－4x 的值域是( )A.[0，＋∞)B.[0，4]C.[0，4)D.(0，4)11.函数y=2x －8的定义域为( )A.(－∞，3)B.(－∞，3]C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)12.若函数f(x)=2x＋12x －a 是奇函数，则使f(x)＞3成立的x 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1，＋∞)13.已知a=30.2，b=0.2－3，c=(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a14.函数y=|2x －1|的大致图象是( )15.已知f(x)=a －x (x>0且a ≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a 的取值范围是( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(0,1)16.函数f(x)=a x －3＋1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为() A.(3,3) B.(3,2) C.(3,6) D.(3,7)17.已知函数f(x)=5|x|，g(x)=ax 2－x(a ∈R)，若f[g(1)]=1，则a=( )A.1B.2C.3D.－118.函数y=2x2x ＋1的值域是( )A.(0，1)B.(0，1]C.(0，＋∞)D.[0，＋∞)19.函数f(x)=3－x －1的定义域、值域分别是( )A.定义域是R ，值域是RB.定义域是R ，值域是(0，＋∞)C.定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D.以上都不对20.函数y=xax|x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )二、填空题21.函数y=a x(－2≤x ≤3)的最大值为2，则a=________.22.已知函数f(x)满足f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2），x<0，2x ，x ≥0，则f(－7.5)的值为________. 23.已知集合A={x|1≤2x<16}，B={x|0≤x<3，x ∈N}，则A ∩B=________.24.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=1－2－x ，则不等式f(x)＜－12的解集是______. 25.函数f(x)=a 2x －3a x ＋2(a>0，且a ≠1)的最小值为________.26.若函数f(x)=a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)=(1－4m)x 2在[0，＋∞)上是增函数，则a=________.27.若函数y=a 2x ＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，则a 的值为________.28.已知函数f(x)=22x ＋1＋ax ，则f(2 022)＋f(－2 022)=________. 29.若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪2－x （x ≥2），则f(－3)的值为________. 30.当x ∈[－1，1]时，函数f(x)=3x －2的值域为________.31.若f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 32.已知f(x)=x 2，g(x)=(0.5)x －m.若对任意x 1∈[－1,3]，总存在x 2∈[0,2]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，则实数m 的取值范围是____________________.33.若函数f(x)= 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________.34.函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1a x ，x>1在R 上单调递增，则实数a 取值范围为________.35.函数f(x)=错误!未找到引用源。
指数及指数函数高考复习题及标准答案详细解析
指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 2函数164x y =-的值域是 ( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)3设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是( )（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a4下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 ( )（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a6已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x ；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ）A.124 B.112 C.18 D.387. 不等式4x －3·2x ＋2<0的解集是( )A ．{x |x <0}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1<x <9}D ．{x |x >9}8．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，12)9(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)10(理)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤111．函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x a x x a x f x 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3) C ．(2,3) D ．(1,3)13．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．414．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x，则f (x )≤12的解集为________． 15．若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________． 16．函数y ＝a x ＋2012＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．17．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．18．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．19．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．22．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[]的值，求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性； (3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. 2解析：[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。
专题09 指数函数-2021年高考数学复习一轮复习专项练习附解析
9．设 a 0.60.6，b 0.61.5，c 1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是
。
10．设
a
(
5
)
3 7
,
b
(
3
)
5 7
,
c
(
3
)
3 7
，则
a,b, c
的大小关系为
。
7
7
7
1
4
2
11．已知 a 365 , b 33 , c 95 , 则 a、b、c 的大小关系 。
12．已知
a
1.4
g(x)
的值域.
2．已知函数 f (x) 2x a . 2x 1
（1）若 f (x) 为奇函数，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，求函数 f (x) 的值域.
3．求函数 f ( x) 3 x25x4 的定义域、值域及单调区间．
4．已知函数
f
(x)
1 ax2 4x3 3
3 2
，
b
1.7
3 2
，
c
1.72
，则
a、b、c
的大小关系
。
【题组四 值域】
1．函数
y
1 2
x2
1
的值域是_____．
2．函数 y 1 2x 的值域为 1 2x
3．函数
y
1 4
x
22x
1,
x
[2, 0]的值域为
。
4．函数
f
x
9 x
1 x1 3
3 4
在1, 上的值域为_________.
