等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明同步练习2
等腰三角形的性质和判定专题练习
一、选择题
1
、等腰三角形一底角为 500 ，则顶角的度数为
A、65 B、70 C、80 D、40
2
、 使两个直角三角形全等的条件 ( )
A、一锐角对应相等 B、两锐角对应相等 C、一条边对应相等 D
、两条边对应相等
3、 A ABC中，AB=AC , BD平分/ ABC交AC边于点 D，/ BDC=75 °，则/ A
的度数为 ( )
A、35° B、40° C、70 ° D、110°
4、 用两个全等的直角三角形拼下列图形： (1)平行四边形(2)长方形；(3)正方形；(4
)
等腰三角形，一定可以拼成的图形是 ( )
A、(1) (2) (4) B、(2) ( 3) (4
)
C、(1) (4) D、(1) ( 2) ( 3
)
5、 如图，D在AB上，E在AC上，且/ B =Z C
,那么补充下列一个条件后，仍无法判定
△ ABE◎△ ACD 的是： ( )
A、AD = AE B、/ AEB = Z ADC C、BE = CD D、AB = AC
6、 在厶 ABC 中，AB=AC=3 , BC=2，则 S^ABC 等于：A、3 B、2 C >2.2 D、3 3
( )
7
、 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ( )
A、75° 或 15° B、30° 或 60° C、75° D、30
°
&如图，在等边厶 ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且/ APD = 60 ° , BP= 1,
2
CD = & ,则厶 ABC 的边长为：A、3 B、4 C、5 D、6
( )
3
二、填空题
9、 在方格纸上有一个△ ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是 ___________ 三角形•
10、 如图，△ ABC中，AD丄BC , CE丄AB，垂足分别为 D、E, AD、CE交于点H
，请你
添加一个适当的条件： ___________________________ ，使△
AEH CEB。
11、等腰直角三角形一条直角边的长为 1cm,那么它斜边上的高是 ___________ cm.
。
12、在厶ABC 和厶ADC 中，下列论断：① AB=AD ;②/ BAC= / DAC :③BC=DC
，把其
中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题： ________________________
(第5题图) (第8题图) (第9题图) (第10题图) (第14题图)
13、在厶ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于 P,贝U PA、PB、PC
的大小关系是
14、如图，△ ABC 中，AB=6cm , AC=5cm , BC=4cm，/ ABC 与/ ACB
的平分线相交于点
0,过点0作DE // BC交AB于点D，交AC于点ADE的周长等于 _______________________ cm.
三、解答题（每小题10分，共30分
）
15、已知：如图，点 D、E在厶ABC的边BC 上, AB = AC , AD = AE . 求证：BD
=
CE
.
16、已知：如图，在△ ABC中，CD丄AB于点D , BE丄AC于点E, BE、CD交于点P
,且
BD = CE
，图中还有很多相等的线段，请你写出来，并选择其中的一条写出证明过程。
17
、求证：等腰三角形两底角的平分线相等。
能力提高部分
18、如图，△ ABC、△ DEF都是等边三角形，且 D、E、F分别在 AB、BC、CA
上，请你 在图中找出
相等的线段，并写出证明过程.
19、已知：如图，△ ABC（ AB 丰 AC）中，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DF//BA , 交 AE
于点 F,
DF=AC.
求证：AE平分/
BAC.
R I)
I
达标练习
一、选择题
1
•若等腰三角形底角为 72 I则顶角为（ ）
B.
