沪科版9上数学专题训练(一)二次函数及其简单应用作业含答案
2020年中考题汇编沪科版九年级数学上册二次函数的应用(含答案)
沪科版九年级数学上册二次函数的应用中考题汇编2020（含答案）一、选择题1. (2019·山西)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高钢拱的示意图如图②，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱对应的函数解析式为()①②第1题A. y＝26675x2 B. y＝－26 675x2C. y＝131 350x2 D. y＝－131 350x22. (2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球被抛出3 s 后，速度越来越快；③小球被抛出3 s时，速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s．其中正确的是()第2题A. ①④B. ①②C. ②③④D. ②③3. (2018·北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看成是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为()第3题A. 10 mB. 15 mC. 20 mD. 22.5 m二、填空题4. (2019·天门)若一矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是________．5. (2019·襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有的关系为h ＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.第5题6. (2019·广安)在广安市中考体考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y＝－112x2＋23x＋53，由此可知，该生此次实心球训练的成绩为________米．三、解答题7. (2019·葫芦岛)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不得高于90%.市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1) 根据图象，直接写出y与x之间的函数解析式．(2) 该公司要想每天获得3 000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3) 销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？第7题8.(2019·辽阳)某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价且不得高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1) 求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(2) 若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？第8题9.(2019·锦州)2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件的售价为x元，每个月的销量为y件．(1) 求y与x之间的函数解析式．(2) 当每件的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2 250元？(3) 当每件的售价定为多少元时，每个月获得的利润最大？最大利润为多少？10.(2019·宿迁)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，那么每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．(1) 请写出y与x之间的函数解析式．(2) 当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元？(3) 设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时，w最大？最大值是多少？11.(2019·通辽)越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．某书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不得低于10元且不高于18元．(1) 直接写出该书店销售这种科幻小说每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数解析式及自变量的取值范围；(2) 该书店决定每销售1本这种科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1 960元，求a的值．12.(2019·湘潭)湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A，B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价为72元/盒，售价为120元/盒，B种湘莲礼盒进价为40元/盒，售价为80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2 800元，平均每天的总利润为1 280元．(1) 求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？(2) 小亮调查发现，A种湘莲礼盒售价每降3元，就可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大？最大是多少元？13.(2019·鄂尔多斯)某工厂制作A，B两种手工艺品，B手工艺品每件获利比A手工艺品多105元，获利30元的A手工艺品与获利240元的B手工艺品数量相等．(1) 制作一件A手工艺品和一件B手工艺品分别获利多少元？(2) 工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A手工艺品或1件B 手工艺品．现在在不增加工人数量的情况下，增加制作C手工艺品．已知每人每天可制作1件C手工艺品(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B手工艺品，y人制作A手工艺品，写出y与x之间的函数解析式．(3) 在(1)(2)的条件下，每天制作B手工艺品不少于5件，当每天制作5件时，每件获利不变；若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C手工艺品每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．14.(2019·梧州)某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元(x≥6，且x是按0.5的倍数上涨)，当天销售利润为y元．(1) 求y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．(2) 要使当天销售利润不低于240元，求x的取值范围．(3) 若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．15.(2019·云南)某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元)的函数关系如图所示．求：(1) y与x之间的函数解析式；(2) 这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值．第15题16.(2019·包头)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨13 .据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1 500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4 000元．(1) 该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金为多少元？ (2) 经市场调查发现，在旺季，如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？17.(2019·随州)某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系p ＝12x ＋8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q(百千克)已知按物价部门规定，销售价格x(元/千克)不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1) 直接写出q 与x 之间的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围．(2) 当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．① 当每天的半成品食材能全部售出时，求x 的取值范围；② 求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x(元/千克)之间的函数解析式．(3) 在(2)的条件下，当x 为________元/千克时，利润y 有最大值；若要使每天的利润不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费，则销售价格应定为________元/千克．18.(2019·舟山)某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p＝150t－15刻画；当25＜t≤37时可近似用函数p＝－1160(t－h)2＋0.4刻画．(1) 求h的值．(2) 根据经验，该农作物提前上市的天数m与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：①求m关于p的函数解析式．②用含t的代数式表示m.③天气寒冷，大棚加温可改变农作物的生长速度．大棚恒温20 ℃时每天的成本为100元，计划该农作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温会导致成本增加，估测加温到20＜t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由(注：农作物上市售出后大棚暂停使用)．第18题参考答案一、 1. B 2. D 3. B 二、 4. 100 5. 4 6. 10三、 7. (1) y 与x 之间的函数解析式为y ＝－2x ＋260 (2) 由题意，得(x －50)(－2x ＋260)＝3 000.化简，得x 2－180x ＋8 000＝0，解得x 1＝80，x 2＝100.∵ x ≤50×(1＋90%)＝95，∴ x 2＝100不符合题意，舍去．答：该公司要想每天获得3 000元的销售利润，销售单价应定为80元 (3) 设每天获得的利润为w 元．由题意，得w ＝(x －50)(－2x ＋260)＝－2x 2＋360x －13 000＝－2(x －90)2＋3 200，∵ a ＝－2＜0，∴ 抛物线开口向下，w 有最大值．∵ 由题意及(2)，得50≤x ≤95，∴ 当x ＝90时，w 最大＝3 200.答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3 200元8. (1) 设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．由题图可知，当x ＝30时，y ＝140；当x ＝50时，y ＝100.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧140＝30k ＋b ，100＝50k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200.∴ y 与x 之间的函数解析式为y ＝－2x ＋200(30≤x ≤60) (2) 设该公司日获利为W 元．由题意，得W ＝(x －30)(－2x＋200)－450＝－2(x －65)2＋2 000.∵ a ＝－2＜0，图象的对称轴为直线x ＝65，∴ 二次函数的图象开口向下，当x ＜65时，W 随着x 的增大而增大．∵ 30≤x ≤60，∴ 当x ＝60时，W 有最大值，W 最大＝－2×(60－65)2＋2 000＝1 950.答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利为1 950元9. (1) 由题意，得y 与x 之间的函数解析式为y ＝100－2(x －60)＝220－2x(60≤x ≤110) (2) 由题意，得(220－2x)(x －40)＝2 250.化简，得x 2－150x ＋5 525＝0，解得x 1＝65，x 2＝85，均符合题意．答：当每件的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2 250元 (3) 设每个月获得利润w 元，∴ w ＝(220－2x)(x －40)＝－2x 2＋300x －8 800＝－2(x －75)2＋2 450.∴ 当x ＝75时，w 最大＝2 450.答：当每件的售价定为75元时，每个月获得的利润最大，最大利润为2 450元10. (1) 根据题意，得y 与x 之间的函数解析式为y ＝－12x ＋50 (2) 根据题意，得(40＋x)⎝⎛⎭⎫－12x ＋50＝2 250，解得x 1＝50，x 2＝10.∵ 每件利润不能超过60元，∴ x ＝10.答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润 2 250元 (3) 根据题意，得w ＝(40＋x)⎝⎛⎭⎫－12x ＋50＝－12x 2＋30x ＋2 000＝－12(x －30)2＋2 450，∵ a ＝－12＜0，∴ 当x ＜30时，w 随x 的增大而增大．易得0≤x ≤20，∴ 当x ＝20时，w 取最大值，为2 40011. (1) y ＝－10x ＋500(30≤x ≤38) (2) 设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意，得w ＝(x －20－a)(－10x ＋500)＝－10x 2＋(10a ＋700)x －500a －10 000(30≤x ≤38)，则二次函数图象的对称轴为直线x ＝35＋12a.∵ 0＜a ≤6，∴ 35＜35＋12a ≤38.∵ －10<0，∴ 二次函数图象的开口向下，当x ＝35＋12a 时，w 取得最大值．∴ (35＋12a －20－a)[－10(35＋12a)＋500]＝1 960，解得a 1＝2，a 2＝58(不合题意，舍去)．∴ a 的值为212. (1) 设平均每天销售A 种湘莲礼盒x 盒，B 种湘莲礼盒y 盒．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（120－72）x ＋（80－40）y ＝1 280，120x ＋80y ＝2 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝20.答：该店平均每天销售A 种湘莲礼盒10盒，B 种湘莲礼盒20盒 (2) 设A 种湘莲礼盒降价m 元，总利润为W 元．根据题意，得W ＝(120－m －72)⎝⎛⎭⎫10＋m 3＋(80－40)×20＝－13 m 2＋6m ＋1 280＝－13 (m －9)2＋1 307.∵ a ＝－13＜0，∴ 当m ＝9时，W 取得最大值，为1 307.答：当A 种湘莲礼盒降价9元时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1 307元13. (1) 设制作一件A 手工艺品获利a 元，则制作一件B 手工艺品获利(105＋a)元．根据题意，得30a ＝240a ＋105，解得a ＝15.经检验，a ＝15是原分式方程的解，且符合题意．当a ＝15时，a ＋105＝120.答：制作一件A 手工艺品获利15元，制作一件B 手工艺品获利120元 (2) ∵ 每天安排x 人制作B 手工艺品，y 人制作A 手工艺品，∴ 由题意，得每天有2y 人制作C 手工艺品．根据题意，得y ＋x ＋2y ＝65.∴ y ＝－13x ＋653 (3) 由题意，得W ＝15×2y ＋[120－2(x －5)]x ＋30×2y ＝－2x 2＋130x ＋90y ，又∵ y ＝－13 x ＋653，∴ W ＝－2x 2＋130x ＋90y ＝－2x 2＋130x ＋90(－13x ＋653)＝－2x 2＋100x ＋1 950.对于二次函数W ＝－2x 2＋100x ＋1 950，其图象的对称轴为直线x ＝25，而当x ＝25时，y 的值不是整数，又当x ＝24时，y 的值也不是整数．当x ＝26时，y ＝13，是整数．∴ 当x ＝26时，W 最大＝－2×262＋100×26＋1 950＝3 198.答：每天制作三种手工艺品可获得的总利润的最大值为3 198，相应x 的值为2614. (1) 根据题意，得y ＝(x －5)⎝⎛⎭⎫100－x －60.5×5＝－10x 2＋210x －800.