关于国际班高中数学教学点滴思考

定难度．

４．２一数学建模的案例①苏教版教材在函数这一节的最后安排了一个

探究案例，钢琴与曲线，内容很容易吸引学生，分析也很详细，后面带了２个探索的题目，都与生活有密切联系，其中第二个房贷问题很好地把握了社会热点．②北师版在函数模型这一块也安排了建模案例，作为单独一节出现，这个案例是 煤气烧水 问题，整个建模过程的各个步骤呈现的非常详细，能让学生更好地理解建模过程．后面安排了１个练习４个习题．还有一个探究活动 同种商品不同型号的价格问题 ．③人教Ａ版后面１２９页上的收集数据并建立模型所要求的实验设备要求很高，有一些学校较难做到，课堂讲解也很空洞，对于学生自己操作也更加困难．

在这三个版本中，苏教版的钢琴案例较新颖，也很好理解，很能吸引学生，但步骤呈现的没有北师版的案例那么具体，苏教版的案例后的两个练习特别是第二个很贴近生活．北师版的案例很生活，介绍也很详细．后面探究活动 同种商品的不同型号的价格问题 也具有很好的操作性．人教Ａ版缺少像苏教版和北师版这样的建模的案例，唯一的信息技术方面的建模案例对学生的可操作性有一定的局限．

４．３一建模中的信息技术

①信息技术的应用对数学建模是非常重要的，而

合适的信息技术的选用要显得更为重要．下面来比较一下三个版本建模中信息技术的特点．在苏教版中，主要用到的是ＥＸＣＥＬ和计算器，ＥＸＣＥＬ通用性很好，有很强的图形和数据处理能力，是建模的一个强大的工具，苏教版中用了三个篇幅来介绍用ＥＸＣＥＬ处理

数据拟合的案例．纵观整个苏教版ＥＸＣＥＬ在建模中的使用是其一大特点，所展现的强大功能二通用性和易学性给我们很大的惊喜．②北师版在这一册的建模中主要介绍了图形计算器，图形计算器的作图能力很不错，但数据处理有时需要其它工具的帮助．③人教Ａ版的建模中信息技术主要用到了计算机和图形计算器，给出了二分法求近似值的案例，但是介绍较为简单，如蜻蜓点水，对学生自己学习操作很不利．后面

１２９页上的收集数据并建立模型中，涉及到多种信息技术包括计算机，图形计算器，数据采集器，传感器等，是很好的一个科学实验，此案例中主要运用到图形计算器这一工具．

三个版本在 必修１ 中建模的信息技术的特点，苏教版是ＥＸＣＥＬ和计算器，其中ＥＸＣＥＬ运用较多；北师版主要运用的是图形计算器；人教版也主要运用图形计算器，还略带计算机．５一反思

要搞好数学建模教学，需要结合数学建模的过程，对能力培养进行分解落实．要培养阅读和语言转化能力，这里包括由普通语言抽象为数学文字语言，再抽象为数学符号语言．因为只有出现了符号语言的形式，才能联想和应用相应的数学结构；要培养抽象二概括能力，数学建模实质上也是一个去粗取精，去伪存真，抽象概括的过程；还要培养数学检索能力，从已有的知识中认定相应的数学模型，这与学生认知结构的好坏有关．需要基本的数学能力，而且带有更大的综合性和灵活性，要培养联系实际，全面考虑问题的能力．教学中，如果能对上述能力具体落实，相信数学建模教学会取得较好的效果．

关于国际班高中数学教学点滴思考

安徽省淮南市中小学教研室一一２３２００１一一苏里阳

一一２０１２年９月，笔者所在地一所省级示范中学招了本市第一届国际班，第二年另外一所省级示范中学开设了国际班．作为教研工作者的笔者带着好奇和学习的目的开始关注国际班的高中数学教学，国际班学生和普高班的学生高中入学成绩差距较大，而且以后培养方向不一样，普高班学生三年后要参加全国统一高考，就读的大学大多以国内为主；而国际班学生数学仅限于高二参加 学业水平考试 ，主要的精力是应对英语专业的ＴＯＥＦＬ二ＳＡＴ考试，通过

考试便可申请美国相应的大学．发展和培养方向的差异决定了国际班数学教学要进一步研究和探讨思考，即如何优化国际班的数学教学．

笔者通过近两年跟进国际班高中数学教学工作，并与普高班的数学教学比对，有些感悟和思考．１一首届国际班学生的基本信息

我市首届国际班学生，是根据２０１２年中考成绩，再结合面试，共招生２２人，其中男生１５人二女生

７人，均在１９９７二１９９８年出生．他们入学成绩（总分４

１一ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ一一一一一一一一一一

一一一一一中学数学杂志一２０１５年第３期

７９５分）最高分是６１７分，最低分３５２分；６００分以上２人，５００分到６００分之间８人，４００分到５００分之间７人，４００分以下５人；平均分４５８分；数学（满分１５０）最高分９８分；最低分４５分，平均分６８分．他们的家庭条件相对较好，其中１１位家长是私有企业老板；还有父母在大型企业二政府机关二医院等单位任职，有两位家长做点小生意．他们的初中毕业学校全部来自我市三所重点初中．国际班教室单独安排在学校的艺术馆三楼，不仅和普高班教室不在一起，而且内部的设施带有西式化．

