2020年上海市中考数学试卷和答案
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一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是（ ） A．xy2 B．x3+y3 C．x3y D．3xy 2．（4分）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
3．（4分）不等式组的解集是（ ） A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2 4．（4分）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ） A． B． C． D． 5．（4分）在下列图形中，为中心对称图形的是（ ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等腰三角形 6．（4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算= ． 8．（4分）因式分解：xy﹣x= ． 9．（4分）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而 （增大或减小）． 10．（4分）方程的根是 ． 11．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ． 12．（4分）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 13．（4分）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ． 精品 文档 精品 14．（4分）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有 名． 分数段 60﹣70 70﹣80 80﹣90 90﹣100 频率 0.2 0.25 0.25 15．（4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么= （用，表示）．
16．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为 ．
17．（4分）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ． 精品 文档
精品 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1． 20．（10分）解方程：． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=． （1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值．
22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 精品 文档
精品 23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G． （1）求证：BE=DF； （2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
25．（14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 精品 文档 精品 精品 文档
精品 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是（ ） A．xy2 B．x3+y3 C．x3y D．3xy 【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和． 【解答】解：根据单项式的次数定义可知： A、xy2的次数为3，符合题意； B、x3+y3不是单项式，不符合题意； C、x3y的次数为4，不符合题意； D、3xy的次数为2，不符合题意． 故选：A． 【点评】考查了单项式的次数的概念．只要字母的指数的和等于3的单项式都符合要求．
2．（4分）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】将该组数据按从小到大排列，找到位于中间位置的数即可． 【解答】解：将数据5，7，5，8，6，13，5按从小到大依次排列为： 5，5，5，6，7，8，13， 位于中间位置的数为6． 故中位数为6． 故选：B． 【点评】本题考查了中位数的定义，知道中数的定义是解题的关键．
3．（4分）不等式组的解集是（ ） A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2 精品 文档 精品 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣3， 由②得：x＞2， 所以不等式组的解集是x＞2． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，关键是求出两个不等式的解集，找出解集的公共部分．
4．（4分）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ） A． B． C． D． 【分析】二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案． 【解答】解：∵×=a﹣b， ∴二次根式的有理化因式是：． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键．
5．（4分）在下列图形中，为中心对称图形的是（ ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等腰三角形 【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解． 【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合； 是中心对称图形的只有B． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 精品 文档 精品 6．（4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 【分析】由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 【解答】解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3， 又∵6﹣2=4，4＞3， ∴这两个圆的位置关系是内含． 故选：D． 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算= ．
【分析】首先计算出绝对值里面的结果，再根据：a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，可以确定答案． 【解答】解：|﹣1|=1﹣=，
故答案为：． 【点评】此题主要考查了绝对值，关键是理解绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
8．（4分）因式分解：xy﹣x= x（y﹣1） ． 【分析】直接提公因式法x，整理即可． 【解答】解：xy﹣x=x（y﹣1）． 故答案为：x（y﹣1）． 【点评】本题考查学生提取公因式的能力，解题时要首先确定公因式．
9．（4分）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的 精品 文档 精品 增大而 减小 （增大或减小）． 【分析】首先利用待定系数法确定正比例函数解析式，再根据正比例函数的性质：k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小确定答案． 【解答】解：∵点（2，﹣3）在正比例函数y=kx（k≠0）上， ∴2k=﹣3， 解得：k=﹣，
∴正比例函数解析式是：y=﹣x， ∵k=﹣＜0， ∴y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，以及待定系数法确定正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数的性质．
10．（4分）方程的根是 x=3 ． 【分析】方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x的值，然后代入原方程进行检验即可． 【解答】解：方程两边同时平方得：x+1=4， 解得：x=3． 检验：x=3时，左边==2，则左边=右边． 故x=3是方程的解． 故答案是：x=3． 【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思路是转化成整式方程，并且解方程时必须要检验．
11．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 c＞9 ． 【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（﹣6）2﹣4c＜0，再解不等式即可．
2020届上海市奉贤区中考数学二模试卷(有答案)
上海市奉贤区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果两个实数a、b满足a+b=0，那么a、b一定是（）A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数D．互为倒数2．若x=2，y=﹣1，那么代数式x2+2xy+y2的值是（）A．0 B．1 C．2 D．4．3．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．一组数据3，3，2，5，8，8的中位数是（）A．3 B．4 C．5 D．8．5．下列说法中，正确的是（）A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．两个全等三角形一定关于某条直线对称C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称6．已知⊙O1与⊙O2外离，⊙O1的半径是5，圆心距O1O2=7，那么⊙O2的半径可以是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：=．8．因式分解：a2﹣a=．9．函数y=的定义域是．10．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的小球．如果其中有2个白球n个黄球，从中随机摸出白球的概率是，那么n=．11．不等式组的解集是．12．已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而（填“增大”或“减小”）．13．直线y=kx+b（k≠0）平行于直线且经过点（0，2），那么这条直线的解析式是．14．小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°，那么这辆汽车到楼底的距离是．（结果保留根号）15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，点E是边AC的中点，设，那么=；（用不的线性组合表示）16．四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是．（不再添加线或字母，写出一种情况即可）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是边BC边上的中线，如果AD=BC，那么cot∠CAB的值是．18．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=2，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C 落在点E处，边AE交边BC于点F，如果DE∥AB，那么的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78）19．计算：．20．解方程：．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AD，垂足为点D，交AB于点E，且．（1）求线段BD的长；（2）求∠ADC的正切值．22．今年3月5日，某中学组织六、七年级200位学生参与了“走出校门，服务社会”的活动，该校某数学学习小组的同学对那天参与打扫街道、敬老院服务和社区文艺演出的三组人数进行分别统计，部分数据如图所示：（1）参与社区文艺演出的学生人数是人，参与敬老院服务的学生人数是人；（2）该数学学习小组的同学还发现，六、七年级参与打扫街道的学生人数分别比参与敬老院服务的学生人数多了40%和60%，求参与敬老院服务的六、七年级学生分别有多少人？23．已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且∠BCE=∠ACD，联结CE．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）求证：AC2=AD•AE．24．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（3，0），与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连结BC，当P点坐标为（0，）时，求△EBC的面积；（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．25．如图，边长为5的菱形ABCD中，cosA=，点P为边AB上一点，以A为圆心，AP为半径的⊙A与边AD交于点E，射线CE与⊙A另一个交点为点F．（1）当点E与点D重合时，求EF的长；（2）设AP=x，CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域；（3）是否存在一点P，使得=2？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．上海市奉贤区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果两个实数a、b满足a+b=0，那么a、b一定是（）A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数D．互为倒数【考点】实数的运算．【专题】计算题；实数．【分析】利用相反数的性质判断即可．【解答】解：由a+b=0，得到a，b互为相反数，故选C【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若x=2，y=﹣1，那么代数式x2+2xy+y2的值是（）A．0 B．1 C．2 D．4．【考点】代数式求值．【分析】首先利用完全平方公式的逆运算，然后代入即可．【解答】解：x2+2xy+y2=（x+y）2=（2﹣1）2=1，故选B．【点评】本题主要考查了代数式求值，利用完全平方公式的逆运算，然后代入是解答此题的关键．3．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的性质．【分析】首先确定k，k＞0，必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到答案．【解答】解：∵y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴必过第二、四象限，∵b=3，∴交y轴于正半轴．∴过第一、二、四象限，不过第三象限，故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．4．一组数据3，3，2，5，8，8的中位数是（）A．3 B．4 C．5 D．8．【考点】中位数．【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，3，5，8，8，∴这组数据的中位数是=4，故选B．【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．5．下列说法中，正确的是（）A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．两个全等三角形一定关于某条直线对称C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称【考点】轴对称的性质．【分析】认真阅读各选项提供的已知条件，根据轴对称的性质对个选项逐一验证，其中选项A是正确的．【解答】解：A、关于某条直线对称的两个图形能够完全重合，所以关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，正确；B、全等三角形不一定关于某直线对称，错误；C、面积相等的两个三角形不一定关于某条直线之间对称，错误；D、周长相等的两个三角形不一定关于某条直线之间对称，错误；故选A【点评】主要考查了轴对称的性质；找着每个选项正误的具体原因是正确解答本题的关键．6．已知⊙O1与⊙O2外离，⊙O1的半径是5，圆心距O1O2=7，那么⊙O2的半径可以是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由⊙O1与⊙O2外离，⊙O1的半径是5，圆心距O1O2=7，可求得⊙O2的半径＜2，继而求得答案．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2外离，圆心距O1O2=7，∴⊙O1与⊙O2的半径和＜7，∵⊙O1的半径是5，∴⊙O2的半径＜2，∴⊙O2的半径可以是：1．故选D．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：=4．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质，化简即可．【解答】解：，故答案为：4．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．8．因式分解：a2﹣a=a（a﹣1）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣a=a（a﹣1）．故答案为：a（a﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．函数y=的定义域是x≠1．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的小球．如果其中有2个白球n个黄球，从中随机摸出白球的概率是，那么n=1．【考点】概率公式．【分析】根据有2个白球n个黄球，从中随机摸出白球的概率是，列出等式解答即可．【解答】解：∵有2个白球n个黄球，从中随机摸出白球的概率是，∴=，解得n=1；故答案为：1．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．11．不等式组的解集是x＞3．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＞3，解②得x＞﹣4．则不等式组的解集是：x＞3．故答案是：x＞3．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．12．已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而减小（填“增大”或“减小”）．【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质，k=3＞0，y随x的增大而减小．【解答】解：反比例函数y=中，k=3＞0，故每个象限内，y随x增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题考查了反比例函数的性质，应注意y=中k的取值．13．直线y=kx+b（k≠0）平行于直线且经过点（0，2），那么这条直线的解析式是y=x+2．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据两直线平行的问题得到k=，然后把（0，2）代入y=x+b，求出b的值即可．【解答】解：根据题意得k=，把（0，2）代入y=x+b得b=2，所以直线解析式为y=x+2．故答案为y=x+2．【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k1x+b1（k1≠0）和直线y=k2x+b2（k2≠0）平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1（k1≠0）和直线y=k2x+b2（k2≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．14．小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°，那么这辆汽车到楼底的距离是6米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由俯角的正切值和楼高可求得这辆汽车到楼底的距离．【解答】解：由于楼高18米，塔顶看停在地面上的一辆汽车的俯角为60°，则这辆汽车到楼底的距离为=6（米）．故答案是：6米．【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，点E是边AC的中点，设，那么=﹣；（用不的线性组合表示）【考点】*平面向量．【分析】由在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，点E是边AC的中点，设，可表示出与，然后利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵DC=2BD，点E是边AC的中点，设，∴==，==，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．16．四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是AD=BC．（不再添加线或字母，写出一种情况即可）【考点】矩形的判定．【分析】添加AD=BC，再有条件AD∥BC可得四边形ABCD是平行四边形，再加上条件∠D=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形ABCD是矩形．【解答】解：添加AD=BC，∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：AD=BC．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是边BC边上的中线，如果AD=BC，那么cot∠CAB的值是．【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形．【专题】计算题．【分析】设AD=BC=2x，利用中线定义得到CD=BD=x，则可根据勾股定理表示出AC，然后利用余切的定义求解．【解答】解：设AD=BC=2x，则CD=BD=x，在Rt△ACD中，AC===x，在Rt△ABC中，cot∠CAB===．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义．18．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=2，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C 落在点E处，边AE交边BC于点F，如果DE∥AB，那么的值是+1．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】作AM⊥BC垂足为M，先求出AM、BM、MC，再证明CA=CF，由此即可解决问题．【解答】解：如图作AM⊥BC垂足为M，∵△ADE是由△ADC翻折，∴∠C=∠E=30°，∵AB∥DE，∴∠E=∠BAF=30°，∴∠AFC=∠B+∠BAF=75°，∴∠CAF=180°﹣∠AFC﹣∠C=75°，∴∠CAF=∠CFA=75°，∴CA=CF=2，在RT△AMC中，∵∠C=30°，AC=2，∴AM=1，MC=，∵∠B=∠BAM=45°，∴MB=AM=1，∴BC=1+，BF=1+﹣2=﹣1∴==+1．故答案为+1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键，解题时要善于发现特殊三角形，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，满分78）19．计算：．【考点】实数的运算；分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用立方根定义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣﹣2+2﹣=1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】观察可得最简公分母是（x2﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x2﹣4），得（x+2）2﹣（x﹣2）=16，解得x1=2，x2=﹣5．检验：把x=2代入（x2﹣4）=0，所以x=2是原方程的增根．把x=﹣5代入（x2﹣4）=21≠0，∴原方程的解为x=﹣5．【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AD，垂足为点D，交AB于点E，且．（1）求线段BD的长；（2）求∠ADC的正切值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据余角的性质得到∠CAD=∠DAB，推出∠BAD=∠BDE，得到△BED∽△BDA，由相似三角形的性质得到BD2=BE•BA，即可得到结论；（2）由余角的性质得到∠ADE=∠AED，根据余角的性质得到，根据三角形函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AD，∴∠BDE=∠CAD=90°﹣∠CDA，∵∠CAD=∠DAB，∴∠BAD=∠BDE，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BDA，∴BD2=BE•BA，∵AB=4，，∴BE=1，∴BD2=1×4=4，∴BD=2；（2），∵DE⊥AD，∴∠AED=90°﹣∠DAE，∵∠ADE=90°﹣∠CAD，∵∠CAD=∠DAB，∴∠ADE=∠AED，∵△BED∽△BDA，∴，∴tan∠ADE=tan∠AED===2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．今年3月5日，某中学组织六、七年级200位学生参与了“走出校门，服务社会”的活动，该校某数学学习小组的同学对那天参与打扫街道、敬老院服务和社区文艺演出的三组人数进行分别统计，部分数据如图所示：（1）参与社区文艺演出的学生人数是50人，参与敬老院服务的学生人数是60人；（2）该数学学习小组的同学还发现，六、七年级参与打扫街道的学生人数分别比参与敬老院服务的学生人数多了40%和60%，求参与敬老院服务的六、七年级学生分别有多少人？