考研数学三历年真题及答案年
2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设,0,0,0,1cos)(xxxxxf若若 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____. （2）已知曲线bxaxy233与x轴相切，则2b可以通过a表示为2b________. （3）设a>0，，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则DdxdyxygxfI)()(
=_______.
（4）设n维向量0,),0,,0,(aaaT
；E为n阶单位矩阵，矩阵
TEA， TaEB1， 其中A的逆矩阵为B，则a=______. （5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若4.0XZ，则Y与Z的相关系数为________.
（6）设总体X服从参数为2的指数分布，nXXX,,,21
为来自总体X的简单随
机样本，则当n时，niinXnY121依概率收敛于______.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f存在，则函数x
xfxg)(
)(
(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ]
（2）设可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ),(0yxf在0yy处的导数等于零. （B）),(0yxf在0yy处的导数大于零. (C) ),(0yxf在0yy处的导数小于零. (D) ),(0yxf在0yy处的导数不存在.
[ ]
（3）设2nnnaap，2nnnaaq，,2,1n，则下列命题正确的是 (A) 若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq都收敛. (B) 若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛. (C) 若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定. (D) 若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定. [ ]
（4）设三阶矩阵abbbabbbaA，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0. (C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. [ ]
（5）设s,,,21
均为n维向量，下列结论不正确的是
(A) 若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有02211sskkk，则s,,,21线性无关.
(B) 若s,,,21
线性相关，则对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有
.02211sskkk
(C) s,,,21
线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) s,,,21
线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
[ ]
（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A={掷第一次出现正面}，2A={掷第二次出现正面}，3A={正、反面各出现一次}，4A={正面出现两次}，则事件 (A) 321,,AAA相互独立. (B) 432,,AAA相互独立. (C) 321,,AAA两两独立. (D) 432,,AAA两两独立. [ ]
三、（本题满分8分） 设 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续. 四 、（本题满分8分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222vfuf，又)](21,[),(22yxxyfyxg,求.2222ygxg
五、（本题满分8分） 计算二重积分 其中积分区域D=}.),{(22yxyx
六、（本题满分9分） 求幂级数12)1(2)1(1nnnxnx的和函数f(x)及其极值. 七、（本题满分9分） 设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(内满足以下条件： )()(xgxf，)()(xfxg，且f(0)=0, .2)()(xexgxf
(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分） 设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(，使.0)(f
九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 其中.01niia 试讨论naaa,,,21
和b满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型 )0(222),,(31232221321bxbxxxaxAXXxxxfT， 中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b的值； (2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
十一、（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分13分） 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 7.03.021~X， 而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 2003年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设,0,0,0,1cos)(xxxxxf若若 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是2. 【分析】 当x0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当1时，有 显然当2时，有)0(0)(lim0fxfx，即其导函数在x=0处连续. （2）已知曲线bxaxy233与x轴相切，则2b可以通过a表示为2b 64a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0y，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b与a的关系.
【详解】 由题设，在切点处有 03322axy，有 .220ax
又在此点y坐标为0，于是有 0300230bxax, 故 .44)3(6422202202aaaxaxb
【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则DdxdyxygxfI)()(= 2a
.
【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10xyx时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.
【详解】 DdxdyxygxfI)()(=dxdya
xyx10,102
=.])1[(21021012adxxxadydxaxx
【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.
（4）设n维向量0,),0,,0,(aaaT
；E为n阶单位矩阵，矩阵
TEA， TaEB1， 其中A的逆矩阵为B，则a= -1 . 【分析】 这里T为n阶矩阵，而22aT为数，直接通过EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设，有 =TTTT
aaE
11
=TTTT
aaE)(11
=TTT
aaE21
=EaaET)121(, 于是有 0121aa，即 0122aa，解得 .1,21aa 由于A<0 ,故a=-1. （5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若4.0XZ，则Y与Z的相关系数为 0.9 .
