【精编】湖南湖北八市十二校2019届高三第二次调研联考数学(理)试卷(含答案)
湖南湖北八市十二校(湖南师范大学附属中学、衡阳八中等)2019届高三第二次调研联考数学(文)试题含答案
上两点 分别作抛物线的切线 ,若两切线垂直且交于
点
,则直线 的方程为
-2-
定的是甲；
④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 ＝1－2x，则 x 每增加 1
个单位， y 平均减少 2 个单位；
⑤统计的 10 个样本数据为 125，120， 122，105，130，114， 116， 95，120，134，
则样本数据落在 [114.5， 124.5)内的频率为 0.4.
湖南湖北八市十二校 2019 届高三第二次调研联考
文科数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．本试题卷共 5 页。时量 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。
1． 全集
，集合
，集合
，
则
A．
B．
C．
D．
2． 若复数
为纯虚数，则
＝
A．
B． 13
C． 10
D．
3． 若点 P( 3,4) 是角 的终边上一点，则 sin 2
其中是真命题的为
A ． ①②④
B．②④⑤
C． ②③④
D． ③④⑤
-1-
5． 函数 y x3 ln x2 1 x 的图象大致为
A.
B.
C.
6． 已知数列 { an} 的通项公式 an
D.
100
2019年届湖北省八校高中高三第二次联考试卷试题
湖北省鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中孝感高中荆州中学襄阳四中襄阳五中八校2019 届高三第二次联考数学 (理科 )试题命题学校：孝感高中命题人：王亚武娟蒋志方审题学校：荆州中学审题人：冯钢陈静监制：全品大联考·武汉全品教育科技有限企业彭西骏考试时间： 2019 年 3 月 27 日礼拜三下午3:00~5:00第 I 卷一、选择题 (本大题共12 小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的 )1.已知复数z2i）,则z的共轭复数在复平面内对应的点在（1iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知会合P{ x y x2x 2 , Q{ x ln x＜1} ,则P Q（）A.(0,2]B.[-2,e)C.(0,1]D.(1,e)3.空气质量指数AQI 是反应空气状况的指数,AQI 指数值越小 ,表示空气质量越好,其对应关系以下表：AQI 指数0~50 51~100101~150 151~200 201~300 ＞ 300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染以下图是某市10 月 1 日 ~20 日 AQI 指数变化趋向，以下表达错误的选项是（）A. 这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于100B. 这 20 天中的中度污染及以上的天数占1/4C. 该市 10 月的前半个月的空气质量愈来愈好D. 整体来说 ,该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.若等差数列 { a n} 的公差为 -2,a5是 a2与 a6的等比中项 ,则该数列的前（）n 项和Sn 获得最大值时,n 的值等于5.将5 个人从左至右排成一行,最左端只好排成甲或乙,最右端不可以排甲,则不一样的排法共有（）种种种种6.在△ ABC中,AD为BC 边上的中线,且AE ED,若EB AB u AC,则（）uB.-1D.1 337“. 勾股定理” 在西方被称为 “毕达哥拉斯定理”用数形联合的方法给出了勾股定理的详尽证明,三国期间吴国的数学家赵爽创制了一副 “勾 股圆方图” ，.以以下图所示的“勾股圆方图” 中，四个同样的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，此刻向该正方形6地区内随机地扔掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）3 3 C.4 - 33A. 1-B.4D.2248.函数 f ( x) 2 cos x(sin xcos x)( x[,0]) 的最大值为（）2 A.1- 2D. 129.已知抛物线 y 22px ( p ＞0) 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点 (点 A 在第一象限 ),若直线2 AF （ ）l 的倾斜角为,则3BF1 2 1 2 A.B.C.D.352310.如图 ,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. 2 2B. 10C. 2 3D.1311.已知双曲线x 2 y 2 1( a,b ＞0) 的左、右极点分别为A, B ,右焦点为 F ,过点 F 且垂直于a2b2x 轴的直线 l交双曲线于 M,N 2点 , P 为直线 l上的一点，当 APB的外接圆面积达到最小值时, P点恰幸亏 M (或 N)处 ,则双曲线的离心率为（ ）A.2B. 3D. 512.已知函数 f ( x)1 x2 1, x 0,若函数 g( x)f (x) kx 有且只有 2 个零点 ,则实数 k 的取值范2 xx ＜2 ln(1),围为（）11 A.(0,2) B.(0,2)C.(2,+ )D.(2,2)第II卷二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每题 5 分 ,共 20 分 ,把正确答案填在答题卡)x213.若 x, y 知足y2x,则x2y 的最小值为_____.x y314.已知函数 f (x)x3(a1) x23ax 1 ,若 f (x) 在x1处获得极值,则曲线y f ( x) 在点(0,f(0))处的切线方程为 ____.15.已知数列 { a} 知足 a =2a+2-1(n∈ N*, n≥ 2),若 a =65,则 a =____.n n n- 1 n4116.设 ( a, b)(a b)2(ln a b2) 2b2(a＞0, b R) ,当a, b变化时(a, b)的最小值为_____.44三、解答题 (本大题分为必考题和选做题两部分共70 分)17． (12 分 )在△ ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别是a,b,c，且向量 m=(2a-c,b)与向量 n=(cosC,cosB)共线。
湖南湖北八市十二校2019届高三第二次联考文科数学试题及答案解析
湖南湖北八市十二校2019届高三第二次调研联考文科数学试题【时量120分钟；满分150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．全集，集合，集合，则A．B．C．D．2．若复数为纯虚数，则＝A．B．13 C．10 D．3．若点(3,4)P-是角α的终边上一点，则sin2α=A．2425-B．725-C．1625D．854．给出下列五个命题：①将A，B，C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的A种个体有9个，则样本容量为30；②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为＝1－2x，则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在[114.5，124.5)内的频率为0.4.其中是真命题的为 A ． ①②④B ． ②④⑤C ． ②③④D ． ③④⑤5．函数)3lny x x=+的图象大致为A. B. C. D.6．已知数列{}n a 的通项公式100n a n n =+，则122399100a a a a a a -+-++-=A.150B. 162C. 180D. 2107．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．508．已知121231ln ,,2x x e x -==满足33ln x e x -=，则 A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<9．已知 的一内角， 为 所在平面上一点，满足 ，设 ，则 的最大值为 A ．B ．C ．D ．10．过抛物线 上两点 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点 ,则直线 的方程为A．B．C．D．11．已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是A．B．C．D．64 12．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，已知点的坐标为，双曲线上的点满足，则A．4 B．2 C．1 D．-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南湖北八市十二校(湖南师范大学附属中学、衡阳八中等)2019届高三理综第二次调研联考试题
湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三理综第二次调研联考试题全卷满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选途其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 Ag 108第Ⅰ卷(共126分)一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列操作能达到实验目的的是A．在普通光学显微镜下观察紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞，其细胞核清晰可见B．在探究光照强度对光合作用强度影响的实验中，将所用台灯的灯管涂成红色，可以缩短小圆形叶片上浮的时间C．将14C标记的大肠杆菌在12C培养基中培养，提取子代DNA进行密度梯度离心，证明其进行半保留复制D．在“探究a-萘乙酸促进插条生根的最适浓度”实验中，用高浓度的a-萘乙酸溶液浸泡插条基部一天后，观察生根情况以确定最适浓度2．呼吸系统疾病是一种常见多发病，主要病变部位在气管、支气管、肺部及胸腔。
下列分析正确的是A．矿工中常见的“硅肺”是由肺泡细胞中的溶酶体缺乏分解硅尘的酶引起的B． S型肺炎双球菌导致人体患肺炎时,是其利用人体细胞的核糖体合成蛋白质C．囊性纤维病的发病机理说明基因可以通过控制蛋白质的结构直接控制生物性状D．导致肺结核病的结核杆菌是胞内寄生菌，所以只需要通过细胞免疫便可清除3．图是人小肠上皮细胞吸收葡萄糖的过程简图，其中GLUT2是细胞膜上的葡萄糖载体，Na+/K+ATPase是钠钾ATP酶，据图分析下列说法错误的是：A．小肠上皮细胞面向肠腔的细胞膜形成较多微绒毛可以增加细胞膜上载体蛋白的数量，高效的吸收葡萄糖等营养物质B．图中所示的小肠上皮细胞膜上的蛋白质的功能有催化、运输、信息交流和密封细胞间隙的作用葡萄糖通过Na+驱动的葡萄糖同向转运载体进入小肠C．上皮细胞，此运输方式为主动运输D． Na+/K+ATPase也存在神经元细胞膜上，参与了动作电位恢复为静息电位的过程4．图甲为人类某种遗传病的系谱图，已知某种方法能够使正常基因显示一个条带，致病基因则显示为位置不同的另一个条带（若显示两个条带说明此人是杂合子）。
