陈天富材料力学第五章 扭转-修订版

mA A
m C
mB B
T2 =
m
作业 5.7 5.11 5.13 5.16
N m = 9549 n mA = 1527Nm mB = 573Nm mC = mD= 477Nm 2 作扭矩图
B
1
A
2
3
C
D
T
954
(＋) (－)
477
x
－573
Tmax= 954 Nm
3 设计轴的直径
由强度条件：
τ max
Tm = ax ≤ [τ ] W t
16Tmax d ≥3 = 49.5mm π[τ ]
第5章 扭转
第5章 扭转 §5.1 扭转的概念 受力特点： 作用于杆件两端的外力是 一对大小相等、转向相反、作用平 面垂直于杆件轴线的力偶矩。 变形特点： 杆件的任意两个横截发生相对转动。 扭转角： 杆件扭转时任意两个横截面发生 相对转动而产生的相对角位移。 轴：以扭转变形为主的杆件。
m
m
§5.2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图 1 外力偶矩的计算 外力偶矩
ϕ =∑
(3)变截面轴
Tili GI pi
x
ϕ=∫
l
T(x) dx GI p (x)
2 单位长度扭转角
θ
dϕ T = = dx G p I
3 扭转刚度条件
θmax
θmax
Tmax = ≤ [θ] GI p
Tmax 180 = ⋅ ≤ [θ] GI p π
rad/m
0/m
[θ]—许用单位长度扭转角
已知：n=300/min、NA=48kW 、NB=18kW 、 NC= ND 15kW , G =80 GPa, [τ]= 40MPa,[θ]=0.85º/m. 求：轴的直径d。 mB mD mA mC 3 2 1 解：1 计算外力偶矩
x
T
0 (-) 351 702 468 (+)
T3 = mD =468 Nm
3 作扭矩图 Tmax = 702 Nm 如果A、D交换, Tmax = 1170 Nm
x
§5.3 纯剪切 m 一 薄壁圆筒扭转时的应力 r >>t 为薄壁圆筒 现象： 1 圆周线的形状大小不变相邻两周线 之间距离不变，但发生了相对转动。 m 2 各纵向线仍然平行，但倾斜了相同 的角度γ（剪应变） ΣX=0 T = m (数值上） T ＝∫A rτdA (实质上) ＝∫ rτrtdα
由刚度条件：
θmax
取
Tmax 180 = ⋅ ≤ [θ] GI p π
32Tmax ×180 d ≥4 = 53.5mm 2 Gπ [θ ]
d ＝ 55 mm
已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,α= 0.5. 求：比较空心轴和实心轴的强度和刚度 解： πD2 πd 2 1 (1−α 2 ) = 4 4 1 比较强度
m A m A mA A a m C C b B mB B
x
C
B
∑m = 0,
x
m− mA − mB = 0
2 变形几何关系
ϕAB = ϕAC +ϕBC = 0
3 物理关系
T1 = mA
T2 = mB
A
m C a b B
mAa mBb − =0 G1I p1 G2I p2
解出:
T= 1 G I p1b 1 G I p1b + G2I p2 a 1 G2I p2 a G I p1b + G2I p2 a 1 m
τρ
dρ
ρ
τρ
T ρ = Ip
当 ρ= R 时
TR T τnax = = Ip W t
其中 极惯性矩
γ γρ
dx dφ
R x
ρ
I p = ∫ ρ2dA
A
dρ 抗扭截面模量
τ
dA dρ
ρ
Wt =
Ip R
4 极惯性矩和抗扭截面模量 （1）圆
dA
IP = ∫ ρ2dA = ∫ ρ2 2πρdρ =
A
D 2 0
γ
γ1
τ dydz dγ dx
变形能 dU =dw = =
∫0 τdydz γ ∫τdγdV 0
1
γ1
dγ dx
τ
dV = dy dz dx (单元体体积） 比能 弹性范围
dU u= = ∫ τdγ 0 dV
γ1
dτ
τ 0
γ dγ
u=
τγ
2
γ1
γ
§5.4 圆轴扭转时的应力 1 变形几何关系
m dx m φ
D (1−α ) = d
2 1 2
2
D1 d1
空心轴强度 T W1 = 1 = t = 16 3 πd 实心轴强度 T W t 16 D3 (1−α 4 ) 1+α 2 = 1 3 = f1 d 1−α 2