∴ y 与x 之间的函数解析式为y ＝－10x 2＋210x －800 (2) ∵ 当天销售利润不低于240元，则y ≥240.令－10x 2＋210x －800＝240，解得x 1＝8，x 2＝13.∵ －10＜0，∴ 抛物线的开口向下．∴ 结合函数图象，可知x 的取值范围为8≤x ≤13 (3) ∵ 每件文具的利润不超过80%，∴ x －55≤0.8，解得x ≤9.∴ 自变量x 的取值范围为6≤x ≤9.由(1)得y ＝－10x 2＋210x －800＝－10(x －10.5)2＋302.5，∴ 函数图象的对称轴为直线x ＝10.5，且开口向下．∴ 当6≤x ≤9时，y 随x 的增大而增大．∴ 当x ＝9时，y 取得最大值，此时y ＝－10(9－10.5)2＋302.5＝280.答：当每件文具售价为9元时，当天获得利润最大，最大利润为280元15. (1) 当6≤x ≤10时，设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝6k ＋b ，200＝10k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－200，b ＝2 200.∴ y ＝－200x ＋2 200；当10＜x ≤12时，y ＝200.∴ y 与x 之间的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－200x ＋2 200（6≤x ≤10），200（10＜x ≤12） (2) 由已知，得W ＝(x －6)y.当6≤x ≤10时，W ＝(x －6)(－200x ＋2 200)＝－200⎝⎛⎭⎫x －1722＋1 250.∵ －200＜0，∴ 抛物线的开口向下，当x ＝172时，取最大值1 250.当10＜x ≤12时，W ＝(x －6)·200＝200x －1 200.∵200>0，∴ y 随x 的增大而增大．∴ 当x ＝12时，W 取得最大值，此时W ＝200×12－1 200＝1 200.∵ 1 250>1 200，∴ W 的最大值为1 250.答：这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值为1 25016. (1) 设该出租公司这批对外出租的货车共有x 辆．根据题意，得1 500x －10·⎝⎛⎭⎫1＋13＝4 000x ，解得x ＝20.经检验，x ＝20是原分式方程的解，且符合题意．∴ 1 500÷(20－10)＝150(元)．答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金为150元 (2) 设旺季时每辆货车的日租金上涨a 元时，该出租公司的日租金总收入为W 元．根据题意，得W ＝⎣⎡⎦⎤a ＋150×⎝⎛⎭⎫1＋13·⎝⎛⎭⎫20－a 20，∴ W ＝－120a 2＋10a ＋4 000＝－120(a －100)2＋4 500.∵ －120＜0，∴ 当a ＝100时，W 有最大值．答：在旺季，每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高17. (1) q 与x 之间的函数解析式为q ＝－x ＋14(2≤x ≤10) (2) ① 当每天的半成品食材能全部售出时，有p ≤q ，即12x ＋8≤－x ＋14，解得x ≤4.又∵ 2≤x ≤10，∴ x 的取值范围为2≤x ≤4 ② 由①可知，当2≤x ≤4时，y ＝(x －2)p ＝(x －2)·⎝⎛⎭⎫12x ＋8＝12x 2＋7x －16；当4＜x ≤10时，y ＝(x －2)q －2(p －q)＝(x －2)(－x ＋14)－2⎣⎡⎦⎤12x ＋8－（－x ＋14）＝－x 2＋13x －16.综上所述，厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x(元/千克)之间的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋7x －16（2≤x ≤4），－x 2＋13x －16（4＜x ≤10）(3) 132518. (1) 把(25，0.3)代入p ＝－1160(t －h)2＋0.4，得0.3＝－1160(25－h)2＋0.4，解得h ＝29或h ＝21.∵ 25<t ≤37，∴ h ＝29 (2) ① 由表格可知，m 是p 的一次函数．设m ＝kp ＋b(k ≠0)，把(0.2，0)，(0.3，10)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝0.2k ＋b ，10＝0.3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝100，b ＝－20.∴ m 关于p 的函数解析式为m ＝100p －20 ② 当10≤t ≤25时，p ＝150t －15，∴ m ＝100⎝⎛⎭⎫150t －15－20＝2t －40；当25<t ≤37时，p ＝－1160(t －29)2＋0.4，∴ m ＝100[－1160(t －29)2＋0.4]－20＝－58(t －29)2＋20.综上所述，m ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t －40（10≤t ≤25），－58（t －29）2＋20（25<t ≤37） ③ 加温到29 °时，增加的利润最大．理由：设增加的利润为y 元，则当20<t ≤25时，y ＝600m ＋[100×30－200(30－m)]＝800m －3 000＝1 600t －35 000.当20<t ≤25时，y 随t 的增大而增大，∴ 当t ＝25时，y 最大＝1 600×25－35 000＝5 000；当25＜t ≤37时，y ＝600m ＋[100×30－400(30－m)]＝1 000m －9 000＝－625(t －29)2＋11 000.∵ －625<0，∴ 当t ＝29时，y 最大＝11 000.∵ 11 000>5 000，∴ 当加温到29 ℃时，增加的利润最大．11。
21.4 二次函数的应用 沪科版数学九年级上册课后练习(含答案解析)
二次函数的应用一、单选题1．如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（）A．4B．5C．6D．72．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m23．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（）．A．B．C．D．5．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A．60B．65C．70D．756．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．7．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A．米B．8米C．10米D．2米8．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定9．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是（）A．B．C．D．11．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（ ）A．甲车超速B．乙车超速C．两车都超速D．两车都未超速12．如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．B．C．D．二、填空题13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．14．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．16．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD 绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．三、解答题18．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长x m，宽y m完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．19．一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点M离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？20．某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多．（1）求第一次加价的增长率；（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个．如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？21．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？22．如图，是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点，沿的路径移动，过点P作于点D，设，的面积为y．（1）当时，求y的值；（2）在这一变化过程中，写出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）当x取何范围时，（直接写出结果即可）．参考答案1．C解：∵=（x-1）2+3，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），∵AB=4，∴BC=2，点B的横坐标为x =3，把x =3代入得y=7，∴CD=7-3=4，∴CE=CE+DE=4+2=6，故选：C.2．A解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，则这个花园的面积是：S=x（12-2x）=，∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，故选：A．3．B解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：，，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，，抛物线顶端的坐标为，此抛物线顶端到连桥距离为．故选：B．4．D解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-．∴抛物线的解析式为y=-x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2，解得：x=±．∵-（-）=2，∴水面宽度为2m．故选：D．5．C解：每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C．6．B解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：即y=（x-35）（400-5x），故选：B．7．B解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．8．C解：根据题意,将点A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网，当x=18时,∴球会出界.故选C.9．D解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，∴解析式为；故A不符合题意；B、当y=0时，；解得x=2+20，∴水流喷射的最远水平距离是2+20米；故B不符合题意；C、当x=20时，y=11，∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；D、向后平移后的解析式为，当x=37时，y=8.58.5-3=5.5＞2.3，∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；故选：D10．A解：第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，第三个月的增长率为第一个月投放辆单车，第二个月投放辆第三个月投放量故选：A．11．B解：由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即或．由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即或．由于，从而可得：，．经比较：乙车超过限速．故选：B．12．B解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为t，S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，∴该函数图象开口向下，当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．故选：B．13．4解：设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，∵∴∴∵∴函数图象开口向下，有最大值，为4，故当OP=4时，花坛的面积最大．故答案为：4．14．46解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，∴MN的对称轴为直线x==23，∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．故答案为：46．15．1264解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：126416．7m解：由题意，得当y＝0时，，化简，得：，解得：（舍去），故答案为：7m．17．解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴△BDC≌△AEC，∴∠B=∠CAE，∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，设BD=AE=x，则AD=（2-x），∴，∵，函数开口向下，函数有最大值，当x=1时，．故答案为：．18．（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，整理，得3x+4y＝5.4，∴y＝﹣0.75x+1.35，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，由题意，得，解得1≤x≤1.3，即x的取值范围是1≤x≤1.3；（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，∵1≤x≤1.3，∴当x＝1时，S有最大值，S最大＝1.2，答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．19．3米解：由题意可得：抛物线顶点坐标为（1，12），A点坐标为（0，9），故设抛物线解析式为：，则，解得：a＝﹣3，故抛物线解析式为：，当y＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3，则水池的半径OB至少为3米时，才能使喷出的水流不落在池外．20．（1）50%；（2）当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元解：（1）解：设第一次加价的增长率为x，由题意得解得：（不合题意，舍去）答：第一次加价的增长率为．（2）解：当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得∵∴当时，y可取得最大值为1440答：当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．21．他垂直起跳的高度至少要达到米解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，与抛出点的坐标为，设抛物线的解析式为：，顶点坐标代入得：，抛出点坐标代入得：，解得：，∴抛物线得解析式为：，当时，，米，故他垂直起跳的高度至少要达到米．22．（1）；（2）；（3）x的取值范围为：或解：（Ⅰ）是等腰直角三角形，则，因为PD⊥BC ，则为等腰直角三角形，故，则，当时，；（Ⅱ）当点在上运动时，由（1）知，，当点在上运动时，同理可得为等腰直角三角形，则，则，故；（Ⅲ）①当时，则，当时，即，解得（舍去负值），当时，即，解得（舍去负值），故；②当时，则，当时，即=，解得：，当时，即，解得：，故；综上，x的取值范围为：或．。
沪科版-数学-九年级上册-九上22.5二次函数的应用同步练习及答案