2019届湖北省八校(鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中)高三第二次联考数学(理)试题答案
湖北省八校2018届高三第二次联考参考答案及评分说明 理科数学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A D B C D B A B A A C
13．10 14．2 15．21e 16．443 【提示】 11．若//BCx轴；不妨设AC与x轴交于点G，过A作//ADx交直线l于点D
则：FDAGDEBCACCD，EGCEADCD两次相除得：FGADDEEGBCCE
又由第二定义：ADAFDEBCBFCE1FGEGG为EF的中点 反之，直线AB斜率为零，则BC与x轴重合 12．构造函数ln()xFxx求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数ln()xFxx也可）
16．设,ADCACD，由余弦定理可知：22016cosAC， 212cos8ACAC
又由正弦定理：22sinsinsinsinACAC
211312sin312sin()2(sincos)2()2322228BCDACSBCCDBCBCACAC
4sin()433
所以最大值为443 17．（1）1(1)nna或nan；（2）32342(1)(2)nnTnn．
解析：（1）当1n时，21112Saa，则11a 当2n时，2211122nnnnnnnaaaaaSS， 即111()(1)0nnnnnnaaaaaa或11nnaa 1(1)nna或
n
an
…………………………6
分
（2）由0na，nan，1111()(2)22nbnnnn
1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)nnTnnnnnn
………………12分
18．（1）见解析；（2）155． 解析：（1）设AC与BD相交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD为菱形，∴ACBD，且O为AC中点， ∵FAFC，∴ACFO, 又FOBDO，∴AC平面BDEF.…………………5分
湖北省八校(鄂南高中.黄石二中.华师一.黄冈中学.荆州中学.)2019届高三第二次数学(理科)(解析版)
湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中）2019届高三第二次联合考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合xA {y |y 2,x R}==∈，B {x |y x R}==∈，则A B (⋂=)A.{}1 B.()0,∞+ C.()0,1 D.(]0,1【答案】D 【解析】【分析】化简集合,A B ，根据交集的定义计算A B ⋂．【详解】因为集合{}()|2,0,xA y y x R ==∈=+∞，化简{}(]|1B x y x R ，==∈=-∞，所以(]0,1A B ⋂=，故选D ．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合．2.若复数z 满足22+zi =z -i （i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则|1|z +=（）A.B.2C.D.3【答案】A【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解.详解：由2i 2i z z +=-，得()1i 22i z -=+，则()()()221i 22i2i 1i 1i 1i z ++===--+，112i z ∴+=-，则1z +=，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知矩形ABCD 中，4,3AB AD ==.如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（）A.14B.13C.47D.49【答案】D 【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积不小于2，由于122ABP S AB h h =⨯=，则三角形的高要h ⩾1,同样,P 点到AD 的距离要不小于43，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是()41643133⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为：1643439=⨯.故选D.4.已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f -x <的解集为（）A.(2,4)B.(,2)(4,)-∞⋃+∞ C.(-1,1)D.(,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a，b 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．【详解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax 2+（b-a）x-b 为偶函数，∴f（-x）=f（x），则ax 2-（b-a）x-b=ax 2+（b-a）x-b，即-（b-a）=b-a，得b-a=0，得b=a，则f（x）=ax 2-a=a（x 2-1），若f（x ）在（0，+∞）单调递减，则a＜0，由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0，得x＞4或x＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞），故选B．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b 的关系是解决本题的关键．5.已知双曲线222:12x y C a a-=-，则实数a 的值为()A.1B.2- C.1或2- D.1-【答案】C 【解析】分析：可用排除法，验证1a =与2a =-是否符合题意即可得结果.详解：可用排除法，当1a =时，22212x y a a-=-化为221x y -=，离心率为1=当2a =-时，22212x y a a -=-化为22122y x -=，=，符合题意,a 的值为1,2-，故选C.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率.6.等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则()A.A B C +=B.2B AC=C.()2A B C B +-= D.()22A B A B C +=+【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，则有,,A B A C B --构成等比数列，()()2B A AC B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，()22A B A B C ∴+=+，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输入m 0=，n 2=，输出的x 1.75=，则空白判断框内应填的条件可能是()A.m n 1-<B.m n 0.5-<C.m n 0.2-<D.m n 0.1-<【答案】B 【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会结束，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行，21,130x =-<，1m =，返回；第二次执行，12322x +==，23()302-<，32m =，返回；第三次执行，327224x +==，27()304->，74n =，要输出x，故满足判断框，此时371244m n -=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进行模拟运行，结合题的条件，求得结果.8.将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A.24x π=-B.4x π=C.524x π=D.12x π=【答案】A 【解析】分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24,32x k k Z πππ+=+∈，得1,424x k k Z ππ=-∈，当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.9.在239(1x)(1x)(1x)++++⋯++的展开式中，含2x 项的系数是()A.119B.120C.121D.720【答案】B 【解析】分析：展开式中含2x 项的系数是22222349...C C C C ++++，利用组合数的运行性质计算即可.详解：()()()239111x x x ++++++ 的展开式中，含2x 项的系数是2222322223493349......C C C C C C C C ++++=++++3223244959.........C C C C C =+++=++=3239910120C C C =+==，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及组合式的性质，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为()A.1603B.160C.2563D.64【答案】A 【解析】【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知椭圆C ：22x y 143+=，直线l ：x 4=与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，点C 在直线l 上，则“BC //x 轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：若//BC x 轴，不妨设AC 与x 轴交于点G ，过A 作//AD x 交直线l 于点D ，由平行线的性质结合椭圆第二定义可得1FGEG=，进而可得结果.详解：若//BC x 轴，不妨设AC 与x 轴交于点G ，过A 作//AD x 交直线l 于点D ，则：FG AG DE EG CEBC AC CD AD CD===，，两次相除得：FG AD DEEG BC CE⋅=，又由第二定义可得,1AD AF DE FGBC BF CE EG==∴=，G ∴为EF 的中点，反之，直线AC 过线段EF 中点，直线AB 斜率为零，则BC 与x 重合，所以“BC x 轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.12.