2004-11华中师范大学高等代数
矩阵的可对角化及其应用
附件：分类号O15商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。
本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换Matrix diagonolization and its applicationChen Bi(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)Advisor:Lecturer Liu Xiao MinAbstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。
数分书籍推荐
分析的进一步。中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一 种潮流，还是看一看的好。 20《在南开大学的演讲》陈省身
从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。 21 华罗庚《高等数学引论》科学出版社 数学分析习题集
中科大的书一向比较难。
4《线性空间引论》叶明训，武汉大学出版社 5《高等代数学》张贤科，清华大学出版社 6《线性代数与矩阵论》许以超，高等教育出版社
以上三本是一份书单上写的，拿了过来，不过我知道 5 还是不错的 7《代数学引论》柯斯特利金
一本和菲赫金戈尔茨的《微积分学教程》齐名的伟大数学著作。一本传世经典，没有 什么可多说的。最近刚刚有新译本出版，共分了三册，但都不是很厚，也不贵。 8《线性代数习题集》普罗斯库列柯夫 9《高等代数习题集பைடு நூலகம்法捷耶夫，索明斯基 8，9 是前苏联的经典代数习题集分别有两千道和一千道题，做完会打下非常好的基本功。 10《高等代数》丘维声著
向 n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生
公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。 8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著
中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著
与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起 来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著
记住以下几点： 1. 对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2. 学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3. 别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4. 看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5. 课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6. 开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7. 经常回头看看自己走过的路
矩阵的迹及其应用
矩阵的迹及其应用唐鹏程(孝感学院数学系,湖北孝感432100)摘要:文章讨论了几类特殊矩阵的迹,给出了它们的一般结果,并举例说明它们在证明相关问题中的应用。
关键词:矩阵的迹;矩阵的秩;相似矩阵;幂等矩阵;幂零矩阵;对合矩阵中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1007-1075(2000)04-0011-03A1B1= (A,0)B0=AB(3)B1A1=B0(A,0) =BA00 0(4)由(3),(4)式,有λI-A1B1 = λI-AB (5)λI-B1A1 =λm-n λI-BA (6)将(5),(6)两式代入(2)式,得λI-AB =λm-n λI-BA即得证(1)式。
其次,设AB的全部特征根为λ1,λ2,…,λm,BA的全部特征根为μ1,μ2,…,μn,则Tr(AB) =λ1+λ2+…+λm(7)Tr(BA) =μ1+μ2+…+μn(8)再由公式(1)知,矩阵AB与BA具有相同的非零特征根,它们之区别仅在于零特征根的重数不同,因此Tr(AB) =Tr(BA)证毕设A∈Mn(F),若A2=A,则称A为幂等矩阵。
定理2若A是幂等矩阵,且rank(A) =r,则Tr(A) =r。
证因为rank(A) =r,所以存在P,Q∈Mn(F),且P,Q皆为可逆矩阵,使得A=PIr00 0Q,设P=P1P2P3P4,Q=Q1Q2Q3Q4于是A=P1Q1P1Q2P3Q1P3Q2又因为A2=A,所以Ir00 0=P-1AQ-1=P-1A·AQ-1=Ir00 0Q·PIr00 0=Q1Q20 0P10P30=Q1P1+Q2P300 0由引理3,引理4和定理1,我们有Tr(A) =Tr(P1Q1) +Tr(P3Q2)=Tr(P1Q1) +Tr(Q2P3)=Tr(Ir) =r证毕设A∈Mn(F),若存在一个自然数m,使得Am= 0,则称矩阵A为幂零矩阵。
定理3若A为幂零矩阵,则Tr(A) = 0。
考试科目 - 云南师范大学研究生部
842《学校体育学》周登嵩主编，人民体育出版社，2004
901工程光学
901《工程光学》，郁道银、谈恒英主编，机械工业出版社、2006
902可再生能源概论
902左然、施明恒、王希麟主编，《可再生能源概论》，机械工业出版社
