2020 年北京市高考适应性测试数学试卷及答案
数学 第 1 页（共 6 页）2020 年北京市高考适应性测试数 学本试卷共 6 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i (i + 2) 对应的点的坐标为（A ） (1, 2 )（B ） (- 1, 2 )（C ） ( 2, 1) （D ） ( 2, - 1)（2）已知集合 A = { x x < 2} ， B = { - 1, 0,1, 2, 3 } ，则 A ∩ B =（A ） { 0, 1} （B ）{ 0, 1, 2 } （C ） { - 1, 0, 1} （3） 下列函数中，在区间(0, + ∞) 上为减函数的是（D ） { - 1, 0, 1, 2 }（A ） y = x+1（B ） y = x 2 - 1（C ） y = (1)x2（D ） y = log 2 x（4） 函数 f ( x) =（A ）{x | x ≤ 2 或 x ≥ 3}（C ） {x | 2 ≤ x ≤ 3}的定义域为（B ） {x | x ≤ - 3 或 x ≥ -2} （D ） {x | -3 ≤ x ≤ -2}（5） 圆心为( 2, 1) 且和 x 轴相切的圆的方程是（A ） (x - 2)2 + ( y - 1)2 = 1 （B ） (x + 2)2 + ( y + 1)2 = 1（C ） (x - 2)2 + ( y - 1)2 = 5（D ） (x + 2)2 + ( y + 1)2 = 5（6） 要得到函数 y = sin(2x - π) 的图象，只需要将函数 y = sin 2x 的图象3（A ）向左平移 π个单位（B ）向左平移 π个单位3 6 （C ）向右平移 π个单位（D ）向右平移 π个单位36x 2 - 5x + 6数学 第 2 页（共 6 页）x （7） 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 （A ） 23 （B ） 43（C ） 2 （D ） 4正（主）视图侧（左）视图俯视图（8） 已知点 A ( 2, 0 ) ， B ( 0, - 2 ) ．若点 P 在函数 y = 的图象上，则使得△ P AB 的面积为 2的点 P 的个数为 （A ）1（B ） 2 （C ） 3 （D ） 4（9） 设{a n }是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 S n ．则“ ∀n ∈ N * ，S n +1 > S n ”是“{a n }为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10） 学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为 A 的学生有5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其另外一科等级为 B ．则该班（A ） 物理化学等级都是 B 的学生至多有12 人 （B ） 物理化学等级都是 B 的学生至少有5 人 （C ） 这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至多有18 人（D ） 这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至少有1 人等级科目ABCDE物理 10 16 9 1 0 化学81972数学 第 3 页（共 6 页）x - 2第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。
2（11） 已知双曲线 a2 y = 1 ( a > 0 ) 的一条渐近线方程为 x + y = 0 ，则 a = ． （12）已知向量a = (1, m) ， b = (2, 1) ，且a ⊥ b ，则m = ．（13） 抛物线 y 2 = 4 x 上到其焦点的距离为1 的点的个数为．（14） 在△ABC 中， a = 4 ， b = 5 ， c = 6 ，则cos A = ，△ABC 的面积为 ．（15） 函数 f (x) 的定义域为[-1,1) ，其图象如图所示．函数 g(x) 是定义域为 R 的奇函数，满足g(2 - x) + g(x) = 0 ，且当 x ∈(0,1) 时， g (x) = f (x) ．给出下列三个结论： ①g(0) = 0 ； ②函数 g(x) 在 (-1, 5) 内有且仅有 3 个零点； ③不等式 f (-x ) < 0 的解集为{x | -1 < x < 0} ． 其中，正确结论的序号是 ．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。
全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。
1 2-1- 1 O4三、解答题共6 题，共85 分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14 分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PD = 2 AD ，PD ⊥ DA ，PD ⊥ DC ，底面ABCD 为正方形，M , N 分别为AD ，PD 的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值．CA（17）（本小题14 分）已知{a n}是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n，满足a3=12 ，．是否存在正整数k ，使得S k> 2020 ？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从① q = 2 ，② q =1，③ q =-2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
数学第 4 页（共6 页）（18）（本小题14 分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A, B, C 三块试验田中各随机抽取7 株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：假设所有植株的生长情况相互独立．从A, B, C 三组各随机选1 株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙， C 组选出的植株记为丙．（Ⅰ）求丙的高度小于15 厘米的概率；（Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为μ0．从A, B, C 三块试验田中分别再随机抽取1 株该种植物，它们的高度依次是14, 16, 15（单位：厘米）．这3 个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为μ1，试比较μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）（19）（本小题15 分）已知函数f (x) = e x (x -1) -1e a x2， a < 0 ．2（Ⅰ）求曲线y = f ( x) 在点( 0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）求函数f (x) 的极小值；（Ⅲ）求函数f (x) 的零点个数．数学第 5 页（共6 页）数学 第 6 页（共 6 页）3 l （20）（本小题 14 分）已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为 A(0, 1) ， B(0, -1) ，焦距为2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ） 已知直线 y = m 与椭圆C 有两个不同的交点 M , N ，设 D 为直线 AN 上一点，且直线 BD ，BM 的斜率的积为 - 1．证明：点 D 在 x 轴上．4（21）（本小题 14 分）其中e 1 < e 2 <… < e l ，l ∈ N * 且l ≤ 6 ．定义变换ϕk 为“对于数阵的每一行，若其中有 k 或 -k ， 则将这一行中每个数都乘以 -1 ；若其中没有 k 且没有 -k ，则这一行中所有数均保持不变”（ k = e 1,e 2,…,e l ）．ϕS (A 0) 表示“将 A 0 经过ϕe 变换得到 A 1 ，再将 A 1 经过ϕe 变换得到 A 2 ，… ， 12以此类推，最后将 A l -1 经过ϕe 变换得到 A l ”，记数阵 A l 中四个数的和为T S (A 0) ．数学 第 7 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数 学答案 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1--5.BCCAA 6--10.DBCAD 10.D （见视频解读）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
11.1 12.2- 13.1 14.34①③（见视频解读) 15.解析.因为函数()g x 是定义域为R 的奇函数，所以①正确；由()2()0g x g x -+=知函数()y g x =的图像关于点()1,0成中心对称，由此作出函数的图像如下，由图像知函数()y g x =在()1,5-内有5个零点，故②错误；对于③，方法一是利用与关于y 轴对称，由图像知③正确。
方法二是利用函数()y f x =的图像，直接解不等式01,10x x <-<-<<即得。
故而正确。
注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题14分） （Ⅰ）证明：因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点数学 第 8 页（共 6 页）所以PA MN ,又因PA MNCMN MNC⊄⊂平面平面所以//PA MNC 平面；（Ⅱ）由题意建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz 。
设AD=2，则(0,0,4),(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),C(0,2,0)P B M N 则(2,2,4),(1,0,2),(1,2,0)PB MN MC =-=-=- 设平面MNC 的法向量为=(,,)n x y z ，则2020n MN x z n MC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2,=1,=1x y z =则，即=(2,1,1)n 设直线PB 与平面MNC 所成角为α，则4241sin 6626n PB n PBα⋅+-===⋅⋅即直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16.17.（本小题14分）答案：当2q =时，存在，min 10k =。
当12q =时，不存在。
当2q =-时，存在，min 11k =。
理由分别如下。
当2q =时，113,32n n a a -==⋅，33232312n n n S -⋅==⋅--。
由3232020k⋅->得126743k >，9102512 , 21024k N +==∈，，min 10k =当12q =时，11148,482n n a a -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，148481296961212nnn S ⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⋅ ⎪⎝⎭-。