下列命题为真命题的个数是()ln3<①；lnπ<②；15<③；3eln2④<A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()lnx f x x =，然后通过导数计算出函数()lnxf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()lnxf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】构造函数()lnx f x x =，导数为()21'lnxf x x -=，当0x e <<时，()'0f x >，()f x 递增，x e >时，()'0f x <，()f x 递减，可得当x e =时()f x 取得最大值1e ．232222ln ln <⇔⇔2e <<可得()2f f <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；由()()1615f f <<4ln 24<，ln 2<，所以ln 22<()()215f f <，故③正确；813282ln eln e e<⇔<<，由()f x 的最大值为1e ，故④正确，综上所述，故选C ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.平面向量a 与b 的夹角为45，()1,1a =- ，b 1 =，则a 2b += ______．.【解析】【详解】分析：先计算||a ，再利用向量模的公式求2a b +.详解：由题得a||=，所以2a b +==.点睛：(1)本题主要考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)若(,)a x y =，则a ==14.已知实数,x y 满足约束条件2001x y x y k x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最小值为3，则常数k =__________．【答案】-2.【解析】分析：画出可行域，将2z x y =+变形为122z y x =-+，平移直线122z y x =-+由图可知当直122zy x =-+经过点()1,1k --时，直线在y 轴上的截距最小，根据2z x y =+的最小值为3列方程求解即可.详解：画出2001x y x y k x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩约束条件表示的可行域，如图，由010x y k x ++=⎧⎪⎨⎪-=⎩可得11x y k =⎧⎪⎨⎪=--⎩，将2z x y =+变形为122z y x =-+，平移直线122zy x =-+,由图可知当直122zy x =-+经过点()1,1k --时，直线在y 轴上的截距最小，根据2z x y =+的最小值为3可得1223k --=，解得2k =-，故答案为2-.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.考虑函数xy e =与函数y lnx =的图象关系，计算：2e 1lnxdx =⎰______．【答案】21e +.【解析】分析：根函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称，所以两部分阴影面积相等，利用21ln e xdx =⎰()2xe e dx -⎰求解即可.详解：函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称，所以两部分阴影面积相等，又 函数x y e =直线2y e =的交点坐标为()22,e，21ln e xdx =⎰()()2222200|1x x ee dx e x e e -=-=+⎰，故答案为21e +.点睛：本题主要考查反函数的性质、定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AD 2=，CD 4=，ABC 为正三角形，则BCD 面积的最大值为___．【答案】43+【解析】【分析】本题首先可以先设ADC ∠α=、ACD ∠β=，然后通过余弦定理得出22016AC cos α=-以及2128AC cos ACβ+=，再然后通过正弦定理得出2sin sin AC αβ=，最后根据解三角形面积公式即可得出结果．【详解】设ADC ∠α=，ACD ∠β=，由余弦定理可得222422422016AC cos cos αα=+-⨯⨯=-，2128AC cos ACβ+=，由正弦定理可得AD AC sin sin βα=，即2sin sin ACαβ=，所以11322322BCD S BC CD sin BC sin cos πβββ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212i 31220161222i 344322883s n AC cos BC s n sin AC AC ααπαα⎛⎫+-+⎛⎫=⋅⋅+=+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当56πα=时，BCD 面积最大，最大值为443+【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查解三角形的相关公式的使用，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，体现了基础性和综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n n S a a n N=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*0n a n N>∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)1(1)n n a -=-或n a n =.(2)32342(1)(2)n n T n n +=-++.【解析】【详解】分析：（1）2211122n n n n n n n a a a aa S S ---++=-=-，即()()11110n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+，()11n n a -=-或n a n =；(2)由0n a >，可得n a n =，()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和即可.详解：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a aa S S ---++=-=-，即()()11110n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+∴()11n n a -=-或n a n =或1)1( 32 4n n n a n n --⎧≤=⎨-≥⎩ （2）由0n a >，∴n a n =，()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴()()1111111111323112324222124212n n T n n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+-++-=+--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 18.如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠== ．()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析.(2)5.【解析】【分析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD .可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()1,0AD =-，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点，∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，AC =∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =.∴)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(F ，∴()1,0AD =-，(AF =，()AB=.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0AF n AB n y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得()n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，则·sin cos ,5·AD n AD n AD nθ===.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a ，用电量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费.为此，政府调查了100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)[)260.280,280,300分组的频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图的数据，求直方图中x 的值并估计该市每户居民月平均用电量μ的值；()2用频率估计概率，利用()1的结果，假设该市每户居民月平均用电量X 服从正态分布()2N μ,σ()ⅰ估计该市居民月平均用电量介于μ240～度之间的概率；()ⅱ利用()ⅰ的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于μ240～度之间的户数为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．【答案】(1)225.6.(2)（i）15；（ii）分布列见解析；3()5E Y =.【解析】分析：（1）由矩形面积和为1列方程可得0.0075x =，利用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市每户居民平均用电量μ的值；(2)（i）由正态分布的对称性可得结果；（ii）因为13,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()3314 55i ii P Y i C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2,3i =，从而可得分布列，利用二项分布的期望公式可得结果.详解：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得0.0075x =1700.041900.192100.22+2300.25+2500.152700.12900.05225.6μ=⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯=（2）（i）11(225.6240)[12(240)]25P X P X <<=->=（ii）因为13,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，∴()331455i iiP Y i C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2,3i =.