【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为 =)(4.0)()()(4.0)(YEXEYEYEXYE
=E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DXDZ
于是有 cov(Y,Z)=DZDYZY),cov(=.9.0),cov(
XYDYDX
YX
【评注】 注意以下运算公式：DXaXD)(，).,cov(),cov(YXaYX
（6）设总体X服从参数为2的指数分布，nXXX,,,21
为来自总体X的简单随
机样本，则当n时，niinXnY121依概率收敛于 21 .
【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量nXXX,,,21，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：
【详解】 这里22221,,,nXXX满足大数定律的条件，且22)(iiiEXDXEX
=21)21(412，因此根据大数定律有
niinXnY121依概率收敛于.21112niiEX
n
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f存在，则函数x
xfxg)(
)(
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有( )A．a=b或a+2b=0。
B．a=b或a+2b≠0。
C．a≠b且a+2b=0。
D．a≠b且a+2b≠0。
正确答案：C解析：根据A与其伴随矩阵A2秩之间的关系知，r(A)=2，故有=(a+2b)(a 一b)2=0，即有a+2b=0或a=b。
但当a=b时，显然r(A)≠2，故必有a≠b且a+2b=0。
应选C。
知识模块：线性代数2．设n阶矩阵A与B等价，则必有( )A．当｜A｜=a(a≠0)时，｜B｜=a。
B．当｜A｜=a(a≠0)时，｜B｜=一a。
C．当｜A｜≠0时，｜B｜=0。
D．当｜A｜=0时，｜B｜=0。
正确答案：D解析：因为当｜A｜=0时，r(A)＜n，又A与B等价，故r(B)＜n，即｜B｜=0，故选D。
知识模块：线性代数3．设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm-1线性表出，记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm-1，β，则( ) A．αm不能由(Ⅰ)线性表出，也不能由(Ⅱ)线性表出。
B．αm不能由(Ⅰ)线性表出，但可由(Ⅱ)线性表出。
C．αm可由(Ⅰ)线性表出，也可由(Ⅱ)线性表出。
D．αm可由(Ⅰ)线性表出，但不可由(Ⅱ)线性表出。
正确答案：B解析：β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，即存在常数k1，k2，…，km使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm，(*)β不能由α1，α2，…，αm-1线性表出，从而知km≠0(若km=0，则k1α1+k2α2+…+km-1αm-1，这和β不能由α1，α2，…，αm-1线性表出矛盾)。
(*)可变为kmαm=β一k1α1+k2α2+…+km-1αm-1，上式两端同除km αm=(β一k1α1+k2α2+…+km-1αm-1)，αm能由(Ⅱ)线性表出，排除A，D。
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)＝E(X).E(Y)，则A．D(XY)＝D(X).D(Y)．B．D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)．C．X与Y独立．D．X与Y不独立．正确答案：B解析：∵D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2[E(XY)－E(X)E(Y)]，可见选项B与E(XY)＝E(X)E(Y)是等价的．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U与V必然A．不独立．B．独立．C．相关系数不为零．D．相关系数为零．正确答案：D解析：∵X与Y同分布，∴DX＝DY 得cov(U，V)＝cov(X－Y，X＋Y)＝cov(X，X)＋cov(X，Y)～cov(Y．X)－cov(Y，Y) ＝DX－DY=＝0 ∴相关系数ρ＝0 知识模块：概率论与数理统计3．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．－1B．0C．D．1正确答案：A解析：∵X＋Y＝n，∴Y＝n－X 故DY＝D(n－X)＝DX，cov(X，Y)＝cov(X，n－X)＝－cov(X．X)＝－DX．∴X和Y的相关系数ρ(X，Y)＝＝－1．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为A．fX(χ)．B．fY(y)．C．fX(χ)fY(y)．D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关．故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)，(χ，y)∈R2．得fX｜Y(X｜Y)＝＝fX(χ) 故选A．知识模块：概率论与数理统计填空题5．设随机变量Xij(i，j＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，EXij＝2，则行列式的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，p1，…，pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率密度为：则P(X＞0)＝∫0＋∞f(χ)dχ＝P(X ＜0)＝∫－∞0＝，而P(X＝0)＝0 故EY＝1.P(X＞0)＋0.P(X＝0)＋(－1)P(x ＜0)＝E(Y2)＝12.P(X＞0)＋02.P(X＝0)＋(－1)2P(X＜0)＝＝1 ∴DY＝E(Y)2－(EY)21－知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．正确答案：－0．02解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，EY2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0．