72
C. 54 D.
36
2•小明将两个全等且有一个角为 60
•的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直
角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
1
第2题图
3 .等腰三角形的底边为 7cm, —边上的中线把其周长分为两部分的差为 中，AB =AC , . A =30 ； DE垂直平分 AC，则.BCD的度数为 5.一个等腰三角形的两边分别为 3cm和4cm,则它的周长为 等腰三角形的周长是 20cm, —边长是5cm,则另两边的长是 6 .如图所示，在等腰三角形ABC中，AB = AC 12 cm, 第6题图 A. 80 B. 75 C. 65 D. 45 二、填空题 A. 108 3cm,
则腰长为
A. 20cm B. 10cm C. 10cm或 4cm D.
4cm
4
.如图，△ ABC
；若一个
Z ABC =30，那么底边上的高 AD
二
8
•已知等腰三角形 ABC中，AB二AC, D为BC边上一点，连接 AD，若
△
ACD
和
△ ABD都是等腰三角形，则 Z C
的度数是 ___________ •
三、解答题
9.如图， △ ABC中，Z ABC Z ACB的平分线交于点 F, 过点F
作
DE// BC分别交AB AC于 D E,已知△ ADE
的周
长为20cm,且BC=12cm 求△ ABC的周长
10 .如图， △ ABC 中，AB =AC , BD 是Z ABC 的平分线，且Z BDC=75,
求Z BAC的度数。
参考答案
、选择题 D、B、
C D
、填空题 5 . 10cm 或 11cm 7.5cm 禾口 7.5cm 6 .
6 cm
7
.
4 ,2
1
8
2
.36 或
45
、解答题
9 .解：I/ ABC / ACB的平分线交于点 F
•••/ DBF=/ FBC
又••• DE// BC DFB=/
FBC
•••/ DFB=/ DBF • BD=DF
同理
EC=EF
•/△ ADE的周长为 20cm,即 AD+AE+DF+EF=20cm
•
AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm
又T BC=12cm •- AB+AC+BC=32cm 即厶ABC的周长为32cm。
10 .解：T BD是/ ABC
的平分线
•设/ ABD/
DBC=(
T
AB =AC , •/ ABC玄 ACB=
2x
在^ BCD中 , / DBC/ ACB/ BDC=80 又T/ BDC=75 •
x 2x
75 =180
•
x = 35
• /
BAC=
180 -70 —70 =40
青岛版八年级上册数学：等腰三角形的性质和判定定理(公开课课件)
手 BAP CAP
(全等三角形对应边相等) AD ⊥ BC
（等腰三角形“三线合一”）
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角
形是等腰三角形.
问题预设：
A
你是如何添加的
辅助线？
B
C
如图，在△ABC中，AB=AC， ∠B=36 。 D,E是BC上两点，且∠ADE= ∠AED=2 ∠BAD,
DOB CBO( 两直线平行，内错) 角相等 ABO DOB（等量代换） BD DO（等角对）等边
同理可证，EC EO 由DE DO EO
DE BD EC( 等量代换)
1.等边三角形有哪些性质和判定？
2.结合等腰三角形，证明等边三角形 的性质和判定。
3.进一步总结证明线段或者角相等的 办法，构建证明思路。
（等腰三角形性质和判定的证明）
安丘市兴华学校 胡云玲
1.进一步掌握证明的基本步骤和 书写格式。 2.能用“公理”和“已经证明的 定理”为依据，证明等腰三角形 的性质定理和判定定理。 3.会应用等腰三角形和等边三角 形的性质和判定，证明有关命题。
根据课前预习，结合学习目标，自学等腰三角形性 质和判定的证明。请同学们开动大脑，完成以下问题 和任务，并提出疑惑。
则图中的等腰三角形共有（ D ）个. A 3个 B 4个
C 5个 D 6个
动 动 手
在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， 过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E． 请说明DE=BD+EC．
证明:
BO平分ABC （已知）
ABO CBO（角平分线的）定义
又 DE ∥ BC（已知）
1、用什么办法证明线段相等或者角相等？
等腰三角形的性质与判定
Ｂ
D
Ｃ
AD=AD.