【考点】扇形统计图．【分析】（1）用学生总数乘以参与社区文艺演出的学生所占百分比得到参与社区文艺演出的学生人数；用学生总数分别减去打扫街道、社区文艺演出的人数得到参与敬老院服务的学生人数；（2）设六年级参与敬老院服务的学生有x人，则七年级参与敬老院服务的学生有（60﹣x）人，根据六、七年级参与打扫街道总人数为90人列出方程求解可得．【解答】解：（1）参与社区文艺演出的学生人数是：200×25%=50人，参与敬老院服务的学生人数是：200﹣90﹣50=60人；（2）设六年级参与敬老院服务的学生有x人，则七年级参与敬老院服务的学生有（60﹣x）人，根据题意，得：（1+40%）x+（1+60%）（60﹣x）=90，解得：x=30，答：六年级参与敬老院服务的学生有30人，则七年级参与敬老院服务的学生有30人．【点评】本题主要考查读扇形统计图和列方程解决实际问题的能力，根据扇形统计图读出有用信息依据计算公式计算是基础，抓住相等关系列方程解决实际问题是关键．23．已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且∠BCE=∠ACD，联结CE．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）求证：AC2=AD•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）由等腰梯形的性质得出∠ADC=∠BCD，由SAS证明△ADC≌△BCD，得出∠ACD=∠BDC，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BCE=∠CBD，证出BD∥CE，即可得出结论；（2）证出CE=AC，证明△EAC∽△EBC，得出对应边成比例，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，∴∠ADC=∠BCD，在△ADC和△BCD中，，∴△ADC≌△BCD（SAS），∴∠ACD=∠BDC，∵BC=DC，∴∠CBD=∠BDC，∴∠CBD=∠ACD，∵∠BCE=∠ACD，∴∠BCE=∠CBD，∴BD∥CE，又∵DC∥AB，∴四边形DBEC是平行四边形；（2）由（1）得：四边形DBEC是平行四边形，∴∠E=∠BDC，∵DC∥AB，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BCE=∠ACD，∴∠BAC=∠BCE=∠E，∴CE=AC，又∵∠B=∠B，∴△EAC∽△EBC，∴，即，∴AC2=AD•AE．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．24．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（3，0），与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连结BC，当P点坐标为（0，）时，求△EBC的面积；（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A、C点的坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由∠APO、∠AED均匀∠PAO互余得出∠APO=∠AED，再结合∠AOP=∠BOE=90°可得出△AOP∽△BOE，由相似三角形的性质得出，代入数据可得出OE的长度，结合C点坐标可得出CE 长度，将CE、OB的长度代入三角形的面积公式，即可得出结论；（3）令对称轴与x轴的交点为H，过点B作BF⊥直线x=1于点F，先证△ADH∽△DBF，再由相似三角形的性质找出，设DH=a，由此可得出关于a的一元二次方程，解方程可求出a的值，再根据可得出OP的长度，从而得出P点的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点C（3，0）的坐标代入抛物线解析式，得：，解得：．故该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵BD⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠PAO+∠APO=∠PAO+∠AED=90°，∴∠APO=∠AED=∠BEO，又∵∠AOP=∠BOE=90°，∴△AOP∽△BOE，∴．令x=0，y=3，即点B的坐标为（0，3），∵点A（﹣1，0），点C（3，0），点P（0，），∴OE=2，∴CE=OC﹣OE=3﹣2=1．S△EBC=CE•OB=．（3）抛物线对称轴直线x=﹣=1，令对称轴与x轴的交点为H，过点B作BF⊥直线x=1于点F，如图所示．∵DH⊥x轴，BF⊥FD，∴∠AHD=∠DFB=90°，∵∠BDF+∠BDA+∠ADH=180°，∠BDA=90°，∠BDF+∠DBF=90°，∴∠ADH=∠DBF，∴△ADH∽△DBF，∴．设DH=a．∵AH=2，DF=BO﹣DH=3﹣a，FB=1，∴有，解得：a1=1，a2=2．又∵，∴OP=或1．故点P的坐标为（0，1）或（0，）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程，解题的关键：（1）待定系数法求解析式的系数；（2）找出线段CE的长度；（3）由相似三角形的性质找出关于a的一元二次方程．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）（3）有点难度．解决该类问题，利用相似三角形的性质找出比例关系，解方程即可得出结论．25．如图，边长为5的菱形ABCD中，cosA=，点P为边AB上一点，以A为圆心，AP为半径的⊙A与边AD交于点E，射线CE与⊙A另一个交点为点F．（1）当点E与点D重合时，求EF的长；（2）设AP=x，CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域；（3）是否存在一点P，使得=2？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由平行四边形的性质得到∠AEF=DAB，再利用cos∠DAB=cos∠AEF==即可求解；（2）由平行四边形的性质得到∠CGD=∠BAD，再利用勾股定理即可求解；（3）由平行四边形的性质得到∠GCE=∠HAE=∠DAB，利用cosA=计算即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥EF于点H，∴EF=2EH，∵点E与点D重合，∴EF∥AB，∴∠AEF=DAB，∴cos∠DAB=cos∠AEF==，∵AE=5，∴EH=3，∴EF=6；（2）如图，过点C作CG⊥AD，在Rt△CGD中，cos∠CGD=cos∠BAD=，∴DG=3，CG=4，在Rt△CGE中，GE=8﹣x，∴y2=16+（8﹣x）2，y=（0＜x≤5），（3）∵cos∠DAB=，∴tan∠DAB=，∵∠GCE=∠HAE=∠DAB，∴tan∠DAB==，∴x=，即：AP的长为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理以及锐角三角函数，锐角三角函数的运用是解本题的关键．。
2020年上海市青浦区中考数学一模试卷
2020年上海市青浦区中考数学一模试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6小题，共24分）1. 如果两个相似三角形对应边之比是1：2，那么它们的对应高之比是( )A. 1：2B. 1：4C. 1：6D. 1：82. 如图，DE//AB ，如果CE ：AE =1：2，DE =3，那么AB等于( )A. 6B. 9C. 12D. 133. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，AB =3，则下列结论正确的是( )A. sin B =√24B. cos B =√24C. tan B =√24D. cot B =√244. 已知非零向量a ⃗ 、b ⃗ ，且有a =−2b⃗ ，下列说法中，不正确的是( ) A. |a |=2|b ⃗ | B. a //b ⃗ C. a ⃗ 与 b ⃗ 方向相反D. a +2b⃗ =0 5. 如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，点G 在线段AD 上，GE//BD ，且交AB 于点E ，GF//AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是( )A. AE AB =CF CDB. AE EB =DF FCC. EG BD =FG ACD. AE AG =ADAB6. 抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表，那么下列结论中正确的是( ) A. a >0B. b <0C. c <0D. abc <0二、填空题（本大题共12小题，共48分） 7. 已知ab =25，那么ab−a 的值为______．8. 已知线段AB =2，如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，那么AP 的值为______．x … −2 −1 0 1 2 … y…4664…9.已知向量a⃗与单位向量e⃗方向相反，且|a⃗|=3，那么a⃗=______(用向量e⃗的式子表示)10.如果抛物线y=ax2−1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是______．11.如果点A(−3,y1)和点B(−2,y2)是抛物线y=x2+a上的两点，那么y1______y2.(填“>”、“=”、“<”)．12.某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x(x>0)，12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是______．13.在△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2，AB=4，那么BC=______．14.小明沿着坡度i=1：2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是______米．15.已知点G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，那么AG=______．16.如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE.如果AB=3，AC=4，那么cot∠AOE=______．17.在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF.如果△DEF与△ABC相似(相似比不为1)，那么△DEF的面积为______．18.已知，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是______cm．三、计算题（本大题共4小题，共40.0分）19.（本题满分10分）+√8cos45°+√(1−tan60°)2计算：3tan30°−1cos60∘20. （本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 上一点，AE 与BD 交于点F ，DE ：EC =2：3． (1)求BF ：DF 的值；(2)如果AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b ⃗ 表示向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. （本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分） 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =3.点D 为AC 的中点，联结BD ，过点C 作CG ⊥BD ，交AC 的垂线AG 于点G ，GC 分别交BA 、BD 于点F 、E ． (1)求GA 的长； (2)求△AFC 的面积．22.（本题满分10分）水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A 的仰角为31°(点D、C、B在一直线上)，求该水城门AB的高．(精确到0.1米)(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE//BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2=FG⋅FE．(1)求证：△CAD∽△CBG；(2)联结DG，求证：DG⋅AE=AB⋅AG．24.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)点P为抛物线上一点(不与点A重合)，联结PC.当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6.点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE=DQ=BP，联结EP、EQ．(1)求证：EQ//DC；(2)当BP>BQ时，如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；(3)当BP=m(0<m<5)时，求∠PEQ的正切值．(用含m的式子表示)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：2， ∴它们的对应高之比是1：2， 故选：A ．根据相似三角形对应高的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 2.【答案】B【解析】解：∵DE//AB ， ∴△CED∽△CAB ， ∴DE AB=CECA，即3AB =13， 解得，AB =9，故选：B ．证明△CED∽△CAB ，根据相似三角形的性质列式计算即可． 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3.【答案】C【解析】解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，AB =3， ∴BC =2√2，∴sinB =13，cosB =2√23，tanB =2√2=√24，cotB =2√2．故选：C ．先根据勾股定理求出BC ，再根据锐角三角函数的定义解答．本题考查锐角三角函数的定义，即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 4.【答案】D【解析】解：∵非零向量a ⃗ 、b ⃗ ，且有a =−2b⃗ ， ∴|a |=2|b ⃗ |，a //b ⃗ ，a ⃗ 与b ⃗ 方向相反，a +2b ⃗ =0⃗ ，故A ，B ，C 正确，D 错误， 故选：D ．根据非零向量a ⃗ 、b ⃗ ，有a =−2b ⃗ ，即可推出|a |=2|b ⃗ |，a //b ⃗ ，a ⃗ 与b ⃗ 方向相反，a +2b ⃗ =0⃗ ，由此即可判断．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5.【答案】A【解析】解：∵GE//BD ， ∴AEBE =AGDG ，△AEG∽△ABD ， ∴AEAB =AGAD =EGBD ， ∵GF//AC ，∴AGDG =CFDF，AGAD=CFCD，△DGF∽△DAC，∴DGAD =DFCD=GFAC，∴AEAB =CFCD，AEBE=CFDF，AEAG=ABAD，EGBD+FGAC=AGAD+DGAD=1，∴只有选项A符合题意，故选：A．利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．6.【答案】D【解析】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=0+12=12，∵在对称轴左侧，y随x增大而增大，∴抛物线的开口向下，则a<0，∵−b2a =12，∴b>0，∵x=0时，y=6，∴与y轴的交点为(0,6)，∴c=6>0，∴abc<0，故选项D正确．故选：D．根据图表信息，先确定出抛物线的对称轴，进而求得开口方向，从而确定a的符号，进一步求得b的符号，根据图象经过(0,6)求得c的符号，即可判断abc<0正确．本题考查了二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点是解题的关键，也是本题的突破口．7.【答案】23【解析】解：∵ab =25，∴设a=2x，b=5x，∴ab−a =2x5x−2x=23．故答案为：23．直接利用已知表示出a，b的值，进而化简即可．此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP=√5−12AB=√5−12×2=√5−1．故答案为√5−1．直接利用黄金分割的定义计算．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段ABAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．的黄金分割点．其中AC=√5−129.【答案】−3e⃗【解析】解：∵向量a⃗与单位向量e⃗方向相反，且|a⃗|=3，∴a=−3e．故答案为：−3e⃗．由向量a⃗与单位向量e⃗方向相反，且|a⃗|=3，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义．10.【答案】a>0【解析】解：∵抛物线y=ax2−1的顶点是它的最低点，∴抛物线的开口向上，∴a>0，故答案为a>0．由于抛物线有最低点，所以抛物线开口向上．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．11.【答案】>【解析】解：∵y=x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x=0，抛物线的开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小，∵−3<−2<0，∴y1>y2，故答案为：>．根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x=0，抛物线的开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小，再比较即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．12.【答案】y=100(1+x)2【解析】解：由题意可得，y=100(1+x)2，故答案为：y=100(1+x)2．根据某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x(x>0)，12月份的产值为y万元，可以得到y与x的函数关系式，从而可以解答本题．本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，这是一道典型的增长率问题．13.【答案】4√55=2，设BC=x，则AC=2x，【解析】解：如图，tanB=2，即ACBC由勾股定理得：x2+(2x)2=42，解得：x=4√55，故答案为：4√55．利用tanB=2，设未知数，根据勾股定理列方程求出BC即可．考查直角三角形的边角关系、勾股定理以及一元二次方程等知识，设合适的未知数列方程是解决问题的关键．14.【答案】2√29【解析】解：设小明上升的高度为x米，∵坡度i=1：2.5，∴小明前行的水平宽度为2.5x米，由勾股定理得，x2+(2.5x)2=292，解得，x=2√29，故答案为：2√29．设小明上升的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出小明前行的水平宽度，根据勾股定理计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，∴AD⊥BC，BD=12BC=12×8=4，∴AD=√AB2−BD2=√52−42=3，∴AG=23AD=23×3=2．故答案为：2．根据题意画出图形，连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质可得出AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，由三角形重心的性质即可得出AG的长．本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．16.【答案】2√55【解析】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA=OC=12AC=2，由勾股定理得，OD=√AD2−OA2=√32−22=√5，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE//CD，∴∠AOE=∠ACD，∴cot∠AOE=cot∠ACD=OCOD =√5=2√55，故答案为：2√55．连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE=∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．本题考查的是三角形中位线定理、锐角三角函数的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．17.【答案】1【解析】解：如图，在△DEF中，DE=√2，EF=2，DF=√10，则DEAB =√2，EFBC=2√2=√2，DFAC=√10√5=√2，∴DEAB =EFBC=DFAC，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积=12×2×1=1，故答案为：1．根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是相似三角形的判定，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键．18.【答案】5√32【解析】解：如图，∵在矩形纸片ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，∴AE=DF=BE=CF，∴四边形AEFD是矩形，∴EF=AD，∠AEN=∠BEN=90°，∵折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，∴BN=AB，∵BE=12AB，∴BE=12BN，∴∠BNE=30°，∵AB=5cm，∴EN=√32BN=5√32，∴EF≥EN时，点A恰好落在线段EF上，即AD≥5√32，∴边AD的长至少是5√32，故答案为：5√32．根据已知条件得到AE=DF=BE=CF，求得四边形AEFD是矩形，得到EF=AD，∠AEN=∠BEN=90°，根据折叠的性质得到BN=AB，根据直角三角形的性质得到∠BNE=30°，于是得到EN=√32BN=5√32，即可得到结论．本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．19.【答案】解：原式=3×√33−112+√8×√22+√(1−√3)2 =√3−2+2+√3−1=2√3−1．【解析】代入特殊角的三角函数值即可．考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC//AB ，DC =AB ，∴△ABF∽△EDF ，∴BF DF =AB DE ，∵DE ：EC =2：3，∴DC ：DE =5：2，∴AB ：DE =5：2，∴BF ：DF =5：2；(2)∵BF ：DF =5：2，∴BF =57BD ， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b⃗ ， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =57BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =57a −57b ⃗ ． ∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +57a −57b ⃗ =57a +27b ⃗ ．【解析】(1)由平行四边形的性质得DC//AB ，从而△ABF∽△EDF ，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得BF ：DF ；(2)先求出BF =57BD ，再利用向量的加法可得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵∠ACB =90°，∴∠BCE +∠GCA =90°，∵CG ⊥BD ，∴∠CEB =90°，∴∠CBE +∠BCE =90°，∴∠CBE =∠GCA ，又∵∠DCB =∠GAC =90°，∴△BCD∽△CAG ，∴CD AG =BC CA ，∴1AG =32，∴AG =23．(2)∵∠GAC +∠BCA =180°，∴GA//BC ，∴GA BC =AF BF ，∴AF BF =29． ∴AF AB =211，∴S △AFC S △ABC =211， 又∵S △ABC =12×2×3=3，∴S △AFC =611．【解析】(1)证明△BCD∽△CAG ，可得比例线段CD AG =BC CA ，则可求出AG ；(2)求出S △ABC ，由S △AFCS △ABC 的值即可求出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．22.【答案】解：由题意得，∠ABD =90°，∠D =20°，∠ACB =31°，CD =13， 在Rt △ABD 中，∵tan ∠D =AB AD ，∴BD =AB tan20∘=AB 0.36，在Rt △ABC 中，∵tan ∠ACB =AB BC ，∴BC =ABtan31∘=AB 0.6，∵CD =BD −BC ，∴13=AB 0.36−AB 0.6，解得AB ≈11.7米．答：水城门AB 的高为11.7米．【解析】在Rt △ABD 中可得出BD =AB 0.36，在Rt △ABC 中，可得BC =AB 0.6，则可得BD −BC =13，求出AB 即可．本题考查解直角三角形的应用，属于理论结合实际的问题，解答此类题目的关键是构造直角三角形，然后利用三角函数值求出未知线段的长度．23.【答案】证明：(1)∵AF 2=FG ⋅FE ．∴AF FG =EF AF ，且∠AFG =∠EFA ，∴△FAG∽△FEA ，∴∠FAG =∠E ，∵AE//BC ，∴∠E =∠EBC ，∴∠EBC =∠FAG ，且∠ACD =∠BCG ，∴△CAD∽△CBG ；(2)∵△CAD∽△CBG ， ∴CA CB =CD CG ，且∠DCG =∠ACB ， ∴△CDG∽△CAB ，∴DG AB =CG CB ，∵AE//BC ，∴AE CB =AG GC ∴AG AE =GC BC ， ∴DGAB =AGAE， ∴DG ⋅AE =AB ⋅AG ．