基于因子分析法的学生成绩影响因素的数学模型研究
基于结构方程模型的大学生高等数学成绩影响因素分析
HEBEINONGJI摘要:本文通过对大学生高等数学学习情况进行问卷调查，构建高等数学学习成绩的结构方程模型，分析成绩的影响因素。
结果表明，影响大学生高等数学成绩的主要因素是学生的行为参与和认知参与,内在动机对大学生高等数学的成绩有一定影响，自我效能感和情感参与影响因素对大学生高等数学的成绩影响微弱。
当前,外在动机对大学生高等数学成绩无显著影响。
结合教学经验，提出相关建议。
关键词：结构方程模型；高等数学；学习成绩;影响因素基于詠方程模型的大学生高等数学成绩影响因素分析太原工业学院理学系连高社陈小彪1引言高等数学作为众多科学与技术必备的基础，是衡量高等院校人才培养质量高低的一项重要指标。
作为高等院校必修的基础课,高等数学具有抽象性、计算性、逻辑性的特点,学生普遍认为这门课程难学且挂科率高，使得这门课程的学习质量备受老师和学生的关注，而且高等数学课程的学习质量直接影响后续其他专业课程的学习以及学生未来的发展。
所以，分析影响大学生高等数学学习成绩的因素，并针对这些因素提出一些合理的建议，对提高大学生高等数学的学习质量以及提高高校的人才培育质量都有很重要的意义。
2大学生高等数学学习的影响因素指标体系的构建大学生高等数学学习的影响因素指标体系的构建参考了学界已有的一些研究成果，从学习动机、学习参与学习自我效能感三大类构建指标体系。
学习动机及学习参与部分的问卷量表，取自于倩等改编的学习动机量表以及参考了全美大学生学习性投入调查（NSSE）改编的学习参与量表叫按照研究目的确定了学习动机和学习参与部分五个维度共19个问题。
自我效能感部分取自由华中师范大学的梁宇颂、周宗奎改编的学习自我效能感量表冋,从中选取部分相关项进行适应性修改，最后确定高等数学的学习自我效能感四个问题。
通过学生最近一次的高等数学成绩以及学生平时学习高等数学的时间来衡量大学生高等数学的学习成绩。
表1影响大学生高等数学学习成绩的指标体系一级指标二级指标三级指标学习动机内在动机喜欢独立思考解决疑难的高等数学问题乐于尝试解决困难的高等数学问题乐于钻研那些对我来说是完全新的数学问题提高自己的数学素养很重要外在动机身边的大部分同学努力学习高等数学，所以我努力学习高等数学想赢得父母、老师、同学的肯定，所以我努力学习高等数学十分清楚我的目标是追求好成绩我更关心的不是我学了什么，而是从中得到什么回报学习参与行为参与能够高质量的完成高等数学老师留的作业在高等数学课堂上积极参与讨论并认真听讲高等数学课上我有做笔记的习惯参考多本教材学习高等数学,整理知识点情感参与我感觉自己在学习高等数学的过程中很愉快学校高等数学的课程资源丰富，教学质量好我认为高等数学很有趣,从而愿意花费更多的时间去学习认知参与学习高数时我会总结自己的学习方法学习高等数学中遇到困难时我会想尽办法克服对高等数学课程的学习能有深入的思考，提出一些具有深刻见解、有见地的问题我喜欢独立完成一项具有挑战性的高等数学学习任务学习自我效能感自我效能感我相信我有能力在高等数学上取得好成绩和班上的其他同学相比，我的学习能力是比较強的我认为我在高等数学的课堂上就能掌握老师所讲的内容我认为我有能力解决高等数学学习中遇到的所有问题的作者简介:连高社，男，1981年出生，山西晋城人，硕士研究生，副教授,研究方向:数学和应用统计学。
基于因子分析法的学生成绩影响因素的数学模型研究
５７
第 ２４ 卷 第 ５ 期
高 等 函 授 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２０１１
Ｘ 与Ｙ 是否相互独立的判定方法，但一般用分布函
解
Ｘ
与Ｙ
相
互
独
立 ，由 定
理
４，有１ａ／９
＝
１／６ １／３
＝
１／ｂ１８，故ａ
＝
２ ，ｂ ９
＝
１ ９