。
4．若函数 f (x) 2x2 2axa 1 的定义域为 R，则 a 的取值范围是
2021年高考数学一轮复习 第4讲 指数与指数函数同步检测 文
2021年高考数学一轮复习 第4讲 指数与指数函数同步检测 文一、选择题1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )解析 y ＝a |x |＝⎩⎨⎧a x x ≥0，a －xx ＜0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图像相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确． 答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02xx ≤0，则f (9)＋f (0)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1， ∴f (9)＋f (0)＝3. 答案 D3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x的值域为 ( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，2－x，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1. 答案 C5．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b －a －b的值为( )A. 6 B ．2或－2C ．－2D ．2解析 (a b＋a －b )2＝8⇒a 2b＋a －2b＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b－2＝4.又a b>a －b(a >1，b >0)，∴a b－a －b＝2. 答案 D6．若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的( )．解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x－a －x，又f (x )＝a x －a －x为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)． 答案 A 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x <0，a －3x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析 对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 8．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析 函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ，∵函数的图象不经过第一象限， ∴(12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 答案 (－∞，－2]9．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 令a x －x －a ＝0即a x＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点； 若a >1，y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞)10．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析 x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－22x＋12x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使(12)x ＋(13)x≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝(12)x ＋(13)x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．∴m 的取值范围(－∞，56]13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3， 所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x>0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t－1)， ∵22t－1>0，∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．oz23935 5D7F 嵿31357 7A7D 穽Rr"37246 917E 酾`36884 9014 途33589 8335 茵27785 6C89 沉 W。
高考一轮复习专题3-9：指数式与指数函数题型归纳
第9节 指数与指数函数题型34、指数式化简与求值知识点摘要： ➢ 根式的性质 1.=n0_________，.,1*N n n ∈>且其中2. =n n a )(____________，.,1*N n n ∈>且其中3. =nn a ______________，其中n 为大于1的奇数.4.=nn a _____________=⎩⎨⎧<≥)0(________,)0(________,a a ,其中n 为大于1的偶数. ➢ 分数指数幂的意义1.规定正数的正分数指数幂的意义是：=n m a _____________，).1,,,0(*>∈>n N n m a 且2.规定正数的负分数指数幂的意义是：=-nm a________=________，).1,,,0(*>∈>n N n m a 且3. 0的正分数指数幂等于_____________，0的负分数指数幂_______________. ➢ 有理数指数幂的运算性质1.=⋅sr a a ____________，),,0(Q s r a ∈>； 2.=sr a )(_____________，),,0(Q s r a ∈>； 3.=r ab )(_____________，（),0,0Q r b a ∈>>. 典型例题精讲精练：1.求值：（1）88)2(-x ； （2）32132181004--⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2.求值：122[(]-= ， 5.02120)01.0(492513-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛--= .334433)45()45()6(-+-+-=3.将下列根式化为分数指数幂的形式：（1）);0(,11>a a a （2）;)(13252x x （3）)0(,)(32432>--b b . （4）4332b a a b b a ⋅⋅.题型35：比较两个数的大小知识点摘要：➢ 同底不同指，借助幂函数的图像及单调性； ➢ 同指不同底，借助指数函数的图像及单调性； ➢ 不同指不同指，找中间量。
2021版数学攻略大一轮复习新高考(新课标版)：§3.4 指数与指数函数(试题部分)
