2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
广东省广州市普通高中2019高考高三数学第一次模拟试题精选 函数02 含答案
函数0215、设a 、R ∈b ，且2-≠a ，若定义在区间),(b b -内的函数xax x f 211lg)(-+=是奇函数，则b a 的取值范围是________________．【答案】 【 解析】因为函数xax x f 211lg)(-+=是奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=，所以1111lg lg lg()()012121212ax ax ax ax x x x x -+-++==+-+-，即11()()11212ax ax x x-+=+-，所以222114a x x -=-，所以24a =，2a =，即12()lg 12x f x x +=-，由12012x x+>-得(21)(21)0x x +-<，所以1122x -<<，所以102b <≤，所以12b <≤即1b a <≤，所以ba 的取值范围是.16、设函数)(x f 是偶函数，当0≥x 时，42)(-=x x f ，则0)2({>-x f x }等于…（ ）A ．2{-<x x 或}2>xB ．2{-<x x 或}4>xC ．0{<x x 或}6>xD ．0{<x x 或}4>x【答案】D【解析】，当0≥x 时，由()240x f x =->得2x >，所以函数()0f x >的解集为{22}x x x ><-或，所以将函数()f x 向右平移2个单位，得到函数(2)f x -的图象，所以不等式(2)0f x ->的解集为0{<x x 或}4>x ,选D17、函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________． 【答案】23x + 【 解析】由f (x )=3x –2得23y x +=，即12()3x f x -+=.17、定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈ 若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ）A 2y x =B 2y x =C sin 3y x π=D 1y x x =-【答案】D【解析】OB OA ON )1(λλ-+=⇒N 在线段AB 上，且b a x N )1(λλ-+=，又b a x M )1(λλ-+=，∴x M =x N ，∴|MN |=|y M -x N |不等式|MN |≤k 恒成立 |MN |max ≤k ，∴最小的正实数k 即是|MN |max对于(A)，A (1,1)，B (2,4)，∴AB 方程为y =3x -2，如图1，|MN |= y N - y M =3x -2- x 2=-(x -23)2+41，当x =23时，|MN |max =41；对于(B)，A (1,2)，B (2,1)，∴AB 方程为y =-x +3，如图2，|MN |= y N - y M =-x +3-x 2=3-(x +x 2)≤3-22，当x =x 2，即x =2时，上式成立等号，∴|MN |max =3-22；对于(C)，A (1,23)，B (2,23)，∴AB 方程为y =23，如图3， |MN |=y M -x N = sin 3x π-23，当x =23时，|MN |max =1-23；对于(D)，A (1,0)，B (2,23)，∴AB 方程为y =23x -23，如图4， |MN |=y M -x N =22)(232123122323231-=-≤+-=+--x x x x x ， ∵223-是|MN |的四个最大值中的最小的一个，∴线性近似阀值最小的是D18、若函数x x f 3log 1)(-=，则=--)8(1f 【答案】93【 解析】因为3()1log f x x =-，由3()1log 8f x x =-=-得，3log 9x =，即93x =，所以19(8)3f --=.19、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 【答案】)2,43[ 【 解析】当1x =时，13(1)222f =-=.当32y =时，由312x +=得12x =.所以112b ≤<.而3()22f a ≤<，所以13()1222b f a ⨯≤⋅<⨯，即3()24b f a ≤⋅<，所以)(a f b ⋅的取值范围是)2,43[.20、已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,1)2()(x a x x a x f x 满足对任意21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是___ ____． 【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23【 解析】由对任意21x x ≠都有02121)()(>--x x x f x f 成立⇒)(x f 在R 上递增，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅->->111)2(021a a a a ，解得322a ≤<，即a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23.21、若函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ▲ ．【答案】1【解析】因为函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，所以由()235x f x =+=，即22x =，所以1x =，所以(5)1g =.22、给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②x x x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】③【 解析】由()()0f x f x -+=得()()f x f x -=-，所以函数为奇函数.对任意实数x 及任意正数m 由()()f x m f x +>可知，函数()f x 为增函数.①为奇函数，但在R 上不单调.②为偶函数.③满足条件.④为奇函数，但在在R 上不单调.所以满足条件的函数的序号为③.23、设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12xf x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞ C． D．【答案】D【解析】由(2)(2),f x f x -=+得(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期是4，又函数为偶函数，所以(2)(2)(2f x f x f x -=+=-，即函数关于2x =对称.且(2)(2)(6)3f f f =-==.由()log (2)0(1)a f x x a -+=>得()log (2)a f x x =+，令()y f x=()log (2)a y g x x ==+，做出函数(),log (2)a y f x y x ==+的图象如图，由图象可知，要使方程()log (2)0(1a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则有(2)(2)(6)(6)g f g f <⎧⎨>⎩，即l o g 43l o g 83a a <⎧⎨>⎩，所以33log 4log log 8log a a a a a a⎧<⎪⎨>⎪⎩，即348a <<2a <<，所以选D。