所以Y 的分布列为Y0123P6412548125121251125所以()13355E Y =⨯=点睛：“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．20.如图所示，圆O ：22x y 4+=，()A 2,0，()B 2,0-，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线x 2=和x 2=-于E ，F 两点，连AF ，BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C ．()1记AF ，BE 斜率分别为1k ，2k ，求12k k ⋅的值并求曲线C 的方程；()2设直线l ：()y x m m 0=+≠与曲线C 有两个不同的交点P ，Q ，与直线x 2=交于点S ，与直线y 1=-交于点T ，求OPQ 的面积与OST 面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值．【答案】(1)121·4k k =-,2214x y +=（0y ≠）.(2)53m =-时，λ取得最大值5.【解析】分析：（1）先证明121·4k k =-，设(),G x y ，由121·4k k =-1·224y y x x ⇒=--+2214x y ⇒+=（0y ≠）故曲线C 的方程为2214x y +=（0y ≠）；(2)由22225844044y x m x mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，利用韦达定理、弦长公式可得|PQ ，直线l 与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T ，可得()2,2S m +，()1,1T m ---，)3ST m =+，OPQ OSTS PQS ST λ∆∆===，利用换元法结合二次函数配方法可得结果.详解：（1）设()00,D x y （00y ≠），易知过D 点的切线方程为004x x y y +=，其中22004x y +=则00422,x E y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00422,x F y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴00220000122200424216441··4416164x x y y x y k k y y -+--====---设(),G x y ，由121·4k k =-1·224y y x x ⇒=--+2214x y ⇒+=（0y ≠）故曲线C 的方程为2214x y +=（0y ≠）（2）22225844044y x mx mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1285x x m +=-，21244·5m x x -=，由()226420440m m ∆=-->m ⇒<<0m ≠，2m ≠±|PQ =∵直线l 与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T ∴()2,2S m +，()1,1T m ---∴)3ST m ==+∴OPQ OSTS PQS ST λ∆∆===，令3mt +=，(3t ∈+且1,3,5t≠则λ==当134t=，即43t =，53m =-时，λ取得最大值5.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21.已知函数()()2xf x 1axe1=+-．()1当a 0≥时，讨论函数()f x 的单调性；()2求函数()f x 在区间[]0,1上零点的个数．【答案】(1)见解析.(2)当11a e≤-时，()f x 在区间[0,1]上有2个零点；11a e >-时，()f x 在区间[0,1]上有1个零点.【解析】分析：（1）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；(2)当01a ≤≤时，()f x 在[]0,1单调递增在区间[]0,1上有一个零点；当1a >时，() f x 在[]0,1单调递增，() f x 在区间[]0,1上有一个零点；当0a <时，()f x 在[]0,1单调递增，() f x 在区间[]0,1上有一个零点；13a <-时，1113a e -<<-时，()f x 在0,1⎡-+⎢⎣单调递增，在1⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递减，()f x 在区间[]0,1上有一个零点；11a e ≤-时，()f x 在区间[]0,1上有零点0x =和在区间1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有一个零点共两个零点.详解：（1）∵()()2'21xf x ax ax e=++当0a =时，()'0xf x e =≥，此时()f x 在R 单调递增；当0a >时，244a a∆=-①当01a <≤时，0∆≤，2210ax ax ++≥恒成立，∴()'0f x ≥，此时()f x 在R 单调递增；②当1a >时，令()1'01f x x =⇒=-21x =-x()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +-+()f x ↗↘↗即()f x 在,1⎛-∞-- ⎝和1⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在11⎛---+ ⎝上单调递减；综上：当01a ≤≤时，()f x 在R 单调递增；当1a >时，()f x 在,1⎛-∞- ⎝和1⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在11⎛---+ ⎝上单调递减；（2）由（1）知，当01a ≤≤时，()f x 在[]0,1单调递增，()00f =，此时()f x 在区间[]0,1上有一个零点；当1a >时，10-<且10-+<，∴()f x 在[]0,1单调递增；()00f =，此时()f x 在区间[]0,1上有一个零点；当0a <时，令()'010f x x =⇒=->（负值舍去）①当11-≥即103a -≤<时，()f x 在[]0,1单调递增，()00f =，此时()f x 在区间[]0,1上有一个零点；②当11-<即13a <-时，若()10f >即1113a e -<<-时，()f x 在0,1⎡-⎢⎣单调递增，在1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，()00f =，此时()f x 在区间[]0,1上有一个零点；若()10f ≤即11a e ≤-时，()f x 在0,1⎡-+⎢⎣单调递增，在1⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递减，()00f =，此时()f x 在区间[]0,1上有零点0x =和在区间1⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦有一个零点共两个零点；综上：当11a e≤-时，()f x 在区间[]0,1上有2个零点；11a e>-时，()f x 在区间[]0,1上有1个零点.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.已知直线l 的参数方程为2x t 2(t 2y a t 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，a R)∈，曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ4cosθ=．()1分别将直线l 的参数方程和曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；()2若直线l 经过点()0,1，求直线l 被曲线C 截得线段的长．【答案】(1)0x y a +-=；24y x =.(2)8.【解析】分析：（I ）先去参数得到直线l 的直角坐标方程，再将曲线C 的极坐标方程两边乘以ρ，根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可得出曲线C 的直角坐标方程；（II ）根据直线l 经过点()0,1，即可求得a ，将直线l 的参数方程代入到曲线C 的直接坐标方程，结合韦达定理及弦长公式，即可求得直线l 被曲线C 截得线段的长．详解：（I ）显然y x a =-+⇒0x y a +-=.由2sin 4cos ρθθ=可得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =.(II)∵直线l ：2222x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩过()0,1，则1a =,∴将直线l 的参数方程代入24y x =得220t ++=，12122t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩由直线参数方程的几何意义可知，128AB t t =-===.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式），先去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程转化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y yxρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.23.已知函数()241,f x x x x R =-++∈（1）解不等式()10f x ≤；（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）[]2,4-；（II ）19[,7]4.【解析】【分析】（1）根据()10f x ≤，利用分类讨论便可得到最后解集；（2）根据方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解转化为函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[]0,2上有交点，从而得解．【详解】（1）()10f x ≤可化为1023310x x >⎧⎨-≤⎩或12510x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或13310x x <-⎧⎨-+≤⎩；2＜x≤133或或73-；不等式的解集为713,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由题意：()2f x x a =-+[]25,0,2a x x x ⇔=-+∈故方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[]0,2上有交点当[]0,2x ∈时，][219195,7,744y x x a ⎡⎤=-+∈∴∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查绝对知不等式的求解和应用，主要是利用分类讨论的方法去掉绝对值符号；关于方程解的问题直接用方程思想和数形结合转化为函数图像交点问题便可得解．。