9解析：因为D(Z)＝D(X－0．4)＝DX，且cov(Y，Z)＝cov(Y，X－0．4)＝cov(Y，X)＝cov(X，Y) 故ρ(Y，Z)＝＝ρ(X，Y)＝0．9．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：解析：由题意，DX＝，而X的概率密度为故＝e-1．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：解析：由EX2＝DX＋(EX)2＝1＋12＝2，故P{X＝EX2}＝P{X＝2}＝知识模块：概率论与数理统计11．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．正确答案：μ3＋μσ2解析：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，解：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，故EX＝μ，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝σ2＋μ2 ∴E(XY2)＝EX.E(Y2)＝μ(σ2＋μ2)＝μ3＋μσ2 知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．正确答案：2e2解析：E(Xe2X)＝而－χ2＋2χ＝－(χ2－4χ＋4－4)＝－(χ－2)2＋2 ∴E(Xe2X)＝＝2e2 知识模块：概率论与数理统计13．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．正确答案：解析：由题意可知X～N(1，1)，Y～N(0，1)，且X与Y独立．可得X－1～N(0，1)，于是P(Y＞0)＝P(Y＜0)＝，P(X－1＞0)＝P(X－1＜0)＝，可得P(XY －Y＜0)＝P{Y(X－1)＜0}＝P{Y＞0，X－1＜0}＋P{Y＜0，X－1＞0} ＝P(Y ＞0)P(X－1＜0)＋P(Y＜0)P(X－1＞0) ＝知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。
即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).A．存在且等于零B．存在但不一定为零C．一定不存在D．不一定存在正确答案：D解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．A．a=1，b=－1／6B．a=1，b=1／6C．a=－1，b=－1／6D．a=－1，b=1／6正确答案：A解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续6．[2010年]若则a等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．A．a=0B．b=1C．c=0D．正确答案：D解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续填空题8．[2012年]设函数则正确答案：解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续9．[2012年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．[2009年]正确答案：3e/2解析：知识模块：函数、极限、连续11．[2015年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续12．[2002年]设常数则正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续13．[2005年]正确答案：2解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续14．[2007年]正确答案：0解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(综合)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（综合）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(91年)曲线y＝A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：因为＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有铅直渐近线χ＝0，所以应选D．2．(93年)设f(χ)＝∫0sinχsin(t2)dt，g(χ)＝χ3＋χ4，则当χ→0时，f(χ)是g(χ)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：则应选B．3．(98年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：则f′(1)＝－2，由f′(χ)周期性知，f′(5)＝f′(1)＝－2．故应选D．4．(97年)设在区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，fχ(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)](b－a)则A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：由题设可知，在[a，b]上，f(χ)＞0单调减，曲线y＝f(χ)上凹，如图1．5．S1表示y＝f(χ)和χ＝a，χ＝b及χ轴围成曲边梯形面积，S2表示矩形abBC的面积，S3表示梯形AabB的面积．由图1．5可知，S2＜S1＜S3．故应选B．5．(97年)若f(－χ)＝f(χ)，(－∞＜χ＜＋∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＜0，fv(χ)＜0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ)知，f(χ)为偶函数，而由在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0知在(－∞，0)内，y＝f(χ)的图形下凹单调增，则f(χ)由图1．6图形可知，在(0，＋∞)内，f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0，则应选C．