广东省广州市2019届高三3月综合测试(一)理科数学试题(解析版)
密★启用前 试卷类型:A2019年广州市普通高中毕业班综台测试（一）理科数学2019.3本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事顶：1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ），填涂在答题相应置上。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}220A x x x =-<，{}2xB x =>1，则A.A B =∅IB.A B R =UC.B A ⊆D.A B ⊆ 答案：D考点：集合的运算，一元二次不等式，指数运算。
解析：{}02A x x =<<，{}0B x x =>，所以，D 正确。
2. 已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为实数，则a = A.2- B.12 C.－12D.2 答案：B考点：复数的概念与运算。
解析：()()12a i i +-＝2(12)a a i ++-为实数，所以，12a =3. 已知双曲线222:1y C x b-=的一条渐近线过圆()()22:241P x y -++=的圆心，则C 的离心率为5 B.325 D.3 答案：C考点：双曲线的性质。
所以，c ＝5，离心率为54..刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内段放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(,,a b N b a *∈<)，则圆周率的近似值为A.b a B.a b C.3a b D.3ba答案：C考点：几何概型。
2019年广州一模理科数学
第 1 页共10 页2019年广州一模理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{|||3}Mx x ，3{|11}N x og x ，则MN 等于()A ．B ．{|03}x xC ．{|3}x xD ．{|33}x x2．（5分）已知i 为虚部单位，若(1)1i zi ，则(z)A ．iB ．iC ．1iD ．1i3．（5分）若4cos()25，且(2，)，则sin(2)()A ．2425B ．1225C ．1225D ．24254．（5分）已知抛物线2:8C yx 的焦点为F ，直线3(2)yx 与C 交于A ，(B A 在x 轴上方）两点，若AFmFB ，则实数m 的值为()A ．3B ．3C ．2D ．325．（5分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m ，n ，本次期末考试两级部数学平均分分别是a ，b ，则这两个级部的数学平均分为na mb mn；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001016中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．（5分）正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为()A ．6B ．4C ．3D ．27．（5分）函数()sin()(0,0,||)2f x A xA的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ，且1212()()()f x f x x x ，则12()(f x x )。
广东省广州市2019届高三综合测试(一)理科数学试题(解析版)
密★启用前试卷类型 :A 2021 年广州市普通高中毕业班综台测试〔一〕理科数学本试卷共 5 页， 23 小题，总分值150 分，考试用时120 分钟。
注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型〔 A 〕，填涂在答题相应置上。
2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 集合A x x2 2x 0 ， B x 2x ，那么A. A BB. A B RC. B AD. A B答案： D考点：集合的运算，一元二次不等式，指数运算。
解析： A x 0 x 2 ， B x x 0 ，所以，D正确。
2. a 为实数，假设复数 a i 1 2i 为实数，那么 a=A. 21C.－1D. 2 B.22答案： B考点：复数的概念与运算。
解析： a i 1 2i ＝ a 2 (1 2a)i 为实数，所以， a 1 222 23. 双曲线C : x2 y 1 的一条渐近线过圆 P : x C 的2 y 41的圆心，那么b2离心率为5B. 3C. 5A.22答案： C文科数学试题A第1页(共 8 页 )考点 ：双曲线的性质。
解析 ：双曲线中， a ＝ 1，的渐近线为： ybx 经过圆心为〔 2，－ 4〕，得： b ＝2所以， c ＝5 ，离心率为 54. . 刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的?九章算术注?中首创“割圆术〞，所谓“割 圆术〞，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法， 如下图，圆内接正十二边形的中心为圆心 O ，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内( a, bN , b a ) ，那么圆周率的近似值为A.ba 3a3b aB.C.D.bba答案 ： C考点 ：几何概型。
2019年9月广东省广州市海珠区2019学年高三综合测试(一)理科数学评分细则与参考答案