2020 年北京市高考适应性测试数学试卷逐题解析(刘老师)
有 36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，
这两科等级均为 A 的学生有5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其
另外一科等级为 B．则该班
等级 A B C D E 科目
（A）物理化学等级都是 B 的学生至多有12人
（B）物理化学等级都是 B 的学生至少有5 人
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
【解析】由“ n N* ，Sn1 Sn ”可知an1 0 ，又{an}是等差数列，所以 d 只能大于0，所以
“ {an}为递增数列”；反过来，“ {an}为递增数列”，不一定 an1 0 ；故选A
（9）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A，B，C，D，E 五个等级．某班共
要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分
别从 A, B, C 三块试验田中各随机抽取 7 株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
A 组 10 11 12 13 14 15 16
B 组 12 13 14 15 16 17 18
C 组 13 14 15 16 17 18 19
假设所有植株的生长情况相互独立．从 A, B, C 三组各随机选1 株， A 组选出的植株记为
甲， B 组选出的植株记为乙， C 组选出的植株记为丙．
（Ⅰ）求丙的高度小于15 厘米的概率； （Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为 0 ．从 A, B, C 三块试验田中分别再随机抽取1 株该种植
3, an
3 2 n1 ， Sn
3 3 2n 1 2
1
2n
。
由1 2k 2020 得 2k 2019 ，
北京市2020届高三下学期高考适应性测试数学试题含答案
2020年北京市高考适应性测试数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10题，每题4分,共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为(A) (1, 2) (B) (-1, 2) (C) (2, 1) (D) (2, -1)(2)已知集合A={x|x<2}， B={-1,0,1,2,3}, 则A∩B=(){0,1}A (B) {0,1,2} (C) {-1,0,1} (D) {-1,0,1,2}(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()1A y x =+ 2()1B y x =- 1()()2x C y = 2()log D y x =(4)函数2()56f x x x =-+的定义域为(A) {x|x≤2或x≥3}(B) {x|x≤-3或x≥-2} (C) {x|2≤x≤3}(D) {x|-3≤x≤-2} (5)圆心为(2, 1)且和x 轴相切的圆的方程是22()(2)(1)1A x y -+-=22()(2)(1)1B x y +++= 22()(2)(1)5C x y -+-=22()(2)(1)5D x y +++= (6) 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数y=sin2x 的图象 (A)向左平移3π个单位 (B)向左平移6π个单位 (C)向右平移3π个单位 (D)向右平移6π个单位 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为2()3A 4()3B (C) 2(D) 4(8)已知点A(2,0)，B(0,-2).若点P 在函数y x =的图象上，则使得△PAB 的面积为2的点P 的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4 (9)设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为.n S 则“*1,n n n S S +∀∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(10)学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A,B,C,D,E 五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B.则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人（C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020年北京市高考数学适应性试卷(3月份) (含答案解析)
2020年北京市高考数学适应性试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.复数i(1+i)的虚部为()A. √2B. 1C. 0D. −12.已知集合A={1,2，3，4，5}，B={x|x≤3}，则A∩B=()A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2，3}3.下列函数中，在区间(−1,1)上为减函数的是()A. y=11−xB. y=cosxC. y=ln(x+1)D. y=2−x4.设函数f(x)=2x+1的定义域为[1,5]，则函数f(2x−3)的定义域为()A. [1,5]B. [3,11]C. [3,7]D. [2,4]5.与x轴相切，且圆心坐标为(−2,3)的圆的标准方程为()A. (x+2)2+(y−3)2=4B. (x−2)2+(y+3)2=4C. (x+2)2+(y−3)2=9D. (x−2)2+(y+3)2=96.将函数y=3sin(2x−π4)的图象经过()变换，可以得到函数y=3sin2x的图象．A. 沿x轴向右平移π8个单位 B. 沿x轴向左平移π8个单位C. 沿x轴向右平移π4个单位 D. 沿x轴向左平移π4个单位7.某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 6+2√38.抛物线y=x2上的点到直线2x−y=4的最短距离是()A. 35B. 3√55C. 2√55D. 3√1059.在数列{a n}中，已知a n+1=√2a n+3(∀n∈N∗)，则数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为()A. a1>−1B. a1>3C. a1<−1或a1>3D. −1<a1<310.为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是()A. 甲、丙、乙B. 乙、甲、丙C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知双曲线x2−y2=1的一条渐近线方程为x−2y=0，则该双曲线的离心率为______．a212.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,m)，且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则实数m的值为______．13.抛物线y2=12x上到焦点的距离等于9的点的坐标是______ ．14.已知△ABC的面积为√3且b=2，c=2，则∠A=______ ．15.已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+1)，则函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数是．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点(不含端点)，点N在线段BD上，且PM=DN．(Ⅰ)求证：直线MN//平面PCD；(Ⅱ)若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的正弦值．17.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，求公比q．18.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲，乙两种大树移栽的成活率分别为5和64，求移栽的4株大树中5(1)至少1株成活的概率(2)两种大树各成活1株的概率19.设函数f(x)=ax2−(1+a)x+2−a．e x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程；4(2)若f(x)在x=3处取得极小值，求实数a的取值范围．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21.用三段论证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵i(1+i)=−1+i ， ∴i(1+i)的虚部为1． 故选：B ．2.答案：D解析：解：∵A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x ≤3}； ∴A ∩B ={1,2，3}． 故选：D ．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题．分别分析各个函数的单调性：函数y =11−x ，y =ln (x +1)在(−1,1)上都是增函数，函数y =cosx 在(−1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y =2−x =(12)x在(−1,1)上是减函数，故而可选答案．【解答】解：函数y =11−x ，y =ln (x +1)在(−1,1)上都是增函数， 函数y =cosx 在(−1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y =2−x =(12)x在(−1,1)上是减函数，故选D ．4.答案：D解析：∵函数f(x)的定义域为[1,5]， ∴1≤2x −3≤5，解得2≤x ≤4， ∴所求函数f(2x −3)的定义域是[2,4]． 故选D ．本题考查函数的定义域问题，注意解决此类问题的原则，属于易错题．5.答案：C解析： 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，属于基础题． 由题意求得圆的半径，可得圆的标准方程． 【解答】解：∵与x 轴相切，且圆心坐标为(−2,3)的圆的半径为3， 故该圆的标准方程为(x +2)2+(y −3)2=9， 故选：C ．6.答案：B解析：解：把函数y =3sin(2x −π4)的图象，沿x 轴向左平移π8个单位，可以得到函数y =3sin[2(x +π8)−π4]=3sin2x 的图象， 故选：B ．由条件根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：A解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P −ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =2． ∴V =13×2×12×22=43．故选：A．由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC，其中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA=2．