22.5二次函数的应用同步练习第1题. 用8m 长木条，做成如图的窗框（包括中间棱），若不计损耗，窗户的最大面积为2m ．答案：43第2题. 在底边长20cm BC =，高12cm AM =的三角形铁板ABC 上，要截一块矩形铁板EFGH ，如图所示．当矩形的边EF =cm 时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为2cm ．答案：6 60ＡＥＭ ＣＨＮ第3题. 如图，用20m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为（）2m Ａ．45 Ｂ．50Ｃ．60Ｄ．65答案：Ｂ第4题. 用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）Ａ．264m 25 Ｂ．24m 3Ｃ．28m 3Ｄ．24m答案：Ｃ第5题. 用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ） Ａ．264m 25Ｂ．24m 3 Ｃ．28m 3Ｄ．24m答案：Ｃ第6题. 如图，用长10m 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱CD ），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（）2mＡ．50πＢ．504+π Ｃ．508+πＤ．5016+π答案：Ｃ第7题. 图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横截面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD '部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8m ，AD 和A D ''是两侧高为5.5m 的支柱，OA 和OA '为两个方向的汽车通行区，宽都为15m ，线段CD 和C D ''为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1:4（即:1:4DA AC =）．（1）求桥拱DGD '所在抛物线的函数表达式．（2）BE 和B E ''为支撑斜坡的立柱，其高都为4m ，为相应的AB 和A B ''两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A B ''的宽．（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱间的距离不得小于0.4m ，今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m ，设备的顶部与地面距离为7m ，它能否从OA （或OA '）区域安全通过，请说明理由．Ｄ ＣＢD 'E ''B ' A 'ＯＡ ＢＣxyＧ Ｄ Ｅ答案：（1）设DGD '所在抛物线为2(0)y ax c a =+<，(08)G ，，(15)D ，5.5，8225 5.5c a c =⎧∴⎨+=⎩，，190a =-，8c =，21890y x ∴=-+． （2）14EB BC =，4BE =，16BC =，22166AB AC BC =-=-=，AB ∴和A B ''宽都为6m ． （3）在21890y x =-+中，当4x =时，137********y =-⨯+=．37197(70.4)04545∴-+=>，∴该货车可以从OA （或OA '）区域安全通过．第8题. 如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心， 1.25m OA =，由A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m ．（1）以O 为坐标轴原点，OA 为y 轴建立直角坐标系，求抛物线ACB 的函数表达式； （2）水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（3）若水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流高度应达多少米（精确到0.1m ）？Ｃ ＡＯy答案：（1）依题意可知(01.25)A ，，(12.25)C ，．抛物线开口向下，∴表达式为22(1) 2.252 1.25y x x x =--+=-++（2）令2(1) 2.250x --+=，得10.5x =-（舍去），2 2.5x =，∴水池半径至少2.5m ． （3）由于抛物线形状与上面相同，即二次项系数为1-，故可设此抛物线为2()y x h k =--+，求得117h =，1413 3.7(m)196k =≈，水流的最大高度为3.7m ．第9题. 如图，在△ABC 中，6AC =，12AB =，3cos 5A =，点M 在AB 上运动，MP AC ∥交BC 于P ，MQ AC ⊥于Q ，设AM x =，梯形MPCQ 的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围； （2）当梯形MPCQ 的面积为4时，求x 的值；（3）梯形MPCQ 的面积是否有最大值，如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．答案：（1）由MP AC ∥，得△MBP ∽△ABC ，MP MB AC AB =，162MP x =-．在Rt AQM △中，3cos 5A =，35AQ x =，365CQ x =-，45MQ x =．1()2y MP CQ MQ =+1134662255x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， ＰＢＱ21124255y x x ∴=-+，06x <<． （2）当1011x =时，4y =．（3）当6011x =时，梯形面积最大，为14411．第10题. 某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？ 答题要求：（1）请提供四条信息； （2）不必求函数的表达式．答案：（1）2月份每千克销售价是3.5元 （2）7月份每千克销售价是0.5元（3）1月到7月的销售价逐月下降（4）7月到12月的销售价逐月上升（5）2月与7月的销售差价是3元／kg （6）7月份销售价最低，1月份销售价最高（7）6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月、2月与12月的销售价相同（答案不唯一）第11题. 用12m 长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为 m ．1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112 3 45月份每千克销售价/元答案：2第12题. 如图，用12m 长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，应选择窗子的长、宽各为 m ．答案：3、2第13题. 如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从A 出发沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点后就停止运动．（1）设运动开始后第s t 时，五边形APQCD 的面积为2cm S ，试写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．（2）第几秒五边形APQCD 的面积最小？是多少？答案：（1）第s t 时，AP t =，6PB t =-，2BQ t =， 故21(6)262PBQSt t t t =⨯-=-+． 61272ABCD S =⨯=矩形，272672(06)PBQS St t t ∴=-=-+≤≤．ＤＣＱＢＡ（2）2(3)63S t =-+，故当3t =时，S 有最小值63，即第3s 时，五边形APQCD 的面积最小，为263cm ．第14题. 如图，有长为24m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为cm x ，面积为2m S ． （1）求S 与x 的函数关系式．（2）要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比245m 还大的花圃吗？如果能，求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．答案：（1）243BC x =-，故214(243)32483S x x x x x ⎛⎫=-=-+<⎪⎝⎭≤． （2）由已知得232445x x -+=，即28150x x -+=，解得13x =，25x =，当3x =时，24331510BC =-⨯=>，不合题意，故5x =，即5m AB =． （3）2223243(8)3(4)48S x x x x x =-+=--=--+．1483x <≤，1443>，S ∴随着x 的增大而减小． 故当143x =时，S 有最大值22142483446(m )33⎛⎫--= ⎪⎝⎭．∴能围成面积比245m 还大的花圃．围法：42431031-⨯=，花圃的长BC 为10m ，宽为4m 32．这时花圃面积最大，为2246m 3．第15题. 如图，在Rt△ABC 中，90C ∠=，4BC =，8AC =，点D 在斜边AB 上，分别作DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，设DE x =，DF y =． （1）求y 与x 之间的函数关系，并求出x 的取值范围． （2）设四边形DECF 的面积为S ，试求S 的最大值．答案：（1）由已知得DECF 是矩形，故EC DF y ==，88AE EC y =-=-．由DE BC ∥得△ADE ∽△ABC ，DE AE BC AC ∴=，即848x y-=，82(04)y x x ∴=-<<． （2）2(82)2(2)8S xy x x x ==-=--+． 当2x =时，S 有最大值8．第16题. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品． 已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支 （不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单位x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ＡＣＤ答案：解：（1）设y kx b =+，它过点(605)(804)，，，560480k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：1208k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1820y x =-+∴． （2）21140120(8)(40)120104402020z yx y x x x x =--=-+--=-+- ∴当100x =元时，最大年获利为60万元．（3）令40z =，得21401044020x x =-+-， 整理得：220096000x x -+= 解得：180x =，2120x =由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．第17题. 如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；0 20 4060 8012 3 4 5 6 y (万件)x (元4060 080 100 120x (元)z (万元)(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .① 求S 关于t 的函数关系式；② (附加题) 求S 的最大值.答案：(1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm ，由∠A =60°，知AE =1，PE =3.∴ S ΔAPE =23. (2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =2t ，QF =t 23，AP =t +2，AG =1+2t ，PG =t 233+. ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =2323+t . 当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =2t，DF =4-2t ，QF =t 23，BP =t-6，CP =10-t ，PG =3)10(t -， 而BD =34，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =3343108352-+-t t . 当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，QF =(20-2t )3，CP =10-t ，PG =3)10(t -.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =31503302332+-t t .故S 关于t 的函数关系式为2233(06)53103343(68)33303150 3.(810)t t S t t t t t t ⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+⎪⎪⎩，≤≤，≤≤≤≤ ②(附加题)当0≤t ≤6时，S 的最大值为237； 当6≤t ≤8时，S 的最大值为36；当8≤t ≤10时，S 的最大值为36；所以当t =8时，S 有最大值为36第18题. 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m 2）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200 m 2吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？解：（1）（2）A BCD（3）答案：解：（1）根据题意得：(40)2x y x-= 2120(015)2y x x x =-+<∴≤ （2）当200y =时，即21202002x x -+= ∴2404000x x -+=解得：2015x =>015x <∵≤∴此花园的面积不能达到200m 2（3）21202y x x =-+的图像是开口向下的抛物线，对称轴为20x =． ∴当015x <≤时，y x 随的增大而增大∴当15x y =时，有最大值21152015187.52y =-⨯+⨯=最大值（m 2） 即：当15x =时，花园面积最大，最大面积为187.5m 2第19题. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中：（１） 求抛物线的函数解析式；（２） 求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？答案： 解：在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=，C ∴点坐标为(23.5)，（1）设抛物线的函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠， 则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)，，∴当0x =时， 1.5y c ==由22ba -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a -=，得2616 3.54a a a -=解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，．所以抛物线的解析式为213222y x x =-++．（２）D 点为抛物线213222y x x =-++的图象与x 轴的交点，∴当0y =时，即：2132022x x -++=，解得27x =±，27x =-不合题意，舍去，取27x =+． D ∴点坐标为()(2727AD ∴=+，，（m ）． 答：水流的落地点D 到A 点的距离是(27+m ．Ｅ ＣＦＡ(Ｏ)x D 1.5m45 B。
沪科版九年级上册数学 21.4 二次函数应用题
沪科版九年级上册数学二次函数应用题要点提示1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式：2. 顶点式的几种特殊形式.⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .3．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点,当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点,当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ． 典例分析1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米.（1）求这条抛物线的解析式；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（1） （2）3.某广告公司设计一幅长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元。
设矩形的一边长为x 米，面积为s 平方米.(1)求出s 与x 之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费用最多，并求出这个费用；(3)为使广告牌美观大方，要求做成黄金矩形.请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少（精确到元）？基础强化1.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？4.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?5.一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？6.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇
九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12． 其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________． 三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求落在对称轴上的点的坐标；（3）如图2，点M为第二象限抛物线上，作MN∥BC交抛物线于点N，直线NB、MC 交于点P，求P点的横坐标．22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为．（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+1解：A．根据二次函数的定义，y＝4x是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意．B．根据二次函数的定义，y＝3x﹣5不是二次函数，是一次函数，故B不符合题意．C．根据二次函数的定义，y＝是反比例函数，不是二次函数，故C不符合题意．D．根据二次函数的定义，y＝2x2+1是二次函数，故D符合题意．故选：D．2．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．解：A、由图知a＞0，﹣＝1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c＝0，故本选项正确；D、∵a+b+c＝0，即当x＝1时a+b+c＝0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）解：∵二次函数可化为y＝（x﹣3）2+5，∴二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），故选：D．4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故选：D．5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴当x＜2时，y随着x增大而增大，∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，故选：C．6．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+1解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+1，∵所求抛物线与函数y＝的图象相同且开口方向相反，∴a＝﹣，∴所求的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1．故选：D．7．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1解：当x＝﹣1时，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；当x＝1时，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；当x＝2时，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．4解：根据表格数据可知：抛物线的对称轴是直线x＝＝，∴③错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0有两根为x1＝﹣2，x2＝3；故①正确；从表格可知当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6）；∴②正确；从表格可知：当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，故④错误．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∵BE＝CF，∴△BOE≌△COF，∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，即∠EOF＝∠BOC＝90°，且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，由垂线段最短可得，当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，△OEF面积取最小值为×2×2＝2，∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，故选：A．10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°解：把（25，0.725），（50，0.06），（60，0.09）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝0.0001x2﹣0.008x+0.21＝0.0001（x﹣40）2+0.05，∵0.0001＞0，∴x＝40时，y最小为0.05，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为3．解：∵函数是二次函数，∴m2﹣7＝2且m+3≠0，解得：m＝3．则m的值为3．故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为5．解：∵y＝x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点A，B关于直线x＝2对称，∵点A横坐标为﹣1，∴点B横坐标为5，故答案为：5．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝5．解：∵|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，解得：a＝﹣1或5，又二次函数y＝ax2开口向上，则a＞0，故a＝5．故答案为：5．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是3．解：∵点A（m，n）在抛物线y＝x2﹣3x+1上，∴n＝m2﹣3m+1，∴m﹣n＝﹣m2+4m﹣1＝﹣（m﹣2）2+3，∴当m＝2时，m﹣n有最大值为3，故答案为：3．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为﹣．解：设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，令x＝0，则y＝c，∴C（0，c），∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为c，当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，解得：x＝2，或x＝0，∴D（2，c），∴CD＝2，∵AB+CD＝3，∴2+2＝3，解得：c＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为142．解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EF＝10，点G是EF的中点，∴BG＝EF＝10＝5，∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD 面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，∴AC＝20，S△ACD＝×12×16＝96，∴BH＝＝，∴G'H＝BH﹣5＝﹣5＝，∴S△ACG'＝AC•G'H＝×20×＝46，∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．故答案为：142．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．解：（1）由图象可知，抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴当y＝0时，x的值为﹣1和3；（2）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，﹣3）得，﹣3＝﹣3a，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），令y＝5得5＝（x+1）（x﹣3），解得x1＝4，x2＝﹣2，∴当y＞5时，求x的范围是x＞4或x＜﹣2；（3）∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向上，顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1，∴y随x的增大而增大时，x的范围是x＞1．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答：小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），。
沪科版数学九年级上册 21.1 二次函数基础课时练习题(含答案)
二次函数基础分类练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米）281832…写出用t 表示s 的函数关系式. 2、 下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 21yx x ；⑤ 1yx x ，其中是二次函数的是 ，其中a，b，c3、当m 时，函数2235y mx x（m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m 时，函数2221mm y m m x 是关于x 的二次函数5、当____m时，函数2564mm ymx +3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图象与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）st Os tOs tOs tOA B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知函数24mm y mx 的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系.9、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. （1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6. （1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到. 5、 已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<17、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322yx x的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________； 7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ） A 、6，4 B 、－8，14 C 、－6，6 D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x 的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式； 2） 判断点2,5是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2yx px q 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x mm 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2yax bxc 与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x ，那么ac b4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2yax bx c （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x 和3x 时，函数值相同；3）40a b ；4）当2y 时，x 的值只能为0；其中正确的是 8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m= 9、二次函数2yx ax b 中，若0a b ，则它的图象必经过点（ ）A 1,1B 1,1C 1,1 D1,110、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 13、抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④ 14、二次函数2y ax bx c 的最大值是3a ，且它的图象经过1,2，1,6两点，求a 、b 、c15、试求抛物线2yax bx c 与x 轴两个交点间的距离（240b ac练习八 二次函数解析式1、抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=2、把抛物线y=x 2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .3、 二次函数有最小值为1，当0x 时，1y ，它的图象的对称轴为1x ，则函数的关系式为 4、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；5、已知二次函数的图象经过1,1、2,1两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式6、抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.7、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.（1）求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.8、以x 为自变量的函数)34()12(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且ABC S ∆=10,求这个一次函数的解析式.练习九 二次函数与方程和不等式1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>∆>a B 、0,0<∆>a C 、0,0>∆<a D 、0,0<∆<a5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ） A 、0 B 、-1 C 、2 D 、41 6、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝1 7、已知二次函数2yx px q 的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为1,0，求,p q 的值8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .9、如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B、D，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.y x mx m.11、已知抛物线22（1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；y x mx m与x轴交于整数点，求m的值；（2）若m是整数，抛物线22（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.练习十二次函数解决实际问题1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至少写出四条）2、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第x 年维修、保养费累计．．为y（万元），且y＝ax2＋bx，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.3、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y (m) 与水平距离x (m) 之间的函数关系式为y＝－112x2＋23x＋53，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.4、用6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？3.50.50 2 7月份千克销售价(元)5、商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件.