海珠区2019学年高三综合测试（一）理科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 227或-14. 4;327 （第1空2分，第2空3分） 15.274016. ①③④ （全选对得5分，漏选得2分，错选得0分） 11.B 【解析】根据题意3AM BM =，且FM OB //，则23a b a c FM ==+，从而得到32=2a c FM b ，=，又因为222,3b a c b c =-=所以，则33FM 根据AFM △93，从而求得2c =22a =6b =.12．A 【解析】x≥0时，f （x ）=2e x ﹣6x ，可得)('x f =2e x ﹣6，当x=ln3时，函数取得极小值也是最小值：6﹣6ln3＜0， 关于x 的方程f （x ）+kx=0有4个不同的实数解， 就是函数y=f （x ）与y=-kx 的图象有4个交点，画出函数的图象如图：可知y=-kx 与y=f （x ）有4个交点，临界状态是直线AB 与直线EF ，根据导数的几何意义，可求626,62-=-=EF AB k e k所以应满足：62662-<-<-k e ，得e k 26662-<<- 15．4027【解析】解：11233n n a a a n -+++=，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，2121331n n a a a n --++⋯+=-，又11233n n a a a n -++⋯+=，两式相减可得131n n a -=，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DD C C B A B D D A B A可得数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，可得441140127133S -==-． 16．①③④【解析】①由平面D C A C AB 111//平面，且C AB OE 1平面⊂，可证.②取BC 中点1O ,易知1OEO ∠为所找的线面角，1OO 为定长，则当E O 1最长时，线面角最小，当E 与1B 重合时线面角最小，小于︒45.③三棱锥顶点换为E ，底面大小确定，又因为BD A C B 11//平面，所以点E 到底面的距离不变，命题正确.④因为11//C A AC ,所以异面直线所成角与EOC ∠相等或互补（取锐角或直角），当E 与1B 重合时，此时︒=∠901OC B 命题正确. 17．解：（1）∵ CC C C CC BA C 2cos 32sin )cos (sin 2)12sin 2(sin 2)12cos 2(sin 222=-=-⋅=-=-+(3次恒等变换，一次1分) …………………………3分 即02cos 32sin =+C C ∴0)32sin(2=+πC …………………………4分（另法：32tan -=C ） ∴）（Z k k C ∈=+ππ32 ， 又因为锐角三角形. …………………………5分 ∴3π=C …………………………6分（2）∵C B A 2sin sin sin =，由正弦定理，得 …………………………7分12==c ab …………………………8分又由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，得ab b a c -+=222 …………………………9分 又ab b a ab b a c 3)(2222-+=-+=， …………………………10分 得2=+b a …………………………11分 所以ABC ∆的周长为3. …………………………12分 18．解：（1）法1：分别取BC AC ,中点Q P ,，连接PQ EQ DP ,,,DH PH , …………………………1分 由面⊥ACD 面ABC 且交于AC ，⊂DP 平面ACD ，AC DP ⊥有⊥DP 面ABC 由面⊥BCE 面ABC 且交于BC ，⊂EQ 平面BCE ，BC EQ ⊥有⊥EQ 面ABC 所以 DP EQ //, …………………………2分//DP EQEQ EBC DP EBC ⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩面面，所以 //DP EBC 面， …………………………3分 由HB AH PC AP ==,有BC PH //， …………………………4分//PH BC BC EBC PH EBC ⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩面面，所以 //PH EBC 面 …………………………5分////DP EBC PH EBC DP PH P ⎧⎪⎨⎪=⎩I 面面,所以面//BCE 面DPH …………………………6分 所以BCEDH 平面//法2：由HB PQ DE ////,可得EDHB 为平行四边形，所以EB DH //.（2）法1：以点P 为原点，以PA 为x 轴，以PB 为y 轴，以PD 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 …………………………7分 由 ⊥EQ 面ABC ，所以面ABC 的法向量可取(0,0,1)=n …………………………8分点)0,0,1(A ,点)0,0,1(-C ,点)3,23,21(-E ， )0,0,2(-=AC ,)3,23,23(-=，…………………………9分 设面EAC 的法向量(,,)x y z =m ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-03232302z y x x ， 取(0,2,1)=-m …………………………10分 设二面角B AC E --的平面角为θ，据判断其为锐角，5cos |||||||15θ⋅===⨯m n m n …………………………12分法2：过Q 点作AC 垂线，垂足为F ，连接EF . …………………………7分 由（1）问可知,AC EQ ⊥又因为AC QP ⊥，所以EFQ AC 平面⊥，则有EF AC ⊥. …………………………9分 所以EFQ ∠为二面角B AC E --的平面角. …………………………10分 由题可知BP QF 21//，所以23=QF , 则215=EF …………………………11分 所以，5521523cos ===∠EF QF EFQ …………………………12分 19．解：（1）法1：根据圆的性质，圆心点E 到点F 的距离等于到定直线21-=x 的距离，则圆心E 的轨迹为抛物线. …………………………2分 设抛物线方程为）（022>=p px y ，由题可知212=p ，所以C 的方程为x y 22=. …………………………4分 z法2：设圆心点),(y x E ，因动圆E 与直线21-=x 相切，则圆心点),(y x E 到直线距离为21+x …1分又因为动圆E 经过点F ，所以22)21(y x EF +-= …………………………2分由题可知=+-=22)21(y x EF 21+x …………………………3分整理得：x y 22= 此为C 的方程. …………………………4分 （2）将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立22y kx my x =+⎧⎨=⎩，得0)22(222=+-+m x km x k ① …………………………5分 222(22)4480km k m km ∆=--=-=，所以21km =.……6分所以方程①为2220k x x m -+=，解得22m x =，不妨取点P 的坐标为2(2,2)m m . …………………………8分 点Q 的坐标为00(,)x kx m +，设点M 的坐标为(,0)r . …………………………9分2(2,2)MP m r m =-，00(,)MQ x r kx m =-+，2200(2)()22MP MQ m r x r kmx m ⋅=--++220002(1)0m x r x rx r =-++-+= …………………………10分对任意的m 恒成立，∴0200100x r x rx r -+=⎧⎨-+=⎩，解得01212r x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 因此，点Q 的横坐标012x =-. …………………………12分 20．