【解析】(1)通过证明△FAG∽△FEA ，可得∠FAG =∠E ，由平行线的性质可得∠E =∠EBC =∠FAG ，且∠ACD =∠BCG ，可证△CAD∽△CBG ；(2)由相似三角形的性质可得CA CB =CD CG ，且∠DCG =∠ACB ，可证△CDG∽△CAB ，可得DG AB =CG CB，由平行线分线段成比例可得AE CB =AGGC ，可得结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)∵对称轴为直线x =2，点A 的坐标为(1,0)，∴点B 的坐标是(3,0)．将A(1,0)，B(3,0)分别代入y =x 2+bx +c ，得{1+b +c =09+3b +c =0． 解得{b =−4c =3． 则该抛物线解析式是：y =x 2−4x +3．由y =x 2−4x +3=(x −2)2−1知，该抛物线顶点坐标是(2,−1)；(2)如图1，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点C 作CM ⊥PN ，交NP 的延长线于点M ，∵∠CON=90°，∴四边形CONM是矩形．∴∠CMN=90°，CO=MN、∴y=x2−4x+3，∴C(0,3)．∵B(3,0)，∴OB=OC=3．∵∠COB=90°，∴∠OCB=∠BCM=45°．又∵∠ACB=∠PCB，∴∠OCB−∠ACB=∠BCM−∠PCB，即∠OCA=∠PCM．∴tan∠OCA=tan∠PCM．∴PMPN =13．故设PM=a，MC=3a，PN=3−a．∴P(3a,3−a)，将其代入抛物线解析式y=x2−4x+3，得(3a)2−4(3−a)+3=3−a．解得a1=119，a2=0(舍去)．∴P(113,169).(3)设抛物线平移的距离为m，得y=(x−2)2−1−m．∴D(2,−1−m)．如图2，过点D作直线EF//x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，∴∠EOD+∠ODE=90°，∠ODE+∠QDP=90°．∴∠EOD=∠QDF．∴tan∠EOD=tan∠QDF，∴DEOE =QFDF．∴2m+1=169−m+1+m113−2．解得m=15．故抛物线平移的距离为15．【解析】(1)由抛物线的对称性质得到点B的坐标，把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出方程组，通过解方程组求得系数的值；根据抛物线解析式求得顶点坐标；(2)过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，构造矩形COMN和直角三角形，利用锐角三角函数的定义求得PMPN =13，故设PM=a，MC=3a，PN=3−a.易得P(3a,3−a)，由二次函数图象上点的坐标特征列出关于a的方程，通过解方程求得a的值，易得点P的坐标；(3)设抛物线平移的距离为m，得y=(x−2)2−1−m.从而求得D(2,−1−m).过点D作直线EF//x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F.易推知∠EOD=∠QDF，则tan∠EOD= tan∠QDF，根据锐角三角函数定义列出关于m的方程，通过解方程求得m的值．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．25.【答案】解：(1)∵AD//BC，∴∠EDQ=∠DBC，∵DE=DQ，BD=BC，∴DEDQ =1，BDBC=1，∴DEDQ =BDBC，∴△DEQ∽△BCD，∴∠DQE=∠BDC，∴EQ//CD；(2)设BP=x，则DQ=x，QP=2x−10，∵△DEQ∽△BCD，∴EQDC =QDCB，∴EQ4=x10，∴EQ=25x，∵△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，∴Ⅰ、当EQ=EP时，∴∠EQP=∠EPQ，∵DE=DQ，∴∠EQP=∠QED，∴∠EPQ=∠QED，∴△EQP∽△DEQ，∴EQDE =QPEQ，∴EQ2=DE⋅QP，∴(25x)2=(2x−10)⋅x，解得，x=0(舍)或x=12523<6，即：BP=12623，Ⅱ、当QE=QP时，25x=2x−10，解得，x=254>6，此种情况不存在，即：BP=12523；(3)如图，过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H，过点B作BG⊥DC，垂足为点G，∵BD=BC，BG⊥DC，∴DG=2，BG=6√6，∵BP=DQ=m，∴PQ=10−2m，∵EQ//DC，∴∠PQH=∠BDG，∵∠PHQ=∠BGD=90°，∴△PHQ∽△BGD，∴PHBG =PQBD=HQGD，∴4√6=10−2m10=HQ2，∴HQ=10−2m5，PH=2√6(10−2m)5，∴EH=10−2m5+2m5=2，∴tan∠PEQ=PHEH=2√6(10−2m)5×12=2√6−2√66m.【解析】(1)先利用两边对应成比例，夹角相等，判断出△DEQ∽△BCD，得出∠DQE=∠BDC，即可得出结论；(2)先用△DEQ∽△BCD，得出比例式表示出EQ，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论；(3)先判得出△PHQ∽△BGD，得出PHBG =PQBD=HQGD，进而表示出HQ=10−2m5，PH=2√6(10−2m)5，即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。
2020年上海市长宁区中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市长宁区中考数学二模试卷一．选择题（共6小题）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．C．﹣3D．2．下列单项式中，与xy2是同类项的是（）A．x2y B．x2y2C．2xy2D．3xy3．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．它的图象关于原点中心对称D．y的值随着x的值的增大而减小4．如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8、9B．8、8.5C．16、8.5D．16、145．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切6．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 二．填空题（共12小题）7．计算：（x3）2÷（﹣x）2＝．8．方程＝2的根是．9．不等式组的解集是．10．已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为．11．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是．12．如果关于x的多项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，那么k的取值范围是．13．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．15．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中的成绩较稳定．16．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，＝，＝，那么＝．（用含向量，的式子表示）17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．三．解答题（共5小题）19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，∠BAC＝45°，cos∠ACB＝（1）求线段AC的长；（2）联结BD，交对角线AC于点O，求∠ADO的余切值．20．如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ⋅BC＝CE⋅DF．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD 的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．23．已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD ＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：AB＝BC；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．C．﹣3D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．0是整数，属于有理数；B.是无理数；C．﹣3是整数，属于有理数；D.，是整数，属于有理数．故选：B．2．下列单项式中，与xy2是同类项的是（）A．x2y B．x2y2C．2xy2D．3xy【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．【解答】解：A．x2y与xy2所含字母的指数不同，所以不是同类项；B．x2y2与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项；C.2xy2与xy2所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项；D.3xy与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项．故选：C．3．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．它的图象关于原点中心对称D．y的值随着x的值的增大而减小【分析】根据反比例函数y＝和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数y＝，∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A正确；它的图象在第一、三象限，故选项B正确；它的图象关于原点中心对称，故选项C正确；在每个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，故选项D不正确；故选：D．4．如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8、9B．8、8.5C．16、8.5D．16、14【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故选：A．5．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系．根据两圆的位置关系得到其数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：设圆心距为d，因为5﹣3＝2，3+5＝8，圆心距为7cm，所以，2＜d＜8，根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，所以两圆相交．故选：C．6．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B．二．填空题（共12小题）7．计算：（x3）2÷（﹣x）2＝x4．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（x3）2÷（﹣x）2＝x6÷x2＝x4．故答案为：x4．8．方程＝2的根是x＝﹣1．【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可．【解答】解：两边平方得：3﹣x＝4，x＝﹣1．检验：当x＝﹣1时，原方程的左边＝2，右边＝2，∴x＝﹣1是原方程的根．故答案为：x＝﹣1．9．不等式组的解集是﹣≤x≤6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x+4≥0，得：x≥﹣，解不等式x﹣2≤1，得：x≤6，则不等式组的解集为﹣≤x≤6，故答案为：﹣≤x≤6．10．已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为2．【分析】根据题意，画出图形作AD⊥BC，BE⊥AC于点D和E，点O即为△ABC的外心，根据特殊角30度即可求出BD的值，进而可得三角形的边长．【解答】解：根据题意，画出图形，∵△ABC是正三角形，作AD⊥BC，BE⊥AC于点D和E，∴点O即为△ABC的外心，∴OD＝1，∠DBO＝30°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2．故答案为：2．11．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是a ＜1．【分析】根据抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y 轴交于负半轴，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．故答案为：a＜1．12．如果关于x的多项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，那么k的取值范围是k≤1．【分析】本题实际上求一元二次方程x2﹣2x+k在实数范围内有实数根时，k的取值范围．所以根据一元二次方程的根的判别式解答即可．【解答】解：∵二次三项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，∴一元二次方程x2﹣2x+k在实数范围内有实数根，∴△＝4﹣4k≥0，解得，k≤1．故答案为：k≤1．13．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．【分析】列举出所有情况，看和为偶数的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共12种情况，和为偶数的情况数有4种，所以概率为．故答案为．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．【分析】根据“8×人数﹣多出的钱数＝物品的价格和7×人数+差的钱数＝物品的价格”列方程即可得．【解答】解：设共有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程组为，故答案为：．15．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中甲的成绩较稳定．【分析】利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定．【解答】解：乙的平均成绩为（7+8+10+6+9）÷5＝8，方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2]＝2，∵甲的方差为1.6，∴甲的方差较小，∴成绩较稳定的是甲，故答案为：甲．16．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，＝，＝，那么＝﹣+．（用含向量，的式子表示）【分析】利用三角形法则可知：＝+，求出即可解决问题．【解答】解：∵AD＝2DC，∴AD＝AC，∴＝＝，∴＝+，∴＝﹣+，故答案为﹣+．17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．【分析】先根据题意画出图形，连接BD、OD，设AM＝x，根据AD2﹣AM2＝OD2﹣OM2，列出方程，求出x，再根据OC＝OA﹣AM﹣CM计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：连接BD，与AC交与点M，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AMD＝∠DMC＝90°，∠ACD＝∠ACB，CD＝CD，AM＝CM，∴DM2＝AD2﹣AM2，设AM＝x，则DM2＝（2）2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB（SSS），∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣（5﹣x）2，∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．【分析】证△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2，AC＝，由勾股定理得出AD＝，由折叠的性质得ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，得出BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，证△BDF∽△DAC，求出BF＝，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵BC＝2，点D是边BC的中点，∴BD＝CD＝1，∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴AC：CD＝BC：AC，∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，∴AC＝，∴AD＝＝＝，由折叠的性质得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，∴BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，∴∠BDF+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BDF＝∠DAC，又∵∠DFB＝∠C＝90°，∴△BDF∽△DAC，∴＝，即＝，∴BF＝，∴BE＝2BF＝；故答案为：．三．解答题（共5小题）19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，∠BAC＝45°，cos∠ACB＝（1）求线段AC的长；（2）联结BD，交对角线AC于点O，求∠ADO的余切值．【分析】（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，根据已知条件和cos∠ACB＝可得，CE ＝3，AE＝BE＝4，进而可求AC的长；（2）结合（1）和AD∥BC，可得＝，得AO和OC的长，从而可求OE的长，进而得∠ADO的余切值即为∠BOE的余切值．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴AE＝BE，∵cos∠ACB＝，即＝，∵BC＝5，∴CE＝3，∴BE＝＝4，∴AE＝BE＝4，∴AC＝AE+EC＝4+3＝7．答：线段AC的长为7；（2）∵AD∥BC，∴＝，∴＝，解得AO＝2，∴OC＝5，∴OE＝OC﹣CE＝5﹣3＝2，∴＝＝，∵∠ADO＝∠BOE，∴cot∠ADO＝cot∠BOE＝．∴∠ADO的余切值即为∠BOE的余切值为．20．如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）根据函数图象中的数据，可以分别求得甲的速度和乙开始的速度，然后设出A、B 两地之间的距离，再根据甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，可以列出相应的方程，从而可以得到A、B两地之间的距离．【解答】解：（1）设乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式为y＝kx+b，，解得，，即乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式是y＝10x+20；（2）设A、B两地之间的距离为S千米，甲的速度为60÷3＝20（千米/时），乙开始的速度为30÷1＝30（千米/时），，解得，S＝80，答：A、B两地之间的距离是80千米．21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ⋅BC＝CE⋅DF．【分析】（1）作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△FDQ，可得，可得结论．【解答】证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD 的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．【分析】（1）先根据对称轴求出m，再将点A坐标代入抛物线解析式中求出能，得出抛物线解析式，最后配成顶点式，即可得出结论；（2）先求出点D坐标，进而求出直线CD解析式，得出点E坐标，再用面积公式求解即可得出结论；（3）设出点P坐标，构造出△PMQ∽△PNB，得出＝，表示出QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），进而表示出Q（a+，a2﹣a﹣），代入直线OA中，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴m＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+n，∵抛物线过点（2，﹣2），∴4﹣2×2+n＝﹣2，∴n＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴顶点B的坐标为（1，﹣3）；（2）如图1，由平移知，平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∵点D在x正半轴上，∴D（3，0），针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，记直线CD与直线x＝1的交点为E，则E（1，﹣），∴S△BCD＝BE•|x D﹣x C|＝×|﹣﹣（﹣3）|×3＝；（3）如图2，设P（a，a2﹣2a﹣2），过点P作PN垂直于直线x＝1于点N过点Q作QM⊥PN于M，∴QM∥NN，∴△PMQ∽△PNB，∴＝，∵，∴＝，∵PN＝a﹣1，BN＝a2﹣2a﹣2+3＝a2﹣2a+1，∴，∴QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），∴MN＝PN﹣PM＝（a﹣1），点Q与点B的纵坐标之差的绝对值为（a2﹣2a+1），∴Q（a+，a2﹣a﹣），∵A（2，﹣2），∴直线OA的解析式为y＝﹣x，∵点Q在线段OA上，∴a++a2﹣a﹣＝0，∴a＝﹣3（舍）或a＝4，∴P（4，6）．23．已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD ＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：AB＝BC；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．【分析】（1）证明△OBA≌△OBC即可解决问题．（2）如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．首先证明∠CDB＝∠CBD ＝75°，解直角三角形求出AD，BD（用a表示）即可解决问题．（3）因为∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，推出OE≠OB，分两种情形：如图3﹣1中，当BO＝BE时，如图3﹣2中，当EO＝EB时，分别求解即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．。
2020年上海市奉贤区中考数学二模试卷(附答案详解)