Hale Waihona Puke PPT、 师 讲解。 生认真 思考 证明:作∠BAC 的平分线 AD. 在 Δ ABD 和 Δ ACD 中, AB=AC(已知)， ∠BAD=∠CAD(辅助线画法)， AD=AD(公共边). ∴ ABD≌ ACD.(SAS) ∴∠B=∠C（全等三角形的对应 角相等） ．
6. 这是我们证明的思路 , 也是怎么 想的过程,是从结论入手的， 而写出 它的证明过程要从已知条件入手， 两 生 板 也就是将怎么想的过程逆过来。 演 接下来请你写出它的证明过程。
Ａ
3．要想证明∠B=∠C，通常要证明 这两角所在的两个三角形全等，而 图中只有一个三角形，所以我们需 设法通过作辅助线来构造两个全等 三角形。根据前面的折叠可知，我 们只要画出折痕即可．此时的折痕 就是顶角的平分线 , 也是底边上的 中线,当然,还也是底边上的高. 4．若作∠BAC 的平分线 AD，此时要 想证明 ∠ B= ∠ C ， 只 要证 ABD ≌ ACD， 只需有 AB=AC， ∠BAD=∠CAD，
定理：等腰三角形的顶角平分 线、底边上的中线、底边上的 高互相重合．
定理：等腰三角形的两个底角 相等
逆命题：如果一个三角形的两 个角相等，那么这两个角所对 的边也相等． 已知：如图，在 ABC 中，∠B= ∠C. Ａ 求证: AB=AC．
Ｂ
D
Ｃ
证明:作∠BAC 的平分线 AD. 在 ABD 和 ACD 中, AB=AC(已知)， ∠BAD=∠CAD(辅助线画法)， AD=AD(公共边. ∴ ABD≌ ACD.(SAS)
选做：习题第 3 题
等腰三角形的性质和判定 问题一 ----------------------问题二 ------------------------------小结思考 -----------------------------
13.3 等腰三角形同步练习测试卷
13．3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【课前预习】1．______________的三角形叫做等腰三角形．2．等腰三角形的两个底角______(简写成“______________”)．3．等腰三角形的________________、________________、________________相互重合(简写成“__________”)．【当堂演练】1．若等腰三角形的两边长为3 cm和4 cm，则这个等腰三角形的腰长为( )A．4 cm B．3 cm C．4 cm或3 cm D．无法确定2．等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为( )A．15 B．11 C．7 D．15或73．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°4．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )A．过顶点的直线 B．底边上的高C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，则下列结论中错误的是( ) A．∠BAD＝∠CAD B．AD⊥BCC．∠B＝∠C D．∠BAC＝∠B第5题图第6题图6．如图，点D在AC上，AB＝AC，AD＝DB，则图中的等腰三角形有______个．7．如图，已知AB∥CD，AB＝AC，∠ABC＝68°，则∠ACD＝______．8．若等腰三角形的一个角为80°，则另两个角分别是______________．9．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠AED＝∠AFD＝90°，AE＝AF.求证：∠1＝∠2.【课后巩固】一、选择题1．(2016·湘西州)一个等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是()A．13 cm B．14 cmC．13 cm或14 cm D．以上都不对2．(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°第2题图第3题图3．(2015·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是()A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cmC．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm5．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A．44°B．66°C．88°D．92°第5题图第6题图二、填空题6．如图，一张三角形纸片ABC，AB＝AC＝5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕交AC边于点E，则线段AE的长为______．7．等腰三角形中，一边与另一边之比为3∶4，该三角形周长为110，则腰长是________．8．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB 于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝______.三、解答题9．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AD与BE交于点F，连接CF.求证：BF＝2AE.10．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.(1)如图①，若∠A＝40°，则∠DBC＝______；若∠A＝50°，则∠DBC＝______；若∠A ＝α，则∠DBC＝______；(2)如图②，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．①②第2课时等腰三角形的判定【课前预习】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也__________(简写成“____________”)．【当堂演练】1．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD的长为()A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm第1题图第3题图2．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是() A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．如图，等腰三角形的个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③BO＝OC；④OE＝OD.从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是()A．①②B．①③C．③④D．②③5．在△ABC中：(1)若∠B＝∠C，AB＝5，则AC＝______；(2)若∠B＝50°，∠C＝65°，则△ABC的形状是____________．6．如图，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E，C在同一条直线上．试判断△ABC为__________三角形．第6题图第7题图7．在一次夏令营活动中，小欢同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，由此可知，B，C两地相距______米．8．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB＝AC.9．如图，已知锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【课后巩固】一、选择题1．如图，在△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°2．把两个都有一个锐角为30°且一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于点M、交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有______个．三、解答题5．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．6．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．7．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)若点O在△ABC外部，AB＝AC成立吗？请画图并证明你的结论．①②13．3. 