2018年考研数学三真题及答案解析
1
0 0 1
1 0 1
B. 0 1
1
0 0 1
1 1 1
C. 0 1
0
0 0 1
1 0 1
D. 0 1
0
0 0 1
答案: A
1 1 0
1 1 0
解析:令
P
0
1
0
则
P 1
0
1
0
0 0 1
0 0 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0
P 1
AP
一、 选择题
2018 年考研数学三真题及答案
1.下列函数中,在 x 0处不可导的是()
A. f x x sin x
B. f x x sin x
C. f x ?cos x
D. f x cos x
答案: D
解析:方法一:
A lim f x f 0 lim x sin x lim x sin x 0, 可导
n 1 i 1 i
2
1
n
(X
X )2 ，
ni i 1
则下列选项正确的是 ______ ．
n X
(A)
t n ；
S
n X
(C) S*
t n ；
n X
(B)
t n 1 ；
S
n X
(D) S*
t n 1 ．
n
解
由于
X
~
N
0, 1
，(n 1)S 2 2
(Xi X )2
x0
x
x0 x
应选 D .
方法二:
因为 f (x) cos x , f 0 1
f x f 0 cos
lim
lim
x
1 lim
1 2
x
不存在
x0
x
x0
x
x0 x
f x 在 x 0 处不可导,选 D
对 A : f x ?xsinx 在 x 0处可导
3
对 B : f x ~?x x x 2 在 x 0处可导 对 C : f (x) cosx 在 x 0处可导.
2.设函数
f
x
在[0,1]上二阶可导,且
1
0
f
x
dx
0,
则
A当f
'x
0时 ,
f
1 2
0
B当f
''
x
0时,
f
1 2
0
C 当f
'
x
0时 ,
f
1 2
0
答案 D
【解析】
D 当f
''
x
0时 ,
f
1 2
0
将函数
f
x
在
1 2
处展开可得
fx fFra bibliotek1 2
f
'
1 2
x
1 2
f
''
2
x
1 2
A.r A?AB r A B.r A?BA r A
C.r A?B maxr A, r B D.r A?B r AT BT
答案: A
解析:易知选项 C 错
对于选项
B
举反例:取
A
1 1
1 1
B
0 1
0 2
1
则
BA
0 3
0 3
,
A,
BA
1 1
1 1
0 3
0
3
2
,
1
0
f
x
dx
1
0
f
1 2
f
'
1 2
x
1 2
f
''
2
x
1 2
2
dx
f
1 2
1 2
1
f
0
''
x
1 2
2
dx,
故当
f
''(x)
0 时, 1 0
f
x dx
f
1 2
.从而有f
1 2
0.
选 D。
3.设 M
2 2
1 x 2 dx, N
1 x2
x0
x
x0
x
x0 x
Blim f x f 0 lim x sin
x
x
lim sin
x 0, 可导
x0
x
x0
x
x0 x
C lim
f
x
f
0
lim
cos
x
1
lim
1 2
x
2
0,
可导
x0
x
x0
x
x0 x
Dlim f x f 0 lim cos
x
1 lim
1 2
x
不存在,不可导
x0
x
i 1
2
~ 2 (n 1) ，且 X
与
n
n
(n 1)S 2 相互独立，由 t 分布的定义，得 2
n
X S
X S
~
t (n
1) ，
n
故选项 B 正确．
二、 填空题
9.曲线 y x2 2 ln x 在其拐点处的切线方程为__。
答案 y 4x 3
【解析】函数
f
x 的定义域为 0, ,
2 2
1 x dx, K
ex
2 2
1
cos x dx ,则
A.M ? N K. B.M K N.
C. K M N. D. K N M.
答案: C
解析: M
1 x2
2
2
1 x2
dx
2 2
1
2x 1 x2
dx
2
1dx,
2
N
2 2
1 ex
xdx
,因为 ex
且
PX
0
P0
X
2
PX
2
1，由于
P 0
X
2
2
0
f
x dx
0.6
，
所以 2PX 0 0.4 ，即 PX 0 0.2 ，故选项 A 正确．
8. 设 X , X , , X 为取自于总体 X N , 2 的简单随机样本，令
12
n
X
1 n
n i 1
Xi
，S 1
1
n
(X X )2 ，S
C . C 'Q0 Q0C Q0 D . Q0C 'Q0 C Q0
答案 D
【解析】平均成本
C
Q
C
Q
Q
,
dC Q
dQ
C
Q2
C
Q
,由于
C
Q
在
Q Q0 处取最小值,可知 Q0C 'Q0 0.故选(D).
1 1 0
5.下列矩阵中,与矩阵
0
1
1
相似的为
0 0 1
1 1 1
A. 0 1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 2 0 1 1 0 1 1 0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
选项为 A
6.设 A, B 为 n 阶矩阵,记 r X 为矩阵 X 的秩, XY 表示分块矩阵,则
y'
2x
2, x
y ''
2
2 x2
,
y '''
4。 x3
令 y ''=0 ,解得 x=1 ,而 y '''1 0, 故点(1,1)为曲线唯一的拐点。
曲线在该点处切线的斜率 y '1 4, 故切线方程为 y 4x 3。
10. ex arcsin 1 e2x __ .