§3.4 指数与指数函数基础篇固本夯基【基础集训】考点 指数与指数函数1.设a>0,将2√a ·√a 2表示成分数指数幂的形式,其结果是( )A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 32 答案 C 2.函数y=(12)x 2-2x 的值域为()A.[12,+∞) B.(-∞,12] C.(0,12] D.(0,2] 答案 D3.设函数f(x)=x 2-a 与g(x)=a x (a>1且a ≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=(1a)0.1的大小关系是( )A.M=NB.M ≤NC.M<ND.M>N 答案 D4.[(0.06415)-2.5]23-√3383-π0= . 答案 05.若“m>a ”是“函数f(x)=(13)x +m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a 能取的最大整数为 . 答案 -1综合篇知能转换【综合集训】考法一 指数式的大小比较1.(2018黑龙江七台河月考,5)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 答案 A2.(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0<a<b<1,则( ) A.(1-a )1b >(1-a)b B.(1-a)b >(1-a )b2 C.(1+a)a >(1+b)b D.(1-a)a >(1-b)b 答案 D3.(2018福建厦门一模,5)已知a=(12)0.3,b=lo g 120.3,c=a b ,则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a 答案 B考法二 指数(型)函数的图象和性质4.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x -2-x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A.y=sinx B.y=x 3 C.y=(12)x D.y=log 2x 答案 B5.(2019山东潍坊模拟,7)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x ∈(0,4),当x=a 时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a |x+b|的图象为( )答案 A6.已知函数f(x)=|2x -1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( ) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b ≥0,c>0 C.2-a <2c D.2a +2c <2 答案 D7.(2019届黑龙江哈尔滨三中第一次调研,6)函数f(x)=2√4x -x 2的单调增区间是( ) A.(-∞,2] B.[0,2] C.[2,4] D.[2,+∞) 答案 B8.已知函数f(x)=2x -12|x|.(1)若f(x)=2,求x 的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围. 解析 (1)当x ≤0时,f(x)=0,当x>0时,f(x)=2x -12x , 由题意可得,2x -12x =2,即22x -2×2x -1=0,解得2x =1±√2, ∵2x >0,∴2x =1+√2,∴x=log 2(1+√2). (2)当t ∈[1,2]时,2t (22t -122t )+m (2t -12t)≥0,即m(22t -1)≥-(24t -1).∵22t -1>0,∴m ≥-(22t +1).∵t ∈[1,2],∴-(1+22t )∈[-17,-5],故m 的取值范围是[-5,+∞).【五年高考】考点 指数与指数函数1.(2019课标Ⅰ,3,5分)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 答案 B2.(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z 为正数,且2x =3y =5z ,则( ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 答案 D3.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案 A4.(2015天津,7,5分)已知定义在R 上的函数f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数.记a=f(log 0.53),b=f(log 25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a 答案 C5.(2019课标Ⅱ,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax .若f(ln2)=8,则a= . 答案 -36.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)=2x2x +ax的图象经过点P (p,65)、Q (q,-15).若2p+q =36pq,则a= .答案 67.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a x +b(a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案 -32教师专用题组考点 指数与指数函数(2015江苏,7,5分)不等式2x 2-x<4的解集为 .答案 {x|-1<x<2}【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2020届河南南阳一中第一次月考,1)已知集合A={x ∈N|-2<x<4},B={x |12≤2x ≤4},则A ∩B=( ) A.{x|-1≤x ≤2} B.{-1,0,1,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 答案 D2.(2019届四川绵阳高中高三第一次诊断性考试,10)若a=43e 35,b=32e 23,c=5e -2,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 答案 D3.(2020届广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=(13)x 2-6x+5的单调递减区间为()A.(-∞,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,3]D.[3,+∞) 答案 D4.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,10)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R,且[x]表示不超过x 的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=2x+11+2x-13,则函数y=[f(x)]的值域是( )A.{0,1}B.{-1,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1} 答案 D5.