903农业生态工程基础
903李维炯、李季、许艇，《农业生态工程基础》，中国环境科学出版社
817广播电视基础理论
817郝朴宁等，《传播学通论》，云南民族出版社，1998年版；郝朴宁等，《现代广播论》，云南民族出版社，2000年版；郝朴宁等，《影视艺术论》，云南民族出版社，2000年版；庄晓东等，《传播与文化概论》，人民出版社，2008年版
818高级英语
818张汉熙著《高级英语》商务印书馆
807肖宗六著《学校管理学》人民教育出版社
808学校心理辅导
808吴增强主编《学校心理辅导通论》上海科教出版社
809学前教育学
809蔡迎旗著《学前教育概论》华中师范大学出版社
810美学原理
810李健夫，《现代美学原理》，2002版；《美学思想发展主流》，2001年版，中国社会科学出版社
811现代汉语
802社会学理论与方法
802侯钧生主编，《西方社会学理论教程》（第二版），2006年8月版，南开大学出版；风笑天著，《社会学研究方法》（第三版），2009年6月，中国人民大学出版社
803马克思主义发展史
803顾海良、梅容政著，《马克思主义发展史》，2006年版，武汉大学出版社、湖北人民出版社
804科学社会主义原理
724体育学专业基础综合(运动生理学、运动解剖学)
724《运动生理学》，王瑞元主编，人民体育出版社，2002年；《运动解剖学》，胡声宇主编，人民体育出版社，全国体育院校通用教材，2000
数学系数学专业研究生研究方向
华南理工大学的研究型全国重点大学，是国家“985”工程和“211”工程重点建设大学。
学校现有博士学位授权点73个、硕士学位授权点176个，有工程硕士（23个专业领域）、建筑学硕士、工商管理硕士（MBA、EMBA）、公共管理硕士（MPA）、风景园林硕士、法律硕士6个硕士专业学位授予权。
2010年拟招收攻读硕士学位研究生约3500人。
西安交通大学理学院相关专业专业课考研试卷西安交通大学所有院系相关专业课考研试卷-进入概率论与数理统计热门书籍《概率论与数理统计教程——高等学校教材》魏宗舒等价格 21.1《概率论与数理统计学习辅导与习题选解（浙大二、三版）》浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编价格 15《高等代数（第3版）——高等学校教材》北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编王萼芳、石生明修订价格 19.2《离散数学——理论·分析·题解》左孝凌、李为鑑、刘永才编价格 22《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文价格 33.4《概率统计（第3版）》同济大学概率统计教研组编著价格 21《数学分析（第3版）（上册）（面向21世纪课程教材）》华东师范大学数学系编价格 20.9《概率论与数理统计（第2版）——普通高等教育“九五”国家级重点教材》茆诗松、周纪芗编著价格 36《数学分析（第2版）（上册）——面向21世纪课程教材》陈纪修、於崇华、金路价格 31.7《数学分析经典习题解析》孙涛价格 28.6《数学分析（第2版）（下册）——高等学校教材》复旦大学数学系陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中编价格 15.7《概率论与数理统计习题与解答（普通高等教育“九五”国家级重点教材）》茆诗松周纪芗价格 30《高等代数解题方法与技巧》主编：李师正副主编：张玉芬、李桂荣、高玉玲价格 23.7《概率论与数理统计（第2版）》范大茵、陈永华价格 15《概率论与数理统计习题全解指南（浙大·二、三版）——大学数学学习辅导丛书》浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编价格 15《概率论基础（第2版）（高等学校教材）》复旦大学李贤平编价格 13.9《概率统计讲义（第3版）——高等学校教材》陈家鼎、刘婉如、汪仁官编著价格 18.2《概率论与数理统计》陈希孺编著价格 26概率论与数理统计2008 招生目录（本专业招生 6 人）研究方向01人工智能与专家系统学科名称:概率论和数理统计学科代码:所属学科:概率论和数理统计学科概括:概率论和树立统计专业点1986年获得硕士学位授予权。
爪形行列式解的完备化
爪形行列式解的完备化作者：陈立强来源：《中国市场·营销研究方向》 2015年第4期陈立强（安康学院数学与统计系，陕西安康725000）［摘要］行列式计算是高等代数中的重要内容，爪形行列式是其中一种，很多行列式运算到最后实际上都变成了计算爪形行列式。
一般的书上都只讨论了本文第一种情形的爪形行列式，而本文还讨论其他两种形式，使爪形行列式的讨论完备了。
［关键词］爪形；行列式；运用［DOI］10.13939/ki.zgsc.2015.14.1991爪形行列式定义行列式计算是高等代数这门学科中的一个重要内容，爪形行列式是其中一种，很多行列式运算到最后实际上都变成了计算爪形行列式。
本文讨论这类型的行列式各种计算。
定义一：形如下式形式的行列式，可称为爪形行列式：其中ai（i=1，2，…，n），bj（j=1，2，…，n），ck（k=2，…，n）为不全为零的数。
2爪形行列式的有关定理证明：当bi=（i=2，3，…，n）时，假定ci，ai至少有一个不为零，否则行列式第i行或者第i列为零，故行列式等于零，此时结论成立。
下面主要讨论ciai≠0的情形。
由于bi=0，第i行与第i列只有ai，ci≠0故按照第i行展开，此时第i行只能取ci，ci在第一列，而第i列只能是ai，ai在第一行，把ai，ci所在的行和列划掉后只剩下下面的n-2阶的行列式：自然而然的，行列式Dn只能按照第一列（行），第二列（行），……，第n列（行）的方式展开，Dn虽有n!项，但是，非零的项只有一项：显然，当ci， ai至少有一个为零时，上式依然成立。