2020年上海市奉贤区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列计算中，结果等于a2m的是()A. a m+a mB. a m⋅a2C. (a m)mD. (a m)22.下列等式正确的是()A. (√3)2=3B. √(−3)2=−3C. √33=3D. (−√3)2=−33.如果关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，那么实数m的值可以是()A. 0B. 1C. 2D. 34.甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数x−(秒)及方差S2(秒 2)如表所示．如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相平分．添加下列条件，一定能判定四边形ABCD为菱形的是()A. ∠ABD=∠BDCB. ∠ABD=∠BACC. ∠ABD=∠CBDD. ∠ABD=∠BCA6.如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是()A. AM>ANB. AM≥ANC. AM<AND. AM≤AN二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：9a3b÷3a2=______．8.如果代数式2在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是______．3−x9.方程√x+1=4的解是______．10.二元一次方程x+2y=3的正整数解是______．11.从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个上的概率是______．数字分别作为点M的横坐标和纵坐标，那么点M在双曲线y=4x12. 如果函数y =kx(k ≠0)的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而______.(填“增大”或“减小”)13. 据国家统计局数据，2019年全年国内生产总值接近100万亿，比2018年增长6.1%.假设2020年全年国内生产总值的年增长率保持不变，那么2020年的全年国内生产总值将达到______万亿．14. 已知平行四边形ABCD ，E 是边AB 的中点．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(结果用a ⃗ 、b ⃗ 表示)．15. 某校计划为全体1200名学生提供以下五种在线学习的方式：在线听课、在线答题、在线讨论、在线答疑和在线阅读．为了解学生需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成扇形统计图(如图).由这个统计图可知，全校学生中最喜欢“在线答疑”的学生人数约为______人．16. 如图，一艘轮船由西向东航行，在A 处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B 处，测得灯塔P 在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是______海里．17. 在矩形ABCD 中，AB =5，BC =12.如果分别以A 、C 为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC 相交，点D 在圆A 外，那么圆C 的半径长r 的取值范围是______． 18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将△BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是______度．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 计算：812×2−2−|√2−2|+20200．20.先化简，再求值：x−3x2+6x+9÷(1−6x+3)，其中x=√3．21.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(−2,0)，与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点C，且AB=BC，点C 的纵坐标为4．(1)求直线AB的表达式；(2)过点B作BD//x轴，交反比例函数y=mx的图象于点D，求线段CD的长度．22.如图1，由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状(推移过程中边的长度保持不变).已知矩形ABCD，AB=4cm，AD=3cm，固定边AB，推边AD，使得点D落在点E处，点C落在点F处．(1)如图2，如果∠DAE=30°，求点E到边AB的距离；(2)如图3，如果点A、E、C三点在同一直线上，求四边形ABFE的面积．23.已知：如图，在梯形ABCD中，CD//AB，∠DAB=90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2=CE⋅CA．(1)求证：AD=DE；(2)过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2=AE⋅AF．x−2 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx经过点A(2,0).直线y=12与x轴交于点B，与y轴交于点C．(1)求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；(2)将抛物线y=x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；(3)将抛物线y=x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，(点P在点Q右侧)，平移后抛物线的顶点为M，如果DP//x轴，求∠MCP 的正弦值．25.如图，已知半圆⊙O的直径AB=10，弦CD//AB，且CD=8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．(1)当点F与点B重合时，求CP的长；(2)设CP=x，OF=y，求y与x的函数关系式及定义域；(3)如果GP=GF，求△EPF的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、a m+a m=2a m，故此选项不合题意；B、a m⋅a2=a m+2，故此选项不合题意；C、(a m)m=a m2，故此选项不合题意；D、(a m)2=a2m，故此选项符合题意．故选：D．直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2.【答案】A【解析】解：(√3)2=3，A正确；√(−3)2=3，B错误；√33=√27=3√3，C错误；(−√3)2=3，D错误；故选：A．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：√a2=|a|是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：根据题意得△=(−2)2−4m>0，解得m<1，所以m可以取0．故选：A．利用判别式的意义得到△=(−2)2−4m>0，解不等式得到m的范围，然后对各选项进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．【解析】解：∵乙的平均分最好，方差最小，最稳定，∴应选乙．故选：B．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：如图所示，设四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形．选项A，由平行四边形的性质可知AB//DC，则∠ABD=∠BDC，从而A不符合题意；选项B，∠ABD=∠BAC，则AO=BO，再结合对角线AC、BD互相平分，可知AC=BD，从而平行四边形ABCD是矩形，故B不符合题意；选项C，由平行四边形的性质可知AD//BC，从而∠ADB=∠CBD，当∠ABD=∠CBD时，∠ADB=∠ABD，故AB=AD，由一组邻边相等的平行四边形的菱形可知，C符合题意；选项D，∠ABD=∠BCA，得不出可以判定四边形ABCD为菱形的条件，故D不符合题意．综上，只有选项C一定能判定四边形ABCD为菱形．故选：C．先由对角线AC、BD互相平分得出四边形ABCD是平行四边形，再按照平行四边形基础上菱形的判定方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐个选项分析即可．本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．【解析】解：∵线段AN 是△ABC 边BC 上的高， ∴AD ⊥BC ，由垂线段最短可知，AM ≥AN ， 故选：B ．根据三角形的高的概念得到AD ⊥BC ，根据垂线段最短判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．7.【答案】3ab【解析】解：原式=3ab ． 故答案为：3ab ．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8.【答案】x ≠3【解析】解：根据题意知3−x ≠0， 解得x ≠3， 故答案为：x ≠3．根据分式有意义的条件是分母不为0求解可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．9.【答案】x =15【解析】解：原方程变形为：x +1=16， ∴x =15，x =15时，被开方数x +1=16>0‘ ∴方程的解为x =15． 故答案为x =15.’将无理方程化为一元一次方程，然后求解即可．本题考查了无理方程，将无理方程化为一元一次方程是解题的关键．10.【答案】{x =1y =1【解析】解：方程x +2y =3， 变形得：x =−2y +3， 当y =1时，x =1， 则方程的正整数解为{x =1y =1，故答案为：{x =1y =1把y 看做已知数求出x ，即可确定出正整数解．此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y 看做已知数求出x ．11.【答案】13【解析】解：列表如下：所有可能的情况有6种；落在双曲线y =4x 上的点有：(1,4)，(4,1)共2个， 则P =26=13．列表得出所有等可能的情况，然后判断落在双曲线上点的情况数，即可求出点M 在双曲线y =4x 上的概率．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】减小【解析】解：函数y =kx(k ≠0)的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小，故答案为：减小．根据正比例函数的性质进行解答即可．此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y =kx(k ≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k >0时，该直线经过第一、三象限，且y 的值随x 的值增大而增大；当k <0时，该直线经过第二、四象限，且y 的值随x 的值增大而减小．13.【答案】106.1【解析】解：根据题意得：100×(1+6.1%)=106.1(万亿)，答：2020年的全年国内生产总值将达到106.1万亿；故答案为：106.1．利用增长率的意义得到2020年全年国内生产总值100×(1+6.1%)，然后进行计算即可． 本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则、正确列出算式是解题的关键．14.【答案】−b ⃗ +12a ⃗【解析】解：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD//BC∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∵E 是AB 的中点，∴AE =12AB =12a ⃗ ，∵DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE −， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +12a ⃗ ， 故答案为：−b ⃗+12a ⃗ ． 由三角形法则可知：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE −，只要求出DA ⃗⃗⃗⃗⃗，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15.【答案】360【解析】解：∵最喜欢“在线答疑”的学生人数占被调查人数的百分比为1−(20%+ 25%+15%+10%)=30%，∴全校学生中最喜欢“在线答疑”的学生人数约为1200×30%=360(人)，故答案为：360．先根据各部分所占百分比之和为1求出D类型人数所占百分比，再乘以总人数即可得．本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．16.【答案】40【解析】解：如图所示：由题意可得，∠PAB=30°，∠DBP=30°，故∠PBE=60°，则∠P=∠PAB=30°，可得：AB=BP=40海里．故答案为：40．根据已知方向角得出∠P=∠PAB=30°，进而得出对应边关系即可得出答案．此题主要考查了方向角，正确得出∠P=∠PAB=30°是解题关键．17.【答案】1<r<8【解析】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC=12，AB=5，根据勾股定理，得AC=√AB2+BC2=13，∵分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，∴13−5=8，∵点D在圆A外，∴13−12=1，∴1<r<8，所以圆C的半径长r的取值范围是1<r<8．故答案为：1<r<8．四边形ABCD是矩形，可得∠B=90°，AD=BC=12，AB=5，根据勾股定理，得AC= 13，分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，根据圆与圆相切的性质即可求出r的取值范围．本题考查了相切两圆的性质、切线的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是综合运用以上知识．18.【答案】125【解析】解：如图所示，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD=AD，∴∠BCD=∠B=35°，∴∠BDC=110°，由折叠可得，∠CDE=∠CDB=110°，DE=DB=AD，∴∠BDE=360°−110°×2=140°，∴∠DAE=12∠BDE=70°，又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°−35°=55°，∴∠CAE=55°+70°=125°，故答案为：125．依据折叠的性质即可得到∠DAE的度数，再根据三角形内角和定理即可得到∠BAC的度数，进而得出∠CAE的度数．本题主要考查了折叠问题以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．19.【答案】解：原式=2√2×14−(2−√2)+1=√22−2+√2+1=3√22−1．【解析】直接利用二次根式的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=x−3(x+3)2÷x+3−6x+3 =x−3(x+3)2⋅x+3x−3=1x+3，当x =√3时，原式=√3+3=3−√36．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21.【答案】解：(1)过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，如图，∴AOOH =ABBC =1，∵A(−2,0)，∴AO =2，∴OH =OA =2，∵点C 的纵坐标为4，∴点C 的坐标为(2,4)，设直线AB 的表达式y =kx +b(k ≠0)，把A(−2,0)，C(2,4)代入得{−2k +b =02k +b =4，解得{k =1b =2， ∴直线AB 的表达式y =x +2；(2)∵反比例函数y =m x 的图象过点C(2,4)，∴m =2×4=8，∵直线y =x +2与y 轴的正半轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0,2)，∵BD//x 轴，∴点D 纵坐标为2，当y =2时，8x =2，解得x =4，∴点D 坐标为(4,2)，∴CD =√(2−4)2+(4−2)2=2√2．【解析】(1)过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，如图，利用平行线分线段成比例得到AO OH =ABBC =1，则OH =OA =2，则点C 的坐标为(2,4)，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式；(2)把C点坐标代入y=mx中求出m=8，再利用直线解析式确定点B的坐标为(0,2)，接着利用BD//x轴得到点D纵坐标为2，根据反比例解析式确定点D坐标，然后根据两点间的距离公式计算CD的长．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．22.【答案】解：(1)如图2，过点E作EH⊥AB轴，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴AD//EH，∴∠DAE=∠AEH，∵∠DAE=30°，∴∠AEH=30°．在直角△AEH中，∠AHE=90°，∴EH=AE⋅cos∠AEH，∵AD=AE=3cm，∴EH=3×√32=3√32cm，即点E到边AB的距离是3√32cm；(2)如图3，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∵AD=3cm，∴BC=3cm，在直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，∴AC=√AB2+BC2=5cm，∵EH//BC，∴AEAC =EHBC，∵AE=AD=3cm，∴35=EH4，∵推移过程中边的长度保持不变，∴AD=AE=BF，AB=DC=EF，∴四边形ABCD是平行四边形，∴S平行四边形ABFE =AB⋅EH=4×95=365cm2．【解析】(1)过点E作EH⊥AB轴，垂足为H，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，AD//EH，根据平行线的性质得到∠DAE=∠AEH，求得∠AEH=30°，解直角三角形即可得到结论；(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H.根据矩形的性质得到AD=BC.得到BC=3cm.根据勾股定理得到AC=√AB2+BC2=5cm，根据平行线分线段成比例定理得到EH=95cm，根据四边形的性质得到AD=AE=BF，AB=DC=EF.求得四边形ABCD是平行四边形，于是得到结论．本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵BC2=CE⋅CA，∴BCCE =CABC，又∠ECB=∠BCA，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠CAB，∵AC⊥BC，∠DAB=90°，∴∠BEC+∠CBE=90°，∠DAE+∠CAB=90°，∴∠BEC=∠DAE，∵∠BEC=∠DEA，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE；(2)∵DF⊥AC，AC⊥BC，∴∠DFE=∠BCA=90°，∴DF//BC，∴CEEF =BEDE，∵DC//AB，∴BEDE =AECE，∴CE2=AE⋅EF，∵AD=DE，DF⊥AC，∴AF=EF，∴CE2=AE⋅AF．【解析】(1)根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE=∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC=∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；(2)根据平行线分线段成比例定理得到CEEF =BEDE，BEDE=AECE，得到CEEF=AECE，整理得到CE2=AE⋅EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF=EF，证明结论．本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)由题意，抛物线y=x2+bx经过点A(2,0)，得0=4+2b，解得b=−2，∴抛物线的表达式是y=x2−2x．∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴它的顶点C的坐标是(1,−1)．(2)∵直线y=12x−2与x轴交于点B，∴点B的坐标是(4,0)．①将抛物线y=x2−2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y=(x−3)2−1．②将抛物线y=x2−2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y=(x−5)2−1．(3)设向下平移后的抛物线表达式是：y=x2−2x+n，得点D(0,n)．∵DP//x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x=1对称，∴P(2,n)．∵点P在直线BC上，∴n=12×2−2=−1．∴平移后的抛物线表达式是：y=x2−2x−2．∴新抛物线的顶点M的坐标是(1,−2)．∴MC//OB，∴∠MCP=∠OBC．在Rt△OBC中，sin∠OBC=OCBC，由题意得：OC=2，BC=2√5，∴sin∠MCP=sin∠OBC=2√5=√55．即∠MCP的正弦值是√55．【解析】(1)根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；(2)根据图象上点的坐标特征求得B(4,0)，然后分两种情况讨论求得即可；(3)设向下平移后的抛物线表达式是：y=x2−2x+n，得点D(0,n)，即可求得P(2,n)，代入y=12x−2求得n=−1，即可求得平移后的解析式为y=x2−2x−2.求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，解直角三角形等，正确求得平移后的解析式是解题的关键．25.【答案】解：(1)连接EO，交弦CD于点H，∵E为弧CD的中点，∴EO⊥AB，∵CD//AB，∴OH⊥CD，∴CH=12CD，连接CO，∵AB=10，CD=8，∴CO=5，CH=4，∴OH=√CO2−CH2=3，∴EH=EO−OH=2，∵点F与点B重合，∴∠OBE=∠HGE=45°，∵PE⊥BE，∴∠HPE=∠HGE=45°，∴PE=GE，∴PH=HG=2，∴CP=CH−PH=4−2=2；(2)如图2，连接OE，交CD于H，∵∠PEH+∠OEF=90°，∠OFE+∠OEF=90°，∴∠PEH=∠OFE，∵∠PHE=∠EOF=90°，∴△PEH∽△EFO，∴EHFO =PHEO，∵EH=2，FO=y，PH=4−x，EO=5，∴2y =4−x5，∴y=104−x (0≤x<3)．(3)如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，∵GP=GF，∴∠GPF=∠GFP，∵CD//AB，∴∠GPF=∠PFQ，∵PE⊥EF，∴PQ=PE，由(2)可知，△PEH∽△EFO，∴PEEF =PHEO，∵PQ=OH=3，∴PE=3，∵EH=2，∴PH=√PE2−EH2=√5，∴3EF =√55，∴EF=3√5，∴S△EPF=12⋅PE⋅EF=12×3×3√5=9√52．【解析】(1)如图1，连接EO，交弦CD于点H，根据垂径定理得EO⊥AB，由勾股定理计算OH=√CO2−CH2=3，可得EH的长，证明∠HPE=∠HGE=45°，则PE=GE.从而可得结论；(2)如图2，连接OE，证明△PEH∽△EFO，列比例式可得结论；(3)如图3，作PQ⊥AB，分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论．本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形列比例式解决问题，属于中考压轴题．。
上海市黄浦区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市黄浦区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题（本题共6题）1.下列正整数中，属于素数的是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．【详解】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．故选：A．【点睛】本题考查了素数的定义，熟练掌握素数的定义是解答本题的关键．2.下列方程没有实数根的是（）A. x2＝0B. x2+x＝0C. x2+x+1＝0D. x2+x﹣1＝0【答案】C【解析】【分析】分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案．【详解】解：A．此方程判别式∆＝02﹣4×1×0＝0，故方程有两个相等的实数根；B．此方程判别式∆＝12﹣4×1×0＝1＞0，故方程有两个不相等的实数根；C．此方程判别式∆＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，故方程没有实数根；D．此方程判别式∆＝02﹣4×1×(﹣1)＝5＞0，故方程有两个不相等的实数根；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．3.一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．4.某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（）A. a＜bB. a＝bC. a＞bD. 无法判断【答案】A【解析】【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案．【详解】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，所以中位数a＝54，新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，所以平均数b＞54，则b＞a，故选：A．【点睛】此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5.已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切【答案】B【解析】【分析】先求出两圆的圆心距，再根据圆与圆的位置关系即可求出答案．【详解】解：由题意可知：r1＝2，r2＝4，圆心距d＝2，∴d＝r2﹣r1，∴两圆相内切，故选：B．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断，本题属于基础题型．6.在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC 与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A. （6，0）B. （4，0）C. （4．﹣2）D. （4，﹣3）【答案】D【解析】【分析】画出平面直角坐标系，利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：6a4÷2a2＝_____．【答案】3a2【解析】【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：6a4÷2a2＝3a2．故答案为：3a2．【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．8.分解因式：4x2–1=_______________．【答案】（2x+1）（2x–1）【解析】【分析】利用平方差公式进行因式分解．【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）．故答案为：（2x+1）（2x–1）．【点睛】本题考查因式分解．9.不等式组21020xx->⎧⎨-<⎩的整数解是_____．【答案】x＝1【解析】【分析】首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集，进一步得到不等式组的整数解．【详解】解：21020xx->⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得x ＞12， 解不等式②得x ＜2． ∴不等式组的解集为12＜x ＜2， ∵x 为整数，∴x ＝1．故答案为：x ＝1．【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10.已知函数f （x ）＝221x +，那么f （﹣3）＝_____． 【答案】12 【解析】【分析】把x=﹣3代入函数关系式，计算求值即可．【详解】解：当x ＝﹣3时，f （﹣3）＝2(3)1-+＝231+＝24＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握函数解析式的定义，属于基础题． 11.某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是_____．【答案】25人【解析】【分析】先根据三部分对应的百分比之和为1求出通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比，再乘以总人数即可得．【详解】解：∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比为1﹣（25%+70%）＝5%，∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%＝25（人），故答案为：25人．【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．12.木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是_____．