例２ 设随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为
｛ ｆ（ｘ，ｙ）＝
４ｘｙ，０≤ｘ ≤１，０≤ｙ ≤１，判 断 Ｘ ０，其 它
与Ｙ 是否相互独立。
数或密度函数的判别方法，相比较简易判别法而言 较麻烦，故建议用定理４判别二维离散型随机变量 的独立性，用定理５判别二维连续型随机变量的独 立性，这样避免了求边缘分布律或边缘密度函数。
３
０．００ ０．００ ０．０８ ０．０８－０．０３０．０５ ０．２７ ０．０９
４
１．００ ０．０３ ０．４８ ０．６５ ０．３５ ０．１４３ ０．３９
５
１．００ ０．８１ ０．４１ ０．８２ ０．０２ ０．７０
６
１．００ ０．３６ ０．８３ ０．１５ ０．７０
７
１．００ ０．２３－０．１６０．２８
６ ７ ８ ９ １０
０．４９ ０．９０ ０．３５ ０．９２ ０．３１ ０．９４ ０．２６ ０．９６ ０．２０ ０．９７
基于因子分析法的教学质量评价模型
基于因子分析法的教学质量评价模型贾珍;潘晓琳【摘要】在教学质量的各类评价研究中,评价者可以通过查阅资料获取由许多评价指标构成的评价体系,来评价教学质量的优劣,但是往往指标过多,工作量过大,不利于作出科学性评价.运用因子分析的方法,在庞大指标体系中找出能反映教师基本素养、教学形式、教学内容、课堂教态、选用教材、组织安排、教学设计、教学效果的8个潜在因子,对教学质量进行综合评价.【期刊名称】《重庆科技学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(020)003【总页数】6页(P85-90)【关键词】教学质量;因子分析法;潜在因子;综合评价【作者】贾珍;潘晓琳【作者单位】重庆师范大学数学与科学学院,重庆 401331;重庆师范大学数学与科学学院,重庆 401331【正文语种】中文【中图分类】O213自恢复高考以来，我国的教育教学水平得到了显著性的提升。
尤其在21世纪，以提高人才质量为根本的教育教学改革的一项重要指标就是教学质量[1]。
一直以来教学质量的优劣都是评定教育教学水平的标杆，是教学质量和办学效益得到提高的风向标。
随着教育事业的平稳发展，各高等院校作为培养青年才俊的第一平台，目前虽然各自都有一套教学质量评价的相关制度体系、指标体系、监控体系以及考核体系，但是都是采用传统的教学质量评价方法。
传统的教学质量评价法是由学生进行考评，该方法是学校教务处在特定时间段内将已拟定好的选项卡发放给学生，让学生根据卡片上的内容对教师教学水平进行评价，再经教务人员综合该教师各项得分而开展的。
传统的评价方法未对数据进行统计分析，只是对数据的简单堆积，更没有反馈机制，而且教学质量的评价需要考虑的因素很多，模糊评价方法对于指标间信息的冗余很难处理[2]。
鉴于此，提出用因子分析法对原始指标进行筛选，通过建立综合评价模型以期找到一种比传统评价方法更为客观的评价方法。
1 评价指标体系的建立不同阶段、不同类型的学校评价教学质量所侧重的指标有差异，因此评价指标体系的建立需要一个适用性良好的教学质量评价模型。
基于因子分析法的某医科大学本科招生生源质量评价实证研究
通讯作者!"#$%&!..+/:D4D4-,XX012#
情况"其中 +(*为第 (个地区第 *个指标的权重),(*为第 (个 地区第 *个指标的得分)'(则为每个地区招生生源质量的 综合得分%4& '
根据因子分析的特点"提取相应的公共因子能够达 到简化变量和维数的目的"且不同公因子之间具有不相关 性"每个因子中的指 标 有 高 度 相 关 性' 而 因 子 载 荷 代 表 指 标与因子的相关系数"因此可以根据方差贡献率对生源质 量的函数公式赋予权重来计算生源质量的综合得分"得到
.5-: 年生源质量因子值
,. B503/
,4 50-9
B503/ B505:
50+D B50D.