解：（1）由10(0.010.0150.030.01)1a ++++=，得0.035.a = …………………………1分所以第1,2,3组的人数分别为20,30,70，从第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1,2,3组抽取的人数分别为2,3,7. …………………………2分记从12人中随机抽取3人，至少有1人年龄在第3组为事件A ，则3531221()1.22C P A C =-=…………………4分（2）由题知参与调查的人中关注网约车安全问题的概率为45，X 可取0,1,2,3. …………………………5分 03341(0)(1)5125P X C ==-=，1234412(1)(1)55125P X C ==-=， 22134448(2)()(1)55125P X C ==-=，333464(3)()5125P X C ===， …………………………6分所以X 的分布列为：X0 1 2 3 P 1125 12125 48125 64125因为)53,3(B X 服从，所以512543)(=⨯=X E 8分（3）由题意得22⨯列联表如下： …………………………9分关注网约车安全不关注网约车安全合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计160402002200(90107030)75 4.6875 6.635160408012016K ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯， …………………………11分所以没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关. …………………………12分21.解：（1）)(x f 的定义域为{}0>x x …………………………1分 当1a =时，()1ln f x x x =--，()11f xx '=-， ………………………… 2分 令()0f x '=，则1=x .当10<<x 时，()0f x '<； 当1>x 时，()0.f x '> …………………………3分所以)(x f 的单调递减区间为）（10,，单调递增区间为），（∞+1. …………………………4分 （2）下结论：122x x a+> …………………………5分 证明如下：（法一）令ax x a x f 1,01)('==-=则 .),1(10)(单调递增）单调递减，在，在（+∞∴aa x f …………………………6分则1210x a x <<< …………………………7分 要证12212,2x a x a x x ->>+即证令x x a ax x f x a f x F ln )2ln(22)()2()(+---=--= )2,0(ax ∈…………………………8分0)2()1(2)(2'≥--=ax x ax x F 恒成立. …………………………9分.)2,0()(上单调递增在a x F ∴则0)1()(1=>aF x F …………………………10分即0)()2(11>--x f x a f ，又因为)()(21x f x f =所以)()2(21x f x a f >-， …………………………11分又因为21,2x x a -均在)1,0(a 区间上，此时)(x f 单调递减. …………………………12分所以122x ax ->，得证.（法二）由0ln 111=--x ax ，0ln 122=--x ax …………………………6分得2121lnx x x x a -=，要证a x x 221>+，即证1)1(2ln 212121+->x x x x x x ， …………………………8分令)1(21>=t x x t ，则)11(2ln )(+--=t t t t h …………………………10分 0)1()1()1(41)(222>+-=+-='t t t t t t h ， …………………………11分0)1()(=>∴h t h ，所以ax x 221>+ …………………………12分 （法三）∵()()120f x f x ==，故11221ln 1ln ax x ax x --=--，…………………………6分 即1212ln ln x x a x x -=-，()121211221221ln 2x x x x x f x x x x x -⎛⎫+⎛⎫'=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，…………………………8分 设12 1x m x =>，则()()21ln 1m g m m m -=-+， …………………………10分则()()()22101m g m m m -'=>+，故()g m 递增，()()10g m g >=， …………………………11分∵120x x ->，∴()1212021x x f g m x x +⎛⎫'=>⎪-⎝⎭， 即1212x x a +>，故122x x a+>． …………………………12分 22．解：（1）由题意，直线12:3x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得直线l 是过原点的直线， 故其直角坐标方程为3y x =， …………………………2分 又22cos 2sin 1ρθρθ-=，由θρθρsin ,cos ==y x …………………………3分 故221x y =+； …………………………5分 （2）由题意，直线l 的极坐标为()R θαρ=∈， …………………………6分 设M 、N 对应的极径分别为1ρ，2ρ 将()R θαρ=∈代入曲线C 的极坐标可得：22cos 2sin 1ρραα-=，故1222sin cos αρρα+=，1221cos ρρα=-， 所以12MN ρρ=-=()21212224cos ρρρρα+-=， …………………………8分故226cos α=，则21cos 3α=，即222sin 1cos 3αα=-= ，222sin tan 2cos ααα==， 所以tan 2k α==±故直线l 的斜率是2±． …………………………10分法二：由题意，直线l 方程为kx y =，设M 、N 对应的点坐标为),(),(2211y x y x 、 …………………………6分联立直线l 与曲线C 的方程⎩⎨⎧+==122y x kx y ，消去y 得0122=--kx x .……7分1,22121-==+x x k x x …………………………8分6)1(24)(112212212212=+=-+⋅+=-+=k x x x x k x x k MN …………………………9分所以2±=k ，故直线l 的斜率是2±. …………………………10分23．解：（1）()2f x ≥即x a +＋2x -2≥, 因为x a +＋2x -≥()2x a x +--=2a +,所以x a +＋2x -≥2a + …………………………2分 又1a >，所以23a +> …………………………3分 所以不等式()2f x ≥的解集为R. …………………………5分 （2）因为[]1,2x ∈，所以()2f x x a x =++- …………………………6分 则()4f x x +≤恒成立等价于2x a +≤恒成立， …………………………7分 即22x a x --≤≤-恒成立 …………………………8分 由[]1,2x ∈可得[]24,3x --∈--，[]20,1x -∈ …………………………9分 所以－3≤a ≤0 …………………………10分。