【答案】1 4【解析】【分析】根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有1种情况，所以两次都摸到黄球的概率为14，故答案为：14．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．13.如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是_____厘米．【答案】4【解析】【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．【详解】解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，整理得，x2﹣2x﹣8＝0，解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思、根据题目给出的条件找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．14.正五边形的每个内角为______度.【答案】108【解析】【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，则每个内角是：540÷5＝108°．故答案为：108．【点睛】本题主要考查多边形内角和计算公式，以及正多边形的每个内角都相等等知识点．15.如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是_____．【答案】5：7【解析】分析】设梯形的上底为a，用a表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中位线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：设梯形的上底为a，则下底为2a，∴梯形的中位线＝2 2 a a +＝32a，∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比＝132213222a a ha a h⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭＝57，故答案为：5：7．【点睛】本题考查的是梯形的中位线，掌握梯形中位线的概念、梯形的面积公式是解题的关键．16.如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设AC＝a，AB＝b，那么CM用a，b表示为_____．【答案】﹣a+12b→【解析】【分析】利用三角形法则可知：CM CA AM→→→=+，只要求出AM→即可解决问题．【详解】解：∵M是AB的中点，∴AM＝12AB，∴1122AM AB b→→→==，∵CM CA AM→→→=+，∴12CM a b→→→=-+，故答案为：12a b→→-+．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识．解题的关键是熟练掌握向量运算的三角形法则．17.已知等边△ABC 的重心为G ，△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S 1，△ABC 的面积记作S 2，那么12S S 的值是_____ 【答案】23【解析】【分析】 如图，根据点G 是等边△ABC 的重心，得到AD 垂直平分BC ，AD 是∠BAC 的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF ≌△ABC ，AG ＝DG ，EF ∥BC ，推出△AQH 是等边三角形，得到AQ ＝HQ ＝AH ，求得它们重叠部分为边长＝QH 的正六边形，设AB ＝3a ，则QH ＝a ，根据等边三角形的面积即可得到结论．【详解】解：如图，∵点G 是等边△ABC 的重心，∴AD 垂直平分BC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AG ＝2GN ，设AB ＝3a ，则AN 33a 33， ∵△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，∴△DEF ≌△ABC ，AG ＝DG ，EF ∥BC ，∴∠AQH ＝∠ABC ＝∠AHQ ＝∠ACB ＝60°，∴△AQH 是等边三角形，∴AQ ＝HQ ＝AH ＝13AB ＝a ， ∴AP， ∴它们重叠部分为边长＝QH 的正六边形，∴S 1＝22162⋅=，S 2＝2132a ⋅= ， ∴12S S24＝23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，中心对称，等边三角形的面积的计算，正多边形面积的计算．能根据题意正确的作出图形是解题的关键．18.已知⊙O 的直径AB ＝4，⊙D 与半径为1的⊙C 外切，且⊙C 与⊙D 均与直径AB 相切、与⊙O 内切，那么⊙D 的半径是_____． 【答案】12或1 【解析】【分析】 分⊙D 与⊙C 在直径AB 的同侧、⊙D 与⊙C 在直径AB 的两侧两种情况，根据圆心距与两圆半径的数量关系、勾股定理列方程计算，得到答案．【详解】解：当⊙D 与⊙C 在直径AB 的同侧时，作DH ⊥OC 于H ，DN ⊥OB 于N ，连接CD ，连接OD 并延长交⊙O 于G ，设⊙D 的半径为r ，则OD ＝2﹣r ，CD ＝1+r ，∵⊙O 的直径AB ＝4，⊙C 的半径为1，⊙C 与⊙O 内切，∴⊙C 与⊙O 内切于点O ，∴CO ⊥AB ，∵CO ⊥AB ，DH ⊥OC ，DN ⊥OB ，∴四边形HOND 为矩形，∴OH ＝DN ＝r ，DH ＝ON＝∴CH ＝1﹣r ，在Rt △CDH 中，CH 2+DH 2＝CD 2，即(1﹣r )2+(2﹣r )2﹣r 2＝(1+r )2， 解得，r ＝12， 当⊙D 与⊙C 在直径AB 的两侧时，⊙C 与⊙D 的半径相等，都是1， 故答案为：12或1．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.12823321-． 【答案】－1 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝2322+13＝2322﹣13＝﹣1．【点睛】本题考查二次根式的性质，分数指数幂．能灵活运用二次根式的性质对二次根式化简是解题关键．20.解方程组：22335x y x xy y +=⎧⎨++=⎩． 【答案】1141x y =⎧⎨=-⎩，2214x y =-⎧⎨=⎩【分析】由①得：y ＝3﹣x ，代入②并整理得：x 2﹣3x ﹣4＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．【详解】解：22335x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①② 由①得：y ＝3﹣x ③，把③代入②得：x 2+3x （3﹣x ）+（3﹣x ）2＝5， 整理得：x 2﹣3x ﹣4＝0， 解这个方程得，x 1＝4，x 2＝﹣1，把x 的值分别代入③，得y 1＝﹣1，y 2＝4． ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=-⎩，2214x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查解二元二次方程组．理解“消元思想”和“降次思想”，能将二元方程化为一元方程和将二次方程化为一次方程是解题关键．21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 坐标（2，3），过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，AH 交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足ABBH＝2． （1）求该反比例函数的解析式；（2）点C 在x 正半轴上，点D 在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD 是平行四边形，求点D 坐标．【答案】（1）y ＝2x；（2）点D 坐标（1，2） 【解析】 【分析】（1）先求出点B 坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB ∥CD ，AB ＝CD ＝2，可求点D 坐标． 【详解】解：（1）∵点A 坐标（2，3），∵ABBH＝2，∴BH＝1，AB＝2，∴点B（2，1），设反比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵点B在反比例函数的图象上，∴k＝2×1＝2，∴反比例函数的解析式为y＝2x ；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2，∵AB⊥x轴，∴CD⊥x轴，∴点D纵坐标2，∴点D坐标（1，2）．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．22.如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米；（精确到整数）（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：2≈1.41，3＝1.73）【答案】（1）15米；（2）8分【分析】（1）作AH⊥MN于H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到∠AOH，根据余弦的定义计算，得到答案；（2）求出OE的长度，根据正弦的定义求出∠OCE＝30°，得到∠COD＝120°，根据题意计算即可．【详解】解：（1）如图2，作AH⊥MN于H，吊舱每分钟转过的角度＝36024＝15°，∴3分钟转过的角度为45°，在Rt△OAH中，OH＝OA•cos∠AOH＝50×2＝252，∴HM＝60﹣252≈25，答：该游客离地面高度约为25米；（2）如图2，线段CD距离地面85米，则OE＝85﹣60＝25，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝25，OC＝50，∴∠OCE＝30°，∴∠COE＝60°，∴∠COD＝120°，∴距离地面不低于85米的时间为：12015＝8（分）．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正确求出吊舱每分钟转过的角度是解题的关键．23.已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC 是等腰三角形； （2）当OA ＝4，AB ＝6，求边BC 的长． 【答案】（1）见解析；（2）37 【解析】 【分析】（1）连接OB 、OC ，先证明∠OBA ＝∠OCA ＝∠BAO ＝∠CAO ，再证明△OAB ≌△OAC 得AB ＝AC ，问题得证；（2）延长AO 交BC 于点H ，先证明AH ⊥BC ，BH ＝CH ，设OH ＝b ，BH ＝CH ＝a ，根据OA ＝4，AB ＝6，由勾股定理列出a 、b 的方程组，解得a 、b ，便可得BC ． 【详解】解：（1）连接OB 、OC ， ∵OA ＝OB ＝OC ，OA 平分∠BAC ， ∴∠OBA ＝∠OCA ＝∠BAO ＝∠CAO ， 在△OAB 和△OAC 中，OAB OAC OBA OCA AO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OAB ≌△OAC （AAS ）， ∴AB ＝AC即△ABC 是等腰三角形；（2）延长AO 交BC 于点H ， ∵AH 平分∠BAC ，AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ，BH ＝CH ， 设OH ＝b ，BH ＝CH ＝a ，∵BH 2+OH 2＝OB 2， OA ＝4，AB ＝6， 则 2216a b += ①BH 2+AH 2＝AB 2，OA ＝4，AB ＝6， 则22(4)36a b ++= ② ②－①得：81620,b +=1,2b ∴=把12b =代入①得：,22a a ==-2.12a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴BC ＝2a ＝．【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键． 24.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝12x 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）和B （2，6），其顶点D ．（1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设C 为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为点H ，如果△OCH 与△ABD 相似，求点C 的坐标．【答案】（1）y＝12x2+2x；（2）12；（3）点H的坐标为（﹣10，30）或（﹣143，149）【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）利用两点间的距离公式：得AB，AD，BD的值，从而得BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积＝12AB×AD，即可求解；（3）由△OCH与△ABD相似，得tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝CHOH＝212123m mm+=-或3，进而即可求解．【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：116-40214262b cb c⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得：2bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为：y＝12x2+2x；（2）对于y＝12x2+2x，顶点D(﹣2，﹣2)，∴AD22(42)(02)22-+++=，同理：AB＝2，BD＝5∴BD2＝AB2+AD2，∴△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝12AB×AD＝12×2×2＝12；（3）在△ABD中，tan∠ABD＝221362ADAB==，∵△OCH 与△ABD 相似，∴tan ∠COH ＝tan ∠ABD 或tan ∠COH ＝tan ∠ADB ， 即：tan ∠COH ＝13或3， 设点C(m ，12m 2+2m )，则tan ∠COH ＝CH OH＝212123m mm +=-或3， 解得：m ＝﹣10或﹣143（不合题意的值已舍去）， ∴点H 的坐标为(﹣10，30)或(﹣143，149)．【点睛】本题主要考查二次函数与相似三角形的综合，涉及二次函数的待定系数法，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，是解题的关键．25.在边长为2的菱形ABCD 中，E 是边AD 的中点，点F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 上，且FG ⊥EF ，EH ⊥EF ．（1）如图1，当点F 是边AB 中点时，求证：四边形EFGH 是矩形； （2）如图2，当12BGGC时，求FG EH 值；（3）当5cos 13D，且四边形EFGH 是矩形时（点F 不与AB 中点重合），求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）23；（3）313或813【解析】 【分析】（1）连接AC 、BD ，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得//GF EH ，GF EH =，从而可知四边形EFGH 是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；（2）连接EG ，由菱形的性质及//FG EH 可得BGFDEH ，及B D ∠=∠，从而判定BGF DEH ∽，结合12BG GC 及菱形的性质可得答案； （3）如图，过点G 作GM AB ⊥于点M ，过点E 作EN BA ⊥延长线于点N ，根据5cos 13D 及菱形的边长可求得513BM AN，1213MG NE．设AF x =，则2113MFx ，当四边形EFGH 是矩形时，90GFE ∠=︒，则GMF ∆与FNE ∆相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①GMF FNE ∽，②GMF ENF ∽． 【详解】解：（1）连接AC 、BD ，菱形ABCD 中，E 是边AD 的中点，点F 是边AB 中点，12AFAEAB ，//EF BD ， FGEF ，EH EF ⊥．////GF EH AC ， 12GFHEAC ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，FGEF ，90EFG ∴∠=︒，∴四边形EFGH 是矩形；（2）连接EG ，菱形ABCD 中，//AD BC ，BGEDEG ，//FG EH ， FGE HEG ， BGFDEH ，又菱形ABCD 中，B D ∠=∠，BGF DEH ∽，∴FG BGEH DE12BG GC ， 13BGBC ， 1122DE AD BC ==， ∴23FG BG EHDE； （3）如图，过点G 作GM AB ⊥于点M ，过点E 作EN BA ⊥延长线于点N ，四边形EFGH 是矩形， GFEH ，由（2）可知，BGF DEH ∽，∴此时BGF DEH ∆≅∆， 又菱形ABCD 边长为2，1BG DE ，1BG CG ∴==， 5cos cos cos 13BEAN D ， 513BM AN ， 1213MG NE ． 设AF x =，则52121313MFx x ， 当四边形EFGH 是矩形时，90GFE ∠=︒，则GMF ∆与FNE ∆相似（三垂直模型）． ①若GMF FNE ∽， 则MG MF NF EN ， ∴122113135121313x x ， 解得1313x ，21x =（点F 不与AB 中点重合，舍去）； ②若GMF ENF ∽，则MF GM NF EN， ∴21131513x x ，解得813x ． 综上，AF 的长为313或813． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定、菱形的性质、三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质等知识点，利用数形结合的思想，并明确相关性质及定理是解题的关键．。
上海市金山区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市金山区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在下列各数中，无理数是（）A.207 B.3π C. D.0.101001【答案】B【解析】【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数定义解答.【详解】A.207是分数，是有理数，故不是无理数；B.3π是无理数；C.=2是整数，故不是无理数；D.0.101001是有理数，故不是无理数，故选：B.【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键.2.计算（a 3）2的结果是（）A.aB.a 5C.a 6D.a 9【答案】C【解析】（a 3）2=a 3×2=a 6．故选C ．3.一次函数23y x =-的图像在y 轴的截距是（）A.2B.-2C.3D.-3【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式得到b=-3，即可得到截距.【详解】∵23y x =-，即b=-3，∴图像与y 轴的截距为-3，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的图象与坐标轴的截距，与y 轴的截距即为b 的值，注意有正负.4.某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全区75万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为（）A.1.2万B.1.5万C.7.5万D.66万【答案】B【解析】【分析】用总人数75万乘以（1-10%-88%）即可得到答案.【详解】75万⨯（1-10%-88%）=1.5万，故选：B.【点睛】此题考查根据百分比求部分的数量.5.已知在△ABC 中，AD 是中线，设,AB m AD n == ，那么向量BC 用向量,m n 表示为（）A.22m n -B.22m n +C.22n m -D.n m- 【答案】C【解析】【分析】根据向量的三角形法则求出BD ，即可得到BC.【详解】∵,AB m AD n == ，∴ AD AB B n D m =-=- ，∵AD 是△ABC 中线，∴2 22BC BD n m =-=，故选：C.【点睛】此题考查平面向量，掌握三角形的向量法则是解题的关键.6.如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Θ相交，那么r 的取值范围是（）A.4<r <12B.2<r <12C.4<r <8D.r >4【答案】A【解析】【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【详解】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON=30°，∴OQ=2QA=8，∵OP平分∠MON，PQ∥ON，∴∠QOP=∠PON=∠QPO，∴PQ=OQ=8，Θ相外切时，r=8-4=4，当以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相内切时，r=8+4=12，当以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相交，4<r<12，∴以Q为圆心半径为r的圆与P故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）-▲．7.分解因式：2a4=a+2a2-．【答案】()()【解析】【分析】先把式子写成a2-22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．【详解】a2-4=a2-22=（a+2）（a-2）．a+2a2-.故答案为()()【点睛】此题考查的是利用公式法因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．8.某种冠状病毒的直径大约是0.00011毫米，数据0.00011用科学计数法表示为_________【答案】-41.110⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】0.00011=-41.110⨯，故答案为：-41.110⨯.【点睛】此题考察科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时n 是负整数，n 的绝对值等于原数的左边第一个非0的数前0的个数，按此方法即可正确求解.9.x =的解是_________【答案】1x =【解析】【分析】左右两边同时乘方得到22x x -=，解一元二次方程并验根即可.【详解】x =，22x x -=，220x x +-=，（x+2）（x-1）=0，解得：12x =-，21x =，∵20x -≥，∴2x ≤，∴x=1，故答案为：x=1.【点睛】此题考查解无理方程，需将方程两边同时平方，把它化为有理方程求出方程的解，注意验根.10.如果关于x 的方程220x mx -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是_______【答案】±【解析】【分析】根据方程220x mx -+=有两个相等的实数根，列得280m -=，即可求出m.【详解】∵方程220x mx -+=有两个相等的实数根，∴∆=280m -=，解得m=±，故答案为：±.【点睛】此题考查一元二次方程的根的情况，熟记一元二次方程根的三种情况是解题的关键.11.函数13y x=-的定义域是_________【答案】3x ≠【解析】【分析】分式有意义即分母3-x 0≠，由此求出答案.【详解】由题意得3-x 0≠，∴3x ≠，故答案为：3x ≠.【点睛】此题考查函数的自变量的取值范围，正确理解分式有意义的条件的解题的关键.12.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是_____．【答案】310【解析】分析：让是3的倍数的数的个数除以数的总个数即为所求的概率．详解：：∵1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中，3的倍数的有3、6、9共3个数，∴取出的数是3的倍数的概率是：310．故答案为310.点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．13.某学校九年级共有350名学生，在一次九年级全体学生参加的数学测试中，随机抽取50名学生的测试成绩进行抽样调查，绘制频率分布直方图如图所示，如果成绩不低于80分算优良，那么估计九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是______【答案】161【解析】【分析】用50人中不低于80分的人数除以50再乘以350即可得到答案.【详解】∵成绩不低于80分的有15+8=23（人），∴在这次测试中成绩优良学生人数约是158********+⨯=（人），故答案为：161.【点睛】此题考查利用部分估计总体的方法，正确掌握计算方法是解题的关键.14.上海市居民用户燃气收费标准如下表：某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y （元）与年用气量x （立方米）的函数关系式是______________【答案】3(0310)y x x =≤<【解析】【分析】根据第一档的收费单价乘以用气量即可列出函数关系式.【详解】∵第一档每立方米3.00元，∴用气量在第一档，函数关系式是3(0310)y x x =≤<，故答案为：3(0310)y x x =≤<.【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解题意是解题的关键.15.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相互垂直，AC =4，BD =6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________【答案】6【解析】【分析】根据E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，得到EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，EF=12AC=2，EH=12BD=3，证得四边形EFGH 是平行四边形，根据AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，求出∠EMO=∠ENO=90°，证得四边形EMON 是矩形，得到∠MEN=90°，由此证得四边形EFGH 是矩形，再利用面积公式计算即可.