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,7)已知函数y=4x -3·2x +3,若其值域为[1,7],则x 可能的取值范围是( ) A.[2,4] B.(-∞,0]C.(0,1]∪[2,4]D.(-∞,0]∪[1,2] 答案 D6.(2020届黑龙江大庆第一中学第一次月考,11)设函数f(x)={|2x -1|,x ≤2,-x +5,x >2,若互不相等的实数a,b,c 满足f(a)=f(b)=f(c),则2a +2b +2c 的取值范围是( )A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7) 答案 B7.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,6)已知函数f(x)=a -2xa+2x是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-13B.3C.-13或3 D.13或3 答案 C8.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,8)函数y=a x -b(a>0,且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a b 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(0,1) D.无法确定 答案 C9.(2019届安徽定远重点中学上学期第一次月考,10)已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y 轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x -t|的“不动区间”,则实数t 的取值范围是( )A.(0,2]B.[12,+∞) C.[12,2] D.[12,2]∪[4,+∞) 答案 C二、多项选择题(共5分)10.(改编题)函数f(x)=a x-b 的图象如图所示,其中a,b 为常数,则下列结论不正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0 答案 ABC三、填空题(共5分)11.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=2x 1+a ·2x (a ∈R)的图象关于点(0,12)对称,则a= .答案 1四、解答题(共25分)12.(2020届河南南阳一中第一次月考,20)函数f(x)=3x ,x ∈[-1,1],g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3. (1)当a=0时,求函数g(x)的值域;(2)若函数g(x)的最小值为h(a),求h(a)的表达式;(3)是否存在实数m,n 同时满足下列条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n 2,m 2]?若存在,求出m,n 的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)因为f(x)=3x ,x ∈[-1,1],所以g(x)=32x -2a ·3x +3,f(x)∈[13,3].设t=3x ,t ∈[13,3],则φ(t)=t 2-2at+3=(t-a)2+3-a 2,其图象的对称轴为直线x=a.当a=0时,φ(t)=t 2+3,t ∈[13,3],所以φ(t)∈[289,12]. (2)因为函数φ(t)的图象的对称轴为直线x=a, 当a<13时,h(a)=φ(13)=289-2a 3; 当13≤a ≤3时,h(a)=φ(a)=3-a 2; 当a>3时,h(a)=φ(3)=12-6a. 故h(a)={ 289-2a3(a <13),3-a 2(13≤a ≤3),12-6a(a >3).(3)假设存在满足题意的m,n.因为m>n>3,所以h(a)=12-6a,所以函数h(a)在(3,+∞)上是减函数, 又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2], 所以{12-6m =n 2,12-6n =m 2,两式相减得6(m-n)=(m-n)·(m+n),又因为m>n>3,所以m-n ≠0,所以m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n 不存在. 13.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x (1a x +1-12),其中a>0,且a ≠1.(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)若关于x 的不等式f(x)≤16|x|在[-1,1]上恒成立,求实数a 的取值范围.解析 (1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.f(-x)=-x (1a -x +1-12)=x (12-a x a x +1),∴f(x)-f(-x)=x (1a x +1-12)-x (12-a xa x +1) =x (1+a xa x +1-1)=0,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)是R 上的偶函数,则不等式f(x)≤16|x|在[-1,1]上恒成立,等价于f(x)≤16x 在[0,1]上恒成立, 显然,当x=0时,上述不等式恒成立; 当x ≠0时,上述不等式可转化为1a x +1-12≤16, ∴a x ≥12在[0,1]上恒成立,∴12≤a<1或a>1,,1)∪(1,+∞).∴实数a的取值范围是[12快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021版高考数学一轮复习《练案 (9)指数与指数函数》
( ACD )
A．4B．3ຫໍສະໝຸດ C．2D．1[解析] 由指数函数的定义知 a2－4a＋4＝1 且 a≠1，解得 a＝3，故选 A、C、D.
7．函数 f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象不可能是( ABC ) a
[解析] 通解：当 a>1 时，将 y＝ax 的图象向下平移1个单位长度得 f(x)＝ax－1的图象，
(B)
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
[解析] 由 f(1)＝1得 a2＝1.又 a>0，所以 a＝1，因此 f(x)＝(1)|2x－4|.因为 y＝|2x－4|在[2，
9
9
3
3
＋∞)上单调递增，所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选 B.
二、多选题
6．(2020·河北保定调研改编)函数 y＝(a2－4a＋4)ax 是指数函数，则 a 的值不可以是
图象过点 A(0,1)，B(3,8)．
(1)求实数 k，a 的值；
(2)若函数 g(x)＝fx－1，试判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由． fx＋1
k＝1
k·a0＝1，
[解析] (1)由已知得 k·a－3＝8
解得 a＝1 2
.