答案ex arcsin 1 e2x 1 e2x C
7. 设随机变量 X 的概率密度 f x 满足
f
1
x
f
1
x
，且
2
0
f
x dx
0.6
，
则 PX 0 ______ ．
(A) 0.2； (B) 0.3； (C) 0.4； (D) 0.6．
解 由 f 1 x f 1 x 知，概率密度 f x 关于 x 1 对称，故
PX 0 PX 2 ，
x
1 所以
x 1 ex
1
K
2
1
2
cos x dx,1
1 x
cos x 1. 即
ex
11
cos x
所以由定积分的比较性质 K M N ,应选 C .
4.设某产品的成本函数 C Q 可导,其中 Q 为产量,若产量为 Q0 时平均成本
最小,则()
A C 'Q0 0
B C 'Q0 C Q0
考研数学三模拟题2018年(33)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(33)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.已知则f (n) (3)=______．SSS_FILL分值: 2[解析]则所以2.SSS_FILL分值: 23e [解析] 令则于是3.SSS_FILL分值: 22(1-ln2) [解析] 令则因为S(0)=0，所以则4.设级数条件收敛，则p的取值范围是______．SSS_FILL分值: 2[解析]因为条件收敛，所以即p的范围是5.设y=y(x)满足，且有y(1)=1，则．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由得函数y=y(x)可微且，积分得，因为y(1)=1，所以C=0，于是，故6.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由，得，即，令z=e y，则，解得，所以原方程的通解为．7.微分方程yy"-2(y") 2 =0的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y=C或者[解析] 令y"=p，得，代入原方程得则p=0，或．当p=0时，y=C；当时，，即．由，得，从而，所以原方程的通解为y=C或者．8.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2lnx+C [解析] 令，所以9.以y=C1 e x +e x (C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y""-3y"+4y"-2y=0 [解析] 特征值为λ1 =1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ 3 -3λ 2+4λ-2=0，所求方程为y""-3y"+4y"-2y=0．10.设y(x)为微分方程y"-4y"+4y=0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=2的特解，则SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] y"-4y"+4y=0的通解为y=(C1 +C2x)e 2x，由初始条件y(0)=1，y"(0)=2得C1 =1，C2=0，则y=e 2x，于是11.差分方程yt+1 -2yt=3×2 t的通解为y(t)=______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] yt+1 -2yt=0的通解为y(t)=C×2 t，f(t)=3×2 t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2 t，代入原方程得，故原方程的通解．二、选择题1.设条件收敛，且，则______．SSS_SINGLE_SELA |r|＜1B |r|＞1C r=-1D r=1分值: 2答案:C[解析] 因为条件收敛，所以级数一定不是正项或负项级数，故r≤0．若|r|＜1，则，级数绝对收敛，矛盾；若|r|＞1，则，存在充分大的N，当n＞N时，{|un|}单调增加，，于是发散，矛盾，故|r|=1，再由r≤0得r=-1，选C．2.设，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 显然条件收敛，，因为，而收敛，所以收敛，选B．3.设幂级数在x=6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为______．A．2B．4C．D．无法确定SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:A[解析] 因为在x=6处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=4，又因为级数有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R=4，于是的收敛半径为R=2，选A．4.设y(x)是微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x满足初始条件y(0)=0，y"(0)=1的解，则______．SSS_SINGLE_SELA 等于1B 等于2C 等于0D 不存在分值: 2答案:A[解析] 微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x中，令x=0，则y"(0)=2，于是，选A．5.二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为______．• A.(ax+b)e-x•**•**(ax+b)e-x**(ax+b)e-xSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:D[解析] 方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特征方程为λ 2 -2λ-3=0，特征值为λ1 =-1，λ2=3，故方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为x(ax+b)e -x，选D．6.设φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为______．SSS_SINGLE_SELA C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1分值: 2答案:D[解析] 因为φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1 (x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1 (x)y"+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D．三、解答题1.讨论级数的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令则因为而收敛，所以收敛，由正项级数的比较审敛法得收敛．2.设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令，由交错级数的Leibniz审敛法，级数收敛，而发散．设是正项收敛级数，则，取ε0 =1，存在自然数N，当n＞N时，|an-0|＜1，从而0≤an＜1，当n＞N时，有．由收敛得收敛，再由比较审敛法得收敛，所以收敛．3.设，级数中，哪个级数一定收敛?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解不一定收敛，如，显然，而，因为收敛，而发散，所以发散；不一定收敛，如，显然发散；不一定收敛，如，显然发散；一定收敛．由，得，又收敛，所以收敛，即绝对收敛，所以一定收敛．4.若正项级数收敛，证明：收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5证明因为收敛，所以，当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，而，所以再由收敛，故收敛．设．SSS_TEXT_QUSTI5.求的值；分值: 2.5解，则，，因为，所以．SSS_TEXT_QUSTI6.证明：对任意常数λ＞0，收敛．分值: 2.5证明因为，所以，而收敛(λ＞0)，所以收敛．7.设，讨论级数的敛散性，若收敛求其和．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解因为收敛，所以收敛．因为所以于是的和为8.设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明令Sn =a1+a2+…+an，S"n+1=(a1-a)+2(a2-a1)+…+(n+1)(an+1 -an)，则S"n+1 =(n+1)an+1-Sn-a，因为收敛且数列{nan}收敛，所以都存在，于是存在，根据级数收敛的定义，收敛．9.