2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定【课前预习】1．____________的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质：(1)等边三角形是______对称图形，且有______条对称轴，对称轴是________________；(2)等边三角形是______的等腰三角形，具有等腰三角形的性质；(3)等边三角形的三个内角都______，并且每一个角都等于______．3．等边三角形的判定定理：(1)三个角都______的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的________________是等边三角形；(3)三条边都______的三角形是等边三角形．【当堂演练】1．等边三角形的对称轴有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD的度数为( )A．30° B．60° C．120° D．180°第2题图第3题图3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°B．220°C．240°D．300°4．如图，已知P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.则∠ABC的度数为______°.5．已知△ABC中，AB＝AC.①若AB＝BC，则△ABC是等边三角形；②若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形；③若∠B＝60°，则△ABC是等边三角形．上述结论中正确的有__________(填序号)．6．用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成______个等边三角形．7．如图，△ABC是等边三角形．点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，且AD ＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．【课后巩固】一、选择题1．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形() A．2个B．3个C．4 个D．5个第1题图第2题图2．如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，∠2的度数为() A．60°B．45°C．40°D．30°3．若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝______°.第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接AA′，则四边形ABC′A′ 的周长为______．6．如图，△ABC，△ADE，△EFG都是等边三角形，点D和G分别是AC和AE的中点，若AB＝4，则多边形ABCDEFG的周长为______．第6题图第7题图7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A 旋转后得到△ACE，则CE的长度为______．三、解答题8．如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)求∠BEC的度数；(2)△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．9．如图，已知在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：点M是BE的中点．第2课时 30°角的直角三角形的性质【课前预习】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的______等于______的一半．【当堂演练】1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，∠B ＝30°，AD ＝2 cm ，则AB 的长为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm2．三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角为30°，这个三角形( )A ．一定是直角三角形B ．一定是钝角三角形C ．不可能是直角三角形D ．不可能是锐角三角形3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，CD 是斜边AB 上的高，则以下关系中不正确的是( )A ．CD ＝12ACB ．BD ＝12CDC ．BD ＝14AB D ．BC ＝12AB 4．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A ．6米B ．9米C ．12米D ．15米5．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，AB ＝10，则BC ＝______.6．如图，点D 为等边△ABC 的边BC 的中点，则AB ∶BD ＝______.第6题图 第7题图7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝4 cm ，则∠BCD ＝______，BD ＝______cm.8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，∠A ＝30°，AB ＝8，则DE 的长度是______．第8题图第9题图9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD＝______.10．如图，在△ABC中，若∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交BC于点M、交AB于点N，BM＝12 cm，求AC的长．【课后巩固】一、选择题1．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且DE ⊥BC ，DE ＝12CD ，则∠B 的度数为( ) A ．60° B ．30° C ．20° D ．10°第1题图 第3题图2．三角形三个内角之比为1∶2∶3，最长的一边边长为16 cm ，则最短的一边边长为( )A ．8 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．10 cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分AB ，垂足为点D ，交BC 于点E ，BE ＝6 cm ，AC ＝3 cm ，则∠B 的度数为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°4．如图，已知∠ABC ＝60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E ，连接CE.则下列结论：①BE ＝AE ；②BD ＝AE ；③AE ＝2DE ；④S △ABE ＝S △CBE ，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题5．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC ＝1，则EF ＝______.第5题图 第6题图6．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∠C ＝30°，以顶点A 为圆心、AB 长为半径画圆弧交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E .若DE ＝a ，则BC 长为______(用含a 的代数式表示)．三、解答题7．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB.过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.(1)求证：OB＝AC；(2)求∠BAC的度数；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？。
北师大版数学八年级下册1.1.1全等三角形和等腰三角形的性质课件(共39张)
几何语言：
∵△ABC ≌△DEF ∴∠A =∠D，∠B =∠E， ∠C =∠F， AB = DE，AC = DF， BC = EF
A BC
D EF
例1 如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，
AC∥EF，∠C=∠F.求证：BC=DF. C
A
D
E
B
F
证明：∵AD=BE，
∴AD－BD=BE－BD，即AB=ED.