本题考查了三棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：设抛物线y=x2上的点的坐标为(x,y)，则由点到直线的距离公式可得d=5=2√5=2√5≥3√55，∴抛物线y=x2上的点到直线2x−y=4的最短距离是3√55．9.答案：B解析：【分析】本题考查了数列的单调性，充分必要条件的判定，考查了推理能力，属于基础题．数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为√2a n+3<a n，解得：a n范围．【解答】解：数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为√2a n+3<a n，即a n2−2a n−3>0，解得：a n>3或a n<−1(∀n∈N∗)∵a n+1=√2a n+3≥0(∀n∈N∗)，∴a n+1≥0，(∀n∈N∗)即a n≥0(∀n∈N∗且n>1)即2a n+3>0(∀n∈N∗且n>1)即a n+1=√2a n+3>0(∀n∈N∗且n>1)∴a n>0，(∀n∈N∗且n>1)∴a n>3(∀n∈N∗且n>1)所以只要再满足a1>3，则有a n>3(∀n∈N∗)故选：B．10.答案：C解析：解：由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，又在A组中的那位的成绩比丙低，∴A中是甲，∴甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是：乙、丙、甲，故选：C．由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，又在A组中的那位的成绩比丙低，A中是甲，即可求解．本题考查了推理与证明，属于基础题．11.答案：√52解析：【分析】本题主要考查了双曲线的性质的应用，属于基础题.根据双曲线的方程和渐近线得到a值，即可求解其离心率．【解答】解：因为一条渐近线方程为x−2y=0，所以b2a =(12)2=14，所以1a2=14，所以a2=4,b2=1,c2=5，所以e=√52，故答案为√52．12.答案：3解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,m)，∴a⃗−b⃗ =(1,1−m)，∵a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2+1−m=0．解得m=3．∴实数m的值为3．故答案为3．利用向量坐标运算法则得到a⃗−b⃗ =(1,1−m)，再由a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，能求出实数m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.答案：(6,±6√2)解析：解：抛物线y2=12x的准线方程为x=−3∵抛物线y2=12x上点到焦点的距离等于9∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为6代入抛物线方程，可得y2=72，∴y=±6√2即所求点的坐标为(6,±6√2)故答案为：(6,±6√2).根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标，即可求得结论．本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.答案：π3或2π3解析：解：由于△ABC的面积为√3=12bc⋅sinA=2sinA，求得sinA=√32，∴A=π3，或A=2π3，故答案为：π3或2π3．△ABC的面积为√3=12bc⋅sinA，求得sin A的值，可得A的值．本题主要考查三角形的面积公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．15.答案：5解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的零点与方程根的关系，函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数即为y=f(x)与y=x6的函数图象的交点的个数，由图象可知结论．【解答】解：由奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，可知f(x)为周期函数，周期为4，作出函数，x∈[0,1]的图象，再根据周期为4，作出x∈[−3,9]上的图象，函数y =6f(x)−x 在[−3,9]上的零点个数即为y =f(x)与y =x6的函数图象的交点的个数， 由图象可知在x ∈[−3,9]一共5个交点，所以函数y =6f(x)−x 在[−3,9]上的零点个数是5， 故答案为5．16.答案：(Ⅰ)证明：延长AN ，交CD 于点G ，由相似三角形知AN NG =BNND ,由题意AP =BD,又PM =DN,则AM =BN,故BNDN =AMPM ,故ANNG =AMPM , 可得：MN//PG ，MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ， 则直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)解：由于PD ⊥平面ABCD ，DA ，DC ，DP 两两垂直，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，则B(1,1，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)， M(12,0,12)，N(12,12,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,12),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0), 设平面AMN 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z ),则{m ⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−12x +12z =0−12x +12y =0, 取x =1,则x =y =z =1,平面AMN 的法向量为m⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线PB 与平面AMN 所成的角为θ，则．直线PB 与平面AMN 所成的角的正弦值为13.解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．(Ⅰ)延长AN ，交CD 于点G ，由题意知AN NG =BN ND =AM MP ，推出MN//PG ，然后证明直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，求出相关点的坐标， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的正弦值． 17.答案：解：显然公比q ≠1，设首项为a 1，则由S 3+3S 2=0，得a 1(1−q 3)1−q =−3×a 1(1−q 2)1−q ，即q 3+3q 2−4=0，即q 3−q 2+4q 2−4=q 2(q −1)+4(q 2−1)=0，即(q −1)(q 2+4q +4)=0，所以q 2+4q +4=(q +2)2=0，解得q =−2．解析：本题考查了等比数列的求和公式，直接利用公式求解．18.答案：解：记事件A k 为第k(k =1,2)株甲种大树成活，记事件B l 为第l(l =1,2)株乙种大树成活，则A 1,A 2,B 1,B 2相互独立，且P(A 1)=P(A 2)=56，P(B 1)=P(B 2)=45；(1)至少有1 株成活的概率为1−P(A 1A 2B 1B 2)=1−P(A 1)P(A 2)P(B 1)P(B 2)=1−(16)2(15)2=899900；(2)由独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式知，所求概率为P =C 21(56)(16)×C 21(45)(15)=445．解析：本题主要考查相互独立事件、独立重复试验、概率的基础知识，考查用概率知识解决实际问题的能力.(I)因各株大树是否成活互不影响，本题考查的是相互独立事件同时发生的概率，至少有1株成活包括的情况较多，所以从它的对立事件1株也不活来考虑. (II)应用独立重复试验中事件发生的概率公式，同时又有相互独立事件同时发生的概率，代入公式进行运算．19.答案：解：(1)f′(x)=−(ax−1)(x−3)e x ,x ∈R ， 当a =14时，f′(x)=−(14x−1)(x−3)e x ,f(4)=34e 4,k =f′(4)=0，则曲线y =f (x )在点(4,f (4))处的切线方程为y =34e 4(2)①当a =0时，f′(x)=x−3e x ,f′(x)>0⇒x >3,f′(x)<0⇒x <3,所以f(x)在(−∞,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意②当a <0时，f′(x)>0⇒x >3或x <1a ,f′(x)<0⇒1a <x <3,所以f(x)在(−∞,1a )上单调递增，在(1a ,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意③当0<a <13时,f′(x)>0⇒3<x <1a ,f′(x)<0⇒x <3或x >1a ，所以f(x)在(−∞,3)上单调递减，在(3,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意④当a =13时，f′(x)=−13(x−3)2e x ≤0在R 上恒成立，所以f(x)在R 上单调递减，则f(x)无极小值， ⑤当a >13时,f′(x)>0⇒1a <x <3,f′(x)<0⇒x >3或x <1a ，所以f(x)在(−∞,1a )上单调递减，在(1a ,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，则f(x)在x =3处取得极大值，不符合题意，综 上，a ∈(−∞,13)解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(4)=0，故可求曲线y =f (x )在点(4,f (4))处的切线方程；(2)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =13，0<a <13,a >13，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围． 20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3，则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，由题意可得直线MN 的方程为y =x −1，代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0，x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2 =(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2) =8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2) =8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证． 21.答案：略解析：首先，我们知道a 2+b 2≥2ab ，则有2(a 2+b 2)≥a 2+b2+2ab ，所以√a 2+b 2≥√22|a +b |≥√22(a +b )，同理，得√b 2+c 2≥√22(b +c )，√a 2+c 2≥√22(a +c )，则有。