B504D B50-:
B503- B504-
B5035 B5043
B50:5 B50/+
B50-3
5054
B50-9 B50.D
B5045
505.
B5099 B50.:
B503. B505+
B509- B5059
D
4-05+
+
.5-+ 年
综合得分 排名
-0/-
-4
+0-5
+
B.90./
-+
30/4
--
B50+4
-3
B+09-
-:
4403.
-
-30/.
9
-50.3
D
基于校园一卡通数据的成绩排名预测方法研究
基于校园一卡通数据的成绩排名预测方法研究作者：邢窈窈唐丽郭磊来源：《中国教育信息化·高教职教》2018年第05期摘要：本文通过对校园刷卡行为进行分析，运用数理统计模型，研究了学生成绩排名的影响因素并对成绩排名进行预测。
首先，利用因子分析，研究哪些因素属于哪些潜在因子（即类别），并通过逐步回归法得出学生成绩排名回归模型。
然后，根据分析结果，有针对性地提出提高学生成绩排名的实际措施。
最后，利用主成份分析，得到各学生的预测成绩排名，并与学生的实际排名相对照。
结果表明：校园刷卡行为是反映学生学习表现的重要因素，体现了学生的自发行为，运用一卡通数据预测学生的学习成绩为学生活动管理和学生成绩提高提供了方向和方法。
关键词：因子分析；逐步回归；主成分分析；成绩排名预测中图分类号：G40-051 文献标志码：A 文章编号：1673-8454（2018）09-0082-05一、引言目前，一卡通成为记录学生众多数据的承载者，除了学生的各种消费数据，还包括各种图书馆数据，与学生的生活息息相关。
[1]这些数据背后体现的是学生的消费习惯、生活规律性、活跃度等。
这些快速及时的一卡通数据，可以及时更新，是对学生自发行为的反映，受外界影响较小。
是否能根据与学生成绩无直接联系的一卡通数据对学生成绩进行预测，是本文研究的方向与重点。
已有文献中，对学生成绩排名的考核大多是采用平均学分绩法，利用学生的多门学科考试成绩对该生进行评价。
[2]有不少学者利用问卷调查方法和查阅文献等，构建成绩排名评价体系，[3]对学生的成绩进行评价。
在学习差异比较方面，唐兴芸采用参数方差分析等方法对学生平均绩点进行比较，[4]然而利用这种方法忽略了学生的生活习惯、心理因素的影响。
在黄红安、文卫平[5]的研究以及郭继东[6]的研究中，加入了学习动机组成因素。
在冯业栋、傅旭东、何建华的大学生助学体系研究中考虑多种因素，[7]给出构建体系的意见。
本文在学习总结前人经验的基础上，采用多方位的评价体系，对学生的一卡通数据进行整理与研究，利用统计学的方法，运用相关性分析，得出10个与成绩排名相关性较大的指标。
基于因子分析法的高职学生消费行为影响因素研究
一
性＿ 。而且 因子分析 法（ ａｔ ｎ Ｉ ｉ 及 Ｓ Ｓ ＿ ３ ］ Ｆ ｃ ｒＡ ａ ｓ ） Ｐ Ｓ统计 软件 ｏ ｙｓ 包在此类研究 中的采用也很少 ， 因此 ， 是值得 拓展的一个重 要方面 。另外 ， 研究领域的延展性也不够 ， 已有 的研究 主要 分析对大学生总体 消费现状 ， 而对 于大学生群 体 中的一个 重要人群——高职学生 的消费行为 的研究却被大 多数 研究 者所忽视 。本研究 以高职学生 消费群体作 为研究对 象 ， 通 过因子分析法建 立数学模型 ， 进行实 证研究 ， 讨社 会 、 探 家
卷 ９７ ， １ 份 有效率 ７ ． ； 中男女 生各 占 ５ ． 和 ４ ． ６４ 其 ５８ ４ ２ ； 、 、 ％ 一 二 三年级 比例分别 为 ３． 、３ ８ 和 ２ ． ； ６ ４ ３ ． ９８ 对收集到的学生 消 费调查 问卷进 行整 理 ， 剔除 无效 问卷 ， 用 Ｓ Ｓ １． Ｐ Ｓ ６０对 问卷数 据进行 因子分 析 ， 以期 能对高 职生
（ ） 计调 查 问 卷 二 设 本 研究 的调 查 问卷 包 含 了 上 述 的 ２ １个 题 项 的 测 量 项