湖南湖北八市十二校(湖南师范大学附属中学、衡阳八中等)2019届高三第二次调研联考数学(文)试题含答案
湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{|B y y ==，则()U A B =ð（ ）A. []1,2B. [)1,2C. (]1,2D. ()1,22.若复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A.B. 13C. 10D.3.若点4(3,)P -是角α的终边上一点，则sin2α=（ ）A. 2425-B. 725-C.1625D.854.给出下列五个命题：①净,,A B C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容易为30； ②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲；④已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为12y x =-．则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在114.5,[124.5)内的频率为0.4 其中真命题为（ ）A. ①②④B. ②④⑤C. ②③④D. ③④⑤5.函数)3lny x x =+的图象大致为（ ）A.B.C.D.6.已知数列{}n a 的通项公式100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-+⋯+-= （ ） A. 150B. 162C. 180D. 2107.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足()1)1(f x f x -=+，若2(1)f =，则()()(123)()50f f f f +++⋯+= （ ）A. 50-B. 0C. 2D. 508.已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A. 123x x x <<B. 132x x x <<C. 213x x x <<D. 312x x x <<9.已知ABC ∆的一内角3πA =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+，则m n +的最大值为（ ）A.23B. 1C.43D. 210.过抛物线20)2(x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点2(1,)P -，则直线AB 的方程为（ ）A. 122y x =+ B. 134y x =+ C. 132y x =+ D. 124y x =+ 11.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是（ ） A.163B.323C.643D. 3212.以椭圆221139x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点0000(),,(00)P x y x y >>满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ）A. 2B. 4C. 1D. 1-二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为56，则判断框中的条件i m <中的整数m 的值是______．14.函数()2sin ,[,0]4f x x x ππ⎛⎫=-∈-⎪⎝⎭的单调递减区间为______． 15.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是______．16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ABC ∆中，内角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，且2c =．（1）若3πA =，3b =，求sin C 的值； （2）若22sin cossin cos 3sin 22B A A B C +=，且ABC ∆的面积25sin 2S C =，求a 和b 的值．18.如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．19.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位：盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润． （1）根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数 （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）并结合频率分布直方图估计利润y 不少于4000元的概率．20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点12⎫⎪⎭，焦点12(,F F ，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ∆，求直线l 的方程．21.知函数()()()221ln f x a x ax a R x=---∈． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）设函数()()12x e ax ag x f x x--+=-，若2x =是()g x 的唯一极值点，求a ．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ （ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ= （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线3C 的极坐标方程为,0,R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C与2C 的交点，且,A B 均异于原点O ，且AB =，求实数α的值． 23.已知2(2)f x ax x =--+． （1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式(44)f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：{}{}{}2018log 1|()|101|A x y x x x x x ==-=->=>，{{}||2B y y y y ====≥，则{}|2U B x x =<ð， 则{})2(|1U AB x x =<<ð，故选：D ．求出集合的等价条件，结合集合交集，补集的定义进行计算即可． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2.【答案】A 【解析】 解：由2(2)(1)(2)(2)221(1)(1)222a i a i i a a i a a i i i i ----+---+===-++-．因为复数2()1a ia R i -∈+为纯虚数，所以202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得2a =．所以332ai i -=-==． 故选：A ．把给出的复数化简，然后由是不等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题． 3.【答案】A 【解析】解：∵点4()3,P -是角α的终边上一点，∴43sin ,cos 55αα====-，则24sin 22sin cos 25ααα==-， 故选：A ．利用任意角的三角函数的定义求得sin α、cos α的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin 2α的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题 4.【答案】B 【解析】解：①样本容易为39186÷=，∴①错误； ②数据1、2、3、4、5的平均数为115(12345)355++++==，众数、中位数都是3，∴②正确； ③甲组数据的方差为5，乙组数据的平均数为56910575++++=，方差为22222141494(57)(67)(97)(107)(57) 5.255++++⎡⎤-+-+-+-+-==⎣⎦小于甲的方差，∴乙稳定，∴③错误；④已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为12y x =-．则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位，∴④正确；⑤样本数据落在114.5,[124.5)内的有120，122，116，120共4个，∴所求频率为40.410=，∴⑤正确．故选：B ．根据统计的相关知识和有关概念分别进行判断即可．本题主要考查统计的有关知识，要求熟练掌握统计的有关概念，比较基础． 5.【答案】B 【解析】解：由题意，)3()()ln()f x x x f x -=-+=-，函数是奇函数，10,2()()82)0f f ==+>，故选：B ．确定函数是奇函数，利用10,2()()82)0f f ==+>，即可得出结论． 本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，比较基础． 6.【答案】B 【解析】解：10020n a n n =+≥=， 可得当110n ≤≤时，数列{}n a 递减，11n ≥时，数列{}n a 递增， 可得122399100||a a a a a a -+-+⋯+-12239101110121110099a a a a a a a a a a a a =-+-+⋯+-+-+-+⋯+- 1101001011001001210(162)01a a a a =-+-=+++-+=．故选：B ．判断当110n ≤≤时，数列{}n a 递减，11n ≥时，数列{}n a 递增，由裂项相消求和，化简计算可得所求和． 本题考查数列的单调性的判断和运用，考查裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题． 7.【答案】C 【解析】解：∵()f x 是奇函数，且()1)1(f x f x -=+， ∴()()11(,0()1)0f x f x f x f -=+=--=，则()()2f x f x +=-，则()(42)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数， ∵2(1)f =，∴200,31()()()()211()(2)f f f f f f ===-=-=-=-，()4)00(f f ==，则()()(12342020)0()f f f f +++=+-+=，则()()()()[()()1235012123()()]()(44950)f f f f f f f f f f +++⋯+=+++++12()()202f f =+=+=，故选：C ．根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可． 