πD3 1
(1−α 4 )
d
2 比较刚度
空心轴刚度 GI p1 I p1 = = = 32 4 πd 实心轴刚度 GI p I p 32 D4 (1−α 4 ) 1+α 2 = 1 4 = f1 2 d 1−α
πD4 1
(1−α4 )
D1 d1
令α = 0.5
空心轴强度 1+α2 1+ 0.52 = =1.44 = 2 实心轴强度 1−α 2 1− 0.5
d
空心轴刚度 1+α2 1+ 0.52 = = =1.67 2 2 实心轴刚度 1−α 1− 0.5
§5.6 扭转静不定问题 扭转静不定问题 已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外 力偶矩m,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭 刚度为G2Ip2 . 求:轴的扭矩. 解:1 静力学关系
三 剪应变、剪切胡克定律 剪应变
Rϕ γ= l
τ＝ Gγ
m
γ
m
φ R
在弹性范围内,剪切胡克定律
l
G --剪切弹性模量
四 E、G 和μ之间的关系
τ
τ γ
γ
E G= 2(1+ µ)
五 剪切变形能
右侧面上剪力从0－γ1完成的功 τdydz – 剪力 dγdx － 位移增量 dw =∫
0
dz
γ
τ´ τ
dy dx
{ 阻力矩（与主力矩平衡)
功率N为千瓦 功率N为马力
主力矩
N m = 9549 (N ⋅ m) n
N m = 7024 (N ⋅ m) n
2 扭矩和扭矩图 (1)扭矩 左: Σmx = 0, T – m = 0 T = m 右: Σmx = 0, m –T´= 0 T´ = m T、 T´ 为扭矩
2 物理关系 当τ≦τp时 τρ ＝ G γ ρ
表面剪应变 γ = Rdϕ dx 内部剪应变 γ = ρdϕ ρ dx
γ γρ
平面假设：
l
dΦ
R x
ρ
τρ = G
ρdϕ
dx
dx
3 静力学关系
dϕ T = ∫ ρτ ρ dA = ∫ ρG⋅ ρ dA A A dx
dρ dA
dϕ dϕ 2 =G ∫A ρ dA =G dx I p dx
m
m
m
T x T´ m x
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩方 向与截面外法线相同为正，反之为负。
(2)扭矩图 已知：NA=50马力、NB=NC=15马力、ND=20马力， n=300r/min. 求：作扭矩图 解：1 求外力偶矩
N m = 7024 n
mB mC mA mD
mA =1170 Nm mB = mC = 351 Nm mD = 468 Nm
2π 0
m t
γ
φ r R
L T x τ 0 y
dα
α
r >>t, τ均布 T = 2πr2τt
T τ= 2 2πr t
τ
x τ
二 剪应力互等定理
y
τdytdx
= τ´dxtdy
τ´ τ dy x
τ = τ´
z
t
dx
剪应力互等定理: 在相互垂直的两个平面上剪应力必然成对存 在且数值相等，垂直于两个平面的交线，方 向共同指向或背离这一交线。
πD4
32
D ρ 0
dρ
Ip πD3 W = = t D 16 2
（2）心圆
dA
D 2 d 2 2
IP = ∫ ρ dA = ∫ ρ 2πρ ρ = d
2 A
πD4
32
(1−α )
4
0
ρ
dρ
I p πD3 W= = (1−α 4 ) t D 16 2
d α= D
d D
5 圆轴扭转强度条件
τ max
B
mB
C mC
A
mA
mD
D
2 求扭矩 Σmx=0, T1 + mB = 0 T1 = -mB =-351 Nm Σmx=0, T2 + mB + mc = 0
mB
mC
mA
mD
x
mB T1 T3 mD
x
mB mC
T2 = - mB - mc =-702 Nm
Σmx=0, -T3 + mD = 0
x
T2
Tmax = ≤ [τ ] Wt
。
注：对变截面轴应综合考虑T和Wt确定τmax
§5.5 圆轴扭转时的变形 1 扭转角
T1Ip1 T2Ip2 T3Ip3
T dϕ = dx GI p
(1)等直圆轴 l T ϕ = ∫0 dx GI p (2) 阶梯轴
Tl ϕ= GI p
l1
l2 T(x)Ip(x)
l3