1x－1 (2)g(x)＝ 2 ，因此
1x＋1 2
1－x－1 [1－x－1]1x 1－1x
g(－x)＝ 2
＝2
2 ＝ 2 ＝－g(x)，
1－x＋1 [1－x＋1]1x 1＋1x
2
2
2
2
1x－1 所以 g(x)＝ 2 为奇函数．
1x＋1 2
B 组能力提升
1．(2020·吉林省实验中学期中)设函数 f(x)＝(1)|x|，则使得 f(－3)<f(2x－1)成立的 x 的取 2
2021高考一轮复习 第八讲 指数与指数函数
2021高考一轮复习 第八讲 指数与指数函数一、单选题（共9题；共18分）1.设a=log 32，b=log 53，c= 23 ，则（ ）A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b【答案】 A【考点】指数函数单调性的应用，对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点2.已知55<84 ， 134<85 ． 设a=log 53，b=log 85，c=log 138，则（ ）A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b【答案】 A【考点】指数函数单调性的应用，对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点3.下列函数中，值域为 (0,+∞) 的是（ ）A. y =2xB. y =x 12C. y =lnxD. y =cosx 【答案】 A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的值域与最值，幂函数的概念、解析式、定义域、值域4.已知函数 f(x)={|x +2|−1,x ≤0log 2x ,x >0 ，若 f(a)≤1 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. (−∞−4]∪[2,+∞) B. [−1,2] C. [−4,0)∪(0,2] D. [−4,2]【答案】 D【考点】指数函数的单调性与特殊点，绝对值不等式的解法5.已知 a >0 ，则 √a 13√a 12√a 化为（ ） A. a 712 B. a 512 C. a 56 D. a 13【答案】 B【考点】方根与根式及根式的化简运算6.已知函数 f(x) 为 R 上的奇函数，且图象关于点 (3,0) 对称，且当 x ∈(0,3) 时， f(x)=(12)x −1 ，则函数 f(x) 在区间 [2013,2018] 上的（ ）A. 最小值为 −34B. 最小值为 −78C. 最大值为0D. 最大值为 78【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合，指数函数的图象与性质7.函数 f(x)=e (x−n)2m (其中 e 为自然对数的底数)的图象如图所示，则（ ）A. m>0，0<n<1B. m>0，−1<n<0C. m<0，0<n<1D. m<0，−1<n<0【答案】C【考点】指数函数单调性的应用8.函数f(x)=a x−1(a>0,a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是（）A. y=√1−xB. y=|x−2|C. y=2x−1D. y=log2(2x)【答案】A【考点】指数函数的图象与性质9.函数f(x)=(x2−2x)e x的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】指数函数的图象与性质二、填空题（共8题；共10分）10.定义符号函数g(x)={1,(x>0) 0,(x=0)−1,(x<0)，若函数f(x)=g(x)⋅e|x|，则满足不等式f(a2+3a)<f(a+3)的实数a的取值范围是________．【答案】(-3,1)【考点】指数函数单调性的应用，分段函数的应用11.己知正实数x,y满足2x⋅4y=(2x)y，则x+y的最小值为________.【答案】 3+2√2【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算，基本不等式在最值问题中的应用12.已知函数 f(x)={2x ,x ≤a x 2,x >a，若 a =1 ，则不等式 f(x)≤2 的解集为________，若存在实数 b ，使函数 g(x)=f(x)−b 有两个零点，则 a 的取值范围是________．【答案】 (−∞,√2]；(−∞,2)∪(4,+∞)【考点】指数函数的单调性与特殊点，一元二次不等式的解法，函数零点的判定定理13.不等式 23x−1<(12)1−2x 的解集是________；不等式 log 2(3x −1)<log 124 的解集是________. 【答案】 {x|x <0}；{x|13<x <512}【考点】指数函数单调性的应用，对数函数的单调性与特殊点14.lg1+ 20 - √(−2)2+(12)−1 的值为________。
2021艺体生高考数学一轮复习 专题09 指数函数对数函数以及幂函数(解析版)
专题09指数函数对数函数以及幂函数一、指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域值域(1)R(2)(0，＋∞)(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；x <0时，性质0<y <1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数二、对数函数的图象与性质a >10<a <1(5)当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1(7)在(－∞，＋∞)上是减函数图象(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(6)在(0，＋∞)上是增函数三、常用的指对数变换公式：(5)当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0(7)在(0，＋∞)上是减函数⎛m ⎫（1）a = a n ⎪；⎝⎭m n（2）logaM+logaN=logaMN；logaM-logaN=loga（3）logaN=n logaN(a>0,a≠1,N>0)；nM；N（4）换底公式：logab=logcb；logca进而有两个推论：logab=四、方法与技巧1、指对比较大小n1（令c=b）；logmN n=logaN；a mlogba（1）知识反思：需要熟悉指数与对数函数的单调性。