【详解】如图：∵E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，EF=12AC=2，EH=12BD=3，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON 是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=236⨯=，故答案为：6.【点睛】此题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，矩形的判定定理.16.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________【答案】8【解析】【分析】设正多边形的边数为n，内角和为(2)180n-⨯ ，根据定义列方程求解.【详解】设正多边形的边数为n，∵内角和为(2)180n-⨯ ，外角和为360°，∴一个内角度数为(2)180nn-⨯ ，一个外角度数为360n，∴(2)180nn-⨯ =3603n⨯，解得n=8，经检验n=8是方程的解且符合题意，故答案为：8.【点睛】此题考查正多边形的内角和公式，外角和度数，正确理解题意列分式方程解决问题.17.如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于________米（保留根号）【答案】203-25【解析】【分析】延长CB 交水平面于点D ，则∠D=90°，根据坡度设BD=x 米，则AD=2.4x 米，利用勾股定理求出x 得到BD=25米，AD=60米，根据∠CAD=30°，求出CD 即可求出BC.【详解】延长CB 交水平面于点D ，则∠D=90°，∵坡度为1：2.4，∴设BD=x 米，则AD=2.4x 米，在Rt △ABD 中，AB=65米，222AB AD BD =+，∴22265(2.4)x x =+，解得x=25（负值舍去），∴BD=25米，AD=60米，∵∠CAD=30°，∴tan 30CD AD =⋅o =203∴BC=CD-BD=203-25米，故答案为：203-25.【点睛】此题考查三角函数的实际应用，正确理解坡度的定义，将题中的已知条件转化为直角三角形的边或角利用锐角三角函数解题是关键.18.如图，在ABC ∆中，∠C =90°，AC =3，BC =4，把ABC ∆绕C 点旋转得到A B C '''∆，其中点A '在线段AB 上，那么A B B ''∠的正切值等于_________【答案】724【解析】【分析】根据题意画出图形，先根据勾股定理求出AB=5，利用旋转的性质得到AC A C '=，BC B C '=，A B AB ''==5，ACA B CB ''∠=∠，推出∠A BB ''=90°，过点C 作CE ⊥AB 于E ，根据△ACE ∽△ABC 解得95AE =，根据△ACA '∽△BCB '解得245BB '=，由此即可得到答案.【详解】∵∠C =90°，AC =3，BC =4，∴AB=5，由旋转得：AC A C '=，BC B C '=，A B AB ''==5，ACA B CB ''∠=∠,∴∠2=∠A ，∵∠A+∠1=90°，∴∠2+∠1=90°，即∠A BB ''=90°，过点C 作CE ⊥AB 于E ，∴△ACE ∽△ABC ，∴2AC AE AB =⋅，∴235AE =，解得95AE =，∴185AA '=，∴75A B AB AA ''=-=，∵AC A C '=，BC B C '=，ACA B CB ''∠=∠,∴△ACA '∽△BCB ',∴AC AA BC BB '=',∴18354BB ='，解得245BB '=，∴tan A B B ''∠=A B BB ''=724，故答案为：724.【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.13-111)+cos308⎛⎫-- ⎪⎝⎭o ．【答案】【解析】【分析】根据算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值分别化简后再计算加减法.【详解】13-111)+cos308⎛⎫-- ⎪⎝⎭o 111)22=-+，=【点睛】此题考查计算能力，掌握算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键.20.解方程组：222; 1.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩【解析】【分析】用代入法解方程.【详解】，由①得x=2+y ③，将③代入②得22(2(2))1y y y y -+-=+，解得13y =，21y =-，将13y =、21y =-分别代入③，得15=x ，21x =，∴原方程组的解是121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩.【点睛】此题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.21.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知函数2y x =的图像和反比例函数的在第一象限交于A 点，其中点A 的横坐标是1．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线2y x =平移后与y 轴相交于点B ，且AB OB =，求平移后直线的解析式．【答案】（1）2y x =；（2）524y x =+【解析】【分析】（1）将点A 的横坐标代入y=2x 中，得到点A 的纵坐标，设反比例函数解析式为k y x =，再将点A 的坐标代入解答；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于C ，则AC=1，OC=2，根据AB=OB ，得到直线y=2x 向上平移，设平移后的直线解析式为2y x =+b ，则OB=b ，根据勾股定理得到2221(2)b b +-=，求出54b =，即可得到函数解析式.【详解】（1）将点A 的横坐标1代入y=2x 中，得y=2，∴点A 的坐标为（1,2），设反比例函数解析式为k y x =，将点A 的坐标代入，得到k=2，∴反比例函数解析式为2y x=；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于C ，则AC=1，OC=2，∵AB=OB ，∴直线y=2x 向上平移，设平移后的直线解析式为2y x =+b ，则OB=b ，∵222AC BC AB +=，∴2221(2)b b +-=，解得54b =，∴平移后的解析式为：524y x =+.【点睛】此题考查一次函数的性质，点坐标与直线解析式，直线平移的性质.22.如图，已知在四边形ABCD 中∠A=∠ABC=90°，点E 是CD 的中点，△ABD 与△EBD关于直线BD 对称，1AD =，AB =（1）求点A 和点E 之间的距离；（2）联结AC 交BE 于点F ，求AF AC 的值．【答案】（1）AE ；（2）35AF AC =【解析】【分析】（1）连接AE 交BD 于H ，根据△ABD 与△EBD 关于直线BD 对称，得AE ⊥BD ，AH=HE ，利用勾股定理求出BD=2，利用1122ABD S AB AD BD AH =⋅=⋅ 求出2AH =即可得到答案；（2）根据∠A=90°，1AD=，BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD与△EBD关于直线BD 对称，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由点E是CD的中点，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M=30°，AM=3，利用AM∥BC，3 2AF AMCF BC==，即可求出35 AFAC=.【详解】（1）连接AE交BD于H，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴AE⊥BD，AH=HE，∵∠A=90°，1AD=，AB=，∴BD=2，∵1122ABDS AB AD BD AH =⋅=⋅,∴AB AD BD AH⋅=⋅，∴2AH=，∴AE=2AH=；（2）延长AD、BE交于点M，∵∠A=90°，1AD=，BD=2，∴sin∠ABD=12 ADBD=，∴∠ABD=30°，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，∵点E是CD的中点，∴BE垂直平分CD，∴BC=BD=2，∴∠CBE=∠DBE=30°，∵∠A=∠ABC=90°，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠CBE=30°，∴AM=3tan 30AB =，∵AM ∥BC ，∴32AF AM CF BC ==，∴35AF AC =.【点睛】此题考查轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定及性质.23.如图，已知C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方形ACDE 和正方形CBGF ，点F 在CD 上，联结AF 、BD ，BD 与FG 交于点M ，点N 是边AC 上的一点，联结EN 交AF 与点H ．（1）求证：AF=BD ；（2）如果AN GM AC GF=，求证：AF EN ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据SAS 证明△ACF ≌△DCB 即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到AE=AC ，GF=GB ，由AN GM AC GF=证得AN GM AE GB =得到△EAN ∽△BGM ，再证明△MBG ∽△BDC ，由△BDC ≌△FAC ，得到△EAN ∽△ACF ，推出∠CAF+∠ANE=90°，即可得到结论.【详解】（1）在正方形ACDE 和正方形CBGF 中，AC=CD ，CF=CB ，∠ACD=∠BCD=90°，∴△ACF ≌△DCB ，∴AF=BD ；（2）在正方形ACDE 和正方形CBGF 中，AE=AC ，GF=GB ，∵AN GM AC GF=，∴AN GM AE GB =，∵∠EAN=∠G=90°，∴△EAN ∽△BGM ，∵CD ∥BG ，∴∠CDB=∠MBG ，∵∠DCB=∠G=90°，∴△MBG ∽△BDC ，∵△BDC ≌△FAC ，∴△EAN ∽△ACF ，∴∠AEN=∠CAF ，∵∠AEN+∠ANE=90°，∴∠CAF+∠ANE=90°，∴∠AHN=90°，∴AF EN ⊥.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质.24.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =-++经过点3,0A （）和()0,3B ，其顶点为C ．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）我们把坐标为（n ，m ）的点叫做坐标为（m ，n ）的点的反射点，已知点M 在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M 的坐标；（3）点P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA=∠ACB ，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++，顶点C 的坐标为：（1,4）；（2）点M 的坐标为（13+1）或（131）；（3）点P 的坐标为（51336+，513318+）.【解析】【分析】（1）将点3,0A （）和()0,3B 代入2y x bx c =-++即可求出；（2）设点M 的坐标为（n ，m ），则其反射点的坐标为（m ，n ），根据点M 的反射点在抛物线的对称轴上得到m=1，即M(n ，1)，将点M 坐标代入解析式求出n 即可得到坐标；（3）根据点3,0A （）和()0,3B 求出AB=32C 作CM ⊥y 轴与M ，根据C(1，4)，求出CM=BM=1，推出∠ABC=90°，2BC =，设点P 的坐标为（x ，223x x -++），过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则∠OFP=∠ABC=90°，证明△POF ∽△CAB ，列关系式求出x 即可得到点P 的坐标.【详解】（1）将点3,0A （）和()0,3B 代入2y x bx c =-++得9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴2y x 2x 3=-++=2(1)4x --+，∴顶点C 的坐标为：（1,4）；（2）设点M 的坐标为（n ，m ），则其反射点的坐标为（m ，n ），∵点M 的反射点在抛物线的对称轴上，∴m=1，即M(n ，1)，代入2y x 2x 3=-++中，得2231n n -++=，∴1n =±，∴点M 的坐标为（11）或（11）；（3）∵点3,0A （）和()0,3B ，∴OA=OB=3，∴AB=∴∠ABO=∠BAO=45°，过点C 作CM ⊥y 轴与M ，∵C(1，4)，∴CM=BM=1，∴∠CBM=∠BCM=45°，∴∠ABC=90°，∴BC =设点P 的坐标为（x ，223x x -++），过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则∠OFP=∠ABC=90°，∵∠POA=∠ACB ，∴△POF ∽△CAB ，∴OF AB PF BC=,2=解得x=56或x=56（不合题意，舍去），∴223x x -++=518+，∴点P 的坐标为（51336+，513318+）.【点睛】此题考查待定系数法，求函数的顶点坐标，根据解析式求出点的坐标，相似三角形的性质及判定，勾股定理，是一道二次函数的综合题.25.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC =6，BC =8，P 是线段BC 上任意一点，以点P 为圆心PB 为半径的圆与线段AB 相交于点Q （点Q 与点A 、B 不重合），∠CPQ 的角平分线与AC 相交于点D ．（1）如果DQ =PB ，求证：四边形BQDP 是平行四边形；（2）设PB =x ，△DPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ADQ 是以DQ 为腰的等腰三角形，求PB 的长．【答案】（1）见解析；（2）23253(0)84y x x x =-+<<；（3）4或40089或20047【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠CPD=∠QPD ，由DQ=PB=PQ 得到∠QDP=∠QPD 推出DQ ∥BP ，再根据DQ=BP 推出四边形BQDP 是平行四边形；（2）先根据勾股定理求出AB=10，过点P 作PH ⊥AB 于H ，证明△BHP ∽△BCA ，求出BH=45x ，HP=35x ，根据同位角相等证明PD ∥AB 得到CD=3(8)4x -，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，利用三角函数求出QE=4832(10)85525x x -=-，再根据ABC ADQ PCD BPD y S S S S =--- 即可求出函数解析式，根据图形中各边都大于0得到不等式组求出x 的取值范围；（3）设PB=a ，过点P 作PH ⊥AB ，由（2）可知BQ=85a ，则AQ=10-85a ，分三种情况：①当AD=DQ 时，②当AQ=DQ 时，③当AD=AQ=10-85a 时，分别求出a 即可.【详解】（1）∵∠CPQ 的角平分线与AC 相交于点D ，∴∠CPD=∠QPD ，∵DQ=PB=PQ ，∴∠QDP=∠QPD ，∴∠QDP=∠CPD ，∴DQ ∥BP ，∵DQ=BP ，∴四边形BQDP 是平行四边形；（2）∵∠C=90°，AC =6，BC =8，∴AB=10，过点P 作PH ⊥AB 于H ，∴∠BHP=∠C=90°，∵∠B=∠B ，∴△BHP ∽△BCA ，∴BP BH HP AB BC AC ==，∴1086x BH HP ==，∴BH=45x ，HP=35x ，∴BQ=2BH=85x ，∵PB=PQ ，∴∠B=∠BQP ，∵∠CPQ=2∠CPD=∠B+∠BQP ，∴∠CPQ=∠B ，∴PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =，∴886x CD -=，∴CD=3(8)4x -，∴336(8)44AD x x =--=，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，∵AQ=10-85x ，∴QE=4832(10)85525x x -=-，∴ABC ADQ PCD BPDy S S S S =--- =113321318368(8)(8)(8)2242524255x x x x x x ⨯⨯-⨯---⨯--⨯⨯=2338x x -+∵3(8)043280250x x x ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得2504x <<，∴23253(0)84y x x x =-+<<；（3）设PB=a ，过点P 作PH ⊥AB ，由（2）可知BQ=85a ，∴AQ=10-85a ，①当AD=DQ 时，如图，过点D 作DF ⊥AB 于F ，则AF=15245AQ a =-，∴5(54254)5333a AD a =--=，∴CD=254476()3333a a --=-，∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴4783386a a --=，解得a=4，②当AQ=DQ 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，∴AM=35AQ =3(10)585a -=24625a -，∴AD=2AM=481225a -，∴CD=6-AD=48625a -,∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴48682586a a --=,解得a=40089；③当AD=AQ=10-85a 时，则CD=6-AD=85a -4，∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴848586a a --=，解得a=20047.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，是一道较难的综合题，解题中注意分类讨论的解题方法的运用.。
2020年上海市奉贤区中考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市奉贤区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列计算错误的是()A. 2a2+3a2=5a4B. (3ab3)2=9a2b6C. (x2)3=x6D. a⋅a2=a32.下列四个等式：①√(−4)2=4；②(−√4)2=16；③(√4)2=4；④√(−4)2=−4，正确的是()A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③3.已知关于x的一元二次方程x2−2kx+6=0有两个相等的实数根，则k的值为()A. ±2√6B. ±√6C. 2或3D. √6或√34.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数x−(单位：分)及方差s2如表所示：甲乙丙丁x−7887s21 1.21 1.8如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形；乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断()A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误6. 如图，线段AD 、AE 、AF 分别是△ABC 的高线，角平分线，中线，比较线段AC 、AD 、AE 、AF 的长短，其中最短的是( )A. AFB. AEC. ADD. AC 二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：16a 2b 3÷(−2ab 2)=______．8. 要使代数式2x−1有意义，则实数x 的取值范围是________．9. 方程√2x −3=1的解是______．10. 二元一次方程3x +2y =15的正整数解为______．11. 一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6，连续投掷两次．记两次朝上的面上的数字分别为m 、n ，若把m 、n 分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则P(m,n)在双曲线y =12x 上的概率为______．12. 已知正比例函数y =kx(k ≠0)，点(2,−3)在这个函数的图象上，则y 随x 的增大而________(填“增大”或“减小”)．13. 为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的收费标准如下表：行驶公里范围收费标准 3公里以内(含3公里) 10元超过3公里且不超过15公里的部分 2元/公里超过15公里的部分 3元/公里小周要到离家10公里的博物馆参观，如果他乘坐纯电动出租车，那么需付车费______元．14. 如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为______．15.如图，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，若该校共有学生1000人，则根据此估计步行上学的有______人．16.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离约为______海里．(结果取整数，参考数据：√3≈1.7，√2≈1.4)17.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以D为圆心的圆，与线段AB有公共点，则圆的半径r的取值范围是______．18.如图，四边形ABCD中，AB=10，BD⊥AD，若将ΔBCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长是__________．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）)−219.计算：√81−20180−|−5|+(1220.先化简，再求值：(x+1x−2−1)÷x2−2xx2−4x+4，其中x=√3．21.已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2,5)在反比例函数y=kx的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．(1)求反比例函数解析式；(2)求△OAB的面积．22.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=√2，BD=3．(1)求sin∠ADB的值；(2)若DC=3，求BC的长．23.已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE//CD交AC的延长线于点E.(1)求证：BC=CE；(2)求证：ADBD =ACBC．24.已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1,0)，(0,32).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．25.已知：AB是⊙O直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，∠F=∠BAD；(1)求EF与AC的位置关系．(2)连接CE交⊙O于G，连接BD，若2∠CAE+∠DAG=∠ABD，求证：AC=CE．(3)在(2)的条件下，延长AB、EF交于K，EK=2AC，AK=10，△AEK的面积=18，求线段EK的长度．【答案与解析】1.答案：A解析：解：A、2a2+3a2=5a2，符合题意；B、(3ab3)2=9a2b6，正确，不合题意；C、(x2)3=x6，正确，不合题意；D、a⋅a2=a3，正确，不合题意；故选：A．直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．2.答案：D解析：解：①√(−4)2=√16=4，正确；②(−√4)2=(−1)2(√4)2=1×4=4≠16，不正确；③(√4)2=4符合二次根式的意义，正确；④√(−4)2=√16=4≠−4，不正确．①③正确．故选：D．本题考查的是二次根式的意义：①√a2=a(a≥0)，②( √a)2=a(a≥0)，逐一判断．运用二次根式的意义，判断等式是否成立．3.答案：B解析：解：根据题意得△=(−2k)2−4×6=0，解得k=±√6．故选：B．利用判别式的意义得到△=(−2k)2−4×6=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．4.答案：C解析：本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故选：C．5.答案：C解析：本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质．先证明△AOM≌△CON(ASA)，可得MO=NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACN，∵MN 是AC 的垂直平分线，∴AO =CO ，在△AOM 和△CON 中{∠MAO =∠NCO AO =CO ∠AOM =∠CON,∴△AOM≌△CON(ASA)，∴MO =NO ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∵AC ⊥MN ，∴四边形ANCM 是菱形；乙的作法正确；如图：∵AD//BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB=AF，AB=BE，∴AF=BE∵AF//BE，且AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABEF是菱形；故选C．6.答案：C解析：本题考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．根据垂线段的性质：垂线段最短可得答案．解：根据垂线段最短可得AD最短，故选C．7.答案：−8ab解析：此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．