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键． 8.【答案】A 【解析】 解：∵0x e ->； ∴3ln 0x >； ∴31x >；又1021ln ln10,012e e -<=<<=；∴123x x x <<． 故选：A ．可以看出3ln 0x >，从而得出31x >，又可看出121ln 0,012e -<<<，从而得出123,,x x x 的大小关系．考查指数函数的值域，对数函数和指数函数的单调性． 9.【答案】A 【解析】解：由题意可知，O 为ABC ∆外接圆的圆心，如图所示，在圆O 中，弧CAB 所对的圆心角为23π，点,A B 为定点，点C 为优弧上的动点，则点,,,A B C O 满足题中的已知条件，延长AO 交BC 于点D ， 设AO AD λ=，由题意可知：1mnAD AO AB AC λλλ==+，由于,,B C D 三点共线，据此可得：1mnλλ+=，则m n λ+=，则m n +的最大值即||||AO AD λ=的最大值， 由于||AO 为定值，故||AD 最小时，m n +取得最大值， 由几何关系易知当AB AC =时，||AD 取得最小值，此时||23||AO AD λ==． 故选：A ．由条件知O 为ABC ∆外接圆的圆心，设AO AD λ=，利用,,B C D 三点共线，建立方程关系进行转化求解即可．本题主要考查向量基本定理的应用，利用三点关系，得到1mnλλ+=是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 10.【答案】D 【解析】解：由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设1122,,()(),A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-，点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-， 由21122222x x y x p p x x y x p p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222x x x x x yp +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又两切线交于点2(1,)P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故得12122,4x x x x p +==- （*）．∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-，故212x x p =-，∴4p =， 故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+，由28y kx b x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=，∴12128,8x x k x x b +==- （**）， 由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+． 故选：D ．设出,A B 的坐标，根据导数的几何意义求得切线,PA PB 的方程，利用两切线垂直且交于P 可得抛物线方程，然后设出直线AB 与抛物线联立可求得直线AB 的方程．本题考查了抛物线的性质，属中档题．11.【答案】B【解析】 解：设,AB m AC n ==，则12ABC S mn ∆=ABC ∆的外接圆直径BC =取BC 的中点M ，则当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积最大此时球心O 在PM 上，max 11332V mn ⎫=⨯⨯⎪⎪⎭221334m n ⎫+≤⨯⨯⎪⎪⎭令224m n t +=，则1()3)3f t t = 1'()33f t ⎫=+⎪⎭由)0(f t '=，解得0t = （舍），8t =，()f t 在(0,8)递增，在(8,9)递减故()8f 最大，为323所以三棱锥P ABC -的最大体积为323 故选：B ．设,AB m AC n ==，表示出三角形ABC 的面积，和三棱锥的最大体积，再通过换元构建新的函数，利用导数求极值．此题考查了球截面的问题，棱锥的体积，导数的应用等，综合性强，难度大．12.【答案】A【解析】解：∵椭圆221139x y +=，∴其顶点坐标为、(，焦点坐标为(2,0)、()2,0-，∴双曲线方程为22149x y -=， 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1MF 在1PF 与21F F 方向上的投影相等，∴11||||F A F B =，∴11111,tan 5MA MF A MF B MF A F A ∠=∠∠==， ∴112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∠===-∠-， ∴直线1PF 的方程为5(3)12y x =+． 即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴2PF x ⊥轴，又2tan 1MF O ∠=，所以245MF O ∠=︒，即M 为12PF F ∆内切圆的圆心，∴()121211|||14222PMF PMF S S PF PF ∆∆-=-⨯=⨯=． 故选：A ． 通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M 是12F PF ∆的内切圆的圆心，利用三角形面积计算公式计算即可．本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．13.【答案】6【解析】 解：第一次循环：110122S =+=⨯，112i =+=； 第二次循环：114,2132236S i =+==+=⨯；第三次循环：413,3146344S i =+==+=⨯； 第四次循环：314,4154455S i =+==+=⨯； 第五次循环：415,5165566S i =+==+=⨯；输出S ，不满足判断框中的条件； ∴判断框中的条件为6i <？故答案为：6．首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i 的关系．最终得出结论．本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题14.【答案】,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】解：∵()2sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴2sin 4()f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴函数2sin 4()f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭的递减期间即为2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭递增区间， 由22242k x k πππππ-+≤-≤+， 得322,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴当0k =，函数的递减区间为,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∴当,0[]x π∈-的单调递减区间为,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故答案为：,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 利用三角函数的图象和性质以及复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象性质，利用复合函数单调性之间单调性的关系是解决本题的关键．15.【答案】323【解析】 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB 为等腰直角三角形，直角边长为4，侧面PBC ⊥底面ABC ，高4AO =，∴该四面体的体积是1132444323V =⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：323． 由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，底面三角形ACB 为等腰直角三角形，直角边长为4，侧面PBC ⊥底面ABC ，高4AO =，再由棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.【答案】4【解析】解：当1n =时，21122S a =-，得14a =；当2n ≥时，1122n n n S a --=-，两式相减得1222n n n n a a a -=--，得122n n n a a -=+， ∴11122n n n n a a ---=． 又122a =，∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，12n n a n =+，即(1)2n n a n =+⋅． ∵0n a >，∴不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352n n λ-->． 记232n n n b -=，2n ≥时，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--．∴3n ≥时，11n n b b +<，()3max 38n b b ==． ∴358λ->，即337588λ<-=， ∴整数λ的最大值为4． 由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求出通项后代入不等式223(5)n n n a λ--<-，整理后得到2352n n λ-->．然后根据数列232n n n b -=的单调性求得最值得答案． 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了恒成立问题，是中档题． 17.【答案】解：（1）ABC ∆中，2c = ，3πA =，3b =； 由余弦定理得，2222cos 94232cos73a b c bc A π=+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =…（3分） 由正弦定理sin sin a c A C=，得2sinsin 7C π⋅==；…（6分）（2）由22sin cossin cos 3sin 22B A A BC +=， 降幂得1cos 1cos sin sin 3sin 22B A A B C ++⋅+⋅=， 化简得sin sin 5sin A B C +=，…（8分）即510a b c +==①； 又125sin sin 22S ab C C ==， 得25ab =②；…（10分）由①②解得5a b ==．…（12分）【解析】（1）由余弦定理和正弦定理，即可求得sin C ；（2）由题意，利用降幂公式和正弦定理，结合三角形的面积公式，即可求得a b 、的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形的面积公式应用问题，是综合题．