（2）解题反思：问题为比较两个数值得的大小，常规方法为作差法；而问确从函数思想出发，构造了两个指数函数，利用单调性从而比出数值的大小，而在（3）问中，问题层层推进，进而变式，引入中间量的方法，解决不同底数幂的大小比较问题，体现了数学思维的灵活性。
（3）推而广之：比较两个数值的大小，在后续的对数函数、幂函数及三角函数学习中也有类似的问题出现，其解决问题的基本思想为函数思想，即运用对应函数的函数性质进行大小比较；2、解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.例1、(2019常州期末）函数y＝1－ln x的定义域为________．【答案】(0，e]【解析】由题得1－ln x≥0，ln x≤1，得0<x≤e，故函数的定义域为(0，e]．易错警示①注意定义域是集合；②ln x≤1，从而得x≤e，但要注意x>0.变式1、(2019镇江期末）函数f(x)＝lg（3－x）的定义域为________．【答案】(－∞，2]⎧⎧⎪3－x>0，⎪x<3，⎨【解析】由得⎨即x≤2，故函数的定义域为(－∞，2]．⎪lg（3－x）≥0，⎩⎪3－x≥1，⎩变式2、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．【答案】(－∞，2)【解析】由题意得2－x>0，即x<2，所以函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为(－∞，2)．例2、(2018苏州期末）已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________．1【答案】211⎛1⎫11【解析】：由4＝2，得2＝2，所以2a＝1，即a＝2.由log2x＝1，得x＝⎝2⎭＝2.a2a1变式、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1=3logax，y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上，则实数a的值为．【答案】2【解析】设A(t,3logat)（t>0），因为正方形ABCD的边长为2，所以B(t,2logat)，C(t2,2logat)，⎧t=2⎧t2-t=2⎧t2-t-2=0则⎨，即⎨，解之得⎨，即所求的实数a的值为2．⎩3logat-2logat=2⎩logat=2⎩a=2例3、2.已知x=lnπ，y=log52，z=e【答案】y<z<x【解析】∵x=lnπ>ln e=1，0<log52<log55=12-12，则1⎛1⎫,即y∈ 0,⎪；2⎝2⎭1=e>e-=1111⎫>=,即z∈⎛ ,1⎪，∴y<z<x.2e4⎝2⎭变式1、已知定义在R 上的函数f (x -1)的图像关于x =1对称，且当x >0时，f (x )单调递减，若a =f (log 0.53),b =f (0.5-1.3),c =f (0.76),则a ,b ,c 的大小关系是【答案】c >a >b【解析】∵定义在R 上的函数f (x -1)的图像关于x =1对称，∴函数f (x )为偶函数，∵log 0.53<log 0.51=0，∴f (log 0.53)=f (log 23)，∴1=log 22<log 23<log 24=2．∵当x >0时，f (x )单调递减，∴c >a >b ，a －e x ，x<1，⎧⎪例4、(2018苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝⎨(e 是自然对数的底)．若函数y ＝f(x)的最小4⎪⎩x ＋x ，x≥1值是4，则实数a 的取值范围为________．【答案】[e ＋4，＋∞)f(x)min ＝f(2)＝4.所以当x<1时，a －e x ≥4恒成立．【解析】解法1在x≥1时，转化为a≥e x ＋4对x<1恒成立．因为e x ＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e ＋4)，所以a≥e ＋4.44解法2当x<1时，f(x)＝a －e x >a －e ，当x≥1时，f(x)＝x ＋≥4，当且仅当x ＝，即x ＝2时，取“＝”，x x 故函数f(x)的值域是[e ＋4，＋∞) .解后反思解法1中，因为e x ＋4在x<1上没有最大值，所以要特别注意边界值e ＋4能否取到．2x 1x ＋1变式1、(2017镇江期末）已知函数y ＝x 与函数y ＝的图像共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，x 2＋1A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑(x i ＋y i )＝________.【答案】22x ＋12x ＋12【解析】思路分析函数y ＝2x ＋1可变形为y ＝2－2x ＋1，则函数y ＝2x ＋1在R 上单调递增，也可变形为y 2x －12x ＋1x ＋1＝2x ＋1＋1，则函数y ＝2x ＋1图像关于点(0,1)对称；函数y ＝x 图像也关于点(0,1)对称，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．