解：16a2b3÷(−2ab2)=−8ab．故答案为−8ab ．8.答案：x ≠1解析：本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不为0得出不等式是解题的关键，根据分母不为0分式有意义，可得答案．解：由题意得：x −1≠0，解得x ≠1．故答案为x ≠1．9.答案：x =2解析：解：√2x −3=1，两边平方得，2x −3=1，解得，x =2；经检验，x =2是方程的根；故答案为x =2．根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x 的值，然后，验根解答出即可．本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 10.答案：{x =1y =6、{x =3y =3解析：解：方程3x +2y =15变形，得：y =15−3x 2，当x =1时，y =6；当x =3时，y =3；∴方程3x +2y =15的正整数解为：{x =1y =6、{x =3y =3， 故答案为：{x =1y =6、{x =3y =3． 将x 看做已知数求出y ，即可确定出正整数解．此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．11.答案：19 解析：解：列表如下： 共有36种等可能的结果，其中有(2,6)、(6,2)、(3,4)，(4,3)在y =12x 图象上，所以P(m,n)在双曲线y =12x 上的概率=436=19． 故答案为19．先列表展示所有36种等可能的结果，利用反比例函数图象上点的坐标特点得到(2,6)、(6,2)、(3,4)，(4,3)在y =12x 图象上，然后根据概率的定义即可得到P(m,n)在双曲线y =12x 上的概率=436． 本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m ，再找出某事件所占有的可能数n ，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率=nm .也考查了反比例函数图象上点的坐标特点． 12.答案：减小解析：此题主要考查了正比例函数的性质，以及待定系数法确定正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数的性质．首先利用待定系数法确定正比例函数解析式，再根据正比例函数的性质：k >0时，y 随x 的增大而增大，k <0时，y 随x 的增大而减小确定答案．解：∵点(2,−3)在正比例函数y =kx(k ≠0)上，∴2k =−3，解得k =−32，∴正比例函数解析式是y =−32x ，∵k =−32<0，∴y 随x 的增大而减小，故答案为减小．13.答案：24解析：解：根据题意，知他乘坐纯电动出租车需付车费10+(10−3)×2=24(元)，故答案为：24．先根据表格中分段计费方法列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．14.答案：2a ⃗ +b ⃗解析：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD//BC ，AB =CD ，AB//CD ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +a ⃗ ，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +a ⃗ ，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +a ⃗ +a ⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，故答案为：2a ⃗ +b ⃗ ．利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.答案：400解析：解：∵骑车的学生所占的百分比是126360×100%=35%，∴步行的学生所占的百分比是1−10%−15%−35%=40%，∴若该校共有学生1000人，则据此估计步行的有1000×40%=400(人)．故答案为：400．先求出步行的学生所占的百分比，再用学生总数乘以步行学生所占的百分比即可估计全校步行上学的学生人数．本题考查了扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中得出步行上学学生所占的百分比．16.答案：95解析：解：过P作PD⊥AB，垂足为D，∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，∴∠MPA=∠PAD=60°，∴PD=AP⋅sin∠PAD=80×√32=40√3(海里)，∵∠BPD=45°，∴∠B=45°．在Rt△BDP中，由勾股定理，得BP=PDsinB =√3√22=40√3×√2≈95(海里)，故答案为：95．根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，从而知PD=AP⋅sin∠PAD=40√3，由∠BPD=∠PBD=45°根据BP=PDsinB，即可求出即可．此题主要考查了方向角含义、勾股定理的运用，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键．17.答案：3≤r≤5解析：解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD=√32+42=5．由图可知3≤r≤5．故答案为：3≤r≤5要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．18.答案：20．解析：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE=BE=12AB=5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为5×4=20．解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，∴DE=BE=12AB=5，由折叠可得，CB=BE，CD=ED，∴四边形BCDE的周长为5×4=20，故答案为20．19.答案：解：原式=9−1−5+22=7．解析：直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.答案：解：原式=(x+1x−2−x−2x−2)÷x(x−2)(x−2)2=3x−2⋅x−2x=3x，当x=√3时，原式=3=√3．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.答案：解：(1)∵点A(2,5)在反比例函数y=kx的图象上，∴k=2×5=10∴反比例函数解析式：y=10x，(2)∵点A在直线y=x+b上，∴5=2+b∴b=3∴一次函数解析式y=x+3，∵直线y=x+b交x轴于点B，∴点B(−3,0)，∴S△AOB=12×3×5=152．解析：(1)将点A坐标代入解析式可求解；(2)将点A坐标代入解析式可求一次函数解析式，可求点B坐标，即可求△OAB的面积．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是本题的关键．22.答案：解：(1)如图，过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△ABE中，∵∠A=45°，AB=√2，∴AE=BE=1，在Rt△BDE中，sin∠ADB=BEBD=1；(2)过点B作BF⊥DC于点F，则∠BFD=∠BED=∠ADC=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴DF=BE=1，BF=DE=√BD2−BE2=√32−12=2√2，∵DC=3，∴FC=2，则BC=√BF2+FC2=√(2√2)2+22=2√3．解析：本题主要考查解直角三角形，解题的关键是结合题意构建合适的直角三角形及直角三角形的有关性质与三角函数的定义．(1)作BE⊥AD，Rt△ABE中由∠A=45°，AB=√2知AE=BE=1，在Rt△BDE中，根据sin∠ADB= BE可得答案；(2)作BF⊥DC，证四边形BEDF是矩形得DF=BE=1，BF=DE=√BD2−BE2=2√2，结合DC= 3知FC=2，根据BC=√BF2+FC2可得答案．23.答案：证明：(1)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．又∵BE//CD，∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．∵∠ACD=∠BCD，∴∠CBE=∠CEB．∴BC=CE．(2)∵BE//CD，∴ADBD =ACCE，又∵BC =CE ， ∴AD BD =AC BC ． 解析：本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质．(1)根据CD 平分∠ACB ，可知∠ACD =∠BCD ；由BE//CD ，可求出△BCE 是等腰三角形，故BC =CE ；(2)根据平行线的性质，及BC =CE 可得出结论．24.答案：解：(1)把(1,0)，(0,32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32， 解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32；(2)抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2，其顶点恰好落在原点．解析：此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．(1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；(2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可． 25.答案：解：(1)如图1，延长FE ，AC 交于点H ，连接BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD=∠ABD，且∠F=∠BAD，∴∠HCD+∠F=90°，∴∠H=90°，∴AC⊥EF；(2)如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD=∠ABD，∵2∠CAE+∠DAG=∠ABD，且∠HCD=∠CAE+∠ADC，∴∠CAE+∠ADC=2∠CAE+∠DAG，∴∠ADC=∠CAE+∠DAG，且∠AGC=∠ADC，且∠AGC=∠AEC+∠GAD，∴∠CAE+∠DAG=∠GAD+∠AEC，∴∠AEC=∠CAE，∴AC=CE；(3)如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，∵∠H=∠AMK=90°，∠AEH=∠MEF，∴∠HAE=∠MKE，且∠HAE=∠CEA，∴∠CEA=∠MKE，∵PA⊥AE，∠HAE=∠CEA，∴∠CPA=∠CAP，∴PC=AC，且AC=CE，∴PE=2AC，且EK=2AC，∴PE=EK，且∠PAE=∠KME=90°，∠CEA=∠MKE，∴△PAE≌△EMK(AAS)∴AE=MK，∵AK=10，△AEK的面积=18，∴12AK×EN=12×10×EN=18，12AE×MK=12×AE2=18，∴EN=185，AE=6，∴AN=√AE2−EN2=√36−32425=245，∴KN=AK−AN=265，∴EK=√EN2+NK2=√32425+67625=2√10．解析：(1)如图1，延长FE，AC交于点H，连接BD，由圆周角定理可求∠DAB+∠ABD=90°，由圆的内接四边形的性质可得∠HCD=∠ABD，可求∠H=90°，可得AC⊥EF；(2)如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，由圆的内接四边形的性质可得∠HCD=∠ABD，由角的数量关系可求∠AEC=∠CAE，可得AC=CE；(3)如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，由“AAS”可证△PAE≌△EMK，可得AE=MK，由三角形面积公式可求EN=185，AE=6，由勾股定理可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
2020年上海市静安区中考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. √12B. √0.2C. √8D. √192. 光速约为300 000千米/秒，将数字300000用科学记数法表示为( )A. 3×104B. 3×105C. 3×106D. 30×1043. 如果关于x 的方程kx 2−2x −1=0有两个实数根，那么k 的取值范围是( )A. k ≥−1且k ≠0B. k >−1且k ≠0C. k ≥1D. k >14. 一组数据：−1、0、1、2、3，则平均数和中位数分别是( ) A. 1，0 B. 2，1 C. 1，2 D. 1，15. 已知平行四边形ABCD ，AC ，BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是( )A. ∠BAC =∠DCAB. ∠BAC =∠DACC. ∠BAC =∠ABDD. ∠BAC =∠ADB6. 如图，把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到△EDC ，若∠A =35°，则∠ADE 为( )A. 35°B. 55°C. 135°D. 125°二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：a 3÷a =______．8. 因式分解：9−x 2= ．9. 不等式组{x −2>−32(x −2)≥3x −6的解集是______． 10. 方程√x +1=3的根是x =______．11. 反比例函数y =kx (k >0)的图象经过点(1,y 1)、(3,y 2)，则y 1_______y 2．12. 六张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、正方形、矩形、平行四边形、圆、菱形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______．13. 某校为了解九年级学生的体能情况，随机抽取了30名学生进行1分钟仰卧起坐测试，统计结果并绘制成如图所示的频数分布直方图。
上海市浦东新区2020年中考数学二模试卷含答案解析
上海市浦东新区2020年中考数学二模试卷(解析版)一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2020的相反数是（）A．B．﹣2020 C．﹣D．20202．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣14．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，156．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|=．8．不等式x﹣1＜2的解集是．9．分解因式：8﹣2x2=．10．计算：3（）+2（﹣2）=．11．方程的根是．12．已知函数f（x）=，那么f（）=．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为米．14．正八边形的中心角等于度．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin45°﹣20200++（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2020的相反数是（）A．B．﹣2020 C．﹣D．2020【考点】相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：2020的相反数是﹣2020．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=3，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=3，c=2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣1【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质．【分析】分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论．【解答】解：A、y=﹣中k=﹣1＜0，∴函数y=﹣的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大；B、y=x2﹣1中a=1＞0，∴函数y=x2﹣1的图象在第二、三象限内y随着x的增大而减小，在第一、四象限内y随着x的增大而增大；C、y=﹣中k=1＞0，∴函数y=的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小；D、y=﹣x﹣1中k=﹣1＜0，b=﹣1＜0，∴函数y=﹣x﹣1的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是逐项分析四个选项的增减性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各函数的性质及各函数的图象是解题的关键．4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况，∴这个两位数是素数的概率为：=．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15【考点】众数；折线统计图；中位数．【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数．【解答】解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，故中位数为14℃．故选C．【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．6．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的重心．【分析】延长AM交BC于点D，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设AM=2x，则DM=x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：延长AM交BC于点D，∵△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC．设AM=2x，则DM=x，∴AD=3x，∴AB===2x．∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴△ABC∽△AMN，∴=（）2=（）2=．故选B．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|=．【考点】有理数的减法；绝对值．【分析】首先根据有理数的减法法则，求出﹣1的值是多少；然后根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出|﹣1|的值是多少即可．【解答】解：|﹣1|=|﹣|=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a 是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．8．不等式x﹣1＜2的解集是x＜3．【考点】解一元一次不等式．【分析】解不等式x﹣1＜2，即可得到不等式x﹣1＜2的解集，本题得以解决．【解答】解：x﹣1＜2两边同时加1，得x﹣1+1＜2+1x＜3，故答案为：x＜3．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是会解一元一次不等式的方法．9．分解因式：8﹣2x2=2（2+x）（2﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x）（2﹣x）．故答案为：2（2+x）（2﹣x）．【点评】本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．10．计算：3（）+2（﹣2）=﹣﹣．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：3（）+2（﹣2）=3﹣3+2﹣4=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．11．方程的根是x=﹣4．【考点】无理方程．【分析】9的算术平方根是3，故5﹣x=9，x=﹣4．【解答】解：因为算术平方根的被开方数是非负数，根据题意可得，5﹣x=9，解得：x=﹣4．故本题答案为：x=﹣4．【点评】记准算术平方根的被开方数是非负数这一要求，是解决这类问题的关键．12．已知函数f（x）=，那么f（）=3．【考点】函数值．【分析】将x=代入计算即可．【解答】解：f（）====3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为18米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡角的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：∵传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，∴可得：BC=9m，则=，解得：AC=9，则AB===18（m）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了坡角的定义，根据题意得出AC的长是解题关键．14．正八边形的中心角等于45度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是720．【考点】条形统计图；用样本估计总体．【分析】用所有学生数乘以样本中课外阅读时间不少于6小时的人数所占的百分比即可．【解答】解：估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是：1200×=720（人），故答案为：720．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于6小时的人数所占的百分比．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为1或5．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由于⊙O1与⊙O2相切，则分两圆内切和外切讨论得到R+2=3或R﹣2=3，然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2相切，∴R+2=3或R﹣2=3，∴R=1或R=5．故答案为1或5．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R ﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=4．【考点】解二元一次方程组；有理数的混合运算．【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b 的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，则1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：4【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AD=x，再根据折叠的性质得∠PDE=∠ADE=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，于是可判断点P在边AC上，所以PC=20﹣2x，然后利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则∠A=∠3，则可判断Rt△BCP∽Rt△ABC，利用相似比可计算出x．【解答】解：如图，设AD=x，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，∴AB=25，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE翻折得到△PDE，∴∠PED=∠AED=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，∴CD=20﹣x，∵∠CPD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，∴∠2=∠B，∴PC=BC=15，∵CD2=CP2+PD2，即（20﹣x）2=152+x2，∴x=，∴AD=．故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2020•浦东新区二模）计算：2sin45°﹣20200++（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣1+2+2=1+3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2020•浦东新区二模）解方程：．【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．【分析】本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）2=8，x2﹣2x+x2+4x+4=8，整理得x2+x﹣2=0．解得x1=﹣2，x2=1．经检验，x2=1为原方程的根，x1=﹣2是增根（舍去）．∴原方程的根是x=1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．21．（10分）（2020•浦东新区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．【考点】垂径定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，应用直角三角形的性质和三角函数的求法，求出AD 的长度是多少；然后应用垂径定理，求出弦AB的长是多少即可．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于D，，∵OA2+OC2=AC2，∴AC2=42+32=25，∴AC=5．在Rt△AOC中，cos∠OAC==，在Rt△ADO中，cos∠OAD=，∴==，∴AD=×4=．∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2×=．