问 卷 中的 每 个 选 题 分 别 设 为 一 个 变 量 ， ２ 变 量 ， 共 Ｏ个
备选答案有 Ａ、 Ｃ、 Ｅ、 ， Ｂ、 Ｄ、 Ｆ 变量的取值分别为“ Ａ一１ Ｂ 、－
第１ ２卷 第 ６期
２１ ０ ０年 １ ２月
滁 州 学 院 学 报 Ｊ Ｒ Ａ ＵＨ ＵＵ Ｉ Ｒ Ｉ ０ ＮＬ Ｆ Ｈ ＺＯ Ｖ Ｓ Ｙ Ｕ ＯＣ ＮＥ Ｔ
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ６ １ １ ． Ｄ ｃ ００ ｅ ．２ １
基 于 因子 分析 法 的高 职学 生 消 费行 为影 响 因素 研究
因子分析
因子分析因子分析是一种常用的统计方法，广泛应用于社会科学、经济学、心理学等领域。
它可以帮助研究者找出数据中的主要因素，并将原始变量转化为更少的几个综合指标，从而简化数据分析和解释。
本文将介绍因子分析的基本原理、应用场景以及一些常见的因子分析方法。
一、因子分析的基本原理因子分析基于一种潜在变量模型，假设观察到的一组变量是由少数几个潜在的因子所决定的。
这些潜在因子无法直接观察到，但可以通过观察到的变量来推断。
通过因子分析，我们可以找出这些潜在因子，并将原始变量转化为这些因子的得分。
在因子分析中，我们假设每个潜在因子与一组观察到的变量相关联，这些变量称为因子载荷。
因子载荷可以解释变量之间的协方差结构，反映了变量与潜在因子之间的相关程度。
我们可以通过计算因子载荷矩阵来评估这种关系。
同时，我们还假设观察到的变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
多重共线性会使得因子分析的结果不准确，因此在进行因子分析之前，我们需要先进行相关性分析和多重共线性检验。
二、因子分析的应用场景因子分析在许多领域都有广泛的应用。
以下是其中一些常见的应用场景：1.心理学研究：因子分析可以帮助心理学家理解人类行为的潜在因素。
例如，在人格心理学中，我们可以使用因子分析来研究人格特征的结构，并找出彼此相关的因素。
2.市场研究：因子分析可以帮助市场研究人员理解消费者行为的背后因素。
例如，在消费者调查中，我们可以使用因子分析来提取消费者购买决策中的主要影响因素，并根据这些因素进行市场定位和目标群体选择。
3.经济学研究：因子分析可以帮助经济学家理解经济变量之间的关系。
例如，在宏观经济学中，我们可以使用因子分析来提取经济增长、通货膨胀和失业率等变量的主要因素，并分析它们之间的相互作用。
4.社会科学研究：因子分析可以帮助社会科学家理解社会现象的潜在因素。
例如，在教育研究中，我们可以使用因子分析来研究学生学习成绩的主要影响因素，并提供相应的教学策略。
三、常见的因子分析方法在因子分析中，有许多不同的方法可以选择。
因子分析的应用方向及原理
因子分析的应用方向及原理因子分析是一种统计方法，用于探索观测变量之间的潜在结构和关系。
它基于一组观测变量，旨在找出少数潜在因子（latent factors），这些因子可以解释观测变量之间的相关性。
因子分析可用于多种领域，例如心理学、教育学、社会科学、市场研究等。
本文将介绍因子分析的应用方向和原理。
一、应用方向：1. 市场研究：因子分析可用于分析市场调查数据，揭示潜在的消费者行为和偏好因素。
通过识别潜在因子，可以更好地了解不同产品或服务对消费者的影响力，从而制定针对性的市场策略。
2. 教育评估：因子分析可用于分析学生的学习成绩和考试结果，确定影响学习成绩的潜在因素。
通过了解学生的学习态度、学习动机、学习环境等因素，可以帮助学校和教师制定个性化的教育方案，提高学生的学习效果。
3. 心理学和人格研究：因子分析可用于分析个体的心理特征和人格特征。
通过识别潜在因子，可以揭示出不同人格特征之间的相互关系，进一步了解人的行为模式和心理状态。