6．(93年)设随机变量X的密度函数是φ(χ)，且φ(－χ)＝φ(χ)，F(χ)是X的分布函数，则对任意实数a，有A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由φ(－χ)＝φ(χ)知，φ(χ)为偶函数，其图形关于y轴对称，如图1．7由几何意义可知，F(－a)＝S1 ∫1aφ(χ)dχ＝S2 则S1＝－S2，即F(－a)＝．故应选B．7．(99年)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则A．P{X＋Y≤0}＝B．P{X＋Y≤1}＝C．P{X－Y≤0}＝D．P{X－Y≤1}＝正确答案：B解析：由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态，则X＋Y～N(1，)．X－Y～N(－1，)由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为，则P{X＋Y＜1}＝故应选B．8．(06年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0．f〞(χ)＞0，△χ为自变量χ在点χ0处的增量，△y与曲分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△r＞0，则A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ2，在(0，＋∞)上，f′(χ)＝2χ＞0，f〞(χ)－2＞0，取χ0＝1．则dy＝2△χ△y＝f(1＋△χ)－f(1)＝(1＋△χ)2－12＝2△χ＋(△χ)2 由于△χ＞0，则0＜dy＜△y，从而选项B、C、D均不正确，故应选A．9．(06年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则A．f(0)＝0且f－′(0)存在．B．f(0)＝1且f－′(0)存在．C．f(0)＝0且f＋′(0)存在．D．f(0)＝1且f＋′(0)存在．正确答案：C解析：令f(χ)＝，显然f(χ)满足原题设条件，而f(0)＝0，f－′(0)＝＝∞(不存在)，则选项A、B、D均不正确，故应选C．10．(05年)以下四个命题中正确的是A．若f′(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．B．若f(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．C．若f′(χ)在(0，1)内有界，则f(χ)在(0，1)内有界．D．若f(χ)在(0，1)内有界，则f′(χ)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：令f(χ)＝，显然f(χ)，f′(χ)＝－都在(0，1)内连续，但f(χ)＝在(0，1)内无界，则选项A、B不正确．若令f(χ)＝，显然f(χ)在(0，1)内有界，但f′(χ)＝在(0，1)内无界，则D不正确，故应选C．11．(05年)设an＞0(n＝1，2，…)，若an发散，(－1)n-1an收敛，则下列结论正确的是A．B．C．D．正确答案：D解析：则A、B、C均不正确，故应选D．12．(96年)设函数f(χ)在区间(－δ，δ)内有定义，若当χ∈(－δ，δ)时，恒有｜f(χ)｜≤χ2，则χ＝0必是f(χ)A．间断点．B．连续而不可导的点．C．可导的点，且f′(0)＝0．D．可导的点，且f′(0)≠0．正确答案：C解析：令f(χ)＝χ3，显然χ∈(－δ，δ)时，｜f(χ)｜＝｜χ3｜≤χ2．且f′(χ)＝3χ2，f′(0)＝0，则A、B、D均不正确，故应选C．13．(90年)已知f(χ)在χ＝0某邻域内连续，且f(0)＝0，＝2，则在点χ＝0处f(χ)A．不可导．B．可导且f′(χ)≠0．C．取得极大值．D．取得极小值．正确答案：D解析：由于当χ→时0，1－cosχ～χ2，所以令f(χ)＝χ2，则f(χ)符合原题设条件．而f(χ)在χ＝0处可导，f′(0)＝0，取极小值，则A、B、C均不正确，故应选D．14．(01年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：若取f′(χ)＝－(χ－a)，即令f(χ)＝－(χ－a)2，则显然f(χ)符合原题条件，f(χ)＝－(χ－a)2在χ＝0取极大值，且(a，f(a))也不是y＝－(χ－a)2的拐点，则A、C、D均不正确，故应选B．15．(99年)设f(χ)是连续函数，F(χ)是f(χ)的原函数，则A．当f(χ)是奇函数时，F(χ)必是偶函数．B．当f(χ)是偶函数时，F(χ)必是奇函数．C．当f(χ)是周期函数时，F(χ)必是周期函数．D．当f(χ)是单调增函数时，F(χ)必是单调增函数．正确答案：A解析：令f(χ)＝cosχ＋1，F(χ)＝sinχ＋χ＋1．显然f(χ)是偶函数，周期函数，但F(χ)不是奇函数，也不是周期函数，则B、C均不正确．若令f(χ)＝χ，F(χ)＝χ2，则f(χ)单调增，但F(χ)不单调增，因此，D也不正确，故应选A．16．(96年)设f(χ)处处可导，则A．当f′(χ)＝＋∞时，必有f(χ)＝＋∞．B．当f(χ)＝＋∞时，必有f′(χ)＝＋∞．C．当f′(χ)＝－∞时，必有f(χ)＝－∞．D．当f(χ)＝－∞时，必有f′(χ)＝－∞．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ，则f′(χ)≡1 f(χ)＝＋∞，但f′(χ)＝1≠＋∞f(χ)＝－∞，但f′(χ)＝1≠－∞则选项B和D均不正确若令f(χ)＝χ2，则f′(χ)＝2χ＝－∞，但f(χ)＝＋∞≠－∞所以C也不正确，故应选A．17．(96年)设f(χ)有连续导数，f(0)＝0，f′(0)≠0，F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f(t)dt，且当χ→0时，F′(χ)与χk是同阶无穷小，则k等于A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由f(0)＝0，f′(0)≠0．取f(χ)＝χ，则F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)tdt＝．18．(87年)设f(χ)在χ＝a处可导，则等于A．f′(a)B．2f′(a)C．0D．f′(2a)正确答案：B解析：令f(χ)＝χ，则但f′(χ)＝1，从而f′(a)＝f′(2a)＝1，则A、C、D均不正确，故应选B．19．