２一如何上好国际班高一第一学期的数学课

新学期之前，笔者就与任课教师反复学习对比国内外高中数学标准，合理处理必修一教材，考虑中西数学的理念差异，更考虑到与普高班的基础相比弱一些，故国际班教学节奏较缓二推进的速度慢．在开始阶段上集合内容，处理还算较为顺利，当上到第二章函数内容时，遇到问题较多，特别是遇到 求函数定义域 问题时学生较难理解，具体就是解不等式求交集问题．追根求源是他们解 一元一次不等式 二 一元二次方程 都容易出错，更不要说解 一元二次不等式 了．当时出现了学生上课没有反应，课后作业也出现大量的问题，以及学生家长不断反映孩子听不懂二课后习题做不好．学生们已经出现了明显害怕上数学课的情况，笔者决定不能继续这样下去，必须进行大胆的调整：自编‘初高中衔接教材“让老师补充使用．从 因式分解 开始讲起，还调整了必修课程内容，一个重要举措就是把 一元二次不等式 提前拿来讲解．上课采用讲课２０分钟，剩下时间学生练习１５分钟，接着讲解习题．一个星期后，继续必修一内容．这种方式缓解学生压力，上课乐于接受，效果较好．

３一国际班数学课教学要体现一定英语味道

通过跟进笔者发现，国际班数学老师一定要高素质，如果说用双语教学要求过高，但数学老师至少能进行最基本的口语交流，要掌握常用的数学专业名词（实际上，人教Ａ版教材中的一些重要的数学概念，都给出了英文翻译）．其次，数学老师必须至少要带过一轮高中数学课程；且有一定科研能力；要有较强的亲和力与课堂驾驭能力，并不是什么老师都能带国际班．发挥国际班学生英语水平较高的优势，便于促进他们学习数学．平时教学中，要求老师在授课中要适当点缀英语色彩，如简单的提问二尤其是讲到一些关键词；对于学生的鼓励性语言二表扬性的语言尽量用英语．既拉近学生和数学的距离，同时也促进了英语教学．应该说美国的数学更注重应用，所以在学习之余尝试撰写与数学有关的英文论文，不论篇幅，如 高中数学与生活 二 我理想的数学学习 等．

４一国际班数学课教学要体现出一定美式风情从国际班学生中考数学成绩来看，他们的数学基础很弱．他们对数学课堂往往感觉较为吃力，更乏味．所以，数学课堂的生命力就是体现在 上得灵活二形式多样二气氛活跃 ．如上到 对数 概念时，笔者找到‘中学数学史“相关内容 一个美妙的起源，再找到英语原版内容，进行适当的加工，编写成一个小话剧交给任课教师．让他挑选两名英语口语好二又喜爱表演的男同学分别扮演数学家纳皮尔和布里克斯，让他们将４００年前两位数学家第一次相见的场景演绎得淋漓尽致，课堂气氛得以空前高涨．学生既能在数学课堂找到了乐趣，同时也加深对 对数 深层次的了解和理解，对后续 对数运算和性质 的学习，学生都表现出很高的热情．

只要教材上涉及到国外数学家的故事，笔者都建议老师找来英文原稿，打在ＰＰＴ上让学生欣赏．比如 集合 中提到的康德二 直接证明和间接证明 中提到的费马二歌德巴赫二伯努利等，以及相关的故事．有一次我还抽出近两个小时的时间，和他们一起看专门以数学家为原型的一部美国大片‘美丽人生“英文原版电影．剧中诺贝尔奖获得者纳什的故事深深打动同学们，他们都觉得数学真是太神奇了，一定要学好．

２２名学生每个人都有自己的英文名字，如ＪＥＲ?ＲＹ二ＪＯＨＮ二ＤＡＮＮＹ二ＳＴＡＮＬＥＹ二ＴＩＮＡ二ＡＬＩＣＥ等．无论在课堂上还是在课下，要求老师喊他们的英文名字，学生们既自豪又倍感亲切，不再感觉数学课堂是很沉闷和死板的．

