14.3.1 等腰三角形(2)
等腰三角形的性质与特点
等腰三角形的性质与特点等腰三角形是初中数学中常见的一个几何图形。
它具有独特的性质和特点，本文将对等腰三角形进行介绍和讨论。
一、等腰三角形的定义与特点等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下几个特点：1. 两边相等：等腰三角形的两边长度相等，用线段符号表示时可以表示为AB=AC。
2. 两角相等：等腰三角形的两个底角（即两边之间的角）相等，用角度符号表示时可以表示为∠B=∠C。
3. 一角是直角：等腰三角形的顶角（顶点所在的角）是直角，用角度符号表示时可以表示为∠A=90°。
以上是等腰三角形的基本特点，根据这些特点，我们可以进一步探究等腰三角形的性质。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是顶点向底边（即两边之间的那边）所在直线的垂线。
该垂线与底边垂直相交，且交点即为等腰三角形的顶点。
高线的长度等于两边之间的距离。
2. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线是从顶点出发的线段，将顶角分成两个相等的角。
顶角平分线同时也是高线，与底边垂直相交于底边上的一点，将底边分成两个相等的线段。
3. 对称性：等腰三角形具有对称性。
如果将等腰三角形按照顶点所在的直线进行折叠，两边可以完全重合，即可得到一个完全相同的图形。
这说明等腰三角形的两边和底边可以相互对应。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是几个常见应用的例子：1. 三角仪：等腰三角形的特点使得它在使用三角仪时非常方便。
通过调节三角仪的两腿，使其成为等腰三角形，可以准确地测量和绘制角度。
2. 屋顶设计：等腰三角形在建筑设计中常用于设计屋顶形状。
等腰三角形的对称性和稳定性使得它成为一个合适的结构选择，能够在保证强度的同时提供美观的外观。
3. 地质测量：地质学家使用等腰三角形来测算地球上的不同地点之间的距离和角度。
通过测量等腰三角形的边长和角度，可以计算出更大范围的地理信息。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有很多特性和性质，下面将对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行总结。
一、定义和性质等腰三角形的定义：拥有两条边相等的三角形被称为等腰三角形。
等腰三角形的性质：1. 两个底角（底边所对的两个角）是相等的。
2. 两条腰（与底边相等的两条边）相等。
3. 顶角（顶点所对的角）等于180度减去底角的一半。
二、等腰三角形的角度性质1. 顶角等于底角的两倍：在等腰三角形中，顶角是底角的两倍。
也就是说，当一个底角为x度时，顶角就是2x度。
2. 底角相等：在等腰三角形中，两个底角是相等的。
如果一个底角为x度，另一个底角也是x度。
3. 顶角对应的边相等：在等腰三角形中，顶角对应的两条边是相等的。
如果一个顶角对应的边长为a，另一个顶角对应的边长也是a。
三、等腰三角形的边长性质1. 两条腰相等：在等腰三角形中，两条腰是相等的。
如果一条腰的长度为a，另一条腰的长度也是a。
2. 底边对应的高相等：在等腰三角形中，底边对应的高是相等的。
如果一条底边的高为h1，另一条底边的高也是h1。
3. 高的长度：在等腰三角形中，可以通过勾股定理来计算高的长度。
如果底边的长度为b，腰的长度为a，则高的长度等于根号下(a^2 -b^2/4)。
四、等腰三角形的判定条件等腰三角形的判定条件：如果三角形的两边边长相等或两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。
五、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边垂直：在等腰三角形中，高线与底边垂直。
2. 角平分线等于高线：在等腰三角形中，底边上的角平分线等于高线。
3. 底边上的角平分线相等：在等腰三角形中，底边上的两条角平分线是相等的。
总结：等腰三角形是几何学中重要的概念，在很多问题中都有应用。
通过对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行了解和掌握，可以帮助我们解决等腰三角形相关的问题，并在数学和几何学中运用到其他各种应用中。
等腰三角形课件PPT
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
等腰三角形的性质
D
B
C
•认识等腰三角形： • 等腰三角形的性质：
１.等腰三角形的两个底角相等 (简记为”等边对等角”) 2. 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。 （等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相 重合） 3.等腰三角形 对 形
顶 角 腰 腰
A
）
B ) 底角
底角
(
C
预习作业:69页等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 复习作业:72页2,3.