数学试卷带答案
数学 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数 学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(1,2)−（C ）(2,1)（D ）(2,1)−（2）已知集合{2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =−，则A B =∩（A ）{0,1}（B ）{0,1,2}（C ）{1,0,1}−（D ）{1,0,1,2}−（3）下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是（A）y =（B ）21y x =−（C ）1()2x y =（D ）2log y x =（4）函数()f x =（A ）{|2x x ≤或3}x ≥ （B ）{|3x x −≤或2}x −≥ （C ）{|23}x x ≤≤（D ）{|32}x x −−≤≤（5）圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是（A ）22(2)(1)1x y −+−= （B ）22(2)(1)1x y +++= （C ）22(2)(1)5x y −+−=（D ）22(2)(1)5x y +++= （6）要得到函数πsin(2)3y x =−的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π3个单位 （B ）向左平移π6个单位 （C ）向右平移π3个单位 （D ）向右平移π6个单位数学 第 2 页（共 6 页）俯视图（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2 （D ）4（8）已知点(2,0)A ，(0,2)B −．若点P 在函数y 的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（9）设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n ∀∈N ，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ．则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人 （C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人数学 第 3 页（共 6 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020年北京市昌平区高考数学适应性试卷(6月份)
2020年北京市昌平区高考数学适应性试卷（6月份）一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x2−2x−3<0}，则A∩B=()A. [−2,2]B. (−1,3)C. (−1,2]D. [−1,2]2.复数z=3+5i1+i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列函数中有最小值的是()A. y=2xB. y=√x+1C. y=tanxD. y=lg|x|4.直线l与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，若AB=√2，则点O到直线l的距离为()A. √2B. 1C. √22D. 125.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=λb⃗ ，则“λ=±1”是“a⃗2=b⃗ 2”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件6.某三棱锥的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1)，则该三棱锥的体积为()A. 23B. 43C. 1D. 27.若函数f(x)=cosx−sinωx在[0,2π]内恰有2个零点，则ω的值不可能为()A. −1B. 0C. 1D. 28.已知平面向量a⃗，b⃗ 的夹角为π3，且a⃗⋅b⃗ =1，则|a⃗+b⃗ |的最小值为()A. 1B. √2C. 2D. √69.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为3，点E在边BC上，且满足BE=2EC，动点M在正方体表面上运动，并且总保持ME⊥BD1，则动点M的轨迹的周长为()A. 6√2B. 4√3C. 4√2D. 3√310.如图，在3×3的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．例如：若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动( )次A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. (x 2−1x )6展开式中常数项为______． 12. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =√33x ，且一个焦点在抛物线y 2=8x 的准线上，则该双曲线的方程为______．13. 已知等差数列{a n }的首项为2，等比数列{b n }的公比为2，S n 是数列{b n }的前n 项和，且b n =(√2)a n ，则a 4=______，S 5=______．14. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为v =5log 2q10(米/秒)，其中q 表示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为______；若某只两岁的燕子耗氧量为q 1时的飞行速度为v 1(米/秒)，另一只两岁的燕子耗氧量为q 2时的飞行速度为v 2(米/秒)，两只燕子同时起飞，当q 1=4q 2时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米．15. 已知函数f(x)=x 2+1，直线l ：y =ax +2与x 轴和y 轴分别交于点D ，B ，直线l 与函数f(x)的图象交于A ，C 两点(点C 在点B ，D 之间)，给出下列四个结论：①若点E 为y 轴上一点，则存在符合条件的点E 和实数a ，使得△ABE 为等边三角形； ②记r(a)=|AC||DC|，则1∈{y|y =r(a)}； ③记ℎ(a)=|AB||BC|，则ℎ(a)的值域为(0,+∞)； ④记g(a)=max{|AB|,|BC|}min{|AB|,|BC|}，则对任意的非零实数a ，都有g(a)g(−a)=1成立(max{x 1,x 2}表示x 1，x 2中最大的数，min{x 1,x 2}表示x 1，x 2中最小的数)． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D是AB的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2√2．(Ⅰ)证明：BC1//平面A1CD；(Ⅱ)求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值．17.2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：(单位：例)日期12131415161718治愈人数1171108113731323142517011824请根据以上信息，回答下列问题：(Ⅰ)记前四天治愈人数的平均数和方差分别为x1−和s12，后三天治愈人数的平均数和方差分别为x2−和s22，判断x1−与x2−，s12与s22的大小(直接写出结论)；(Ⅱ)从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率；(Ⅲ)设集合M={(x i,x i+1)|x i表示2月i日的治愈人数，i=12，13，…，17}，从集合M中任取两个元素，设其中满足x i<x i+1的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．18. 已知△ABC 中，cb <cosA ．(Ⅰ)求证：B 是钝角；(Ⅱ)若△ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ①sinA =√22；②a =2；③c =√2；④sinC =√32．请指出这三个条件，说明理由，并求出b 的值．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右焦点为F(1,0)． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过点F 的直线l 交椭圆C 于不同的两点M ，N ，点P 是直线x =4上任意一点，求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．20. 已知函数f(x)=(x −1)e x −alnx(a ≤e)．(Ⅰ)当a =e 时，(i)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ii)求函数y=f(x)的最小值；(Ⅱ)若曲线y=f(x)与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．21.对给定的正整数n，令Ωn={a=(a1,a2,…,a n)|a i∈{0，1}，i=1，2，3，…，n}.对任意的x=(x1,x2,…,x n)，y=(y1,y2,…,y n)∈Ωn，定义x与y的距离d(x,y)=|x1−y1|+|x2−y2|+⋯+|x n−y n|.设A是Ωn的含有至少两个元素的子集，集合D={d(x,y)|x≠y，x，y∈A}中的最小值称为A的特征，记作χ(A)．(Ⅰ)当n=3时，直接写出下述集合的特征：A={(0,0，0)，(1,1，1)}，B={(0,0，0)，(0,1，1)，(1,0，1)，(1,1，0)}，C={(0,0，0)，(0,0，1)，(0,1，1)，(1,1，1)}．(Ⅱ)当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=2，求A中元素个数的最大值；(Ⅲ)当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=3，求证：A中的元素个数小于22020．2021答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x∈R||x|≤2}={x|−2≤x≤2}，B={x∈R|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，∴A∩B={x|−1<x≤2}=(−1,2]．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=3+5i1+i =(3+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=4+i，∴复数在复平面对应的点的坐标是(4,1)∴它对应的点在第一象限，故选：A．把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．本题主要考查复数的基本概念，判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．