线性代数 5-3 第5章3讲-相似矩阵(1)
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注 (1) 反身性; (2) 对称性; (3) 传递性. 性质5.5 (1) 若A ~ B，则AT ~ BT；
(2) 若A ~ B，设f (x)am xm am1xm1 a1 x a0，则f ( A) ~ f (B；) (3) 若A ~ B，且A可逆，则B也可逆，且A1 ~ B1.
3
一、相似矩阵的定义及性质
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第三讲 相似矩阵(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 相似矩阵的定义及性质 02 方阵的相似对角化(1)
一、相似矩阵的定义及性质
定义5.3 设A 与B 都是n 阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵 A与B相似，记作A ~ B. 可逆矩阵P 称为相似变换矩阵.
定理5.2 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同.
6
一、相似矩阵的定义及性质
例3 设A，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是
(A) AT 与BT 相似 (C) A AT 与B BT 相似
(B) A1与B-1相似 (D) A A1与B B1相似
解 选项(A)正确 由A 与B 相似得 P1AP B，
定理5.2 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同.
证 A ~ B，则存在可逆矩阵P，使得P1AP B
B E P1AP E P1AP P1EP P1( A E)P
| P1 | | A E | | P | A E
推论1 若A与B 相似，则A 与B 的特征值相同，进而A 与B 的行列式相等.
5
一、相似矩阵的定义及性质
例2 若A与B相似，则
(A) E A E B
(C) A* B*
(B) E A E B
(D) A1 B1
解 选项(B)：由A与B相似得 P1AP B，
B
则P1( A)P B，这说明 A与 B相似.
根据定理5.2得 E ( A) E (B) ， 即 E A E B .
则有：AP ( AP1, AP2 , , APn ) (1P1, 2P2 , , nPn )
1
(P1, P2 ,
,
Pn
)
2
P
n
当P可逆时，有P1AP .
故得结论 A ~ P可逆 P1, P2, , Pn线性无关.
11
二、方阵的相似对角化(1)
定义5.4 n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.
2 0 0 例4 判断A 1 3 1 能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵P，
1 0 1 使P1AP 为对角阵.
2 0 0
解 AE 1
1
3 1 (2 )(3 )(1 ) 0 1
1 1, 2 2, 3 3 A~
1
对1 1，A E 1
1
0 2 0
0 1 1 0 0 0
使用排除法得选项(C) 错误.
C
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本讲内容
01 相似矩阵的定义及性质 02 方阵的相似对角化(1)
二、方阵的相似对角化(1)
定义5.4 若方阵A 能与一个对角阵相似，则称A 可以相似对角化.
设A与对角阵相似 存在一个n 阶可逆阵P，使P1AP .
1
设P (P1, P2 ,
,
Pn
)，
2
推论1 如果n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.
推论2
n 阶方阵A 可对角化的充要条件是对应于A 的每个特征值的线性无关的特征 向量的个数恰好等于该特征值的重数.
即设i是方阵A 的ki重根，则A 与对角阵 相似，当且仅当r( A iE) n ki.
12
二、方阵的相似对角化(1)
对3 3，求得特征向量为3 (0,1, 0)T .
0 1 0
1 0 0
P (1,2 ,3 ) 1 0 1 P1 AP 0 2 0 .
2 1 0
0 0 3
14
二、方阵的相似对角化(1)
矩阵相似对角化的步骤：
(1) 求出A 的所有特征值1, 2, , n，若1, 2, , n互异，则A 与对角阵相似； 若1, 2 , , n中互异的为1, 2 , , m，每个i的重数为ki，当r( A i E) n ki时，
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n
P1AP AP P
AP A(P1, P2 , , Pn ) ( AP1, AP2 , , APn )
9
二、方阵的相似对角化(1)
AP P
1
AP ( AP1, AP2 ,
, APn ) (P1, P2 ,
,
Pn
)
2
(1P1, 2 P2 ,
n
, n Pn )
APi i Pi ,i 1, 2, , n. （Pi是否为特征向量？）
0 2 0
0 1， 0
同解方程组
2x1x2
0
x3
求得特征向量为1 (0,1, 2)T；
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二、方阵的相似对角化(1)
2 0 0 判断A 1 3 1 能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵P，
1 0 1
使P1AP 为对角阵.
对1 1，求得特征向量为1 (0,1, 2)T；
对2 2，求得特征向量为2 (1, 0,1)T；
P 0 P1, P2, , Pn为非零向量，且线性无关
1, 2 , , n是特征值； P1, P2 , , Pn是特征向量
10
二、方阵的相似对角化(1)
反之，设1, 2 , , n是A 的特征值，对应的特征向量为P1, P2, , Pn.
1
设P (P1, P2 ,
,
Pn
)，
2
,
n
注 逆命题不成立.
推论1
1
若n 阶矩阵A与对角阵
2
相似，则1,
2
,
n
, n 是A 的全部n 个特征值.
4
一、相似矩阵的定义及性质
例1 两个矩阵如果是等价，它们是否相似？反之，如果它们相似，是否 等价？哪些矩阵与单位矩阵等价？哪些矩阵与单位矩阵相似？
解 等价不一定相似，但相似一定等价； 满秩矩阵都与单位矩阵等价； 只有单位矩阵与单位矩阵相似.
等式两端同时取转置得 (P1AP)T PT AT (PT )1 BT，说明AT 与BT 相似；
选项(B)正确 由A 与B 相似得 P1AP B，
等式两端同时取逆得 (P1AP)1 P1A1P B1，说明A1与B-1 相似；
选项(D)正确 由 P1AP B，P1A1P B1
两式相加得 P1( A A1)P B B1，说明 A A1与B B1 相似；
(2) 若A ~ B，设f (x)am xm am1xm1 a1 x a0，则f ( A) ~ f (B；) (3) 若A ~ B，且A可逆，则B也可逆，且A1 ~ B1.