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，直角三角形的性质和三角函数的求法，要熟练掌握．22．（10分）（2020•浦东新区二模）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接利用每吨的成本×生产吨数=总成本为210万元，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设函数解析式为：y=kx+b，将（0，10），（40，6）分别代入y=kx+b 得：，解得：，所以y=﹣x+10（0≤x≤40）；（2）由（﹣x+10）x=210，解得：x1=30，x2=70，由于0≤x≤40，所以x=30，答：该产品的生产数量是30吨．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用待定系数法求出一次函数解析式是解题关键．23．（12分）（2020•浦东新区二模）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得，即：=，可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECA=∠D，∴∠ECA=∠B，∵∠E=∠E，∴△EAC∽△ECB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即：CD∥AE∴，∵DF=AF∴CD=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AE=AB，∴BE=2AE，∵△EAC∽△ECB，∴，∴，即：=，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．24．（12分）（2020•浦东新区二模）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把B（3，6）代入y=ax2﹣4ax+2，求出a的值，得到二次函数的解析式，进而求出点A的坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC=2，AB=5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，再求出CH=，AH=，根据正切函数定义即可求出∠CAB 的正切值；（3）由AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7），设P（x，0）根据PB=PB1，分B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）两种情况利用勾股定理求得x值．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象过点B（3，6），∴6=9a﹣12a+2，解得a=﹣，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2，∵二次函数y=﹣x2+x+2的图象与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣2）2+，∴对称轴为直线x=2，∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC=2，AB==5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=，BH=，AH=，∴tan∠CAB==；（3）由题意，AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）．设P（x，0）．①如果点B1（0，7），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+72，解得x=﹣，即P（﹣，0）；②如果点B1′（0，﹣3），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+32，解得x=6，即P（6，0）；综上所述，所求点P的坐标为（﹣，0）或（6，0）．【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等，求二次函数解析式是基础，构建直角三角形求三角函数值是基本做法，通过勾股定理得出点坐标间联系是关键．25．（14分）（2020•浦东新区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD=5，∵DEFG为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得，DE=，∵△ADE∽△FGB，∴=，则BG=，∴EF=DG=AB﹣AD﹣BG=；（2）如图2，作DH⊥AC于H，∴DH∥BC，又AD=DB，∴DH=BC=3，∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，∴△DHE∽△ECF，∴==，∴EC=2DH=6，EH=x﹣6，∴DE2=32+（x﹣6）2=x2﹣6x+45，∴y=DE•EF=2DE2=x2﹣12x+90，（3）如图3，当点G在边BC上时，∵，DE=3，∴EF=，∴AC=9，如图4，当点G在边AB上时，设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，∵△ADE∽△FGB，∴=，即=，整理得，a2﹣3ab﹣4b2=0，解得，a=4b，a=﹣b（舍去），∴AD=2DE，∵△ADE∽△ACB，∴AC=2BC=12，综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．【点评】本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．。
2020年上海市崇明区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年中考数学二模试卷一、选择题1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（）A．2﹣a＞2﹣b B．2+a＞2+b C．ab＞b2D．a2＞b23．已知一次函数y＝（m﹣3）x+6+2m，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为（）A．m＜3B．m＞3C．m＜﹣3D．m＞﹣34．下列说法正确的是（）A．了解我区居民知晓“创建文明城区”的情况，适合全面调查B．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳高成绩比甲稳定C．一组数据2、2、3、4的众数是2，中位数是2.5D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生5．如果一个正多边形的外角是锐角，且它的余弦值是，那么它是（）A．等边三角形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形6．下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：（3a3）2＝．8．因式分解：a3﹣9a＝．9．方程＝x的根是．10．如果方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．11．分别写有数字、﹣1、、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是．12．将抛物线y＝x2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线你的解析式为．13．已知点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．14．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，那么扇形图中表示C的圆心角的度数为度．成绩等级频数分布表成绩等级频数A24B10C xD215．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1＝145°，那么∠2的度数是．17．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．如果AA'＝1，那么A'D的长为．18．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函数y＝在第一象限内的图象分别与线段AB、BC交于点F、E，连接EF．如果点B关于EF的对称点恰好落在OA边上．那么k的值为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：（）2+（﹣）0﹣12+2（tan60°﹣1）﹣120．解方程组：21．如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB与点D，CD ＝1．（1）求圆⊙O的半径；（2）过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG 交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．22．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为千米．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．23．如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于E，联结HO并延长交CD于点G，（1）求证：∠DHO＝∠BCD；（2）求证：HG•AE＝2DE•CG．24．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．25．如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．（1）求证：△HDO≌△EAO；（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断．解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；B、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、是最简二次根式；故选：D．2．如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（）A．2﹣a＞2﹣b B．2+a＞2+b C．ab＞b2D．a2＞b2【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．解：A、∵a＞b，∴2﹣a＜2﹣b，故本选项错误，不符合题意；B、∵a＞b，∴2+a＞2+b，故本选项正确，符合题意；C、∵a＞b，∴当b＞0时，ab＞b2，当b＜0时，ab＜b2，不能判断ab和b2的大小，故本选项错误，不符合题意；D、∵a＞b，不能判断a2和b2的大小，故本选项错误，不符合题意；故选：B．3．已知一次函数y＝（m﹣3）x+6+2m，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为（）A．m＜3B．m＞3C．m＜﹣3D．m＞﹣3【分析】根据一次函数的性质得到关于m的不等式，求解集即可．解：根据题意，得：m﹣3＜0，解得：m＜3，故选：A．4．下列说法正确的是（）A．了解我区居民知晓“创建文明城区”的情况，适合全面调查B．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳高成绩比甲稳定C．一组数据2、2、3、4的众数是2，中位数是2.5D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生【分析】直接利用方差的意义以及概率的意义、全面调查和抽样调查分别分析得出答案．解：A、了解我区居民知晓“创建文明城区”的情况，适合抽样调查，故原说法错误；B、甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳高成绩比乙稳定，故原说法错误；C、一组数据2、2、3、4的众数是2，中位数是2.5，正确；D、可能性是1%的事件在一次试验中也有可能发生，故原说法错误；故选：C．5．如果一个正多边形的外角是锐角，且它的余弦值是，那么它是（）A．等边三角形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．解：∵一个外角为锐角，且其余弦值为，∴这个一个外角＝30°，∴360÷30＝12．故它是正十二边形．故选：D．6．下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D错误；故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：（3a3）2＝9a6．【分析】利用积的乘方的性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，首先计算积的乘方，再利用幂的乘方乘方性质：底数不变，指数相乘，计算（a3）2可得答案．解：（3a3）2＝32•（a3）2＝9•a3×2＝9a6．故答案为：9a6．8．因式分解：a3﹣9a＝a（a+3）（a﹣3）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝a（a2﹣9）＝a（a+3）（a﹣3），故答案为：a（a+3）（a﹣3）．9．方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．10．如果方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是m＞9．【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＜0，解得m＞9．故选B．11．分别写有数字、﹣1、、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是．【分析】直接利用概率公式计算可得．解：∵在、﹣1、、0、π中无理数有、π这2个，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是，故答案为：．12．将抛物线y＝x2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线你的解析式为y＝x2﹣6x+13．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：抛物线y＝x2+2向右平移3个单位后的解析式为：y＝（x﹣3）2+2．再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+2+2，即y＝x2﹣6x+13．故答案是：y＝x2﹣6x+13．13．已知点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么向量用向量、表示为（+）．【分析】如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．求出，证明AG＝AH 即可解决问题．解：如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．∵AE＝EH，BE＝EC，∴四边形ABHC是平行四边形，∴AC＝BH，AC∥BH，∵＝+＝+，∵G是重心，∴AG＝AE，∵AE＝EH，∴AG＝AH，∴＝（+）．14．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，那么扇形图中表示C的圆心角的度数为36度．成绩等级频数分布表成绩等级频数A24B10C xD2【分析】先由B等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数x，最后用360°乘以C等级人数所占比例即可得．解：∵被调查的总人数为10÷25%＝40（人），∴C等级人数x＝40﹣（24+10+2）＝4（人），则扇形图中表示C的圆心角的度数为360°×＝36°，故答案为：36．15．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是2000元．【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．解：设这种商品的进价是x元，由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．解得：x＝2000，故答案为200016．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1＝145°，那么∠2的度数是40°．【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，∴∠ACB＝75°，在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，∵a∥b，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝115°﹣75°＝40°．故答案为：40°．17．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．如果AA'＝1，那么A'D的长为3．【分析】先证明△DA′E∽△DAB，再利用相似三角形的性质求得A'D便可．解：如图，∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝4.5，S△ABD＝S△ABC＝8，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则，即，解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），故答案为3．18．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函数y＝在第一象限内的图象分别与线段AB、BC交于点F、E，连接EF．如果点B关于EF的对称点恰好落在OA边上．那么k的值为12．【分析】根据A（8，0），B（8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点F的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点F的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AD的长，然后把问题转化到三角形ADF 中，由勾股定理建立方程求出k的值．解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于EF的对称点为D，连接DF、ED、BD，如图所示：则△BEF≌△DEF，∴BD＝DF，BE＝DE，∠FDE＝∠FBE＝90°，∴∠EDG+∠ADF＝∠ADF+∠AFD，∴∠EDG＝∠AFD，∵∠EGD＝∠DAF，∴△ADF∽△GED，∴＝，∴AD：EG＝BD：BE，∵A（8，0），B（8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵E、F在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、F（8，）∴OG＝EC＝，AF＝，∴BF＝4﹣，BE＝8﹣，∴＝＝＝＝，∴AD＝EG＝2，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：22+（）2＝（4﹣）2解得：k＝12，故答案为12．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：（）2+（﹣）0﹣12+2（tan60°﹣1）﹣1【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝2+1﹣2+2×（﹣1）﹣1＝2+1﹣2+2×＝2+1﹣2++1＝．20．解方程组：【分析】先对x2﹣3xy+2y2＝0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．解：将方程x2﹣3xy+2y2＝0 的左边因式分解，得x﹣2y＝0或x﹣y＝0，原方程组可以化为或，解这两个方程组得或，所以原方程组的解是．21．如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB与点D，CD ＝1．（1）求圆⊙O的半径；（2）过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG 交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．【分析】（1）根据题意和垂径定理，可知∠ODA＝90°，AD＝3，设OA＝r，则OD＝r﹣1，然后根据勾股定理即可得到r的长；（2）根据AB＝EF，可知OD＝OH，然后平行四边形的判定和性质，可以得到OG的长，从而可以求得sin∠OGE的值．解：（1）∵AB＝6，C是的中点，CD＝1，∴OC⊥AB且OC平分AB，∴AD＝3，∠ODA＝90°，设OA＝r，则OD＝r﹣1，∴r2＝32+（r﹣1）2，解得，r＝5，即圆⊙O的半径为5；（2）作OH⊥EF于点H，∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4，∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°，∵OA∥BG，OG∥AB，∴四边形OABG是平行四边形，∴OG＝AB，∵AB＝6，∴OG＝6，∴sin∠OGH＝＝＝，即sin∠OGE＝．22．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为150千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为6千米．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝160代入即可求出当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：（千米），故答案为：150；6．（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，得，解得，∴y＝﹣0.5x+110，当x＝160时，y＝﹣0.5×160+110＝30，答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时．23．如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于E，联结HO并延长交CD于点G，（1）求证：∠DHO＝∠BCD；（2）求证：HG•AE＝2DE•CG．【分析】（1）先判断出OB＝OD，进而判断出OH＝OD，得出∠DHO＝∠BDH，再用等角的余角相等判断出∠DHO＝∠BAO，即可得出结论；（2）先判断出∠ADH＝∠COG，进而判断出△ADE∽△COG，得出AE•OG＝DE•CG，再判断出△AOH≌△COG，得出OG＝HG，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠BCD＝∠BAD＝2∠BAO，∵点O是菱形ABCD的两条对角线的交点，∴OB＝OD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝OD，∴∠DHO＝∠BDH，在Rt△BHD中，∠BDH+∠ABO＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠BDH＝∠BAO，∴∠DHO＝∠BAO，∴∠BCD＝2∠DHO，∴∠DHO＝∠BCD；（2）由（1）知，∠DHB＝∠BAO，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴OA＝OC，∠DAO＝∠BAO，∴∠DHB＝∠DAO，∵∠AED＝∠HEO，∴∠AOH＝∠ADE，∵∠AOH＝∠COG，∴∠ADH＝∠COG，∵∠DAE＝∠OCG，∴△ADE∽△COG，∴，∴AE•OG＝DE•CG，在△AOH和△COG中，，∴△AOH≌△COG（SAS），∴OH＝OG，∴OG＝HG，∴AE•HG＝DE•CG，∴HG•AE＝2DE•CG．24．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，根据﹣4a＝﹣4，可得a＝1，由此即可解决问题．（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．根据S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC ＝4S△AOC，构建方程求出m即可解决问题．（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF＝AE＝1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴．（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4整理得：m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，∴D（2，﹣6）．（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，∵DF∥AE，D（2，﹣6）∴F（1，﹣6），∴DF＝1，∴AE＝1，∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，∵点D与点F到x轴的距离相等，∴点F的纵坐标为6，当y＝6时，6＝x2﹣3x﹣4，解得x＝﹣2或5，∴F（﹣2，6）或（5，6），设E（n，0），则有＝或＝，解得n＝1或8，∴E（1，0）或（8，0），，综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．25．如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．（1）求证：△HDO≌△EAO；（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，AO＝OD，∠EOH＝90°，OE＝OH，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，根据等腰直角三角形的性质得到AN＝BN＝ON＝AB＝2，根据勾股定理得到OF＝＝＝，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P③当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴这种情况不存在；②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠PAE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．。