. ∠ B . ∠ C 的度数
C
• 等腰三角形性质 等腰三角形性质: B 等边三角形的每个角都相等,并且每个角都等于 并且每个角都等于60°。 等边三角形的每个角都相等 并且每个角都等于
例1 已知:如图 房屋的顶角∠ BAC=100 °,过屋顶 的立柱 已知 如图,房屋的顶角∠ 过屋顶A的立柱 如图 房屋的顶角 过屋顶 AD⊥BC,屋椽 屋椽AB=AC.求顶架上∠B, ∠C, ∠BAD, 求顶架上∠ ⊥ 屋椽 求顶架上 ∠CAD的度数。 的度数。 的度数 解:在∆ABC中 AB=AC(已知 在 中 已知 ∴∠B=∠ 等边对等角 等边对等角) ∴∠ ∠C(等边对等角 A ∴∠B=∠ ∴∠ ∠C=1/2(180-∠A) =40° ∠ ° 又 AD⊥BC(已知 ⊥ 已知 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠ ∠ ∴∠BAD=∠CAD=50 ° ∠
分析: 作顶角 作顶角∠ 的平分线 的平分线AD 分析 1.作顶角∠A的平分线 2.作底边上的高 作底边上的高AD 作底边上的高 3.作底边上的中线 。 作底边上的中线AD。 作底边上的中线 证明: 作顶角的平分线AD 证明 作顶角的平分线 在∆BAD和∆CAD中， 和 中 AB=AC(已知 已知) 已知 辅助线作法) ∠1= ∠ 2(辅助线作法 辅助线作法 AD=AD(公共边 公共边) 公共边 ∴ ∆ BAD≌ ∆CAD (SSS) 全等三角形对应角相等) ∴ ∠B= ∠C (全等三角形对应角相等 全等三角形对应角相等
彩云思迈 杨丽娟 等腰三角形
14.3.1等腰三角形杨丽娟一、教学目标：1、经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识.2、掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．3、会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．4、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。
二、重点难点.学习重点：等腰三角形性质的探索及应用学习难点：等腰三角形性质的应用三、教学过程1.复习回顾：○1.三角形全等的判定方法○2.等腰三角形的相关概念:有两条边相等的三角形，叫叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角2、合作探究(1)用剪刀按照75页介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(2)将2中的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形猜想与论证等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B= C归纳:性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；练习：1、在下列的等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．⌒2、已知等腰三角形的一个角等于75°，求另外两个角的度数想一想:刚才的证明除了能得到∠B ＝∠C 你还能发现什么?归纳:性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
4、填空：如图1，在△ABC 中○1∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD ∴BD = ， ⊥ 。
○2∵AB=AC ，BD=CD ∴∠BAD= ， ⊥ . ○3∵AB=AC ，AD ⊥BC ∴∠BAD= ， BD= .想一想：任意的一个三角形有没有这样的性质？由此你得到什么结论四、精讲精练例1、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD.求△ABC 各角的度数。
.小结: 学生本节课的主要收获1. 掌握等腰三角形“等边对等角”的性质。
等腰三角形的性质与定理
等腰三角形的性质与定理等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和定理。
本文将对等腰三角形的性质与定理进行详细的介绍。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。
等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边上的角）两个相等。
证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，再加上三角形内角和为180度的性质，可得∠A+∠B+∠C=180度。
由于∠A=∠B=∠C，所以∠B+∠B+∠B=180度，即3∠B=180度，所以∠B=∠C=60度。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）和斜边的中线相等。
证明：作等腰三角形ABC的高AD和BC的中线DE。
首先证明AD=DE。
由于三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=∠C=60度。
又因为∠DAB和∠DEC是等腰三角形的底角，所以∠DAB=∠DEC=60度。
因此，由三角形内角和为180度的性质可知，∠DAB+∠BAD+∠BDA=180度，即60度+∠BAD+90度=180度，解得∠BAD=30度。
同理，∠DCE=30度。
再考虑三角形ABD和DEC，由于∠BAD=∠DCE=30度，∠DAB=∠DEC=60度，所以根据AA相似性质可知，∠ABD=∠DEC，故两个三角形相似。
根据相似三角形的性质，可得AD/DE=BD/EC=AB/DC=1/2。
又已知BD=DC，所以AD=DE。
3. 等腰三角形的对顶角（顶点所对的两边的角）相等。
证明：在等腰三角形ABC中，已知∠B=∠C，∠BAC是三角形内角和，即∠BAC+∠CAB+∠ABC=180度，即2∠B+∠ABC=180度，解得∠ABC=180度-2∠B。
同理，∠ACB=180度-2∠C。
由于∠B=∠C，所以∠ABC=∠ACB。
因此，等腰三角形的对顶角相等。
二、等腰三角形的定理1. 等腰三角形底角的平分线是高和对称轴。
14.3.1等腰三角形的性质
剪一剪
展一展
设问1：△ABC有什么特点？
等腰三角形定义： 像这样有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰: 相等的两条边（AB和AC）叫做腰 底边： 另一条边（BC）叫做底边 顶角： 两腰所夹的角（∠A）叫做顶角
底角：底边和腰的夹角∠B，∠C叫做底角
设问2：△ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 折痕AD所在的直线是它的对称轴
D
C
变式1
A
D B
已知:△ABC 中,AB=AC, AD=ED=EC. E CD=BC求 △ABC各角的 C 度数。
变式2
已知:如图，AB=BC=CD=ED=EF.