2019年广州市一模理科试题
图1俯视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2018.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A BP A P B ⋅=⋅.线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y bx x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A BC ．U A =()UB D ．U =()U A ()UB2. 已知11abi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i = A ．12+i B ．2+i C ．2-i D ．12-i3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 4. 直线0x -=截圆()2224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6π B ．3πC ．2πD ．23π5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．1C.23 D. 136. 函数()()y x xx x sin cos sin cos =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B . 已知AB =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中 的速度大小为A．8 km/h B ．C ．．10二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．10x cos ⎰d x = .11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．12．已知01a a ,>≠，函数()()()11xa x f x x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 .13. 已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()f n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）图4ABCA 1C 1B 1DE 图3C在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D 若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的面积.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ；（2）若H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1A AB 时，求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数()21fx x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：1122n n ng x g x n +-+≥-∈(())()(N *).。
【省级联考】2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(一)(原卷版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ） A.B.C.D.2.复数（为虚数单位）的虚部为（ ）A.B.C.D.3.双曲线的焦点坐标为（ ）A.B.C.D.4.记为等差数列的前项和，若，，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 5.已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（ ） A.B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 87.设x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是（ ）A. S＝2，这5个数据的方差B. S＝2，这5个数据的平均数C. S＝10，这5个数据的方差D. S＝10，这5个数据的平均数8.已知，，三点不共线，且点满足，则（）A. B.C. D.9.在数列{a n}中，若a1＝﹣2，a n+1＝a n+n•2n，则a n＝（）A. （n﹣2）•2nB. 1﹣C. （1﹣）D. （1﹣）10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（）（参考数据： 2.236）A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.61811.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+（ω≥0，|φ|＜π）的图象与直线y＝c（＜c＜）的三个相邻交点的横坐标为2，6，18，若a＝f（lg），b＝f（lg2），则以下关系式正确的是（）A. a+b＝0B. a﹣b＝0C. a+b＝1D. a﹣b＝112.已知函数f（x）＝（kx+）e x﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为（）A. [，）B. （，]C. [）D. [）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数为__________．14.设满足约束条件则的最大值为__________．15.已知三棱锥P﹣ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心,以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于_____16.已知为抛物线：的焦点，曲线是以为圆心，为半径的圆，直线与曲线，从左至右依次相交于，则___．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若在边上，且，，，求.18.已知五面体中，四边形为矩形，，，且二面角的大小为.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.已知点，都在椭圆：上.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（异于顶点），记椭圆与轴的两个交点分别为，，若直线与交于点，证明：点恒在直线上.20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.23.已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＞4．（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．。