4. 社会科学研究：因子分析在社会科学研究中有广泛应用。
例如，可以通过因子分析来研究社会经济地位、政治态度、媒体使用习惯等社会现象，了解这些现象背后的潜在因素和模式。
5. 健康研究：因子分析可用于分析健康相关的数据，例如生活方式、饮食习惯、体质指标等。
通过识别潜在因子，可以揭示出与健康相关的潜在因素，进一步研究其对健康的影响和作用机制。
二、原理：因子分析的原理基于一组观测变量和潜在因子之间的相关性。
观测变量可以是各种测量指标，例如问卷调查中的多个问题，而潜在因子是无法直接观测到的变量，它们是通过观测变量共同解释的。
因子分析的过程主要有以下几个步骤：1. 数据收集和准备：收集相关的观测变量数据，确保数据的有效性和完整性。
2. 相关性分析：分析观测变量之间的相关性，确定是否适合进行因子分析。
相关性分析可以使用相关系数矩阵或协方差矩阵来展示。
3. 因子提取：根据相关性矩阵（或协方差矩阵），使用一种因子提取方法来识别潜在因子。
结构方程模型原理以及经典案例研究
结构方程模型原理以及经典案例研究结构方程模型（Structural Equation Modeling, SEM）是一种统计分析方法，主要用于建立和检验复杂的因果关系模型。
该模型可以同时考虑多个观测变量和潜在变量之间的关系，从而更准确地评估变量之间的关联性和因果性。
SEM的基本原理是基于路径分析和因子分析的组合。
路径分析可以用来建立变量之间的因果关系模型，并通过评估路径系数来分析变量之间的直接和间接影响。
因子分析用于构建潜在变量，并通过潜在变量与观测变量之间的关系来解释观测变量的变异。
经典的SEM案例研究可以帮助我们更好地理解SEM的应用和优势。
以下是一个经典的SEM案例研究：假设研究者想要探究家庭背景对学生学业成绩的影响。
研究者收集了500名学生的数据，包括学业成绩、家庭背景因素（例如家庭收入、父母教育水平）、自我效能感和学习动机等变量。
首先，研究者使用因子分析方法构建潜在变量模型。
他们将家庭收入、父母教育水平等观测变量组合起来，构建了一个“家庭背景”潜在变量，用以测量学生的家庭背景因素。
同样地，他们根据相关的观测变量构建了“自我效能感”和“学习动机”两个潜在变量。
接下来，研究者使用路径分析方法建立因果关系模型。
他们假设家庭背景对学生学业成绩有直接和间接的影响。
间接影响通过自我效能感和学习动机来实现。
路径分析模型将家庭背景作为独立变量，学业成绩作为因变量，自我效能感和学习动机作为中介变量。
研究者在模型中还考虑了其他潜在变量（例如学习时间、学校环境），以控制其他可能的影响因素。
最后，研究者使用SEM方法对模型进行参数估计和假设检验。
他们通过评估路径系数来确定各个变量之间的直接和间接关系。
如果路径系数显著不为零，则可以断定两个变量之间存在关系。
通过SEM方法，研究者可以对研究模型进行全面的分析，包括直接和间接关系、回归系数、误差方差等。
通过以上案例，我们可以看到SEM的优势在于可以同时处理多个因素的复杂关系。
基于因子分析的陕西高校学生成绩综合评价
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａｓ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ａ ｄ ｅ ｍｉ ｃ ｒ ｅ ｃ ｏ ｒ ｄ ｓ ａ ｓ ｓ ｅ ｓ ｓ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ，ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ａ ｄ ｅ ｍｉ ｃ ｒ ｅ ｃ ｏ ｒ ｄ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ Ｕ ｅ ｇ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ，ｔ ｈ ｅ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｇ ｒ ａ ｄ ｅ ｓ ｉ Ｓ