第一章 三角形的证明 1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
北师版八年级数学下册
学习目标
1、巩固全等三角形的判定及性质 2、了解并掌握等腰三角形的性质定理及推论
回顾复习
我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？
边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等.
边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等.
如图，BC=CD=DE=AE,∠A=20°. (1)求∠DEC的度数； (2)求∠B的度数.
解：
练习
知识点三：等腰三角形性质定理的推论
想一想
A
在图中，线段 AD 还具有怎
样的性质？为什么？由此你能得
到什么结论？
B
C
D
推论 等腰三角形顶角的平分线、底边 上的中线及底边上的高线互相重合.
可分解成下面三个方面来理解：
角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等.
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建筑工人在建造房子时,为了确定房梁是否水平,常用 这样的方法:把一块等腰三角形板放在梁上,从顶角顶点系 一重物,如果系重物的绳子刚好经过三角形的底边中点,则 认为房梁就是水平的。你知道为什么吗？
新课探究
知识点一：全等，∴∠A=∠E.
等腰三角形的性质定理及其证明课件
等腰三角形的性质定理及其证明课件一、教学内容本节课的教学内容来自于小学数学教材第六册第四章“几何图形”的相关内容。
具体章节为第1节“等腰三角形的性质定理及其证明”。
本节课的主要内容包括：等腰三角形的定义、性质定理及其证明，以及等腰三角形的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形的定义和性质定理，能够运用性质定理解决相关问题。
2. 培养学生观察、思考、交流、合作的能力，提高学生的几何思维水平。
3. 通过对等腰三角形的探究，培养学生对数学的兴趣和自信心。
三、教学难点与重点重点：等腰三角形的性质定理及其证明。
难点：理解并证明等腰三角形的性质定理。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、课件、几何模型。
学具：笔记本、尺子、三角板、剪刀。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的等腰三角形物品，如三角板、剪刀等，引导学生发现等腰三角形的特征。
3. 证明等腰三角形的性质定理：引导学生利用几何模型，通过剪切、拼接等方法，证明等腰三角形的性质定理。
4. 例题讲解：出示相关例题，如“已知一个等腰三角形，求其底角的度数”，让学生运用性质定理解决问题。
5. 随堂练习：出示一些关于等腰三角形的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
六、板书设计板书内容主要包括等腰三角形的定义、性质定理及其证明过程。
板书设计要简洁明了，突出重点，便于学生理解和记忆。
七、作业设计1. 作业题目：已知一个等腰三角形，求其底角的度数。
答案：底角的度数= (180° 顶角的度数) ÷ 2。
2. 作业题目：判断下列三角形是否为等腰三角形，并说明理由。
答案：判断三角形是否为等腰三角形，只需判断两腰是否相等。
如果两腰相等，则为等腰三角形。
八、课后反思及拓展延伸课后反思：本节课的教学内容较为抽象，学生可能在理解上存在一定困难。
教师应关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服困难。
拓展延伸：让学生观察生活中的等腰三角形物品，尝试解释其原理。
八年级数学人教版(上册)第2课时等腰三角形的判定
讲授新课
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形 的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限 于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形 中，此结论不一定成立．
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
∴ AC=AB. ( 等角对等边 ) B
C
即△ABC为等腰三角形. 侵权必究
讲授新课
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）.
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC （等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
侵权必究
讲授新课
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB
于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
C
M A DB
N
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB 边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F， 求证：△CEF是等腰三角形．
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
侵权必究
目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
侵权必究
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
学习目标
探索等腰三角形的判定定理及其应用
最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT
系，∠ABC、∠C呢？
x
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°，30°.