即证。
引理一：（拉普拉斯定理）［2］设在n阶行列式D中任意取定了k（1≤k≤n-1）个行，由这k行元素组成的一切阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
定理三：当b2， b3，…， bn中有两个以上为零时， Dn=0。
证明：（1）假设有两个为零，不妨设b2=b3=0，事实上，如果不是b2=b3=0，是bi=bj=0（i，j=2，3，…，n，i=2，j=3不同时取到），总可以通过行和列的换位置把bi，bj换到b2，b3的位置，所以，不失一般性只需要研究b2=b3=0即可。
有限维线性空间上线性变换的值域与核
有限维线性空间上线性变换的值域与核数学系 04数本 410401142 郭文静摘要： 定义在有限维空间V 上的线性变换的值域与核都是V 的子空间。
本文主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。
本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。
简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换.关键词：值域、核、直和、幂等变换。
正文：定义1：设σ是线性空间V 上的一个线性变换，σ的全体象的集合称为的σ值域,用()V σ或m I σ表示，所有被σ变成零的向量的集合称为σ核，用()10σ-或()Ker σ表示。
且记为：()(){}m V I V σσσαα==∈()(){}1(0)0,Ker V σσασαα-===∈.不难证明，()V σ与()10σ-都是σ的不变子空间。
一:线性空间V 与ker ,()V σσ的关系结论1: dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩＋σ的零度＝()dim V .证明见 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研代数小组编。
应当指出，虽然子空间()V σ与()Ker σ的维数之和为n ，但是，()()10V σσ-+不一定是整个子空间，那么当σ满足什么条件时()()10V V σσ-=+？若()()10V V σσ-=+成立，σ必须满足什么条件呢？结论2就回答了这个问题.结论2: σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则秩2σ=秩σ⇔()()10V V σσ-=+ 证明：()⇒设1,2,...,n εεε是V 的一组基，而()()()()()()()11,,,,n i is V L L σσεσεσεσε==这里()()1,,i is σεσε为()V σ的一组基.于是，()()()()2221,,i is V L σσεσε=已知 秩2σ=秩σ 则()()2dim dim V V σσ= 则()()221,,i is σεσε 为()2V σ的基。
()()10V ασσ-∀∈⋂ 则 ()()11i s is a a ασεσε=++且()()()22110i s is a a σασεσε==++从而10s a a ===即0α=故()()10{0}V σσ-⋂= 即()()10V σσ-+为直和. 又因为()()()()()11dim 0dim dim 0V V n σσσσ--+=+= 所以 ()()10V V σσ-=⊕ ；()⇐设 ()()10V V σσ-=⊕，任取()()10V ασσ-=⊕(),.V s t βασβ∃∈=，而 ()()1110,V βσβγγσβ-=+∈∈于是()()221V ασβσ=∈，故()()2V V σσ⊆ 显然，()()2V V σσ⊇ 所以，()()2V V σσ= 得，秩2σ=秩σ.特别的，如果2σσ=，那么()()10V V σσ-=⊕结论3: 数域P 上的n 维线性空间V 的任一子空间W 必为某一线性变换的核。
数学与应用数学专业推荐选读书目
数学与应用数学专业推荐选读书目1、《数学分析》(上、下册)，华东师大数学系编，高等教育出版社；2、《数学分析讲义》(第三版)，刘玉涟、付沛仁著，高等教育出版社；3、《数学分析》，(北大)方企勒、沈燮昌等编高等教育出版社；4、《数学分析讲义》，(复旦)陈纪修、于崇华等编，高等教育出版社；5、《微积分教程》，[苏]菲赫金哥尔茨著，人民教育出版社；6、《数学分析题集》，[苏]吉米多维奇编，人民教育出版社；7、《数学分析讲义》，北京师范大学数学系编，高等教育出版社；8、《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文，高等教育出版社；9、《数学分析的基本概念与方法》，强文久、李元章、黄雯荣编，高等教育出版社；10、《数学分析》，陈征修等编，高等教育出版社。
11、《复变函数论》(第二版)，钟玉泉编，高等教育出版社；12、《复变函数》(第二版)，余家荣等编，高等教育出版社；13、《实变函数与泛函分析基础》，程其襄等编，高等教育出版社；14、《实变函数论与泛函分析》(第二版)，夏道行等编，高等教育出版社。