①设每件降价x 元，每天盈利y 元，列出y 与x 之间的函数关系式；②若商场每天要盈利1200 元，每件应降价多少元？③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.①求这条抛物线所对应的函数关系式.②如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少？7、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）.练习一 二次函数参考答案1：1、22t s =；2、⑤，-1，1，0；3、≠2，3，1；6、（2，3）；7、D ；8、),2150(2254S 2<<+-=x x 189；9、x x y 72+=，1；10、22-=x y ；11、,244S 2x x +-=当a<8时，无解，168<≤a 时，AB=4,BC=8，当16≥a 时，AB=4,BC=8或AB=2,BC=16.练习二 函数2ax y =的图象与性质参考答案2：1、(1)x=0,y 轴，（0，0），>0，，<0，0，小，0; (2)x=0,y 轴，（0，0），<，>， 0，大，0;2、④；3、C ；4、A ；5、B ；6、-2；7、3-；8、021<<y y ；9、（1）2或-3，（2）m=2、y=0、x>0，（3）m=-3，y=0，x>0；10、292x y =练习三 函数c ax y +=2的图象与性质参考答案3：1、下，x=0，（0，-3），<0，>0；2、2312-=x y ，1312+=x y ，（0，-2），（0，1）；3、①②③；4、322+=x y ，0，小，3；5、1；6、c.练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质参考答案4：1、（3，0），>3，大，y=0;2、2)2(3-=x y ，2)32(3-=x y ，2)3(3-=x y ;3、略；4、2)2(21-=x y ；5、（3，0），（0，27），40.5；6、2)4(21--=x y ，当x<4时，y 随x 的增大而增大，当x>4时，y 随x 的增大而减小；7、-8，-2，4.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质参考答案5：1、略；2、1；3、>1；4、左、下；5、342-+-=x x y ；6、C ；7、（1）下，x=2，（2，9），（2）2、大、9，（3）<2、>2,(4)( 32-,0)、( 32+,0)、 32，（5）（0，-3）；（6）向右平移2个单位，再向上平移9个单位；8、（1）上、x=-1、（-1，-4）；（2）（-3，0）、（1，0）、（0，-3）、6，（3）-4，当x>-1 时，y 随x 的增大而增大；当x<-1 时，y 随x 的增大而减小,(4) 2)1(-=x y ；（5）向右平移1个单位，再向上平移4个单位或向上平移3个单位或向左平移1个单位；（6）x>1或x<-3、-3<x<1练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质参考答案6：1、x=-2；2、上、（3，7）；3、略；4、2)1(2+-x ；5、5)1(212+--=x y ；6、（-2，0）（8，0）；7、大、81；8、C ；9、A ；10、（1）1)2(212--=x y 、上、x=2、（2，-1），（2）310)34(32+--=x y、下、34=x 、（310,34），（3）3)2(412---=x y 、下、x=2、（2，-3）；11、有、y=6；12、（2，0）（-3，0）（0，6）；13、y=-2x 、否；14、定价为3000元时，可获最大利润125000元练习七 c bx ax y ++=2的性质参考答案7：1、1162+-=x x y ；2、（-4，-4）；3、1；4、-3；5、>、<、>、>；6、二；7、②③；8、-7；9、C ；10、D ；11、B ；12、C ；13、B ；14、4422++-=x x y ；15、aacb 42-练习八 二次函数解析式参考答案8：1、31-、32、1；2、1082++=x x y ；3、1422+-=x x y ；4、（1）522-+=x x y 、（2）3422---=x x y 、（3）41525452--=x x y 、（4）253212+-=x x y ；5、9194942+-=x x y ；6、142-+-=x x y ；7、（1）25482582582++-=x x y 、5；8、322++-=x x y 、y=-x-1或y=5x+5练习九 二次函数与方程和不等式参考答案9：1、47-≥k 且0≠k ；2、一；3、C ；4、D ；5、C ；6、C ；7、2，1；8、31,3,121≤≤-=-=x x x ；9、（1）x x y 22-=、x<0或x>2；10、y=-x+1，322+--=x x y ,x<-2或x>1;11、（1）略,(2)m=2,(3)(1，0)或（0，1）练习十 二次函数解决实际问题参考答案10：1、①2月份每千克3.5元 ②7月份每千克0.5克 ③7月份的售价最低④2～7月份售价下跌；2、y ＝x 2＋x ；3、成绩10米，出手高度35米；4、23)1(232+--=x S ，当x ＝1时，透光面积最大为23m 2；5、（1）y ＝(40－x) (20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800，（2）1200＝－2x 2＋60x ＋800，x 1＝20，x 2＝10 ∵要扩大销售 ∴x 取20元，（3）y ＝－2 (x 2－30x)＋800＝－2 (x －15)2＋1250 ∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元；6、（1）设y ＝a (x －5)2＋4，0＝a (－5)2＋4，a ＝－254，∴y ＝－254(x －5)2＋4，（2）当x ＝6时，y ＝－254＋4＝3.4(m)；7、（1）2251x y -=，（2）h d -=410，（3）当水深超过2.76m 时；8、)64(6412≤≤-+-=x x y ，x =3，m y 75.3496=-=，m 2.325.35.075.3≈=-，货车限高为3.2m.。
九年级数学上21.2.1二次函数的图象与性质课时练习题沪科版含答案和解释
适用精选文件资料分享九年级数学上二次函数的图象与性质课时练习题( 沪科版含答案和解说 )九年级上学期数学课时练习题 21.2 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质一、精心选一选 1 ? q 二次函数 y＝－ x2－1 的图象大体是（）A.B. C. D. 2 ? q 在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2 与二次函数 y＝x2+a 的图象可能是（）A. B. C. D. 3? q 二次函数 y＝ x2+1 与 y＝ x2+2 的图象的不同样之处是（） A. 对称轴 B. 张口方向 C. 极点 D.形状 4 ? q 函数 y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，y＝－ 2x2+1 中，当 x＞0时，y 随 x 的增大而增大的函数共有（） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5 ? q 抛物线 y＝2x2+1 的极点坐标是（） A. （2，1） B. （0，1）C.（1，0）D. （1，2） 6 ? q 关于二次函数 y＝2x2+3，以下说法中正确的选项是（）A. 它的张口方向是向下 B. 当 x＜－ 1 时， y 随 x 的增大而减小 C. 它的对称轴是直线 x＝2 D. 当 x＝0 时， y 有最大值是 3 7? q 抛物线 y＝－ x2+9与 y 轴的交点坐标是（） A. （0，9） B. （3，0） C. （－ 3，0） D.（－ 3，0）或（ 3，0） 8 ? q 将抛物线 y＝－ x2向上平移 2 个单位后，获得的函数表达式是（）＝－＝－ (x+2)2 C.y ＝－ (x －1)2 D.y ＝－ x2－2 9 ? q 已知： x2+y＝3，当－ 1≤x≤2时， y 的最小值是（） A.－1 B.2 C. D.3 10.二次函数 y＝－ x2+1 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，以下说法错误的选项是（）A. 点 C的坐标是（0，1）B. 线段 AB的长为 2C.△ABC是等腰直角三角形 D. 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大二、认真填一填11. 抛物线 y＝2 +(m－5) 的极点在 x 轴的下方，则 m＝_________.12.抛物线y＝2x2－1 在y 轴右边的部分是__________.（填“上涨”或“降落”） 13. 若在二次函数 y＝－x2+5，当 x 取 x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当 x 取 x1+x2 时，函数值为 ____________________.14.已知直线 y＝2x－1 与抛物线 y＝5x2+k 的交点横坐标为 2，则 k＝____，交点坐标为______. 15. 关于抛物线y＝x2－m，若y 的最小值是 1，则 m＝____________. 16. 两条抛物线 y1＝－ x2+1 ，y2＝－x2－1 与分别经过点（－ 2，0），（2，0），且平行于 y 轴的两条平行线围成的暗影部分的面积为_________________. 第 17 题图第 17 题图第18 题图17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4 与y轴交于点 A，过点 A 与 x 轴平行的直线交抛物线 y＝ x2 于点 B、C，则 BC的长为 _____________. 18. 如图，二次函数 y＝ax2+c（ a＜0）的图象过正方形 ABOC的三个极点 A、B、C，则 ac 的值是___________.三、解答题 19. 在同向来角坐标系中画出二次函数 y＝ x2+1 与二次函数 y＝－ x2 －1 的图象 . （1）从抛物线的张口方向、形状、对称轴、极点等方面说出这两个函数图象的同样点与不同样点；（2）说出这两个函数图象的性质有何同样点与不同样点.20. 已知：一次函数 y1＝2x，二次函数 y2＝x2+1. x －3 －2 －1 0 1 2 3y1 ＝2x y2 ＝x2+1 （1）依据表中给出的 x 的值，计算对应的函数值 y1、y2，并填写在表格中；（2）观察上表所填数据，猜想：在实数范围内，关于 x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 y1 与 y2 有何大小关系？并证明你的结论 .21.已知：抛物线 y＝2x2+n 与直线 y＝2x－1 交于点（ m，3） . （1）求m和 n 的值；（2）试说出抛物线 y＝2x2+n 的极点坐标和对称轴；（3）当 x 何值时，二次函数 y＝2x2+n 中 y 随 x 的增大而减小；（4）函数 y＝2x2+n 与 y＝2x－1 的图象能否还存在其他交点，若存在，央求出交点坐标；若没有，请说明原由 .22.如图，抛物线 y1＝－ x2－1 与直线 y2＝－x－3 交于 A、B两点 . （1）求 A、B 两点的坐标；（2）依据图象填空：①当 x 取何值时， y1的值随 x 的增大而增大？②当 x 取何值时， y2 的值随 x 的增大而减小？（3）设抛物线 y1＝－ x2－1 的极点为 C，试求△ ABC的面积 .23.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l ：y＝－2x－2. （1）求m取何值时，抛物线c 与直线l 没有公共点；（2）挪动抛物线c，当抛物线 c 的极点在直线 l 上时，求直线 l 被抛物线 c 所截得的线段长.24.以以以下图，地道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为 2cm，抛物线可用 y＝ x2+4 表示 . （1）一辆货车高 4m，宽 2m，它能经过该地道吗？（2）假如地道内设双行道，那么这辆货车能否可能经过？ 21.2 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质课时练习题参照答案一、精心选一选题号答案BCCCBB A A D D 1 ? q 二次函数 y＝－ x2－1 的图象大体是（）A. B. C.D.解答：抛物线 y＝－ x2－1 的张口向下，极点坐标为（ 0，－ 1），所以 B 选项切合要求，应选： B. 2? q 在同一坐标系中，一次函数 y＝a x+2 与二次函数 y＝x2+a 的图象可能是（） A. B. C. D. 解答：∵二次函数 y＝x2+a 的图象张口向上，∴第一除掉 B 错误，当 a＞0时，一次函数y＝ax+2 图象经过一、二、三象限，二次函数y＝x2+a的图象的张口向上，极点在 x 轴的上方，∴除掉 A、D错误，当 a＜ 0 时，一次函数y＝ax+2 图象经过一、二、四象限，二次函数y＝x2+a的图象的张口向上，极点在 x 轴的下方，故 C切合要求，应选：C. 3? q 二次函数y＝x2+1 与y＝x2+2 的图象的不同样之处是（）A. 对称轴B. 张口方向 C. 极点 D. 形状解答：∵抛物线 y＝ x2+1 的极点坐标为（0，1），y＝ x2+2 的极点坐标是（ 0，2），∴它们的极点坐标地点不同样，应选： C. 4 ? q 函数 y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，y＝－2x2+1中，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大的函数共有（） A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解答：当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大的函数有：y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，应选： C. 5 ? q 抛物线 y＝2x2+1 的极点坐标是（） A. （2，1） B. （0，1） C. （1，0） D. （1，2）解答：抛物线 y＝2x2+1 的极点坐标是（ 0，1），应选： B. 6 ? q 关于二次函数 y＝2x2+3，以下说法中正确的选项是（）A. 它的张口方向是向下 B. 当x＜－ 1 时， y 随 x 的增大而减小 C. 它的对称轴是直线 x＝2 D. 当x＝0 时， y 有最大值是 3 解答： A. 它的张口方向是向上，故 A 选项错误；B. 当 x＜－ 1 时， y 随 x 的增大而减小，故 B 选项正确；C. 它的对称轴是直线 x＝0，故 C选项错误； D. 当 x＝0 时，y 有最小值是 3，故 D 选项错误，应选： B. 7? q 抛物线 y＝－x2+9 与 y 轴的交点坐标是（） A. （0，9） B. （3，0） C. （－ 3，0） D. （－ 3，0）或（ 3，0）解答：抛物线 y＝－ x2+9 与 y 轴的交点坐标是（ 0，9），应选： A. 8 ? q 将抛物线 y＝－x2 向上平移 2 个单位后，获得的函数表达式是（） A.y ＝－ x2+2 B.y ＝－ (x+2)2 C.y ＝－ (x －1)2 D.y ＝－x2－2 解答：将抛物线 y＝－ x2 向上平移 2 个单位后，获得的函数表达式是 y＝－ x2+2，应选：A. 9? q 已知：x2+y＝3，当－ 1≤x≤2时， y 的最小值是（） A.3 B.2 C. D.－1解答：由x2+y＝3得：y＝－ x2+3，当 x＝－ 1 时， y＝2，当 x＝2 时， y＝－1，∴y的最小值为－ 1，应选： D. 10. 二次函数 y＝－ x2+1 的图象与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C，以下说法错误的选项是（） A. 点 C的坐标是（0，1） B. 线段 AB的长为 2 C. △ABC是等腰直角三角形 D. 当 x＞0时， y随 x 的增大而增大解答：二次函数 y＝－ x2+1 的图象与 y 轴交于点坐标为（ 0，1），故 A选项正确；当 y＝0 时，即－ x2+1＝0，x1＝1，x2＝－1，所以A、B 两点坐标分别为（1，0），（－1，0），故AB＝2，所以 B 选项正确；∵二次函数图象是轴对称图形，该抛物线又是以 y 轴为对称轴，∴△ ABC是等腰直角三角形，故 C 选项正确；∵抛物线 y＝－ x2+1 的张口向下，且以 y 轴为对称轴，∴当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小，故 D选项错误 . 应选：D. 二、认真填一填 11.－1； 12. 上涨； 13. 5； 14. －17，（2，3）； 15. －1； 16. 8；17.8 ； 18. －2. 11. 抛物线 y＝ 2 +(m－5) 的极点在 x 轴的下方，则 m＝_________. 解答：由题意知：y＝2 +(m－5) 是二次函数，∴m2－4m－3＝2，解得：m1＝－1，m2＝5，又∵抛物线的极点在x 轴的下方，∴m－5＜0，故 m＜5，∴m只好取－ 1，故答案为：－1. 12.抛物线 y＝2x2－1 在 y 轴右边的部分是 __________.（填“上涨”或“降落”）解答：抛物线y＝2x2－1 在y 轴右边的部分是上涨的，故答案为：上涨 . 13. 