5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
B
DC
BD=DC（作图），
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2： 证明：作顶角∠BAC的平分线AD， 交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
等腰三角形、平行四边形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明平行四边形的性质定理和判定定理及其证明一、一周知识概述1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)．2、等腰三角形性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3、等腰三角形的判定定理两个角相等的三角形是等腰三角形．4、等腰三角形判定定理的推论推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．5、直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．6、平行四边形的性质定理定理1：平行四边形的对边相等．定理2、平行四边形的对角相等．定理3、平行四边形的对角线互相平分．7、平行四边形的判定定理定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．8、三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．二、重难点知识1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明．2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点．三、典型例题讲解例1、如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE．分析：因为DE=DF＋FE，即结论为BD＋EC=DF＋FE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立．证明：∵DE∥BC(已知)，∴∠3=∠2(两直线平行，内错角相等)．又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DB=DF(等角对等边)．同理可证EF=CE．∴BD＋EC=DF＋EF，即BD＋EC=DE．小结：过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交，所构成的三角形是一个等腰三角形，这是一个常见的构图，应熟练掌握．例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．小结：本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，要注意灵活运用与牢固掌握相结合．例3、如图，在△ABC 中，AB=AC=CB ，AE=CD ，AD 、BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ．求证：BP=2PQ 。
初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.3知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形一、学习任务1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念．2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理，掌握 角的直角三角形的性质．二、知识清单等腰三角形 等边三角形三、知识讲解1.等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle ）．等腰三角形的性质① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．三角形的边角对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．构造等腰三角形的方法30∘都填上）∠ADE=∠AED=2∠BAD34DE△BDE接 ，试判断 的形状，并说明理由．∠DBC描述：例题：2.等边三角形等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle ），也属于等腰三角形．等边三角形的性质三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．等边三角形性质的推论在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的判定① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．构造等边三角形的方法，．即 是等腰三角形．2∴∠DBC =∠E ∴BD =DE △BDE 60∘30∘60∘如图所示，在等边三角形 中， 和 的平分线相交于点 ，， 的垂直平分线分别交 于点 ，，求证： 是等边三角形．分析：根据垂直平分线的性质可知，，，由于 ， 是角平分线，所以 ，再由于外角和定理，，所以 是等边三角形．证明： ， 分别是 ， 垂直平分线上的点，ABC ∠ABC ∠ACB O BO OC BC E F △OEF OE =BE OF =F C OB OC ∠OBC =∠OCB =30∘∠OEF =∠OF E =60∘△OEF ∵EF BO OC值为（ ）32A△ABC。
等腰三角形的性质和判定
学习过程一.【预习指导】1.等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2.等腰三角形判定定理： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，特殊在哪里？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4.线段垂直平分线的性质定理 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
5.线段垂直平分线的性质定理 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二.【效果检测】1证明：等边三角形的每个内角都是60°.分析：要证等边三角形的每个内角都是60°，就要先根据等边对等角证明三个角相等。
2.证明：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
三.【小组检查】小组内成员就上述习题进行讨论、修正。
课 题§1.1 等腰三角形的性质和判定 （2）课型 新授 上课日期 主备人 李国祥 审稿人 吴寿根 统稿人 陈志勇 执教人学 习目 标 1.能证明等边三角形的性质定理和判定定理。
2.能证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
3.进一步了解分析法和综合法。
重 点 难 点 等边三角形的性质定理和判定定理 感悟栏四.【布置任务】师生互动探究问题1.三个角都相等的三角形是等边三角形。
分析：由等边三角形的的定义可知，三边相等的三角形是等边三角形。
根据“等角对等边”可以证得。
问题2.证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
五.【小组交流】学生展示1. 证明：如果一个等腰三角形中有一个角等于60°，那么这个三角形是等边三角形。
感悟栏2.已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。
求证：△ADE是等边三角形。
六.【课堂训练】拓展延伸已知：如图，△ABC、△CDE是等边三角形，B、C、D在同一条直线上，AC、BE交于点M，AD、CE交于点N。