15、《高等代数》(第二版)，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等教育出版社，1988年；16、《高等代数》，张禾瑞、郝丙新，高等教育出版社，1983年；17、《高等代数分析与研究》，王正文，山东大学出版社，1994年；18、《高等代数新方法》，王品超，山东教育出版社，1989年；19、《线性代数--方法导引》，屠伯埙，复旦大学出版社，1986年；20、《线性代数解题分析》，胡海清，湖南科学技术出版社，1984年；21、《线性代数》，谢邦杰，人民教育出版社，1978年；22、《全国高等院校研士研究生入学试题解答--高等代数》，侯国荣等，天津科学技术出版社，1986年；23、《近世代数基础》，刘绍学，高等教育出版社，1999年(面向21世纪课程教材)；24、《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年；25、《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1979年；26、《代数学引论》，聂灵绍、丁石孙，高等教育出版社，1988年(面向21世纪课程教材)；27、《环论》，熊全淹，武汉大学出版社，1993年；28、《Basic Algebra I》，N.Jacobson，W.H.Freeman and company，1974；29、《环与代数》，刘绍学，科学出版社，1986年；30、《模与环》，F.卡施，科学出版社，1974年。
数学物理方程讲义姜礼尚答案
数学物理方程讲义姜礼尚答案11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社这些书应该够了，其他书不一一列举。
从中选择一本当作课本就可以了。
外国数学分析教材：11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。
我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。
强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。
买书不建议看价格，而要看书好不好。
一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。
12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。
13《数学分析》卓立奇观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。
14《数学分析简明教程》辛钦课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。
但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。
15《数学分析讲义》阿黑波夫等著莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。
16《数学分析八讲》辛钦大师就是大师，强烈推荐。
17《数学分析原理》rudin中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。
不过这本美国的书还是值得一看的。
写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。
18《微积分与分析引论》库朗又一本美国的经典数学分析书。
有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。
19《流形上的微积分》斯皮瓦克分析的进一步。
中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。
20《在南开大学的演讲》陈省身从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。
21华罗庚《高等数学引论》科学出版社数学分析习题集不做题就如同没有学过一样。
希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。
买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。
1《吉米多维奇数学分析习题集》最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。
云南师范大学考研
《运动训练学》，田麦久主编，高等教育出版社，2006；《学校体育学》，周登嵩主编，人民体育出版社，2004；《运动生理学》，王瑞元主编，人民体育出版社，2002年
728体育学专业基础综合(运动生理学、运动解剖学)
《运动生理学》，王瑞元主编，人民体育出版社，2002年；《运动解剖学》，胡声宇主编，人民体育出版社，全国体育院校通用教材，2000
811古代文论
张少康，《中国文学理论批评史教程》，北京大学出版社，1999年版
812中国古代文学史（含作品选）
袁行霈，《中国文学史》，高等教育出版社；朱东润，《中国历代文学作品选》，上海古籍出版社
813中国现代文学史
朱栋霖主编，《中国现代文学史》（上下册），北京大学出版社，2007年版
814民间文学概论
848学校体育学
《学校体育学》周登嵩主编，人民体育出版社，2004
考试科目
考试范围
211翻译硕士英语
张汉熙，《高级英语》，外语教学与研究出版社，1995修订本
333教育综合
《教育学原理》,王道俊、郭文安主编，人民教育出版社2009年
《中国教育史》,孙培青，华东师范大学出版社2009年版
《外国教育史》,张斌贤主编，王晨副主编，教育科学出版社2008年
《教育心理学》张大均主编，人民教育出版社2005年
801马克思主义哲学原理
李秀林等主编，《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》（第五版），2004年11月，中国人民大学出版社
802社会学理论与方法
侯钧生主编，《西方社会学理论教程》（第二版），2006年8月版，南开大学出版；风笑天著，《社会学研究方法》（第三版），2009年6月，中国人民大学出版社
803马克思主义发展史
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