设an＞0(n=1，2，…)且单调减少，又级数发散，判断的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解因为单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以存在，令，由发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由，得级数收敛．证明：SSS_TEXT_QUSTI10.设an ＞0，且{nan}有界，则级数收敛；分值: 3证明因为{nan }有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即，而级数收敛，所以级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI11.若，则级数收敛．分值: 3证明取，因为，所以存在N＞0，当n＞N时，，即，或者，而收敛，所以收敛．设(n=1，2，…；an ＞0，bn＞0)，证明：SSS_TEXT_QUSTI12.若级数收敛，则级数收敛；分值: 3证明由，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，存在，令．无论A=0还是A＞0，若级数收敛，则级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI13.若级数发散，则级数发散．分值: 3证明若A=0，由级数发散，得级数发散；若A＞0，级数敛散性相同，故若级数发散，则级数发散．14.设{un }，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cn un-cn+1un+1≤0，且发散，则也发散；(2)若对一切正整数n满足，且收敛，则也收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明显然为正项级数．(1)因为对所有n满足cn un-cn+1un+1≤0，于是cn un≤cn+1un+1cnun≥…≥c1u1＞0，从而．因为发散，所以也发散．(2)因为对所有n满足，则cn un-cn+1un+1≥aun+1，即cn un≥(cn+1+a)an+1，所以，于是因为收敛，所以也收敛．15.对常数p，讨论幂级数的收敛区间．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解由，得幂级数的收敛半径为R=1．(1)当p＜0时，记q=-p，则有，因而当x=±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(-1，1)，(2)当0＜p＜1时，对，因为，所以x=1时，级数发散，当x=-1时，显然收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1)；(3)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x=-1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1]．1。
18年考研数学三真题
18年考研数学三真题18年考研数学三真题是考研数学备考的重要参考资料之一。
通过解析这些真题，考生可以更好地了解考试的难度和考点，有针对性地进行复习和训练。
本文将对18年考研数学三真题进行分析和解析，帮助考生更好地备考。
首先，我们来看一道典型的选择题。
18年考研数学三真题中的一道选择题是关于极限的。
该题给出了一个数列的递推公式，要求求出该数列的极限值。
这道题考察了考生对极限的理解和运用能力。
解答这道题的关键在于找到数列的通项公式，然后求出其极限。
考生需要运用数列的性质和极限的定义，进行推导和计算，最终得出答案。
通过解析这道题，考生可以加深对极限的理解，并且掌握运用极限的方法和技巧。
接下来，我们来看一道典型的填空题。
18年考研数学三真题中的一道填空题是关于微分方程的。
该题给出了一个微分方程和一个初始条件，要求求解出该微分方程的特解。
这道题考察了考生对微分方程的理解和解题能力。
解答这道题的关键在于将微分方程进行变换和化简，然后利用初始条件求解出常数。
考生需要熟练掌握微分方程的基本概念和解法，运用微积分的知识进行推导和计算，最终得出特解。
通过解析这道题，考生可以加深对微分方程的理解，并且掌握解决微分方程问题的方法和技巧。
最后，我们来看一道典型的计算题。
18年考研数学三真题中的一道计算题是关于概率统计的。
该题给出了一个随机变量的概率分布和一个事件的概率，要求求出该事件的期望值。
这道题考察了考生对概率统计的理解和计算能力。
解答这道题的关键在于计算随机变量的期望值，需要利用概率分布和事件的定义进行计算。
考生需要熟练掌握概率统计的基本概念和计算方法，运用数学统计的知识进行推导和计算，最终得出期望值。
通过解析这道题，考生可以加深对概率统计的理解，并且掌握计算概率统计问题的方法和技巧。
综上所述，18年考研数学三真题是考生备考的重要参考资料。
通过解析这些真题，考生可以更好地了解考试的难度和考点，有针对性地进行复习和训练。
考研数学三模拟题2018年(41)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(41) (总分100, 做题时间90分钟) 解答题1.设f(x)在x0处n阶可导．且f (m) (x)=0(m=1，2，…，n-1)，f (n) (x)≠0(n≥2)．证明：(1)当n为偶数且f (n) (x0 )＜0时，f(x)在x处取得极大值；(2)当n为偶数且f (n) (x0 )＞0时，f(x)在x处取得极小值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】n为偶数，令n=2k，构造极限当f (2k) (x)＜0时，当f (2k) (x)＞0时，2.设f(x)在x0处n阶可导，且f (m) (x)=0(m=1，2，…，n-1)，f (n) (x0)≠0(n＞2)．证明：当n为奇数时，(x，f(x))为拐点．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f (2k+1) (x0 )＞0时，但x→x+时，f"(x)＞0；x→x-时，f"(x)＜0，故(x0，f(x))为拐点．3.求函数f(x)=nx(1-x) n在[0，1]上的最大值M(n)及SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】容易求得f"(x)=n[1-(n+1)x](1-x) (n-1)，f"(x)=n 2 [(n+1)x-2](1-x) n-2．令f"(x)=0，得驻点且有则为f(x)的极大值点，且极大值将它与边界点函数值f(0)=0，f(1)=0，比较得f(x)在[0，1]上的最大值且有4.设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．试证：在[a，b]内存在ξ，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．故由介值定理可得ξ∈[a,b]，使得5.设f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0．证明：在[-1，1]内存在ξ，使得f"""(ξ)=3．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】取x=0，x=1代入，取x=0，x=-1代入，由①-②有因为f""(x)在[-1，1]上连续，则存在m和M，使得有m≤f""(x)≤M，③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，使得f""(ξ)=3．6.设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3) (0，3)，使f"(ξ)=0．设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g""(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：SSS_TEXT_QUSTI7.在(a，b)内，g(x)≠0；该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g"(ξ1)=g"(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g"(x)在[ξ1，ξ2 ]上运用罗尔定理，可得f"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(c)≠0．SSS_TEXT_QUSTI8.在(a，b)内至少存在一点ξ，使该题您未回答:х该问题分值: 2【证】F(x)=f(x)g"(x)-f"(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理，F(a)=0，F(b)=0，故9.在区间[0，a]上|f""(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f(0)|+|f"(a)|≤Ma．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f"(c)=0．