不 同学 习能 力培养 的联 系。 进 而为 以后进 一 步深入研 究提 供依 据 。
关键 词 ： 陕 西高校 ； 学生 成绩 ； 因子 分析 法
中图分 类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４
文献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ０ ３ ３ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ — ０ ０ ８ Ｏ 一 ０ ４
第２ ９卷 第 ４期
２ ０ １ ５年 ８月 ｄ ｏ ｉ ： ｌ Ｏ ． １ ３ ４ ４ ０ ／ ｊ ． ｓ ｌ ｘ ｙ ． １ ６ ７ ４ － ０ ０ ３ ３ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ４ ． ０ ２ １
商 洛 学 院学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｌ ｕ ｏ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ａ ｎ ｘ ｉ ； ａ ｃ ａ ｄ ｅ ｍｉ ｃ ｒ ｅ ｃ ｏ ｒ ｄ ｓ ｏ ｆ ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ； ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ａ ｎ ｌｙ ａ ｓ ｉ ｓ
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ｙｉ ＝ｃｉｆ ＋εｉ，（ｉ＝１，２．．．．．．６） 其 中ｆ与εｉ 是互不相关或独立的随机变量，ｃｉ 是 一般智力因子在第ｉ门课程的成绩，εｉ 表示学生 对 第ｉ门 课 程 所 特 有 的 能 力 ，也 称 特 殊 因 子 。因 子 分析法其实就是将具有错综复杂关系的变量综合 为数量较少的几个 因 子，以 再 现 原 始 变 量 与 因 子 之间的相互关系，同 时 根 据 不 同 因 子 还 可 以 对 变 量进行分类，是多 元 分 析 中 处 理 降 维 的 一 种 统 计 方 法 。本 文 构 建 了 对 学 生 成 绩 评 定 的 数 学 模 型 ，同 时使用了因子分析法。
关 键 词 ：学 生 成 绩 评 定 ；数 学 模 型 ；因 子 分 析 法 ； 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６－７３５３（２０１１）０５－００５７－０２
１ 问题的提出 因子分析就是要通过对一组事物或样本的表
象的分析，来揭示 使 事 物 具 有 这 种 表 象 的 内 在 公 因 子 与 特 殊 因 子 。因 子 分 析 法 是 由 查 理 斯 ．斯 皮 德 曼（Ｃｈａｌｅｓ Ｓｐｅａｒｍａｎ）于１９０４年 提 出 的，他 当 时 研究一所学校３２ 名 在 校 学 生 ６ 门 课 程 的 分 数 相 关影 响 程 度，并 把 每 门 功 课 的 分 数 归 纳 为 如 下 公式：
１
１ ９
ａ
２
１ ６
１ ３
３
１ １８
ｂ
｛ ｆ（ｘ，ｙ）＝
８ｘｙ，０ ≤
ｘ
≤
ｙ
≤
１ ，判 断
Ｘ
与Ｙ
是
０，其 它
否相互独立。
解 由条件可知：０≤ｘ≤ｙ≤１，即ａ，ｂ；ｃ，ｄ中
的ｃ＝ｘ 是与ｘ 有关的函数，而不是一个常数，由
定理５，Ｘ 与Ｙ 不相互独立。