若在二次函数 y＝－ x2+5，当 x 取 x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当 x 取 x1+x2 时，函数值为 ____________________.解答：依据抛物线是轴对称图形，∵当 x 取 x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，∴ x1 与 x2 互为相反数，即 x1+x2＝0，∴当 x＝0 时，y＝5，故答案为： 5. 14. 已知直线 y＝2x－1 与抛物线 y＝5x2+k 的交点横坐标为 2，则 k＝____，交点坐标为 ______. 解答：把 x＝2 代入y＝2x－1 得： y＝3，∴它们的交点坐标为（2，3），把（ 2，3）代入 y＝5x2+k 得： 3＝5×22+k，解得： k＝－ 17，故答案为：－ 17，（2，3）. 15. 关于抛物线 y＝x2－m，若 y 的最小值是 1，则 m＝____________. 解答：抛物线 y＝x2－m的张口向上，有最小值－m，而 y 的最小值是 1，∴－ m＝1，故 m＝－ 1，故答案为：－ 1. 16. 两条抛物线 y1＝－ x2+1 ，y2＝－ x2 －1 与分别经过点（－ 2，0），（2，0），且平行于 y 轴的两条平行线围成的暗影部分的面积为_________________. 解答：如图，过 y2＝－ x2 －1 的极点（0，－1）作平行于 x 轴的直线与 y1＝－ x2+1 围成的暗影，同过点（ 0，－ 3）作平行于 x 轴的直线与 y2＝－ x2 －1 围成的形状同样，故把暗影部分向下平移 2 个单位即可拼成一个矩形，所以矩形的面积为 4×2＝8，故答案为： 8. 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+4与y 轴交于点 A，过点 A与 x 轴平行的直线交抛物线 y＝ x2 于点 B、C，则BC的长为 _____________. 解答：∵抛物线 y＝ax2+4 与 y 轴交于点 A，∴A（0，4），把 y＝4 代入 y＝ x2 得： x2 ＝4，解得： x ＝±4，又∵过点 A 与 x 轴平行的直线交抛物线 y＝ x2 于点 B、C，∴B、C两点的横坐标分别为－ 4，4，∴BC＝＝8，故答案为：8. 18.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个极点A、B、C，则 ac 的值是 ___________. 解答：设正方形的对角线 OA长为 2m，则 B（－ m，m），C（m，m）,A （0，2m），把 A、C的坐标代入解析式可得： c ＝2m①，am2+c＝m②，把①代入②得： m2a+2m＝m，解得： a＝－，则 ac＝－×2m＝－ 2，故答案为：－ 2. 三、解答题 19. 在同向来角坐标系中画出二次函数y＝ x2+1 与二次函数 y＝－x2 －1 的图象 . （1）从抛物线的张口方向、形状、对称轴、极点等方面说出这两个函数图象的同样点与不同样点；（2）说出这两个函数图象的性质有何同样点与不同样点 . 解答：如图：（1）y＝ x2+1与 y＝－ x2 －1 的同样点是：形状都是抛物线，对称轴都是 y 轴，不同点是： y＝ x2+1 张口向上，极点坐标是（ 0，1），y＝－ x2 －1 张口向下，极点坐标是（ 0，1）；（2）它们性质的同样点是：张口程度同样，不同样点是： y＝ x2+1 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大，当x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； y＝－ x2 －1 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大 . 20. 已知：一次函数 y1＝2x，二次函数 y2＝x2+1. x －3 －2 －1 0 1 2 3 y1＝2x y2＝x2+1（1）依据表中给出的 x 的值，计算对应的函数值 y1、y2，并填写在表格中；（2）观察上表所填数据，猜想：在实数范围内，关于 x 的同一个数值，这两个函数所对应的函数值 y1 与 y2 有何大小关系？并证明你的结论 . 解答：（1）填表以下： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y1 ＝2x －6 －4 －2 0 2 4 6 y2 ＝x2+1 10 5 2 1 2 5 10 （2）当 x取同一数值时， y2≥y1，证明：∵y2－y1＝x2+1－2x＝(x －1)2 ，而(x －1)2 ≥0，∴y2－y1≥0，即 y2≥y1. 21. 已知：抛物线 y＝2x2+n与直线 y＝2x－1 交于点（ m，3）. （1）求 m和 n 的值；（2）试说出抛物线 y＝2x2+n 的极点坐标和对称轴；（3）当 x 何值时，二次函数 y＝2x2+n 中 y 随 x 的增大而减小；（4）函数 y＝2x2+n 与 y＝2x－1 的图象能否还存在其他交点，若存在，央求出交点坐标；若没有，请说明原由 .解答：（1）把x＝m，y＝3代入y＝2x－1得：2m －1＝3，解得： m＝2，则交点坐标为（ 2，3），把（ 2，3）代入 y ＝2x2+n 得：3＝8+n，解得： n＝－ 5，故 m＝2，n＝－ 5；（2）由（1）知：抛物线为 y＝ 2x2－5，∴该抛物线的极点坐标为（0，－5），对称轴为 y 轴；（3）当 x＜0 时，二次函数 y＝2x2+n 中 y 随 x 的增大而减小；（4）有，依据题意得：，解得：，，∴两函数图象还有一个交点，其坐标为（－ 1，－ 3）. 22. 如图，抛物线 y1＝－ x2－1与直线 y2＝－ x－3 交于 A、B 两点 . （1）求 A、 B 两点的坐标；（2）依据图象填空：①当 x 取何值时，y1 的值随 x 的增大而增大？②当 x 取何值时， y2 的值随 x 的增大而减小？（3）设抛物线y1＝－x2－1 的极点为 C，试求△ ABC的面积 . 解答：（1）由得：，，∵点A 在第三象限，点 B 在第四象限，∴A（－ 1，－2），B（2，－5）；（2）①当 x＜0 时，y1 的值随 x 的增大而增大？②当 x 取任何实数时，y2 的值随 x 的增大而减小？（3）∵抛物线 y1＝－ x2－1 的极点坐标为（ 0，－ 1），∴C（ 0，－ 1），设直线 AB与 y 轴交于点 D，则点 D的坐标为（0，－3），∴CD＝＝2，∴S△ACD＝×2×1＝ 1，S△BCD＝×2×5＝ 5，∴S△ABC＝S△ACD+ S△BCD＝ 1+5＝6，即△ABC的面积为 6. 23. 如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l ：y＝－ 2x－2. （1）求 m取何值时，抛物线 c 与直线 l 没有公共点；（2）挪动抛物线 c，当抛物线 c 的极点在直线 l 上时，求直线 l 被抛物线 c 所截得的线段长 . 解答：（1）依据题意得： x2+m＝－ 2x－2，整理得： x2+2x+m+2＝0，∵抛物线 c 与直线 l 没有公共点，∴△＝22－4(m+2)＜0，解得： m＞－ 1，∴当 m＞－ 1 时，抛物线 c 与直线 l 没有公共点；（2）∵抛物线 c 的极点在直线 l 上，∴抛物线 c 的极点为（ 0，－ 2），将（ 0，－ 2）代入 y＝x2+m得： m＝－ 2，∴抛物线 c 的解析式为 y＝x2－2，由得：或，∴直线 l 与抛物线 c 的交点为（ 0，－ 2），（－ 2，2）∴直线 l 被抛物线 c 所截得的线段长为＝2 . 24. 以以以下图，地道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为 8cm，宽为 2cm，抛物线可用 y＝ x2+4 表示 . （1）一辆货车高 4m，宽 2m，它能经过该地道吗？（2）假如地道内设双行道，那么这辆货车能否可能经过？解答：（1）当货车沿着路面中线行驶时，货车边缘的横坐标为 1 或－ 1，当 x＝±1时，y＝－×( ±1)2+4 ＝，此处地道高为 +2 ＝＞4，故货车能经过地道 . （2）若地道内设双行道，此时货车一边凑近地道中线，另一边缘横坐标为2 或－2，反 x＝2 或－ 2 代入 y＝ x2+4 得： y＝3，此处地道高为 3+2＝5＞4，故货车能经过地道 .。
21.4二次函数的应用练习2021-2022学年沪科版数学九年级上册
二次函数的应用1.某商店销售一种成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，售价每涨1元，月销量就减少10件.设售价为每件x(x≥50)元，月销量为y件，月销售利润为w元．(1)写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式;(2)商店要在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，售价应定为每件多少元⋅(3)当售价定为每件多少元时会获得最大利润⋅求出最大利润．2.某超市购进一种商品，进货单价为10元，在销售过程中，超市规定，销售单价不低于10元且不高于19元.如果该商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)满足一次函数关系式y=−2x+40，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x(单位：元)定为多少时，日销售利润最大⋅最大利润是多少元⋅3.某超市经销一种商品，每千克成本为50元.经试销发现，该种商品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售价、销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式;(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售价应定为多少⋅(3)当销售价定为多少时，才能使当天的销售利润最大⋅最大利润是多少⋅4.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)销售单价定为多少时，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大⋅最大利润是(3)若该商店想使销售该商品每天获得的利润不低于800元，请直接写出此时x的取值范围．5.某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．6.黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x(元/件)11 19日销售量y(件)18 2请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？7.为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆⋅共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．8.我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y(千克)与销售单价每千克x(元)之间函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？(3)某村今年草莓采摘期限30天，预计产量6000千克，若要求每天销售获得的利润最大，能否销售完这批草莓？请说明理由．9.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．(1)请写出y与x之间的函数表达式；(2)设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？10.某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y=kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．(1)求k，b的值；(2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．11.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？12.如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，与y轴交于点C(0,4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．13.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件．每件盈利120元．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．(1)若商场每天要盈利2070元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？(2)这次降价活动中，2070元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值．.下14.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？15.某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)设计费能达到24000元吗？为什么？(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？16.毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大⋅最大利润是多少⋅x2+2与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，17.如图，抛物线y=−12点B在x轴的负半轴上．(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标;(2)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≅△OAC?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由．18.端午节前夕.某超市调研一种进价为4元/个的粽子的销售情况.当每个售价为6元时，每天能卖出1400个，在此基础上售价每上涨0.1元，每天销售量将减少10个.根据物价局规定，售价不能超过进价的300%．(1)若要实现每天6000元的销售利润，售价应定为多少？(2)若按照物价局规定的最高售价，每天的利润会超过6000元吗？请说明理由．19.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．(1)求该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(不需要求自变量取值范围)(2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？(3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？20.新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元？(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？答案1、【答案】解：(1)由题意得y =500−10(x −50)=1000−10x ，w =(x −40)(1000−10x)=−10x 2+1400x −40000．(2)由题意得−10x 2+1400x −40000=8000，解得 x 1=60，x 2=80，当x =60时，成本=40×[500−10×(60−50)]=16000元>10000元，不符合要求，舍去;当x =80时，成本=40×[500−10×(80−50)]=8000元<10000元，符合要求，∴售价应定为每件80元．(3)∵w =−10x 2+1400x −40000=−10(x −70)2+9000，−10<0，∴当x =70时，w 取最大值，为9000，故售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．2、【答案】解：根据题意得w =(−2x +40)(x −10)=−2x 2+60x −400=−2(x −15)2+50，∴当x =15时，w 取得最大值，最大值为50．∴当该商品的销售单价定为15元时，日销售利润最大，最大利润是50元．3、【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，将(55,70)、(60,60)代入得{55k +b =70,60k +b =60,解得{k =−2,b =180.∴y 与x 之间的函数表达式为y =−2x +180．(2)由题意得(x −50)(−2x +180)=600，整理得x 2−140x +4800=0，解得x 1=60，x 2=80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售价应定为60元/千克或80元/千克．(3)设当天的销售利润为w 元，则w =(x −50)(−2x +180)=−2(x −70)2+800，∵−2<0，∴当x =70时，w 最大值=800．故销售价定为70元/千克时，当天的销售利润最大，最大为800元．4、【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，将(30,100)、(45,70)代入得{100=30k +b,70=45k +b,解得{k =−2,b =160,故y =−2x +160．