f"(x)在[0，c]与[c，a]之间分别使用拉格朗日中值定理，f"(c)-f"(0)=cf"(ξ1 )，ξ1∈(0，c)，f"(a)-f"(c)=(a-c)f"(ξ2 )，ξ2∈(c，a)，所以|f"(0)|+|f"(a)|=c|f“(ξ1 )|+(a-c)|f"(ξ2)|≤cM+(a-c)M=aM．10.设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：使f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】把所证等式ξ改为x，得xf"(x)-f(x)=f(2)-2f(1)，两边同除以x 2，令F(x)在[1，2]上连续，(1，2)内可导，且F(2)=F(1)=f(2)-f(1)．由罗尔定理，使F"(ξ)=0，即f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．11.f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f"(x)≠0．证明：ξ，η∈(a，b)，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】因为两式相比，得12.设，且f""(x)＞0．证明：f(x)＞x．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】因得f(0)=0，f"(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，因f"(x)＞0，故f(x)＞x，原命题得证．13.设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：ξ∈(a，b)，使f""(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g""(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式．令x=b，代入①式，则因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F"(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．14.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(a)=f"(b)=0．证明：ξ∈(a，b)，使SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】将f(x)在x=a，x=b处展开泰勒公式．令②-①得得令|f"(ξ)|=max{|f"(ξ1 )|，|f"(ξ2)|}，则故原命题得证．15.设f(x)=arcsinx，ξ为f(x)在[0，t]上拉格朗日中值定理的中值点，0＜t＜1，求极限SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】因f(x)=arcsinx在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得由此解得并令μ=arcsint，有16.若x＞-1．证明：当0＜α＜1时，有(1+x) α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x) α＞1+αx．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令f(x)=(1+x) α，则有f"(x)=α(1+x) α-1，f"(x)=α(α-1)(1+x) α-2．由f(x)的泰勒展开式可知当x＞-1，0＜α＜1时，α(α-1)＜0，1+ξ＞0，故所以f(x)＜f(0)+f"(0)x，即(1+x) α＜1+αx．同理可证当x＞-1，α＜0或α＞1时，有(1+x) α＞1+αx．17.求证：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设则因为所以f(x)单调递减，且当0＜x＜+∞时，f(x)＞f(+∞)=0，即18.利用导数证明：当x＞1时，SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，有f(1)=2ln2＞0．由知，f(x)单调递增，且当x＞1时，f(x)＞f(1)=2ln2＞0，lnx＞0，从而得，其中x＞1．设x∈(0，1)，证明下面不等式：SSS_TEXT_QUSTI19.(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2；该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令φ(x)=x 2 -(1+x)ln 2 (1+x)，有φ(0)=0，且φ"(x)=2x-ln 2 (1+x)-2ln(1+x)，φ"(0)=0．当x∈(0，1)时，，知φ(x)单调递增，从而φ"(x)＞φ"(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2．SSS_TEXT_QUSTI20.该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令，则有由上小题得，当x∈(0，1)时f"(x)＜0，知f(x)单调递减，从而又因为当x∈(0，1)时，f"(x)＜0，知f(x)单调递减，且，所以21.求证：当x＞0时，(x 2 -1)lnx≥(x-1) 2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设f(x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2，所以f(1)=0．又因为f"(1)=0，且所以当x≥1时，f"(x)＞0，知f"(x)单调递增，则f"(x)≥f"(1)=0，从而f(x)单调递增，故f(x)≥f(1)=0，原式成立．当0＜x＜1时，f""(x)＜0，知f"(x)单调递减，则f"(x)≥f"(1)=2＞0，从而f"(x)单调递增，故f"(x)＜f"(1)=0，所以f(x)单调递减，知f(x)＞f(1)=0．原式成立．22.证明：其中SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】由有令只需证明f(x)≤1．由f(0)=1，只需证设g(0)=0，且因此，当时，g(x)＜0，即f(x)＜0，f(x)＜1，得证．23.求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】已知不等式等价于即令则令g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且g"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，g"(0)=0，故g"(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g"(x)＜g"(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)-x 2＜0，从而f"(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．令则α≤f(x)≤β，有故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为最小的数β为24.设函数f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f""(x)在(-∞，+∞)内有界．证明：f"(x)在(-∞，+∞)内有界．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】存在正常数M0，M2，使得对恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有其中ξ介于x与x+1之间，整理得所以故函数f"(x)在(-∞，+∞)内有界．25.设n为自然数，试证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】右端不等式等价于证明即设则又故当x＞0时，有从而，当x＞0时，f"(x)单调增，且当x→+∞时，f"(x)趋于零，所以，当x＞0时，f"(x)＜0．进而知当x＞0时，f(x)单调减，且当x→+∞时，f(x)趋于零，于是，当x＞0时，f(x)＞0．所以，对一切自然数n，恒有f(n)＞0，故有从而右端不等式成立．类似地，引入辅助函数类似可证明：当x＞0时，g(x)＜0，从而对一切自然数n，左端不等式成立．已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f""(x)-[f"(x)] 2≥0(x∈R)．SSS_TEXT_QUSTI26.证明：该题您未回答:х该问题分值: 3【证】记g(x)=lnf(x)，则故即SSS_TEXT_QUSTI27.