５一关于国际班学生的作业布置和平时检测

国际班学生是不参加国内的高考的，他们的目标就是顺利通过 学业水平考试 ．国际班学生数学基础较差，英语课又占据了三分之一的时间，花在数学上时间很有限，通过水平考试（至少是Ｃ等级）就不是一件容易的事情．所以，对于他们的要求是：作业布置以教材中Ａ组为主，Ｂ组题目以讲解为主．建议引导学生看年级自编学案的 课前预习导引 ，至于 课堂合作探究 部分只选做很基础的题型．进入高二阶段，笔者建议根据学生掌握知识的实际情况，

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中学数学杂志一２０１５年第３期一一一一一一一一一一一一一一一ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ

一

课堂上作必要的补充，并帮助老师独立编写一些资料给学生复习．笔者就曾命制过合理的 周练 ，选择填空题１０道，计算或证明题２道，主要是课本上习题改编或是课堂上讲过的习题改编，甚至就是讲过的原题．至于国际班的教学检测必须以基础题型为主，占到整张试卷约７成．总体命题指导思想是难度稍微高于 学业水平考试 试题难度．对于检测试卷评讲更要落到实处．

６一如何克服国际班的学生在数学学习上不自信二缺乏主动性

国际班学生在数学学习上大多是被动的， 变被动为主动 才是有效的教学举措．高一国庆之前老师告诉同学们，国庆之后邀请校长们和数学组老师来听课观摩．学生们国庆假期在家纷纷做了一定准备，公开课上穿着统一班服，把座位调整为美式课堂围坐在一起，个个精神饱满，加之老师对学生的鼓励，课堂气氛很好，孩子们感觉数学学习其实很有趣味．随着而来的是该校校传统一年两次的公开教学日，学生也积极主动要求展示自己的课堂，彰显他们的双语学习能力．

７一国际班教学上的困惑

国际班的数学教学理应解决中国数学强调的理解与美国数学重视的应用之间的问题，那么如何将培养学生的数学思维和动手解决问题的能力统一起来，如何在国际化的背景下，将更多新的想法和思维融入学生老师的生活和工作中，如何优化数学教学模式，笔者认为还需要在实践中进一步探索．

教材这样定义有问题吗？

广州大学数学与信息科学学院一一５１０００６一一叶景辉一吴伟朝

一一数学是一门有趣的学科，有许多问题都值得我们深入探究与思考．在人教版（Ａ版）高中数学必修１中，教材对 两个函数相等 定义为：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等［１］．也就是说， 两个函数相等 必须满足两个条件：①定义域相同；②对应关系相同．例如，函数ｆ（ｘ）＝ｘ０（ｘ?０）与ｇ（ｘ）＝１（ｘ?０）相等，函数ｆ（ｘ）＝ｘ与ｇ（ｘ）＝ｘ２也相等．然而，笔者就此问题曾提出这样的质疑：如果两个函数的定义域相同，对应关系不同，那么这两个函数还有可能相等吗？

为此，笔者列举了这样的例子：已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１与ｇ（ｘ）＝ｘ２＋１的定义域都是ｘ?｛０，１｝，试判断这两个函数是否相等？事实上，这两个函数在平面直角坐标系中代表两个点，即（０，１）和（１，２），由此可知这两个函数是相等的．又如函数ｆ（ｘ）＝ｘ与ｇ（ｘ）＝ｘ４的定义域都是｛－１，０，１｝，则这两个函数也相等．于是我们得出这样的结论：如果两个函数的定义域相同，对应关系不同，那么这两个函数也有可能相等．

后来，笔者又查阅许多资料，偶然在一本大学教材‘数学分析“也找到 两个函数相等 的定义，即：如果两个函数ｆ与ｇ有相同的定义域Ｄ，且对每个ｘ?Ｄ，两个函数的函数值ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）相等，则称这两个函数相等，记为ｆ＝ｇ或ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）［２］．相比较而言，笔者认为此处对 两个函数相等 的定义表述得更加合理，更为严谨，而人教版高中数学教材对定义的表述存在歧义．

古人云： 穷则思，思则变，变则通． 在教学过程中，当你对某些数学问题产生质疑时，若能善于思考，灵活变通，或许你会发现更多有价值的数学问题．以上观点如有不足之处，也欢迎广大教师批评指正．

参考文献

［１］一刘绍学．普通高中课程标准实验教科书数学必修１（Ａ版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００７：１８．

［２］一品冠国等．数学分析（上册）［Ｍ］．北京：科学出版社，２００６：１２．

作者简介一叶景辉，男

，广东龙川人，广州大学数学与信

息科学学院研究生，主要研究数学课程与教学论（含奥林匹

克数学）．吴伟朝，男，浙江宁波人，副教授．研究方向：基础数

学二奥林匹克数学．

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一ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ一一一一一一一一一一一一一一一中学数学杂志一２０１５年第３期