∠A=15°，你能求出哪些角的度数？
B
A
F D
N
C
E
M
例2 已知:点D、E在△ABC中, AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE。 A
B
D
F
E
C
等腰三角形的性质： 边： 等腰三角形两腰相等。 角： 等腰三角形两底角相等。 线段： 三线合一
A B A C, B D CD , A D A D,
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）. ∴ ∠B=∠C.
问：辅助线还有另外作法吗？
证明两个三角形全等所用的定理一样吗？ 你能证明性质2吗？
练习1(回答)
（1）已知等腰三角形的一个底角是700，
70 °， 40 ° 则其余两角为_______________. （2）已知等腰三角形的一个角是700， 70°,40°或55°,55° 则其余两角为___________________. （3）已知等腰三角形的一个角是1100， 35 °，35 ° 则其余两角为____________________. 结论：你发现等腰三角形中顶角与底角间有什么关系？ ① 顶角+2×底角=1800 底角 . ② 顶角 1800 2 _____ ③ 底角 1 1800 顶角 ___ . ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
《等腰三角形的性质》ppt课件
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
《等腰三角形的性质》说课稿
《等腰三角形的性质》说课稿14.3.1.1等腰三角形性质官山镇九年制学校王正学一、教材分析1、教材的地位与作用：等腰三角形的性质是新人教版八年级数学第十四章第三节的内容，它是在认识了轴对称性以及了解了全等三角形的判定的基础上进行的。
主要学习等腰三角形的“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形的预备知识，还是今后证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。
2．教学目标：①知识与技能目标：掌握等腰三角形的有关概念和相关性质。
熟练运用等腰三角形的性质解决等腰三角形内角以及边的计算问题。
②过程与方法目标：通过对性质的探究活动和例题的分析，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。
③情感态度与价值观：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
3．教学重点与难点重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质。
（这两个性质对于平面几何中的计算,以及今后的证明尤为重要，故确定为重点）难点：等腰三角形中关于底和腰，底角和顶角的计算问题。
（由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质特点很容易混淆，而且它们在用法和讨论上很有考究，只能从练习实践中获取经验，故确定为难点。
）二、教学方法和手段我采用探索发现法完成本节的教学，在教学中以学生参与为主，便于激发学生学习热情，体验成功的喜悦，通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样更有利于调动学生积极性，激发学生兴趣，使学生变被动学习为积极主动愉快学习，也符合数学教学的直观性和可接受性。
三、学法在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为学生通过动口、动手、动脑等活动，主动探索，发现问题；互动合作、解决问题；归纳概括，形成能力。
增强数学应用意识，养成及时归纳总结的良好习惯，这样做有利于活跃学生的思维，帮助他们探本求源，让每位学生都学有价值的数学。
等腰三角形的基本性质
等腰三角形
1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC , ABC 就是等腰三角形
顶角
2.等腰三角形的基本要素:
A
相等的两边叫做腰 另一边叫做 底边
腰
腰
两腰的夹角叫做顶角
腰和底边的夹角叫做底角
B 底角
底边
C 底角
B
A
C
AC=BC A 腰： AC，BC 底边： AB 顶角： C 底角： A， B
例1、已知：在△ABC中，AB = AC，∠B = 80°，
求∠C 和 ∠A的度数。
A
解：
∵ AB =AC
∴ ∠B = ∠C = 80°
B
C
Байду номын сангаас
又 ∵ ∠A + ∠ B + ∠C = 180°
∴ ∠A = 180°- 80° - 80°= 20°
例2、如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠1 和 ∠ADC的度数。
问题1、结论（2）用文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳 为什么？
等腰三角形的底边上的高、中线及顶角的平分线
互相重合，简称“三线合一”
A
(1)“等腰三角形”是三线合一的 大前提
B D C (2)要注意是哪三线?