精品解析：【市级联考】广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(一模)理科数学试题(原卷版)
2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=（ ）A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 23.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）． A. 1 B.53C. 2D.3 4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 5.已知实数ln 222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 6.下列命题中，真命题的是（ ） A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p骣琪=-琪桫的图象，则()f x =（ ）A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A.13 B. 12 C. 59 D. 299.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A.21 B. 31 C. 51 D. 2210.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-?11.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A.203 B. 7 C. 223 D. 23312.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(--4)0+ト?，，B. ()0+¥， C. ()(--1)1+ト?，， D. ()--1¥， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°，且1,2a b ==，则a b -=__________14.已知423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________．15.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî，则11()()42x y z =的最小值为__________．16.在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====，则该四面体体积的最大值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.17.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. （1）求角C 的大小； （2）若A=6p ，△ABC的面积为3M 为BC 的中点，求AM. 18.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表: 质量指标值 [)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45频数 2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 得分布列和数学期望.19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A-CD-F 为60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14.20.已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点P 3(3,在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x-=-+?. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 的极坐标方程为3cos 2sin r q q =+，直线()1:6l R p q r =?，直线()2:3l R pq r =?，设极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求直线12,l l 的直角坐标系方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求△AOB 的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()()13f x x a a R =-?. （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+?；（2）设不等式()13x f x x -+?的解集为M ，若11[,]32M Í，求实数a 的取值范围．。
2019年广州一模理科数学
2019年广州一模理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，3{|11}N x og x =<，则M N 等于( )A ．∅B ．{|03}x x <<C ．{|3}x x <D ．{|33}x x -<<2．（5分）已知i 为虚部单位，若(1)1i z i +=-，则(z = ) A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -3．（5分）若4cos()25πα+=-，且(2πα∈，)π，则sin(2)(πα-= )A ．2425B ．1225C ．1225-D ．2425-4．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线2)y x =-与C 交于A ，(B A 在x 轴上方）两点，若AF mFB =，则实数m 的值为( )A B ．3C ．2D ．325．（5分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m ，n ，本次期末考试两级部数学平均分分别是a ，b ，则这两个级部的数学平均分为na mbm n+；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497512-这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001016-中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．（5分）正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．（5分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且1212()()()f x f x x x =≠，则12()(f x x += )A ．1B ．12C D 8．（5分）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-9．