3.【答案】B【解析】解：y=2x是指数函数，函数的值域(0,+∞)，没有最小值；y=√x+1≥0，函数有最小值，最小值为0．y=tanx的值域为R，没有最小值．y=lg|x|是偶函数，函数的值域是R，没有最小值．故选：B．利用函数的性质，求出函数的最值判断选项即可．本题考查函数的最值的判断，函数的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】设点O 到直线l 的距离为d ，由题设条件知r =1，根据圆中的弦长公式可得：d =√r 2−(|AB|2)2=(√22)=√22．故选：C ．设点O 到直线l 的距离为d ，根据圆中的弦长公式可得：d =√r 2−(|AB|2)2，代入即可得到答案．本题主要考查圆中的弦长公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ =λb ⃗ ，∵“λ=±1”，∴“a ⃗ 2=b ⃗ 2”， ∵“a ⃗ 2=b ⃗ 2”，a⃗ =λb ⃗ ， ∴|a ⃗ |=|λb ⃗ |=|λ||b ⃗ |=|b ⃗ |， ∴λ=±1，∴“λ=±1”是“a ⃗ 2=b ⃗ 2”的充分必要条件．故选：C ．由非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ =λb ⃗ ，推导出“λ=±1”⇔“a ⃗ 2=b ⃗ 2”，从而得到“λ=±1”是“a ⃗ 2=b ⃗ 2”的充分必要条件．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱锥体，如图所示：所以：V =13×12×1×2×2=23． 故选：A ．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：当ω=−1时，f(x)=cosx +sinx =√2cos(x −π4)，令x −π4=π2+kπ，则x =3π4+kπ，k ∈Z ，所以f(x)在[0,2π]内的零点为x =34π和x =74π，符合题意，即ω=−1成立；当ω=0时，f(x)=cosx ，由余弦函数的图象可知，f(x)在[0,2π]内的零点为x =π2和x =32π，符合题意，即ω=0成立；当ω=1时，f(x)=cosx −sinx =√2cos(x +π4)，令x +π4=π2+kπ，则x =π4+kπ，k ∈Z ，所以f(x)在[0,2π]内的零点为x =π4和x =54π，符合题意，即ω=1成立；当ω=2时，f(x)=cosx −sin2x =cosx −2sinxcosx =cosx(1−2sinx)，令f(x)=0，则cosx =0或sinx =12，所以f(x)在[0,2π]内的零点为x =π2、x =32π、x =π6和x =56π，共4个零点，不符合题意，即ω=2不成立． 故选：D ．逐一代入四个选项的ω的值，结合辅助角公式和余弦函数的零点问题，分析函数f(x)在[0,2π]内的零点个数即可得解．本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、二倍角公式和余弦函数的零点问题是解题的关键，考查学生的数形结合思想、推理论证能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∵平面向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos60°=12|a ⃗ |⋅|b ⃗ |=1，∴|a ⃗ |⋅|b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2≥√2+2|a ⃗ ||b ⃗ |=√6，当且仅当|a⃗|=|b⃗ |=√2时取等号，故|a⃗+b⃗ |的最小值为√6，故选：D．根据平面向量的数量积的应用，利用基本不等式即可求解．本题主要考查平面向量数量积的应用以及基本不等式的应用，利用数量积的定义求出向量长度之间的关系是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了棱柱的结构特征，线面垂直的判定，属于中档题．在AB，BB1上分别取点P，Q，使得BP=2PA，BQ=2QB1，证明M的轨迹为△PEQ的边线，求出△PEQ周长即可．【解答】解：由正方体的特点可知BD1⊥平面ACB1，在AB，BB1上分别取点P，Q，使得BP=2PA，BQ=2QB1，连接PE，PQ，EQ，则PE//AC，EQ//B1C，又∵AC⊂平面AB1C，PE⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，QE⊄平面AB1C，∴PE//平面AB1C，EQ//平面AB1C，又∵PE∩EQ=E，PE⊂平面PEQ，EQ⊂平面PEQ，∴平面AB1C//平面PEQ，∴BD1⊥平面PEQ，∴M的轨迹为△PEQ的边线．∵正方体棱长为3，∴AC=3√2，AC=2√2，∴PE=23∴△PEQ的周长为3PE=6√2．故选：A．10.【答案】B【解析】解：易知最易达到的效果是第一行2，第二行1，第三行3，则需上下移动第三行，左右移动第二行．故变换过程为第三列上移1第二行左移1第三列上移1故选：B．易知最易达到的效果是第一行2，第二行1，第三行3，则需上下移动第三行，左右移动第二行．本题考查排合情推理的应用，注意理解题目中移动的规则，属于基础题．11.【答案】15【解析】【分析】本题考查记二项展开式的通项，是基础题．写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】)r=(−1)r⋅C6r⋅x12−3r．解：由T r+1=C6r⋅(x2)6−r⋅(−1x取12−3r=0，得r=4．∴(x2−1x)6展开式中常数项为C64=15．故答案为：15．12.【答案】x23−y2=1【解析】解：∵双曲线的一条渐近线方程为y=√33x，∴ba=√33①∵抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，该双曲线一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，∴c=2，而c=√a2+b2，∴a2+b2=4②由①②，得a2=3，b2=1，∴双曲线的方程为x23−y2=1．故答案为：x23−y2=1．利用双曲线的渐近线方程得到ba =√33，然后求出双曲线的焦点坐标，得到a，b即可得到双曲线方程．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查方程思想与理解、运算能力，属于中档题．13.【答案】8 62【解析】解：等差数列{a n}的首项为2，公差设为d，等比数列{b n}的公比q为2，由b n=(√2)a n，可得b1=(√2)a1=(√2)2=2，则b n=2n，即有2n=(√2)a n，可得a n=2n，则a4=8，S5=2(1−25)1−2=62．故答案为：8，62．设等差数列{a n}的首项为2，公差为d，等比数列{b n}的公比q为2，令n=1可得b1，可得b n，a n，可令n=4可得a4，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】10 600【解析】解：当v=0时，log2q10=0,q=10，v1=5log24q210=5(log24+log2q210)=10+v2v1−v2=10，又1min =60s ，故10×60=600米． 故答案为：10；600．静止时v =0，解对数方程可求出耗氧量q ；再由速度差，时间，求出两只燕子飞过的路程差． 本题联系实际应用题，考查对数的运算，属于基础题．15.【答案】①②④【解析】解：∵直线y =ax +2与x 轴，y 轴均相交，∴a ≠0． 对于①，当∠ABy =60°时，则当BE =BA 时，△ABE 为等边三角形，故①正确；对于②，联立方程组{y =ax +2y =x 2+1，消元可得：x 2−ax −1=0，解得x 1=a−√a2+42，x 2=a+√a2+42，若r(a)=1，则AC =DC ，即C 为AD 的中点，又D(−2a ,0)， ∴−2a +a+√a 2+42=a−√a 2+42×2，即√a 2+4=a 3+43a (a >0)，∴a 2+4=a 29+169a2+89，即2a 4+7a 2−4=0，解得a 2=12，a =√22， 故当a =√22时，|AC|=|DC|，∴1∈{y|y =r(a)}，故②正确；对于③，∵a ≠0，∴|AB|≠|BC|，故ℎ(a)=|AB||BC|≠1，故③错误；对于④，∵直线y =ax +2和直线y =−ax +2关于y 轴对称，且抛物线f(x)=x 2+1都关于y 轴对称， 故g(a)=g(−a)，即g(a)g(−a)=1成立，故④正确． 故答案为：①②④．根据等边三角形性质判断①，联立方程组，当C 为AD 中点时，根据方程是否有解判断②，根据|AB|和|BC|的不等关系判断③，根据对称性判断④．本题考查了直线与抛物线得位置关系，考查数学抽象与运算求解能力，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)证明：连结AC 1，交A 1C 于O ，则O 是AC 1的中点，连结OD ，∵D 是AB 的中点， ∴OD//BC 1，∵BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ，∴BC 1//平面A 1CD ．(Ⅱ)∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，D 是AB 的中点，AA 1=AC =CB =2，AB =2√2． ∴AC 2+BC 2=AB 2， ∴AC ⊥BC ，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,0，0)，A 1(2,0，2)，B(0,2，0)，D(1,1，0)，C(0,0，0)， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， 设平面A 1CD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0，取x =1，得n⃗ =(1,−1,−1)， 设直线AA 1与平面A 1CD 所成角为θ，则sinθ=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3=√33． ∴直线AA 1与平面A 1CD 所成角的正弦值为√33．【解析】(Ⅰ)连结AC 1，交A 1C 于O ，连结OD ，推导出OD//BC 1，由此能证明BC 1//平面A 1CD ． (Ⅱ)以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AA 1与平面A 1CD 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置有关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)记前四天治愈人数的平均数和方差分别为x 1−和s 12， 后三天治愈人数的平均数和方差分别为x 2−和s 22， 则x 1−<x 2−，s 12<s 22． (Ⅱ)设事件A ：“从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例”． 从这七天中任选取连续的两天，共有6种选法， 其中13日和14日，16日和17日符合要求，所以从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率为： P(A)=26=13．(Ⅲ)设集合M ={(x i ,x i+1)|x i 表示2月i 日的治愈人数，i =12，13，…，17}，从集合M 中任取两个元素，设其中满足x i <x i+1的个数为X ，由题意可知X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 22C 62=115，P(X =1)=C 21C 41C 62=815，P(X =2)=C 42C 62=25，∴X 的分布列为：∴数学期望E(X)=0×115+1×815+2×25=43．