三角形五心性质归纳总结

三角形的“五心”性质归纳总结

任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。我们可以用14个字便能准确快捷地区分并记住五心，“中重、高垂、垂直平分外、分内、外分旁”，最后一字为三角形的某种心，前三种为边上的某种线，后两种为三角形内角或外角的平分线。

中重：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；此点到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

高垂：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。

垂直平分外：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R.

分内：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r.

重心、垂心、外心、内心均只有唯一的一点，作图时只需作出二线，第三线一定过此点。

外分旁：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心。任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等。

到三角形三边距离相等的点共有四点，内心及旁心。

在初中阶段外心、内心我们经常在圆部分接触和应用，一定要掌握它们的特性，重心、旁心、垂心偶尔接触只需了解。

等腰三角形的重心、垂心、外心、内心及其中一颗旁心在同一直线上即底边的高线上。等边三角形是最完美的三角形，因而前四心及一

颗旁心合一，外接圆半径R 为内切圆半径r 的2倍，R=

3

3a （a 为边长）

（∠OAD=30°，∴R=2r,高为23a,则，R=33a ，r=63a ）

直角三角形的外接圆半径为斜边的一半（

2

C ），内切圆半径为21（a+b-c ）,c 为斜边的长。 如图 S=

21AC ·BC=2

1r （AC+BC+AB ） ∴r=AB BC AC BC AC ++⋅.=c b a ab ++ =22)(b a b a ab

+++=2

1（a+b-c ） 例1. 已知等边三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，若⊙O 的半径为8cm 时，

求△ABC 的内切圆面积。

解析：要求内切圆面积，先找内心和半径r ；因为是等边△，∴内外心合一，且R=2r 。则r=4cm.

∴S 内切圆=πr 2=16π

例2. 在Rt △ABC,AB 为斜边，AC=6,BC=8,I 为内心，O 为外心，求OI 的长。 解析：由勾股定理有AB=10，I 为内切圆圆心即内角平

分线交点，

过I 作IE ⊥BC ，IF ⊥AC ，ID ⊥AB ， ID=2

1（a+b-c ）=2

在Rt △ABC, O 为外心，则AO=BO=5

由切线长定理知 CF=CE=r,AF=AD,BE=BD,

∴AF=AD=AC-r=6-2=4

则OD=1, 在Rt △IOD 中,ID=2,OD=1,则OI=122+=5.