18.【答案】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM 中，90ACM ∠=︒ ，∴AB AC ⊥，又AB DA ⊥．且AD AC A =，∴AB ⊥面ADC ，∵AB ⊂面ABC ，∴平面ACD ⊥平面ABC ；（2）∵3,90AB AC ACM ==∠=︒，∴AD AM ==∴23BP DQ DA === 由（1）得DC AB ⊥，又DC CA ⊥，∴DC ⊥面ABC ，∴三棱锥Q ABP -的体积1133ABP V S DC ∆=⨯ 121121133313333323ABC S DC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 【解析】（1）可得,AB AC AB DA ⊥⊥．且AD AC A =，即可得AB ⊥面ADC ，平面ACD ⊥平面ABC ；（2）首先证明DC ⊥面ABC ，再根据23BP DQ DA ==，可得三棱锥Q ABP -的高，求出三角形ABP 的面积即可求得三棱锥Q ABP -的体积．本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得需求量为100,[120)的频率为0.005200.1⨯=，需求量为120,[140)的频率为0.01200.2⨯=，需求量为140,[160)的频率为0.015200.3⨯=，需求量为160,[180)的频率为0.0125200.25⨯=，需求量为180,[200)的频率为0.0075200.15⨯=，则平均数：1100.11300.21500.31700.251900.15153=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100160x <≤时，30101600(40160)y x x x =--=- ，当160200x <≤时，301604800y =⨯=所以401600,1001604800,160200x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩ ，x N ∈． （3）因为利润不少于4000元，所以4016004000x -≥，解得140x ≥．所以由（1）知利润不少于4000元的概率10.10.20.7P =--=．【解析】（1）由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量x 的平均数．（2）因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100160x <≤时，30101600(40160)y x x x =--=-，当160200x <≤时，301604800y =⨯=，由此能将y 表示为x 的函数．（3）由利润不少于4000元，得4016004000x -≥，由此能求出利润不少于4000元的概率．本题考查平均数、函数表达式、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为()22221,0x y a b a b+=>>，∵焦点12(,F F ，∴c = ∵∴223114a b+=，又2223a b c -==， 解得2,1a b ==．∴椭圆C 的方程为：2214x y +=，圆O 的方程为：223x y +=． （2）①可知直线l 与圆O 相切，也与椭圆C ，且切点在第一象限，因此k 一定小于0，∴可设直线l 的方程为,0,0()y kx m k m =+<>．由圆心(0,0)到直线l ，可得2231m k=+，即2233m k =+． 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，可得222()418440k x kmx m +++-=，222()()()8441440km k m ∆=-+-=，可得2241m k =+，∴223341k k +=+，结合0,0k m <>，解得k =3m =．将k =3m =代入223x y y kx m⎧+=⎨=+⎩可得220x -+=，解得,1x y ==，故点P的坐标为．②设1122,,()(),A x y B x y ，由220,0330k m m k k <>⎧⎪=+⇒<⎨⎪∆>⎩联立直线与椭圆方程得222()418440k x kmx m +++-=，21241x x k -==+， O 到直线l的距离d =21||AB x =-= OAB ∆的面积为12S =212417k =⨯=+，解得k =m =∴y =+为所求．【解析】（1）由题意可得c =223114a b+=，又2223a b c -==，解得2,1a b ==即可． （2）①可设直线l 的方程为,0,0()y kx m k m =+<>．可得2231m k=+，即2233m k =+．由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，可得222222418440,()()()()8441440k x kmx m km k m +++-=∆=-+-=，解得k =3m =．即可②设1122,,()(),A x y B x y ，联立直线与椭圆方程得222()418440k x kmx m +++-=，O 到直线l的距离d =212||41AB x k =-=+ OAB ∆的面积为21241S k =⨯+12==k =m = 本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题． 21.【答案】解：（1）当1a =时， 2ln ()f x x x x=--，定义域为(0,)+∞． ()()221212'()1x x f x x x x-+-=-+=，令)0(f x '=，解得2x =． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减．（2）由题意可得：12()()221ln x e ax a g x a x ax x x--+=----，,()0x ∈+∞． ()()121242212()x x e a x e ax a x a g'x a x xx -----+⋅-=-++ ()()1232x x e ax x a x ----+=，,()0x ∈+∞．由于2x =是()g x 的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：120x e ax x a ---+≥对0,()x ∀∈+∞恒成立．情形二：120x e ax x a ---+≤对0,()x ∀∈+∞恒成立．设12,0,,10()()()x h x e ax x a x h -=--+∈+∞=．12(1)x h x e ax -'=--． ①当0a =时，1)1(x h x e -'=-．则)0(1h '=．可得1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，∴()1)0(h x h ≥=．满足题意．②当0a <时，120,2()1x a h x e ax -->'=--．在,()0x ∈+∞单调递增． 又1010,2)0()1(h h a e'=-<'=->．∴存在01()0,x ∈，使得00()h x '=． 当0x x >时，)0(h x '>，()h x 在0(),x +∞单调递增，∴01()()0(2)h x h h <=<，这与题意不符． ③当0a >时，设121),(x p x e ax x R -=--∈．1)2(x p x e a -'=-，令)0(p x '=，解得1ln )2(x a =+．可得()p x 在,1l (()n 2)a -∞+上单调递减；在1ln 2((),)a ++∞上单调递增．i ）当12a >时，1ln 2(1)a +>，由()h x '在0,1ln (()2)a +上单调递减，可得(0(0))h x h '<'<，()h x 在0,1ln (()2)a +上单调递减，∴()((1101ln )22)h h h a ⎛⎫>=>+ ⎪⎝⎭，这与题意矛盾，舍去． ii ）当102a <≤时，1ln 2(1)a +≤ ，由()()h x px '=的单调性及)0(0h '<，可知：1()0,x ∈时，都有)0(h x '<． 又()h x '在(1,3)上单调递增， 221361(62)10h e a e '=--≥-⨯->，则存在13()1,x ∈，使得1()0h x =． ∴1()0,x x ∈时，)0(h x '<，此时()h x 单调递减，∴1(11)02()h h h x ⎛⎫>=>⎪⎝⎭，这与题意矛盾，舍去． 综上可得：0a =．【解析】（1）当1a =时， 2ln ()f x x x x =--，定义域为(0,)+∞．()()221212'()1x x f x x x x-+-=-+=，令)0(f x '=，解得x ．即可得出单调性．（2）由题意可得：12()()221ln x e ax a g x a x ax x x--+=----，,()0x ∈+∞． ()()121242212()x x e a x e ax a x a g'x a x x x -----+⋅-=-++()()1232x x e ax x a x ----+=，,()0x ∈+∞． 由于2x =是()g x 的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：120x e ax x a ---+≥对0,()x ∀∈+∞恒成立．情形二：120x e ax x a ---+≤对0,()x ∀∈+∞恒成立．设12,0,,10()()()x h x e ax x a x h -=--+∈+∞=．12(1)x h x e ax -'=--．对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ （ϕ为参数）， 消去参数得曲线1C 的普通方程为2224()x y -+=．∵曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，∴2C 的直角坐标方程为224x y y +=，整理，得22()24x y +-=．（Ⅱ）曲线221:()24C x y -+=化为极坐标方程为4cos ρθ=， 设1122,,()(,)A B ραρα，∵曲线3C 的极坐标方程为,0,R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于原点O ，且AB =，∴124sin 4cos 4AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭∴sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵0απ<<，∴344ππα-<<， ∴42ππα-=，解得34πα=． 【解析】（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程消去参数能求出曲线1C 的普通方程；曲线2C 的极坐标方程化为24sin ρρθ=，由此能求出2C 的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线1C 化为极坐标方程为4cos ρθ=，设1122,,()(,)A B ραρα，从而得到124sin 4cos 4AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭，进而sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，由此能求出结果． 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 23.【答案】解：（1）在2a =时，2221x x --+≤．在1x ≥时，()(22)21x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，22()23),(1x x x --++≤≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，()1(22)2x x ---+≤ ，13x ≥-，∴113x -≤≤． 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1|53x x -≤≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）∵224x ax +--≤恒成立， 而221()x ax a x ≤+--+， 或)2214(x ax a x ≤+---+， 故只需(14)a x +≤恒成立，或144()a x -+≤恒成立，∴1a =-或1a =．∴a 的取值为1或1-【解析】（1）在2a =时，2221x x --+≤．通过1x ≥时，2x ≤-时，21x -≤≤时，转化求解即可．（2）224x ax +--≤恒成立，转化为(14)a x +≤恒成立，或144()a x -+≤恒成立，然后求解即可．本题考查不等式恒成立，考查转化思想以及计算能力．。