若f(0)=1，证明：f(x)≥e f"(0)x(x∈R)．该题您未回答:х该问题分值: 3【证】即f(x)≥e f"(0)x．28.设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f"(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一用拉格朗日中值定理．当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ1，使得[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]=af"(ξ2 )-af"(ξ1)．因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以f"(ξ2)≤f"(ξ1)，于是，[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．方法二用函数的单调性．将[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]中的b改写为x，构造辅助函数F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x∈[0，b]，显然F(0)=0，又因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以F"(x)=f"(a+x)-f"(x)≤0．于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)-f(b)-f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．29.证明：当x＞0时，有SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一用拉格朗日中值定理．因为所以且函数f(t)=lnt在[x，1+x]上满足拉格朗日中值定理，故存在ξ∈(x，1+x)，使得因为x＜ξ＜1+x，所以于是有即方法二用函数的单调性．令因为所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又因此，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即30.证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F"(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=π+xcosx-sinx，由此式很难确定F"(x)在(0，π)上的符号，为此有F"(x)=-xsinx＜0，x∈(0，π)，即函数F"(x)在(0，π)上单调递减，又F"(π)=0，所以F"(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．31.设b＞a＞e，证明：a b＞b a．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设则其中lnx＞lne=1，所以，f"(x)＜0，即函数f(x)单调递减．因此，当b＞a＞e时，32.证明：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】构造辅助函数则f(0)=0，且由题设条件很难确定的符号，但是所以从而，当x＞0时，即33.证明：当时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】当时，而cosx＜0，所以不等式成立．当时，构造辅助函数则上式中，当时，但是，2xcosx-2sinx+x 3的符号无法直接确定，为此，令g(x)=2xcosx-2sinx+x 3，则g(0)=0，且g"(x)=x 2 +2x(x-sinx)＞0，所以，当x∈ 时，g(x)=2xcosx-2sinx+x 3＞0．从而，当时，又所以，当时，即34.已知某种商品的需求量x对价格p的弹性为η=-2p 2，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)．(1)确定需求函数；(2)若价格服从[1，2]上的均匀分布，计算期望收益值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】(1)由弹性公式：即两边积分有由x(0)=1得c=1，故x(p)=e -p2．(2)R=p·x(p)=p·e -p2，35.一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/单位)，x为销售量，成本函数为C=3x+1(万元)，其中x服从正态分布N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税t万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】收益为R=x·p，利润为L=R-C-T，其中税收T=tx．于是L=x·p-(3x+1)-t·x=x(7-0.2x)-(3x+1)-t·x=-0.2x 2 +(4-t)x-1，EL=-0.2Ex 2 +(4-t)Ex-1=-0.2[Dx+(Ex) 2 ]+(4-t)Ex-1=-0.2[1+(5p) 2 ]+(4-t)·5p-1=-5p 2 +5(4-t)p-1.2，令因此，当即时，期望的利润最大．36.设需求函数为p=a-bQ，总成本函数为其中a，b＞0为待定的常数，已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性时，总利润是最大的．求总利润最大时的产量．并确定a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】总收益：R=Qp=aQ-bQ 2，于是有 L"(Q)=-Q 2 +2(7-b)Q+(a-100)．由题设a，b，Q应满足解①②③得：a=111，Q=3或a=111，b=2，Q=11．(1)若a=111，Q=3，此时L"(3)=0，L"(3)＜0，但L(3)＜0不符合题意；(2)若a=111，b=2，Q=11，此时L"(11)=0，L"(11)＜0，且L(11)＞0．因此a=111，b=2为所求常数，此时对应最大利润的产量为Q=11．37.某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为R元．如果收藏起来待来日出售，t年末总收入为R(t)=Re ξ(t)，其中ξ(t)为随机变量，服从正态分布，假定银行年利率为r，并且以连续复利计息．试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求r=0.06时，t的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】由连续复利公式，t年末售出总收入R的现值为：A(t)=R·e -rt．于是A(t)=R0 e ξ(t) e -rt =Re ξ(t)-rt，令且可见当时，期望的现值(取到极大值)最大．若r=0.06，1。
考研数学三模拟题2018年(13)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(13)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=______．SSS_FILL分值: 12 1[解析] 因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．2.设η为非零向量，η为方程组AX=0的解，则a=______，方程组的通解为______．SSS_FILL分值: 13 k(-3，1，2) T [解析] AX=0有非零解，所以|A|=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2) T．二、选择题1.设A是m×s矩阵，B为s×n矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=sB r(A)=mC r(B)=sD r(B)=n分值: 1答案:A[解析] 设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0。