【解析】(Ⅰ)x 1−<x 2−，s 12<s 22． (Ⅱ)从这七天中任选取连续的两天，共有6种选法，其中13日和14日，16日和17日符合要求，由此能求出从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率．(Ⅲ)由题意可知X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E(X)． 本题考查平均数、方差、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为c b <cosA ，由正弦定理可得sinCsinB <cosA ，在三角形中，sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ，且sinB >0，所以不等式整理为sinAcosB +cosAsinB <sinBcosA ，即sinAcosB <0，在三角形中可得sinA >0， 所以cosB <0， 所以得证B 为钝角；(Ⅱ)i)若满足①②③，则正弦定理可得asinA=c sinC，即√22=√2sinC ，所以sinC =12，又a >c ，所以A >C ，在三角形中，sinA =√22，所以A =π4或A =34π，而由(Ⅰ)可得A =π4所以可得C =π6，B =π−A −C =π−π4−π6=712π，所以b =√a 2+c 2−2accosB =√√4)=√3+1′ii)若满足①②④，由(Ⅰ)B 为钝角，A ，C 为锐角，及sinA =√22，sinC =√32可得A =π4，C =π3，所以B =512π不符合B 为钝角，故这种情况不成立；iii)若满足②③④，由B 为钝角，sinC =√32，所以C =π3，而a >c ，所以A >C ，这时B <π3，不符合B 为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①②③时b =√3+1．【解析】(Ⅰ)在三角形中由正弦定理可得不等式的变形sinAcosB <0，可证得B 为钝角；(Ⅱ)任意选3个条件讨论，由正弦定理及B 为钝角的条件可得再由满足①②③的情况符合条件，再由余弦定理求出b 边．本题考查正弦定理及余弦定理的应用，和两角和的正弦公式的展开式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由已知得：a =2，c a =12，所以b 2=3，所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,n)， 设直线MN 的方程为：y =x −1， 由{y =x −1x 24+y 23=1，得7x 2−8x −8=0，x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 1−n x 1−4+y 2−n x 2−4=(y 1−n)(x 2−4)+(y 2−n)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)=(x 1−1−n)(x 2−4)+(x 2−1−n)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)=2x 1x 2−(5+n)(x 1+x 2)+8+8n x 1x 2−4(x 1+x 2)+16=2(−87)−(5+n)⋅87+8+8n−87−4×87+16 =2n 3，因为k PF =n3，所以2k PF =k PM +k PN ，所以直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．【解析】(Ⅰ)由已知得：a =2，ca =12，所以b 2=3，进而可得椭圆的标准方程．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,n)，设直线MN 的方程为：y =x −1，联立直线MN 与椭圆的方程得7x 2−8x −8=0，x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 1−n x 1−4+y 2−nx 2−4=(y 1−n)(x 2−4)+(y 2−n)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)=2n3，k PF =n3，所以2k PF =k PM +k PN 所以直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题，等差数列，关键是计算化简要细心，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)(i)当a=e时，f(x)=(x−1)e x−elnx，∴f′(x)=xe x−e x，∴f′(1)=e−e=0，∵f(1)=0，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0，(ii)令g(x)=xe x−e x，x>0，∴g′(x)=(x+1)e x+ ex2>0，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，∵g(1)=e−e=0，∴当x∈(0,1)时，g(x)=f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g(x)=f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)min=f(1)=0．(Ⅱ)∵f(x)=(x−1)e x−alnx，x>0，∵f(1)=0，且曲线y=f(x)与x轴有且仅有一个公共点，∴函数f(x)有且仅有1个零点，这个零点为1，∴f′(x)=xe x−ax =x2e x−ax，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，x→0+时，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，所以符合函数f(x)有且仅有1个零点，这个零点为1，当0<a<e时，令g(x)=x2e x−a，(x>0)，g′(x)=2xe x+x2e x=(x2+2x)e x>0，所以在(0,+∞)上，g(x)单调递增，所以g(x)>g(0)=−a<0，g(1)=e−a>0，所以∃x0∈(0,1)时，g(x0)=0，即x02e x0=a，所以在(0,x0)上g(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(x0,+∞)上g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(x0)，所以如果有1个零点，只能是x0∈(0,1)，不符合题意．当a =e 时，f(x)=(x −1)e x −elnx ，x >0 ∴f′(x)=xe x −ex =x 2e x −e x，令ℎ(x)=x 2e x −e ，(x >0)，ℎ′(x)=2xe x +x 2e x =(x 2+2x)e x >0， 所以在(0,+∞)上，ℎ(x)单调递增， 所以ℎ(x)>g(0)=−e <0， ℎ(1)=e −e =0，所以在(0,1)上g(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减， 在(1,+∞)上g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)min =f(1)=0，符合题意． 所以实数a 的取值范围：a ≤0或a =e ．【解析】(Ⅰ)(i)当a =e 时，f(x)=(x −1)e x −elnx ，求导数f′(x)，得f′(1)，进而写出曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．(ii)令g(x)=xe x −e x ，求导数，分析单调性，进而得出最小值．(Ⅱ)因为f(1)=0，且曲线y =f(x)与x 轴有且仅有一个公共点，所以函数f(x)有且仅有1个零点，这个零点为1，求导数f′(x)=xe x −ax =x 2e x −ax，分三种情况：当a ≤0时，当0<a <e 时，当a =e 时，讨论函数f(x)的零点，进而得出结论．本题考查导数的几何意义，求最值，以及参数的取值范围，属于难题．21.【答案】解：(Ⅰ)χ(A)=3，χ(B)=2，χ(C)=1；(Ⅱ)(a)一方面：对任意的a =(a 1,a 2,a 3,…,a 2019,a 2020)∈A ， 令f(a)=(a 1,a 2,a 3,…,a 2019,a 2020)，则d(a,f(a))=|1−2a 2020|=1<2，故f(a)∉A ， 令集合B ={f(a)|a ∈A}，则A ∩B =⌀， (A ∪B)⊆Ω2020且A 和B 的元素个数相同， 但Ω2020中共有22020个元素，其中至多一半属于A ， 故A 中至多有22019个元素．(b)另一方面：设A ={(a 1,a 2,…,a 2020)∈Ω2020|a 1+a 2+⋯+a 2020是偶数}，则A 中的元素个数为C 20200+C 20202+C 20204+⋯+C 20202020=22019对任意的x =(x 1,x 2,…,x 2020)，y =(y 1,y 2,…,y 2020)∈A ，x ≠y ，易得d(x,y)=|x 1−y 1|+|x 2−y 2|+⋯+|x n −y n |与 x 1+y 1+x 2+y 2+⋯+x 2020+y 2020奇偶性相同， 故d(x,y)为偶数，由x ≠y ，得d(x,y)>0，故d(x,y)⩾2，注意到(0,0，0，0，…，0，0)，(1,1，0，0，…0，0)∈A 且它们的距离为2， 故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为22019． (Ⅲ)当n =2020时，设A ⊆Ω2020且χ(A)=3， 设A ={x 1,x 2,…x m }，任意的x i ∈A ，定义x 的邻域N(x i )={a ∈Ω2020|d(a,x i )⩽1}， (a)对任意的1≤i ⩽m ，N(x i )中恰有2021个元素，事实上 ①若d(a,x i )=0，则a =x i ，恰有一种可能；，②若d(a,x i )=1，则a 与x i ，恰有一个分量不同，共2020种可能； 综上，N(x i )中恰有2021个元素，(b)对任意的1⩽i ⩽j ⩽m ，N(x i )∩N(x j )=⌀， 事实上，若N(x i )∩N(x j )≠⌀，不妨设a ∈N(x i )∩N(x j )，x j =(x 1′,x 2′,…,x 2020′)， 则d(x i ,x j )=∑|2020k=1x k −x k ′|⩽∑(2020k=1|x k −a|+|a −x k ′|)=∑|2020k=1x k −a|+∑|2020k=1a −x k ′|⩽2，这与χ(A)=3，矛盾，由(a)和(b)，N(x 1)∪N(x 2)∪…∪N(x m )中共有2021m 个元素， 但Ω2020中共有22020个元素， 所以2021m ⩽22020,m ⩽220202021，注意到m 是正整数，但220202021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A 中的元素个数m 小于220202021．【解析】(Ⅰ)根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出d(x,y)的最小值即可；(Ⅱ)一方面先证明A 中元素个数至多有22019个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为22019个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；(Ⅲ)设A={x1,x2,…x m}，定义x的邻域N(x i)={a∈Ω2020|d(a,x i)⩽1}，先证明对任意的1≤i⩽m，N(x i)中恰有2021个元素，再利用反证法证明N(x i)∩N(x j)=⌀，于是得到N(x1)∪N(x2)∪…∪N(x m)中共有2021m个元素，但Ω2020中共有22020个元素，所以2021m⩽22020，进而证明结论．本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．。