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一、相似矩阵的定义及性质
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第三讲 相似矩阵(1)
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本讲内容
01 相似矩阵的定义及性质 02 方阵的相似对角化(1)
一、相似矩阵的定义及性质
定义5.3 设A 与B 都是n 阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵 A与B相似，记作A ~ B. 可逆矩阵P 称为相似变换矩阵.
定理5.2 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同.
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一、相似矩阵的定义及性质
例3 设A，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是
(A) AT 与BT 相似 (C) A AT 与B BT 相似
(B) A1与B-1相似 (D) A A1与B B1相似
解 选项(A)正确 由A 与B 相似得 P1AP B，
定理5.2 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同.
证 A ~ B，则存在可逆矩阵P，使得P1AP B
B E P1AP E P1AP P1EP P1( A E)P
| P1 | | A E | | P | A E
推论1 若A与B 相似，则A 与B 的特征值相同，进而A 与B 的行列式相等.
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一、相似矩阵的定义及性质
例2 若A与B相似，则
(A) E A E B
(C) A* B*
(B) E A E B
(D) A1 B1
解 选项(B)：由A与B相似得 P1AP B，
B
则P1( A)P B，这说明 A与 B相似.
根据定理5.2得 E ( A) E (B) ， 即 E A E B .
则有：AP ( AP1, AP2 , , APn ) (1P1, 2P2 , , nPn )
1
(P1, P2 ,
,
Pn
)
2
P
n
当P可逆时，有P1AP .
故得结论 A ~ P可逆 P1, P2, , Pn线性无关.
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二、方阵的相似对角化(1)
定义5.4 n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.
2 0 0 例4 判断A 1 3 1 能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵P，
1 0 1 使P1AP 为对角阵.
2 0 0
解 AE 1
1
3 1 (2 )(3 )(1 ) 0 1
1 1, 2 2, 3 3 A~
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对1 1，A E 1
1
0 2 0
0 1 1 0 0 0
使用排除法得选项(C) 错误.
C
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本讲内容
01 相似矩阵的定义及性质 02 方阵的相似对角化(1)
二、方阵的相似对角化(1)
定义5.4 若方阵A 能与一个对角阵相似，则称A 可以相似对角化.
设A与对角阵相似 存在一个n 阶可逆阵P，使P1AP .
1
设P (P1, P2 ,
,
Pn
)，
2
推论1 如果n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.
推论2
n 阶方阵A 可对角化的充要条件是对应于A 的每个特征值的线性无关的特征 向量的个数恰好等于该特征值的重数.
即设i是方阵A 的ki重根，则A 与对角阵 相似，当且仅当r( A iE) n ki.
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二、方阵的相似对角化(1)
对3 3，求得特征向量为3 (0,1, 0)T .
0 1 0
1 0 0
P (1,2 ,3 ) 1 0 1 P1 AP 0 2 0 .
2 1 0
0 0 3
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二、方阵的相似对角化(1)
矩阵相似对角化的步骤：
(1) 求出A 的所有特征值1, 2, , n，若1, 2, , n互异，则A 与对角阵相似； 若1, 2 , , n中互异的为1, 2 , , m，每个i的重数为ki，当r( A i E) n ki时，
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P1AP AP P
AP A(P1, P2 , , Pn ) ( AP1, AP2 , , APn )
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二、方阵的相似对角化(1)
AP P
1
AP ( AP1, AP2 ,
, APn ) (P1, P2 ,
,
Pn
)
2
(1P1, 2 P2 ,
n
, n Pn )
APi i Pi ,i 1, 2, , n. （Pi是否为特征向量？）
0 2 0
0 1， 0
同解方程组
2x1x2
0
x3
求得特征向量为1 (0,1, 2)T；
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二、方阵的相似对角化(1)
2 0 0 判断A 1 3 1 能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵P，
1 0 1
使P1AP 为对角阵.
对1 1，求得特征向量为1 (0,1, 2)T；
对2 2，求得特征向量为2 (1, 0,1)T；
P 0 P1, P2, , Pn为非零向量，且线性无关
1, 2 , , n是特征值； P1, P2 , , Pn是特征向量
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二、方阵的相似对角化(1)
反之，设1, 2 , , n是A 的特征值，对应的特征向量为P1, P2, , Pn.
1
设P (P1, P2 ,
,
Pn
)，
2
,
n
注 逆命题不成立.
推论1
1
若n 阶矩阵A与对角阵
2
相似，则1,
2
,
n
, n 是A 的全部n 个特征值.
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一、相似矩阵的定义及性质
例1 两个矩阵如果是等价，它们是否相似？反之，如果它们相似，是否 等价？哪些矩阵与单位矩阵等价？哪些矩阵与单位矩阵相似？
解 等价不一定相似，但相似一定等价； 满秩矩阵都与单位矩阵等价； 只有单位矩阵与单位矩阵相似.
等式两端同时取转置得 (P1AP)T PT AT (PT )1 BT，说明AT 与BT 相似；
选项(B)正确 由A 与B 相似得 P1AP B，
等式两端同时取逆得 (P1AP)1 P1A1P B1，说明A1与B-1 相似；
选项(D)正确 由 P1AP B，P1A1P B1
两式相加得 P1( A A1)P B B1，说明 A A1与B B1 相似；