等腰三角形的性质
B
C
AB=CB
腰： AB，CB 底边： AC 顶角： B 底角： A， C
二.等腰三角形性质的探索
做一做1：
在半透明的纸上，画一个等腰三角形，把它对折，让两腰 AB，AC重叠在一起，折痕为AD。
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14.3.1 等腰三角形(2)
教学目标
①会阐述、推证等腰三角形的判定定理．
②学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别．
③经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值．
教学重点与难点
重点：等腰三角形的判定定理的探索和应用．
难点：等腰三角形的判定与性质的区别．
教学准备
师生准备作图工具．
教案设计：
创设情境，提出问题
出示课本143页思考题．
学生思考、回答后教师设问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系?
注：以实际问题展开数学思考，突出数学与现实的联系．
学生猜想它们所对的边相等．
即：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的两条边也相等．
注：引导学生类比等腰三角形性质定理进行猜测、叙述．
如何验证?
学生根据命题画出图形，并写出已知、求证．
已知：如图在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC
学生寻求证明途径．
注：引发学生思考，寻求验证途径．
探索分析,解决问题
1．分析思路：引导学生类比等腰三角形性质的证明，添加辅助线，构造以AB，AC为边的两三角形，并证明它们全等．
注：让学生体验分析的重要性，逐步培养在几何证题中的分析能力．
学生深入讨论分析后发现：
此时辅助线可作AD⊥BC于D；或AD平分∠BAC交BC于D；但不能作BC边上的中线．2．得出等腰三角形的判定定理．
命题可以有以下几种叙述方法：
①如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”．(突出已知角与所对边的对应关系．)
②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．(突出判定等腰三角形的功能．)
注：多种叙述方法，使学生更好地理解等腰三角形的判定定理．
教师提示：注意纠正语言上不严谨的错误，不要说成：“如果一个三角形有两个底角相
等，那么它是等腰三
角形．”提高语言表述的严谨与科学．
应用举例,变式练习
出示教科书144页例2．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
注：及时巩固，反馈调控．
让学生再次经历命题的证明过程．
引导学生根据命题画图，利用平分线的性质及“等角对等边”来证明。
小组合作：试改变上题的条件与结论，编出类似的问题．
注：开放性的变式训练，培养学生思维的发散性．
课堂练习,拓展引申
出示教科书第144页例3．
师生共同分析，问题解决之后，继而引导学生思考：
已知底边与底边上的高，你能用尺规作图方法作出这个三角形吗?
学生动手探索，师生共同讲评．
注：通过这道题练习，一方面使学生巩固等腰三角形的知识，另一方面掌握等腰三角形的尺规作法．
课堂小结,知识梳理
1．通过这两节课的学习，你学会了几种判断等腰三角形的方法?
2．你会比较等腰三角形性质定理与判定定理的联系与区别吗?
注：通过比较，加深对两者的认识．
布置作业,自我评价
1．必做题：教科书第145页练习1、2、3．
2．选做题：教科书第150页习题14.3第9、10题．
3．备选题：
①先求证以下三个结论，然后归纳你发现的结论．
(1)已知：OD平分∠AOB，EO=ED．求证：ED∥OB．
(2)已知：OD平分∠AOB，ED∥OB．求证：EO=ED．
(3)已知：ED∥OB，EO=ED．求证：OD平分∠AOB．
备选题参考答案：
①利用等腰三角形性质定理与判定定理以及角平分线的性质来证明．发现的结论为：OD 平分∠AOB，EO=ED，ED∥OB．三者中已知任意两个就可推出第三个．(学生只要表述正确都应给以鼓励)
②如图，△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线交于点D．过点D作EF∥BC交AB于点E、交AC于点F．
求证：EF＝BE+CF．
③两个三角形，它们的内角分别为：(1)20°，40°，120°；(2)20°，60°，100。
．怎样把每个三角形分
成两个等腰三角形?画出图形试试看．
设计思想
1．利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的一种研究问题的方法．本节之前线段垂直平分线知识的学习以及以后学习平行四行形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法．
2．结合课堂例题教学，注重学生学习方法的培养．对于一个问题可“由因探果”，培养联想能力；可“执果索因”，培养分析能力；也可“两头夹攻”，提高解题水平．。