(2)由题意得w =(x −30)(−2x +160)=−2(x −55)2+1250，∵−2<0，∴w 有最大值，∴当x =55时，w 有最大值，此时，w =1250，故销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润为1250元．(3)由题意得(x −30)(−2x +160)≥800，解得40≤x ≤70，故x 的取值范围为40≤x ≤70．5、【答案】解：设y =ax 2+4(a ≠0)，∵图象经过(−2,2.4)，∴4a +4=2.4，解得：a =−0.4，∴表达式为y =−0.4x 2+4．6、【答案】解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得：{3a +2b =602a +3b =65，解得：{a =10b =15．∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．(2)设y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x +b 1，将(11,18)，(19,2)代入得：{11k1+b 1=1819k 1+b 1=2，解得：{k 1=−2b 1=40．∴y 与x 之间的函数关系式为y =−2x +40(11≤x ≤19)．(3)由题意得：w =(−2x +40)(x −10)=−2x 2+60x −400=−2(x −15)2+50(11≤x ≤19)．∴当x =15时，w 取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．7、【答案】解：如图，以BD 所在直线为x 轴、AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P 的坐标为(1,3.6)、点A(0,2)，设抛物线的解析式为y =a(x −1)2+3.6，将点A(0,2)代入，得：a +3.6=2，解得：a =−1.6，则抛物线的解析式为y =−1.6(x −1)2+3.6，当y =0时，有−1.6(x −1)2+3.6=0，解得：x =−0.5(舍)或x =2.5，∴BD =2.5，答：水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m ．8、{12k +b =40014k +b =350， 解得{k =−25b =700， ∴y 与x 的函数关系式为y =−25x +700；由题意知{−25x +700≥0x ≥10， ∴10≤x ≤28．(2)设每天的销售利润为w 元，由题意知：w =(x −10)(−25x +700)=−25x 2+950x −7000=−25(x −19)2+2025∵a =−25<0，∴当x =19时，w 取最大值，为2025．当该品种草莓定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，为2025元．(3)能销售完这批草莓．当x =19时，y =−25×19+700=225，225×30=6750>6000∴按照(2)中的方式进行销售，能销售完这批草莓．9、【答案】解：(1)根据题意得，y =−12x +50；(2)根据题意得，w =(40+x)(−12x +50)=−12x 2+30x +2000 =−12(x −30)2+2450，∵a =−12<0，∴当x <30时，w 随x 的增大而增大，∵该种玩具每件利润不能超过60元，∴x 的最大值为：60−40=20，∴当x =20时，w 最大=2400，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．10、【答案】解：(1)由题意可得：{30=50k +b 10=70k +b， ∴{k =−1b =80， 答：k =−1，b =80；(2)∵w =(x −40)y =(x −40)(−x +80)=−(x −60)2+400，∴当x =60时，w 有最大值为400元，答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．11、【答案】解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y =kx +b 得 {25=15k +b 20=20k +b ，解得{k =−1b =40故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y =−x +40(2)依题意，设利润为w 元，得w =(x −10)(−x +40)=−x 2+50x +400整理得w =−(x −25)2+225∵−1<0∴当x =25时，w 取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 12、【答案】解：(1)∵A(−1,0)，B(2,0)，C(0,4)，设抛物线表达式为：y =a(x +1)(x −2)，将C 代入得：4=−2a ，解得：a =−2，∴该抛物线的解析式为：y =−2(x +1)(x −2)=−2x 2+2x +4；(2)连接OP ，设点P 坐标为(m,−2m 2+2m +4)，m >0，∵A(−1,0)，B(2,0)，C(0,4)，可得：OA =1，OC =4，OB =2，=−2(m −1)2+8，当m =1时，S 最大，最大值为8．13、【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x 元，由题意得：(0.1x +20)(120−x)=2070，解得：x 1=−110(舍去)，x 2=30．答：每件衬衫应降价30元．(2)这次降价活动中，2070元不是最高日盈利，理由如下：设盈利为w 元，由题意得：w =(0.1x +20)(120−x)=−0.1(x +40)2+2560，∵x ≥0，∴当x =0时，w 取得最大值，此时w =2400．即最高盈利是2400元．14、【答案】解：(1)设淡季每间的价格为x 元，酒店豪华间有y 间，{x(y −10)=24000x(1+13)y =40000， 解得，{x =600y =50， ∴x +13x =600+13×600=800， 答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，y =(800+x)(50−x 25)=−125(x −225)2+42025，∴当x =225时，y 取得最大值，此时y =42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．15、【答案】解：(1)∵矩形的一边为x 米，周长为16米，∴另一边长为(8−x)米，∴S =x(8−x)=−x 2+8x ，其中0<x <8；(2)能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000=12(平方米)，即−x 2+8x =12，解得：x =2或x =6，∴设计费能达到24000元．(3)∵S =−x 2+8x =−(x −4)2+16，∴当x =4时，S 最大值=16，∴当x =4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．16、【答案】(1)设函数解析式为：y =kx +b ，根据题意，代入(12,28)和(15,25)得：{28=12k +b,25=15k +b,解得：{k =−1,b =40,∴函数解析式为：y =−x +40(10≤x ≤20)．(2)根据题意得：W =(x −10)y=(x −10)(−x +40)=−x 2+50x −400或−(x −25)2+225，∵该函数开口向下，∴当x ≤25时，W 随x 的增大而增大，∵10≤x ≤20，∴当x =20时，W 有最大值，且最大值为200．答：当每件售价为20元时，每天的销售利润最大，且最大利润是200元．17、【答案】解：(1)抛物线的对称轴是y 轴，顶点C 的坐标为(0,2)．(2)不存在.理由如下：由已知条件易得点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(−2,0)，则OA =OB =OC =2，故△OAC 是等腰直角三角形．假设存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ，因为AC 为公共边，OA =OC ，所以点M 和点O 关于直线AC 对称，因此四边形OAMC 是正方形，所以点M 的坐标为(2,2)，当x =2时，y =−12x 2+2=−12×22+2=0≠2，所以点M 不在抛物线y =−12x 2+2上，所以在抛物线上不存在一点M ，使得△MAC ≌△OAC ．18、【答案】解：(1)设售价为x 元，由题意得：(x −4)(1400−x−60.1×10)=6000 解得x =10或x =14∵售价不能超过进价的300%．∴x ≤4×300%，即x ≤12∴x =10答：若要实现每天6000元的销售利润，售价应定为10元．(2)设售价为x 元，利润为y 元，由题意得y =(x −4)(1400−x −60.1×10) =−100x 2+2400x −8000=−100(x −12)2+6400∵x ≤12∴当x =12时，函数能取得最大值，最大值为6400元．答：按照物价局规定的最高售价，每天的利润会超过6000元，最大利润是6400元．19、【答案】解：(1)∵依题意，得：y =50+(100−x)×12×10=−5x +550，∴y 与x 的函数关系式为y =−5x +550；(2)∵依题意得：y(x −50)=4000，即(−5x +550)(x −50)=4000，解得：x 1=70，x 2=90，∵70<90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；(3)设每月总利润为w ，依题意得w =y(x −50)=(−5x +550)(x −50)=−5x 2+800x −27500=−5(x −80)2+4500，∵−5<0，此图象开口向下，∴当x =80时，w 有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．20、【答案】解：(1)设A 、B 两种花苗的单价分别是x 元和y 元，则{3x +5y =2104x +10y =380，解得{x =20y =30， 答：A 、B 两种花苗的单价分别是20元和30元；(2)设购买B 花苗x 盆，则购买A 花苗为(12−x)盆，设总费用为w 元，由题意得：w =20(12−x)+(30−x)x =−x 2+10x +240(0≤x ≤12)，∵−1<0.故w 有最大值，当x =5时，w 的最大值为265，当x =12时，w 的最小值为216，故本次购买至少准备216元，最多准备265元．。
沪科版九年级数学中考复习二次函数综合应用(含答案)
二次函数综合应用1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax-bc的图象大致是( )2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+b与一次函数y=bx+a的图象可能是( )3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论:①abc<0;②2a-c>0;③a+2b+4c>0;④4ab +ba<-4.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.44.已知某二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,求这个二次函数的表达式.5.如图,△OAB的边OA在x轴上,其中点B的坐标为(3,4),且OB=BA.(1)求经过A,B,O三点的抛物线的表达式;(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移,设A,B的对应点分别为点A',B'.若四边形ABB'A'为菱形,求平移后的抛物线的表达式.6.我们规定:若抛物线的顶点在坐标轴上,则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线y=x2和y=(x-2)2都是“数轴函数”.(1)抛物线y=x2-4x+4和抛物线y=x2-6x是“数轴函数”吗?请说明理由.(2)若抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”,求该抛物线的表达式.7.(甘肃中考节选)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式;(2)若P为抛物线上的一点,F为对称轴上的一点,且以A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.8.已知二次函数y=x2-(m+2)x-m-5(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?9.(安徽中考)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一个动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.10.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和B(0,3).(1)求此抛物线和直线AB的函数表达式.(2)P是直线AB上方的抛物线上一个动点(不与点A,B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.动点P在什么位置时,△PDE的面积最大?求出面积的最大值,并求出此时点P的坐标.11.(安徽中考)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W元,求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?12.(安徽中考)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.13.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y(件)与销售价格x(元/件,20≤x≤60)的关系如图所示.(1)试确定y与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);(2)若超市一天销售该商品的利润为w元,写出w(元)与商品的售价x(元/件)之间的函数表达式;(3)求(2)中当销售价格x定为多少时,一天的利润w最大,最大利润是多少?答案：1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax-bc的图象大致是(A)2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+b与一次函数y=bx+a的图象可能是(C)3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论:①abc<0;②2a-c>0;③a+2b+4c>0;④4ab +ba<-4.其中正确结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.44.已知某二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,求这个二次函数的表达式.解:由题可知,抛物线与x轴交于点(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.∵顶点在函数y=2x的图象上,∴y=2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2).设二次函数的表达式为y=a (x+1)2-2, 把(2,0)代入,得0=9a-2,解得a=29,∴y=29(x+1)2-2=29x 2+49x-169.5.如图,△OAB 的边OA 在x 轴上,其中点B 的坐标为(3,4),且OB=BA.(1)求经过A ,B ,O 三点的抛物线的表达式;(2)将(1)中的抛物线沿x 轴平移,设A ,B 的对应点分别为点A',B'.若四边形ABB'A'为菱形,求平移后的抛物线的表达式. 解:(1)y=-49x (x-6)=-49x 2+83x.(2)∵点B 的坐标为(3,4),点A 的坐标为(6,0),∴BA=√32+42=5.∵四边形ABB'A'为菱形,∴BB'=BA=5. ①若抛物线沿x 轴向右平移,则B'(8,4), ∴平移后抛物线的表达式为y=-49(x-8)2+4; ②若抛物线沿x 轴向左平移,则B'(-2,4), ∴平移后抛物线的表达式为y=-49(x+2)2+4.综上所述,平移后的抛物线的表达式为y=-49(x-8)2+4或y=-49(x+2)2+4.6.我们规定:若抛物线的顶点在坐标轴上,则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线y=x 2和y=(x-2)2都是“数轴函数”.(1)抛物线y=x 2-4x+4和抛物线y=x 2-6x 是“数轴函数”吗?请说明理由. (2)若抛物线y=2x 2+4mx+m 2+16是“数轴函数”,求该抛物线的表达式. 解:(1)抛物线y=x 2-4x+4是“数轴函数”,抛物线y=x 2-6x 不是“数轴函数”.理由:∵y=x2-4x+4=(x-2)2,∴抛物线的顶点坐标为(2,0),在x轴上,∴抛物线y=x2-4x+4是“数轴函数”.