2x 1x ＋1如图，函数y ＝x 与函数y ＝的图像都关于点(0,1)成中心对称，所以它们的交点也关于点(0,1)成x 2＋1中心对称，且只有两个交点，所以∑i ＝0，∑i ＝2，则∑(x i ＋y i )＝2.＋＋变式2、(2017镇江期末）不等式logax－ln2x＜4(a＞0且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为________．1【答案】(0,1)∪(e，＋∞)4【解析】：思路分析不等式恒成立问题常用方法是参变量分离，为了实现参变量分离，本题需要把logax化ln x成ln a.不等式logax－ln2x＜4可化为ln x14－ln2x＜4，即＜＋ln x对任意x∈(1,100)恒成立．因为x∈(1,100)，ln a ln a ln x4111所以ln x∈(0,2ln10)，＋ln x≥4，故＜4，解得ln a＜0或ln a＞，即0＜a＜1或a＞e.ln x ln a4411、(2017南京、盐城二模）函数f(x)＝ln的定义域为________．1－x【答案】(－∞，1)1【解析】由1－x＞0，得1－x＞0，即x＜1.易错警示定义域应该写成集合(或区间)形式，区间是某些集合的缩写．2、(2017苏锡常镇调研）函数f(x)＝3⎫【答案】⎛⎝4，1⎭∪(1，＋∞)⎧4x－3＞0，⎪3⎛3⎫⎨【解析】：由题意可得⎪解得x＞4且x≠1，故所求函数的定义域为⎝4，1⎭∪(1，＋∞)．⎩ln4x－3≠0，1的定义域为________．ln(4x-3)3、(2019南京、盐城一模）已知y＝f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝e x＋1，则f(－ln2)的值为________．【答案】－3【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－ln2)＝－f(ln2)＝－(e ln2＋1)＝－(2＋1)＝－3.1⎫x4、(2017南京学情调研）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝⎛⎝2⎭.若存在1⎤x∈⎡⎣2，1⎦，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，则实数a的取值范围是________．52⎤【答案】⎡22，2⎦⎣【解析】思路分析由于所给出的是一个函数方程，因此，根据函数的奇偶性，可以得到另外一个函数方程，从而可求出f (x )，g (x )的解析式，通过将等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0中的a 分离出来，转化为求分离之后的函数的值域问题．1⎫x 因为f (x )＋g (x )＝⎛所以f (－x )＋g (－x )＝2x .又因为f (x )，g (x )分别为奇函数、偶函数，所以－f (x )＋g (x )⎝2⎭，2x －2x 2x ＋2xx ＝2，由此解得f (x )＝，g (x )＝，从而等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0等价于a (2－x 0－2x 0)＋(22x 0＋2－221⎤22x 0＋2－2x 0t 2＋2223⎤2⎡⎡2x 0)＝0.因为x 0∈⎣2，1⎦，所以t ＝2x 0－2－x 0∈＝＝t ＋在⎡，2⎤上单，，故a ＝－t t ⎣22－x 0－2x 0⎣22⎦⎦3252⎤⎡22，52⎤.2，⎤上单调递增，故t ＋∈⎡22，调递减，在⎡，即a ∈2⎦⎣t ⎣2⎦2⎦⎣解后反思已知方程有解求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式进行变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后利用数形结合法进行求解．本题所采用的是分离参数法．5、.在平面直角坐标系xOy 中，（2019年江苏卷）点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.【答案】(e, 1).【解析】设点A (x 0,y 0)，则y=ln x 0.又y '=当x =x 0时，y '=－－1，x1，x1(x -x 0)，x点A 在曲线y =ln x 上的切线为y -y 0=即y -ln x 0=x-1，x-e -1，x代入点(-e ,-1)，得-1-ln x 0=即x 0ln x 0=e ，考查函数H (x)=x ln x，当x∈(0,1)时，H(x)<0，当x∈(1,+∞)时，H(x)>0，且H'(x)=ln x+1，当x>1时，H'(x)>0,H(x)单调递增，注意到H (e)=e，故xln x=e存在唯一的实数根x=e，此时y=1，故点A的坐标为A (e,1).。
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A． aa ab ba
B． aa ba ab
C． ab aa ba
D． ab ba aa
【分析】根据指数函数 y (1)x 是减函数，得 0 a b 1，结合指数函数 y ax 的单调性，得 aa ab ，最 3
后根据幂函数 y xa 是 (0, ) 上的增函数，得 ba aa ，即得本题的答案．
【解答】解：
1
1 (
)b
(1)a
1 ，且
1
(0,1)
33 3
3
0 a b 1 ，因此 aa ab ，排除 A 、 B 两项
又函数 y xa 是 (0, ) 上的增函数
ba aa ，可得 ab aa ba 故选： C ． 8．（2019 秋•朝阳区期末）通过科学研究发现：地震时释放的能量 E （单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之 间的关系为 lgE 4.8 1.5M ．已知 2011 年甲地发生里氏 9 级地震，2019 年乙地发生里氏 7 级地震，若甲、 乙两地地震释放能量分别为 E1 ， E2 ，则 E1 和 E2 的关系为 ( )