2020年北京高考适应性测试数学(PDF版)
数学参考答案 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数学参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）B（ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）1 （12）2-（13）1 （14）34（15）①③ 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点， 所以//PA MN ．又因为PA ⊄平面MNC ， 所以//PA 平面MNC ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -．设2AD =， 则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =-， (0,2,2)NC =-，(1,0,2)MN =-． 设平面M NC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,MN NC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,220.x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ．数学参考答案 第 2 页（共 6 页）设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． （17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =． 所以3(12)3(21)12n n n S -==--． 令2020k S >， 即202323k >． 所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10． 解2：选择② 因为312a =，所以148a =，148(1)1296(1)1212n n n S ⨯-==--． 因为962020n S <<，所以不存在满足条件的正整数k .解3：选择③因为312a =，所以13a =， 所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ⨯--==----． 令2020k S >, 即1(2)2020k -->，整理得(2)2019k -<-．当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11．数学参考答案 第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =． 由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =．（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7P D P C C P C P C ==+=． （Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =． 所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B =4110()()P A P B = 1049=． （Ⅲ）0μ<1μ．（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =--，所以()e e x a f x x x '=-． 所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =-．（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x a f x x x x '=-=-，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <．数学参考答案 第 4 页（共 6 页） ()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =-．（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，且22(2)e 2e >e 20a f =-->．由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的零点个数为1．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-． 因为直线BD ，BM 的斜率的积为14-， 所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+． 直线AN 的方程为111m y x x -=+． 直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+． 联立1111,1,4(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩数学参考答案 第 5 页（共 6 页）解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=， 则0D y =． 所以点D 在x 轴上．（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经S ϕ变换后得1336⎛⎫⎪--⎝⎭， 故0()13365S T A =+--=-．（Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+1112a a =--．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．数学参考答案 第 6 页（共 6 页）所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ⨯--+-⨯+1112a a =--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----， 又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4-．。
2020北京市高考数学适应性测试答案及评分参考
数学参考答案及评分参考 第 1 页（共 6 页）数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D（ 7 ）B（ 8 ）C（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）1 （12）2− （13）1（14）34（15）①③注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点，所以//PA MN ． …………… 2分又因为PA ⊄平面MNC ， …………… 3分 所以//PA 平面MNC ． …………… 5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz −．设2AD =，则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =−， ……………… 7分 (0,2,2)NC =−，(1,0,2)MN =−．设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,MN NC ⎯⎯→⎯⎯→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,220.x z y z −+=⎧⎨−=⎩ ……………… 10分 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ． ……………… 12分 设直线PB 与平面MNC 所成角为α，数学参考答案及评分参考 第 2 页（共 6 页）所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⋅=〈〉==n n n ． ……………… 14分 （17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =． ……………… 4分所以3(12)3(21)12n n n S −==−−． ………………9分 令2020k S >， 即202323k>． ……………… 12分所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10． ……………… 14分解2：选择②因为312a =，所以148a =． ……………… 4分148(1)1296(1)1212n n nS ⨯−==−−． ……………… 9分因为962020n S <<，……………… 12分 所以不存在满足条件的正整数k . ……………… 14分 解3：选择③因为312a =，所以13a =． ……………… 4分 所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ⨯−−==−−−−． ……………… 9分 令2020k S >, 即1(2)2020k −−>，整理得(2)2019k −<−． ……………… 12分 当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11． ……………… 14分数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”， 事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =．由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =． ……………… 2分（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7P D P C C P C P C ==+=． ……………… 5分 （Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =．……………… 8分所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B = 4110()()P A P B =1049=． ……………… 11分 （Ⅲ）0μ<1μ． ……………… 14分 （19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =−−，所以()e e x af x x x '=−． ……………… 2分所以(0)1f =−，(0)0f '=． ……………… 4分 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =−． ……………… 5分（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x af x x x x '=−=−，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <． ……………… 8分 ()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 6 页）……………… 10分由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =−． ……………… 11分（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，……………… 12分且22(2)e 2e >e 20a f =−−>． ……………… 13分 由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ……………… 14分 所以函数()f x 的零点个数为1． ……………… 15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩……………… 2分所以2224a b c =+=，即2a =． ……………… 3分故椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………… 4分（Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m −，10x ≠，11m −<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x −−+=−． ……………… 5分 因为直线BD ，BM 的斜率的积为14−， 所以直线BD 的斜率为14(1)x m −+． ……………… 6分直线AN 的方程为111my x x −=+． ……………… 7分 直线BD 的方程为114(1)x y x m =−−+． ……………… 8分数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 6 页）联立1111,1,4(1)m y x x x y x m −⎧=+⎪⎪⎨⎪=−−⎪+⎩ ………………9分解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m −−+=−+−． ………………12分因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=， ……………… 13分 则0D y =．所以点D 在x 轴上． ……………… 14分（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A −−⎛⎫= ⎪⎝⎭． ……………… 3分（Ⅱ）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经S ϕ变换后得1336⎛⎫⎪−−⎝⎭， ……………… 6分 故0()13365S T A =+−−=−． ……………… 8分 （Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a −−；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a −−；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421−个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ⨯−−+⨯−−+⨯++−⨯+1112a a =−−．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 6 页）变换后第一行均变为1112,a a −−；不含有11a 的子集共521−个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ⨯−−+−⨯+1112a a =−−． ……………… 12分同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a −−． 所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a −−−−， 又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4−． ……………… 14分。
数学试题--2020年北京市高考适应性测试+-+副本
12020 年北京市高考适应性测试数 学本试卷共 6 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i (i + 2) 对应的点的坐标为（A ） (1, 2 ) （B ） (- 1, 2 )（C ） ( 2, 1) （D ） ( 2, - 1)（2）已知集合 A = { x x < 2} ， B = { - 1, 0,1, 2, 3 } ，则 A B =（A ）{ 0, 1} （B ）{ 0, 1, 2 } （C ）{ - 1, 0, 1} （3） 下列函数中，在区间(0, + ∞) 上为减函数的是（D ）{ - 1, 0, 1, 2 }（A ） y（B ） y = x 2 - 1 （C ） y = (1)x 2 （D ） y = log 2 x（4） 函数 f ( x )（A ）{x | x ≤ 2 或 x ≥ 3} （C ）{x | 2 ≤ x ≤ 3}（B ）{x | x ≤ - 3 或 x ≥ -2}（D ）{x | -3 ≤ x ≤ -2}（5） 圆心为( 2, 1) 且和 x 轴相切的圆的方程是（A ） (x - 2)2 + ( y - 1)2 = 1 （B ） (x + 2)2 + ( y + 1)2 = 1（C ） (x - 2)2 + ( y - 1)2 = 5 （D ） (x + 2)2 + ( y + 1)2 = 5（6） 要得到函数 y = sin(2x - π) 的图象，只需要将函数 y = sin 2x 的图象3（A ）向左平移 π 个单位 （B ）向左平移 π 个单位3 6（C ）向右平移 π 个单位 （D ）向右平移 π 个单位3 62 x（7） 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 （A ） 2 3 （B ） 43（C ） 2（D ） 4正（主）视图侧（左）视图俯视图（8） 已知点 A ( 2, 0 ) ， B ( 0, - 2 ) ．若点 P 在函数 y = 的图象上，则使得△ P AB 的面积为 2的点 P 的个数为（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4（9） 设{a n }是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 S n ．则“ ∀n ∈ N * ，S n +1 > S n ”是“ {a n }为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10） 学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为 A 的学生有5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其另外一科等级为 B ．则该班（A ） 物理化学等级都是 B 的学生至多有12 人（B ） 物理化学等级都是 B 的学生至少有5 人 （C ） 这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至多有18 人（D ） 这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至少有1 人2 12等级 科目A B C DE物理 10 16 9 1 0化学 8 19 7 2 0x -2第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共5 题，每题5 分，共25 分。
2020北京市高考数学适应性测试卷含答案
数学参考答案及评分参考
一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分）
（ 1 ）B
（ 2 ）C
（ 3 ）C
（ 4 ）A
（ 5 ）A
（ 6 ）D
（ 7 ）B
（ 8 ）C
（ 9 ）A
（10）D
二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）
（11） 1
（12） −2
（13） 1 （15）①③
（1）在复平面内，复数 i (i + 2) 对应的点的坐标为
（A） (1, 2 )
（B） (− 1, 2 )
（C） ( 2, 1)
（D） ( 2, −1)
（2）已知集合 A = { x x 2} ， B = { −1, 0,1, 2,3 } ，则 A B =
（A）{ 0, 1}
（B）{ 0, 1, 2 }
则将这一行中每个数都乘以 −1 ；若其中没有 k 且没有 −k ，则这一行中所有数均保持不变”
（ k = e1,e2 , ,el ）． S (A0 ) 表示“将 A0 经过e1 变换得到 A1 ，再将 A1 经过 e2 变换得到 A2 ，… ，
以此类推，最后将 Al−1 经过el 变换得到 Al ”，记数阵 Al 中四个数的和为 TS (A0 ) ．
至多有18 人 （D）这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生
等级 A
科目
B CDE
物理 10 16 9 1 0
化学 8 19 7 2 0
至少有1 人
数学 第 2 页（共 6 页）
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。
（11）已知双曲线
2020北京高考适应性测试-数学试卷(1)_带答案
B 组 12 13 14 15 16 17 18
C 组 13 14 15 16 17 18 19
假设所有植株的生长情况相互独立．从 A, B, C 三组各随机选1 株， A 组选出的植株记为 甲， B 组选出的植株记为乙， C 组选出的植株记为丙． （Ⅰ）求丙的高度小于15 厘米的概率； （Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；
已知函数
f
(x)
=
ex (x
− 1)
−
1 2
ea
x2
，a
<
0
．
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 ( 0, f (0) ) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的极小值；
（Ⅲ）求函数 f (x) 的零点个数．
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（20）（本小题 14 分） 已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为 A(0, 1) ， B(0, −1) ，焦距为 2 3 ．
（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为 μ 0 ．从 A, B, C 三块试验田中分别再随机抽取1 株该种植
物，它们的高度依次是14, 16, 15（单位：厘米）．这 3 个新数据与表格中的所有数据构
成的新样本的平均数记为 μ1，试比较 μ 0 和 μ1的大小．（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
化学 8 19 7 2 0
至少有1 人
数学 第 2 页（共 6 页）
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。
（11）已知双曲线
x2 a2
−
y2
=1
(a
>