设（Ｘ，Ｙ）是二维随机变量，尽管本文给了几种
且 Ｘ 与Ｙ 相互独立，求常数ａ，ｂ的值。
第 ２４ 卷 第 ５ 期
高 等 函 授 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２０１１
·大学教学·
基于因子分析法的学生成绩影响因素的数学模型研究
现 在 用 因 子 分 析 法 ，对 这 批 数 据 进 行 分 析 ；计 算 出 相 关 矩 阵 如 表 ２。
５８
表２相关短阵表
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
１ １．００ ０．２４ ０．０４ ０．３１ ０．０９ ０．２３－０．１１０．２７ ０．５５ ０．３５
２
１．００ ０．１２ ０．３８ ０．４３ ０．３７ ０．３５ ０．４８ ０．１４ ０．３４
表１ 成绩评定表
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １ ６ ７ ２ ５ ８ ７ ８ ８ ０ ８ ２ ９ １０ ５ ８ １０ ９ ９ １０ ５ ９ ３ ７ ８ ３ ６ ９ ８ ９ ７ ４ ９ ４ ５ ６ ８ ５ ６ ５ ９ ２ ８ ４ ５ ６ ８ ８ ８ ４ ４ ９ ２ ８ ５ ６ ７ ７ ７ ６ ８ ７ １０ ５ ９ ６ ７ ９ ９ ８ ８ ８ ８ ８ ８ １０ ８ ８ ９ ９ ９ ８ ９ ９ ８ ８ １０ ９ ９ ９ ９ ７ ８ ８ ８ ８ ５ ９ ８ １０ ４ ７ １０ ２ １０ １０ ７ １０ ３ １０ １１ ４ ７ １０ １０ １０ ８ ３ ９ ５ ９ １２ ４ ７ １０ ４ １０ １０ ７ ８ ２ ８ １３ ６ ９ ８ １０ ５ ４ ９ ４ ４ ４ １４ ８ ９ ８ ９ ６ ３ ８ ２ ５ ２ １５ ４ ８ ８ ７ ５ ４ １０ ２ ７ ５ １６ ６ ９ ６ ７ ８ ９ ８ ９ ８ ８ １７ ８ ７ ７ ７ ９ ５ ８ ６ ６ ７ １８ ６ ８ ８ ４ ８ ８ ６ ４ ３ ３ １９ ６ ７ ８ ４ ７ ８ ５ ４ ４ ２ ２０ ４ ８ ７ ８ ８ ９ １０ ５ ２ ６
Ｘ 与Ｙ 是否相互独立的判定方法，但一般用分布函
解
Ｘ
与Ｙ
相
互
独
立 ，由 定
理
４，有１ａ／９
＝
１／６ １／３
＝
１／ｂ１８，故ａ
＝
２ ，ｂ ９
＝
１ ９
例２ 设随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为
｛ ｆ（ｘ，ｙ）＝
４ｘｙ，０≤ｘ ≤１，０≤ｙ ≤１，判 断 Ｘ ０，其 它
与Ｙ 是否相互独立。
数或密度函数的判别方法，相比较简易判别法而言 较麻烦，故建议用定理４判别二维离散型随机变量 的独立性，用定理５判别二维连续型随机变量的独 立性，这样避免了求边缘分布律或边缘密度函数。
３
０．００ ０．００ ０．０８ ０．０８－０．０３０．０５ ０．２７ ０．０９
４
１．００ ０．０３ ０．４８ ０．６５ ０．３５ ０．１４３ ０．３９
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６
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７
１．００ ０．２３－０．１６０．２８
εｉ，ｉ＝ １，２，．．．．．．．．．．．．，ｎ 不 仅 互 不 相 关， 而且与βｉ 也互不相关的变量。
取这类 事 物 的 一 个 样 本，它 的 影 响 因 素 数 据
矩阵如下：
烄ｘ１１ ｘ１２ ．．． ｘ１ｎ烌 ｘ２１ ｘ２２ ．．． ｘ１ｎ
Ｘ＝ ．．． ．．． ．．． ．．．
烆ｘｎ１ ｘｎ２ ．．． ｘｎｎ烎 这里对 上 述 数 据 已 作 了 标 准 化 处 理。这 样 公
参考文献： ［１］ 董俊超．离散型随机变量独立性的一种判定方法［Ｊ］．