因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．2.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是______．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1 -η2)D．AX=b的通解为SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A *≠O，所以r(A)=n-1，η2 -η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．3.设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是______．SSS_SINGLE_SELA (1)(2)B (1)(3)C (2)(4)D (3)(4)分值: 1答案:B[解析] 若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______．SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解分值: 1答案:A[解析] AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．5.设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=mB r(A)=nC A为可逆矩阵D r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示分值: 1答案:D[解析] 方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．三、解答题1.设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1 =0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．2.设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1 +x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0) T +k2 (-1，0，1，…，0) T+…+kn-1(-1，0，…，0，1) T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1) T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1) T (k为任意常数)．3.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又且AB=O，求方程组AX=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由得通解为4.a，b取何值时，方程组有解?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)a≠1时，唯一解为(2)a=1，b≠-1时，r(A)≠ ，因此方程组无解；(3)a=1，b=-1时，通解为X=k1 (1，-2，1，0) T +k2(1，-2，0，1) T +(-1，1，0，0) T (k1，k2为任意常数)．5.A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 方程组的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为所以方程组有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．设(Ⅰ) α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α1=SSS_TEXT_QUSTI 6.求方程组(Ⅰ)的基础解系；分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI7.求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；分值: 2[解] 因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组(Ⅱ)的基础解系；SSS_TEXT_QUSTI8.(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的通解为方程组(Ⅱ)的通解为=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1，令，则有取k21，1，1) T (其中k为任意常数)．设(Ⅰ)(Ⅱ)SSS_TEXT_QUSTI9.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；分值: 3[解] 的基础解系为的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI10.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．分值: 3[解] 方法一(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即为的解，(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为方法二(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ) =2k2，故(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(-k，k，2k，k) T =k(-1，1，2，1) T (k为任意常数)．方法三(Ⅰ)的通解为(Ⅱ)的通解为令∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为11.问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 方法一的通解为把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得方法二因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关．α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α1=-2β1+β2+aβ2a=-1，α2可由β1，β2，β3唯一线性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，α3可由β1，β2，β3唯一线性表出，α3=3β1+β2+β3c=4．12.证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令方程组(Ⅰ)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A TY=0及若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)=r( )，从而又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则从而r(A)=r( )，故方程组(Ⅰ)有解．13.设的一个基础解系为写出的通解并说明理由．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令则(Ⅰ)可写为AX=0，令其中则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，．α1T，α2T，…，αn T为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．14.设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r +kη=0，若k=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+kη=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，所以k≠0，故η可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．SSS_TEXT_QUSTI15.证明分值: 3[证明] 因为n=r(CA+DB)=所以SSS_TEXT_QUSTI16.设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组Ax=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．分值: 3[证明] 因为所以方程组只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．17.设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A * b=0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A * b=A * AX=|A|X=0．反之，设A * b=0，因为b≠0，所以方程组A * X=0有非零解，从而r(A * )＜n，又A11≠0，所以r(A * )=1，且r(A)=n-1．因为r(A * )=1，所以方程组A * X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A * A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A * X=0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A* X=0的基础解系．