∵y=x2-6x=(x-3)2-9,∴抛物线的顶点坐标为(3,-9),在第四象限,∴抛物线y=x2-6x不是“数轴函数”.(2)y=2x2+4mx+m2+16=2(x+m)2-m2+16,顶点坐标为(-m,-m2+16).由于抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”,分两种情况:①当顶点在x轴上时,-m2+16=0,m=±4,抛物线的表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32;②当顶点在y轴上时,-m=0,m=0,抛物线的表达式为y=2x2+16.综上,抛物线的表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32或y=2x2+16.7.(甘肃中考节选)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式;(2)若P为抛物线上的一点,F为对称轴上的一点,且以A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.解:(1)用交点式得函数表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.(2)①当AB为平行四边形的一条边时,如图1,则AB=PF=2,由(1)知y=x2-4x+3=(x-2)2-1,则对称轴为直线x=2.当点P在对称轴右侧时,点P的坐标为(4,3);当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点P的坐标为(0,3).②当AB是四边形的对角线时,如图2,则AB和PF的交点坐标为(2,0),∴点P的坐标为(2,-1).综上,点P的坐标为(4,3)或(0,3)或(2,-1).8.已知二次函数y=x2-(m+2)x-m-5(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?解:(1)当y=0时,x2-(m+2)x-m-5=0.Δ=[-(m+2)]2-4(-m-5)=m2+8m+24=(m+4)2+8,无论m取何值,(m+4)2+8>0,所以关于x的一元二次方程x2-(m+2)x-m-5=0总有两个不相等的实数根,所以不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点.(2)当x=0时,y=-m-5,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是-m-5.当-m-5>0时,解得m<-5,即m<-5时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.9.(安徽中考)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一个动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.解:(1)a=-12,b=3.(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CA,CB,CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F.S△OAD =12OD·AD=12×2×4=4;S△ACD =12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4;S△BCD =12BD·CF=12×4×(-12x2+3x)=-x2+6x.∴S=S△OAD +S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.10.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A (-3,0)和B (0,3).(1)求此抛物线和直线AB 的函数表达式.(2)P 是直线AB 上方的抛物线上一个动点(不与点A ,B 重合),过点P 作x 轴的垂线,垂足为F ,交直线AB 于点E ,作PD ⊥AB 于点D.动点P 在什么位置时,△PDE 的面积最大?求出面积的最大值,并求出此时点P 的坐标. 解:(1)所求抛物线的函数表达式为y=-x 2-2x+3. 所求直线AB 的函数表达式为y=x+3.(2)∵A (-3,0),B (0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°.∵PF ⊥x 轴,∴∠AEF=90°-45°=45°,又∵PD ⊥AB ,∴△PDE 是等腰直角三角形,∴PE 越大,△PDE 的面积越大. 设点P (m ,-m 2-2m+3),∴点E (m ,m+3),∴PE=-m 2-2m+3-(m+3)=-(m +32)2+94(-3<m<0).∵-1<0,∴抛物线开口向下,∴当m=-32时,PE 有最大值94,此时△PDE 的面积最大,最大面积为12PD 2=14PE 2=14×(94)2=8164,此时点P 的坐标为(-32,154).11.(安徽中考)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y (千克)与每千克售价x (元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W 元,求W 与x 之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?解:(1)y=-2x+200(40≤x≤80).(2)根据题意,得W=y·(x-40)=(-2x+200)(x-40)=-2x2+280x-8000(40≤x≤80).(3)由(2)可知W=-2(x-70)2+1800,所以当40≤x≤70时,利润W随着x的增大而增大;当70<x≤80时,利润W随着x的增大而减小.所以当x=70时,利润W取得最大值,最大值为1800元.(2)体育问题12.(安徽中考)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.解:(1)当h=2.6时,y=a(x-6)2+2.6,∵点(0,2)在该抛物线上,∴2=a(0-6)2+2.6,解得a=-1,∴y与x的关系式是y=-601(x-6)2+2.6.60(2)球能越过球网,球会出界.×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过球网.理由:当x=9时,y=-160(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+2√39>18,x2=6-2√39(舍去),∴球会出界.当y=0时,-160(3)∵点(0,2)在y=a(x-6)2+h的图象上,∴2=a(0-6)2+h,a=2-ℎ,函数可写成36y=2-ℎ(x-6)2+h.36+h>2.43,①由球能越过球网,得x=9时,y=2-ℎ4由球不出边界,得x=18时,y=8-3h ≤0, ②联立①②解得h ≥83,∴h 的取值范围是h ≥83. 13.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y (件)与销售价格x (元/件,20≤x ≤60)的关系如图所示.(1)试确定y 与x 之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);(2)若超市一天销售该商品的利润为w 元,写出w (元)与商品的售价x (元/件)之间的函数表达式;(3)求(2)中当销售价格x 定为多少时,一天的利润w 最大,最大利润是多少? 解:(1)y={20x -200 (20≤x ≤30),-10x +700 (30<x ≤60).(2)当20≤x ≤30时,w=(x-20)(20x-200)=20x 2-600x+4000;当30<x ≤60时,w=(x-20)(-10x+700)=-10x 2+900x-14000.综上,w={20x 2-600x +4000 (20≤x ≤30),-10x 2+900x -14000 (30<x ≤60).(3)当20≤x ≤30时,w=20x 2-600x+4000=20(x-15)2-500,抛物线开口向上.x>15时,y 随x 的增大而增大,又∵20≤x ≤30,∴当x=30时,w 最大值=20×(30-15)2-500=4000;当30<x ≤60时,w=-10x 2+900x-14000=-10(x-45)2+6250,抛物线开口向下,∴当x=45时,w 最大值=6250.综上所述,当定价为45元/件时,一天的利润w 最大,最大值为6250元.。
沪科版九年级上21.1二次函数同步测试题含答案
沪科版九年级上册 第21章 二次函数和反比例函数 求二次函数的解析式 专题测试题1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( )A ．y ＝2x 2＋x ＋2B ．y ＝x 2＋3x ＋2C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－3x ＋22．抛物线如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝－12x 2－12x ＋2 C ．y ＝－12x 2－12x ＋1 D ．y ＝－x 2＋x ＋2 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过点(1，2)和(－1，－6)两点，则a ＋c ＝________．4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表： 则该二次函数的解析式为__________________．5．已知抛物线与x 轴有两个交点(－1，0)，(3，0)，并且与y 轴交点的纵坐标为－6，则这个二次函数的解析式为_________________．6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝4时，y ＝3；当x ＝－1时，y ＝－8；当x ＝2时，y ＝1.求这个二次函数的解析式．7．如图，二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A (－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P ，满足S △AOP ＝8，请直接写出点P 的坐标．8．如图所示，抛物线与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3)，设抛物线的顶点为D .(1)求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；(2)以B ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？9．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－810．一抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点在(－2，1)，则此抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x ＋2)2－1 C ．y ＝12(x ＋2)2＋1 D ．y ＝－12(x ＋2)2＋111．已知抛物线经过两点A (1，0)，B (0，3)，且对称轴是直线x ＝2，求其解析式．12．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A (1，－4)，且过点B (3，0)．(1)求该二次函数的解析式；(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．13．把抛物线y ＝12x 2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x ＋1)2－3B ．y ＝12(x －1)2－3C ．y ＝12(x ＋1)2＋1D ．y ＝12(x －1)2＋1 14．如图所示，已知抛物线y ＝－2x 2－4x 的图象E ，将其向右平移两个单位后得到图象F .求图象F 所表示的抛物线的解析式．15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象经过点A (2，3)，B (－1，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)填空：要使二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移______个单位．答案1. D2. D3. －24. y ＝x 2＋x －25. y ＝2x 2－4x －66. 根据题意，得⎩⎨⎧16a ＋4b ＋c ＝3，a －b ＋c ＝－8，4a ＋3b ＋c ＝1，解得a ＝－25，b ＝175，c ＝－215.∴y ＝－25x 2＋175x －215 7. (1)由已知条件得⎩⎨⎧c ＝0，a ×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，c ＝0所以，此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x (2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4，设点P 到x 轴的距离为h ，则S △AOP ＝12×4h ＝8，解得h ＝4，①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2，所以，点P 的坐标为(－2，4)；②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，解得x 1＝－2＋22，x 2＝－2－22，所以点P 的坐标为(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)，综上所述，点P 的坐标是(－2，4)或(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)8. (1)设该抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c.由抛物线与y 轴交于点C (0，－3)，可知c ＝－3，即抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx －3.把点A (－1，0)，B (3，0)代入，得⎩⎨⎧a －b －3＝0，9a ＋3b －3＝0.解得a ＝1，b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.∴顶点D 的坐标为(1，－4) (2)以B ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形．理由如下：过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F.在Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝3，∴BC 2＝18.在Rt △CDF 中，DF ＝1，CF ＝OF －OC ＝4－3＝1，∴CD 2＝2.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝OB －OE ＝3－1＝2，∴BD 2＝20.∴BC 2＋CD 2＝BD 2.故△BCD 为直角三角形9. D10. C11. 依题意设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋k ，将A (1，0)，B (0，3)代入得⎩⎨⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，k ＝－1.即抛物线的解析式为y ＝(x －2)2－1＝x 2－4x ＋3 12. (1)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－4，∵二次函数图象过点B (3，0)．∴0＝4a －4，得a ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝(x －1)2－4(2)令y ＝0，得(x －1)2－4＝0.解方程，得x 1＝3，x 2＝－1.∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)．∴二次函数图象向右平移1个单位后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(4，0)13. B14. 由平移知图象F 的二次项系数为－2，y ＝－2x 2－4x ＝－2(x ＋1)2＋2，顶点坐标为(－1，2)，平移后图象F 的顶点坐标为(1，2)，所以图象F 的解析式为y ＝－2(x －1)2＋215. (1) (1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象经过点A (2，3)，B (－1，0)，∴⎩⎨⎧4a ＋2b －3＝3，a －b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－x －3 (2)y ＝2x 2－x －3＝2(x －14)2－258，所以要使二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移258个单位 (2) 258。