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《指数与指数函数》达标检测
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[A 组]—应知应会
1．（2019
秋•辽源期末）化简
a
2 3
b
1 2
(3a
1 2
b
1 3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
)
的结果为
(
)
3
A． 9a
B． 9a
C． 9b
D． 9b
则 f (x) 2x ln2 5x ln5 0 ， f (x) 在定义域 R 上是增函数； 又 2x 5x„ 2 y 5y ，
【分析】先计算系数，然后利用同底数幂的乘除运算求解．
【解答】解：
a
2 3
b
1 2
(3a
1 2
1
b3
)
1 (
a
1 6
b
5 6
)
3
211 115
9a 3 2 6 b 2 3 6
431 325
9a 6 b 6
9a ．
故选： B ．
2．（2019 秋•滨海县期末）若指数函数 y (1 3a)x 在 R 上为单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 ( )
C．函数 f (x) ， g(x) 的图象关于 x 轴对称
D．函数 f (x) ， g(x) 的图象关于 y 轴对称 【分析】根据题意，分析可得 g(x) bx ( 1 )x ax ，据此分析可得答案．
a
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【解答】解：根据题意，若 ab 1，则 b 1 ， a
则 g(x) bx (1)x ax ， a
D． x y… 0
【分析】根据题意，构造函数 f (x) 2x 5x ，由导数 f (x) 判断 f (x) 在定义域 R 上是增函数，
得．
【解答】解： 2x 5y„ 2 y 5x ， 2x 5x„ 2 y 5y ， 设函数 f (x) 2x 5x ，
lg( E1 ) 3 ， E2
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所以 E1 103 ， E2
即 E1 1000E2 ， 故选： C ． 9．（2019 秋•清江浦区校级期末）若 2x 5y„ 2 y 5x ，则有 ( )
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A． x y… 0
B． x y„ 0
C． x y„ 0
A． (0, 1) 3
B． (1, )
C． R
【分析】利用指数函数的单调性即可求解．
D． (, 0)
【解答】解：指数函数 y (1 3a)x 在 R 上为单调递增函数，
1 3a 1 ，a 0 ， 故选： D ．
3.（2019 秋•临渭区期末）函数 f (x) 2x 在区间[2 ，1] 上的最小值是 ( )
故选： B ．
4．（2019 秋•溧阳市期中）已知 f (x) ax (a 0, a 1) ，且 f （1） f （3），则实数 a 的取值范围是 ( )
A． (1, )
B． (0,1)
C． (2, )
D． (0 ，1) (1 ， )
【分析】由题意利用函数的单调性，求得实数 a 的取值范围． 【解答】解： f (x) ax (a 0, a 1) ，且 f （1） f （3），a 1 ，
而 f (x) ax ，
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故函数 f (x) ， g(x) 的图象关于 y 轴对称； 故选： D ． 6．（2019 秋•滁州期末）如图所示，二次函数 y ax2 bx 与指数函数 y ( a )x 的图象只可为 ( )
b
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数的对称轴首先排除 B 、 D 选项，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出 答案．
【解答】解：根据指数函数 y ( a )x 可知 a ， b 同号且不相等 b
则二次函数 y ax2 bx 的对称轴 b 0 可排除 B 与 D ， 2a
又因为二次函数 y ax2 bx 过坐标原点，C 正确．
故选： C ．
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7．（2019 秋•南充期末）设 1 (1)b (1)a 1 ，则 ( ) 33 3
故选： A ． 5．（2019 秋•黔东南州期中）已知 ab 1(a 0 ， b 0 且 a b) ， f (x) ax ， g(x) bx ，则关于函数 f (x) ， g(x) 说法正确的是 ( )
A．函数 f (x) ， g(x) 都单调递增
B．函数 f (x) ， g(x) 都单调递减
A． E1 32E2
B． E1 64E2
C． E1 1000E2
D． E1 1024E2
【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：根据题意得：
lgE1 4.8 1.5 9 ①，
lgE2 4.8 1.5 7 ②，
① ②得 lgE1 lgE2 3 ，
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A． 1 2
B． 1 2
C． 2
D．2
【分析】利用函数的单调性，求出函数的最值．
【解答】解：函数 f (x) 2x 在区间[2 ，1] 上单调递减， f (2) 4 ， f （1） 1 ， 2
故函数 f (x) 2x 在区间 [2 ，1] 上的最小值为 1 ， 2