（5分）设函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点0(x ，0)y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数()g x 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，1||OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2BC ．3D11．（5分）数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈的都有11n n a a n +=++，则1299111(a a a ++⋯⋯+= ) A ．9998B ．2C ．9950D ．9910012．（5分）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，(0)2018f =，则不等式()2017x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(-∞，0)(0⋃，)+∞ B ．(-∞，0)(2017⋃，)+∞ C ．(2017,)+∞D ．(0,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知函数22(1)()69(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩，则不等式(f f （1）)= ．14．（5分）已知实数x ，y 满足2041x y x y y -⎧⎪+⎨⎪>⎩，则2y x +的取值范围为 ．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．16．（5分）在ABC ∆中，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则a b +的取值范围 ．三、解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，等比数列{}n b 满足21b a =，34b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，BC =D ，E 分别是BC ，1CC 的中点．（1）证明：平面1ADB ⊥平面ADE ； （2）求三棱锥1D AB E -的高．19．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60)[60，70)，[70，80)，[80，90)[90，00]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1)；（3）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点2F 到直线1:340l x y +=的距离为35．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '，求证：k k '为定值．21．（12分）设函数2()2xf x alnx=-．a R∈．（1）求函数()y f x=的单调区间和极值．（2）若函数()f x在区间(1，2]e内恰有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求||||PA PB +的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||1|2f x x x =-+++． （1）求不等式()6f x 的解集；（2）若关于x 的不等式2()2f x a a --在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．。
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= （5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作AB1B1A1D1C CD答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分） 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．DBCAS（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题： （13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭OD BCAS所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的32()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin11h SD α===．所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(21)SA =-，，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，0E ⎫⎪⎪⎝⎭，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，．1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin11．（20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2212221(1)()4BD x x kx x x x⎡=-=++-=⎣；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1k-，所以，2211132kACk⎫+⎪⎝⎭==⨯+四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k kS BD ACk k k k+24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k=时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S=．综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625．（22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n naa+=+1)(1)(2na=+1)(na=11)(n na a+=．所以，数列{n a是首项为21的等比数列，1)nna=，即na的通项公式为1)1nna⎤=+⎦，123n=，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n=2<，112b a==，所以11b a<≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k=43k kb a-<≤，也即43k kb a-<．当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。