(91年)若连续函数f(χ)满足关系式f(χ)＝＋ln2，则f(χ)等于A．e2ln2B．e2χln2C．eχln2D．e2χ＋ln2正确答案：B解析：由f(χ)＝＋ln2知f(0)＝ln2 (1) f′(χ)＝2f(χ) (2) 显然C、D选项不符合(1)式，A选项不符合(2)式，故应选B．20．(95年)设f(χ)和φ(χ)在(－∞，＋∞)内有定义，f(χ)为连续函数，且f(χ)≠0，φ(χ)有间断点，则A．φ[f(χ)]必有间断点．B．[φ(χ)]2必有间断点．C．f[φ(χ)]必有问断点．D．必有间断点．正确答案：D解析：令φ(χ)＝f(χ)＝χ2＋1 显然f(χ)和φ(χ)符合原题条件，而φf[(χ)]＝1，φ2(χ)＝1，f[φ(χ)]＝2均无间断点，则A、B、C均不正确，故应选D．21．(93年)若f(χ)＝－f(－χ)，在(0，＋∞)内，f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则f(χ)在(－∞，0)内A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由原题设可令f(χ)＝χ3，显然f(χ)符合原题条件．而在(－∞，0)内，f′(χ)＝3χ2＞0，f〞(χ)＝6χ＜0．则A、B、D均不正确，故应选C．22．(96年)设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f″′(χ0)＞0，则下列选项正确的是A．f′(χ0)是f′(χ)的极大值．B．f(χ0)是f(χ)的极大值．C．f(χ0)是f(χ)的极小值．D．(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：D解析：由题设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f″′(χ0)＞0．可令f(χ)＝(χ－χ0)3．显然此f(χ)符合原题条件，而f′(χ)＝3(χ－χ0)2显然f′(χ0)是f′(χ)极小值而不是极大值，则A不正确，又f(χ0)＝0，而在χ0任何邻域内f(χ)可正也可负，从而f(χ0)不是f(χ)的极值点，因此B和C也不正确，故应选D．23．(98年)设f(χ)连续，则tf(χ2－t2)dt＝A．χf(χ2)B．－χf(χ2)C．2χf(χ2)D．－2χf(χ2)正确答案：A解析：令f(χ)≡1，则tf(χ2－t2)dt＝tdt＝χ显然B、C、D均不正确，故应选A．24．(94年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，则方程∫aχf(t)dt＋＝0在开区间(a，b)内的根有A．0个B．1个C．2个D．无穷多个正确答案：B解析：由题设条件，可令f(χ)≡1，此时方程∫f(t)dt＋＝0变为(χ－a)＋(χ－b)＝0，即2χ－(a＋b)＝0．该方程在(a，b)内有且仅有一个实根χ＝，则A、C、D均不正确，故应选B．25．(03年)设f(χ)为不恒等于零的奇函数，且f′(0)存在，则函数g(χ)＝A．在χ＝0处左极限不存在．B．有跳跃间断点χ＝0．C．在χ＝0处右极限不存在．D．有可去间断点χ＝0．正确答案：D解析：令f(χ)＝χ，显然f(χ)满足原题条件，而g(χ)＝．显然A、B、C 均不正确，故应选D．26．(99年)设A是m×n矩阵，B是，n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜＝0．C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜＝0．正确答案：B解析：用排除法：当m＞n时，若A＝，B＝[3，4]，则有｜AB｜＝＝0，故A不对；当n＞m时，若A＝[1 2]，B＝，则有｜AB｜＝0，故C不对；当n＞m时，若A＝[1 2]，B＝，则有｜AB｜＝3≠0，故D不对；因此，只有B正确．27．(94年)设有向量组α1(1，－1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，－2，2，0)，α5＝(2，1，5，10)．则该向量组的极大无关组是A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α2，α5D．α1，α2，α4，α5正确答案：B解析：观察易知α3＝3a1＋α2，α5＝2α1＋α2．故A、C都是线性相关组，A、C都不对．当C组线性相关时，D组也线性相关，故D也不对，于是只有B正确．28．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则(A*)*等于A．｜A｜n-1AB．｜A｜n+1AC．｜A｜n-2AD．｜A｜n+2A正确答案：C解析：令A＝，显然A符合原题条件，由伴随矩阵定义易知而｜A｜＝2，则｜A｜n-1＝2，｜A｜n+1＝8，｜A｜n+2＝16；故A、B、D均不正确，故应选C．填空题29．(00年)＝_______．正确答案：解析：本题常规的求解方法是先把根号里面配方，再用三角代换，但计算量较大·实际上，本题根据定积分几何意义立刻知道应填．事实上，该积分在几何上表示单位圆(χ－1)2＋y2≤1面积的，如图1．1．30．(91年)若随机变量X服从均值为2，方差为σ2的正态分布．且P{2＜X＜4}＝0．3，则P{X＜0}＝_______．正确答案：0．2解析：由于正态分布的密度函数是关于均值χ＝2对称．由图1．2易知P{X ＜0}＝S2＝0．5－S1＝0．5－0．3＝0．231．(91年)＝_______．正确答案：πa3解析：事实上，在几何上原题中积分应等于球体χ2＋y2＋z2≤a2的体积的一半，因此应为πa3．32．(94年)设D＝{(χ，y}｜χ2＋y2≤χ＋y＋1}，则(χ＋y)dχdy＝_______．正确答案：解析：积分域D实际上是圆域．由形心公式知：其中分别表示区域D形心的χ坐标和y坐标，SD表示区域D的面积．本题中的圆域形心显然是圆心()，则，而SD＝π×则故33．(99年)设D是由直线χ＝－2，y＝0，y＝2以及曲线χ＝－所围成的平面域，则ydχdy＝_______．正确答案：4－解析：积分域D如图1．3所示，由图1．3不难看出＝1，积分域D的面积SD应为正方形面积减去半圆面积，即SD＝4－因此，34．(87年)∫－χπχ4sinχdχ＝_______．正确答案：0解析：由于χ4sinχ为奇函数，且积分区间[－π，π]关于原点对称．35．(94年)_______．正确答案：ln3解析：原式＝36．(01年)(χ3＋sin2χ)cos2χdχ＝_______．正确答案：解析：37．(94年)设区域D为χ2＋y2≤R2，则＝_______．