湖北省、山东省部分重点中学2019届高三第二次(12月)联考数学(理)试题Word版含解析
湖北省、山东省部分重点中学2019届高三第二次（12月）联考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集，，则（）A. B. C. D.3. 在等差数列中，，则（）A. B. C. D.4. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.5. 已知,则的大小为（）A. B. C. D.6. 若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象，则有（）A. B. C. D.7. 已知命题若，则，命题若，则，则有（）A. 为真B. 为真C. 为真D. 为真8. 若，则（）A. B. C. D.9. 如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为（）A. B. C. D.10. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.11. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（）A. B. C. D.12. 已知函数，给出下列命题：①函数的最小正周期为；②函数关于对称；③函数关于对称；④函数的值域为，则其中正确的命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若，若，则_____．14. 已知实数满足，则的最小值为_________．15. 已知在数列的前项之和为，若，则_______．16. 四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知单调的等比数列的前项的和为，若，且是的等差中项.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若数列满足，且前项的和为，求.18. 设函数(Ⅰ) 求的单调增区间；(Ⅱ) 已知的内角分别为，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最小值.19. 如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若,且.（Ⅰ）若，，证明：∥平面；（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20. 设函数（Ⅰ）若在处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为，求实数的值；（Ⅱ）若是的极小值点，求实数的取值范围.21. 已知函数．（Ⅰ）若在上是减函数，求实数的取值范围.（Ⅱ）若的最大值为，求实数的值.选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22. 【选修4−4：坐标系与参数方程】已知直线的参数方程为为参数)．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线与圆的普通方程；（Ⅱ）若直线分圆所得的弧长之比为，求实数的值．23. 【选修4—5：不等式选讲】已知函数,（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围.湖北省、山东省部分重点中学2019届高三第二次（12月）联考数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】,则.故选B.2. 已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，..则.故选B.3. 在等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在等差数列中，,则.故选C.4. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥，如图所示，则三棱锥的表面积为.故选A.5. 已知,则的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,.所以.故选D.6. 若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象，则有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选A.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.7. 已知命题若，则，命题若，则，则有（）A. 为真B. 为真C. 为真D. 为真【答案】D【解析】为假，，为真. 则为真，故选D.8. 若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或(舍),故选C.9. 如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】扇形绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的，则，绕旋转一周所得几何体为圆锥，体积为，阴影部分旋转所得几何体的体积为，故选C.10. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】为奇函数，排除B；；排除D；，排除C.故选A.11. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】奇数数列，即为底1009个奇数.按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2017位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D.点睛：本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12. 已知函数，给出下列命题：①函数的最小正周期为；②函数关于对称；③函数关于对称；④函数的值域为，则其中正确的命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】的周期显然为；；；，故②正确.；，故③正确.，设，则，，故④正确.故选D.点睛：复杂函数求对称中心，如函数满足，则对称中心为，如函数满足，则对称轴为此处需要学生对函数的对称性非常熟悉，然后将具体函数代入计算，得到等式，等式成立的条件就是常数和含自变量的式子对应相等，最后解得答案。
湖南湖北八市十二校2019届高三第二次调研联考数学(文)试卷(含答案)-精品
（2）设函数 g(x)
f
(x)
e x1
ax a x2
，若 x =2
是 gx 的唯一极值点，求 a .
-5-
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]
则平均数
=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153. (2)因为每售出 1 盒该产品获利润 30 元,未售出的产品,每盒亏损 10 元,所以当 100≤x≤160 时, y=30x-10×(160-x)=40x-1 600; 当 160<x≤200 时,y=160×30=4 800,
a2 b2 c2 2bc cos A 9 4 2 3 2 1 7,a 7 --------------3 分 2
由正弦定理 a c , 得 sinC 21
sin A sin C
7
--------------------6 分
（2）由已知得： sin A 1 cos B sin B 1 cos A 3sin C
A． 24 25
B． 7 25
C． 16 25
D． 8 5
4．给出下列五个命题：
①将 A，B，C 三种个体按 3∶1∶2 的比例分层抽样调查，若抽取的 A 种个体有 9 个，
则样本容量为 30；
②一组数据 1，2，3，3，4，5 的平均数、众数、中位数都相同；
③甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，那么这两组数据中比较稳定的是
【百强】湖南湖北八市十二校(湖南师范大学附属中学、衡阳八中等)2019届高三第二次调研联考数学(文)试题
14．函数
，
的单调递减区间为__________．
[来源:学+科+网]
15． 在正方形网格中,某四面体的三视图如图所示.如果小正方形网格的边长为 1, 那么该四面体的体积是 ______
.
16． 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2an 2 n 1 ， 若不等式 2n 2 n 3 5 a n 对 n N * 恒成立，则整数 的最大值为________________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 （一）必考题：60 分。 17．在 ABC 中，角 A, B , C 的对边分别为 a , b, c , 且 c 2 .
．即： ，所 心 ，
故选：B．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 2 0 分。 13 、 6 【详解】第 一次循环 ： ；第二 次循环：
；第三次循环：
；
第四次循环：
；
第五次循环： 判断框中的条件 ，故答案为 .
，输出 ，不满足判断框中的条件，
14、【答案】
【解析】∵
，∴
，令
，则
，
∵正弦函数
，点
处的切线方程为
，由
解得
，又两切线交
文数答案 第 1页，总 8页
于点
， ∴
， 故得
． ∵过
两
点的切线垂直， ∴ ．由题意得直线
，故
，∴
，故得抛物线的方程为 ，
的斜率存在，可设直线方程为
由
消去 y 整理得
， ∴
，