因为A * b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)= =n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．18.证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB) T ]=r(AB)=r(B T A T)≤r(A T )=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．19.证明：r(A)=r(A T A)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 只需证明AX=0与A T AX=0为同解方程组即可．若AX0 =0，则A T AX=0．反之，若A T AX0 =0，则XT A T AX=0 (AX) T (AX)=0 AX=0，所以AX=0与A T AX=0为同解方程组，从而r(A)=r(A T A)．20.设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足．证明：方程组AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r．设η为方程组AX=b的一个特解，令β0=η，β1=ξ1+η，β2=ξ2+η…，βn-r=ξn-r+η0，显然β，β1，β2，…，βn-r为方程组AX=b的一组解．令k0β+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即(k0 +k1+…+kn-r)η+k1β1+k2β2+…+kn-rβn-r=0，上式两边左乘A得(k0 +k1+…+kn-r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0 +k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ1，ξ2，…，ξn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．21.讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠-1，b≠-2时．因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=-1，b≠-2时，当b≠-1时，方程组无解当b=-1时，方程组的通解为(3)当a≠-1，b=-2时，当a=1时，方程组的通解为当a≠1时，显然r(A)=2≠ =3，方程组元解．22.设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令X=(X1，X2，X3)，B=(β1，β2，β3)，方程组AX=B等价于则AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r( )，由r(A)=r( )得a=1，b=2，c=-2，此时AX1=β1的通解为AX2=β2的通解为AX 3 =β 3 的通解为 则 其中k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数． 1。
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
2018年考研数学三真题
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题1.下列函数中，在0x =处不可导的是（）。
A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos()f x x =D.()f x =2.已知函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()10,=⎰f x dx 则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f B.当()0''<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f C.当()0'>f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f 3.设()(2222222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x xM dx N dx K dx x e 则A.>>M N KB.>>M K NC.>>K M ND.>>K N M4.设某产品的成本函数()C Q 可导，其中Q 为产量，若产量为0Q 时平均成本最小，则()A.()00C Q '= B.()()00C Q C Q '= C.()()000C Q Q C Q '= D.()()000Q C Q C Q '=5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为A.111011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则——印校园考研一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.A.()().r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().TTr A B r A B =7.设()f x 为某分布的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，()200.6f x dx =⎰，则{0}P X <=A.0.2B.0.3C.0.4D.0.68.已知12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的简单随即样本，11ni i X X n ==∑，*S S ==A.)~()X t n S μ-B.)~(1)X t n S μ--C.*)~()X t n S μ-D.*)~(1)X t n S μ--二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.曲线2()2ln f x x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.10.arcsin x e =⎰____________.11.差分方程25x x y y ∆-=的解为__________________.12.设函数()f x 满足()()2()()f x x f x xf x x o x +∆-=∆+∆，且(0)2f =，则(1)f =____.13.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.14.已知事件,,A B C 相互独立，且1()()()2p A p B p C ===，则(|)p AC A B ⋃=________.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.1lim ()2x x ax b e x →+∞⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦,求,a b16.求2,Dx dxdy D ⎰⎰由y =与y =y 轴围成17.一根绳长2m,截成三段，分别拆成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小，并求该最小值。
2018年数三真题
6、设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， （X
Y ） 表示分块矩阵，则
A. r ( A C. r ( A
AB) r ( A) B) max{r ( A), r ( B)}
B. r ( A D. r ( A
BA) r ( A)
B) r ( AT BT )
2018 年数三真题 一、选择题 1、下列函数中，在 x 0 处不可导的是 (A) f ( x) x sin x (C) f ( x) cos x (B) f ( x ) x sin (D) f ( x ) cos
1
x x
2、设函数 f x 在 0,1 上二阶可导，且 A 当 f x 0 时， f 0
1 1 0 5、下列矩阵中，与矩阵 0 1 1 相似的为______. 0 0 1 1 1 1 A. 0 1 1 0 0 1 1 1 1 C. 0 1 0 0 0 1 1 0 1 B. 0 1 1 0 0 1 1 0 1 D. 0 1 0 0 0 1
f x dx 0 ，则（
0
）
1 2
B 当 f x 0 时， f 0
1 2
C 当 f x 0 时， f 0
1 2
D 当 f x 0 时， f 0
2 2 (1 x) 2 1 x 2 dx ， N x dx ， K 2 (1 cos x )dx ，则 1 x2 2 e 2
1 2 a 1 a 2 21、已知 a 是常数，且矩阵 A 1 3 0 可经初等变换化为矩阵 B 0 1 1 2 7 a 1 1 1