天 津 师 范 大 学 学 报 ．１９９９，１９（３）：１０－１１． ［２］ 汪建均．随机变量独立性的简易判别法［Ｊ］．数学理 论
解 存在非负Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积函数ｈ（ｘ）＝２ｘ，０
与 应 用 ．２００５，２５（１）：７１－７３．
≤ｘ ≤１；ｇ（ｙ）＝ ２ｙ，０ ≤ ｙ ≤ １，使 ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｈ（ｘ）·ｇ（ｙ），其 中０，１分 别 是 与ｙ，ｘ 无 关 的 常 数 ，
故由定理５，Ｘ 与Ｙ 相互独立。 例３ 设随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为
［３］ 刘国旗．关于二元随机变量独立性的判定条件［Ｊ］．安 徽 建 筑 工 业 学 院 学 报 ．２００１，９（２）：７６－７８．
表４ 计算出四因子的载荷矩阵表
变量 １
因子
２
３
变量名称 ４
１ ０．４４５ ０．６１８ ０．３７２ －０．１１９ 综合能力
２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
０．５８３ －０．０４８ －０．０１７ ０．２８９ 外貌 ０．１０９ ０．３４０ －０．５００ ０．７１０ 智力因素 ０．６１６ －０．１８０ ０．５７５ ０．３６１ 自信程度 ０．７９９ －０．３５８ －０．２９５ －０．１７８ 经验 ０．８６５ －０．１８８ －０．１８２ －０．０７０ 应变能力 ０．４３３ －０．５７６ ０．３６１ ０．４４８ 理解力 ０．８８１ －０．０５６ －０．２４５ －０．２３０ 交际能力 ０．３６５ ０．７９５ ０．０９９ ０．０７０ 诚实 ０．８６４ ０．０６６ －０．１００ －０．１６５ 理想和抱负
Байду номын сангаас
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第 ２４ 卷 第 ５ 期
高 等 函 授 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２０１１
Ｙ
１
２
Ｘ
分为１０个标准：① 综合能力；② 外貌；③ 智力因 素；④ 自 信 程 度；⑤ 经 验；⑥ 应 变 能 力；⑦ 理 解 力；⑧ 交际能力；⑨ 诚实；⑩ 理想和抱负。这个例 子 ，先 求 出 特 征 值 和 特 征 向 量 。
根据北京市 某 中 学 某 班 ２０ 名 同 学 的 实 际 评 定 分 数 （数 据 收 集 见 大 学 生 建 模 网 站 ）如 表 １。
８
１．００ ０．２３ ０．８１
９
１．００ ０．３４
１０
１．００
再 用 因 子 分 析 法 计 算 出 相 关 矩 阵 的 １０ 个 特 征 值 ， 如 表 ３。
表３ 相关短阵特值表
特征值 累积比
特征值 累积比
１ ７．５０ ０．５０ ２ ２．０６ ０．６４ ３ １．４６ ０．７４ ４ １．２１ ０．８２ ５ ０．７４ ０．８６
刘宏超１ 岳红云２
（１．郑州大学 数学系；２．河南工业大学 理学院，郑州 ４５０００１）
摘 要：本文根据对北京某市某中学的学生成绩评定统 计 量 的 描 述，结 合 了 数 学 模 型，利 用 因 子分析法，分析了２０名在校中学生的成绩的相关影响因 素。 结 果 表 明：利 用 因 子 分 析 法 得 到 的 结 果 对 教 学 有 很 好 的 指 导 作 用 ，适 用 于 今 后 国 家 教 育 部 门 对 学 生 学 习 成 绩 评 定 的 研 究 。
因 子βｉ，ｉ＝１，２，．．．．．．．．．．．．，ｌ可 以 假 定 为 均 值 为０，方差为１的正态变量；εｉ 可以认 为 均 值 为 ０，