正确答案：解析：由于本题积分域为χ2＋y2≤R2，由χ和y的对称性知因此38．(01年)设平面域D由直线y＝χ，y＝－1及X＝1所围成．则＝_______．正确答案：解析：先画出积分域D如图1．4△ABC．y＝－χ将D分为两部分D1(△ABO)和D2(ABOC) 由于是χ的奇函数，D1关于y轴左右对称．则同理，是y的奇函数，D2关于X轴上下对称．则．故原式＝－．。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(06年)设非齐次线性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)有两个不同的解y1(χ)，y2(χ)，C为任意常数，则该方程的通解是【】A．C[y1(χ)－y2(χ)]．B．y1(χ)＋C[y1(χ)－y2(χ)]．C．C[y1(χ)＋y2(χ)]．D．y1(χ)＋C[y1(χ)＋y2(χ)]．正确答案：B解析：由于y1(χ)与y2(χ)是非齐次线性方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个不同的解，则y1(χ)－y2(χ)是齐次方程y′＋P(χ)y＝0的非零解，从而C[y1(χ)－y2(χ)]为齐次通解，故非齐次方程通解为y1(χ)＋C[y1(χ)－y2(χ)] 故应选B．知识模块：微积分2．(10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则【】A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1＋μy2为方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的解，则(λy1＋μy2)′＋p(χ)(λy1＋μy2)＝q(χ) 即2(y′1＋p(χ)y1)＋μ(y′2＋p(χ)y2)＝q(χ) λq(χ)＋μq(χ)＝q(χ) λ＋μ＝1 (1) 由于λy1－μy2为方程y′＋p(χ)y＝0的解，则(λy1－μy2)＋p(χ)(λy1－μy2)＝0 λ(y′1＋p(χ)y1)－μ(y′2＋p(χ)y2)＝0 λq(χ)－μq(χ)＝0 λ－μ＝0 (2) 由(1)式和(2)式解得λ＝μ＝知识模块：微积分填空题3．(97年)差分方程yt+1－yt＝t2t的通解为_______．正确答案：y＝C＋(t－2)2t解析：齐次差分方程yt+1－yt＝0的通解为C，C为任意常数．设(at＋b)2t是差分方程yt+1－yt＝t2t的一个特解，则a＝1，b＝－2，因此，yt＝C＋(t－2)2t为所求通解．知识模块：微积分4．(98年)差分方程2yt+1＋10yt－5t＝0的通解为_______．正确答案：yt＝C(－5)t＋解析：将原差分方程改写成标准形式：yt+1＋ayt＝b1t＋b0 即yt+1＋5yt ＝t 则通解为知识模块：微积分5．(01年)某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是_______．正确答案：Wt＝1．2Wt-1＋2解析：Wt表示第t年的工资总额，(单位：百万元)，Wt-1表示第t年上一年的工资总额，由题设知Wt＝1．2Wt-1＋2 知识模块：微积分6．(05年)微分方程χy′＋y＝0满足初始条件y(1)＝2的特解为_______．正确答案：χy＝2解析：本方程是一可分离变量方程，由χy′＋y＝0知，ln｜y｜＝－ln｜χ｜＋lnC1 从而χy＝C，又y(1)＝2，则C＝2．知识模块：微积分7．(07年)微分方程满足y｜χ＝1＝1的特解为y＝_______．正确答案：解析：方程是一个齐次方程，因此令＝u，则y＝χu，，代入原方程得由y｜χ＝1＝1知，1＝C 知识模块：微积分8．(08年)微分方程χy′＋y＝0满足条件y(1)＝1的解是y＝_______．正确答案：解析：方程χy′＋y＝0是一个变量可分离方程，原方程可改写为由y(1)＝1知C＝1，则y＝知识模块：微积分9．(13年)微分方程y〞－y′＋＝0的通解为y＝_______．正确答案：(C1＋C2χ)解析：方程y〞－y′＋＝0的特征方程为γ2－γ＋＝0 特征根为γ1＝γ2＝，则其通解为y＝(C1＋C2χ) 知识模块：微积分10．(15年)设函数y＝y(χ)是微分方程y〞＋y′－2y＝0的解，且在χ＝0处y(χ)取得极值3，则y(χ)＝_______．正确答案：2eχ＋e－2χ解析：原方程的特征方程为λ2＋λ－2＝0 特征根为λ1＝1，λ2＝－2 原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ由y(0)＝3，y′(0)＝0得则C1＝2，C2＝1，y＝2eχ＋e－2χ．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1990考研数学三真题及解析
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1)极限n →∞=_________.(2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数()sin ,0,(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则常数A =___________.(3) 曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.(4) 若线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin ()tan xf x x x e=⋅⋅,则()f x 是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常数,则 ( ) (A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '= (C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '= (3) 向量组12,,,s αααL 线性无关的充分条件是 ( )(A) 12,,,s αααL 均不为零向量(B) 12,,,s αααL 中任意两个向量的分量不成比例(C) 12,,,s αααL 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示(D) 12,,,s αααL 中有一部分向量线性无关(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 ( )(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =(C) ()()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=- (5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是 ( ) (A) X Y = (B) {}0P X Y == (C) {}12P X Y ==(D) {}1P X Y ==三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2ln ()21xet I x dt t t =-+⎰在区间2[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分2yDxe dxdy -⎰⎰,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.(3) 求级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )xy y x x e-'+=的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:221212121514328210.R x x x x x x =++---(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6分)设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.六、(本题满分8分)已知线性方程组1234512345234512345,3230,226,54332,x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ (1) a b 、为何值时,方程组有解?(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0kA =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵).八、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量.九、(本题满分4分)从0,1,2,,9L 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩1-若其他.(1) 问X 和Y 是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.[附表Φ是标准正态分布函数. 表中()x1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出. (5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑ 即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =L .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=L 的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭L 且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±L 若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s αααL 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,s αααL 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”或由“12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x x I x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有 ()2222ln 1()ln 11e e eetI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e et dt t dt t t t t t t =-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln 1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤I ,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbby y y b b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-=(3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==L ,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥=L (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11pn n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦M MM M M M M M , 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦M M M M (1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=L.所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++L .八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （4） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （5） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（6） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出. (5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =L .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=L 的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭L 且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±L 若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s αααL 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,s αααL 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”或由“12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x xI x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有()2222ln 1()ln 11e e ee tI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e e t dt t dt t t t t t t=-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤I ,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbbyyyb b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-= (3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==L ,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥=L (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦M MM M M M M M , 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦M M M M (1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=L.所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++L .八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2000年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件( )A．{T(1)≥t0}。
B．{T(2)≥t0}。
C．{T(3)≥t0}。
D．{T(4)≥t0}。
正确答案：C解析：随机变量T(1)，T(2)，T(3)，T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)≥T(3)≥t0。
所以说断电事件就是{T(3)≥t0}。
2．(2009年)设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)。
C．P(A)=1-P(B)。
D．正确答案：D解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0。
选项A：=1-P(A∪B)，因为P(A ∪B)不一定等于1，所以A不正确；选项B：当P(A)，P(B)不为0时，选项B 不成立，故排除B；选项C：只有当A、B互为对立事件的时候才成立，故排除C；选项D：=1-P(AB)-1，故D正确。
3．(2014年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=( )A．0．1。
B．0．2。
C．0．3。
D．0．4。
正确答案：B解析：P(A-B)=0．3，则P(A)-P(AB)=0．3，又随机事件A与B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)。
因此有P(A)-P(A)P(B)=0．3，又P(B)=0．5，故P(A)=0．6，且P(AB)=P(A)P(B)=0．3。
考研数学三历年真题及答案
设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件：
， ，且f(0)=0,
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2)求出F(x)的表达式.
八、〔此题总分值8分〕
设函数f(x)在[0，3]上连续，在〔0，3〕内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使
〔6〕将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，那么事件
(A) 相互独立. (B) 相互独立.
(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ]
【分析】按照相互独立与两两独立的定义进展验算即可，注意应先检查两两独立，假设成立，再检验是否相互独立.
〔5〕设 均为n维向量，以下结论不正确的选项是
(A)假设对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，那么 线性无关.
(B)假设 线性相关，那么对于任意一组不全为零的数 ，都有
(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]
〔6〕将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，那么事件
(C) 线性无关,那么此向量组的秩为s；反过来，假设向量组 的秩为s，那么 线性无关，因此(C)成立.
(D) 线性无关,那么其任一局部组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.
综上所述，应选(B).
【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：假设存在一组不全为零的数 ，使得 成立，那么 线性相关.其逆否命题为：假设对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，那么 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.