考研数学三模拟题2018年(1)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(1)(总分100, 做题时间90分钟)填空题1.设3阶方阵A，B满足关系式A -1 BA=6A+BA，且则B=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2diag(3，2，1) [解析] 由A -1 BA=6A+BA得B=6A(E-A) -1 =diag(3，2，1)，其中，λ1，λ2，…，λn全不为零．2.设α=[-1，2，3]，A=α Tβ，则An=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 23 n-1 A [解析]A n=(α Tβ) n=(α Tβ)(α Tβ)…(α Tβ)=α T(βα) T(βα) T…(βα T)β=3 n-1 A．3.设n≥2为正整数，则A n -2A n-1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2O[解析]4.设则A -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] 方法一用初等变换求．方法二5.已知A 2 -2A+E=O，则(A+E) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] A 2 -2A+E=O，(A+E)(A-3E)=-4E，6.设A是n阶矩阵，|A|=5，则|(2A) * |=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 22 n2-n·5 n-1 [解析] (2A)(2A) * =|2A|E，(2A) * =|2A|(2A) -1，7.设则(A * ) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析]8.设B=(E+A) -1 (E-A)，则(E+B) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] E+B=E+(E+A) -1 (E-A)=(E+A) -1 (E+A+E-A)=(E+A) -1 2E，故9.，将B 已知A，B均是3阶矩阵，将A中第3行的-2倍加到第2行得矩阵A1中第1列和第2列对换得到B，又则AB=______．1SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析]10.设则B -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2 [解析]故11.设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ1 =1，λ2=-1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.518 [解析] 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1 =1，λ2=-1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ1 =1，λ2=-1．λ3=-2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(-1)=-1，1+2×(-2)=-3，从而|E+2B|=3×(1)×(-3)=9，|A|=λ1λ2λ3=2．故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2×9=18．12.设A=E+αβ T，其中α，β均为n维列向量，α Tβ=3，则|A+2E|=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.52·3 n [解析] 由于α Tβ=3，可知tr(αβ T )=3．αβ T的秩为1，故0至少为αβ T的n-1重特征值。
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选择中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上1、下列函数中，在0=x 处不可导的是________（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=2、设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且0)(1=⎰dx x f ，则_______（A ）当0)(<'x f 时，0)21(<f （B ）当0)(<''x f 时，0)21(<f （C ）当0)(>'x f 时，0)21(<f （D ）当0)(>''x f 时，0)21(<f 3、⎰⎰⎰---+=+=++=22222222,)cos 1(,1,1)1(ππππππdx x K dx e xN dx x x M x 则K N M ,,的大小关系为________（A ）KN M >>（B ）N K M >>（C ）NM K >>（D ）KM N >>4、设某产品的成本函数)(Q C 可导，其中Q 为产量.若产量为0Q 时平均成本最小，则_____（A ）0)(0='Q C （B ）)()(00Q C Q C ='（C ）)()(000Q C Q Q C ='（D ）)()(000Q C Q C Q ='5、下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100110011相似的为_____（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110111（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110101（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000101016、设B A ,为n 阶矩阵，记)(X r 为矩阵X 的秩，)(Y X 表示分块矩阵，则（）（A ）)()(A r AB A r =（B ）)()(A r BA A r =（C ）)}(),(max{)(B r A r B A r =（D ）)()(T TB Ar B A r =7、设随机变量X 的概率密度)(x f 满足，,6.0)(),1()1(2=-=+⎰dx x f x f x f 则_____}0{=<X p （A ）0.2（B ）0.3（C ）0.4（D ）0.58、设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体)0)(,(2>δδμN 的简单随机样本，令∑∑∑===-=-==ni i ni i n i i u X n S X X n S X n X 12*121)(1,)(1,1，则_______（A ）)()(n t S X n --μ（B ）)1()(---n t S X n μ（C ）)()(*n t S X n --μ（D ）)1()(*---n t S X n μ二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
2018年考研数学一二三真题解析及点评(史上最强版)
证明数列收敛只有唯一的方法：证明数列单调有界。 《金讲》17页予以重要说明并给出两道难度高于本题 的同型例题详解，本题再不济，直接用第一问的结论 求出第二问的结果应该是一丝难度都没有。
数一第20题 数三第20题 数二第22题
《金讲》403-405页不仅给出了通用性齐次 方程组的详细解题过程，还给予具体具体方 程解析示例，详细程度超越市面任何一本数 学参考书，足以解答任何复杂齐次方程组。
本质 一样
数一第18题
(Ⅰ)是简单一阶微分方程求解，直接套公式即得， 送分题；(Ⅱ)不定积分函数与变现积分函数的灵活 转换，需要对两者关系有较深度地掌握方可轻易转 换，稍有难度，本题完整证明出来的同学应该不超 过万分之一。
较 难 题
考查不等式的证明，具有天然的难题属性。但 《金讲》在142页对这类题型设了一个专题给予 了本质性的总结，任何不等式证明本质都可以归 结到两类情况，每类情况的证明有唯一思路，因 此，不等式证明对于《金讲》读者不太可能成为 难题，但《金讲》以外，没有任何参考书做过这 种深度总结，因此本道题对于有些人是难题。
数二第18题
数三第18题
简单函数的级数展开并求通项。展开部分直接套公 式，属于送分。求通项虽偶有难度，但任何求通项 都可以通过适当展开进行归纳这一万能方法，在 《金讲》 中有强调，所以也属于半送分。《金讲》 254页至259页用了一个重点专题予以详解本考点， 足以解决任何函数的展开式。
数一第19题 数三第19题 数二第21题
数二第20题
考查微分的基本应用，将题目 内容用数学式子表示出来，问 题就转化为了最简单的微分或 积分问题，本题几乎是《金 讲》配套暑期集训讲义中的原 题。
数一第11题
考查旋度公式的记忆，直接用 旋度公式计算即得答案。旋度 公式的详细计算公式参见《金 讲》288页，属送分题。